A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat úgy osztunk hogy a kitevőket kivonjuk. Tehát: a 8 : a = a 8- = a 6 X értékei: és 6 3 x = 81 = 3 4 ahonnan: x = 4
Adatgyűjtés: n = 10 k= Fontos a sorrend, mert nem mindegy, hogy kiből lesz elnök és kiből titkár. (megjegyzés: ha azonos pozíciót választanak pl. két titkárt, két elnököt stb, akkor nem számít a sorrend) Így viszont ismétlés nélküli variáció a feladat. 10 * 9 = 90 a megoldás. n = 8. Az összes lehetőség: FFF, III, FFI, IIF, FIF, IFI, IFF, FII kedvező esetek száma: k = FII, IIF, FIF, azaz k= 3. A valószínűség: k n = 3 8 3 (x 1) = 10 /*3 ( x 1 ) = 30 /: másképp: ( x 1 ) = 30 x 1 = 15 /+1 x = 30 /+ x = 16, ahonnan x = ± 4 x = 3 /: x = 16, ahonnan x = ±4
8. Ét = 1; 5 Ék = 3; 9. a 6 = 17 = a 1 + 5d Visszahelyettesítve d-t: a = 5 = a 1 + d 5 = a 1 + 3, ahonnan a 1 = 1 = 4d /:4 3 = d 10. Az x x 8 = 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. A két gyök (megoldások) lesznek a válaszok a feladatra. megoldások: x 1 = 4 és x = -
11. Egy egyenes egyenlete: 3x 7y = 16. Adja meg az egyenes irányszögét! 1.lépés: normálvektor felírása n(3; -7).lépés: meredekség felírása a normálvektorból m = A B = 3 7 = 3 7 3.lépés: meredekség = tg m = 3 7 = tg 4.lépés: ndf tan gombokkal a szög visszakeresése = 3,19º 1. Adja meg a c = a + 3b értékét, ha a = -i és b = i j! 1. lépés: Az a és b vektorok felírása koordinátákkal a(-; 0) és b(1; -1). lépés: Képezzük az a vektor -szeresét, és a b vektor 3-szorosát a(-4; 0) és 3b(3; -3) 3. lépés: c = a + 3b, azaz (-4; 0) + (3; -3) összegét kell kiszámolni: c (-1; -3). Lineáris kombinációval: c = -1i 3j = -i 3j 13. c) Magyarországon a gépkocsik tipikus rendszáma hat karakterből áll: az első három egyegy betű, a második három pedig egy-egy számjegy. Legfeljebb hány gépkocsit lehet ellátni tipikus rendszámmal? Válaszát indokolja! (5-féle betű és 10-féle számjegy szerepelhet a rendszámokon.)
a) A módusz miatt az egyik hiányzó szám a 4-es. Tehát az eddigi adataink: 3, 4, 4, 7, x. Egy ismeretlen számunk van, amit a megadott átlaggal kell kiszámolnunk. felírjuk az átlag képletét, behelyettesítünk, és megkapjuk a hiányzó számunkat: 3+4+4+7+x 5 = 6,5 / *5 18 + x = 3,5 / -18 x = 14,5 a másik hiányzó szám. b) medián: 3, 4, 4, 7, 14,5 Me = 4 c) Adatgyűjtés: betűk esetében: n = 5 és k = 3 Fontos a sorrend és van ismétlődés! -> ism.variáció számok esetében: n = 10 és k = 3 Fontos a sorrend és van ismétlődés! -> ism. variáció Számítás: 5 * 5 * 5 * 10 * 10 * 10 = 15.65.000 db rendszámtábla készíthető 14. a) cosx 1 = 0 / +1 b) 3x + 1 = 5 x /( ) négyzetre emelünk cosx = 1 / : 3x + 1 = 5 x /+ x cosx = 0,5 / ndf cos x + 3x + 1 = 5 / -5 15. x = 60º = π 3 rad x + 3x 4 = 0 A másodfokú egyenlet megoldása a megoldóképlettel: x 1 = 1 és x = -4 a) Számítsa ki a háromszög súlyvonalának egyenletét! b) Adja meg a háromszög AC oldalának egyenletét! c) Számítsa ki a súlyvonal és az e: 3x + 4y = egyenes metszéspontjának koordinátáit!
d) A háromszög köré írható kör egyenlete: x + y x + 4y 0 = 0. Határozza meg a kör középpontját és sugarát! a) A háromszög egy súlyvonalának egyenlete két ponton átmenő egyenes egyenletével is felírható. Súlyvonal: Az egyik csúcs és a vele szemközti oldal felezőpontját összekötő szakasz. B(4; 4) 1.lépés: F(x;y) felezőpont számítása BC szakasz fele F( 4+4 ; 8+4 ) = F(0; 6).lépés: A(-4; -4) és F(0;6) ponton átmenő egyenes F(x; y) egyenletének felírása: (0+4)*(y+4) = (6+4)*(x+4), ahonnan rendezéssel A(-4; -4) C(-4; 8) kapjuk az alábbi alakot: -4 = 10x 4y Tehát az egyik súlyvonal egyenlete: s: -4 = 10x 4y b) AC oldal egyenletét hasonlóképpen számítjuk, mint az előbbi feladatban: A(-4;-4) és C(-4;8) x 1 ; y 1 x ;y Az egyenlet: (-4+4)*(y+4) = (8+4)*(x+4) ahonnan rendezéssel kapjuk az AC oldal egyenletét: 0 = 1x + 48 vagy -48 = 1x c) két egyenes metszéspontjának kiszámítása: (egyenlő együtthatók módszerével oldjuk meg) s: 10x 4y = -4 e: 3x + 4y = / adjuk össze a két egyenletet, így kiesnek az y-os tagok 13x = - / : 13 x = -1,69-1,7 Az y koordinátát megkapjuk, ha x=-1,7-et visszaírjuk valamelyik eredeti egyenletbe: 3 *(- 1,7) + 4y = -> -5,1 + 4y = /+5,1 -> 4y = 7,1 /:4 y = 1,75 1,8 A két egyenes metszéspontja tehát: M(x; y) = M(-1,7; 1,8) d) x + y x + 4y 0 = 0 együtthatók: a = - b = 4 c = -0 Kör középpontja: O( a ; b ) = O(1; -) A kör sugara: r = a + b 4c = 4+16 ( 80) = 10 = 5
a) 4 x 6x+75 = 64 = 4 3 / két azonos alapú hatvány akkor egyenlő, ha kitevőjük megegyezik. Exponenciális egyenleteknél az azonos alapok elhagyhatók, és a kitevőkkel dolgozunk tovább. x 6x + 75 = 3 /-3 / kaptunk egy másodfokú egyenletet, amit a megoldóképlettel x 6x + 7 = 0 kell megoldani. Ha jól számolunk, akkor a feladatban megadott két szám (4 és 9) a két helyes megoldás. Ezzel az állítást bizonyítottuk. b) Számtani sorozat: adatgyűjtés: a 1 = 9 d = 4 S 5 =? S 5 = a 1+ a 5 5 = 9 +5 a 5 = a 1 + 4d = 9 + 4 * 4 = 9+16 = 5 5 = 85 Tehát a sorozat első 5 tagjának összege: 85 c) Adatgyűjtés: Az n értékét keressük!!!! S n = 3649 Írjuk fel az összegképlet képletét! S n = 3649 = a 1+ a n n = 3649 = a 1+ a n n = a 1+ a 1 + n 1 d n 3649 = 9+9+ n 1 4 n = 18+4n 4 n A képletben írjuk át az a n utolsó tagot a képletére Helyettesítsük be a meglévő adatainkat! /* eltüntetjük a törtet 798 = (18 + 4n 4) * n / beszorzunk a jobb oldalon n-nel 798 = 18n + 4n 4n / másodfokú egyenletet kapunk, rendezzük, és megoldjuk 4n + 14n 798 = 0 megoldások n-re: n 1 = 41 és n = -44,5 Ez az eredmény nem megoldása a sorozatnak, mert negatív szám. Nincs a sorozatnak -44,5. tagja. Csak a pozitívokat értelmezzük rájuk. Tehát a sorozat első 41 tagjának az összege ér 3649-et.