Miért érdekes a görög matematika?

Hasonló dokumentumok
A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

Egyenes mert nincs se kezdő se végpontja

Bevezetés a síkgeometriába

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

3. előadás. Elemi geometria Terület, térfogat

Háromszögek, négyszögek, sokszögek 9. évfolyam

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

2. Síkmértani szerkesztések

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6

Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)

54. Mit nevezünk rombusznak? A rombusz olyan négyszög,

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.

Modern matematikai paradoxonok

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Geometria 1 normál szint

A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.

Telepítő programok. Euklides 2.4 (Geometriai szerkesztőprogram) (A makrók megnyitásához szükséges!) Wingeom (Geometriai szerkesztőprogram)

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

A TERMÉSZETES SZÁMOK

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

Tartalom. Algebrai és transzcendens számok

Lehet hogy igaz, de nem biztos. Biztosan igaz. Lehetetlen. A paralelogrammának van szimmetria-középpontja. b) A trapéznak két szimmetriatengelye van.

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek

Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest június 20.

Geometria 1 normál szint

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

1. feladatsor Legyen ABCDEF egy szabályos hatszög. A hatszög AB és BC oldalára megrajzoljuk

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

Bizonyítási módszerek ÉV ELEJI FELADATOK

Fejezetek a Matematika

Láthatjuk, hogy az els szám a 19, amelyre pontosan 4 állítás teljesül, tehát ez lesz a legnagyobb. 1/5

GEOMETRIA. b a X O Y. A pótszögek olyan szögpárok, amelyek az összege 90. A szögek egymás pótszögei. b a

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

SZTE TTIK Bolyai Intézet

Fonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein

Osztályozóvizsga követelményei

III. Vályi Gyula Emlékverseny december

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 1. forduló haladók III. kategória

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM

Érdekes pitagoraszi számokról

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Hajdú Bihar megyei középiskolások matematika versenye, 2018/ évfolyam, II. kategória, megoldókulcs

Minden jó válasz 4 pontot ér, hibás válasz 0 pont, ha üresen hagyja a válaszmezőt, 1 pont.

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG osztályos matematika

Kisérettségi feladatsorok matematikából

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória

Kártyázzunk véges geometriával

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév

MATEMATIKA tanterv emelt szint évfolyam

SZÁMELMÉLETI FELADATOK

Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló

A logika, és a matematikai logika alapjait is neves görög tudós filozófus Arisztotelész rakta le "Analitika" című művében, Kr.e. IV. században.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

1. Halmazok, halmazműveletek. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. (x eleme az A halmaznak, x az A halmazhoz tartozik),

Geometriai transzformációk

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP és AP )

2. tétel Egész számok - Műveletek egész számokkal. feleletvázlat

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Bartha Gábor feladatjavaslatai az Arany Dániel Matematika Versenyre

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II. forduló osztály

1. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele

Átírás:

2016. március

Tartalom 1 Bevezetés 2 Geometria 3 Számelmélet 4 Analízis 5 Matematikai csillagászat 6 Következtetések

Bevezetés

Miért éppen a görög matematika? A középiskolások sok olyan matematikai témát tanulnak, amelyeket a görögök fedeztek föl, de a diákok nem tudják a történelmi hátteret

Miért éppen a görög matematika? A középiskolások sok olyan matematikai témát tanulnak, amelyeket a görögök fedeztek föl, de a diákok nem tudják a történelmi hátteret Érdekesebb, ha tudjuk, hogyan született valami

Miért éppen a görög matematika? A középiskolások sok olyan matematikai témát tanulnak, amelyeket a görögök fedeztek föl, de a diákok nem tudják a történelmi hátteret Érdekesebb, ha tudjuk, hogyan született valami Bár a görögök sokat tanultak az egyiptomiaktól és a babilóniaktól,

Miért éppen a görög matematika? A középiskolások sok olyan matematikai témát tanulnak, amelyeket a görögök fedeztek föl, de a diákok nem tudják a történelmi hátteret Érdekesebb, ha tudjuk, hogyan született valami Bár a görögök sokat tanultak az egyiptomiaktól és a babilóniaktól, történelmileg a görög matematika az első, amely a mai napig helytálló eredményeket bizonyított be szabatosan

Történet i.e. 6. század: görög városállamok (Athén GR, Milétosz TU, Szirakúza: IT) i.e. 450: Athén fénykora i.e. 323: Alekszandrosz és hellenizmus i.e. 212. Róma elfoglalja Szirakúzát

Földrajz

Milétosz, Thálész, kb. i.e. 580

Croton, Püthagorász, kb. i.e. 550

Paestum, Élea, Zénon, i.e. 460

Athén, Eudoxosz, i.e. 370

Alexandria, Eukleidész, i.e. 300

Szirakúza, Arkhimédész, i.e. 240

2. Geometria

Geometriáról általában Földmérés tudománya

Geometriáról általában Földmérés tudománya Az egyiptomiak már ismerték a csonkagúla térfogatát (i.e. 1850)

Geometriáról általában Földmérés tudománya Az egyiptomiak már ismerték a csonkagúla térfogatát (i.e. 1850) A geometria szemléletes és mégis szabatos

Eukleidész előtt Thálész tétele. (i.e. 580): egy félkör bármelyik pontjából az átmérő derékszög alatt látszik

Eukleidész előtt Thálész tétele. (i.e. 580): egy félkör bármelyik pontjából az átmérő derékszög alatt látszik Püthagorász tétele (i.e. 550). Ha a, b egy derékszögű háromszög befogóinak hossza, c az átfogóé, akkor a 2 + b 2 = c 2

Eukleidész előtt Thálész tétele. (i.e. 580): egy félkör bármelyik pontjából az átmérő derékszög alatt látszik Püthagorász tétele (i.e. 550). Ha a, b egy derékszögű háromszög befogóinak hossza, c az átfogóé, akkor a 2 + b 2 = c 2 Miért fontos?

Eukleidész előtt Thálész tétele. (i.e. 580): egy félkör bármelyik pontjából az átmérő derékszög alatt látszik Püthagorász tétele (i.e. 550). Ha a, b egy derékszögű háromszög befogóinak hossza, c az átfogóé, akkor a 2 + b 2 = c 2 Miért fontos? Mert alapvető matematikai igazságot fejez ki: független valószínűségi változók összegének a szórásnégyzete = a szórásnégyzetek összegével

Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek

Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró

Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást

Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást Alapfogalom: pont, egyenes, sík, eleme, metszi

Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást Alapfogalom: pont, egyenes, sík, eleme, metszi Egyik sem vezethető vissza alapabbra

Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást Alapfogalom: pont, egyenes, sík, eleme, metszi Egyik sem vezethető vissza alapabbra Definíció: pl. a háromszög A csúcsához tartozó szögfelező egyenes,

Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást Alapfogalom: pont, egyenes, sík, eleme, metszi Egyik sem vezethető vissza alapabbra Definíció: pl. a háromszög A csúcsához tartozó szögfelező egyenes, Tétel. A háromszög 3 szögfelezője 1 pontban metszi egymást

Eukleidész Eukleidész (i.e. 300, Alexandria): Elemek Nem nagy tudós, de a valaha élt legjobb tankönyvíró Axióma: alapigazság, pl. két egyenes legfeljebb egy pontban metszi egymást Alapfogalom: pont, egyenes, sík, eleme, metszi Egyik sem vezethető vissza alapabbra Definíció: pl. a háromszög A csúcsához tartozó szögfelező egyenes, Tétel. A háromszög 3 szögfelezője 1 pontban metszi egymást Meglepő, de logikus!

Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást

Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást Az V. axióma: Adott egyeneshez adott külső ponthoz pontosan egy párhuzamos egyenes húzható

Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást Az V. axióma: Adott egyeneshez adott külső ponthoz pontosan egy párhuzamos egyenes húzható Eukleidész is tudatában volt annak, hogy ez az axióma más, mint a többi, esetleg tétel

Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást Az V. axióma: Adott egyeneshez adott külső ponthoz pontosan egy párhuzamos egyenes húzható Eukleidész is tudatában volt annak, hogy ez az axióma más, mint a többi, esetleg tétel 15 tételt kimondott nélküle, s csak aztán vezette be

Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást Az V. axióma: Adott egyeneshez adott külső ponthoz pontosan egy párhuzamos egyenes húzható Eukleidész is tudatában volt annak, hogy ez az axióma más, mint a többi, esetleg tétel 15 tételt kimondott nélküle, s csak aztán vezette be Bolyai Lobacsevszkij (1830): logikailag létezik olyan geometria, amelyben nem érvényes A5.

Párhuzamossági axióma Definíció. Két síkbeli egyenes párhuzamos, ha nem metszik egymást Az V. axióma: Adott egyeneshez adott külső ponthoz pontosan egy párhuzamos egyenes húzható Eukleidész is tudatában volt annak, hogy ez az axióma más, mint a többi, esetleg tétel 15 tételt kimondott nélküle, s csak aztán vezette be Bolyai Lobacsevszkij (1830): logikailag létezik olyan geometria, amelyben nem érvényes A5. Nemcsak logikai játék: Einstein (1915) általános relativitáselmélete

Görög sejtések, modern megoldások Hány oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők meg euklidészi módon?

Görög sejtések, modern megoldások Hány oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők meg euklidészi módon? például a szabályos háromszög, négyzet, hatszög, és ötszög (aranymetszés)!!

Görög sejtések, modern megoldások Hány oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők meg euklidészi módon? például a szabályos háromszög, négyzet, hatszög, és ötszög (aranymetszés)!! Gauss (1795): a szabályos 7-szög nem szerkeszthető meg

Görög sejtések, modern megoldások Hány oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők meg euklidészi módon? például a szabályos háromszög, négyzet, hatszög, és ötszög (aranymetszés)!! Gauss (1795): a szabályos 7-szög nem szerkeszthető meg Harmadolható-e minden szög?

Görög sejtések, modern megoldások Hány oldalú szabályos sokszögek szerkeszthetők meg euklidészi módon? például a szabályos háromszög, négyzet, hatszög, és ötszög (aranymetszés)!! Gauss (1795): a szabályos 7-szög nem szerkeszthető meg Harmadolható-e minden szög? Például a 90 o igen, de a 60 o nem (Gauss)

3. Számelmélet

Számelméletről általában Gauss: a számelmélet a matematika királynője: szép, de haszontalan

Számelméletről általában Gauss: a számelmélet a matematika királynője: szép, de haszontalan görög újítás

Számelméletről általában Gauss: a számelmélet a matematika királynője: szép, de haszontalan görög újítás 1970 óta a titkosírás alapja:

Számelméletről általában Gauss: a számelmélet a matematika királynője: szép, de haszontalan görög újítás 1970 óta a titkosírás alapja: p és q egy-egy prímszám, szorzatuk pq egyszerűen kiszámítható

Számelméletről általában Gauss: a számelmélet a matematika királynője: szép, de haszontalan görög újítás 1970 óta a titkosírás alapja: p és q egy-egy prímszám, szorzatuk pq egyszerűen kiszámítható de ha a számok nagyok, pl. 10 100, akkor gyakorlatilag nem tudjuk tényezőire bontani a szorzatot

Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója.

Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van.

Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás. Indirekt módon.

Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás. Indirekt módon. Tegyük föl, hogy csak véges sok van: p 1, p 2,..., p n.

Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás. Indirekt módon. Tegyük föl, hogy csak véges sok van: p 1, p 2,..., p n. Szorozzuk össze őket és a szorzathoz adjunk 1-et: n = p 1 p 2 p n + 1

Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás. Indirekt módon. Tegyük föl, hogy csak véges sok van: p 1, p 2,..., p n. Szorozzuk össze őket és a szorzathoz adjunk 1-et: n = p 1 p 2 p n + 1 n nem osztható p 1, p 2,..., p n egyikével sem, tehát vagy új prím szám, vagy van egy újabb prímosztója

Végtelen sok prímszám van Definíció: Egy prímszám olyan pozitív egész szám, amelynek nincs valódi osztója. Tétel (Eukleidész.) Végtelen sok prímszám van. Bizonyítás. Indirekt módon. Tegyük föl, hogy csak véges sok van: p 1, p 2,..., p n. Szorozzuk össze őket és a szorzathoz adjunk 1-et: n = p 1 p 2 p n + 1 n nem osztható p 1, p 2,..., p n egyikével sem, tehát vagy új prím szám, vagy van egy újabb prímosztója Példa: 2 3 + 1 = 7, prím, de az 5 kimarad

Hány ikerprímszám van? Definíció. Két prímszám ikerprímszám, ha különbségük 2

Hány ikerprímszám van? Definíció. Két prímszám ikerprímszám, ha különbségük 2 Példa: 3 és 5, 5 és 7, 11 és 13 stb

Hány ikerprímszám van? Definíció. Két prímszám ikerprímszám, ha különbségük 2 Példa: 3 és 5, 5 és 7, 11 és 13 stb Van-e végtelen sok ikerprímszám? Nem tudjuk

Hány ikerprímszám van? Definíció. Két prímszám ikerprímszám, ha különbségük 2 Példa: 3 és 5, 5 és 7, 11 és 13 stb Van-e végtelen sok ikerprímszám? Nem tudjuk Legújabb eredmény: végtelen sok olyan (nem feltétlen iker) prímpár létezik, amelynek különbsége kisebb, mint 600.

Hány ikerprímszám van? Definíció. Két prímszám ikerprímszám, ha különbségük 2 Példa: 3 és 5, 5 és 7, 11 és 13 stb Van-e végtelen sok ikerprímszám? Nem tudjuk Legújabb eredmény: végtelen sok olyan (nem feltétlen iker) prímpár létezik, amelynek különbsége kisebb, mint 600. Következmény: végtelen sok olyan prímpár létezik, amelynek különbsége egy adott páros szám, amelyik kisebb, mint 600 (pl. 2, 4,..., 598)

Vannak irracionális számok Definíció. Egy pozitív szám racionális, ha felírható két pozitív szám hányadosaként (ratio=/=értelem, hanem viszony), irracionális egyébként.

Vannak irracionális számok Definíció. Egy pozitív szám racionális, ha felírható két pozitív szám hányadosaként (ratio=/=értelem, hanem viszony), irracionális egyébként. Tétel. 2 irracionális.

Vannak irracionális számok Definíció. Egy pozitív szám racionális, ha felírható két pozitív szám hányadosaként (ratio=/=értelem, hanem viszony), irracionális egyébként. Tétel. 2 irracionális. Bizonyítás. Indirekt. 2 = p, (p, q) 1 q

Pitágorászi számhármasok Derékszögű háromszögek hossza a, b, c: Pitágorász-tétel: a 2 + b 2 = c 2.

Pitágorászi számhármasok Derékszögű háromszögek hossza a, b, c: Pitágorász-tétel: a 2 + b 2 = c 2. Lehet-e a, b, c mind természetes szám? Például (1, 1, 2) nem ilyen

Pitágorászi számhármasok Derékszögű háromszögek hossza a, b, c: Pitágorász-tétel: a 2 + b 2 = c 2. Lehet-e a, b, c mind természetes szám? Például (1, 1, 2) nem ilyen Példa: 3 2 + 4 2 = 5 2

Pitágorászi számhármasok Derékszögű háromszögek hossza a, b, c: Pitágorász-tétel: a 2 + b 2 = c 2. Lehet-e a, b, c mind természetes szám? Például (1, 1, 2) nem ilyen Példa: 3 2 + 4 2 = 5 2 Mások? Például: triviális: (6, 8, 10).

Pitágorászi számhármasok Derékszögű háromszögek hossza a, b, c: Pitágorász-tétel: a 2 + b 2 = c 2. Lehet-e a, b, c mind természetes szám? Például (1, 1, 2) nem ilyen Példa: 3 2 + 4 2 = 5 2 Mások? Például: triviális: (6, 8, 10). Mások? Tegyük föl, hogy (a, b) = 1: nincs közös osztójuk (primitív). Például 5 2 + 12 2 = 13 2

folytatás Tétel. Ha (a, b, c) primitív pitágorászi számhármas, akkor felírható a következő alakban:

folytatás Tétel. Ha (a, b, c) primitív pitágorászi számhármas, akkor felírható a következő alakban: a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2, ahol m > n természetes szám, különböző paritásúak, és (m, n) = 1

folytatás Tétel. Ha (a, b, c) primitív pitágorászi számhármas, akkor felírható a következő alakban: a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2, ahol m > n természetes szám, különböző paritásúak, és (m, n) = 1 Bizonyítás: Elégséges: (m 2 n 2 ) 2 + (2mn) 2 = (m 2 + n 2 ) 2

folytatás Tétel. Ha (a, b, c) primitív pitágorászi számhármas, akkor felírható a következő alakban: a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2, ahol m > n természetes szám, különböző paritásúak, és (m, n) = 1 Bizonyítás: Elégséges: (m 2 n 2 ) 2 + (2mn) 2 = (m 2 + n 2 ) 2 Szükséges: a 2 + b 2 = c 2 -t átrendezve: a 2 = c 2 b 2 = (c b)(c + b)

folytatás Tétel. Ha (a, b, c) primitív pitágorászi számhármas, akkor felírható a következő alakban: a = m 2 n 2, b = 2mn, c = m 2 + n 2, ahol m > n természetes szám, különböző paritásúak, és (m, n) = 1 Bizonyítás: Elégséges: (m 2 n 2 ) 2 + (2mn) 2 = (m 2 + n 2 ) 2 Szükséges: a 2 + b 2 = c 2 -t átrendezve: a 2 = c 2 b 2 = (c b)(c + b) a 2 mindkét tényezője négyzetszám: n 2 = c b, m 2 = c + b stb.

Kitérő: Fermat-sejtés, 1636 Fermat-sejtés: x n + y n z n, ha n > 2

Kitérő: Fermat-sejtés, 1636 Fermat-sejtés: x n + y n z n, ha n > 2 Fermat tétele: x 4 + y 4 z 4.

Kitérő: Fermat-sejtés, 1636 Fermat-sejtés: x n + y n z n, ha n > 2 Fermat tétele: x 4 + y 4 z 4. Wiles tétele (1994): Fermat sejtése igaz

Kitérő: Fermat-sejtés, 1636 Fermat-sejtés: x n + y n z n, ha n > 2 Fermat tétele: x 4 + y 4 z 4. Wiles tétele (1994): Fermat sejtése igaz Önmagában teljesen haszontalan" kérdés, de óriási lökést adott a matematika fejlődésének

4. Analízis

Hosszúság, terület, térfogat, érintő hosszúság, terület- és térfogatmérés

Hosszúság, terület, térfogat, érintő hosszúság, terület- és térfogatmérés Sima görbék érintőjének meredeksége (parabolatükör tökéletesen fókuszálja a párhuzamos sugarakat)

Hosszúság, terület, térfogat, érintő hosszúság, terület- és térfogatmérés Sima görbék érintőjének meredeksége (parabolatükör tökéletesen fókuszálja a párhuzamos sugarakat) A görögöknél fényüzés volt, de a modern tudomány és technika alapja

Zénó paradoxonai Zénon (i.e. 460, Élea): Akhilleusz és a teknősbéka: 1 2 + 1 2 2 + + 1 2 n + =?

Zénó paradoxonai Zénon (i.e. 460, Élea): Akhilleusz és a teknősbéka: 1 2 + 1 2 2 + + 1 2 n + =? Paradoxon: ellentmondásnak látszó helyes állítás

Zénó paradoxonai Zénon (i.e. 460, Élea): Akhilleusz és a teknősbéka: 1 2 + 1 2 2 + + 1 2 n + =? Paradoxon: ellentmondásnak látszó helyes állítás Racionális magva: létezik végtelen sok pozitív szám, amelyek összege véges, itt 1

Akhilleusz és a teknősbéka

Kitérő: Pláton filozófiája Pláton (i.e. körül 370): filozófus, akadémia (liget neve): a filozófiához ismerned kell a geometriát!

Kitérő: Pláton filozófiája Pláton (i.e. körül 370): filozófus, akadémia (liget neve): a filozófiához ismerned kell a geometriát! Plutarkhosz (i.sz. 100): Párhuzamos életrajzok, Marcellus tábornok Szirakúzát ostromolja, Arkhimédesz halála:

Kitérő: Pláton filozófiája Pláton (i.e. körül 370): filozófus, akadémia (liget neve): a filozófiához ismerned kell a geometriát! Plutarkhosz (i.sz. 100): Párhuzamos életrajzok, Marcellus tábornok Szirakúzát ostromolja, Arkhimédesz halála: Tökéletes leírás: a matematika nem valódi tárgyakkal, hanem azok égi másával foglalkozik

Kitérő: Pláton filozófiája Pláton (i.e. körül 370): filozófus, akadémia (liget neve): a filozófiához ismerned kell a geometriát! Plutarkhosz (i.sz. 100): Párhuzamos életrajzok, Marcellus tábornok Szirakúzát ostromolja, Arkhimédesz halála: Tökéletes leírás: a matematika nem valódi tárgyakkal, hanem azok égi másával foglalkozik Platón felháborodott [Eudoxosz mechanikai játékain], és szemrehányást tett neki, hogy... elrontja azt, ami jó van a geometriában azáltal, hogy az emberek figyelmét a testetlen és elvont tárgyakról az érzékelhető világra fordítja."

Eudoxosz Eudoxosz (i.e. 370, Athén): a kör kerülete = a körbe be- és köréírt sokszögek kerületének közös határértéke, amint az oldalak hossza tart 0-hoz:

Eudoxosz Eudoxosz (i.e. 370, Athén): a kör kerülete = a körbe be- és köréírt sokszögek kerületének közös határértéke, amint az oldalak hossza tart 0-hoz: Tétel: P = πd, ahol π 3, π > 3

Arkhimédész, az ókor legnagyobb tudósa Arkhimédész (i.e. 287 i.e. 212, Szirakúza)

Arkhimédész, az ókor legnagyobb tudósa Arkhimédész (i.e. 287 i.e. 212, Szirakúza) legendák: szórakozott professzor a fürdőből ruhátlanul hazaszalad

Arkhimédész, az ókor legnagyobb tudósa Arkhimédész (i.e. 287 i.e. 212, Szirakúza) legendák: szórakozott professzor a fürdőből ruhátlanul hazaszalad praktikus mérnök, aki csigákkal partra vontatja az ostromló római hajókat

Gyújtótükör

Arkhimédész és a π Legyen a n és A n az egység átmérőjű körbe- és köré írt n-oldalú szabályos sokszög oldalhossza. Végrehajtja Eudoxosz programját, fokozatos megközelítéssel az oldalhosszak közti rekurzióval, a 2n = a n 2(1 + 1 a 2 n), A 2n = A n A 2 n + 1 + 1 kiszámítja az egység átmérőjű körbe- és köré írt 96-oldalú szabályos sokszög kerületét: 3 10 71 < π < 31 7

Arkhimédész és a π, folytatás Oldalszám Beírt kerülerület Köréírt 6 3,00 3,46 12 3,11 3,21 24 3,13 3,16 48 3,140 3,146 96 3,141 3,143 ke-

Arkhimédész egyéb felfedezései Gömb térfogata = 4R 3 π/3

Arkhimédész egyéb felfedezései Gömb térfogata = 4R 3 π/3 Térfogat-bizonyítás: Félgömb = henger Kúp (tölcsér)

Arkhimédész egyéb felfedezései Gömb térfogata = 4R 3 π/3 Térfogat-bizonyítás: Félgömb = henger Kúp (tölcsér) A [0, 1] szakaszon a parabola alatti terület = 1/3 Bizonyítás: 4 db

Arkhimédész síremléke

5. Matematikai csillagászat

Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz)

Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz) Félhold idején a FHN-szög derékszög

Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz) Félhold idején a FHN-szög derékszög FH/FN = cos α

Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz) Félhold idején a FHN-szög derékszög FH/FN = cos α Szabad szemmel α = 87 o, tehát FN = 20FH

Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz) Félhold idején a FHN-szög derékszög FH/FN = cos α Szabad szemmel α = 87 o, tehát FN = 20FH valójában α = 1/2 o, tehát FN = 400FH

Föld Hold Nap távolsága Arisztarkhosz (i.e. 290, Szamosz) Félhold idején a FHN-szög derékszög FH/FN = cos α Szabad szemmel α = 87 o, tehát FN = 20FH valójában α = 1/2 o, tehát FN = 400FH A Nap sokkal nagyobb, mint a Hold Nap a központ, a Föld is bolygó (Kopernikusz, 1543)

Arisztarkhosz

Föld mérete Eratoszthenész (i.e. 240, Alexandria)

Föld mérete Eratoszthenész (i.e. 240, Alexandria) A nyári napforduló idején a napsugár merőlegesen esik be az asszuáni kútba, Alexandriában viszont α szöggel

Föld mérete Eratoszthenész (i.e. 240, Alexandria) A nyári napforduló idején a napsugár merőlegesen esik be az asszuáni kútba, Alexandriában viszont α szöggel Ha egy délkörön fekszik a két hely, akkor i = Rα, R 40 ezer km

Föld mérete Eratoszthenész (i.e. 240, Alexandria) A nyári napforduló idején a napsugár merőlegesen esik be az asszuáni kútba, Alexandriában viszont α szöggel Ha egy délkörön fekszik a két hely, akkor i = Rα, R 40 ezer km Eratoszthenész sztadionban számolt, és többféle sztadion volt, akárcsak a brit és az amerikai gallon

Eratoszthenesz

6. Következtetések

Időrendi névsor Thálesz (i.e. 580) Püthagorász (i.e. 550) Eudoxosz (i.e. 370) Eukleidész (i.e. 300) Arkhimédész (i.e. 240)

Következtetések Miért éppen a görögök? Városállamok versengése, szabad szellem

Következtetések Miért éppen a görögök? Városállamok versengése, szabad szellem Miért állt le a fejlődés? Elérte a maximumot, (leragadtak a paradoxonoknál, nem volt jó számírásuk, széteső társadalom)

Következtetések Miért éppen a görögök? Városállamok versengése, szabad szellem Miért állt le a fejlődés? Elérte a maximumot, (leragadtak a paradoxonoknál, nem volt jó számírásuk, széteső társadalom) A görög matematika feltámadása: újkor, pl. az analitikus geometria (Descartes, Fermat, 1630)

Következtetések Miért éppen a görögök? Városállamok versengése, szabad szellem Miért állt le a fejlődés? Elérte a maximumot, (leragadtak a paradoxonoknál, nem volt jó számírásuk, széteső társadalom) A görög matematika feltámadása: újkor, pl. az analitikus geometria (Descartes, Fermat, 1630) kalkulus (Newton és Leibniz, 1670-től)

Irodalom I Szabó Árpád (1980): A görög matematika kibontakozása. Simonyi Károly (1980): A fizika kultúrtörténete. (2009): Válogatott fejezetek a matematika történetéből.