Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész számot jelentenek, hacsak nem jegyzünk meg mást róluk. Egy adott számkörben egységeknek nevezem azokat a számokat, amik a számhalmaz minden elemének osztói. A természetes számok halmazában az egység: az 1. Az egész számok halmazában az egységek: 1 és 1. A páros számok halmazán nincsenek egységek. Valódi osztók Minden szám osztható az egységekkel és önmagával (illetve önmaga egységszereseivel). Ezért ezeket az osztókat nem valódi osztóknak nevezzük. Egy szám valódi osztói azok az osztók, amelyek nem egyenlők valamely egységgel, vagy a szám valamelyik egységszeresével. Prímszámok Az egész számok négy nagy csoportra oszthatók: I. A nulla II. Az egységek: ők mindennek osztói a halmazban (egymásnak is). III. Felbonthatatlanok (az egész számok halmazában ők a prímszámok): azok a számok, amiknek nincs valódi osztójuk (csak az egységek ill. a szám egységszeresei az osztók). Úgy is fogalmazhatunk, hogy az egész számok körében azok a prímek, amiknek négy osztójuk van: maga a szám, az 1, illetve ezek ellentettjei. IV. Összetett számok: azok, amiknek van valódi osztójuk. Az eraszthotenészi szita Prímszámokat az ún. eraszthotenészi szita segítségével lehet keresni. Egymás után írjuk 2-től a természetes számokat addig, amíg keresni akarunk. Első lépésben bekarikázzuk a 2-est, majd minden többszörösét kihúzzuk. Utána megkeressük a megmaradt legkisebb prímszámot, ezt bekeretezzük, a többeseit pedig kihúzzuk. Ezt a műveletsort folytatjuk. Előbb-utóbb minden számot vagy bekarikázunk, vagy kihúzunk. A bekarikázott számok a (pozitív) prímszámok, a kihúzottak pedig az összetett számok. A számelmélet alaptétele Minden szám sorrendtől és egységszeresektől eltekintve egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára. Ezt az egyértelmű felbontást nevezzük a szám prímtényezős felbontásának. Ezt a tételt középiskolában nem bizonyítjuk, de megjegyezzük, hogy a páros számok körében ez például nem teljesül. A 36 = 6 6 és 36=2 18 ugyanis két különböző felbontás; a 6, a 2 és a 18 ugyanis felbonthatatlanok ezen a számhalmazon. A prímek száma végtelen. Ez egy tétel. Bizonyítása indirekt: Tegyük fel, hogy véges sok prímszám van. Ekkor fel lehet sorolni őket, sőt a felsorolás véget is ér. Legyen egy ilyen felsorolás: p 1; p 2; p 3; ; p n. Elvileg ebben a sorozatban van az összes prím. Szorozzuk őket össze. A szorzathoz adjunk 1-et. A kapott szám valamennyi felsorolt prímszámmal osztva 1 maradékot ad, tehát egyikkel sem osztható. Ekkor viszont vagy prím (de minden felsorolttól különbözik, tehát nem is soroltuk fel mindegyiket, ellentmondásra jutottunk); vagy nem prím, de akkor felbontható prímek szorzatára; tehát van prímosztója. De ez a prímosztó biztosan nem szerepel a felsorolásban, hiszen azok egyikével sem osztható. Ez is ellentmond annak, hogy minden prímet felsoroltunk. Mindenképpen ellentmondásra jutunk tehát, ezért a kiindulási feltétel hamis: nem igaz, hogy csak véges sok prímszám van. Megjegyzés: a bizonyítást nem kötelező indirekt módon elvégezni. Elég megmutatni, hogy akármennyi véges prímszámból éppen az előző bizonyításban leírt módszerrel legalább egy új prímet lehet képezni. Ez azt jelenti, hogy a prímek száma felülről nem korlátos, tehát végtelen sok van belőlük. Lnko, lkkt. (A természetes számok halmazán érvényes definíciók) Két szám legnagyobb közös osztóján a közös osztók legnagyobbikát értjük. Meghatározása: a törzstényezős felbontásban szereplő közös tényezőket vesszük az előforduló legkisebb kitevővel, s ezeket a prímhatványokat összeszorozzuk. Két szám legkisebb közös többszörösén a közös többszörösök legkisebbikét értjük. Meghatározása: a két szám törzstényezős felbontásában szereplő összes tényezőt vesszük az előforduló legnagyobb kitevővel, s ezeket a prímhatványokat összeszorozzuk. A lnko és a lkkt szorzata Tétel: két szám lnko-ja és lkkt-e összeszorozva a két szám szorzatát adja eredményül. Bizonyítás: Tekintsük a két szám prímtényezős felbontását. Válasszunk ki egy prímtényezőt. A két szám szorzatában ez a prímtényező a két előforduló hatványkitevő összegére van emelve. A lnko és lkkt összeszorzásakor kapott szám felbontásában ugyancsak. ( ) Ez minden prímtényezőre elmondható. Az a b és a lkkt(a;b) lnko(a;b) számok prímtényezős felbontása tehát megegyezik. A SZAT-vel összhangban ezek szerint a két szám is megegyezik. 1. Határozzuk meg a 90 összes egész osztójának az összegét! 1.H a.) Soroljuk fel az 54 összes osztóját az egész számok halmazán! b.) Hány olyan 100-nál kisebb egész szám van, amelynek a 17 és a 49 is osztója? 2. Soroljuk fel az 5ab 2 kifejezés osztóit! 2.H a.) Határozzuk meg a 3a 2 b 3 és a 9ab 4 kifejezések legnagyobb közös osztóját! b.) Lehetséges-e, hogy 7 osztója a 9a 3 b 2 kifejezésnek, ha a nem osztható 7-tel? c.) Lehetséges-e, hogy 729 osztója a 2n 2 m 3 kifejezésnek, ha n és m prímszámok? 3. Határozzuk meg az x 2 y 2 kifejezés osztóit! 3.H a.) Bizonyítsuk be, hogy az x 3 8 kifejezés mindig osztható x 2 +2x+4-gyel, ha x egész. b.) Igazoljuk, hogy az x 2 25 kifejezés mindig osztható x+5-tel! c.) Határozzuk meg az x 4 + 14x 3 + 51x 2 + 14x 80 kifejezés összes elsőfokú polinom osztóját, ha tudjuk, hogy (x+2) az egyik! 4. Bizonyítsuk be, hogy a (4k+1) 2 5 kifejezés minden egész k esetén osztható 4-gyel! 4.H a.) Igazoljuk, hogy a (3k+2) 2 (3k+1) kifejezés minden egész k-ra osztható 3-mal!
b.) Bizonyítandó, hogy az 5-tel osztva 3 maradékot adó számok négyzete 5-tel osztva 4 maradékot ad. c.) Mutassuk meg, hogy (2n+1) 2 1 mindig osztható 4-gyel! (Sőt: 8-cal is, erről később ) 5. Határozzuk meg az összes olyan c egész számot, amelyre a 12/c kifejezés is egész! 5.H a.) Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre a 40/n kifejezés is egész! b.) Melyek azok az x egészek, amelyekre 128/x is egész szám? c.) Melyek azok a k természetes számok, amelyekre 72/(3k) is természetes szám? 6. Határozzuk meg az összes olyan m egész számot, amelyre a 42/(m+2) kifejezés pozitív egész szám lesz! 6.H a.) Milyen egész t számok esetén lesz a 6/(t 7) kifejezés pozitív egész? t eleme a {13; 10; 9; 8; 6; 5; 4; 1} halmaznak. b.) Adjuk meg azokat az m egész számokat, amelyekre 24/(m + 13) természetes szám! c.) Melyek azok a c természetes számok, amelyekre -50/(c 111) egész szám? 7. Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre az (n+2)/(n 4) kifejezés is egész szám lesz! 7.H a.) Határozzuk meg az összes olyan k egész számot, amelyre a (k+8)/k kifejezés is egész szám lesz! b.) Melyek azok az m egész számok, amelyekre az (m + 2) / (m 10) kifejezés természetes szám? c.) Adjuk meg az összes olyan n természetes számot, amelyre (n + 5) / (3 n) egész! 8. Oldjuk meg a (3+m) (2 n) = 9 egyenletet a pozitív egész számok halmazán! 8H. a.) Adjuk meg az (x 2) (y 5) = 6 egyenlet összes egész megoldás-párját! b.) Oldjuk meg az (a+4) (b 7) = 50 egyenletet az egész számok halmazán! c.) Mely egész számpárok oldják meg az xy + y = 18 egyenletet? 9. Oldjuk meg az xy 4x + 6y = 1 egyenletet az egész számok halmazán! 9.H a.) Ha két egész szám összegéhez hozzáadjuk a szorzatát, 36-ot kapunk. Melyik lehet ez a két egész szám? b.) Határozzuk meg az xy + x + 5y = 3 egyenlet összes egész megoldáspárját! c.) Oldjuk meg a 2a + 8b = ab diofantikus egyenletet! 10. Bizonyítsuk be, hogy (a b) osztója a n b n -nek! felelés kérdés is! 10.H a.) Bizonyítsuk be, hogy (a+b) osztója a n +b n -nek, ha n páratlan szám! felelés kérdés is! b.) Bizonyítsuk be, hogy (a+b) osztója a n b n -nek, ha n páros szám! c.) Bizonyítsuk be, hogy (x 1) osztója (x k 1)-nek, ha k pozitív egész szám! 6. Osztási maradék Egy egész szám n-nel való osztási maradékán a vizsgált szám és a nála nem nagyobb n-nel osztható számok legnagyobbikának különbségét értjük. Az n-nel osztható számok k n alakba írhatók. Az n-nel osztva 1 maradékot adó számok k n+1 alakba írhatók. Az n-nel osztva 2 maradékot adó számok k n+2 alakba írhatók. stb. Az 4-gyel osztva 1 maradékot adó számok halmazát 1-es maradékosztály modulo 4 -nek nevezzük, vagy a 4 osztó 1-es maradékosztályának. Jele: (n). (Kézírásban: karikás 1-es.) Az (n) halmaz elemei: 1; 5; 9; 13; továbbá -3; -7; -11; ; rövidebben: {4k+1 k egész} = (4) Hasonlóan: {4k+2 k egész} = (4); {4k+3 k egész} = (4) {4k k egész} = (4) Megjegyzés: elvileg egy maradékosztályt bármelyik képviselőjével jelölhetünk. Például (4) = (4), de a jobb átláthatóság kedvéért a végtelen sok képviselő közül azt szokás választani a maradékosztály megadásánál, amely az n osztó esetén 0 és n-1 közé esik. Megállapodás: a modulust (osztót) hosszabb fejtegetésnél elegendő egyszer (az elején) kiírni, amennyiben ez az egész leírás során ugyanaz. A fentiekből következik, hogy n-nel oszthatóság szempontjából n darab maradékosztály létezik. A maradékosztályok között különleges műveleteket végezhetünk: értelmezhető közöttük az összeadás, a kivonás és a szorzás művelete. (Az osztás mint a szorzás megfordítása nem működik, amint azt majd látni fogjuk.) A értelmezése (4): Kérdés: ha egy 2-es és egy 3-as maradékosztálybeli számot összeadok, mondhatok-e valami általános törvényszerűséget az összeg maradékáról? A válasz: igen. Adjuk össze a 4k + 2 és a 4m + 3 számokat. Az első a 2-es, a második a 3-as maradékosztályból való, amennyiben k és m egészek. Az összeg: 4k + 2 + 4m + 3 = 4k + 4m + 5 = 4k + 4m + 4 + 1 = 4 (k + m + 1) + 1. A zárójelben egész szám áll, így azt kaptuk, hogy az összeg az 1-es maradékosztályba került. Általánosságban kimondható a következő tétel: Legyen adott az n osztó és két tetszőleges (akár megegyező) maradékosztálya. A két maradékosztályból tetszőlegesen választott egy-egy elem összege a választástól függetlenül mindig ugyanabba a maradékosztályba tartozik. - Ezt a maradékosztályt nevezhetjük a két maradékosztály összegének. Hasonlóan határozható meg két maradékosztály szorzata és különbsége is. A hányadossal nem ilyen egyszerű a helyzet. Az osztás a szorzás megfordított művelete. Mivel például 4 2 = 8 (12) és 4 5 = 8 (12), ezért a 8:4 művelet eredményéről nem tudhatjuk, hogy 2 vagy 5 (sőt lehet 8 és 11 is). (Más szóval: nem igaz a fenti tétel osztásra. Vizsgáljuk a 8 és a 4 maradékosztályt mod 12. Ha a 8-as maradékosztályból a 20-at, a 4-esből a 4-et választjuk, a hányados 5, az 5-ös maradékosztályba kerül. Ha viszont a 8-as maradékosztályból a 44-et, a 4-esből a 4-et választjuk, a hányados a 11-es maradékosztályba tartozó lesz. Így az osztásnál nem mindig ugyanabba a maradékosztályba kerülünk.) Maradékosztályok hányadosát ezért általában nem értelmezzük. Összeg, különbség, szorzat osztási maradéka egyenlő a tagok/tényezők osztási maradékainak összegével, különbségével, szorzatával, illetőleg ezek osztási maradékával. Biz: egyszerű, de hosszú. HF. 11. Végezzük el a következő műveleteket a mod 5 maradékosztályok körében! + + + + 11.H a.) Adjuk meg a következő műveletek eredményét a 8-as osztási maradékosztályok körében! + + + + + + - - - a.) Adjuk meg a következő műveletek eredményét a 3-as osztási maradékosztályok körében! + + + + + 12. Mely maradékosztályba tartoznak a következő számok 8-cal osztva? 5 4 3 10 9112
9 19 29 100 3721 77 226 12.H Mely maradékosztályba tartoznak a következő számok 6 szerint (azaz 6-tal osztva, modulo 6)? 8 55 209 2009 5996 1111 13. Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 5-tel osztva? 324 + 8291 3217 213 827 261 117 778 362 911 3627 13.H Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 9-cel osztva? 23749 + 123732-179311 324793 236 88 1 9999 999 + 99 99999 14. Milyen maradékot adnak a 2 hatványai 7-tel osztva? 14.H a.) Milyen maradékot adnak a 4 hatványai 11-gyel osztva? b.) Milyen maradékot adnak a 3 hatványai 8-cal osztva? c.) Milyen maradékot adnak a 9 hatványai 5-tel osztva? d.) Milyen maradékot adnak az 5 hatványai 12-vel osztva? e.) Milyen maradékot adnak a 2 hatványai 9-cel osztva? 15. Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 7-tel osztva? 43 7 32479 12738 192 7 + 2137 8 23175 1263829 15.H Határozzuk meg a következő számok maradékát a megadott modulus mint osztó szerint! 77 77 (2) 291 382 (3) 6 10 23 (7) 538 372 229 (10) 7239 2368 1386 1193 326 18 (8) Oszthatósági szabályok (ismétlés, HF): 2-vel, 4-gyel, 8-cal, 2 n -nel; illetve 5-tel, 25-tel, 125-tel, 5 n -nel. 3-mal és 9-cel 6-tal, 12-vel, 24-gyel, 120-szal. 11-gyel Tétel: n darab egymást követő egész szám közül pontosan egy darab lesz n-nel osztható. Bizonyítás: az n darab egymást követő egész szám mindegyike különböző maradékot ad n-nel osztva, így különböző maradékosztályokba tartoznak. Tudjuk, hogy n darab maradékosztály van n szerint, így mindegyik maradékosztályba pontosan egy elem kerül. Ez igaz a 0 maradékosztályra is, tehát pontosan egy 0 maradékosztálybeli elem van az n szám között, így pontosan egy osztható közülük n-nel. Tétel: Ha egy szám osztható a-val és b-vel, akkor osztható ezek legkisebb közös többszörösével is. Bizonyítás: vizsgáljuk a szám törzstényezős felbontását és ebben egy tetszőleges p prím kitevőjét, ez legyen k p. Mivel a szám a-val osztható, a-ban p kitevője legfeljebb k p; hasonlóan b-ben is legfeljebb ennyi. Ebből következik, hogy lkkt(a; b) törzstényezős felbontásában is a vizsgált p kitevője legfeljebb annyi, mint az eredeti szám felbontásában. Ez a tény bármely p-re elmondható, azaz lkkt(a; b) minden törzstényezőt legfeljebb annyiadik hatványon tartalmaz, mint a vizsgált szám. Ez éppen azt jelenti, hogy osztója neki. 21. Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő természetes szám szorzata osztható 6-tal. 21.H a.) Bizonyítsuk be, hogy négy egymást követő természetes szám szorzata osztható 24-gyel! b.) Bizonyítsuk be, hogy öt egymást követő természetes szám szorzata osztható 120-szal! c.)* Bizonyítsuk be, hogy n darab egymást követő természetes szám szorzata osztható n!-sal! 22. Bizonyítsuk be, hogy a n 3 +23n kifejezés osztható 24-gyel, ha n osztható 8-cal! 22.H Bizonyítsuk be, hogy 6 osztója az n 3 +11n-nek! 23. Bizonyítsuk be, hogy az 57 osztója 7 n+2 +7 n+1 +7 n -nek! (n pozitív egész). 23.H a.) Bizonyítsuk be, hogy a 6 n+2 6 n+1 + 6 n kifejezés biztosan osztható 31-gyel! (n pozitív egész). b.) Igazoljuk, hogy a 8 n + 2 8 n+1 + 8 n+2 kifejezés biztosan osztható 3 4 -nel, ha n pozitív egész szám! 24. Hogyan lehet megállapítani egy szám prímtényezős felbontásáról, hogy a szám 8-cal osztható-e? 24.H a.) Hogyan lehet megállapítani egy szám prímtényezős felbontásáról, hogy a szám négyzetszám-é? b.) Hogyan lehet megállapítani egy szám törzstényezős felbontásáról, hogy a szám 6-tal osztható-e? c.) Egy szám törzstényezős felbontásában minden kitevő osztható 3-mal. Mit állíthatunk biztosan a számról? 25. Egy háromjegyű számot kétszer leírunk egymás után. Bizonyítsuk be, hogy az így nyert hatjegyű szám biztosan osztható 7-tel! 25.H a.) Egy háromjegyű számot kétszer leírunk egymás után. Bizonyítsuk be, hogy az így nyert hatjegyű szám biztosan osztható 11- gyel és 13-mal! b.) Egy kétjegyű számot háromszor leírunk egymás után. Igazoljuk, hogy az így kapott szám osztható 37-tel, 13-mal és 7-tel is! 26. Két szám legnagyobb közös osztója 6, legkisebb közös többszöröse 108. Melyik lehet ez a két szám? 26.H a.) Két szám legnagyobb közös osztója 14, legkisebb közös többszöröse 420. Melyik lehet ez a két szám? b.) Két szám lnko-ja 2, lkkt-e 91. Melyik lehet ez a két szám? c.) Két szám lnko-ja 8, lkkt-e 360. Mennyi a két szám négyzetösszege? 27. Egy buszvégállomásról az 1-es buszok 15 percenként, a 2-es buszok 24 percenként követik egymást. Reggel 6 órakor egyszerre indul egy 1-es és egy 2-es busz a végállomásról. Melyik a következő olyan időpont, amikor ismét egyszerre indulnak ezek a buszok? 27.H a.) Egy út egyik oldalán 30 méterenként fák, a másik oldalán 42 méterenként villanyoszlopok sorakoznak. Egy helyen pontosan szemben áll egymással egy fa és egy villanyoszlop. Hány méterenként ismétlődik meg ez a találkozás? b.) Egy templom tornyában délben két haranggal harangoznak hosszasan. Az egyik 1,4 másodpercenként, a másik 1,8 másodpercenként üt egyet. Egy adott pillanatban egyszerre üt mindkét harang. Mikor következik be legközelebb ez a jelenség? 28. Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 48-cal! 28H. a.) Bizonyítsuk be, hogy két egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 8-cal! b.) Igazoljuk, hogy négy egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 192-vel! 29. Bizonyítsuk be, hogy 2 7 n + 1 mindig osztható 3-mal! 29.H a.) Bizonyítsuk be, hogy 5 13 n + 4 mindig osztható 3-mal! b.) Bizonyítsuk be, hogy 14 15 n + 30 31 n+1 bármilyen pozitív egész n esetén osztható 16-tal! 30. Lehet-e 46 egymást követő természetes szám összege osztható 46-tal? 30.H a.) Lehet-e 46 egymást követő páros szám összege osztható 46-tal? b.) Igaz-e, hogy 2009 egymást követő természetes szám összege 2009-cel biztosan osztható? 31. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik 7-tel osztva 6; 8-cal osztva 7; 9-cel osztva pedig 8 maradékot ad? 31.H a.) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik 4-gyel osztva 3; 5-tel osztva 4; 7-tel osztva pedig 6 maradékot ad? Bizonyítsuk be, hogy két tetszőleges ilyen tulajdonságú szám különbsége osztható 140-nel! b.) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely 7-tel osztva 5, 8-cal osztva 6 és 10-zel osztva 8 maradékot ad? 32. A 23x9y ötjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 45-tel! 32H. a.) A 23x9y ötjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 36-tal! b.) Az 1x8x3y hatjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 72-vel! 33H. Bizonyítsuk be, hogy 11 10 1 osztható 120-szal!
Négyzetszámok osztási maradékai Példa: Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 3-mal osztva? Állítás: A maradék 0 vagy 1 lehet, 2 sohasem. Bizonyítás: az egész számokat három csoportba sorolhatjuk: 3k alakú számok; ezek négyzetei: (3k) 2 = 9k 2 = 3 3k 2, tehát 0 maradékot adnak 3-mal osztva. 3k+1 alakú számok; ezek négyzetei: (3k+1) 2 = 9k 2 +6k+1 = 3 (3k 2 +2k)+1, ezek tehát 1-et adnak maradékul 3-mal osztva. 3k+2 alakú számok; ezek négyzetei (3k+2) 2 = 9k 2 +6k+4 = 9k 2 +6k+3+1 = 3 (3k 2 +2k+1)+1, ezek is 1-et adnak tehát maradékul 3- mal osztva. A világ összes egész számát négyzetre emeltük, és sohasem kaptunk 2-es maradékot. Állításunkat ezzel igazoltuk. 33. Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 8-cal osztva? 33.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 4-gyel osztva? 0 vagy 1. b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 6-tal osztva? 34. Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 10-zel osztva? 34.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 5-tel osztva? b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 16-tal osztva? 35. Milyen számjegyre végződhet egy egész szám negyedik hatványa? 35.H a.) Milyen maradékot adhat egy egész szám negyedik hatványa 5-tel osztva? b.) Melyik maradékosztályba tartozhat egy egész szám negyedik hatványa mod 8? 36. Milyen számjegyre végződhet egy egész szám harmadik hatványa? 36.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 7-tel osztva? 0; 1; 2; 4. Sosem lehet 3; 5; 6. b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 11-gyel osztva? 0; 1; 3; 4; 5; 9. Sosem lehet 2; 6; 7; 8; 10. 37. Legyen t egész szám. Mennyi lehet a t 2 + 5 szám maradéka 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 7-tel, 8-cal, 9-cel, 10-zel, 16-tal osztva? (Több feladat, rendesen dolgozzuk ki, fontos!) 37.H a.) Milyen számjegyre végződhet az r 2 + 2 kifejezés, ha r egész szám? b.) Legyen b egész szám. Mennyit ad maradékul a b 2 + 16! szám 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 7-tel, 8-cal, 9-cel, 10-zel, 16-tal osztva? c.) Mi lehet a 8-as maradéka az x 4 + y 4 + 3 számnak, ha x és y egészek? d.) Legyen c egész szám. Milyen maradékot adhat a (c + 2) (c 2) + 5 kifejezés 8-cal osztva? 38. Az y számról tudjuk, hogy egész. Mennyi lehet a maradéka az y 2 2 számnak 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 8-cal, 10-zel és 16-tal osztva? 38.H a.) Az e 2 11 számot 6-tal osztjuk. Mi NEM lehet a maradék, ha e egész szám? b.) Mennyi lehet a 4-es osztási maradéka a 3 2 u 2 kifejezésnek, ha u egész szám? c.) Határozzuk meg az (x 13) (x + 13) szorzat 5-tel való osztási maradékát, ha x egész szám! Minden lehetséges megoldást adjunk meg! d.) Adjuk meg az (a 2 + b) (a 2 b) szorzat utolsó számjegyének lehetséges értékeit, ha a és b egész számok és b nem nulla! e.) Milyen számjegyre végződhet a (2x+1) 4 (4y 2) 4 kifejezés, ha x és y egész számok? 39. Adjuk meg az összes olyan p prímszámot, amelyre p 2 +2 is prím! 39.H a.) Keressük meg az összes olyan n egész számot, amelyre n 2 és n 2 +2003 egyaránt prím! b.) Keressük meg az összes olyan p prímet, amelyre p+14 és p+28 is prím! c.) Keressük meg az összes olyan p prímet, amelyre p 2 +20 vagy p 2 +50 (legalább az egyikük) prím! 40. Bizonyítsuk be, hogy két páratlan szám négyzetének összege sohasem lehet négyzetszám! 40H. a.) Bizonyítsuk be, hogy három páratlan szám négyzetének összege sohasem lehet négyzetszám! b.) Bizonyítsuk be, hogy bármely négy egész szám négyzete közül kiválasztható úgy kettő, hogy különbségük 8-cal osztható legyen! 41. Keressük meg az összes olyan négyzetszámot, amely csupa egyforma számjegyből áll! 41.H a.) Keressük meg az összes olyan egész számot, amelyiknek a negyedik hatványa csupa egyforma számjegyekből áll! 0; 1; -1. b.) Hány olyan egész szám van, amelynek a négyzete csupa egyforma számjegyből áll? 42. Lehet-e négyzetszám az az egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 42.H a.) Van-e olyan négyzetszám, amelynek számjegyei a 0, 2, 3, 5 számok, valamilyen sorrendben? Igen. b.) Van-e olyan négyzetszám, amely csupa 0-ból és 3-asokból áll? Nincs. c.) Van-e olyan négyzetszám, amelynek 10-es számrendszerbeli alakjában 2009 darab 1-es és valahány 0 szerepel? Nincs. 43. Bizonyítsuk be, hogy n 2 + n 4 + n 8 minden egész n esetén osztható 3-mal! 43.H a.) Bizonyítsuk be, hogy n 2 + n 4 + n 6 + n 8 minden egész n esetén osztható 4-gyel! b.) Bizonyítsuk be, hogy n 4 + n 8 + n 12 + n 16 + n 20 minden egész n esetén osztható 5-tel! 44. Van-e olyan prímszám, amelyik osztható egy négyzetszámmal? 44.H a.) Van-e olyan szám, amelynek a törzstényezős felbontásában a 2 páratlan kitevőn szerepel, de a szám osztható egy négyzetszámmal? Van. b.) Van-e olyan szám, amelynek a törzstényezős felbontásában a 7 páratlan kitevőn szerepel, de a szám osztható egy páros négyzetszámmal? Van. Jó munkát!
Az eraszthotenészi szita Keressük meg a prímszámokat 1 és 1000 között! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 1000