JAVÍTÓVIZSGA ANYAGA 9. ÉVFOLYAM Tankönyv: Sokszínű Matematika 9. Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma, számegyenesek, intervallumok Algebra és számelmélet Függvények ábrázolása, jellemzése Háromszögek, négyszögek, sokszögek Egyenletek, egyenletrendszerek egyenlőtlenségek Gyakorlásra ajánlott feladatok a tankönyv példái, és a feladatgyűjtemény megfelelő feladatai. Éves összefoglaló feladatsor. feladat: Végezze el a lehetséges összevonásokat és rendezze a tagokat csökkenő fokszám szerint x + x 5x + x 5x + x x + x. feladat: Végezze el a hatványozásokat: ( ) ( a ) ( a ) a ( a ) a. feladat: Alkalmazza a nevezetes azonosságokat: ( b) a a b + c a b c 5 5. feladat: Alakítsa szorzattá a következő kifejezéseket: 8a a ax by ay + bx a b x + xy + y 5. feladat: Végezze el a kijelölt műveleteket,és hozza a törteket egyszerűbb alakra: a a ab + ab ab a a a b + ab 5a + 5b 5a 5b : c d c + d a) c + cd + d c d 6. feladat: Határozza meg 56 és 58 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét! Melyik számnak van több osztója? 7. feladat: Adja meg azokat a tízes számrendszerbeli 8x 95y alakú 6-jegyű számokat, amelyek oszthatók 6- tal! 8. feladat: Melyik szám a nagyobb vagy? 9. feladat: Egy természetes szám 7-tel osztva, egy másik 7-tel osztva 5 maradékot ad. Mennyit ad maradékul 7-tel osztva a két szám különbsége és szorzata?. feladat: Írja fel a következő számokat normál alakban: 5,,85. feladat: Írja át helyiértékes alakba:,8,5 km.feladat: A fény terjedési sebessége. Mennyi idő alatt teszi meg a fény a Nap és Föld közötti s 9,6millió km-es távolságot?. feladat: Ábrázolja és jellemezze a következő függvények grafikonjait!
a) f ( x) x + d) k( x) x + b) g( x) ( x ) e) l( x) + x 8 c) h( x) f ) r( x) x. feladat: Oldja meg grafikusan a következő egyenletet: ( x + ) x + x + x 5 5. feladat:oldja meg a következő egyenleteket: x x ( 6 x 5)( x + 5) + ( x 5)( x) 8 x 9 x + 6 6. feladat: Oldja meg a következő egyenlőtlenségeket: a) ( + )( x ) x b) x x x 5 7. feladat: Oldja meg a következő egyenletrendszereket: b) -x+y x+y 8. feladat: A piacon a cukkíni kilója kétszer annyiba került, mint a karfiol, ami Ft-tal drágább az uborkánál. Vettünk fél kg cukkínit, egy kg karfiolt és kg uborkát. Mennyibe került az uborka kilója, ha összesen 75Ft-ot fizettünk? 9. feladat: Egy lakás tapétázását az egyik munkás egyedül, egy másik egyedül óra alatt végezné el. Mennyi idő alatt lesznek készen, ha mindketten dolgoznak?. feladat: Összekeverünk liter 5%-os és8liter 8%-os oldatot. Hány %-os lesz a keverék?.feladat: Adott két halmaz A { gyel osztható kétjegyű pozitív számok} B { nél nagyobb de 6 nál kisebb pozitív egész számok} 5 Adja meg az A B, A B.A\B és B\A halmazok elemeit!.feladat: Legyen A { x x R x < 5} B { x R < x < 6} x. Ábrázolja számegyenesen az A, B, A B, A B, A\B, B\A halmazokat, adja meg a halmazokat intervallum jelöléssel is!. feladat: 7. Egy osztály tanulóinak része közepesnél nem rosszabb, 5 része közepesnél nem jobb tanuló. Hány közepes tanuló van az osztályban, ha az osztály létszáma fő?. feladat: Egy versenyen három feladatot tűztek ki. Az elsőt 9, a másodikat5, a harmdikat8 diák oldotta meg. Az első és második feladatot 7, a második és harmadik feladatot, az első és harmadik feladatot 9 fő oldotta meg. Három versenyző mindhárom feladatot megoldotta. Volt-e a résztvevőből olyan, aki egy feladatot sem tudott megoldani? 5. feladat: István8 számot írt fel a táblára. Ezek közül 5 osztható -mal, pedig páros. Két olyan szám van köztük, amely 6-tal osztható. Hány olyan szám van a táblán, amely páratlan a) és osztható -mal b) és nem osztható -mal c) vagy osztható -mal d) vagy nem osztható -mal? 6. feladat: Az e és f egyenesek párhuzamosak. Mekkorák az ábrán látható szögek, ha α
e f α 7. feladat: Létezi-e olyan háromszög, amelynek oldalai,5cm,,7cm,,9cm hosszúak? 8. feladat: Egy háromszög belső szögeinek aránya :9:. Mekkorák a háromszög belső és külső szögei? 9. feladat: Egy háromszög egyik belső szöge 8 egy külső szöge 5 Mekkorák a háromszög külső és belső szögei?. feladat: Egy háromszög két oldalának hossza,cm és 5,cm. Mekkora lehet a harmadik oldal hossza, ha tudjuk, hogy mérőszáma cm-ben mérve egész szám?. feladat: Milyen magas az a fal, amelytől,7m távolságban letámasztott m hosszú létra éppen eléri a fal tetejét?. feladat: Egy rombusz egyik átlója az oldallal 5 -osszöget zár be. Mekkorák a rombusz szögei?. feladat: Mekkora szöget zárnak be a téglalap átlói az oldalakkal, ha az átlók szöge 65.. feladat: Töltse ki a következő táblázatokat: a sokszög oldalainak száma 8 egy csúcsból húzható átlók száma 6 összes átlók száma belső szögek összege 8 szabályos sokszög oldalainak száma egy belső szöge egy külső szöge 5 5 A javítóvizsgára hozzon magával zsebszámológépet, körzőt, vonalzót, ceruzát! Sikeres felkészülést!
Javítóvizsga anyaga. évfolyam Tankönyv: Sokszínű matematika 9., Sokszínű matematika. Egybevágósági transzformációk Gondolkodási módszerek, számoljuk össze Négyzetgyökvonás A másodfokú egyenlet Geometria (hasonlóság) Statisztika Trigonometria (szögfüggvények derékszögű háromszögben) Gyakorlásra ajánlott feladatok a tankönyvek kidolgozott példái, és a feladatgyűjtemény megfelelő fejezeteinek feladatai.. feladat: Melyik szám a nagyobb? GYAKORLÁSRA AJÁNLOTT FELADATOK 8 vagy. feladat: Gyöktelenítse a következő törtek nevezőjét: 7 5 vagy 7 6 7 6 6 + 5 7 6. feladat: Végezze el a kijelölt műveleteket: 7 + 8 8 5 + 7 8 5 + 7 8 5 + 6 5 ( ) ( ) 5 6. feladat: Számítsa ki:, 8 5. feladat: Egy derékszögű háromszög egyik befogójának hossza cm, köré írt körének sugara 8cm.. Számítsa ki, a háromszög oldalait, és a beírt kör sugarát! 6. feladat: A következő kérdések egy 8 oldalú szabályos sokszögre vonatkoznak. a) Mekkora a sokszög egy belső és egy külső szöge? b) Hány átlója van a sokszögnek és ezek közül hány különböző hosszúságú? c) Hány szimmetria tengelye van a sokszögnek? d) Mekkora az a legkisebb szög, amellyel a középpontja körül elforgatva az eredetivel egybevágó alakzatot kapunk? 7. feladat: Egy óra nagymutatója cm, kismutatója 8cm hosszú. a) Mekkora szöggel fordul el a nagy illetve a kismutató óra alatt? Az elfordulás szögét fokban és radiánban is adja meg! b) Mekkora utat tesz meg ezalatt a két mutató végpontja? 8. feladat: Egy háromszög csúcspontjai A(5;), B(-;-), C(;). Tolja el a háromszöget a p ρ ( ; ) vektorral, majd a kapott háromszöget tükrözze az x tengelyre! Adja meg mindkét háromszög csúcspontjainak koordinátáit! 9. feladat Oldja meg a következő egyenleteket! ( x + x) x( + x) (x ) + (x 5) 5 (x )( x + ) + (x ) x +. feladat: A p paraméter mely értékére lesz két különböző gyöke az egyenletnek. x + 6x p. feladat: Hogyan kell megválasztani a k paraméter értékét, hogy az x + kx 5 egyenlet egyik megoldása legyen? 9x + 9x. feladat: Egyszerűsítse a következő törtet: x + x +
. feladat Oldja meg a következő egyenletet: x 6 x. feladat Oldja meg a következő egyenlőtlenséget: ( x ) 7 x 5. feladat Egy társaság 8Ft-ért kisbuszt bérelt. Az utazás napján még egy utas csatlakozott hozzájuk, így mindegyik utasnak Ft-tal kevesebbet kellett fizetnie. Hány utas volt eredetileg? 6. feladat: Az ábrán BE párhuzamos CD-vel. Mekkora x és y? A D x E y, B,5 C 7. feladat Egy szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja cm, száracm hosszú. A trapézt háromszöggé kiegészítő egyenlő szárú háromszög szárának hossza 8cm. Milyen hosszú a trapéz rövidebbik alapja, 8. feladat Az ABCD paralelogramma BC oldalát a P pont : arányban osztja (BP:PC.:) Mekkora a BE szakasz, ha AB 5cm? D C A B E 9. feladat: Egy háromszög oldalai a cm, b 7cm, c 8cm. Egy hozzá hasonló háromszög kerülete 5cm. Határozza meg a másik háromszög oldalainak hosszát!. feladat: Egy derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság az átfogót egy,6cm és egy 6,cm hosszúságú szakaszra osztja. Mekkorák a befogók és az átfogóhoz tartozó magasság?. feladat: Két szabályos háromszög egy-egy oldalhosszának összege cm. Számítsa ki a háromszögek oldalainak hosszát, ha területeik aránya :9!. feladat: Szerkesszen az 5cm hosszú AB szakaszon olyan pontot, amely a szakaszt : arányban osztja!. feladat: Egy derékszögű háromszög 6cm hosszú átfogóját a hozzá tartozó magasság : arányban osztja két részre. Mekkorák a befogók, és a magasság?.feladat:az ABC háromszög területét megfeleztük egy a háromszög AB oldalával párhuzamos egyenessel. Milyen hosszú az egyenesnek a háromszögbe eső szakasza, ha az AB oldal 6cm? 5. feladat: Egy nyárfától 5m távolságban állunk és,7m magasságból tetejét. Milyen magas a fa? 6. feladat: : Egy trapéz hosszabbik alapja 5cm, a rajta fekvő szögek szár 6cm. Mekkora a trapéz másik két oldala? P o emelkedési szögben látjuk a fa o 7 és o 6. A o 7 -os szög mellett levő 7. feladat: : Az α szög meghatározása nélkül adja meg α többi szögfüggvényének pontos értékét, ha tgα! 8. feladat: Egy egyenlő szárú háromszög alapja 6,cm, beírt körének sugara,7cm. Mekkorák a háromszög szögei, és köré írt körének sugara?
9. feladat: Egy osztályban5 lány és fiú írt matematika dolgozatot. A lányok jegyei: 5,5,,,,,,,,,,,,5,5. A fiúk jegyei: 5,5,,,,,,,5,. a)foglalja az adatokat táblázatba! b)határozza meg a lányok, a fiúk és az osztály jegyeinek átlagát! c) Határozza meg az osztályra vonatkoztatva a jegyek móduszát, mediánját és szórását! d)készítsen a jegyek megoszlását szemléltető kör diagramot! Határozza meg az egyes tartományokhoz tartozó középponti szögek nagyságát!. feladat:egy orvosi vizsgálaton megmérték egy általános iskolai osztály tanulójának magasságát. A gyerekek átlagmagassága 7cm-nek adódott. Később rájöttek hogy hibáztak, mert Béla magassága helyett is András magasságát vették figyelembe. A hibát kijavítva az átlagmagasság 7,5cm lett. Mennyivel magasabb Béla Andrásnál?. feladat: Egy lifthez 5 ember érkezik, de egyszerre csak ember fér be. Hányféleképpen választhatjuk ki az első menet utasait?. feladat: ember közül fős bizottságot választanak, ahol van elnök, alelnök és titkár. Hányféleképpen tehető ez meg?. feladat: Az, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből hány négyjegyű páros szám készíthető?. feladat: Az A,A,A,B,B betűkből hány 5 betűs (nem feltétlenül értelmes) szó készíthető? 5. feladat: Egy dobókockával -szor dobunk egymás után. Hány dobássorozat lehetséges? 6. feladat: Egy könyvtárban 7 könyvet szemelünk ki, de csak -at lehet kölcsönözni közülük. Hányféleképpen választható ki a három könyv? 6. feladat: 5 emberből 5 tagú bizottságot választunk, ahol mindenkinek ugyanaz a rangja. Hányféleképpen tehetjük ezt meg? 7.feladat: Egy könyvespolcon 7 különböző matekkönyv van. Hányféleképpen tehetjük őket egymás mellé, ha az Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény két kötetét mindenképpen egymás mellé szeretnénk helyezni? 8. feladat: Egy úszóversenyen 8-an indulnak. Hányféleképpen alakulhat az első dobogós sorrendje? 9. feladat: 6 ember - férfi és nő - egymás mellett foglal helyet. Hányféleképpen ülhetnek le, ha a férfiak és a nők felváltva szeretnének ülni?. feladat: A,,,,, 5 számjegyek felhasználásával hány olyan hatjegyű számot írhatunk fel, amelyben minden számjegy csak egyszer fordul elő?. feladat: Tíz regény közül az egyik háromkötetes, a többi egykötetes. Hányféleképpen tehetjük fel a könyveket a könyvespolcra, ha a háromkötetes regény könyveinek egymás mellett kell lenniük?. feladat: házaspárt szeretnénk leültetni egy egyenes asztal mellé. Hányféle sorrend lehetséges, ha a házaspárok egymás mellett ülnek? A javítóvizsgára hozzon magával íróeszközt, zsebszámológépet! Sikeres felkészülést!
Tankönyv: Sokszínű matematika. Sokszínű matematika. Javítóvizsga anyaga. évfolyam A vizsga témakörei:. Szögfüggvények általánosítása. A trigonometria alkalmazásai. Kombinatorika, valószínűség számítás,. Hatvány, gyök, logaritmus 5. Koordinátageometria 6. Valószínűségszámítás Gyakorlásra javasolt feladatok: a tankönyvben megoldott példák, és az egyes témakörök után található feladatok, valamint a feladatgyűjtemény megfelelő témaköreinek feladatai. Gyakorló feladatsor: a a..írja fel egyszerűbb alakba! a) x 5 x x b). Számítsa ki: a) log 6 5 + 5 5 5 b) lg a a.oldja meg a következő egyenletet: x + + + x+ x+ x+.ábrázolja a következő függvény grafikonját: f(x) log ( ) + az f(x)<5 egyenlőtlenség? x.mikor teljesül 5.Oldja meg a következő egyenletrendszert ( x + y) log log lg x + lg y lg 6.Mennyi idő múlva lesz a kezdetben Bq aktivitású, 5 napos felezési idejű radioaktív anyag aktivitása 5 T 7,58 Bq? A radioaktív anyagok bomlását a C C egyenlet írja le ahol C a pillanatnyi, C a kezdeti aktivitás, t az eltelt idő T az anyag felezési ideje, Bq az aktivitás mértékegysége t 7. Egy háromszög csúcsai: A ( ;) B ( ;) C( 8; ) a) Tükrözze az A pontot a BC oldal felezőpontjára! b)számítsa ki a háromszög súlypontjának koordinátáit! c)határozza meg a háromszög területét! 8.Az ABCD téglalap AB oldal-egyenesének egyenlete x + y 6. AD oldal-egyenesének egyenlete x y. A téglalap C csúcsának koordinátái ( ; ). Számítsa ki a téglalap hiányzó csúcsainak koordinátáit! 9.a)Milyen helyzetű az e:x-y7: egyenletű egyenes a k: x + y x + y 5 egyenletű körhöz képest?
b) írja fel a kör A(5;) pontjába húzható érintő egyenletét!.jelentse A azt az eseményt, hogy egy szabályos játékkockát feldobva prímszámot dobunk, B pedig azt,hogy -nél nem nagyobbat. Adja meg a következő események lehetséges kimeneteleit: A+B, AB, A & \B!. Háromszor dobunk egy pénzérmével. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a) az első dobás fej a harmadik írás b) a második dobás fej c) nem dobtunk fejet.egy urnában 5piros és fehér golyó van. Hány piros golyót tegyünk még az urnába, hogy a piros golyó húzásának valószínűsége,75 legyen?. Egy 5 fős osztályba tanulónak az irodalom 9-nek a történelem a kedvenc tantárgya, tanuló mindkét tárgyat egyformán szereti. Az osztályból diákot véletlenszerűen kiválasztva mi a valószínűsége annak, hogy a) csak a történelem a kedvence b) egyik tárgyat sem szereti?. Egy dobozban 5db csavar van, közte hibás. Véletlenszerűen kimarkolunk5db csavart. Mi a valószínűsége annak, hogy a) a kivett csavarok közt nincs hibás b) a kivett csavarok közt 5db hibás van? 5. Vegyszeres rovarirtás során a rovarok 75%-a elpusztul. A két héttel később megismételt eljárás a megmaradt rovarok 5%-átpusztítja el. Mi a valószínűsége annak, hogy egy megjelölt rovar mindkét irtást túléli? π 6. Ábrázolja és jellemezze a következő függvény grafikonját f ( x) sin x +! 7. Határozza meg azokat a szögeket melyekre: a) cos x b) tgx 8. oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket: π π sin x cosx cos( x + ) 9. Egy paralelogramma egyik átlójának hossza cm. Az átló a paralelogramma egyik szögét 6 -os és 5 -os részekre osztja. Számítsa ki a paralelogramma oldalait és a másik átlót!. Egy trapéz alapjai cm, illetve 75cm hosszúak, szárai 5cm és 86cm. Mekkorák a trapéz szögei?. Egy turista km-t tett meg déli irányban, majd 5 ot fordul nyugat felé és megtett km-t. Milyen messze van a kiindulási helytől?egy 5m magas hegycsúcsról nézve az A és B falvak közötti távolságot os szögben látjuk. Az A falu 6,8 os a B falu 7, os depressziós szögben látszik. Milyen távolságra vannak egymástól a falvak? A javítóvizsgára hozzon magával íróeszközt, zsebszámológépet! Sikeres felkészülést!
Javítóvizsga anyaga. évfolyam Tankönyv: Sokszínű matematika Gyakorlásra ajánlott feladatok a tankönyv példái. A feladatgyűjtemény feladatai Előző évek érettségi feladatai. Sorozatok. feladat: Egy számtani sorozat negyedik tagja 7, nyolcadik tagja 8. Határozza meg a közbeeső tagokat!.feladat: Egy kert első sorába fát ültettek, minden további sorba -mal több fa került mint az előzőbe. Az utolsó sorban 69 fa van. Hány sor van és összesen hány fát ültettek?. feladat: Számítsa ki a háromjegyű páratlan pozitív számok összegét!. feladat: Egy mértani sorozat negyedik tagja 5, hetedik tagja. Határozza meg a sorozat első három tagját! 5. feladat: Egy háromszög oldalai mértani sorozat szomszédos tagjai. A legrövidebb oldal 6cm, a háromszög kerülete cm. Mekkora a másik két oldal? Felszín, térfogat.feladat:egy téglalap átlója eggyel nagyobb, mint az egyik oldala és hárommal nagyobb mint a másik oldal kétszerese. Mekkora a téglalap területe és kerülete?. feladat: Egy kör alakú füves rét sugara m. Ebben van egy lebetonozott 6m oldalú négyzet alapú istálló, amelynek egyik csúcsa a kör középpontjába esik. Egy kecskét kikötöttek a középpontba eső csúcshoz rögzített karóhoz egy m hosszú kötélre. a) Készíts ábrát! b) A fű hány százalékát legelheti le a kecske? c) Azt a területet, melyet a kecske nem tud elérni, a gazda virággal ülteti be. m területre szánt virágmag ára 6Ft. Mennyit költ virágmagra?. feladat: Egy háromlábú asztal lapja fél m területű szabályos háromszöglap. Legalább mekkora az átmérője annak a kör alakú terítőnek, amelyik teljesen lefedi az asztallapot?. feladat: 5. feladat: Egy négyzet alapú egyenes gúla alapéle dm, az alaplap és az oldallap hajlásszöge g Számítsa ki a gúla felszínét! A gúla anyagának sűrűsége 7.8 mekkora a tömege? cm 6. feladat 6.
7. feladat: Egy henger alakú edény belső átmérője cm. Az edényben víz van. A vízbe egy tömör vasból készült téglatestet teszünk, amelyet a víz teljesen ellep. A téglatest két éle 5cm és dm hosszúságú. Mekkora a harmadik éle, ha a vízszint a téglatest bemerülése után mm-t emelkedik, de a víz nem ömlik ki az edényből. Statisztika. feladat: Egy osztályba fiú jár és lány. A fiúk átlagmagassága 7cm, a lányoké pedig 6cm. Mennyi az osztály tanulóinak átlag magassága? ( Az eredményt egy tizedes jegy pontossággal adjuk meg!). feladat: Egy kézilabda csapat 7 játékosának átlagéletkora év. Egyik játékosuk megsérült, így a többiek átlagéletkora évre csökkent. Hány éves a sérült játékos?. feladat: Egy családban az apa, anya és a gyerekek átlagéletkora év. A éves apát nem számítva a család átlagéletkora 6 év. Hány gyerek van a családban?. feladat: Egy fős csoportban a matematika dolgozatok átlaga,5 lett. Senki nem írt elégtelen dolgozatot. a) Lehetséges-e, hogy jeles dolgozat sem volt? b) Legfeljebb hány jeles dolgozat születhetett? 5. feladat: Egy 5 fős osztályban a történelem dolgozatok átlaga,96 lett. Senki nem írt egyest, négyszer annyi hármas dolgozat lett mint ötös, valamint kétszer annyi kettes, mint négyes. a) Hány darab született az egyes osztályzatokból? b) Mennyi az osztályzatok módusza? c) Határozza meg az osztályzatok mediánját! 6. feladat: Pista kíváncsi volt, hogy otthon készített dobókockája szabályos-e. Százszor egymás után feldobta, és a dobások eredményét feljegyezte: Dobott szám 5 6 gyakoriság 5 7 9 8 a) Szemléltesse az adatokat oszlop diagrammal! b) Számítsa ki az átlagot, és a szórást! c) Mennyi a módusz és a medián? d) Szabályosnak tekinthető-e a kocka? 7. feladat: Egy moziban kimutatást készítettek arról, hogy az előző hét napjain hány néző tekintette meg a vetítéseket: hétfő kedd szerda csütörtök péntek szombat vasárnap 7 57 56 8 9 86 a)hány néző volt a moziban az előző héten? b) Mennyi volt a napi átlagos nézőszám? c) Mennyi a nézőszámok szórása? d)a hétvégén moziba látogatók száma hány százaléka a héten moziba látogatók számának? Az eredményt egészre kerekítve adja meg! 8. feladat: Egy kördiagramon, a piacon lévő három internetszolgáltató részesedését ábrázolják. A középponti szögek differenciájú számtani sorozat egymást követő tagjai. Mekkora a két legnagyobb cég részesedése a piacból? + AZ ÖSSZEFOGLALÓ FELADATSOROK! A javítóvizsgára hozzon magával íróeszközt, zsebszámológépet! Sikeres felkészülést!