szemle Út a középiskolába A matematikai tudásszint diagnosztikus vizsgálata Magyarországon az alapfokú és a középfokú oktatás határán Az alapfokú és a középfokú oktatás határán mérföldkövet jelent a felvételi eljárás. Tanulmányunkban statisztikai adatok másodelemzésével megvizsgáltuk, hogy a nyolcadik osztályosok milyen eredményeket értek el 2014-ben a központi írásbeli matematika felvételi vizsgán a 9. évfolyamra történő beiskolázáskor. A feladatonkénti elemzés szempontja a matematikai kompetenciaterülethez tartozás volt. 2014-ben 1065 középiskola 6512 tanulmányi területet hirdetett meg, a tanulók 59 százaléka írt központi írásbeli feladatsort magyar nyelvből és matematikából. A korábbi évek tapasztalatai alapján a matematika felvételi vizsga erősen differenciálja a tanulókat, az elért pontszámok átlaga alacsonyabb a magyarénál, ezért jobban befolyásolja azt, hogy a felvételi eljárás során hányadik megjelölt helyre nyer felvételt a tanuló. A statisztikai adatok segítséget nyújthatnak a diákoknak és az általános iskolákban tanító matematika tanároknak a felvételire való felkészülés során, továbbá képet adhatnak a középiskoláknak a hozzájuk jelentkező tanulók tudásszintjéről matematikából. Adataink azt mutatják, hogy az összetettebb, több matematikai kompetenciaterületet is igénylő feladatoknál a tanulók sokkal gyengébb eredményeket értek el, mint a begyakorolható rutinfeladatok során. Eredményeink szerint a matematika oktatása során nagy hangsúlyt kell fektetni egyes matematikai kompetenciaterületek további fejlesztésére és a komplex ismereteket igénylő szöveges matematikai feladatok megoldására. 76 Matematika tantárgyi mérések Atudásszint mérése a pedagógiai vizsgálatok egyik gyakorta alkalmazott formája. A matematika tantárgy kitüntetett szereplője az iskolai méréseknek. Több nagymintás hazai és nemzetközi mérés vizsgálja a 13 15 éves korosztály matematikai kompetenciáját, köztük vannak, amelyek tantervi és vannak, amelyek kulturális eszköztudás szerinti megközelítésben. A nemzetközi összehasonlító vizsgálatok terén 1958-ban az UNESCO pedagógiai intézetében szervezett hamburgi konferencián a kutatók arra az álláspontra jutottak, hogy valódi mért adatokra van szükség a tanulók teljesítményéről. Magyarország 1968- ban csatlakozott az IEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievement) nemzetközi szervezethez. Ez nagymértékben elősegítette a mérőeszközök alapos fejlesztését (Freudenthal, 1975). A második IEA mérésben, amely 1979 és 1983 között zajlott, országunk is részt vett. A SIMS (Second International Mathematics Study) mérésben a 13 éves tanulók az 5. helyen végeztek a 14 fejlett ország között (Báthory,
77 Szemle 1992, 27 28. o.; Vidákovich és Csíkos, 2012). Húsz ország részvételével 1990 91-ben zajlott az IAEP (International Assessment of Educational Progress) mérés, amelyen a magyarok kiváló eredményeket értek el. A 13 évesek az ötödik, a 9 évesek a 2. helyen végeztek. A matematikai kompetencia területén végzett hazai mérések a nemzetközi rendszerszintű felmérésekhez köthetők. A TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) vizsgálat (1995) 45 ország közel félmillió tanulója részvételével zajlott. Ebben már megjelentek azok a nyílt végű kérdések, amelyeknek a konkrét tantárgyon túlmutató jelentőségük van. A tantárgyi tudásmérés helyett a matematika mint kulturális eszköztudás került a figyelem középpontjába. Magyarország 41 ország közül a 14. legjobb eredményt érte el. Ennek a mérésnek a megismétlésére 1999-ben került sor ( re-timss ). Az 1995-ös kedvezőtlen kép után 1999-ben ismét az élmezőnyben találhatjuk Magyarországot. A TIMSS 2003-ban és 2007-ben is átlag feletti eredményeket hozott. Ezekben a felmérésekben főszerepet kap a tantervi szempontú megközelítés. Az IEA mérésekben kapott kedvező adatok után óriási meglepetést okozott az OECD által szervezett PISA (Programme for International Student Assessment) felmérésekben nyújtott teljesítményünk. 2000-ben az OECD-országok átlaga alatt volt 15 éves tanulóink teljesítménye. Ezeket az eredményeket részletesen bemutatják a Vári és munkatársai (2001, 2002) által szerkesztett elemzések. A PISA felmérések a matematikát már a mindennapi életben történő boldogulás és a döntéshozatal eszközének tekintik (Csíkos, 2005). A 2003-as mérésben már négy tartalmi területet definiáltak: tér és forma, változások és relációk, mennyiség, bizonytalanság. Meghatározták a matematikai megismerés három szintjét: reprodukciós, összekapcsoló és reflektív készségek. Az OECD honlapján az eredeti dokumentumokon kívül már vezetői összefoglalók és országprofilok is megtalálhatók. A matematikai átlagpontszám mutatta ezekben a legnagyobb stabilitást, ami nem adhat okot nagy optimizmusra. A tapasztalatokról több cikk és elemzés is napvilágot látott (Kántor, 2008; Vári, 2003). A nemzetközi mérésekkel gyakran párhuzamosan futó hazai nagymintás mérések kezdetének az 1980-as TOF-80 felmérés tekinthető. A lakóhely szerint (nagyváros, község) igen jelentős eltérések mutatkoztak a matematika területén. Az eredményekből levont következtetések taneszköz- és tantervértékelést is lehetővé tettek (Szendrei, 1983). Az 1978-as tanterv bevezetését követően több vizsgálatra is sor került: Iszáj, Kiss és Molnárné (1981), Monitor-felmérés (1986). A matematika osztályzatok és a külső szakértők által összeállított matematika teszteken nyújtott teljesítmények összefüggéseire Hajdu (1989) hívja fel a figyelmet. A PISA vizsgálatok nyomán kezdődtek el Magyarországon is a kompetenciamérések, amelyek azok feladattípusait, módszereit követték. 2001-ben szervezték az első Országos kompetenciamérést (5. és 9. évfolyam). 2003-ban a 6. és a 10. évfolyamon, 2004-ben pedig már a 8. évfolyamon is történtek mérések. A 2006. évtől már a 4. évfolyamosok is bekapcsolódtak. Ezek a mérések már lehetővé tették, hogy az iskolák és a pedagógusok megismerjék a nemzetközi vizsgálatokban alkalmazott mérési és értékelési módszereket. Az iskolafenntartók így képet kaphattak az iskolák teljesítményéről. Az elért eredmények alapján képességszinteket különböztetnek meg. Ezek elemzéséről több tanulmány is megjelent (Balázsi és mtsai, 2005; Horn és Sinka, 2006; Kántor, 2008; https://www. kir.hu/okmfit/; http://www.oktatas.hu/kozneveles/meresek/kompetenciameres/tanulmanyok_publikaciok). Érdekes vizsgálatokra ad lehetőséget a tanulók egyéni fejlődésének vizsgálata 4 10 évfolyamig, amely az egyéni fejlődést és a hozzáadott pedagógiai munkát vizsgálja és elemzi. A matematikai szöveges feladatok a matematikai problémamegoldás vizsgálatára alkalmasak. A matematikai gondolkodás gyakorlati megvalósulásának és a hétköznapi matematikának, az alkalmazásnak a vizsgálata a 21. században egyre nagyobb teret nyer. A matematikai gondolkodás területeit Vincze (2003) már a faktor-
Iskolakultúra 2016/6 analízis módszerével tárta fel. Csíkos, Kelemen és Verschaffel (2011) arra az eredményre jutottak, hogy a tanulók konzisztens és erős matematikai meggyőződései lényegesen befolyásolják a feladatmegoldás folyamatát, valamint a feladatmegoldási stratégiák használata csak gyenge összefüggést mutat az iskolai eredményükkel. A matematikai alapkészségek és -képességek első hazai vizsgálatát Nagy József (1971, 1973) országos reprezentatív mintákon végzett mérésekkel alapozta meg. Ugyancsak az ő nevéhez köthető a hetvenes évektől az iskolakészültség vizsgálatára kifejlesztett PREFER (Preventív Fejlettségvizsgáló Rendszer) kidolgozása (Nagy, 1975). A Csapó Benő irányításával 1996-ban indult vizsgálatsorozat a magyar iskolások fejlettségének feltérképezése volt a korábbi mérések eredményeinek összehasonlításával és a mérőeszközök korszerűsítésével. A DIFER (Diagnosztikus Fejlődésvizsgáló Rendszer) ebből a mérőeszköz-rendszerből alakult ki, amely a PREFER átdolgozott, friss referenciaadatokkal ellátott változatának is tekinthető. A matematikai megértés a matematika tanulása és tanítása szempontjából igen fontos összetevő. A Csapó 2002-es iskolaitudás-vizsgálata során használt teszt keretében a műveletvégzés, az alapértelmezések (fogalmak), a feladatmegoldás, a problémamegoldás és a grafikonértelmezés is helyet kapott. A vizsgálatban a 7. és a 11. évfolyam átlageredményei gyengébbek lettek a tantárgyi teljesítményük alapján elvártnál. A szerző arra hívja fel a figyelmet, hogy a begyakorolt típusfeladatok esetében jobban teljesítenek a tanulók, mint az azoktól eltérő, gondolkodtató feladatok esetében. A matematikai tudásszint-méréseket Vidákovich és Csíkos (2009) négy csoportra osztja: Érdekes vizsgálatokra ad lehetőséget a tanulók egyéni fejlődésének vizsgálata 4 10 évfolyamig, amely az egyéni fejlődést és a hozzáadott pedagógiai munkát vizsgálja és elemzi. A matematikai szöveges feladatok a matematikai problémamegoldás vizsgálatára alkalmasak. A matematikai gondolkodás gyakorlati megvalósulásának és a hétköznapi matematikának, az alkalmazásnak a vizsgálata a 21. században egyre nagyobb teret nyer. A matematikai gondolkodás területeit Vincze (2003) már a faktoranalízis módszerével tárta fel. Csíkos, Kelemen és Verschaffel (2011) arra az eredményre jutottak, hogy a tanulók konzisztens és erős matematikai meggyőződései lényegesen befolyásolják a feladatmegoldás folyamatát, valamint a feladatmegoldási stratégiák használata csak gyenge összefüggést mutat az iskolai eredményükkel. Az iskolai matematikai tudás vizsgálata (tantervi követelmények, hagyományos feladatok). A matematikai kompetencia vizsgálata (alkalmazási követelmények, realisztikus feladatok). A matematikai szövegesfeladat- és probléma-megoldás vizsgálata (gondolkodási folyamatok, szöveges feladatok). A matematikai alapkészségek vizsgálata (strukturális modellek, elemi feladatok). 78
Szemle Magyarországon egy ilyen típusú országos komplex mérésnek tekinthető a középiskolába történő beiskolázáshoz megírt matematika feladatlap. Ennek egy megyére vonatkozó elemzését végezték el eddig. A Békés megyei tapasztalatokat Marczis (2010) rögzíti. Megállapítja, hogy a 2010-es mérés matematika és magyar nyelv eloszlásai egymás tükörképei. Míg a diákok magyar nyelvből rendkívül jól teljesítettek, matematikából gyengébb teljesítményt nyújtottak. Érdekes viszont, hogy az összteljesítményük eloszlása az elvárható ideális eloszlás. Megállapítja a szerző, hogy a matematikatanároknak sok feladata van még, hogy ezek a dolgozatok jobban sikerüljenek. A nyolcadik osztályosok 2014. évi központi matematika írásbeli felvételi (9. évfolyamra történő beiskolázáshoz) vizsgafeladatainak tartalmi és kompetenciaterületek szerinti elemzése statisztikai módszerekkel Az általunk elemzett matematika felvételi feladatsor a vizsgált populáció alapján országos szintű nagymintás mérés, a 8. évfolyam számára központi tanterv szerint készült diagnosztikus teszt, amely az általános iskolai matematika tantárgy követelményeire épül és a matematika tartalmi részterületek széles körét érinti. Fő célkitűzése a sikeres és eredményes középiskolai tanuláshoz szükséges alapvető készségek és képességek, valamint kompetenciák felmérése. A tanítási-tanulási folyamatban megismert, begyakorolt eljárások alkalmazásán kívül a tanult ismeretek szokatlan mozgósítását, újszerű alkalmazását is igényli, ezáltal a kreativitásnak is teret ad. A feladatok elemzésével (akár évente) képet kaphatunk az alapfokú oktatás végén a matematika tantárgy elvárt és megvalósult tantervi követelményeinek viszonyáról, amely elősegítheti a nemzetközi és hazai egyéb vizsgálatoknál a teljesítmény javulását, mert lehetőséget ad a tanulók hiányosságainak célirányos fejlesztésére. A felmérés középpontjában a matematikai tantárgyi tudás és a matematika tantárgy keretében elsajátított konkrét készségek állnak. A tesztekkel kapcsolatosan három fő kritériumot támasztanak: az objektivitás, a validitás és a reliabilitás. A tárgyszerűség, az érvényesség és a megbízhatóság teszi alkalmassá a tesztet arra, hogy pedagógiai kutatás alapját képezze. Az általunk vizsgált korosztály egyik mérése, teljesítményszintjének leírása monitor vizsgálatok segítségével évente történik az egész országra kiterjedően, központi középiskolai felvételi feladatsor segítségével. Ez a komplex mérés, amely a matematikai alapkészségeket, a matematikai tudást, a matematikai kompetenciákat és a matematikai szövegesfeladat- és problémamegoldást egyaránt vizsgálja, alkalmas a tudásszint-állapot diagnosztizálására, ezáltal az oktatási-nevelési folyamat további feladatainak meghatározására az adott populáció esetében. Ezek a feladatlapok egy többváltozós pedagógiai kutatás összefüggés-vizsgálatában magas reliabilitásuk miatt fontos szerepet töltenek be. A teszteket szakértők állítják össze a matematikai tananyag elemzése alapján, a mérés validitását így biztosítják. Vizsgálatunk tárgya a 2013/2014. tanévben 9. évfolyamra történő beiskolázás központi írásbeli felvételi vizsgáinak matematika feladatsora, amelyet 2014. január 18-án, Magyarországon 51 100 nyolcadik osztályos tanuló írt meg. A kutatáshoz az adatbázist az Oktatási Hivatal bocsátotta rendelkezésünkre (KÖZFELVIR 2014). A mintavétel módja Azok az általános iskolás korú gyermekek oldották meg ezt a feladatsort, akik olyan középiskolákba (gimnáziumok többsége és bizonyos szakközépiskolák) szerettek volna 79
Iskolakultúra 2016/6 továbbtanulni, amelyek előírják bemeneti követelményként a felvételi vizsgát matematikából és magyar nyelvből. (A szakközépiskolák többsége és a szakiskolák nem kérnek ilyen felvételi vizsgát a beiskolázáshoz.) A megkérdezés/kísérlet/megfigyelés átlagos időtartama A tanulók a feladatokat mindig szombati napon, 10 órai kezdettel magyarból, majd 11 órai kezdettel matematikából, 45 45 perc időtartam alatt oldják meg. Az adatfelvétel objektivitását az biztosítja, hogy nem abban az általános iskolában történik a felmérés, ahol tanulnak, hanem kijelölt középiskolákból választhatnak. Magyarországon 2014-ben 469 ilyen középiskola szerepelt. A választás általában földrajzi jellegű, hiszen fontos, hogy minél közelebb legyen a lakóhelyhez, de előfordulhat, hogy azt a középiskolát választják, ahová tovább szeretnének tanulni. Az értékelés objektivitását az biztosítja, hogy a javítást a középiskolai tanárok végzik a központi javítókulcs alapján. A kijavított feladatlapokba betekintést biztosítanak a tanulók és szüleik számára. Az interpretációs objektivitást a kutatói adatbázis statisztikai jellegű vizsgálatával érhetjük el. Kutatásunk elsődleges célja annak felmérése, hogy matematika tantárgyból ezen a teszten hogyan szerepeltek a tanulók. Segítségével képet kaphatunk arról, hogy az alapfokú oktatás lezárásakor amely egyben a középfokú tanulmányok bemenetét is jelenti, ezáltal hidat képez az iskolatípusok között milyen a tanulók eredményessége matematikából Magyarországon. A komplex mérés segítségével az alkalmazott matematikai tudásukról alkothatunk képet. Hipotézisünk szerint a begyakorolható rutinfeladatok esetében a tanulók jobb teljesítményt nyújtanak, mint az összetettebb, több kompetenciaterületet érintő feladatoknál. A KÖZFELVIR 2014 adatbázis tartalmazza a vizsgált 51 100 tanuló eredményeit. Az adatok nagy száma szükségessé teszi a statisztikai elemzéseket. Nahalka több tanulmányában (pl. 1996) foglalja össze a pedagógiai vizsgálatokhoz szükséges leíró és matematikai statisztika módszereit. Ezeket alkalmaztuk a vizsgált populáció esetében. 80 A feladatok jellemzői A feladatok közműveltségi tartalom szerinti besorolását a Nemzeti Alaptanterv alapján végeztük el. A feladatok megoldásához szükséges matematikai kompetencia készség- és képesség-komponenseit Vidákovich Tibor az intelligencia faktoranalízise szerinti felosztása alapján választottuk ki. A tíz feladat a Nemzeti Alaptantervben megfogalmazott közműveltségi tartalmak nagy részét átfogja matematikából, ezáltal egy széles körű, alkalmazásszintű tudást mér. Az 1. A gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok témakörön belül az egyszerű matematikai szöveg értelmezése az egész feladatsort jellemzi. A halmazba rendezés adott szempontok alapján a 6. feladatban, definíció kimondása az 5. feladatban, kombinatorikai ismeretek (sorba rendezés az összes eset megadásával) pedig a 3. feladatban fordul elő. A 2. Számelmélet, algebra témakörből nyolc feladat (részfeladat) is szerepel. A 2., 9., 10. feladat a számok, mérés, mértékegységek, az 1., 2., 4., 5., 8., 9., 10. feladat a műveletek, a 4., 8., 9. feladat a százalékszámítás, a 6. feladat számelméleti és hatványozási ismeretek tudását feltételezi. Az 5., 7. és 9. feladat a 3. Geometria témakörből van. A tér elemei az 5., a síkbeli alakzatok az 5. és a 7., a térbeli alakzatok a 9., a transzformációk a 7., a koordináta-geometria a 7., a térfogatszámítás készségszintű alkalmazása pedig a 9. feladatban szükséges. A 4. A függvények és az analízis elemei és az 5. Statisztika, valószínűség témakör fordul elő a legkisebb mértékben (4. feladat).
A feladatok elemzése statisztikai módszerekkel Szemle A modern tudományok gyakran alkalmazzák a leíró és matematikai statisztika módszereit. A pedagógia megfigyeléseinek, kísérleteinek szisztematikus feldolgozásával különféle elméleteket, paradigmákat támaszthatunk alá. Az indukciós módszer, amely objektív megfigyelésekből indul ki, és a dedukciós módszer, amely elméletekre épül, egyaránt szükségessé teszi a matematikai módszereket. Ezek kicsit mélyebb ismerete azt a célt szolgálja, hogy kiválaszthassuk a legmegfelelőbb eszközt. Dönteni kell az adatrendszer strukturálásáról, a módszerek kiválasztásáról, az eredmények rendszerezéséről és a szükséges próbákról, ellenőrzésekről. Statisztikai elemzésre akkor van szükségünk, amikor adathalmazzal dolgozunk. A bonyolult adatrendszerek többváltozós elemzésével részletes képet kaphatunk egy adott problémáról, hipotéziseket igazolhatunk és cáfolhatunk segítségével. Az iskolai oktatás esetében ennek segítségével felmérhetjük egy adott tantárgyból egy korosztály teljesítményét. Az adatok elemi vizsgálata A gyerekek által elért pontszámok 0 és 50 között mozognak. Elkészítettük a gyakorisági táblázatot, majd az adatok eloszlását grafikonon ábrázoltuk. Az 1. ábra a matematika feladatlapon elért pontszámok eloszlását mutatja. 1. ábra. A tanulók elért pontszámának abszolút gyakorisági eloszlása Az abszolút gyakorisági eloszlás hisztogramjának vízszintes tengelyén az elérhető pontszámok szerepelnek, függőleges tengelyén pedig az, hogy egy adott pontszám hányszor fordul elő a vizsgált eredmények között. Az átlag 20,319, ami kisebb az elérhető pontszám felénél. A várakozásainknak megfelelően kirajzolódó haranggörbe enyhén balra tolt, azaz az 50 százalékos teljesítménynek megfeleltethető 25 pontnál kisebb értékeknél csúcsosodik. A szórás 10,508, elmondhatjuk, hogy a teszt jól differenciál, megmutatja a tanulók teljesítménybeli különbségét. A szóródás terjedelme 50, a lehetséges legmagasabb érték, ami azt jelzi, hogy 0 pontos és 50 pontos teljesítmény egyaránt előfordult. A relatív szórás a szórás és az átlag hányadosa, melyet százalékban adunk meg. Orosz 81
Iskolakultúra 2016/6 (1993) több kategóriát különböztet meg: 15 százalék alatt kicsi, 15 25 százalék között közepes, 25 35 százalék között erős, 35 százalék felett szélsőséges a differenciálás mértéke. A vizsgált adatok esetén ez 21,02 százalék, ami azt jelenti, hogy a csoport teljesítményének relatív szórása közepes. Az elért pontszám, az adott pontszámúak relatív gyakorisága és a normális eloszlás sűrűségfüggvénye (századra kerekítve az átlag 20,32; szórás 10,51) alapján Kolmogorov Szmirnov-próbát végeztünk, nullhipotézisünk, hogy a két eloszlás megegyezik. Mivel a csoport kétharmad részének teljesítménye kicsi eltérést mutat az átlag körüli szórásértékekkel meghatározott intervallumban (10 31 pont), ezért a tanulók teljesítményének ingadozását itt közel normálisnak tekinthetjük. A módusz (az adatok között leggyakrabban előforduló érték) és a medián (az adatok középső eleme, páros elemszám esetén a középső két elem átlaga), vagyis a helyzeti középértékek meghatározásával a gyakorisági eloszlás képére következtethetünk. Ez akkor ideális, ha a görbe szimmetrikus, az átlag, a módusz és a medián értéke egybeesik. A vizsgált csoportban a módusz 15, a medián pedig 20, tehát az eloszlás nem ideális. A kapott Gauss-görbe balra tolódott, ferdesége negatív (-0,28358). Mindezeket több dologra is visszavezethetjük: nehezek a feladatok, a diákok felkészültsége alacsonyabb, az átadott és az elvárt tudásanyag nincs összhangban, kevés volt a rendelkezésre álló idő. Az elért pontszám kétszerese adja az elért százalékos értékeket. Az eredményeket 10 intervallumba soroltuk és táblázatba rendeztük (1. táblázat), ahol az x i-1 az intervallum kezdőértékét, az x i pedig a legnagyobb értéket jelöli (pl. az első intervallum 0 5 pont között). Az első intervallumba essék az e 1, a másodikba az e 2, a harmadikba az e 3, a negyedikbe az e 4,, a tizedikbe az e 10 adat. A táblázat harmadik oszlopa az intervallumba tartozó elért pontszámok gyakoriságát tartalmazza. A relatív gyakoriságot g i -vel, a kumulált relatív gyakoriságot g i *-gal jelöltük. 1. táblázat. Az elért pontszámok intervallumokba rendezése, gyakoriság (e i ), relatív gyakoriság (g i ) és kumulált relatív gyakoriság (g i *) x i-1 x i e i g i g i* 0 5 3477 6,80% 6,80% 6 10 6874 13,45% 20,26% 11 15 8314 16,27% 36,53% 16 20 8389 16,42% 52,94% 21 25 7985 15,63% 68,57% 26 30 6794 13,30% 81,86% 31 35 4673 9,14% 91,01% 36 40 2732 5,35% 96,36% 41 45 1420 2,78% 99,14% 46 50 442 0,86% 100,00% 82
Az adott értékek segítségével elkészítettük a gyakorisági hisztogramot (2. ábra). Szemle 2. ábra. A gyakoriság hisztogramja Megállapítható, hogy a tanulók elért pontszámai közül a leggyakoribb a 3. és 4. intervallum, tehát a 11 20 pontos teljesítmény. Több mint 50 százalékuk az 1 4. intervallumba tartozik, vagyis legfeljebb 20 pontot értek el, a tanulók 20 százaléka pedig maximum 10 pontot ért el. Aki 35 pont feletti eredményt ért el, már a legjobb 10 százalékba tartozik az országos eredmények tükrében. Az adatok vizsgálata feladatonkénti bontásban Az elért teljesítmény vizsgálatát (7., 9., 11., 13., 15., 17., 19., 21., 23., 25. ábra) tovább folytattuk feladatokra (6., 8., 10., 12., 14., 16., 18., 20., 22., 24. ábra) lebontva. Így már árnyaltabb képet kaphatunk arról, hogy melyik matematikai tartalom okozott nagyobb nehézséget a diákoknak, és melyik kisebbet. 83
Iskolakultúra 2016/6 A feladat besorolása Közműveltségi tartalom (NAT): Számelmélet, algebra (2.) Műveletek (2.2.) Matematikai kompetencia: Szövegértés, szövegértelmezés Számolási készség Problémaérzékenység Figyelem, rész-egész észlelés, emlékezet, feladatmegoldási sebesség Az elért pontszámok elosztása az 1. feladatban 84
A feladat besorolása Szemle Közműveltségi tartalom (NAT): Számelmélet, algebra (2.) Számok, mérés, mértékegységek (2.1.) Mérés, mértékegység használata, átváltás Egyenes arányosság, fordított arányosság Műveletek (2.2.) Alapműveletek racionális számokkal Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek (2. 6.) Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Matematikai kompetencia: Számolási készség Mértékegységváltás Mennyiségi következtetés Figyelem, emlékezet, feladatmegoldási sebesség Szövegértés, szövegértelmezés Az elért pontszámok elosztása a 2. feladatban 85
Iskolakultúra 2016/6 86
A feladat besorolása Szemle Közműveltségi tartalom (NAT): Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok (1.) Matematikai logika (1.2.) Egyszerű matematikai tartalmú szöveg értelmezése Kombinatorika (1.3.) Sorba rendezési és kiválasztási feladatok az összes eset megadásával Matematikai kompetencia: Kombinativitás Szövegértés, szövegértelmezés Rendszerezés Az elért pontszámok elosztása a 3. feladatban 87
Iskolakultúra 2016/6 88
A feladat besorolása Szemle Közműveltségi tartalom (NAT): Számelmélet, algebra (2.) Műveletek (2.2.) Alapműveletek racionális számokkal Százalékszámítás Függvények, az analízis elemei (4.) Függvények megadása, ábrázolása (4.2.) Grafikonok olvasása, értelmezése Statisztika, valószínűség (5.) Statisztika (5.1.) Diagramok értelmezése Matematikai kompetencia: Ábrázolás, prezentáció Számolási készség Szövegértés, szövegértelmezés Mennyiségi következtetés Az elért pontszámok elosztása a 4. feladatban 89
Iskolakultúra 2016/6 90
A feladat besorolása Szemle Közműveltségi tartalom (NAT): Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok (1.) Definíció kimondása Számelmélet, algebra (2.) Műveletek (2.2.) Alapműveletek racionális számokkal Geometria (3.) A tér elemei (3.1.) Szögtartomány Síkbeli alakzatok (3.2.) Háromszögek, osztályozásuk Háromszög belső szögeinek összege Matematikai kompetencia: Ábrázolás, prezentáció Szövegértés, szövegértelmezés Rész-egész észlelés Érvelés, bizonyítás Emlékezet Az elért pontszámok elosztása az 5. feladatban 91
Iskolakultúra 2016/6 A feladat besorolása Közműveltségi tartalom (NAT): Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok (1.) Halmazok (1.1.) Halmazba rendezés több szempont alapján Számelmélet, algebra (2.) Műveletek (2.2.) Alapműveletek racionális számokkal Számelméleti ismeretek (2.3.) Osztó, többszörös Prímszám, összetett szám Hatvány, gyök, logaritmus (2.5.) Négyzetre emelés, négyzetgyökvonás Matematikai kompetencia: Rendszerezés Emlékezet Szövegértés, szövegértelmezés Az elért pontszámok elosztása a 6. feladatban 92
Szemle A feladat besorolása Közműveltségi tartalom (NAT): Geometria (3.) Síkbeli alakzatok (3.2.) Négyszögek, speciális négyszögek Transzformációk (3.4.) Középpontos szimmetria, valamint eltolás szerkesztéssel Koordináta-geometria (3.6.) Koordináta-rendszer, pont ábrázolása Matematikai kompetencia: Térlátás, térbeli viszonyok Kreativitás Emlékezet Probléma-érzékenység Szövegértés, szövegértelmezés 93
Iskolakultúra 2016/6 Az elért pontszámok elosztása a 7. feladatban A feladat besorolása Közműveltségi tartalom (NAT): Számelmélet, algebra (2.) Műveletek (2.2.) Alapműveletek racionális számokkal Százalékszámítás Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek (2.6.) Elsőfokú egyenletek Matematikai kompetencia: Szövegértés, szövegértelmezés Számolási készség Modellalkotás (probléma-reprezentáció) Eredetiség, kreativitás Érvelés, bizonyítás Rész-egész észlelés 94
Szemle Az elért pontszámok elosztása a 8. feladatban A feladat besorolása Közműveltségi tartalom (NAT): Számelmélet, algebra (2.) Számok, mérés, mértékegységek (2.1.) Mérés, mértékegység használata Műveletek (2.2.) Alapműveletek racionális számokkal Geometria (3.) 95
Iskolakultúra 2016/6 Térbeli alakzatok (3.3.) Egyenes hasáb Térfogat, felszín (3.8.) Az egyenes hasáb térfogatának kiszámítása Matematikai kompetencia: Térlátás, térbeli viszonyok Számolási készség Szövegértés, szövegértelmezés Rész-egész észlelés Ábrázolás, prezentáció Érvelés, bizonyítás Eredetiség Emlékezet Az elért pontszámok elosztása a 9. feladatban 96
Szemle A feladat besorolása Közműveltségi tartalom (NAT): Számelmélet, algebra (2.) Számok, mérés, mértékegységek (2.1.) Mérés, mértékegység használata, átváltás. Egyenes és fordított arányosság. Műveletek (2.2.) Alapműveletek racionális számokkal Matematikai kompetencia: Mennyiségi következtetés Számolási készség Érvelés, bizonyítás Problémaérzékenység Szövegértés, szövegértelmezés 97
Iskolakultúra 2016/6 Az elért pontszámok elosztása a 10. feladatban Jól látható, hogy ez a tíz feladat a Nemzeti Alaptantervben megfogalmazott közműveltségi tartalmak nagy részét átfogja matematikából, ezáltal egy széles körű, alkalmazásszintű tudást mér. A szükséges matematikai kompetenciák is igen széles körűen szükségesek a feladatok megoldásához. A feladattartási sebességet a rendelkezésre álló 45 perc folyamatosan igényli. Az egyes feladatok esetében elért pontok relatív gyakorisági értékeit táblázatba foglaltuk (2. táblázat). 2. táblázat. A feladatonkénti pontszámok relatív gyakorisági értékei 0 1 2 3 4 5 6 f1 31,16% 12,73% 12,54% 17,69% 25,87% f2 7,79% 18,11% 20,28% 23,68% 30,13% f3 9,59% 9,65% 16,57% 17,82% 12,22% 34,15% f4 5,61% 5,98% 11,18% 7,71% 26,18% 8,94% 34,39% f5 32,55% 13,13% 12,57% 9,93% 9,02% 22,81% f6 1,78% 7,86% 23,95% 30,57% 35,84% f7 40,40% 13,00% 37,26% 1,42% 4,28% 0,60% 3,02% f8 75,33% 8,65% 4,23% 1,89% 1,43% 1,93% 6,55% f9 76,35% 7,10% 4,85% 2,68% 2,16% 6,86% f10 59,97% 6,87% 28,95% 2,70% 0,57% 0,94% A 2., 3., 4. és 6. feladat esetében a leggyakrabban előforduló elért pontszám a maximálisan elérhető pont. Az 1. feladatnál pedig a 2. leggyakoribb. A korábbi évek feladatsoraiban is előfordultak hasonló feladattípusok, ezért ezeket a rutinfeladatok közé sorolhatjuk. Az 5., a 7., a 8., a 9. és a 10. feladat esetében pedig a leggyakoribb teljesítmény a 0 pont volt. Ezek közül főleg az utolsó 3 feladat összetettebb, több kompetenciaterületet is érint. Az egyes feladatok esetében (3. táblázat) is kiszámítottuk az átlagot, a szórást, a relatív szórást, a mediánt és a móduszt. 98
3. táblázat. A feladatok alapvető leíró statisztikai mutatói Szemle Elérhető pontszám Átlag Százalék Szórás Relatív szórás (%) Medián Módusz f1 4 1,944 48,6 1,607 40,18 2 0 f2 4 2,502 62,56 1,297 32,43 3 4 f3 5 3,159 63,18 1,696 33,92 3 5 f4 6 4,073 67,88 1,849 30,82 4 6 f5 5 2,182 43,63 1,978 39,56 2 0 f6 4 2,908 72,71 1,032 25,8 3 4 f7 6 1,301 21,68 1,407 23,45 1 0 f8 6 0,774 12,91 1,701 28,35 0 0 f9 5 0,678 13,56 1,452 29,04 0 0 f10 5 0,798 15,97 1,076 21,52 0 0 Össz. 50 20,319 40,64 10,508 21,02 20 15 A legjobb eredmény a 6. feladatban született, amely főként fogalmak ismeretét teszi szükségessé, utána a 4., 3. és 2. feladat volt a sorrend (60 százalék felett). Az elmúlt évek feladatsorait ismerve ezek a feladattípusok szerepeltek a régebbi feladatsorokban is, tehát lehetőség volt begyakorlásukra. Az 1. feladat csak ezután következett. A racionális számokkal való alapműveletek ebben az életkorban már rutinfeladatokká kellene váljanak. A szórás és a pontonkénti eloszlás alapján megállapíthatjuk, hogy ezt az egyszerű feladatot a tanulók nagy száma 0 vagy 4 pontosra teljesítette. Sokaknak az első művelet okozott gondot (egy közönséges tört és egy tizedestört összeadása), és ezután nem foglalkoztak tovább a feladattal. (Vajon tudták-e a gyerekek, hogy hibás eredmény esetén is adhatók részpontok?) A 7. feladatnál már jóval kisebb az elért teljesítmény. Mivel ennek a feladatnak több megoldása volt, sokan csak az elsőt találták meg. A legnagyobb problémát az utolsó három feladat okozta a nyolcadikosoknak. Ezek sokkal összetettebb matematikai feladatok voltak, nagyon sok matematikai kompetenciaterületet érintettek. Itt kellett igazán gondolkodni, itt voltak igazán szükségesek a problémamegoldáshoz szükséges matematikai képességek. Az időbeosztás, sokaknak az idő rövidsége is okozhatta a rossz teljesítményt. Az elért eredményből is jól látható, hogy sok feladatunk van még a matematikai kompetenciák fejlesztése, az alkalmazott matematikai tudás kialakítása terén. Még szemléletesebb képet kaphatunk a relatív szórás ábrázolásával (3. ábra) az egyes feladatok esetében. 99
Iskolakultúra 2016/6 3. ábra. Relatív szórás feladatonként 15 százalék alatti relatív szórást egyik feladat esetében sem tapasztaltunk, tehát a tanulók tudása egyetlen feladat esetében sem tekinthető homogénnek. A 15 25 százalék között 10. és a 7. feladatnál volt a relatív szórás, ami közepes differenciálást jelent. Ebből azt állapíthatjuk meg, hogy a tanulók ismerete eltérő az egyes feladatelemek tekintetében. A 2., 3., 4., 6., 8. és 9. feladat relatív szórása 25 35 százalék között van, ami a tanulók ismereteinek erős differenciálását jelenti. Az 1. és az 5. feladat a szélsőséges kategóriába tartozik, ami azt támasztja alá, hogy a tanulók tudása lényeges eltérést mutat a képviselt ismeretkörben. Ha azt vesszük figyelembe, hogy az általános iskolai matematikaoktatás céljai és feladatai egységesen és egyértelműen szabályozottak (NAT, Kerettanterv), akkor a megvalósult tanterv tekintetében még nagyon sok a tennivaló. További érdekességeket rejthet magában a fiúk (f) és a lányok (n) teljesítményének összehasonlítása. Eredményeiket a következő táblázatban (29. ábra) foglaltuk össze. 4. táblázat. A feladatok megoldottsági szintjei nemek szerint f n f % n % fő 24574 26526 fő 48 52 f1 1,98 1,911 f1 49,49 47,77 f2 2,661 2,356 f2 66,52 58,9 f3 3,127 3,189 f3 62,53 63,78 f4 4,147 4,004 f4 69,11 66,73 f5 2,236 2,131 f5 44,73 42,62 f6 2,928 2,89 f6 73,2 72,25 f7 1,31 1,293 f7 21,83 21,54 f8 0,817 0,735 f8 13,61 12,25 f9 0,81 0,556 f9 16,19 11,12 f10 0,963 0,646 f10 19,27 12,91 Össz. 20,98 19,71 Össz. 41,96 39,42 100
Szemle A fiúk jobb eredményét elsősorban a 2., a 9. és a 10. feladatban nyújtott jobb teljesítményük (5 százaléknál nagyobb eltérés a lányokéhoz képest) okozta. A lányok átlagpontszámukat tekintve kizárólag a 3. (kombinatorikai) feladat esetében előzték meg a fiúkat. A fiúk és lányok átlagos teljesítményének eltérését (5. táblázat) kétmintás t-próbával vizsgáltuk. Nullhipotézisünk az, hogy a két vizsgált változó átlaga statisztikai szempontból megegyezik. 5. táblázat. A fiúk és a lányok átlagos teljesítményének eltérése fő átlag szórás f 24574 20,978 10,761 n 26526 19,709 10,230 A próbastatisztika az adatokból számítható: 13,66. 5 százalékos szignifikancia-szintre a t-eloszlás táblázatából az 1,96 értéket kapjuk. A próbastatisztika ennél nagyobb, ezért a nullhipotézist elvetjük: a fiúk eredménye szignifikánsan jobb a lányokénál. A 4. ábra azt illusztrálja, hogy Budapesten és a 198 megyében hogyan alakult a feladatok megoldottsági szintje. 4. ábra. A feladatonként elért eredmények megyei bontásban Jól látható, hogy a legjobban Vas, Zala és Veszprém megyében teljesítettek a tanulók. Az országos eredmények tükrében további kutatásokat végzünk, amelyek az iskolai sakkoktatás hatásait mutatják a vizsgált korosztály esetében (a középmezőnyben szereplő) Somogy megye egyik általános iskolájában. 101
Iskolakultúra 2016/6 Balázsi Ildikó, Schumann Róbert, Szalay Balázs és Szepesi Ildikó (2008): TIMSS 2007. Összefoglaló jelentés a 4. és 8. évfolyamos tanulók képességeiről matematikából és természettudományokból. Oktatási Hivatal, Budapest. Balázsi Ildikó, Szabó Vilmos és Szalay Balázs (2005): A matematikaoktatás minősége, hatékonyság és esélyegyenlőség. Új Pedagógiai Szemle, 55. 11. sz. 3 21. Báthory Zoltán (1992): Tanulók, iskolák, különbségek. Egy differenciális tanításelmélet vázlata. Tankönyvkiadó, Budapest. Csapó Benő (1996): Tudásszintfelmérő tesztek. In: Falus Iván: Bevezetés a pedagógiai kutatás módszereibe. Keraban Könyvkiadó, Budapest. Csapó Benő (2002, szerk.): Az iskolai tudás. 2. kiadás. Osiris Kiadó, Budapest. Csíkos Csaba (2002): A pedagógiai értékelés új irányzatai. Új Pedagógiai Szemle, július-augusztus. 175 179. Csíkos Csaba (2005): Metakognícióra alapozott fejlesztő kísérlet 4. osztályos tanulók körében a matematika és az olvasás területén. Magyar Pedagógia, 105. 127 152. Csíkos, Cs., Kelemen, R. és Verschaffel, L. (2011): Fifth-grade students approaches to and beliefs of mathematics word problem solving: a large sample Hungarian study. ZDM The International Journal on Mathematics Education, 43. 561 571. http://link. springer.com/article/10.1007/s11858-011-0308-7 Csíkos Csaba és Vidákovich Tibor (2012): A matematikatudás alakulása az empirikus vizsgálatok tükrében. In: Csapó Benő (szerk.): Mérlegen a magyar iskola. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest. 83 130. Fábián Mária, Olasz Tamásné, Lajos Józsefné és Vidákovich Tibor (2008): Matematika kompetenciaterület szakmai koncepció. Educatio Kht. Freudenthal, H. (1975): Pupils Achievements Internationally Compared. Educational Studies in Mathematics, 6. 127 186. Hajdu Sándor (1989): A középfokú oktatásba lépő fiatalok matematikai műveltségének sajátosságai. Pedagógiai Szemle, 39. 12. sz. 1142 1152. Horn Dániel és Sinka Edit (2006): A közoktatás minősége és eredményessége. In: Halász Gábor és Lannert Judit (szerk.): Jelentés a magyar közoktatásról 2006. Országos Közoktatási Intézet, Budapest. 341 375. Iszáj Ferenc, Kiss Sándor és Molnár Zoltánné (1981): Felmérések tanulságokkal. Pedagógiai Műhely, 4. 3. sz. 31 37. Kántor Sándorné (2008): A PISA és az ahhoz hasonló típusú feladatok megoldásának tapasztalatairól. A matematika tanítása, január. 3 11. Irodalomjegyzék Kelemen Rita (2004): Egyes háttérváltozók szerepe szokatlan matematikai szöveges feladatok megoldásában. Iskolakultúra, 14. 11. sz. 3 16. 110/2012. (VI. 4.) Korm. rendelet a Nemzeti alaptanterv kiadásáról, bevezetéséről és alkalmazásáról Marczis György (2010): A 8.-os központi matematika felvételi Békés megyei tapasztalatai. A matematika tanítása, szeptember. 3 11. Nagy József (1971): Az elemi számolási készségek mérése és fejlettségének országos színvonala. Tankönyvkiadó, Budapest. Nagy József (1973): Alapműveleti számolási készségek. Standardizált készségmérő tesztek 1. Acta Universitatis Szegediensis de Attila Jozsef Nominatae, Sectio Paedagogica, Series Specifica, Szeged. Nagy József (1975): 5 6 éves gyermekeink iskolakészültsége. Akadémiai Kiadó, Budapest. Nahalka István (1996): A statisztikai módszerek pedagógiai alkalmazásának indokai, statisztikai alapfogalmak. In: Falus Iván (szerk.): Bevezetés a pedagógiai kutatás módszereibe. Keraban Könyvkiadó, Budapest. 343 356. Orosz Sándor (1993): Pedagógiai mérések. Korona Kiadó, Budapest. The PISA 2003 Assessment Framework (2003). OECD. Vári Péter, Bánfi Ilona, Felvégi Emese, Krolopp Judit, Rózsa Csaba és Szalay Balázs (2001): A PISA 2000 vizsgálatról. Új Pedagógiai Szemle, 51. 12. sz. 31 43. Vári Péter, Auxné Bánfi Ilona, Felvégi Emese, Rózsa Csaba és Szalay Balázs (2002): Gyorsjelentés a PISA 2000 vizsgálatról. Új Pedagógiai Szemle, 52. 1.sz. 38 65. Vári Péter (szerk.) (2003): PISA-vizsgálat 2000. Műszaki Könyvkiadó, Budapest. Vidákovich Tibor (1990): Diagnosztikus pedagógiai értékelés. Akadémiai Kiadó, Budapest. Vidákovich Tibor (2005): A matematikai kompetencia fejlesztésének koncepciója. sulinova Kht., Budapest Vincze Szilvia (2003): A matematikai képesség összetevőinek vizsgálata és kapcsolata az intelligenciával. Magyar Pedagógia, 103. 2. sz. 229 261. Misetáné Burján Anita 1 Birkás György 2 1 Balatonlelle-Karádi Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola 2 Siófoki SZC Baross Gábor Szakgimnáziuma és Szakközépiskolája 102