IX.3. ÁTLAGOS FELADATOK II. Tárgy, téma Algebra, statisztika. Előzmények A feladatsor jellemzői Az aritmetikai átlag fogalma, oszthatósági alapismeretek, prímszám fogalma, elsőfokú és elsőfokú törtes egyenletek megoldása. Cél Az aritmetikai átlag fogalmának mélyítése. A szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet Együttműködés + Emlékezés Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata + Felhasználási útmutató A feladatokat érdemes sorban megoldani, mert a feladatsorban fokozatosan nehezedő feladatok szerepelnek. Választhatunk a feladatokból otthoni munkát is. A feladatok többségében csak szám vagy egész szám szerepel, és a végén általában pozitív egész számokat kapunk eredményül. Érdemes a megbeszélések során arra is kitérni, hogy ha megengedünk a feladatban negatív számokat is szerepelni, akkor ez hogyan módosítja a probléma megoldását. A 4. b) feladattól kezdve a feladatsort inkább a tehetséges, érdeklődő diákoknak ajánljuk, mert a sikeres feladatmegoldáshoz szükséges készségek terén ezek meghaladják a tantervi igényeket. A szöveges feladatok a tanulók többségének nehézséget okoznak. Segítsük a diákokat az átlag fogalmának rugalmas használatában, azaz abban, hogy észrevegyék, nemcsak az adott számokból lehet kiszámolni az átlagukat, hanem az átlag és a darabszám alapján a számok összegét is meg tudjuk határozni. Ez a kulcsa sok feladatnak. Az eredményeket érdemes folyamatosan ellenőrizni, és az elakadó diákoknak azokhoz hasonló feladatokat adni, amely nehézséget okozott számukra, hogy folytathassák a felzárkózást a többiekhez. IX. Leíró statisztika IX.3. Átlagos feladatok II. 1.oldal/6
Ha tematikusan osztályozzuk a feladatokat, a következő csoportokat kapjuk: 1 6. a számok összege és darabszáma megadja az átlagot. 7. átlag és oszthatóság. 4. a), b), c) átlag fogalmának használata szöveges feladatban. 2. átlagok átlaga. Ha nehézségi fok szerint csoportosítjuk a feladatokat, akkor az alábbi felosztást kapjuk: minimumfeladatok: 1.; feladatok mindenkinek: 2., 3., 4. a); a legjobbaknak (is): 4. b), c), 5., 6., 7. IX. Leíró statisztika IX.3. Átlagos feladatok II. 2.oldal/6
ÁTLAGOS FELADATOK II. Feladat sor 1. a) Kati tizenhárom almát vett a piacon, átlagosan hat forintot fizetett egy darabért. Menynyit fizetett összesen az almákért? b) Nyolc barackért összesen 200 Ft-ot adtunk. Mennyit fizettünk átlagosan egy barackért? 2. a) Az üdítőskupakok belsejébe egy-egy számot nyomtatnak. Ha négy olyan kupakot összegyűjtünk, amelyekbe írt számok átlaga 7, akkor ezeket be lehet küldeni az üdítőitalt palackozó cégnek, és így nyereménysorsoláson veszünk részt. Sanyinak van két ilyen kupakja, a beleírt számok átlaga 5. Pistinek is van két kupakja, az azokban levő számok átlaga 9. Beküldhetik-e a nyereménysorolásra a négy kupakot? b) A gyártó cég a nagyobb haszon reményében hétre emeli a beküldhető kupakok számát és 14-re a számok átlagát. Pisti három kupakjában levő számok átlaga 6, Sanyi négy kupakjában levő számok átlaga 20. Beküldhetik-e ezt a hét kupakot? 3. Peti biológiából hét jegyet szerzett tavaly. Minden újabb jegye után kiszámolta, hogy hogyan áll biológiából, vagyis jegyeinek az (egy tizedesre kerekített) átlagát. Az átlagok, melyeket így kapott: 4,0 ; 4,5; 4,0; 4,0; 4,2; 3,8; 4,0. Milyen jegyeket szerzett az év során biológiából? 4. a) András az év elején kapott egy négyest történelemből, de az összes további jegyével folyamatosan javította az átlagát, ami az év végére pontosan 4,9 lett. Sorold fel András történelem jegyeit! b) Janka az év elején kapott angolból egy hármast, de az összes további jegyével folyamatosan javította az átlagát, ami az év végére pontosan 4,9 lett. Milyen jegyeket szerezhetett az év során, ha összesen harmincnál kevesebb osztályzatot kapott? c) Borinak fizikából nem volt hármasnál rosszabb jegye, de az átlaga az év végén 4,5 volt, így felelnie kellett, hogy el tudják dönteni, milyen osztályzatot kapjon. A feleletével éppen 4,6-ra javította az átlagát, így megkapta az ötöst. Hány jegye volt Borinak? Sorold fel Bori osztályzatait! IX. Leíró statisztika IX.3. Átlagos feladatok II. 3.oldal/6
5. Misi, a Langaléta Kosárlabda Klub centere a szezon eddigi 11 mérkőzésén átlagban 23 pontot dobott meccsenként. Ahhoz, hogy megkapja a legtöbb pontot szerző játékosnak járó vándorserleget, ezt az átlagot legalább 24 pontra kell feltornásznia. Legkevesebb hány pontot kell dobnia ehhez a mai szezonzáró mérkőzésén? 6. A Kutyaütő SC és a Kétballábas FC futballcsapatok összecsapásán a pályán levő Kutyaütők átlagéletkora 23 év volt, ami egy évvel több az éppen futballozó Kétballábasok átlagéletkoránál. A focimeccs 18. percében egy csúnya becsúszás után kiállították a Kutyaütők középcsatárát. Ekkor a két csapat pályán levő játékosainak átlagéletkora már egyenlő lett. Hány éves volt a kiállított játékos? (Egy focicsapatban egyszerre 11 játékos van a pályán.) 7. Az alábbi táblázatra sajnos három tintafolt került. Tudjuk, hogy a kilenc különböző prímszám átlaga páros szám. Milyen számok állnak a foltok alatt? 1. szám 2. szám 3. szám 4. szám 5. szám 6. szám 7. szám 8. szám 9. szám A kilenc szám átlaga 5 13 17 31 7 11 19 IX. Leíró statisztika IX.3. Átlagos feladatok II. 4.oldal/6
1. a) 6 13 = 78 Ft-ot fizetett összesen. b) 200 : 8 = 25 Ft volt az átlagos ár. MEGOLDÁSOK 2. a) (5 + 9) : 2 = 7, vagy másképpen: a négy szám összege 10 + 18 = 28, átlaguk 7. Tehát beküldhetik együtt. b) Most nem jó az első módszer, mert nem ugyanannyi szám van a két csoportban. A hét szám összege 3 6 + 4 20 = 98, így az átlag 98 : 7 = 14. Tehát most is beküldhetik. 3. 4, 5, 3, 4, 5, 2, 5. Az egyes átlagok kiszámítása előtt kapott jegyei összege az átlagból és a darabszámból meghatározhatók, és ebből kiszámítható, hogy az utolsóként kapott jegye hányas volt. 4. a) A négyes után csak ötösökkel javíthatta az átlagát. Ha még n db ötöst szerzett, akkor az 4 n 5 átlaga: 4, 9, az egyenletet megoldva n = 9. n 1 András jegyei: 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5. b) A hármas után csak négyeseket és ötösöket szerezhetett. Mivel elég magas az átlaga, így nézzük meg először azt az esetet, amikor csak ötösöket (n darabot) szerzett a hármas 3 n 5 után. Ekkor az átlaga: 4, 9. Az egyenletet megoldva n = 19. n 1 3 4 n 5 Ha szerzett egy négyest is, akkor az átlaga n darab ötös esetén: 4, 9, ahonnan n = 28, vagyis ekkor 30 jegye volt már, ami nem lehet. Ha több négyest szerez, ak- n 2 kor egyre több ötös kellene a 4,9-es átlag eléréséhez, ami kevesebb, mint 30 jeggyel nem lehetséges. Tehát Janka a 3-as után 19 db 5-öst szerzett. c) A feleletig k db jegye volt. A jegyek összege k 4,5. A felelettel javított, így biztos, hogy k 4,5 5 ötöst kapott. Vagyis az átlaga: 4, 6, ahonnan k = 4. Tehát az ötös felelet k 1 előtt négy jegye volt, melyek átlaga 4,5, vagyis az első négy jegy összege 4 4,5 = 18. Mivel nem volt hármasnál rosszabb jegye, így a jegyei lehettek: 3, 5, 5, 5 vagy 4, 4, 5, 5, ezekhez jött hozzá az ötös felelet. 5. 1. megoldás 11 23 x Ha x pontot dob, akkor az átlaga 24, ahonnan x 35. 12 2. megoldás Ha hozza a 23 pontot, akkor az átlaga 23 pont marad. Ahhoz, hogy 1 ponttal javítson az átlagán meccsenként egy-egy ponttal többet kellett volna dobnia, azaz összesen 12 ponttal többet, vagyis elég, ha 35 pontot dob az utolsó mérkőzésén (vagy ennél többet). IX. Leíró statisztika IX.3. Átlagos feladatok II. 5.oldal/6
6. A Kutyaütők összéletkora 11 23 = 253 év volt. Ha a kiállítás után a pályán maradt 10 játékos átlagéletkora 22 év lett, akkor az összéletkoruk 220 év, vagyis a kiállított középcsatár 33 éves. 7. Mivel a számok átlaga páros, így annak kilencszerese, azaz a prímek összege is páros. Kilenc páratlan szám összege nem lehet páros, így az egyik prím az egyik folt alatt biztosan a 2. Ekkor az eddig ismert nyolc szám összege 105. A számok összege 9-cel osztható kell legyen, hiszen az átlaguk egész szám, és mivel a 105 kilenccel osztva hatot ad maradékul, így a hiányzó prím kilences maradéka a három. Vagyis a hiányzó prím hárommal osztható. Ez csak a 3 lehet. A prímek összege 108, így az átlaguk 12. IX. Leíró statisztika IX.3. Átlagos feladatok II. 6.oldal/6