,,BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM Andrei Mărcuş LINEÁRIS ALGEBRA
ii ELŐSZÓ A lineáris algebra tárgya a lineáris terek és leképezések vizsgálata. Eredete a vektorok és a lineáris egyenletrendszerek tanulmányozására vezethető vissza. E dolgozat célja megismertetni az olvasóval az alapvető fogalmakat és eredményeket. Az anyag jobb megértésének érdekében az elméletet gyakorlatok és feladatok egészítik ki. A könyvet elsősorban matematika, informatika és fizika szakos egyetemi halgatóknak állítottuk össze, de figyelmébe ajáljuk a liceum felső osztályaiban tanuló diákoknak és tanárainak. Tekintetbe véve a lineáris algebra számtalan alkalmazási lehetőségét, a könyv hasznos lehet a mérnöki vagy a közgazdasági területeken dolgozó, ezen eredményeket alkalmazó szakemberek számára is.
iii TARTALOMJEGYZÉK 1. Algebrai alapfogalmak....................................................... 1 1.1. Számhalmazok. Egész számok........................................... 1 1.2. Relációk és függvények.................................................. 3 1.3. Rendezési és ekvivalencia relációk. Kardinális számok.................... 4 1.4. Csoportok............................................................... 8 1.5. Gyűrűk és testek....................................................... 14 1.6. Polinomok............................................................. 21 2. Modulusok, vektorterek, algebrák......................................... 27 2.1. Alapfogalmak.......................................................... 27 2.2. Részmodulusok, részterek, részalgebrák................................. 29 2.3. Morfizmusok........................................................... 30 3. Lineáris függőség és függetlenség. Bázis...................................35 3.1. Lineáris kombinációk. Szabad modulus................................. 35 3.2. Szabad modulusok univerzális tulajdonsága............................. 37 3.3. Steinitz-tétel. Vektortér dimenziója..................................... 39 3.4. Dimenzióra vonatkozó képletek......................................... 41 3.5. Lineáris függvény mátrixa.............................................. 43 3.6. Bázistranszformáció.................................................... 46 4. Determinánsok és mátrixok................................................ 49 4.1. Determináns értelmezése................................................49 4.2. Determináns induktív értelmezése.......................................51 4.3. Determinánsok tulajdonságai........................................... 55 4.4. Mátrix rangja.......................................................... 58 4.5. Feladatok.............................................................. 60 5. Lineáris egyenletrendszerek................................................ 65 5.1. Kronecker-Capelli-tétel................................................. 65 5.2. Egyenletrendszerek megoldása.......................................... 52 5.3. Numerikus módszerek.................................................. 71 6. Sajátértékek és sajátvektorok.............................................. 79 6.1. Sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus polinom........................ 79 6.2. Triangularizálható endomorfizmus...................................... 82 6.3. Diagonalizálható endomorfizmusok......................................85
iv 7. Bilineáris és kvadratikus alakok............................................ 89 7.1. Bilineáris és kvadratikus alakok......................................... 89 7.2. Valós kvadratikus alakok négyzetösszegre való redukciója................ 91 7.3. Sylvester-féle tehetetlenségi törvény.....................................95 7.4. Hermitikus alakok...................................................... 95 8. Euklideszi tér és unitér tér................................................. 99 8.1. Skaláris szorzat.........................................................99 8.2. Ortonormált bázis.....................................................101 8.3. Ortogonális és unitér transzformációk..................................104 8.4. Adjungált transzformáció..............................................105 8.5. Normális transzformációk..............................................107 ÚTMUTATÁSOK ÉS MEGOLDÁSOK...........................................111 IRODALOM..................................................................... 137
137 Irodalom 1. D. Andrica, Culegere de probleme de algebră liniară,, Lito. Univ Cluj, 1986. 2. M. Artin, Algebra, Birkhäuser, Basel, 1998. 3. M. Becheanu, Algebra I. Curs pentru anul II,, Lito. Univ. Bucureşti, 1987. 4. M. Becheanu ş.a., Algebra pentru perfecţionarea profesorilor, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. 5. G. Călugăreanu, Lecţii de algebră liniară,, Lito. Univ Cluj, 1995. 6. T. Csató, T. Frey, Algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978. 7. D. Fadeev et I. Sominski, Recueil d exercises d algébre supérieure, Edition Mir, Moscou, 1977. 8. M. Farkas, Matematika III. Lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971. 9. E. Fried, Klasszikus és lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. 10. L. Fuchs, Bevezetés az algebrába és számelméletbe II, Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. 11. P. Gabriel, Matrizen, Geometrie, Lineare Algebra, Birkhauser-Verlag, Basel-Boston-Berlin, 1974. 12. F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Chelsea, New-York, 1959. 13. I.M. Gelfand, Előadások a lineáris algebrábol, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1955. 14. R. Godement, Cours d Algébre, Hermann, Paris, 1963. 15. F. Gyapjas, Lineáris algebra és geometria, Tankönyvkiadó, Budapest, 1992. 16. E. Halmai, Lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. 17. P.R. Halmos, Véges dimenziós vektorterek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1984. 18. E. Horváth, Lineáris algebra, Műegyetemi Kiadó, Budapest, 1995. 19. I.D. Ion şi N. Radu, Algebra, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981. 20. I.D. Ion, C. Niţă, D. Popescu şi N. Radu, Probleme de algebra, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981. 21. Gh. Ivan, Bazele algebrei liniare şi aplicaţii, Ed. Mirton, Timişoara, 1996. 22. N. Jacobson, Basic algebra I, Freeman, San-Francisco, 1984. 23. A.I. Kostrikin, Introduction à l algébre, Edition Mir, Moscou, 1981. 24. A. Kurosh, Cours d algébre supérieure, Edition Mir, Moscou, 1973. 25. A. Mărcuş, Cs. Szántó, Általános algebrai feladatgyűjtemény, Lito. Univ Cluj, 1996. 26. I. Monostory, I. Rábai, Matematikai példatár III. Lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971. 27. I.V. Proskuriakov, Problems in linear algebra, Mir Publishers, Moscow, 1978. 28. T. Szele, Bevezetés az algebrába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1963. 29. J. Szendrei, Algebra és számelmélet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1974. 30. I.R. Şafarevici, Noţiunile fundamentale ale algebrei, Ed. Academiei, Bucureşti, 1989. 31. S. Warner, Modern Algebra, Dover, New York, 1990.