Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0.
Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány- és százalékszámítás............. 6.. Elemi függvények tulajdonságai, ábrázolásuk................ 8.4. Algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek................... 0.5. Gyökös, exponenciális, logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek.....6. Trigonometrikus azonosságok és egyenletek................. 5.7. Sorozatok; egyenletrendszerek........................ 7.8. Koordinátageometria..............................9. Síkidomok kerülete, területe; testek...................... Megoldások 6.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel............... 6.. A logaritmus fogalma; arány- és százalékszámítás............... Elemi függvények tulajdonságai, ábrázolásuk................ 5.4. Algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek................... 4.5. Gyökös, exponenciális, logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek.... 46.6. Trigonometrikus azonosságok és egyenletek................. 54.7. Sorozatok; egyenletrendszerek........................ 6.8. Koordinátageometria............................. 66.9. Síkidomok kerülete, területe; testek..................... 7. Nehezebb feladatok 77.. Feladatok................................... 77.. Megoldások.................................. 80
Bevezető A BME Matematika Intézet oktatóinak sokéves tapasztalata szerint a felsőfokú tanulmányok elkezdésekor azok a hallgatók küzdenek nagyobb nehézségekkel a matematikát igénylő tárgyakban, akik a középiskolai matematika lényegi részeiben nem eléggé járatosak. Ebben segít a Bevezető matematika tárgy. A tárgyi tartalom azon részeket emeli ki a középiskolai anyagból, amelyeket feltétlenül és nagy biztonsággal tudni és használni kell. Erre épülnek a további tanulmányok matematikából. Fontosnak tartjuk a fejben való számolást, azaz a kalkulátor használata nélkül is tudni kell egész számokkal, törtekkel műveleteket végezni. Alapvető azonosságokat, állításokat segédeszköz használata nélkül kívülről tudni kell, például másodfokú egyenlet megoldóképlete, elemi algebrai és trigonometriai azonosságok, gyökvonás, hatványozás, logaritmus azonosságai, Pitagorasz tétele, szinusztétel, koszinusztétel. Elemi függvények képét ismerni kell, a sorozatokra vonatkozó alapvető definíciókat tudni kell, egyenes és kör egyenletét stb. A példatárbeli feladatokat mindenféle segédeszköz nélkül célszerű megoldani. Az itt szereplő definíciók, összefüggések olyan alapvetőek a felsőfokú matematikában, mint az ábécé betűinek ismerete. Egy írott szöveg tartalmát nem fogja megérteni az, aki a betűket csak segédeszköz használatával ismeri fel. A matematika sikeres alkalmazásához a mérnöki és természettudományi tárgyakban a megértés nem elég, sok gyakorlásra és tárgyi tudásra is szükség van. Ajánlott irodalomként a középiskolai tankönyvek mellett ajánljuk a Thomas-féle Kalkulus. egyetemi tankönyvet.
. fejezet Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel Határozza meg az alábbi kifejezések értékét segédeszközök használata nélkül!.. Feladat [( ) ( )] + ( )( ).. Feladat.. Feladat 4{[( ) 5 + 4] + } + 0 7 [( ) ] (7 + ) 8 6 + 7 : ( )( ).4. Feladat 6 ( ) 5 ( ) 4 [ ( ) ].5. Feladat 6 4 5 4 5 + 60 8 04.6. Feladat.7. Feladat ( ) ( ) 6 ( ) : + 8 6 5 ( ) 4 5 5 : 7 55 6 4 ( ) 6 Írja fel prímhatványok szorzataként az alábbi kifejezéseket!.8. Feladat 4 4 8 8.9. Feladat 5 8 5 0 4 49 6 4 6 4 70
Számolja ki az alábbi kifejezések értékét segédeszköz használata nélkül!.0. Feladat 0 + 9 + 0.. Feladat,6 0,5 0 5 0.. Feladat.. Feladat.4. Feladat 60000 0,000005 0,009 + + + ( 6 + 55 6 ) 0 Rendezze növekvő sorrendbe az alábbi számokat!.5. Feladat A 0 ; B ln 5; C lg 00; D 7 8.6. Feladat A ; B 4 ; C 5 ; D 5 00 ; E 8; F 7.7. Feladat A sin 60 ; B tg 45 ; C cos 45 ; D ctg( 45 ); E cos 5.8. Feladat A ( ) ; B sin 7π ; C log.9. Feladat A 7 + 4 ; B 9 6 ; C 9 4 5; D 4 4 + Hozza a lehető legegyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket!.0. Feladat (a 5 5 ) ( a a5 5 ) 5 a a a : (a > 0) a ) n.. Feladat ( )n+ ( ( ) n n 64 + 6.. Feladat 9 n + + ( ) n+ 6 n + ( 6 ) n ( ) n ( ) n 4
.. Feladat.4. Feladat 6 n n+ 5 n + ( 5 ) n+ a b (a + b) (a b ) 6 (a b) 0 (a ±b).5. Feladat x 5 x x 8x + 6 5x x x 6 (5 + x)(4 + x) (x 0, ±4, ±5).6. Feladat x x + x x (x ±).7. Feladat x 4 x + 4 x + 4 x 4 +.8. Feladat.9. Feladat.0. Feladat.. Feladat ( x x ( c c + x x x x x c c 6 + 6x x 6 ) (x ±4) x + x x + 4 x 8c ) c 4 4 x x 6 (x > 0) x x x (x > 0) c c 4c (x 0, ±) (x 0, ±, 4).. Feladat x x x (x > 0).. Feladat 4 x x x x x (x > 0) 5
.. A logaritmus fogalma; arány- és százalékszámítás Rendezze növekvő sorrendbe az alábbi kifejezéseket segédeszköz használata nélkül!.. Feladat A lg 000; B log 0,5; C log ; D ln e 4.. Feladat A ( ) log 5 ; B 0,5 log ; C log 9.. Feladat A log 0 ; B ( ) log 5 ; C 8 log 6.4. Feladat A (lg, + lg,5 lg 0,9) ; B ( ln 5 ) ; C ( log 8 ) log 6.5. Feladat Fejezze ki A-t az következő kifejezésből: q lg A lg C. lg 5.6. Feladat Fejezze ki q-t az következő kifejezésből: p 5 q 0. Számolja ki az alábbi kifejezések értékét segédeszköz használata nélkül!.7. Feladat ( ) lg 9 0 5 log 5 0 + 0.8. Feladat 49 log 7 5 log 5 4 + sin 4π ( ).9. Feladat (sin 60 ) 8 + 0 + log + 7 0 49.0. Feladat ( cos 0 ) 8 + 5000000 0,00000 + 0,5 log 6 5.. Feladat 0,04 + 00 lg 5 8 4.. Feladat +log 9 4 log 5 + 0 lg.. Feladat Egy kocka éleit cm-rel növeljük, így a térfogat értéke az eredeti felszín értékének 7 6 -ával nő. Mekkora volt a kocka éle? 6
.4. Feladat A ló hónap alatt eszik meg egy kocsi szénát, a kecske hónap alatt, a juh hónap alatt. Hány hónap alatt eszik meg egy kocsi szénát a ló, a kecske és a juh együtt?.5. Feladat 80000 Ft-ot beteszünk a bankba 0%-os évi kamat mellett. Mennyi pénzünk lesz 5 év múlva?.6. Feladat Egy csoport 40 hallgatójának 0%-a kék szemű és 40%-a szőke. Tudjuk, hogy a kék szemű hallgatók -e szőke. Hány olyan hallgató van, aki se nem szőke, se 4 nem kék szemű?.7. Feladat Két betét, amelyek közül az első kétszer akkora, mint a második, évente 65 eurót kamatozik. A kamatláb a nagyobb, illetve a kisebb betétre 4%, illetve, 5%. Mekkora volt a két betét értéke?.8. Feladat Egy 50 cm sugarú kör sugarát 0 cm-rel csökkentjük. Hány százalékkal csökken a területe?.9. Feladat Legyen f(x) x +, x > 0. Hány százalékkal változik az f függvény x + értéke, ha az x értékét. %-kal növeljük;. %-kal csökkentjük?.0. Feladat Legyen f(x) x + x +, x > 0. Hány százalékkal kell növelni, illetve csökkenteni az x értékét, ha azt szeretnénk, hogy az f függvény értéke. %-kal nőjön;.,5%-kal csökkenjen?.. Feladat Egy gép értéke évente 0%-kal csökken. Két év használat után a gépet akkori értékének -éért eladták. Az eredeti értékének hány százalékáért jutott az új tulajdonos a 4 géphez?.. Feladat Fényszűrő lemezeket raknak egymás mögé. Az első elnyeli a ráeső fényenergia 0%-át, a második a ráeső fényenergia 50%-át, a harmadik pedig a ráeső energia 0%-át. A három lemez együttesen az eredeti fénysugár energiájának hány százalékát nyeli el? 7
.. Feladat Egy üzem kétféle minőségű terméket gyárt. Az I. osztályú termék gyártásából származik a bevétel 80%-a. Hogyan változik az üzem bevétele, ha az I. osztályú termék termelését 0%-kal növelik, a II. osztályú termék termelését 0%-kal csökkentik?.4. Feladat Egy kabát árát 0%-kal csökkentették. Hány százalékkal kell emelni ennek a kabátnak az új árát, hogy újra az eredeti árat kapjuk?.5. Feladat Egy fenyőerdő faállománya jelenleg 8000 fa. Minden évben kivágják az állomány 0%-át, de ültetnek 800 új fát is. Feltéve, hogy az állomány egyéb okból nem változik, hány fából állt a faállomány két évvel ezelőtt?.6. Feladat Lola, az elefánt, ha nagyon szomjas, akkor testtömegének 84%-a víz. Itatás után 600 kg-ot nyom, és ekkor testtömegének 85%-a víz. Hány kg-os Lola, amikor nagyon szomjas?.. Elemi függvények tulajdonságai, ábrázolásuk.. Feladat Rajzolja fel az f(x) x függvény képét! Milyen x esetén lesz x + 5 f(x) > 0? Hol metszi az f függvény az y tengelyt? Adja meg f() + f( ) értékét!.. Feladat Rajzolja fel az f(x) x és g(x) x függvények képeit! Adja meg f(a + ) f(a ) és g(a + ) g(a ) értékeit! Határozza meg az f(g(x)) és a g(f(x)) függvényeket!.. Feladat Rajzolja fel az f(x) sin x, g(x) sin x és h(x) x π függvények képeit! Ezek közül melyik függvény lesz szigorúan monoton növő a ] 0; π [ nyílt intervallumon? Adja meg az alábbi függvények zérushelyeit és értelmezési tartományát!.4. Feladat f(x) x(x ) (x ) x (x ) 4.5. Feladat f(x) 4(x ) x x x (x ) x 6.6. Feladat f(x) x(x 4) + (x 4) x x (x 4) 4.7. Feladat f(x) x (x ) (x + ) (x 9x)(x ) (x ) 4 (x + ) 8
.8. Feladat Legyen f(x) ln x és g(x) x +. Mivel egyenlő f(g(x)), f(g(0)), g(f(x)) és g(f())?.9. Feladat Legyen f(x) e x és g(x) sin x. Mivel egyenlő f(g(x)), f(g(0)), g(f(x)) és g(f(0))? Ábrázolja az alábbi függvényeket, adja meg az inverzüket, és ezt is ábrázolja!.0. Feladat f(x) 4 x +, x >.. Feladat g(x) x +.. Feladat h(x) ln x +, x > 0.. Feladat l(x) x +, x.4. Feladat Ábrázolja az alábbi függvényt! Mivel egyenlő f() és f( )? { 5 x, ha x f(x) e x, ha x <.5. Feladat Ábrázolja az alábbi függvényt! Adja meg a g függvény minimális és maximális értékét a [, ] intervallumon!, ha x > g(x) x x, ha x.6. Feladat Ábrázolja az alábbi függvényt! Adja meg a h függvény lokális minimumés maximumhelyeit a [, 5] intervallumon! { x x, ha x h(x) (x )(4 x), ha x > Határozza meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és zérushelyeit!.7. Feladat f(x) x.8. Feladat f(x) 5 x + (.9. Feladat f(x) ln x ) x.0. Feladat f(x) lg (5 x ).. Feladat f(x) lg ( + x x ).. Feladat f(x) + log x.. Feladat Legyen f(x) ax 7 + bx + cx 5, (a, b, c R). Mennyivel egyenlő f(7), ha f( 7) 7? 9
.4. Algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!.. Feladat x + x 9.. Feladat x x.. Feladat x + 7 x 8 0.4. Feladat x + x + x 0.5. Feladat 6 x x + 6.6. Feladat (x + ) + (x 4) 0 Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!.7. Feladat x < 4.8. Feladat x 8x + 6.9. Feladat x 5 > 4.0. Feladat x x Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! ( ) ( ) 4.. Feladat + x + x 6 x + + 0.. Feladat x 4 + 5x 6x 0.. Feladat x + x 4 + x 6 7x + 6 x + 4 x 4.4. Feladat 7x,5,5x x + 4 x +.5. Feladat x 5x + 6 x 7x + 0.6. Feladat x x + x + x x + x 4 0
.7. Feladat 4x 4 x 0 Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!.8. Feladat x x.9. Feladat x x > x + 4.0. Feladat x 5x + 6 x 5x 6 0.. Feladat x x < x x +.. Feladat Határozza meg a b és c paraméterek értékét, ha tudjuk, hogy minden x valós számra (x + )(x + b) x + cx + 6. ( ) (.. Feladat Melyik az a másodfokú egyenlet, amelynek két gyöke és )? Adja meg az alábbi egyenletek megoldásait az a paraméter függvényében!.4. Feladat (ax ) + (x a) x + a.5. Feladat (ax + ) + (ax + )(ax ) 4.6. Feladat ( a)x + x + a 0.7. Feladat Legyen x és x az x + px + q 0 egyenlet két valós gyöke. együtthatók segítségével az alábbi kifejezéseket: Írja fel az. x + x x + x. (x + x ). x + x 4. (x x ) 5. x + x.8. Feladat Legyen x és x a p x +x+(p+) 0 egyenlet két valós gyöke. Hogyan válasszuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy a a gyökök szorzatára x x > teljesüljön?
.9. Feladat Milyen k valós szám esetén van az x kx + ( k) 0 egyenletnek két azonos megoldása?.0. Feladat Milyen k valós szám esetén van az x (k + )x + 4 0 egyenletnek két különböző valós megoldása?.. Feladat Milyen k valós szám esetén nincs valós megoldása az x +kx (k 5) 0 egyenletnek?.. Feladat Az y ax + bx + c egyenletű parabola csúcspontja M(, ), a parabola és az x tengely egyik metszéspontja. Határozza meg a, b, c értékét!.. Feladat Határozza meg az f(x) x + x + 5 függvény legnagyobb értékét!.4. Feladat Határozza meg az f(x) x 5x + függvény legkisebb értékét!.5. Gyökös, exponenciális, logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek Oldja meg az alábbi egyenleteket, egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!.. Feladat 5x x + 0.. Feladat x + + x 0.. Feladat 0 x x 0.4. Feladat 4x 7 x.5. Feladat x x 0 x 0.6. Feladat x x + 7.7. Feladat x 4 + x x + 4.8. Feladat x + x 8 x 0.9. Feladat 9 5x x + 6 x
.0. Feladat x + + x + x + x.. Feladat x + 6 4 x + + x + 6 x +.. Feladat (x + ) x x + 0.. Feladat 4x + 7 > x + Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!.4. Feladat x+ +x.5. Feladat x + x + x+ 9.6. Feladat x + 8 x+ + x+ x + x+ + x+.7. Feladat ( ) x+ ( ) x+9 x x+ 4.8. Feladat x +x 9 x x+.9. Feladat ( ) ( ) x 5 8 4 5 ( ) x 5.0. Feladat x+4.. Feladat 5 x 5 x + 4 5.. Feladat + 4x 4 x 7 x+ ( ) 8 x x 6 x+ 64.. Feladat 4 x 4 x+ x+ x Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!.4. Feladat 9 x + 8 x+ > x 5.5. Feladat 4 x <.6. Feladat ( ) 0 x 49 7 4
.7. Feladat ( ) x x 7 > 7 Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán!.8. Feladat lg(x 0) lg 5.9. Feladat log 7(x + 4) log 7 (x + ).0. Feladat lg x 5 + lg x + lg 0.. Feladat log [(x 4)(x + )] log (5x + 4).. Feladat log 8 (x + 8) log 8 (4x + 4).. Feladat lg x x lg x lg 5.4. Feladat ln(x + x ) ln x x + ( ).5. Feladat lg + lg(x + ) lg x +.6. Feladat log x (x + x 7).7. Feladat log x+ (x + ).8. Feladat log (log (log 4 x)) 0.9. Feladat log (log 4 6 (log x)) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán!.40. Feladat log (x x) < 0.4. Feladat log 4 (5 6x).4. Feladat log (x 4) > log 8.4. Feladat log (x + x ) < 4
.6. Trigonometrikus azonosságok és egyenletek.. Feladat Töltse ki az alábbi táblázatot segédeszköz használata nélkül! sin ϕ cos ϕ tg ϕ 0 0 45 60 90 5 80 0 40 70 00 5.. Feladat Számítsa ki a hiányzó értékeket a ϕ meghatározása nélkül! sin ϕ cos ϕ tg ϕ 4 5 8 7 5 6 65 0.. Feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket segédeszköz használata nélkül! sin ϕ ; sin ϕ ; sin ϕ ; sin ϕ cos ϕ 0; cos ϕ ; cos ϕ ; cos ϕ tg ϕ 0; tg ϕ ; tg ϕ ; tg ϕ ctg ϕ ; ctg ϕ ; ctg ϕ ; ctg ϕ 0.4. Feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket segédeszköz használata nélkül! sin ϕ ; cos ϕ ; tg ϕ sin ϕ ctg ϕ; sin ϕ ctg ϕ; cos ϕ tg ϕ.5. Feladat Fejezze ki minden ϕ ] 0, 90 [ esetén sin ϕ-t és cos ϕ-t tg ϕ segítségével; tg ϕ-t sin ϕ segítségével és tg ϕ-t cos ϕ segítségével! 5
.6. Feladat Fejezze ki cos ϕ segítségével sin ϕ-t és cos ϕ-t; t tg ϕ segítségével sin ϕ-t és cos ϕ-t!.7. Feladat Adja meg az α forgásszöget segédeszköz használata nélkül, ha cos α, sin α cos α, sin α tg α és α a harmadik síknegyedben van. Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!.8. Feladat sin ϕ(tg ϕ + ctg ϕ) + cos ϕ(tg ϕ + ctg ϕ).9. Feladat (sin ϕ cos ϕ)( + sin ϕ cos ϕ) + (sin ϕ + cos ϕ)( sin ϕ cos ϕ) Számítsa ki a következő kifejezésk értékét!.0. Feladat tg π 4 + 5 sin( 7π).. Feladat log π [ ( cos π + sin π ) ] sin 4π Oldja meg az egyenleteket a megadott intervallumon!.. Feladat 8 cos x + 7 cos x 5 sin x + 7, x [0, π] 4.. Feladat tg x + tg x + ctg x + ctg x 4, x ] 0, π 4 ].4. Feladat cos x cos x 0, x [0, π] Oldja meg az alábbi egyenleteket!.5. Feladat sin x + cos x cos x + sin x.6. Feladat cos x sin x + 6
.7. Feladat 4 cos x + 8 sin x + 0.8. Feladat cos x + sin x cos x.9. Feladat cos x ctg x tg x 4 sin x + sin x + sin x cos x.0. Feladat ( cos x) + ( + sin x).. Feladat sin x cos x sin x cos x.. Feladat cos x + cos(π x) 0 Számítsa ki az alábbi kifejezések értékét segédeszköz használata nélkül!.. Feladat cos 5 sin 5.4. Feladat sin 0 cos 5 + cos 0 sin 5.5. Feladat cos 0 cos 0 sin 0 sin 0.6. Feladat cos 5 sin 5.7. Feladat sin 70 sin 40 + cos 0.8. Feladat cos,5.7. Sorozatok; egyenletrendszerek.. Feladat Legyen az (a n ) számtani sorozat, melyben a 5 7 és a 7 0. Határozza meg a sorozat első tagját, differenciáját, és a sorozat első nyolc tagjának összegét... Feladat Egy derékszögű háromszög oldalai egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A háromszög területe 50 cm. Mekkorák az oldalak?.. Feladat Legyen az (a n ) számtani sorozat, melyben d 0,5, S n 8 és S n+4 69. Mennyi a és n?.4. Feladat Legyen (a n ) számtani sorozat, melyben a +a +a és a a a 80. Határozza meg a sorozat első három tagját! 7
.5. Feladat Legyen (a n ) mértani sorozat, melyben a +a +a 9 és a a a 79. Határozza meg a sorozat első három tagját!.6. Feladat Legyen (a n ) mértani sorozat.. a, a 6. S 0?. a, a 9 4. S?. a 4 a a + a + a 4 6. a?, q?.7. Feladat Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 5. Az első, második és ötödik egy mértani sorozat szomszédos tagjai. Határozza meg, hogy mennyi az a, a d és a q!.8. Feladat Egy számtani sorozat első három tagjának összege. Ha az elsőhöz 6-ot, a másodikhoz -at és a harmadikhoz 0-at adunk, akkor egy mértani sorozat egymás utáni tagjait kapjuk. Mi a számtani sorozat?.9. Feladat Egy mértani sorozat első három tagjának összege 6. Ha az első taghoz -at adunk, a harmadikból 0-at kivonunk, akkor egy számtani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Mi a mértani sorozat?.0. Feladat Egy számtani sorozat. tagja, valamint az első n tagjának összege is 0. A sorozat első (n ) darab tagjának az összege 495. Adja meg a sorozat első n tagjának összegét!.. Feladat Egy (a n ) számtani sorozatban a. Az a, a, a 4 ebben a sorrendben egy mértani sorozat első három tagja. Adja meg a mértani sorozat első 0 tagjának összegét! Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket a valós számpárok halmazán!.. Feladat.. Feladat x + xy 0 y + xy xy + x + y 9 xy x y 8
.4. Feladat (x + y) 6 x y.5. Feladat x 6xy + 9y 5 x + y 9.6. Feladat.7. Feladat.8. Feladat.9. Feladat x + 4 y 9 x y x + y 4 x + y 0 x y x y x y + 5 x y 5 6 x 5 + y 4 x 5 + y +.0. Feladat 6x x + y + y x 44 x + y 6x 5 9
.. Feladat x + 4 y 7 x 4 y 576.. Feladat x 4 x + y 4 0 5 x y 7.. Feladat x + y 4 y x 7.4. Feladat log x log 4 y 77 log x log 6 y 7.5. Feladat log (xy) 5 ( ) x log y.6. Feladat 8 x+ 4y 5 5 x y 5 y+.7. Feladat y 9 x 8 lg(x + y) lg x lg.8. Feladat x+y 5 x y 8 5 x y 4 x y 0
.8. Koordinátageometria.. Feladat Legyenek a (, ), b (, ) és c (5, ). Adja meg a következő vektorokat: a + b + c; (a b); (a + b)c; (a b)(b + c); a b... Feladat Legyenek a (, 5), b ( 0, ) és c ( 6, ).. Bontsa fel a c vektort a-val és b-vel párhuzamos összetevőkre!. Bontsa fel a b vektort c-vel párhuzamos és c-re merőleges összetevőkre!. Adjon meg (a + b)-re merőleges egységnyi hosszúságú vektort!.. Feladat Legyen a (4, ) és b (, ). Mennyi az ab skaláris szorzat? Mekkora az a és b által bezárt szög?.4. Feladat Adja meg a p paraméter összes olyan értékét, amelyre az a (6, 5) és b (p, ) vektorok párhuzamosak; merőlegesek; illetve hegyesszöget zárnak be egymással!.5. Feladat Adott három pont: A(, 0), B( 5, 4), C(, ). Mekkorák az ABC háromszög szögei? Adja meg az összes lehetséges D(x, y) pontot úgy, hogy a pontok egy paralelogramma csúcspontjai legyenek!.6. Feladat Adott két pont: A(, 6) és B(, ). Adja meg. az A és B távolságát!. az AB szakasz felezőpontjának és harmadolópontjainak koordinátáit!. az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét! 4. az A, B pontokon átmenő egyenes egyenletét és az egyenes meredekségét! 5. annak a körnek az egyenletét, amelynek az AB szakasz egy átmérője!.7. Feladat Adott két pont: C(, ) és D(, ). Adja meg azt a pontot, amely C-től és D-től is egység távolságra van!.8. Feladat Az x, illetve az y tengely melyik pontja van egyenlő távolságra az A(, 7) és B(6, ) pontoktól?.9. Feladat Mennyi az A(, ), B(, 4) és C( 7, 9) csúcspontú háromszög súlypontjának az origótól vett távolsága?.0. Feladat Adott két egyenes: g : 5x 4y 4, h : x y és a P (5, ) pont. Adja meg
. a két egyenes metszéspontjának a P -től való távolságát.. azon egyenes egyenletét, amely átmegy a P -n és a két egyenes metszéspontján.. azon egyenes egyenletét, amely átmegy a P -n és párhuzamos g-vel. 4. azon egyenes egyenletét, amely átmegy a P -n és és merőleges h-ra. 5. a P pont és a h egyenes távolságát!.. Feladat Határozza meg a P (, 5) pontnak az y x + 9 egyenletű egyenesre vonatkozó tükörképét!.. Feladat A C(, ) középpontú kör átmegy a P (, ) ponton. Mekkora a kör sugara? Adja meg a kör egyenletét!.. Feladat A paraméterek mely értékeire lesz köregyenlet?. x + y + 4x + 0y + a 0. 4x + Ay x + 4y + Bxy + C 0.4. Feladat Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely átmegy a P (8, ) ponton, és érinti a koordinátatengelyeket!.5. Feladat Írja fel annak a körnek az egyenletét, amely érinti a koordinátatengelyeket és a x + 4y egyenletű egyenest!.6. Feladat Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely merőleges a x 5y 7 egyenletű egyenesre, és átmegy az x + 8x + y 6y 0 egyenletű kör középpontján!.7. Feladat Írja fel az x +y 4x 6y 0 egyenletű kör 5 abszcisszájü pontjaiba húzott érintőinek egyenletét!.8. Feladat Az x + y 8x + 6y 66 0 egyenletű körhöz a P (5, 5) pontból érintőket húzunk. Mik az érintők egyenletei?.9. Feladat Írja fel az A(0, 9), B(5, 0) és C( 7, ) pontokon áthaladó kör egyenletét!.0. Feladat Milyen hosszú az x +y +6x 6y+4 0 egyenletű kör azon legrövidebb húrja, amely a P (, 4) ponton átmegy?.. Feladat Egy paralelogramma két oldalegyenesének egyenlete: x + y és 5x y 0, egy csúcspontja pedig P ( 7, ). Adja meg a többi csúcs koordinátáit!.. Feladat Adottak az A(, 4), B(5, ) és C(, ) pontok. Írja fel az ABC háromszög magasságvonalainak egyenletét!.. Feladat Adottak az A(5, ), B(, 5) és C(6, ) pontok. Határozza meg az ABC hármszög A csúcsból induló súlyvonalának az origótól való távolságát!
.9. Síkidomok kerülete, területe; testek.. Feladat Mekkora a satírozott rész területe, ha a P, Q, R, S pontok az egységnyi oldalú négyzet oldalfelező pontjai?.. Feladat Mekkora az ábrán látható körlemez sugara, ha a négyzet oldala egységnyi hosszú?.. Feladat Mekkora az ábrán látható körlemez sugara, ha a négyzet oldala egységnyi hosszú?
.4. Feladat Egy egységnyi területű egyenlő szárú háromszög szárszöge 0. Mekkora a háromszög szára és alapja?.5. Feladat Mekkora az a oldalú szabályos háromszög magassága és területe?.6. Feladat Egy szabályos háromszög magassága m. Mekkora az oldala és a területe?.7. Feladat Egy szabályos hatszög két párhuzamos oldalának távolsága 6 egység. Hány egység hosszú a hatszög oldala? Mekkora a hatszög területe?.8. Feladat Egy szabályos háromszög köré írható kör sugara egység. Mekkora a háromszög beírt körének sugara? Mekkora a háromszög oldala és területe?.9. Feladat Egy körbe és a kör köré is egy-egy szabályos háromszöget írunk. Mennyi a két háromszög területének aránya?.0. Feladat Egy háromszöget egyik középvonala mentén kettévágunk. Milyen területarányú részek keletkeznek?.. Feladat Három r sugarú, egymást érintő kör köré írjunk mindhárom kört érintő kört. Mekkora a három kört magában foglaló kör sugara?.. Feladat Egy derékszögű háromszög átfogója 4 cm, területe 80 cm. Mekkorák a befogók?.. Feladat Egy téglalap oldalai AB 9 cm, BC cm. Az AB oldalnak melyik P pontja van A-tól és C-től egyenlő távolságra?.4. Feladat Egy téglalap egyik oldala cm. A téglalap átlójának mérőszáma megegyezik területének mérőszámával. Bizonyítsa be, hogy a téglalap átlója az egyik oldallal 0 -os szöget zár be..5. Feladat Egy téglalap kerülete 68 cm, átlója 6 cm. Hány cm a területe?.6. Feladat Az egységnyi területű rombusz egyik szöge 50. Mekkorák a rombusz oldalai és átlói?.7. Feladat Mekkorák a szimmetrikus trapéz alapjai, ha középvonala 45 mm, szára 4 mm, magassága 9 mm?.8. Feladat Két szabályos tetraéder felszínének aránya :. Mekkora a térfogatuk aránya? 4
.9. Feladat Egy kúp alakú dl-es poharat fél dl folyadék magasságának hányadrészéig tölt meg?.0. Feladat Egy kocka lapátlójának hossza 6. Milyen hosszú a kocka testátlója?.. Feladat Milyen messze van az a élű kocka testátlója egy rá nem illeszkedő csúcstól?.. Feladat Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle dm, magassága 6 dm. Mekkora annak a kockának az éle, amelynek négy csúcsa a gúla alapján, másik négy csúcsa pedig a gúla oldalélein van?.. Feladat Egy forgáskúp alapkörének sugara cm, alkotója 0 cm. A kúpba azzal közös tengelyű, egyenlő oldalú hengert írunk. Mekkora a henger térfogata? (Az egyenlő oldalú henger tengelymetszete négyzet.).4. Feladat Mekkora a gömb térfogata, ha a gömbbe írt egyenes körkúp alapkörének sugara cm, alkotója pedig cm?.5. Feladat Egy félgömbbe kockát helyezünk el úgy, hogy a kocka négy csúcsa határkörének síkjába, négy csúcsa pedig a félgömbbe essék. Mekkora a félgömb sugara, ha a kocka éle a?.6. Feladat Mekkora az a élű szabályos tetraéder két kitérő élének távolsága?.7. Feladat Mekkora az a élű szabályos tetraéder térfogata?.8. Feladat Állítsunk vízszintes síkon álló, három egymást érintő R sugarú gömbre egy ugyancsak R sugarú negyediket. Mekkora a négy gömbből álló test magassága? 5
. fejezet Megoldások.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel.. Megoldás.. Megoldás [( ) ( )] + ( )( ) + 6 9 4{[( ) 5 + 4] + } + 0 7 4[( ) + ] + 0 7 4 + 0 7.. Megoldás [( ) ] [( ) ] (7 + ) 8 6 7 8 + 7 : ( )( ) + 7 : ( ) [ ] 9 : ( ) 4..4 Megoldás 6 ( ) 5 ( ) 4 6 ( ) 5 6 4 6 6 4 4 6 6 6 4..5 Megoldás [ ( ) ] 6 4 5 4 5 + 60 8 04 ( 5) 8 [ ( 4 4 5 + ) 0 5 8 ] [ ( 608 6 4 5 + 4 0 ) ] 5 6 8 5 8 4 4 5 + ( ) 8 + 8 4 6
..6 Megoldás ( 6 ( 5 6 6 ) ( 6 : 5 ) + ( ) ( ) ( + 8 6) ) ( 6..7 Megoldás ( ) 4 5 5 : 7 55 6 ( 4 8 5 5 4 ( ) 6 4..8 Megoldás 5 ( 5 6 ) + ( 8 ) + 6 5 + 4 6 5 + 4 6 5 ) 6 7 5 6 6 ) ( ) 5 5 4 4 4 8 8 ( ) ( 7) ( ) ( 7) ( ) ( 6 ) ( 7 ) ( 4 ) ( 7) ( 6 ) 8 7 4..9 Megoldás 5 8 5 0 4 49 5 ( ) 5 ( 5) 4 7 6 4 6 4 70 ( 4 ) 4 ( ) 4 ( 5 7) 5 5 8 5 4 7 6 4 4 5 7 5 5 4 7 4 5 7 5..0 Megoldás.. Megoldás.. Megoldás.. Megoldás 0 + 0 ( + ) 9 + 0 9 ( + ),6 0,5 0 5 60000 0,000005 0,009 ( ) 0 0,8 0,5 0 5 0 4 + + + 6 04 5 0 7 9 0 4 5 0 0 00 ( ) + ( + ) 4 4 ( ) + ( + ) + 7
..4 Megoldás ( 6 + 55 6 ( ( ) ) ( ) 0) 5 + 5 ( ) ( 5 + 5 ( 5 + ) ( ) ( 5) 5) 0..5 Megoldás B < ln e ; C lg 0 A < D < B < C..6 Megoldás B 4 ; C 5; D 0 ; E ; F D < B < A < E < F < C..7 Megoldás A ; B ; C D < E < C < A < B ; D ; E ; (..8 Megoldás A ; B sin π + π ) sin π ; C log C < B < A..9 Megoldás A ( + ) + + < A < 4 B ( ) < B < C ( 5) 5 5 0 < C < D ( ) ( + ) + ( ) ( + ) A sorrend: D < C < B < A...0 Megoldás (a 5 5 ) ( a a5 5 ) a : a 5 a 5 a a 5 a 5 a 6 5 a 5 a 5 a a 6 5 a a a a 5 a 5 a 5 a 5 a a 5 a 5 8
.. Megoldás ) n ( ) n+ ( ( ) n n 64 + 6 ( )n+ n+ n ( )n+ ( )n+ 4 n + 4 n 4 n 4 n.. Megoldás 9 n + + ( ) n+ 6 n + ( 6 ) n ( ) n ( ) n.. Megoldás..4 Megoldás..5 Megoldás..6 Megoldás x x + x x..7 Megoldás a b (a + b) a b (a + b) 9 n + n 6 n + ( 6 ) n ( 6 ) n 6 n n+ 5 n + ( 5 ) n+ 4n 8 4n 5 n + 5 5 7 n 6 (a b ) 6 (a b) 0 a b (a + b) (a + b) 6 (a b) 4 a b x x 8x + 6 x (5 x)(5 + x) (x 4) x(5 x) n 6 n 6 n n n 6 n ( ) n 4 5 (a b) 6 (a + b) 6 (a b) 0 (a + b) (a + b) a + b (a b) a b 5 x 5x x x 6 (5 + x)(4 + x) (x 4)(x + 4) (5 + x)(4 + x) x x 4 x x x x + x x x + x ( x)( + x) x + x ( + x) x x 4 x + 4 x + 4 x 4 + 6x x 6 (x 4) (x + 4) + 6x (x + 4)(x 4) x 6 (x 8x + 6) (x + 8x + 6) + 6x 6x + 6x 0 x 6 x 6 9
..8 Megoldás ( x x x ) x + x x x + 4 x ( ) x(x ) + x x(x + ) (x )(x + ) (x )(x + x + ) + 4 x x + + x x(x )(x + ) x(x + ) (x )(x + x + ) + 4 x x x + 4 x 4 + 4x 4 (x )..9 Megoldás ( c 4x (x ) c + c c 6 + 8c ) c c 4 c 4c ( ) c + (c ) + 4 c (c )(c + ) (c ) (c + ) + (c )(c + ) (c ) c 4 c c(c 4) c + 4 (c + ) c 4 4 (c 4)..0 Megoldás x x 4 x x 6 x x 4 x 6 x 4 x x 6 x.. Megoldás x x x x x 4 x x 6 6 x.. Megoldás x x x x x 6 x x x x x x.. Megoldás 4 x x x x x x 4 x x 4 x x 4 x 4 x 4 0 0
.. A logaritmus fogalma; arány- és százalékszámítás.. Megoldás A lg 0 ; B log ; C log ; D ln e 4 4 D < B < C < A.. Megoldás.. Megoldás..4 Megoldás ( ( ) ) 4 log 5 A ) log ( ) 4 log 5 ( ) log 5 4 5 4 65 ( B ( ) log log log 4 9 ( ( ) ) log ( ) log ( ) log C A < B < C A 9 log 0 0 ( ) B ( ) log 5 log 5 log 4 4 0 5 5 0 0 C ( ) log 6 ( ) log 6 ( ) A < B < C,,5 5 A lg lg 0,9 90 B ln 5 ln e ln 5 C log log A < B < C log 6 4 6 4,5 lg 4 5 9 0 5,5 0 lg 5 > ln > ln > lg e 9 ( ) 4 ( 4)
..5 Megoldás q lg A lg C lg 5..6 Megoldás..7 Megoldás 5 log 5 0 + ( 0 0 q lg 5 lg A lg C lg 5 q lg A C 5q A C A C 5q p 5 q 0 p lg + q lg 5 q p lg lg 5 ) lg 9 5 + 0 lg 0 00 + 0 6 5 ( ) lg 9 5 + 0 5 log 5 0 + 5 log 5 00 0 lg 9+..8 Megoldás 49 log 7 5 log 5 4 + sin 4π 49 7 ( log 7 5 + sin 0π + 4π log 5 4 49 4 ( ) 4π 4 + sin..9 Megoldás ( ) (sin 60 ) 8 + 0 + log + 7 0 49 4 + 4 8 + 6 6..0 Megoldás ( ) ) + + ( ( + ) ) 4 log 7 7 ( cos 0 ) 8 + 5000000 0,00000 + 0,5 log 6 5 ( ) ( ) + 5 0 6 0 6 + 6 log6 5 4 + 0 + 5 7 5.. Megoldás ( ) 0,04 + 00 lg 5 8 4 4 + 0 lg 5 ( 4) 4 00 00 4 + 0lg 5 5 + 5 7 59 7
.. Megoldás +log 9 4 log 5 + 0 4 log9 + 0 lg 9 log 9 4 lg log 5 ( log 5 ) + 4 5 + 6 6 5 + 6 6.. Megoldás Legyen a kocka éle x, ekkor térfogata x, felszíne 6x, a megnövelt kocka térfogata (x + ). A feltételekből (x + ) x + 7 6 6x 4x x 0, ahonnan x (mivel x > 0). Tehát az kocka élei cm-esek voltak...4 Megoldás A ló hónap alatt kocsi szénát, a kecske hónap alatt kocsi szénát, a juh hónap alatt kocsi szénát eszik meg. A három állat együtt hónap alatt + + kocsi szénát eszik meg. Így a ló, a kecske és a juh együtt kocsi szénát 6 6 hónap alatt eszik meg...5 Megoldás 5 év múlva 80000, 5 8840,8 Ft-unk lesz...6 Megoldás A csoportban összesen 40 0, kék szemű és 40 0,4 6 szőke hallgató van. Szőke és kék szemű 9 hallgató. Azon hallgatók száma, akik szőkék vagy kék szeműek, + 6 9 9. Se nem szőke, se nem kék szemű 40 9 hallgató...7 Megoldás Legyen a kisebb betét értéke x. Ekkor 0,05x+0,04 x 65. Innen a kisebb betét értéke x 65 55000 euró, a nagyobb betét értéke 0000 euró. 0,5..8 Megoldás A kis kör és a nagy kör területének aránya T 40 π T 50 π 6 5 0,64, tehát a kis kör területe a nagy kör területének 64%-a. Így az eredeti kör területe 6%-kal csökkent...9 Megoldás Az x pontban f(). Az x értékét %-kal növelve f(,0),0 +,0 + 0,99, így f értéke %-kal csökken. Az x értékét %-kal csökkentve így f értéke,5%-kal nő. f(0,97) 0,97 + 0,97 +,05,
..0 Megoldás Ha az x értéke k-szorosára változik és f értéke %-kal nő, akkor a k + k +,0 f() összefüggésből k-ra az,0k k + 0,0 0 másodfokú egyenlet adódik, ahonnan k 0,0 és k 0,98. Tehát ahhoz, hogy f értéke %-kal nőjön, x értékét 99%-kal vagy %-kal kell csökkenteni. Ha az x értéke k-szorosára változik és f értéke,5%-kal csökken, akkor a k + k + 0,975 f() összefüggésből k-ra a 0,975k k + 0,05 0 másodfokú egyenlet adódik, ahonnan k,05 (mivel k > 0). Tehát ahhoz, hogy f értéke,5%-kal csökkenjen, x értékét 5%-kal kell növelni... Megoldás Legyen a gép értéke x. Két év múlva a gépet x 0,8 4 x 0,48-ért adták el, ami az eredeti érték 48%-a... Megoldás Az első lemez átengedi a ráeső fényenergia 70%-át, a második a ráeső fényenergia 50%-át, a harmadik pedig a ráeső energia 80%-át. A három lemez együttesen az eredeti fénysugár energiájának 0,7 0,5 0,8 0,8-szorosát engedi át. Tehát a három lemez együttesen az eredeti fénysugár energiájának 7%-át nyeli el... Megoldás Legyen az üzem bevétele x. A változtatások után az új bevétel tehát az üzem bevétele %-kal nőtt. x (0,8, + 0, 0,8) x,,..4 Megoldás Legyen a kabát ára x. Ha a csökkentett árat y-szorosára növelik, akkor az x 0,8 y x egyenletből y,5, tehát 5%-kal kell növelni az árat...5 Megoldás Legyen a két évvel ezelőtti faállomány x. Ekkor az egyenletből x 050 adódik. (x 0,8 + 800) 0,8 + 800 8000..6 Megoldás Legyen az elefánt testtömege t, amikor nagyon szomjas. Itatás után a testének víztartalmát kétféleképpen kifejezve, t-re a következő egyenlet adódik: ahonnan t 500 kg. 0,84t + (600 t) 0,85 600 4
.. Elemi függvények tulajdonságai, ábrázolásuk.. Megoldás Az ábrázoláshoz az f függvényt a következő alakra hozzuk: f(x) x x + 5 (x + 5) 0 x + 5 + 0 x + 5 f(x) > 0 x + 5 x > 0 5 x > 0 (5 x > 0 és x + 5 > 0) vagy (5 x < 0 x + 5 x + 5 és 5 + x < 0) ( 5 < x < 5 f() + f( ) + 0 ) ( + + 0 ) + 0 + 5 + 5 6 + 0 4 6 Az f függvény az y tengelyt y f(0) -nél metszi... Megoldás f(a + ) f(a ) a+ a a 9 a 9 a ( 9 ) 9 g(a + ) g(a ) (a+) (a ) a 9 a 9 a f(g(x)) g(x) x ; g(f(x)) f(x) x 80 9 a ( ) 9 9 80 9 a.. Megoldás Az f(x) sin x, g(x) sin x és h(x) x π függvények közül csak a g függvény szigorúan monoton növő a ] 0; π [ nyílt intervallumon. 5
..4 Megoldás f(x) x(x ) (x ) x (x ) 4 x(x ) 4x (x ) x 4x (x ) f értelmezési tartománya: D f R \ {}. f zérushelyei: x 0, x...5 Megoldás f(x) 4(x ) x x x (x ) x 6 4x (x ) (x ) x 4 (x ) [4x (x )] (x )(x + )(x + ) x 4 x 4 f értelmezési tartománya: D f R \ {0}. f zérushelyei: x, x...6 Megoldás f(x) x(x 4) + (x 4) x x x(x 4) + 6x (x 4) 4 (x 4) 8x(x )(x + ) (x ) (x + ) x(x + ) (x ) 8x 8x (x ) (x + ) f értelmezési tartománya: D f R \ {, }. f zérushelyei: x 0, x, x...7 Megoldás f(x) x (x ) (x + ) (x 9x)(x ) (x ) 4 (x + ) x (x ) (x + ) x(x )(x ) (x + ) (x ) 4 (x + ) x (x ) x(x ) (x ) x [x(x ) (x x + )] (x ) x(x + ) (x ) f értelmezési tartománya: D f R \ {, }. f zérushelye: x 0. 6
..8 Megoldás f(g(x)) ln (g(x)) ln ( ) x +, x R; f(g(0)) f() 0 g(f(x)) (f(x)) + (ln x) + ln 4 x +, x R + ; g(f()) g(0)..9 Megoldás f(g(x)) e (g(x)) e (sin x), x R; f(g(0)) f(0) e 0 ( g(f(x)) sin (f(x)) sin e x), x R; g(f(0)) g() sin..0 Megoldás Az f(x) 4 függvény szigorúan monoton növő a ] ; [ x + intervallumon, így létezik inverze. Az inverz meghatározása: y 4 x + x 4 y + x 4 y + y x 4 f (x) x 4, x ] ; 4 [.. Megoldás A g(x) x + függvény szigorúan monoton növő, így létezik inverze. Az inverz meghatározása: y x + x y + x y y log (x ) + g (x) log (x ) +, x ] ; [ 7
.. Megoldás A h(x) ln x + függvény szigorúan monoton növő a ] 0; [ intervallumon, így létezik inverze. Az inverz meghatározása: y ln x + x ln y + x h (x) e x, x R ln y y e x.. Megoldás Az l(x) x + függvény szigorúan monoton növő a [ ; [ intervallumon, így létezik inverze. Az inverz meghatározása: y x + x y + x y + y x l (x) x, x [0; [ 8
..4 Megoldás f() 4; f( ) e..5 Megoldás A g függvény minimális érteke a [, ] intervallumon, melyet az x helyen vesz fel, maximális értéke, melyet az x helyen vesz fel...6 Megoldás A h függvény lokális minimumhelyei a [, 5] intervallumon x és x 5, az utóbi globális minimumhely is, a függvényértékek h(), h(5). A lokális maximumhelyek x és x 4, az utóbbi globális maximumhely is, a függvényértékek h(), h( ) 8. 9
..7 Megoldás f értelmezési tartománya: az x 0 egyenlőtlenségből x, azaz D f ] ; ]. f zérushelye: a x 0 egyenletből x 4...8 Megoldás f értelmezési tartománya: az 5 x + 0 egyenlőtlenségből x + 5 5 x + 5 7 x, azaz D f [ 7; ]. f zérushelyei: az 5 x + 0 egyenletből x + ±5, így x 7 és x...9 Megoldás A logaritmus definíciója miatt x x > 0 x > 0 (x > 0 x és x > 0) vagy (x < 0 és x < 0) x > vagy < x < 0, tehát f értelmezési tartománya: D f ] ; 0[ ]; [. f zérushelyei: az x x egyenletből x x 0, ahonnan x, ± 5. 40
..0 Megoldás A logaritmus definíciója miatt 5 x > 0 x < 5 5 < x < 5 4 < x < 6, tehát f értelmezési tartománya: D f ] 4; 6[. f zérushelyei: az 5 x egyenletből x 4, ahonnan x és x 5... Megoldás A logaritmus definíciója miatt + x x > 0 x x < 0 (x )(x + ) < 0 < x <, tehát f értelmezési tartománya: D f ] ; [. f zérushelyei: a + x x egyenletből x x 0, ahonnan x, ± 5... Megoldás f értelmezési tartománya: a + log x 0 egyenlőtlenségből log x log 9, így x 9, azaz D f [ ; [. f zérushelye: a + log 9 x 0 egyenletből x 9... Megoldás A g(x) f(x) + 5 függvény páratlan, így g( x) g(x). Ezt felhasználva g( 7) g(7) f( 7) + 5 7 + 5, tehát g(7). Így f(7) g(7) 5 7..4. Algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek.4. Megoldás Ha x, akkor x x, így az egyenlet: x + (x ) 9, ahonnan x 5. Ha x <, akkor x (x ), így az egyenlet: x (x ) 9, ahonnan x. Tehát a megoldás: x 5, x..4. Megoldás Ha x 0 vagy x, akkor x x x x, így az egyenlet: x x 0, ahonnan x + vagy x. Ha 0 < x <, akkor x x (x x), így az egyenlet: x + x 0, ahonnan x. Tehát a megoldás: x, ±, x..4. Megoldás Ha x 0, akkor x x, így az egyenlet: x + 7x 8 0 (x )(x + 8) 0, ahonnan x vagy x 8, de ez utóbbi nem lehet a feltétel miatt. Ha x < 0, akkor x x, így az egyenlet: x 7x 8 0 (x + )(x 8) 0, ahonnan x vagy x 8, de ez utóbbi nem lehet a feltétel miatt. Tehát a megoldás: x, x..4.4 Megoldás Ha x vagy x 0, akkor az egyenlet: (x + x) + x 0, ahonnan x vagy x, de ez utóbbi nem lehet a feltétel miatt. Ha < x < 0, akkor az egyenlet: (x +x)+x 0, ahonnan x. Tehát a megoldás: x, x. 4
.4.5 Megoldás Ha x, akkor az egyenlet: 6 x (x ) + 6 x 8x + 6 0 (x )(x ) 0, ahonnan x vagy x. Ha x <, akkor az egyenlet: 6 x ( x + ) + 6 x + 4x 6 0 (x + )(x ) 0, ahonnan x vagy x, de ez utóbbi megoldást már megkaptuk. Tehát a megoldás: x, x, x..4.6 Megoldás (x + ) + (x 4) 0 x + + x 4 0. Ha x 4, akkor az egyenlet: (x + ) + (x 4) 0, ahonnan x. Ha x < 4, akkor az egyenlet: (x+) (x 4) 0, ami ellentmondásra vezet. Ha x <, akkor az egyenlet: (x + ) (x 4) 0, ahonnan x 9. Tehát a megoldás: x, x 9..4.7 Megoldás x < 4 4 < x < 4 < x < 5 < x < 5.4.8 Megoldás x 8x + 6 (x 4) x 4 x 4 vagy x 4 x 7 vagy x..4.9 Megoldás x 5 > 4 x 5 > 4 vagy x 5 < 4 x > 9 vagy x < x > vagy x < x < vagy x > vagy < x <..4.0 Megoldás Ha x, akkor az egyenlőtlenség: x x, ahonnan x 4 x. Ha x <, akkor az egyenlőtlenség: (x ) x, ahonnan x x <. Tehát a megoldás: x..4. Megoldás ( ) 4 + x + x 6 (x + )(x ) (x + )(x ) x + x + A megoldás: x, x..4. Megoldás ( ) x + + 0 x + x x + x 6 x + x + 0 0 x, x, x x 4 + 5x 6x 0 x (x + 5x 6) 0 x (x + 6)(x ) 0 A megoldás: x 0, x 6, x. 4
.4. Megoldás x + x 4 + x 6 7x + 6 x + 4 x 4 Az egyenletet x 6-tal szorozva: x ±4. (x + )(x + 4) + (7x + 6)(x 4) (x + 4) x + 7x + 4 7x 5x 6 x 6x 5 0 A megoldás: x 5, x 7..4.4 Megoldás 7x,5,5x 0 x. Az egyenletet (x + )-vel x + 4 x + szorozva azonosságot kapunk: ( 7x) ( 7x) 0. A megoldás: x R \ { }..4.5 Megoldás A megoldás: x 6. x 5x + 6 x 7x + x x 4 (x )(x ) (x )(x 4) x x (x 4) x 6 x.4.6 Megoldás x + x + x x + x 4 Az egyenletet x 4-gyel szorozva: x ±. x(x ) + (x + ) x + x + 4 x + x 4 x ± Ez nem lehet a feltétel miatt, így az egyenletnek nincs megoldása..4.7 Megoldás A y : x 0 változó bevezetésével y-ra másodfokú egyenlet adódik: 4y y 0, melynek gyökei y és y, de ez utóbbi nem lehet a feltétel 4 miatt. A megoldás: x, x..4.8 Megoldás Az egyenlőtlenséget 0-ra rendezve: x x x(x ) (x ) x > 0 x 5x x > 0 A tört pontosan akkor pozitív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű. x(x 5) x > 0 A számláló x < 0 vagy x > 5 esetén pozitív, 0 < x < 5 esetén negatív. A nevező x > esetén pozitív, x < esetén negatív. A megoldás: 0 < x < vagy x > 5. 4
.4.9 Megoldás Az egyenlőtlenséget 0-ra rendezve: x x > x + 4 x(x + 4) (x ) (x )(x + 4) > 0 x + x + (x )(x + 4) > 0 (x + ) + (x )(x + 4) > 0 A számláló minden x-re pozitív, így a tört pontosan akkor pozitív, ha a nevező is pozitív, azaz x < 4 vagy x >..4.0 Megoldás x 5x + 6 (x )(x ) 0 0. A tört pontosan akkor x 5x 6 (x 6)(x + ) nemnegatív, ha a számláló és a nevező azonos előjelű, vagy a számláló nulla. A számláló nulla vagy pozitív, ha x vagy x, és negatív, ha < x <. A nevező pozitív, ha x < vagy x > 6, és negatív, ha < x < 6. A megoldás: x < vagy x vagy x > 6..4. Megoldás Az egyenlőtlenséget 0-ra rendezve: x x < x x + x(x + ) (x )(x + ) x x(x + ) < 0 x + x(x + ) < 0 A tört pontosan akkor negatív, ha a számláló és a nevező különböző előjelű. A számláló x > esetén pozitív, x < esetén negatív. A nevező x < vagy x > 0 esetén pozitív, < x < 0 esetén negatív. A megoldás: x < vagy < x < 0..4. Megoldás (x + )(x + b) x + cx + 6 x + (b + )x + b x + cx + 6 Az egyenlőség pontosan akkor teljesül minden x valós számra, ha a két polinom megfelelő együtthatói egyenlők, azaz b + c és b 6. Innen b és c 5..4. Megoldás Ha a másodfokú tag együtthatója, akkor az egyenlet gyöktényezős alakja ( x ) ( x + ) 0 x 6 x 6 0 6x x 0.4.4 Megoldás (ax ) +(x a) x +a a x 4ax+ 0. Az egyenletnek a 0 esetén nincs megoldása, a 0 esetén a megoldás: x, 4a ± 6a a a a ± a a a ± a ± a a x a, x a.4.5 Megoldás (ax + ) + (ax + )(ax ) 4 a x + ax 0. Az egyenletnek a 0 esetén nincs megoldása, a 0 esetén a megoldás: x, a ± a + 8a a a ± a a a ± a ± a a x a, x a 44
.4.6 Megoldás Az ( a)x + x + a 0 egyenletnek a esetén x megoldása. Ha a, akkor x, ± 4a( a) ( a) ± a ( a) ± (a ) ( a) x, x a a.4.7 Megoldás Az x +px+q 0 polinom gyökeinek összege: x +x p, a gyökök szorzata: x x q. Így. x + x x + x (x + x ) + x x p + q. (x + x ) ( p) p. x + x (x + x ) x x ( p) q p q 4. (x x ) x x x + x (x + x ) 4x x p 4q 5. x + x x + x x x.4.8 Megoldás x x > 0 p + p p q A megoldás: < p < 0 vagy 0 < p <. > p + p p > 0 p p p < 0 (p )(p + ) p < 0.4.9 Megoldás Az egyenletnek pontosan akkor van két azonos megoldása, ha a diszkrimináns nulla. D k 4( k) 0 k + 4k 0 (k + 6)(k ) 0 A megoldás: k 6, k..4.0 Megoldás Az egyenletnek pontosan akkor van két különböző valós megoldása, ha a diszkrimináns pozitív. D (k + ) 6 > 0 k + 6k 7 > 0 (k + 7)(k ) > 0 A megoldás: k < 7 vagy k >..4. Megoldás Az egyenletnek pontosan nincs valós megoldása, ha a diszkrimináns negatív. D k + 4(k 5) < 0 k + 8k 0 < 0 (k + 0)(k ) < 0 A megoldás: 0 < k <. 45
.4. Megoldás Mivel a parabola csúcspontja (, ) és átmegy a (, 0) ponton, ezért átmegy a (0, 0) ponton is, hiszen szimmetrikus az x egyenletű egyenesre. A három pont koordinátáit behelyettesítve a parabola egyenletébe, a következő egyenletrendszert kapjuk: a + b + c, 0 4a + b + c, 0 c, ahonnan a, b. A parabola egyenlete: y x x..4. Megoldás ( f(x) x + x + 5 x x 5 ) ( x ) + 6 A maximum értéke 6..4.4 Megoldás ( f(x) x 5x + x 5 x + ) ( x 5 ) 7 4 8 A minimum értéke 7 8. [ ( x ) ] 9 5 [ ( x 5 ) ] 5 4 6 +.5. Gyökös, exponenciális, logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek.5. Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezések nemnegatívak, azaz 5x 0 és x + 0, így 6 x 5 lehet csak. 5x x + 0 5x x +, ahonnan a megoldás: x 48..5. Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezések nemnegatívak, azaz x + 0 és x 0, így x lehet csak. Mivel x + 0 és x 0, ezért az összegük csak úgy lehet 0, ha mindkét kifejezés értéke 0, azaz x + 0 és x 0. Ez azonban ellentmondásra vezet, így a feladatnak nincs megoldása. 46
.5. Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezés nemnegatív, azaz 0 x 0. Mivel a bal oldal nemnegatív, ezért x 0 0 is teljesül, így a megoldás: x 0..5.4 Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezés nemnegatív, azaz 4x 7 0, így x 7. Mivel a bal oldal nemnegatív, ezért x 0 is teljesül, azaz x. Ez azonban 4 ellentmondás, így a feladatnak nincs megoldása..5.5 Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezés nemnegatív, azaz x x 0 0, ahonnan x 89,6 vagy x + 89,. Az egyenletet átrendezve: 4 4 x x 0 x. Mivel a bal oldal nemnegatív, ezért x 0 is teljesül, így megoldásként csak,-nél nagyobb értékek jöhetnek szóba. Négyzetre emelve: x x 0 x x x 0 (x 5)(x + ) 0, ahonnan x 5 vagy x, de ez utóbbi nem lehet, tehát a megoldás: x 5..5.6 Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezések nemnegatívak, azaz x 0 és x + 7 0, így 7 x. Az egyenletet átrendezve: x x + 7. Mivel a bal oldal nemnegatív, ezért x + 7 0 is teljesül, ahonnan x + 7 9, azaz x. A feltételekből csak x jöhet szóba, ami megoldása az egyenletnek..5.7 Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezések nemnegatívak, azaz x 4 0, x 0 és x + 4 0, ahonnan x 4. Négyzetre emelve: x 4 + (x 4)(x ) + x x + 4 (x 4)(x ) 9 x Ismét négyzetre emelve: 4(x 5x + 4) x 8x + 8 x x 65 0, ahonnan x 5 vagy x, de ez utóbbi nem lehet, tehát a megoldás: x 5..5.8 Megoldás Legyen y : x. Ekkor x + x 8 x 0 y + y 8y 0 y(y + y 8) 0 y(y + 6)(y ) 0, ahonnan y 0, y 6, y. A megoldás: x 0, x 6, x 7..5.9 Megoldás A négyzetgyökjel alatti kifejezések nemnegatívak, továbbá a tört nevezője nem 0, így 9 5x 0 és x > 0, ahonnan x 9 5. Négyzetre emelve: 9 5x x + + 6 x 8 x x + x x 7 0, ahonnan x vagy x 9, de ez utóbbi nem lehet, így a megoldás: x. 47
.5.0 Megoldás Feltételek: x + 0, x + 0 és x 0, azaz x, x 0 és x. Legyen a : x + 0. Ekkor x + + x + x + x a + a a a 0 (a )(a + ) 0 Mivel a + > 0, ezért a, tehát a megoldás: x. a a (a + )(a ) a (a ).5. Megoldás Feltétel: x. Legyen a : x + 0. Ekkor x + 6 4 x + + x + 6 x + a + 4 4a + a + 9 6a (a ) + (a ) a + a Ha a, akkor az egyenlet: (a ) + (a ), ahonnan a, így x 7. Ha a <, akkor az egyenlet: (a ) (a ), ami azonosság, ahonnan x + <, így x < 7. Ha 0 a <, akkor az egyenlet: (a ) (a ), ahonnan a, de ez nem lehet. A megoldás: x 7..5. Megoldás Az egyenlőtlenséget átalakítva: (x + ) (x ) + 0. Mivel a gyökjel alatti kifejezés pozitív, ezért az egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha x..5. Megoldás Feltétel: 4x + 7 0, azaz x 7. A bal oldal nemnegatív, így az 4 egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül, ha x + < 0, azaz 7 x <. Ha x, 4 akkor mindkét oldal nemnegatív, így négyzetre emelve: 4x + 7 > x + 6x + 9 x + x 8 < 0 (x + 4)(x ) < 0 4 < x <, ahonnan x <. A megoldás: 7 4 x <..5.4 Megoldás x+ +x x + + x. Ha x, akkor az egyenlet: (x + ) + x, ahonnan x 0. Ha x <, akkor az egyenlet: (x + ) + x, ami ellentmondásra vezet. A megoldás: x 0..5.5 Megoldás x + x + x+ 9 x ( + + ) A megoldás: x. 48 9 x 9 x 9
.5.6 Megoldás x ( + 8 + 4) x ( + + 9) x 8 x 6 A megoldás: x 4. ( ) x ( ) 4.5.7 Megoldás ( ) x+ ( ) x+9 x x+ x + 4 x x + 9 (x + )(x + ) (x + 9)(x ) x + x + 5x + x + 7x 9 x A megoldás: x..5.8 Megoldás Feltétel: x. x +x 9 x x+ 9 x +x 6 9 x x+ (x + )(x ) x x + (x + ) (x ) (x ) 0 (x ) [ (x + ) ] 0 (x )(x + )(x + 4) 0 A megoldás: x, x, x 4..5.9 Megoldás ( ) ( ) x 5 8 4 5 A megoldás: x 4..5.0 Megoldás x+4 ( ) x 5 ( 5 ) 4 ( ) (x ) 5 ( ) x 5 4 9x + x 8 x 6 x+ ( 64) x x+4 (x ) (x+) 6( x) 7x +6x 7x + 6x A megoldás: x..5. Megoldás Legyen a : 5 x > 0. Ekkor az egyenlet: a a + 4 5 5a 4a 5 0 ahonnan a 5 vagy a, de ez utóbbi nem lehet. Így a megoldás: x. 5 49
.5. Megoldás + 4 x 7 4 x 8( + x+ 4x ) 7 x 8 + 4 x 7 x ( x ) 7 x + 8 0 x 7 ± 5 4 Innen x 8 vagy x, így a megoldás: x, x..5. Megoldás Feltétel: x 0. 4 x 4 x+ x+x ( x ) 4 ( x ) x x Legyen a : x > 0 és b : x > 0. Ekkor az egyenlet: a ab 4b 0 (a 4b)(a + b) 0 Mivel a + b > 0, ezért az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha a 4b, így x 4 x x +x x + x ( x ) x 0 ( x )( x + ) 0 Mivel x+ > 0, ezért az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha x, így a megoldás: x 4. Megjegyzés: A feladat úgy is megoldható, hogy az a ab 4b 0 egyenletet b -tel (b > 0) elosztjuk, így a ( a ) ( a ) b -re másodfokú egyenletet kapunk: 4 0. b b.5.4 Megoldás Legyen a : x > 0. Ekkor 9x + 8 x+ > x 5 a 9a + 8 > a 5 (a 8)(a ) > a 5 Feltétel: a vagy a 8, mivel a négyzetgyökjel alatti kifejezés nemnegatív. Ha a, akkor a jobb oldal negatív, így az egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül. Innen x, így x 0. Ha a 8, akkor a jobb oldal pozitív, így négyzetre emelve: a 9a + 8 > a 0a + 5, ahonnan x > 7, így x > log 7. A megoldás: x 0 vagy x > log 7..5.5 Megoldás 4 x < 6 x < 5 6 x < 5 x > A megoldás: x < vagy x >. 50
.5.6 Megoldás ( 7 A megoldás: x 4..5.7 Megoldás ) 0 x 49 4 ( ) x x 7 > ( ) x x 7 7 > A megoldás: 4 < x < 5. ( ) 0 x 7.5.8 Megoldás Feltétel: x > 0. Azonos átalakításokkal: ( ) 0 x 7 ( ) x x 7 < (x 5)(x + 4) < 0 lg(x 0) ( lg 5) lg 5 lg 00 lg 5 lg 00 5 lg 4 Így lg(x 0) lg 4 x 0 4, tehát a megoldás: x 4..5.9 Megoldás Feltételek: x + 4 > 0, x + > 0 és log 7 (x + ) 0, ahonnan x > és x. log 7 (x + 4) log 7 (x + ) log 7(x + 4) log 7 (x + ) log 7 (x + 4) log 7 (x + ) x + 4 (x + ) x + x 0 x(x + ) 0 Innen x 0 vagy x, de ez utóbbi nem lehet, így a megoldás: x 0..5.0 Megoldás Feltételek: x 5 > 0 és x > 0, ahonnan x > 5. lg x 5 + lg x + lg 0 lg (x 5)(x ) lg 0 lg 0 lg (x 5)(x ) (x 5)(x ) 9 x ± x + 6 0 x 4 innen x 6 vagy x, de ez utóbbi nem lehet, így a megoldás: x 6..5. Megoldás Feltételek: (x 4)(x+) > 0 (azaz x < vagy x > 4) és 5x+4 > 0, ahonnan x > 4. log [(x 4)(x + )] log (5x + 4) (x 4)(x + ) 5x + 4 x 6x 6 0 (x 8)(x + ) 0 ahonnan x 8 vagy x, de ez utóbbi nem lehet, így a megoldás: x 8. 5
.5. Megoldás Feltételek: x + 8 és 4x + 4 > 0, ahonnan x > 8. log 8 (x + 8) log 8 (4x + 4) log 8 x + 8 (4x + 4) x + 8 x + 8 6(x + ) 4 x + 8 4(x + ) 4x 5x 4 0 x A megoldás: x 4, x 4. (4x + 4) 8 5 ± 7 8.5. Megoldás Feltételek: x x x(x ) > 0 (azaz x < 0 vagy x > ) és x > 0, ahonnan x < 0. lg x x lg x lg 5 lg lg x lg 5 x 5 x 5 x x x lg 5 lg x(x ) x lg 5 A megoldás: x 5..5.4 Megoldás Feltételek: x + x (x )(x + ) > 0, azaz x < vagy x >. Ekkor x > 0 is teljesül. x + ln(x + x ) ln x x (x )(x + ) x + x + (x + ) (x ) (x ) 0 (x ) [ (x + ) ] 0 (x )(x + )(x + 4) 0 Innen a feltétel figyelembevételével a megoldás: x 4..5.5 Megoldás Felhasználva, hogy lg lg 4 lg 0 lg, az egyenlet a ( ) ( 5 ) következő alakra hozható: lg (x + ) lg 5 x + (x + ) 5 x +. Legyen y x. Ekkor y y 5 0, ahonnan y vagy y 5, de könnyen látható, hogy y nem lehet. A megoldás: x 5..5.6 Megoldás A logaritmus definíciója alapján: x x + x 7 x 9, ahonnan x vagy x, de ez utóbbi nem lehet, mivel a logaritmus alapja pozitív. A megoldás: x. 5
.5.7 Megoldás Feltételek: x+ > 0 és x+, azaz x > és x 0. A logaritmus definíciója alapján: (x+) x + x +x+ x + x x x(x ) 0, ahonnan x vagy x 0, de ez utóbbi nem lehet. A megoldás: x..5.8 Megoldás A logaritmus definíciója alapján: log (log (log 4 x)) 0 log (log 4 x) log 4 x x 4 64.5.9 Megoldás A logaritmus definíciója alapján: log (log 4 6 (log x)) log 6 (log x) 4 log x 6 4 x 4.5.40 Megoldás Feltétel: x x x(x ) > 0, ahonnan x < 0 vagy x >. log (x x) < 0 log x x < x x < 0 Az x x < 0 egyenlőtlenségből: < x < +. Így a feltétel figyelembevételével a feladat megoldása: < x < 0 vagy < x < +..5.4 Megoldás Feltétel: 5 6x > 0, ahonnan x < 5 6. A megoldás: 6 x < 5 6. log 4 (5 6x) log 4 6 5 6x 6 6 x.5.4 Megoldás Feltétel: x 4 > 0, ahonnan x > 4. A megoldás: 4 < x < 4. log (x 4) > log 8 log 8 x 4 < 8 x < 4.5.4 Megoldás Feltétel: x + x > 0, ahonnan x < x > + 0,. log (x + x ) < log x + x > x + x 4 (x + 4)(x ) > 0, vagy A megoldás: x < 4 vagy x >. 5
.6. Trigonometrikus azonosságok és egyenletek.6. Megoldás sin ϕ 0 cos ϕ tg ϕ 0 0 0 45 60 90 5 80 0 40 70 00 5 0 0 0 0.6. Megoldás A következő összefüggések felhasználásával a hiányzó értékek kiszámíthatók: cos ϕ + sin ϕ + tg ϕ cos ϕ cos ϕ + tg ϕ 9 sin ϕ ± 4 7 5 cos ϕ ± 4 tg ϕ ± 9 ± 7 5 8 7 ± 5 7 ± 8 5 ± 5 7 ± 7 5 ± 6 65 6 65 ± 6 6 ± 9 ± 0 9 0.6. Megoldás sin ϕ ϕ π + kπ ϕ π 4 + kπ, k Z sin ϕ ϕ 7π 6 ϕ π + kπ, k Z + kπ vagy ϕ π 6 + kπ ϕ 7π + kπ vagy sin ϕ ϕ π + kπ ϕ π + 4kπ, k Z sin ϕ ϕ π + kπ vagy ϕ π + kπ ϕ π ϕ 4π + 4kπ, k Z + 4kπ vagy cos ϕ 0 ϕ π + kπ ϕ π 4 + kπ, k Z 54
cos ϕ ϕ π 6 + kπ vagy ϕ π 6 + kπ ϕ ϕ π + kπ, k Z π + kπ vagy cos ϕ ϕ kπ ϕ 4kπ, k Z cos ϕ ϕ π + kπ vagy ϕ π + kπ ϕ 4π + 4kπ vagy ϕ 4π + 4kπ, k Z tg ϕ 0 ϕ kπ ϕ kπ, k Z tg ϕ ϕ π 4 + kπ ϕ π 8 + kπ, k Z tg ϕ ϕ π 4 + kπ ϕ π + kπ, k Z tg ϕ ϕ π 6 + kπ ϕ π + kπ, k Z ctg ϕ tg ϕ ϕ π 4 + kπ ϕ π + kπ, k Z ctg ϕ tg ϕ ϕ π + kπ ϕ π 9 + kπ, k Z ctg ϕ tg ϕ ϕ π 6 + kπ ϕ π + kπ, k Z ctg ϕ 0 ϕ π + kπ ϕ π + kπ, k Z.6.4 Megoldás sin ϕ sin ϕ ± ϕ π + kπ, k Z cos ϕ cos ϕ ± ϕ π 4 + kπ, k Z tg ϕ tg ϕ ± ϕ π + kπ vagy ϕ π + kπ, k Z 55
sin ϕ ctg ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ + cos ϕ 0 cos ϕ + 5 (a másik gyök nem megfelelő, mivel -nél kisebb) ϕ ± arccos + 5 + kπ, k Z sin ϕ ctg ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ 0 cos ϕ 5 (a másik gyök nem megfelelő, mivel -nél nagyobb) ϕ ± arccos 5 + kπ, k Z cos ϕ tg ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ sin ϕ + sin ϕ 0 sin ϕ + 5 ϕ arcsin + 5.6.5 Megoldás sin ϕ cos ϕ tg ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos ϕ + sin ϕ (a másik gyök nem megfelelő, mivel -nél kisebb) + kπ vagy ϕ π arcsin + 5 tg ϕ + tg ϕ sin ϕ tg ϕ + tg ϕ cos ϕ cos ϕ + sin ϕ + tg ϕ cos ϕ + tg ϕ + kπ, k Z sin ϕ sin ϕ tg ϕ sin ϕ sin ϕ sin ϕ tg ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ tg ϕ cos ϕ cos ϕ cos ϕ.6.6 Megoldás cos ϕ + sin ϕ, cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos + cos ϕ ϕ cos ϕ, 56