1. Pisti beledobott egy kezdetben üres - kosárba valahány piros és kék labdát, amelyeknek legalább 90%-a piros. Jenő találomra kivett 50 labdát, közöttük 49 piros volt. Julcsi megnézte a kosárban maradt labdákat, és megállapította, hogy azok 7/8 része piros. Legfeljebb hány labda lehetett a kosárban? (8 pont) Jelöljük x-szel a Pisti által kosárba dobott labdák számát. 50 labdát kivéve, x-50 marad a kosárban, ennek 7/8-ad része piros, vagyis 50. Az eredetileg kosárban lévő legalább 90 % piros labdából 49-et vett ki Jenő: így a kosárban legalább 0,9x-49 piros labda maradt. Így 500,949. Megoldva ezt az egyenlőtlenséget, adódik, hogy x 210. Vagyis legfeljebb 210 labda lehetett eredetileg a kosárban. Ellenőrzés: ld. megjegyzést Megjegyzés: ami harmadik (a második, amikor a megmaradt labdákból indulunk ki) megoldáshoz is vezet - érdemes az alsó korlátot is vizsgálni. Legalább 7 piros és 1 kék labda maradt a kosárban. Összesen minimum 58 labda, amiből 2 kék, 56 piros (több, mint 90%). - az előbbinek a többszörösei fordulhatnak elő 14 2 -> + 50; összesen 63 piros és 3 kék, vagyis 66; több, mint 90%-a minimum 51 21 3 -> + 50; összesen 70 piros és 4 kék, vagyis 74; több, mint 90%-a minimum 67 28 4 -> + 50; összesen 77 piros és 5 kék, vagyis 82; több, mint 90%-a minimum 83. 140 20 -> +50; össz.: 189 piros és 21 kék, azaz 210; több, mint 90%-a min. 189 147 21 -> +50; össz.: 196 piros és 22 kék, azaz 218; több, mint 90%-a min. 197 154 22 -> +50; össz.: 203 piros és 23 kék, azaz 226; több, mint 90%-a min. 204
2. Add meg azokat a háromjegyű természetes számokat, amelyek egyenlők a számjegyeik összegének a 11-szeresével? (10 pont) A 11-gyel való oszthatóság szabályát felhasználva, és sorban x, y, z-vel jelölve a háromjegyű szám számjegyeit: (1) 100x+10y+z = 11(x+y+z), illetve: 1. x-y+z = 0 vagy 2. x-y+z = 11 (mivel 3 jegyű számokról van szó) Az (1) egyenletből: 89x y 10z = 0, ebből 1. y = x+z helyettesítéssel: 8x = z, vagyis a keresett szám: 198 (mivel x csak 1 lehet). 2. y = x+z-11 helyettesítéssel nem kapunk további számot (semmilyet nem kapunk). Tehát egyetlen ilyen számot találtunk, ez a 198. A feltételnek eleget tesz. Megjegyzés: A fenti eredményhez a 11-gyel osztható háromjegyű számok kezdeti felsorolásából is könynyen eljuthat, persze egyszerű indoklás szükséges, hogy más megoldás nem lehet.
3. Egy autóbusznak egy útján 322,5 kg/utas volt a kihasználtsági aránya, vagyis az üres kocsi tömegéből ennyi esett egy utasra. Visszafelé 18-cal több utas indult a busszal, így az arány 187,5 kg/utas lett. Mennyi lesz az arány, ha még 7 utas felszáll és így minden férőhely foglalt lesz? Hány férőhely van az autóbuszon az utasok számára? (12 pont) Jelöljük x-szel az utasok számát, y-nal az üres (utasmentes) autóbusz tömegét. Ekkor 322,5 azaz y = 322,5x Továbbá: =187,5 azaz y = 187,5x + 18 187,5 A két y egyenlőségéből kapott egyenletet megoldva: x=25 adódik. A keresett arány: A férőhelyek száma: 50., 161,25.
4. Mari néni a hét minden napján háromfogásos ebédet készít. Bármely két fogás legfeljebb egy napon szerepel az étrendben. Legalább hány különböző ételt (fogást) kell tudni Mari néninek elkészítenie? (14 pont) 1,, 5 étel biztosan kevés (könnyen belátható). Megmutatjuk, hogy még 6 étel sem elegendő: Ehhez az ételek minél jobb kihasználása, elosztása végett 3 ételt 4-szer és további 3 ételt 3-szor használnánk (így összesen 3 4 + 3 3 = 21 helyet töltenénk ki). Az ételeket jelöljük a sorszámukkal (1,,6), 4- szer használnánk az 1-3 ételeket: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 Látjuk, hogy a 3. étel elhelyezésére már csak 2 lehetőség maradt. 7 étel viszont biztosan elegendő, mindegyiket 3-szor használva fel: 1 1 1 2 2 3 3 2 4 6 4 5 4 5 3 5 7 6 7 7 6 További megoldások is vannak. Megjegyzés: jól szemléltethető, illetve igazolható a megoldás 7 pontú teljes gráffal.
5. Egy körbe írható deltoid két oldalának aránya 1:2. Az átlók megrajzolásával keletkező négy derékszög szögfelezőinek a deltoid kerületén levő metszéspontjai legyenek rendre A,B,C,D. Határozzuk meg az ABCD négyszög és a deltoid területének arányát! (16 pont) Jelöljük x-szel a deltoid tompaszögnél lévő csúcsának és a trapéz (merthogy a zöld alakzat trapéz) távolságát. A kék színű és a kék-zöld színű (és a nem egyenlő szárú fekete-zöld színű) derékszögű háromszögek befogóinak aránya mindenütt 1:2. Ezt használjuk ki a továbbiakban. Ekkor a trapéz rövidebb alapjának fele: 2x, ami viszont egyenlő a deltoid átlói metszéspontjának és a trapéz rövidebb alapjának távolságával (a 45 o -os szög miatt itt egyenlőszárú derékszögű háromszög van). Így a deltoid fenti csúcsának és az átlók metszéspontjának távolsága: 3x. Ezért a deltoid rövidebb átlójának hossza 6x, a hosszabb átló alsó része 12x. Így a deltoid hosszabb átlója 15x. Területe ezért 90x 2. Hasonlóan a deltoid alsó részénél -> a trapéz hosszabb alapjának fele: 4x, magassága: 6x. Így a trapéz területe: 36x 2. Következésképpen a keresett arány: 36/90 = 2/5. x 2x 2x 6x 3y=12x y=4x y y 12x 2y