MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 014. október 14. EMELT SZINT I. 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) sin x sin x cos x b) lg x lg x 5 5 4 5 (7 pont) a) Az egyenlet jobb oldalát azonosság alkalmazásával alakítva: sin x sin x 1 sin x. sin x sin x 1 0, Innen sin x 1, x k, ahol k. Ellenőrzés b) A logaritmus függvény értelmezése miatt x 0. 5 5, ezért az egyenlet lg x lg x Mivel lg x lg x 5 4 5 5 0 alakban is írható. lg Az 5 x -re nézve másodfokú egyenlet megoldásai: lg 5 lg 1 és 5 5. lg Mivel 5 lg 0, ezért 5 1 nem lehetséges. lg Ha 5 5, akkor x 10. Ellenőrzés Összesen: 1 pont ) Egy cm sugarú, 0 cm széles festőhengerrel dolgozva egy fordulattal körülbelül ml festéket viszünk fel a falra. (A festőhenger csúszás nélkül gördül a falon.) a) Elegendő-e 4 liter falfestéket vásárolnunk, ha a szobánkban 40 m - nyi falfelületet egy rétegben, egyszer akarunk lefesteni? (6 pont) b) Milyen magasan állna 4 liter falfesték a 16 cm átmérőjű, forgáshenger alakú festékes vödörben? Válaszát cm-ben, egészre kerekítve adja meg! a) Az egy fordulattal lefestett falfelület nagysága a (festő)henger palástjának területével egyenlő. Tpalást 0 80 51, cm 40 m 400000 cm,
tehát a teljes falfelület befestéséhez kb. 400000 159 fordulatra van szükség a festőhengerrel. 51, Ennyi fordulattal kb. 159 4776 ml festéket viszünk fel a falra. 4 liter festék megvásárlása tehát nem elegendő. 4 liter 4 dm 4000 cm b) r 8 cm 4000 cm 8 m 4000 Ebből m 19,9 cm. 64 A festék tehát kb. 0 cm magasan állna a vödörben. Összesen: 11 pont ) Egy kereskedőcég bevételei két forrásból származnak: bolti árusításból és internetes eladásból. Ebben az évben az internetes árbevétel 70%-a volt a bolti árbevételnek. A cég vezetői arra számítanak, hogy a következő években az internetes eladásokból származó árbevétel évente az előző évi internetes árbevétel 4%-ával nő, a bolti eladásokból származó árbevétel viszont évente az előző évi bolti árbevétel %-ával csökken. a) Számítsa ki, hány év múlva lesz a két forrásból származó árbevétel egyenlő! (8 pont) A cég ügyfélszolgálatának hosszú időszakra vonatkozó adataiból az derült ki, hogy átlagosan minden nyolcvanadik vásárló tér vissza később valamilyen minőségi kifogással. b) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy 100 vásárló közül legfeljebb kettőnek lesz később minőségi kifogása! (6 pont) a) Ha a bolti eladásokból származó idei árbevétel b (Ft), akkor az internetes eladásokból származó árbevétel jelenleg 0,7b (Ft). b 0 Ha a bevételek egyenlősége x év múlva következik de, akkor x x 1,04 0,7 0,98 b, x x amiből (a pozitív b -vel való osztás után) 1,04 0,7 0,98. Mindkét oldal tízes alapú logaritmusát véve és a logaritmus azonosságait felhasználva: x lg1,04 lg 0,7 x lg 0,98 lg 0,7 Ebből x 6 lg 0,98 lg1,04 A két forrásból származó árbevétel 6 év múlva lesz (körülbelül) egyenlő. Ellenőrzés b) Annak a valószínűsége, hogy egy vevő reklamál: 1 80,
annak a valószínűsége, hogy nem reklamál: 1 79 P legfeljebb reklamál P senki nem reklamál P 1 reklamál P reklamál 100 99 98 79 100 1 79 100 1 79 80 1 80 80 ( pont) 80 80 0, 84 0, 598 0, 55 0, 87 Összesen: 14 pont 4) Adott síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az y x x egyenletű görbe. x 0;, akkor y 0. (4 pont) a) Igazolja, hogy ha b) Írja fel a görbe abszcisszájú pontjában húzható érintőjének egyenletét! (abszcissza: első koordináta) c) Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet a görbe első síknegyedbe eső íve és az x tengely fog közre! a) x x x x Az x tényező pozitív, mert x 0. A x tényező is pozitív, mert x, x 0;. Így a két tényező szorzata is pozitív, ha b) (A megadott görbe az f x x x, x függvény grafikonja.) Ekkor f x 6x x, f 9, f 0. Az érintő meredeksége tehát 9 (és átmegy a ;0 ponton). Az érintő egyenlete: y 9x 7. c) Az y x x egyenletű görbének az x 0 helyen van közös pontja az x tengellyel. x 0;, akkor y 0, ezért) a kérdezett terület (Tudjuk, hogy ha 0 T f x dx. 4 x x x dx x 4 0 0 81 7 0 0 4 6,75. Összesen: 14 pont II.
5) A tavaszi idény utolsó bajnoki mérkőzésén a Magas Fiúk Kosárlabda Klubjának (MAFKK) teljes csapatából heten léptek pályára. A mérkőzés után az edző elkészítette a hét játékos egyéni statisztikáját. Az alábbi táblázat mutatja a játékosok dobási kísérleteinek számát és az egyes játékosok dobószázalékát egészre kerekítve. (A dobószázalék megmutatja, hogy a dobási kísérleteknek hány százaléka volt sikeres.) Játékos mezszáma Dobási kísérletek száma Dobószázalék 4 50 5 0 6 10 60 7 8 5 10 7 4 1 6 15 14 57 a) Számítsa ki, hogy mennyi volt a csapat dobószázaléka ezen a mérkőzésen! Az őszi idény kezdete előtt egy hónappal a MAFKK csapatához csatlakozott egy 195 cm magas játékos, így a csapattagok magasságának átlaga a korábbi átlagnál 0,5 cm-rel nagyobb lett. Pár nap múlva egy 0 cm magas játékos is a csapat tagja lett, emiatt a csapattagok magasságának átlaga újabb 1 cm-rel nőtt. b) Hány tagja volt a MAFKK-nak, és mekkora volt a játékosok magasságának átlaga a két új játékos csatlakozása előtt? (11 pont) a) Az egyes játékosok sikeres dobásainak száma rendre: 1, 0, 6,,, és 8. A csapat dobási kísérleteinek a száma a mérkőzésen 50, a sikeres dobások száma volt. A csapat dobószázaléka 44. b) A két új játékos csatlakozása előtt a csapat tagjainak száma x a tagok magasságának átlaga pedig y cm volt x, y 0. (Az első játékos belépése előtt a csapattagok magasságának összege xy volt, xy 195 az új játékos után xy 195 lett, tehát) y 0,5. x 1 Az előzőhöz hasonló gondolatmenettel kapjuk, hogy a második új játékos xy 195 0 belépését követően y 1,5. x Az egyenletek rendezése után a
0,5x y 194,5 egyenletrendszerhez jutunk. 1,5 x y 94 x 10 és y 189,5. A csapat tagjainak száma 10, az átlagos magasságuk pedig 189,5 cm volt. Ellenőrzés. 6) Megadtunk három egyenest, és mindegyiken megadtunk öt-öt pontot az ábra szerint. a) Hány olyan szakasz van, amelynek mindkét végpontja az ábrán megadott 15 pont valamelyike, de a szakasz nem tartalmaz további pontot a megadott 15 pont körül? (6 pont) Az egyenlő oldalú ABC háromszög 18 egység hosszúságú oldalait hat-hat egyenlő részre osztottuk, és az ábra szerinti osztópontok összekötésével megrajzoltuk a PQR háromszöget. b) Számítsa ki a PQR háromszög területének pontos értékét! (10 pont) a) A megadott 15 pont összesen 15 szakaszt határoz meg. Egy-egy megadott egyenesen a nem megfelelő szakaszok száma 6, tehát összesen 18 nem megfelelő szakasz van. A megfelelő szakaszok száma 15 18 87 b) Az ábra jelöléseit használjuk. A CNM háromszög egy 6 egység oldalú szabályos háromszög. A CNM szabályos háromszög magassága az ABC szabályos 1 háromszög magasságának a harmada CG CF : 1 CG 18, a PQMN trapéz magassága pedig ennek a kétszerese: FG 6 A PQR háromszög hasonló az MNR háromszöghöz, mert szögeik páronként egyenlők (csúcsszögek, illetve váltószögek).
A két háromszög hasonlóságának aránya :1, így a megfelelő oldalaikhoz tartozó magasságainak aránya is ennyi. Ezért FR 4, és a PQR háromszög területe 1 4 4 (területegység). 7) Egy üzemben egyforma, nagyméretű fémdobozok gyártását tervezik. A téglatest alakú doboz hálózatát egy méter 1 méteres téglalapból vágják ki az ábrán látható módon. A kivágott idom felhajtott lapjait az élek mentén összeforrasztják. (A forrasztási eljárás nem jár anyagveszteséggel.) a) Hogyan válasszák meg a doboz méreteit, hogy a térfogata maximális legyen? Válaszát centiméterben, egészre kerekítve adja meg!(11 pont) A dobozokat egy öt karakterből álló kóddal jelölik meg. Minden kódban két számjegy és három nagybetű szerepel úgy, hogy a két számjegy nincs egymás mellett. Mindkét számjegy eleme a 0; 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 halmaznak, a betűket pedig a 6 betűs (angol) ábécéből választják ki (például 7WAA egy lehetséges kód). b) Hány különböző kód lehetséges? a) (Az ábra jelöléseit használva) a téglatest méretei méterben: x, 1 x, 1 x, a téglatest térfogata m -ben: x 1 x 1 x (ahol 0 x 0,5 ). Keressük a V : 0; 0,5 1 1 V x x x x x x x függvény maximumát. V x 6x 6x 1. (A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy) V x 0. A másodfokú egyenlet (valós) megoldásai: 0,11 és 6 0,789. 6 Ez utóbbi nem eleme a V értelmezési tartományának, ezért ez nem jöhet szóba. A V függvény a 0,11 helyen előjelet vált (pozitívból negatívba 6 megy át), ezért ez a V függvénynek az egyetlen szélsőértékhelye, mégpedig a maximumhelye.
A maximális térfogatú doboz méretei (a kért kerekítéssel): 1,79 és 58 (cm). 5 4 6 különböző módon lehet két számjegy helyét kijelölni. 10 10 100 különböző módon lehet két számjegyet választani b) Az ötkarakteres kódban 8) A két helyre úgy, hogy a sorrendjük is számít, a másik három helyre pedig 6 17576 különböző módon három nagybetűt. A különböző kódok száma tehát 6 100 17 576 10 545 600. a) Határozza meg az alábbi kijelentések logikai értékét (igaz-hamis)! Válaszait indokolja! (8 pont) I. Van olyan hatpontú fagráf, amelynek minden csúcsa páratlan fokszámú II. Ha egy hétpontú egyszerű gráfnak 15 éle van, akkor a gráf összefüggő. III. Van olyan fagráf amelyben a csúcsok számának és az élek számának összege páros. Egy hatfős társaság tagjai A, B, C, D, E és F. Mindenkit megkérdeztünk, hogy hány ismerőse van a többiek között (az ismeretség kölcsönös). A válaszként kapott hat természetes szám szorzata 180. Az is kiderült, hogy A -nak legalább annyi ismerőse van, mint B -nek, B -nek legalább annyi ismerőse van, mint C -nek, és így tovább, E -nek legalább annyi ismerőse van, mint F -nek. b) Szemléltesse egy-egy gráffal a lehetséges ismeretségi rendszereket! (8 pont) a) Az I. állítás igaz. Megfelelő konstrukció (lásd az alábbi két példát) vagy szöveges indoklás. A II. állításra ellenpélda az a hétpontú gráf, amelynek van egy hatpontú teljes részgráfja és egy izolált pontja. A II. állítás tehát hamis. Az n pontú gráfnak n 1 éle van, ezért a csúcsok és az élek számának összege n 1, ami páratlan. A III. állítás tehát hamis. b) (Ha az ismeretségek száma rendre a, b, c, d, e és f, akkor a b c d e f ) 180 5. Mivel az ismeretségi gráfban a pontok száma legfeljebb 5 (és a b c d e f ), ezért a csúcsok fokszámai a következők lehetnek (az ismeretségek számát a névsornak megfelelően rendezve): 5,,,,, 1
vagy 5, 4,,, 1, 1. A második esethez nem tartozik gráf, mert nincs olyan gráf, amelyben a páratlan fokszámú csúcsok száma páratlan. Két lehetséges ismeretségi gráf van (például azért, mert B -nek és C -nek is van ismerőse D és E között, ezért D és E nem ismerheti egymást, így D az A -n kívül vagy C -t vagy B - t ismerheti). 9) Éva egy 7 7-es táblázat bal felső mezőjétől kezdve, balról jobbra haladva, sorról sorra beírta egy számtani sorozat első 49 tagját úgy, hogy a tagok sorrendjét nem változtatta meg. (A sorozat 1. tagja a bal felső sarokba került, a 8. tag a második sor első mezőjébe, a 49. tag pedig a jobb alsó sarokban áll.) a) Mennyi a táblázatba írt 49 szám összege, ha Éva a harmadik sor harmadik mezőjébe 91-et, az ötödik sor ötödik mezőjébe pedig a 11-et írta? Péter a táblázat minden sorából kiválasztja a számtani sorozat egy-egy tagját úgy, hogy a hét kiválasztott szám közül semelyik kettő ne legyen egy oszlopban. b) Igazolja, hogy akárhogyan is választja ki Péter így a számokat, a hét szám összege minden esetben ugyanannyi lesz! (6 pont) c) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a 91 és a 11 is a Péter által kiválasztott számok között lesz! a) a17 91 és a 11 Ebből d 5, majd a1 171. 171 49 1 5 49 S49 499
b) Adjuk össze a sorozat főátlóban álló tagjait! (Ezek összege 57.) Ha a táblázat két kiválasztott sorában felcseréljük, hogy melyik sorban melyik oszlopból választottuk ki a sorozat tagját, akkor (ha az érintett oszlop sorszáma között k a különbség) az egyik oszlopban kd -vel nő, a másik oszlopban kd -vel csökken a kiválasztott tag értéke. Tehát a sorozat hét kiválasztott tagjának összege a két tag cseréje után ugyanannyi marad, mint amennyi a csere előtt volt. Mivel a sorozat főátlóban álló tagjaiból kiindulva, két-két tag cserélgetésével bármelyik kiválasztott számheteshez eljuthatunk, a tagok összege bármely hét tag (leírtak szerinti) kiválasztása esetén ugyanannyi (57). c) Péter összesen 7! 5040 -féleképpen választhat ki a táblázatból számokat a megadott szabály szerint. Ha a 91 és a 11 is a kiválasztott számok közt van, akkor az első sorból 5- féleképpen választhat, ezután a másodikból 4-féleképpen, a negyedikből - féleképpen, a hatodikból -féleképpen, a hetedikből pedig1-féleképpen. Ez 5! 10 lehetőség. A kérdéses valószínűség így 10 5040 0,04