A Lorenz ranszformáció néhány köekezménye Abban az eseben, ha léezik egy sebesség, amely minden inercia rendszerben egyforma nagyságú, akkor az egyik inercia rendszerből az áérés a másik inercia rendszerre a köekező ranszformáció írja le: ( z = ( ( z A feni képle eseén a ké rendszer úgy álaszouk meg, hogy koordináa engelyeik párhuzamosak legyenek és a K rendszer a z-engellyel párhozamosan mozogjon sebességgel a K rendszerhez képes. A képleben c-el jelölük a kiünee sebessége. A alóságban a fény erjedési sebessége az a sebesség, amely minden inercia rendszerben állandó nagyságú, hozzáeőleg c = 3 0 8 m/s. Az előző képleből egyszerűen leolashajuk, hogy ké inercia rendszer közöi sebesség nem haladhaja meg a fénysebessége, hiszen akkor képzees mennyiségeke kapnánk a ranszformál koordináákra, ami fizikailag nem érelmezheő. (. Lorenz konrakció Hendrik Anoon Lorenz Vegyünk egy l hosszúságú ruda, amelynek az egyik égé helyezzük a K és K rendszer közös origójába. Mérjük meg a hosszá a K rendszerben, agyis adjuk meg a égpon z = l koordináájá = 0-ban. Persze a K rendszerben más időben leszünk és i a rúd másik ége a z = l ponban lesz, agyis a sebességgel mozgó rendszerben más hossza fogunk mérni, min a rúdhoz képes álló rendszerben: ( ( ( 0 l = c l (, Az előzőekből a köekező ké egyenlee kapjuk: = l (3 l = l (, (4
ehá l = l (5 A mozgó rendszerben ehá a ruda röidebbnek mérjük! Ez a jelensége híjuk Lorenz konrakciónak. Persze nyugodabbak lennénk, ha egy rúd hosszá egyérelműen meg udnánk mondani, ezér a rúd hosszá célszerű a rúddal együ mozgó inercia rendszerben mérni.. Idő dilaáció Egy egyenlees sebességgel mozgó részecske sajá rendszerében az idő máskén elik min az a laboraóriumi rendszerben mérjük. A részecskéel együ mozgó rendszer álaszhajuk úgy, hogy a részecske mindig az origóban helyezkedik el. A Lorenz ranszformáció ekkor a köekező alakú lesz: ( 0 = ( ( z. Soronkén kiíra a köekező egyenleeke kapjuk: z =, ( =, amelyből köekezik, hogy = c, agyis a laboraóriumi rendszerben hosszabb idő mérünk, min a ömegponal együ mozgó rendszerben. A speciális relaiiás elméle eme jelenségé híjuk idő dilaációnak. Ennek a jelenségnek sokkal könnyebb kísérleileg a nyomára akadni, min a Lorenz konrakciónak. Az egyik legismerebb példa bizonyos könnyű részecskék, a müonok bomlásához kapcsolódik. A müonok a leponok családjába aroznak, így az elekronok rokonai. Legöbbször a kozmikus részecskék és a légkör részecskéinek üközéskor kelekeznek nagyjából 0 km-re a föld felszínéől. Az élearamuk τ =. 0 6 s, így ha még fénysebességgel is repülnek, legfeljebb 660 méer ehenek meg, ennek ellenére a föld felszínén is udjuk deekálni őke. Ennek oka, hogy a sajá órájuk lassabban jár, min a mi földfelszínhez köö óránk. Természeesen azoka a fizikai folyamaoka, amelyek a részecske bomlásá okozzák a részecskéel együ mozgó rendszerben kell leírnunk és számára az idő is a sajá rendszeréhez köö óra szerin múlik. A Lorenz ranszformációnak megfelelően τ idő ala, ameddig el nem bomlik a részecske, z = τ/ áolságo esz meg. Tegyük fel, hogy a müonunk a fénysebesség 99%-al halad, ekkor elbomlásáig a mi rendszerünkben 3.4 km- esz meg a 0.66 km-rel szemben. A részecskéel együ mozgó rendszer nem felélenül inercia rendszer, de egy infiniezimálisan röid ideig ekinsük úgy, minha egyenlees, egyenesonalú mozgás égezne egy inercia rendszerben, majd a köekező pillanaban egy
új sebességgel mozog egyenleesen és így oább. Ekkor a labor rendszerben elel időből a köekező inegrállal számíhajuk ki a részecskéel együ mozgó rendszerben elel idő: τ = ( d (6 c Ez a mennyiség, amelye sajáidőnek híunk, minden inercia rendszerben ugyanaz marad, agyis inariáns a Lorenz ranszformációal szemben. 3. Sebességek összeadása Vizsgáljuk mos a köekező problémá: mekkora sebességgel mozog egy részecske a K redszerben, amely a K rendszerben sebességgel mozog? A K rendszer mozogjon V sbességgel K-hoz képes. Tegyük fel, hogy kezdeben a részecske a ké rendszer közös origójában ol. idő mula K-ban a z = helyen lesz, a K redszerben pedig a, z = ponban. A ké éridő pono a Lorenz ranszformáció köi össze: ( ( ( V = c (7 V V Vagyis V = V (8 A ké egyenleből egyszerűen kifejezheő: V = V + (9 = V V (0 Ha helyére a fénysebessége, c- helyeesíjük be, akkor a K rendszer beli sebességre, elárásainknak megfelelően, ugyancsak a fénysebessége kapjuk. 4. Inariáns íelem Az számú képle a K rendszer beli idő és helye ranszformálja á a K beli időé és hellyé. Azonban egy kicsi slampos dolog az, hogy ha egy ekornak ekinjük a (, z mennyisége, akkor a komponenseknek különböző mérékegysége an. Ez a problémá egyszerűen orosolhajuk, ha az időszerű koordináá megszorozzuk a fénysebességgel, amely állandó minden inercia rendszerben. Ebben az eseben a köekező alakba írhajuk a ranszformáció: ( ( ( c z = c c ( c z 3
Muassuk meg, hogy a (c z mennyiség inariáns a Lorenz ranszformációal szemben: (c, z ( ( 0 c = (c, z ( ( 0 c 0 z 0 z = ( ( ( ( (c, z c 0 c c c 0 = c z (c, z ( ( 0 c. ( 0 z Az (c, z ( ( 0 c mennyiség inariáns a Lorenz ranszformációal szemben, ezér definiáljuk a kédimenziós éridőnkben a skalár szorza- 0 z o ezzel a műeleel: u µ µ = (c, z ( ( 0 c (3 0 z ( 0 ahol u = c, u = z és a merikus enzor. Természeesen egyszerűen erjeszhejük ki a skalárszorzao háromdimenziós érre is, csak a merikus 0 enzor lesz 4x4-es márix: 0 0 0 g = 0 0 0 0 0 0, (4 0 0 0 a négyes helyekor pedig (c, r négyes lesz. A sebesség a helyekor idő szerini deriálja. Ha azonban az éppen akuális inercia rendszer ideje szerin deriálunk, akkor az eredmény nem fog megfelelni a Lorenz ranszformációnak, agyis az eredmény nem egy négyes ekor lesz. A négyes sebessége ezér a négyes helyekor sajáidő szerini deriáljakén definiáljuk: 5. Fénykúp µ = du µ dτ = du µ d d dτ, (5 ( c = (. (6 Ábrázoljuk a éridőnke egy + dimenziós koordináa rendszerben. (Csak ké érszerű koordináánk an az egyszerűbb ábrázolás ége, persze aki álája a négydimenziós ere, az árajzolhaja +3 dimenzióba is. A = 0 pillanaban az origóban agyunk, az ábrán láhaó kúpok csúcsában. Ha elindíunk egy 4
fénysugara, az a felső kúp palásján fog mozogni, egy korábban felénk indío fénysugár pedig az alsón. Az ábrán az u, u,, ekorok egy-egy esemény helyé és idejé adják. Figyelembe ée, hogy a kölcsönhaásoknak éges a erjedési sebességük, az egyes eseményeke a köekezőképpen oszályozhajuk: u egy esemény a jöőben, amelyre haással leheünk (uu > 0 u egy esemény a múlban, amely haással lehe ránk (uu > 0 egy esemény a jöőben, amelyre nem leheünk haással ( < 0 egy esemény a múlban, amely nem lehe haással ( < 0 A fénykúp w ponjában léő esemény eseén, ermészeesen, a (ww skalárszorza nulla lesz. 5