Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása II. 7. előadás

Hasonló dokumentumok
Interpoláció. Korszerű matematikai módszerek 2013.

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Lineáris algebra numerikus módszerei

Diszkréten mintavételezett függvények

Mozgásmodellezés. Lukovszki Csaba. Navigációs és helyalapú szolgáltatások és alkalmazások (VITMMA07)

Polinomok, Lagrange interpoláció

Eddig csak a polinom x-ben felvett értékét kerestük

Ha ismert (A,b,c T ), akkor

Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása I. 6. előadás

Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Fourier térbeli analízis, inverz probléma. Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea ősz

MÉSZÁROS JÓZSEFNÉ, NUMERIKUS MÓDSZEREK

ADAT- ÉS INFORMÁCIÓFELDOLGOZÁS

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi

ANTAL Margit. Sapientia - Erdélyi Magyar Tudományegyetem. Jelfeldolgozás. ANTAL Margit. Adminisztratív. Bevezetés. Matematikai alapismeretek.

c adatpontok és az ismeretlen pont közötti kovariancia vektora

Híradástechikai jelfeldolgozás

BAGME11NNF Munkavédelmi mérnökasszisztens Galla Jánosné, 2011.

Fehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális szűrő Összegezési súlyok sin x/x szerint (ez akár analóg is lehet!!!)

Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot

Digitális Domborzat Modellek (DTM)

3. Szűrés képtérben. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (

Matematikai geodéziai számítások 6.

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Biometria az orvosi gyakorlatban. Korrelációszámítás, regresszió

Fourier-sorfejtés vizsgálata Négyszögjel sorfejtése, átviteli vizsgálata

Matematikai geodéziai számítások 5.

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Statisztikai következtetések Nemlineáris regresszió Feladatok Vége

Matematikai geodéziai számítások 6.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

A maximum likelihood becslésről

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

Utolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20

Ö Ö ú

Ü ű ö Á Ü ü ö ö

ő ő Ű ü ú ú Ú ü ű ő ő ő ő Á Á Í ü É ő ő ő ő ő É ő ú ú ú ő Á Ö ő

É ő ő ű ú Á ő Á ő ű ő ő ő ő ő ő ő ő ű ú ű ű ő ő ő ű

Í Ú É ő ő ú ö Ö ú ú ú ö ö ú ö ö ű ö ő ö ö ú ö ő ő ö ö ö ő ő ú ő ú ö ö ö ú ö ö ú ő ö ú ö ű ö ő Ó ő Á ö ő ö ö

ú ű ú ú ű ú ű ű ú ű ú ű Á ű ű Á ű ű ú ú ú ú ú ú ű ú ú ú ú ú ú ú ú

ü ö ú ö ú ü ö ü Á Ó ö ö ö ö ú ü ú ü ü ú ú ö ö ü ü ú ü ü ö ö ű ö ü ü ü ü ö ö


ő ő ő ő ő ő ú ő ü Á ü ü ő ő ő ő ő ő ő ő ő ő Ö Ó ő ő ő Ö ő ő ő

ú ú ü ü Á ú ú ü ű ű ú ü ü ü ü

Í ö ö ű ú ö ö Í ö ü ö ü

ú ű ű É ü ű ü ű ű í ü í ő í Ü ő ő ü ú Í ő ő í ú ü ü ő ü

ő ő ő ő ú É ü ú ú ű ú ű ő ő ő ő Á Á ü ő É É É É É É Á Ú Á Á ő ő ő ő ő É Á Á Á ő ő ő Á ü ő ő ü

ű Á ü ő ö í ö ö ő ő ő ő ö

í Ó ó ó í ó ó ó ő í ó ó ó ó

É Í ü ú É ü ő ő ő ő ú ő ú ü ü ő ü ú ü ű ú ú ü ü Í ü ű ő ő É ő

Í Í Í Ü Ó Ó Ö Á Ü Ü Ó Ü Ü Ó Ö Í É Ö

Ö Ö ű ű ű Ú Ú ű ű ű Ú ű

ü É ö É É ö ö ö ü ö ö Á ű ö ű ű ű Á Í ö ö Ó ö

Í Í Ó ű Ü Ó Ó Ü ü Ö Í Ü Í Í ú Ö Ó Í ú ú Ö Ó É Í ű ú

ú ú ö ö ü ü ü ü ű ü ü

ü ő ő ü ü ő ő ű í í ű ő ő ő ü ő ő í í ő ő ő ő ő ő ü ü í ő Ö ő ü í ő ü í í ő ü ő í ő ő í í ő ü ü í ő ü í ő í ő í ő ü í ő í ü í í ő

ű í ú ü ü ü ü ü Ó í ü í í í É Á

é ö é Ö é é ő í ó í é ő ö ú é ó é ő ü ü é ó ö é é ó é é ö é ő í é é ő é é ö é ű ö é í ó é é í ö í ó í ó é é ö ó í ó ó í ó é é ö ő í ó ó í ó ü é í ü

ö ö ö ö ö ö ö ü ö ü ö ű ö ú ü ű ö ü Í ö ú ü ü ű ö ú ü Á ü

ő ö ő ú ő ö ö ő ó ő ö ü ú ö ö ó ő ö ü ó ó ó ó ő ő ő ó ó ú ő ü ő ö ö ó ü ö ö ő ű ö ö ő ú ú ó ö ő ű ö ó

ö ö ó ú ö ö ú ü ó ö ö Í ö ö ö ü ó ö ö ú ú ö ü ó ü ó ü ö ú ü ó ü ö ó Á Á ö ü ú ó ö ü ü ö ó ü ü Á ü ö ü ö ü ö ö ö ü ö ú ö ö ö ü ú ö ú ö ű ú ú ü ö ó ö ö

Ö Ö Ú Ó Ö ű Ő Ő ű ű Ü Ő Ó Ő

Í Ó ü ü í ü ü ü í Í í É í í Í Í ü ü ü í Í ü

ú ü ü ú Ö ú ü ü ü ü ü ú ü ú ü ű Í ü ü ű ü ű Ó ü Ü ű ú ú Á ü ű ű ü ü Ö ü ű ü Í ü ü

í ó ő í é ö ő é í ó é é ó é í é é í é í íí é é é í é ö é ő é ó ő ő é ö é Ö ü é ó ö ü ö ö é é é ő í ő í ő ö é ő ú é ö é é é í é é í é é ü é é ö é ó í é

í í ü í í í í í Ó ő ő í í í Ú ü Ú í í Ú ő ü Ú ü ő

ö ö Ö ó ó ö ó ó ó ü ö í ü ú ó ó í ö ö ö ó ö ü ú ó ü ö ü ö ö Ö ü ö ö Ö ó

é ú é é é é é é é é é é é é ú é ö é é é ö Ő é é é ú é é é é é é é é ö é é é ö é Ö é é ö é ö é é é ű é ö ö é ö é é ö ö é é ö ö é ö é Ö é ú é é é é é é

ő ö ő ű ó ö ó ű Í Ö Ö Á Í Ó Ö Ü É Ö Ö Ö Á Á Ö É Á Ö

ó ú ú ü ú ő ó ő ő ó ó ó ö ó ü ő ó ő ö ü ü ó ö ő É ó ö ö ö ó ó ö ü ü ö ü ó ó ő ó ü ó ü ü ö ö É ú ó ó ö ú ö ü ü ó ó ó ü Á ö ö ü ó ö ó ö ö ö ö ó ó ö ó ó

ú Ü Í ú ú ú ú ú ú

ű ú ú Ö ó Ö ó ó ó Ö ű ó ű ű ü Á ó ó ó ó ü ó ü Ö ó ó ó Ö ű ű ü Ö ű Á ú ú ú ó ű í í Ő ú Á É Ö í ó ü ű í ó ű ó Ö ú Ő ú ó í ú ó

ö Ó ű ö ó í ó ü ö Ó ó í ö ö ó Ö ó ö í ó í ó Á í ó Á Á Ő ú ü ó Í ü ú ü

í ü í ü ő ő ü Í ő ő ő ú í ő ő ö ö ö ű ü í ő ő í ú ö ö ú ő ő ú í ő í ő ö ö í ő ü ü í ő ö ü ü ú í í ü ő í ü Í í í í ö ő ö ü ő í ő ő ü ű ő ő í ő í í ő ő

ó É ó í ó ó í í ö í ó í ö ö ö ü ö ó ó ó ü ú ö ü ó ó ö ö ü ü ü ö ö ó ö í ó ű Ü ó í ú í ö í ö í Í ó ó í í ö ü ö ö í ö í ö ö ö ü ó í ö ö ó í ú ü ó ö

ö ö ö Ö ö ú Ö í Ö ű ö í Ö í ö ü ö í ú Ö Ö ö í ű ö ö í ö ö Ő ö í ü ö ö í Ö ö ö í ö í Ő í ű ű í Ö Ó í ö ö ö ö Ö Ö ö í ü ö ö Ö í ü Ö ö í ö ö ö ö ö Ö ö í

ű ú Í Ó Á ú Ű ű Ő Ö Á ú Ű Ü ú ú Á ú ű

Ü

ö ü ü ú ó í ó ü ú ö ó ű ö ó ö í ó ö í ö ű ö ó Ú ú ö ü É ó í ö Ó Á í ó í í Ú ö ú ö ű ü ó

É Ö Á Í Á Ó Ö ü

Ü ü Ü Ö Ó ö ü ö Ó Ú Ó ü Ó ö ö Á ö ö ö ö ü

É Í Á Á É Ü Ó É É É É Í Ó Ó Ő Á Á É Á É É É É Á É É Á Á É É Á É Í

ö ő ő ü ü Ó ü ö ű Á ő ő ö ő Á Ó ű ö ü ő ő ű

í í É í ó ó É ö í ó í ó í ó ó í ó í í ó ó ó í ö ö ö ö í í í ó ó ö ó

É ö Ű ő ű ő ő ű ű

ű ú ü ü ü Í ü ö ü ö ü ö ü Ó ü ö ü ö ö ü ű ű ú ü ö ö ü Ó ö ű ü ö ú ö ö ü ü ű ü ü ö ö ü ü ú ö ö ü ü ú ü

í ó í ó ó ó í í ü ú í ú ó ó ü ü í ó ü ú ó ü í í ü ü ü ó í ü í ü ü í ü ü í ó ó ó í ó í ü ó í Á

Ö Ö Ö Ö Ö Á Ű É Ö Ö Ö

Ö ő ü Ö Ö Ő ü ő Ö Ö ü ű Á Í Ö ű ü ő ő ő Ö ü ü ő ő ő Ü ü ő ő ő ü ő ő ü ü

Ö Ö ö Ó Ó Ó Ó Ü ú ü Ű Ö Ö Ö ö Ü ö Í ü ű

ó ö í í ü Ű Ö ó ó ű ö ü Í í í ö Ö Ó ö Ű Ö ú ó ó í í ű ö ö ö ö í ó ö ö í ö ű ö ű ö ö ö ö ö í ó Ö Ö ü ú ö ó ü ö Ö ű ö Ö ü ó ö ö ó ö ö Ó í ű ö ű ö ö ű í

ű ö ú ö ö ö ö í ű ö ö ö ű ö ö ö í ü ú í ű í ö í ú ű í ü ö ö ú ö í ö ű ú ü ö ö í ö ü ö ú ű ö ö ö í Á í ü í ö ü ö í ü ö Ő ü ö í ű ü ö í í í í í

Átírás:

Folyamatosan változó mennyiségek feldolgozása II. 7. előadás

Tartalom sztochasztikus folyamatok mintavételezés (lásd Fizikai geod.) LKN kollokáció (lásd Fizikai geod.) geostatisztika, krigelés szűrések interpolációk

Szűrések Detrekői 7.5 célja a hibával terheltnek feltételezett jelek szűrt értékeinek meghatározása a mért pontokban esetenként a jelek értékének becslése nem mért pontokban zajfüggvény leválasztása az alapfolyamatról feltételezzük, hogy a trend zérus típusok: konvolúciós szűrők, medián szűrők, legkisebb négyzetek módszerén alapuló szűrők, Kálmán-szűrők. 3

A szűrések spektrális jellemzői Lineáris szűrést feltételezve: η (t) = O (t) ξ (t) ξ (t) eredeti (nem szűrt) függvény η (t) kimeneti (szűrt) függvény O (t) a szűrés módját előíró operátor. Fourier transzformációval áttérve az ω frekvencia tartományba a szűrés hatását a C(ω) átviteli függvény írja le. Az átviteli függvény írja le az amplitúdó (és ha C komplex, a fázis) viselkedését a szűrés során. 4

Konvolúciós szűrők Az egy és kétváltozós konvolúciós szűrés alapösszefüggései: általános esetben, szimmetrikusan elhelyezkedő jelek esetében. A konvolúciós szűrők fajtái: aluláteresztő szűrők, felüláteresztő szűrők sáváteresztő szűrők- 5

Konvolúciós szűrők aluláteresztő szűrők felüláteresztő szűrők sáváteresztő szűrők sávkorlátozó szűrők A F A F A F A F aluláteresztő felüláteresztő sáváteresztő sávkorlátozó OK stop stop OK stop OK stop OK stop OK 0 f L 0 f H 0 f L f H 0 f L f H 6

Egyváltozós aluláteresztő szűrő ismertek az adott t, t,... t N pontokhoz tartozó s', s',... s' N értékek (hibával terheltek): s' i = s i + n i az s i szűrt értéket a szimmetrikusan elhelyezkedő M + jel súlyozott számtani közepeként állítjuk elő: s i = Σ(w k s i+k ), ez a (diszkrét) konvolúció k Î ( M, +M) 7

Súlyok felvétele futó átlagolás: w k = /(M + ) simító átlagolás: w k = w -k = ((M + k )/ (M + ) pl. ha M =, futó átlagolás: 0., 0., 0., 0., 0. simító átlagolás: 0., 0., 0.333, 0., 0. kiugró értékek kimutatása: s' i s i > e 8

Néhány gyakran alkalmazott kétváltozós konvolúciós szűrés átlagoló szűrők, egyéb aluláteresztő szűrők, felüláteresztő szűrők (Laplace-féle szűrő, LoG, élkiemelés). 9

Medián szűrők zajszűrés, élmegtartás (alacsony zajszint esetén) ismertek az adott t, t,... t N pontokhoz tartozó s', s',... s' N értékek (hibával terheltek): s' i = s i + n i az s i szűrt értéket a szimmetrikusan elhelyezkedő M + jel mediánjaként állítjuk elő: s i = medián(s i+k ), k Î ( M, +M) Például x = [ 80 6 3] szűrés: y[] = medián[ 80] = y[] = medián[ 80 6] = medián[ 6 80] = 6 y[3] = medián[80 6 3] = medián[3 6 80] = 6 y[4] = medián[6 3 3] = medián[3 3 6] = 3 tehát y = [ 6 6 3]. 0

Medián szűrő, példa eredeti kép M=px medián szűrő M=3px medián szűrő M=0px medián szűrő

A legkisebb négyzetek módszerén alapuló szűrők A legkisebb négyzetek módszerén alapuló szűrés a legkisebb négyzetek elvén alapuló kollokáció speciális esete (trend= 0)

A Kálmán-szűrő Rudolf Emil Kalman publikálja az elméletet (960) Első nevezetes alkalmazása: Apolló űrhajó fedélzeti számítógépe (Armstrong) Navigációs és mérnöki alkalmazások Szenzor adatok fúziója (radar, lézerszkenner, kamera, INS, ) GNSS vevők, okostelefonok, számítógépek, játékok, stb. elmaradhatatlan része Tőzsde előrejelzés, idősor elemzés, függvény approximáció Rudolf Emil Kalman (Kálmán Rudolf) (930-) magyar származású villamosmérnök 3

A Kálmán-szűrés definíciója Olyan algoritmus, amely valamely lineáris dinamikus rendszerben egzakt következetést tesz lehetővé, amely a rejtett Markov-modellhez hasonló Bayesféle modell, azonban a rejtett változók állapottere folytonos, és minden rejtett és megfigyelhető változó (gyakran többváltozós) normális eloszlású. UGYE MINDEN VILÁGOS!? 4

Meg lehet érteni? a Kálmán-szűrés elgondolása egészen egyszerű és közvetlen: időben változó rendszer, amelynek állapotát leíró változókat (x) nem (teljesen) ismerjük ezt az állapotot szeretnénk minden lépésben a lehető legjobban megismerni rendelkezünk folyamatos mérésekkel (y), melyek kapcsolatba hozhatók a rendszer állapotával (x) 5

A Kálmán szűrő jellemzői lépésenkénti számítás, csak az előző és a jelenlegi lépés függvényében = rekurzív a kapcsolatok lineárisak (állapot változása, mérések-állapot kapcsolata) sztochasztikus (mérési hibák, állapot és a hibája valószínűségi változók) legkisebb hibájú optimális becslés (csak lineáris esetben bizonyítható) 6

Rekurzív becslés példa egyváltozós rendszer állapotát mérjük egymás utáni időpontokban mérések: x, x, x n, a legjobb állapot becslés az átlag: m = å n x i n i= új mérésünk van: x n+, a következő becslés (számológépek STAT funkciói): m n+ n n æ = xi = ç xi + xn+ n+ i= n+ èn i= n å å n+ n ö ø 7

Erősítés, új információ a frissített becslés kis korrekcióval számítható: n mn+ = mn+ xn+ = mn+ K n+ - n+ n+ K az erősítési tényező ( nyereség ) ez dönti el, mekkora lesz a korrekció x n+ µ n ( x m ) az új információ ( innováció ) ha nincs új információ, nem változik az előző becslés n 8

Rekurzív átlag becslés 9

Különböző információk optimális felhasználása egy távolságot két különböző eszközzel mértünk (mérőszalag, lézer távmérő) mérések: x, x, szórások: σ, σ az optimális becslést keressük x-re ez a súlyozott átlag: xˆ = wx - + ( w) x Mi az optimális w súly? 0

Optimális súly meghatározása mivel x, x normális eloszlású, a lineáris kombinációjuk is normális eloszlású, melynek szórása sˆ ws + (- az optimális w súly ennek a kifejezésnek a minimuma, ahol a w szerinti derivált zérus lesz s w az optimális súly tehát = w) s ˆ = w ( ) opt s - -w opt s w opt = s s + s = 0

Rekurzív optimális becslés Két lépésben mérünk, először x -et, azután x -t. Az első lépésben ˆ s ˆ = s x = x A második lépésben frissítjük a becslést sˆ xˆ - = xˆ + ˆ sˆ + s s ˆ æ sˆ ( x x ) ö ø = ç- sˆ sˆ + s è K erősítés (nyereség) új információ (innováció)

Rekurzív optimális becslés a becslési egyenletek ( x x ) xˆ - sˆ = xˆ ˆ + K ( ) - K s = ˆ K = sˆ sˆ + s becslés hibája (szórás) K: erősítés ismerős az egyenlet alakja? n+ = mn+ K n+ ( x m ) m - n 3

Többváltozós eset egy változó esetén: varianciák K = sˆ sˆ + s K: erősítés (szám) több változó esetén: kovariancia mátrixok K ˆ ˆ ˆ - ( M+ ) = M M K: erősítés (mátrix) (nyereségmátrix) 4

Erősítés mértéke ha jó a mérés, kicsi a σ hiba (szórás): K = sˆ sˆ sˆ» = sˆ + 0 +s egységnyi erősítés következménye: ( x ) ( ) - xˆ» xˆ + x- x x x ˆ = = xˆ + K ˆ a második mérés lesz az új becslés 5

Erősítés mértéke ha rossz a mérés, nagy a σ hiba (szórás): K = sˆ sˆ sˆ» = sˆ + +s 0 zérus erősítés következménye: ( x ) - xˆ» xˆ + 0 x x ˆ = = xˆ + K ˆ az első mérés lesz az új becslés 6

Közvetett mérések Mi van, ha x-et nem tudjuk közvetlenül mérni (rejtett változó, rendszerállapot)? Geodéziában ez jól ismert: közvetett mérések kiegyenlítése (II. kiegyenlítési csoport, paraméteres kiegyenlítés), Gauss-Markov modell Lineáris (közvetítő) egyenlet az y mérés és x rendszerállapot között (z a mérési hiba, zaj ): y = Cx+ a mérési zajt zérus átlag ( ) és az S z kovariancia mátrix jellemzi (E[ ] a várható érték): z z z = 0 [ ] T ( z- z)( z- z S = E ) 7

Kálmán szűrők elve Állapotegyenlet: x k+ = Ax k + Bu k + w k Átviteli egyenlet: y k = Cx k + z k A, B, C mátrixok; k az időváltozó (index) x a rendszer állapota (közvetlenül nem mérhető) u a rendszer ismert bemenete y a mért kimenete w és z a zaj w folyamat zaj z-t a mérési zaj 8

Rekurzív állapotbecslés állapot terjedése korrekció x ˆ = ( Axˆ + Bu ) + K ( y k+ k k k k+ -Cxˆ k ) K mátrix: Kálmán-féle nyereségmátrix 9

Állapot hiba terjedése Átviteli egyenlet: y k = Cx k + z k Hibaterjedés a mért kimenetre P y = CP k C T + S z C mátrix; k az időváltozó (index) x a rendszer állapota (közvetlenül nem mérhető) y a mért rendszer kimenet P k a becslési hiba kovariancia mátrixa P y a rendszer kimenet kovariancia mátrixa S z a mérési zaj kovariancia mátrixa 30

K nyereségmátrix Ha nagy a mérési zaj, S z is nagy lesz, tehát K kicsi, és így nem adunk nagy hitelt az y méréseinknek a következő állapot becslésénél. Viszont ha kicsi a mérési zaj, S z is kicsi lesz, tehát K nagy, és így több hitelt adunk a méréseinknek a következő állapot becslésénél. K k T = AP C ( CP C + S k k z T ) - 3

3 Kálmán szűrők elve Folyamat zaj kovariancia: Mérési zaj kovariancia: Kálmán-szűrő algoritmusa: ) ( T k k w w w S = E ) ( T k k z z z S = E T k z T k w T k k k k k k k k z T k T k k A CP S AP C S A AP P Cx y K Bu Ax x S CP C AP C K ) ˆ ( ) ˆ ( ˆ ) ( - + + + - - + = - + + = + =

P kovariancia terjedés A kovariancia terjedés összefüggése: P = AP A T + S - k+ k w AP C k T S - z CP k A T 33

Kálmán szűrés 34

Kálmán-szűrő alkalmazásai objektumkövetés, mesterséges látás dinamikus helymeghatározás gazdaságtan, makroökonómia inerciális navigáció pályameghatározás radar követés GNSS szeizmológia beszédjavítás időjárás előrejelzés navigációs rendszerek 3D modellezés stb. 35

Példa: járműnavigáció piros : valódi helyzet kék : mért helyzet zöld : a Kálmán-szűrő által becsült helyzet 36

Interpolációk Detrekői 7.4 Célja: a jelek meghatározása olyan pontokban, ahol jel nem áll rendelkezésünkre trend = zérus a felhasznált jeleket nem terheli zaj típusai: interpoláció súlyozott számtani középként, legkisebb négyzetek módszerén alapuló interpoláció, legközelebbi szomszéd módszere, lineáris és bilineáris interpoláció, spline-interpolációk polinomiális interpolációk klasszikus és általánosított interpoláció eltolt lineáris interpoláció 37

Interpoláció súlyozott számtani középként Az ismeretlen ponthoz tartozó jelet az ismert pontokhoz tartozó jelek (általában a távolságoktól függő) súlyozott számtani közepeként számítjuk. D, D, 3D esetben egyaránt alkalmazható. 38

A legkisebb négyzetek módszerén alapuló interpoláció A legkisebb négyzetek módszerén alapuló interpoláció a legkisebb négyzetek elvén alapuló kollokáció speciális esete (trend= 0, zaj=0). 39

Interpoláció feladata alappontok: x k,, k = 0,,..., n ahol a függvény értékei adottak: f k := f(x k ) approximáció: a közelítő függvény nem halad át az alappontokon interpoláció: a közelítő függvény áthalad az alappontokon 40

A legközelebbi szomszéd módszere (lépcsős interpoláció) az ismeretlen ponthoz tartozó jel értékét a hozzá legközelebbi ismert jelű pont jel értékével tekintjük azonosnak. D, D, 3D esetben egyaránt alkalmazható. 4

A legközelebbi szomszéd módszere (lépcsős interpoláció) -szeres elforgatás, interpoláció 4

Lineáris interpoláció számítási összefüggések Példa az alkalmazásra. 43

Bilineáris interpoláció számítási összefüggések Példa az alkalmazásra. 44

Bilineáris interpoláció -szeres elforgatás, interpoláció 45

Spline interpoláció A spline interpoláció elve. Egyváltozós harmadfokú spline interpoláció. Példák az alkalmazásokra. 46

Spline interpoláció elve A módszer lényege, hogy szakaszosan, több alacsony fokszámú polinommal közelítjük az adatokat. Például harmadfokú spline esetén, s i a i x 3 + b i x + c i x+ d i Az együtthatókat a csatlakozási, simasági és végfeltételekből határozzuk meg 47

48 Egyváltozós köbös spline Harmadfokú spline esetén a megoldandó egyenletrendszer a D i deriváltakra (m + adatpont van): m+ egyenlet m+ ismeretlenre Ha megkaptuk a D i -ket, ezekből a i, b i, c i, d i könnyen számítható: ú ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ê ë é - - - - = ú ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ê ë é ú ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ê ë é - - ) 3( ) 3(... ) 3( ) 3(.... 4.... 4 4 4 0 0 0 m m m m m y y y y y y y y D D D ) ( ) 3( + + + + + + - = - - - = = = i i i i i i i i i i i i i i D D y y d D D y y c D b y a

Köbös spline interpoláció -szeres elforgatás, interpoláció 49

Interpoláció polinommal interpolációs polinom: olyan p(x), max. n-edfokú polinom amelyre teljesül, hogy p(x k ) = f k, k = 0,,..., n Tétel: Pontosan egyetlen olyan polinom létezik, amelynek fokszáma n és az n + különböző x k pontban az adott f k értékeket veszi fel (k = 0,,..., n). 50

Lagrange-féle interpolációs polinom speciális eset: f m =, az összes többi interpolált érték 0 l m (x k ) =, ha k = m és l m (x k ) = 0, ha k m gyöktényezős alakban: l m (x) = c m (x-x 0 )(x-x ) (x-x m- )(x-x m+ ) (x-x n ) a c állandó meghatározása: = c m (x m -x 0 ) (x m -x m- )(x m -x m+ ) (x m -x n ) a keresett Lagrange-féle interpolációs polinom: l m ( x) x - = n Õ k= 0 xm- k¹ m x k x k 5

Lagrange-féle interpoláció interpoláció a Lagrange-féle polinommal f å int ( x) l ( x) interpolációs feltétel f = n m f m m= 0 n int = m= 0 ( xk ) = ålm( xk) fm = fk k 0,,..., akkor teljesül, ha n l m ( x k ) = ì, í î0, k k = ¹ m m 5

53

Interpolációk osztályozása Klasszikus interpoláció Általánosított interpoláció Eltolt lineáris interpoláció 54

Klasszikus interpoláció interpoláció a φ int (x) magfüggvénnyel f ( x- ) int ( x) = å f jint nîz interpolációs feltétel n x n fint ( xk) = å fnjint( xk - xn) = fk k = nîz akkor teljesül, ha 0,,..., n j int ( x k - x n ) = ì, í î0, k k = ¹ n n 55

Egyenközű klasszikus interpoláció egyenlő, egységnyi x i = i -k f = f ( k-i) k å iîz diszkrét konvolúció f k ij int = ( f * p) interpolációs feltételből következik, hogy k k Î Z p k = j int ( k ) p k = d k = ì, í î0, k k = ¹ 0 0 56

Általánosított interpoláció interpoláció a φ(x) bázisfüggvénnyel f ( x) = c j( x- ) int å nîz interpolációs feltétel n x n fint ( xk) = åcnj( xk - xn) = fk k = nîz 0,,..., előny: most a bázisfüggvénynek nem kell kielégítenie az interpolációs feltételt, ezért kedvezőbben választható meg hátrány: több számítás n 57 Hivatkozás: Thévenaz et al.(000)

Kapcsolat a klasszikus interpolációval klasszikus interpoláció: f int ( x) = å fnjint nîz interpoláló és nem interpoláló magfüggvény j int ( x ) = hj( x-n) å nîz ( x -n) az ekvivalens interpoláló magfüggvényt a bázisfüggvények szerinti szűréssel kapjuk meg n kîz 58

Példa: köbös spline köbös B-spline (nem interpoláló) -> Gauss-féle függvény /6, 4/6, /6 sorozat kardinális köbös spline (interpoláló) -> sinc függvény 59

Lineáris interpoláció másként φ bázisfüggvény: háromszög vagy kalap Λ(x) 60

Lineáris interpoláció átskálázott és egész értékkel eltolt kalap függvények összege f ( x) = f L( x- ) int å nîz n x n 6

Eltolt lineáris interpoláció nem interpoláló Λ bázisfüggvénnyel (T mintavételezési köz, 0 < τ 0.5 eltolás) f int ( x) = å nîz rekurziós egyenlet f n c n æ Lç è x T - = cn( n- -t) + c t ö n-t ø 6

Interpoláció konstrukciója lineáris eltolt lineáris f f n n- c c n n- f n+ c n+ τt (-τ)t τt (-τ)t τt 63

Az interpoláló bázisfüggvény 64

c együtthatók számítása c n helyben számítható (f n felülírható): c n t -t = - cn- + -t f n kiindulás: c = 0 = c - =... f0 c n számítása hatékony, rekurziós szűréssel lehetséges 65

Példa: Gauss-féle függvény interpolációja eredeti függvény minták f ( x) = e x - 66

Optimális eltolás Gain = 0 log 0 e elineáris eltoltlineáris τ opt = 0. 67

Optimális lineáris interpoláció T. Blu et al. (004) eredeti függvény egyenközű minták lineáris interpoláció eltolt lineáris interpoláció optimális eltolás: eltolás 68

A lineáris interpoláció szabályos hibát tartalmaz 69

Képfeldolgozás lineáris interpolációval eredeti kép hagyományos lineáris interpoláció eltolt lineáris interpoláció x elforgatás és interpoláció után 70

5 x 4 -os elforgatás és interpoláció SNR = jel-zaj viszony (signal to noise ratio) eredeti kép lineáris interpoláció eltolt lineáris interpoláció Keys köbös interpoláció SNR= db, CPU=5. s SNR=8.5 db, CPU=5. s SNR=8.5 db, CPU=9.4 s 7

Itt a vége...? 7