Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg ( pont) Osszuk le az egyenlet mindkét oldalát -mal! tg Innen k, k Z ( megoldás csak radiánban fogadható el a feladat megfogalmazása miatt!) Összesen: pont ) Tudjuk, hogy B, \ B és B 9. Mennyi és B, ahol és B az adott halmaz számosságát jelöli? ( pont) Jelöljük Venn-diagramon a halmazok számosságát! B ( pont) 9- Leolvashatjuk a megoldást: és B 7 ) Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezést! Összesen: pont ( pont) Belülről kifelé haladva, először az -t, majd az -et visszük be a gyök alá. gyök- és hatványazonosságokat használva, a gyökkitevőket összeszorozzuk, a hatványkitevőket pedig összeadjuk. 9 9 ( pont) 7 Egyszerűbb alakra hozva: 7 vagy Összesen: pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. ) Egy derékszögű trapéz középvonala 7 cm, rövidebbik szára pedig 5 cm. Mekkora a trapéz területe? ( pont) trapéz középvonala a c k 7 cm k egyenlő az alapok a; c számtani közepével - - derékszögű trapéz rövidebbik szára pedig egyenlő a magassággal. a c Ezek alapján T m 7 5 5 cm Összesen: pont 5) Oldd meg az alábbi egyenlőtlenséget! ( pont) z abszolút érték elhagyásával két esetet vizsgálunk: I. ha 0, akkor II. ha 0, akkor Tehát az egyenlőtlenség megoldása: vagy ( feladat grafikus módon is megoldható.) Összesen: pont ) Ha most éppen kedd délután 00 óra van, akkor mi lesz 755 perc múlva? ( pont) Meg kell nézni, hogy a 755 perc az hány nap, hány óra és hány perc! nap óra 0 perc 755 perc óra, 5 perc 5 nap, óra, 5 perc Tehát, a kérdéses időpont vasárnap óra 5 perc. Összesen: pont 7) Egy erdei sétány egyik oldalán fák sorakoznak, 5 méterenként található egy. z út másik oldalán kukákat helyezett el az önkormányzat méterenként. sétány elején pont egyvonalban található egy fa és egy kuka. Hány méter múlva ismétlődik meg újra, hogy egymás mellett áll egy fa és egy szemetes? ( pont) két szám legkisebb közös többszörösét keressük, ehhez prímtényezők szorzatára bontjuk őket: 5; 5 90 5 Legközelebb 90 m múlva lesz egymással szemben fa és szemetes. Összesen: pont
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. ) Zolinak háromszor annyi pénze van, mint Bence pénze felének a kétharmada. Melyik állítás igaz? ( pont) a) Zolinak több pénze van, mint Bencének. b) Ugyanannyi pénzük van. c) Bencének több pénze van, mint Zolinak. Jelöljük Bence pénzét b -vel, ekkor Zoli pénze: Tehát, a helyes válasz a b) állítás. b b b. Összesen: pont 9) Oldd meg az alábbi egyenletet! log log 5 0 ( pont) Kikötést kell tennünk a logaritmus numerusára: 0 logaritmus definíciója miatt log 5 Ismét a logaritmus definíciója miatt 5, ami megfelel a kikötésnek. Összesen: pont 0) Egy konve 77-szög összes átlóját meghúzzuk, majd közülük egyeseket pirosra színezünk. a) Hány átlót húztunk meg? b) Lehetséges-e, hogy a sokszög minden csúcsába pontosan piros átló fut be? Válaszodat indokold! n n a) Egy n oldalú konve sokszög átlóinak száma: 77 7 Tehát, 9 átló b) Nem lehetséges, hiszen egy gráfban a csúcsok fokszáma mindig páros, és 77 00, ami páratlan. Összesen: pont ) Mely a illetve b értékek mellett áll fenn az alábbi egyenlőség? ab a 0 ( pont) Ki tudjuk emelni a t b 0 a Egy szorzat csak akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0: a 0 vagy (tartalmazza az és kapcsolatot is) b 0, ahonnan b Összesen: pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. ) Hányféle lyukasztás állítható be a buszjegy-lyukasztón, ha a szerkezet legalább, legfeljebb számot lyukaszt ki a 9 közül? ( pont) Ismétlés nélküli kombinációról beszélünk, tehát 9 9 9 ( pont) Összesen: pont Maimális elérhető pontszám: 0 - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. II/. rész: z alábbi három példa megoldása kötelező volt! ) Egy vállalkozó három. üzlet. üzlet. üzlet fodrászüzletet üzemeltetett. nők 0 Felnőttek Fejlesztési terveihez pontos férfiak 9 7 lányok adatokra volt szüksége, ezért egy Gyerekek fiúk 0 héten keresztül felmérte az egyes üzletek forgalmát a vendégek kora és neme szerinti megoszlásban. z eredményt az alábbi táblázat mutatja: a) három üzlet teljes forgalmának hány százalékát teszik ki a nőnemű vendégek? ( pont) b) Szemléltesd oszlopdiagramon az egyes üzletek forgalmát nemek szerinti bontásban! ( pont) c) Számítsd ki az üzletek (összesített) átlagos forgalmát! (z eredményt egész számra kerekítve add meg!) ( pont) d) z. üzlet a hét egy napján, a. üzlet a hét három napján, a. üzlet a hét két napján műszaki okok miatt zárva tartott. Ezt tudva, melyik üzlet napi átlagos forgalma a legnagyobb? ( pont) a) Nőnemű vendégek összesen: 0 Összes vendég Táblázat sorainak összesítése 7 Fel tudjuk írni a keresett arányt 0, 59 5,9% 7 b). üzlet. üzlet. üzlet Férfiak és fiúk 9 0 9 7 0 Nők és lányok 50 0 50 ( pont) - 5 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. c) 7 5 Y 9 fő vállalkozó üzleteinek átlagos forgalma 9 fő. 7 d). üzlet átlagos forgalma napra oszlik meg: Y fő. üzlet átlagos forgalma napra oszlik meg: Y 5 fő 5. üzlet átlagos forgalma pedig 5 napra oszlik meg: Y 50 fő 5 második üzlet átlagos napi forgalma volt a legnagyobb. Összesen: pont ) mikor Béla hazaért az egyetemről, az asztalon a következő levelet találta: Kisfiam, légy szíves vegyél a pénzeden 5 db muskátli palántát, mert az itthon lévő 000 Ft nem volt rá elég. Ha hazajöttem megadom! 5 palánta X 5Y Ft. Csók: nyu. a) Mennyibe kerül egy muskátli palánta? ( pont) b) Ha véletlenszerűen kiválasztunk egy X 5Y alakú négyjegyű számot, mennyi a valószínűsége, hogy e szám osztható -gyel? ( pont) a) Egy szám akkor és csak akkor osztható 5-tel, ha 5-tel és 9-cel is osztható. Ha X 5 Y osztható 5-tel, akkor 0-ra vagy 5-re végződik. I. Ha Y 0, akkor a számjegyek összege 5 X. Ennek az összegnek 9- cel oszthatónak kell lennie, ami csak akkor teljesül, ha X. Ekkor tehát a keresett szám a 50, ami viszont nem lehetséges, mert ebben az esetben a 000 Ft elegendő lett volna a vásárláshoz. II. Ha Y 5, akkor a számjegyek összege 5 5 X és ez akkor lesz osztható 9-cel, ha X. Tehát, a keresett szám a 55, innen egy palánta ára: 55 9 Ft. 5 b) z X értéke 9-féle lehet (0 nem lehet), míg az Y értéke 0-féle (0 is lehet). Összesen tehát 90 db X 5 Y alakú négyjegyű szám van. Ezek közül azok és csak azok oszthatók -gyel, amelyek utolsó két jegyéből alkotott kétjegyű szám osztható -gyel. számban szereplő utolsó két jegy, tehát 5 vagy 5. ( pont) X-nek mindkét esetben 9 különböző értéke lehet, tehát az X 5 Y alakú négyjegyű számok között 9 db -gyel osztható van. keresett valószínűség tehát: 90 0,. - - Összesen: pont
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. 5) Tekintsük az c valós számokon értelmezett függvényt! Határozza meg c értékét úgy, hogy a) a függvény grafikonja érintse az tengelyt! ( pont) b) a függvény maimuma legyen! ( pont) c) az összes függvényérték pozitív legyen! ( pont) P ; pont rajta legyen a parabolán! ( pont) d) a a) Egy másodfokú függvény akkor érinti az -tengelyt, hogyha a diszkrimináns értéke 0. D b ac 0 c 0 Innen c b) lakítsuk át a parabola egyenletét teljes négyzetté, akkor látszanak a függvénytranszformációk: c c c c Mindig a zárójelen kívüli konstans tag mutatja meg a függvény y tengely menti eltolódását, vagyis a maimum értékét. c Tehát c. c) Mivel az együtthatója negatív a, így a parabola negatív állású, tehát f tart a -be. Tehát nincs megoldás, mivel c paramétertől függetlenül a függvénynek mindig van negatív függvényértéke. ( pont) d) Helyettesítsünk be a parabola egyenletébe a koordináták helyére! c c Összesen: pont Maimális elérhető pontszám: II/B. rész: z alábbi három példa közül kettőt kellett megoldani! ) Egy egyenlőszárú háromszögnek ismerjük egy csúcsának koordinátáit: ;. B csúcsa az e : y 0 és az f : y 0 egyenletű egyenesek metszéspontjában található, C csúcsa pedig az y egyenletű kör középpontja. a) Számítsd ki a háromszög B és C csúcsának koordinátáit, valamint írd fel a háromszög oldalainak egyenletét! (9 pont) b) Mekkora a háromszög területe? ( pont) c) dd meg a háromszög súlypontjának, valamint az B oldal -hoz közelebbi harmadolópontjának koordinátáit! ( pont) - 7 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. a) Ábra: B csúcs koordinátáit úgy kapjuk meg, hogyha az e és f egyenesek egyenletei által képzett egyenletrendszert megoldjuk: e : y 0 f : y 0 Vonjuk ki az e egyenes egyenletéből az f egyenes egyenletét! 5y 0 y 0 Tehát a háromszög B csúcsának koordinátái: ; C csúcs koordinátáit leolvashatjuk a kör egyenletéből 0; - - B ( pont) C Mivel mindhárom csúcspont koordinátái ismertek, ezért használjuk a két ponton y y y y átmenő egyenes egyenletét: B oldal y : y C oldal y 0 C : y BC oldal y 0 : B BC y b) Foglaljuk négyzetbe a háromszöget az ábrán látható módon! Így a négyzet területéből kivonva a derékszögű háromszög területét, megkapjuk BC háromszög területét! négyzet területe: T BDEF háromszögek területei: T BCD T CE T FB T egységnégyzet BC
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. - 9 - c) súlypont koordinátái az alábbi egyenletbe való behelyettesítéssel kaphatóak meg: ; C B C B y y y S Behelyettesítve ; 0 S 0; S -hoz közelebbi harmadolópont koordinátáit az alábbi képlet adja meg: ; B B y y H Behelyettesítve ; H 0 ; H Összesen: 7 pont 7) Egy állatmenhelyen 5 kutya és 0 macska van. Véletlenszerűen kiválasztunk közülük -at. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztottak között (z eredményeket normál alakban add meg!) a) csak kutyát találunk? ( pont) b) 5 kutyát és macskát találunk? ( pont) c) több kutyát találunk? (5 pont) d) legalább macskát találunk? (5 pont) Valószínűség eset összes kedvez ő eset P. z összes eset mindegyik részben 5, hiszen 5 állat közül választunk ki -at. a) 5 5 P 0,7 ( + pont) b) 5 0 5 5 P 0,5 ( + pont) c) kedvező esetekhez tartozik, amikor 5,,7, illetve kutyát választunk ki. 5 5 0 7 5 0 5 0 5 5 P 0,9 ( + pont) d) 5 0 7 0 5 0 5 P 0, ( + pont) ( + pont mindenhol a szöveges választ jelöli.) Összesen: 7 pont
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. ) Megtakarítási céllal, Kriszti 00 000 Ft-ot helyezett el a bankban. Ez a megtakarítás a második év végére 55 00 Ft értékre növekedett. a) Hány százalékos volt az éves kamat, ha az a két év során nem változott? ( pont) b) Hány százalékos volt a kamatláb a második évben, ha az egy százalékkal volt magasabb, mint az előző évben? (7 pont) c) Ha az infláció (a pénz értékének romlása) átlagos évi mértéke ebben a két évben % volt, akkor mennyit ért a 55 00 Ft két évvel korábban? ( pont) a) Legyen az éves kamat %. 00000 00,5% 5500 ( pont) ( pont) b) Legyen a második éves kamatláb %. 00000 5500 00 00 ( pont) 5% ( pont) c) Legyen a keresett érték forint. 0,9 5500 ( pont) 75 Ft Összesen: 7 pont Maimális elérhető pontszám: próbaérettségi során szerezhető maimális pontszám: 00-0 -