Fejezetek a Matematika Kultúrtörténetéből Dormán Miklós Szegedi Tudományegyetem TTIK Bolyai Intézet 2012. szeptember 14.
A történelem előtti idők
A Lebombói csont (kb. i.e. 35000, Afrika)
Az Ishangói csont i.e. 9500 6500 (20000 évnél is régebbi lehet, Afrika)
A számadók figurái i.e. 4000, (University of Texas, Austin)
A számadók figurái i.e. 3300, (Musée du Louvre, Párizs)
A számadók agyagba burkolt figurái i.e. 3200 (Royal Ontario Museum, Torontó)
A számadók agyagba burkolt figurái i.e. 3100 (Royal Ontario Museum, Torontó)
Babilon
Matematikai szövegek két korszakból származnak:
Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e. 1800-1600)
Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e. 1800-1600) Szeleukida-kor (kb. i.e. 300-0)
Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e. 1800-1600) Szeleukida-kor (kb. i.e. 300-0) Írásos emlékek
Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e. 1800-1600) Szeleukida-kor (kb. i.e. 300-0) Írásos emlékek Az első számottevő leletegyüttes: Assur-Ban-Apli ninivei könyvtára (1853).
Matematikai szövegek két korszakból származnak: Óbabiloni korszak (kb. i.e. 1800-1600) Szeleukida-kor (kb. i.e. 300-0) Írásos emlékek Az első számottevő leletegyüttes: Assur-Ban-Apli ninivei könyvtára (1853). A behisztuni sziklán lévő háromnyelvű felirat (óperzsa, elámi és babilóni), amely lehetővé tette az ékírás megfejtését (1830-as évek).
Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
Óbabilon (XIX-XVI. század)
Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése
Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi (1792-1750) Sumer és Akkád királya
Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi (1792-1750) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve
Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi (1792-1750) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve A közigazgatás és a kultúra nyelve az akkád
Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi (1792-1750) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve A közigazgatás és a kultúra nyelve az akkád Irattár Mariban kb. 20 000 agyagtáblával
Óbabilon (XIX-XVI. század) Amoriták betelepülése Hammurápi (1792-1750) Sumer és Akkád királya Hammurapi törvénykönyve A közigazgatás és a kultúra nyelve az akkád Irattár Mariban kb. 20 000 agyagtáblával Ékírásos táblák matematikai szöveggel
Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Az 1 jele az e k. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
Az e kı ra sos sza mı ra s ro vid to rte nete I Csak szigoru an matematikai e s csillaga szati szo vegekben alkalmazta k ko vetkezetesen a hatvanas (szexagezima lis) sza mrendszert. I Ma s esetekben (pl.: da tum, su ly- e s teru letme rte kek) vegyes rendszert alkalmaztak. Az 1 jele az e k. Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l A 10 jele a sarokpa nt. 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
VAT 12770 kb. i.e. 2600 2500, (Fara Vorderasiatisches Museum, Berlin) Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
VAT 12770 kb. i.e. 2600 2500, (Fara Vorderasiatisches Museum, Berlin) Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
VAT 12770 kb. i.e. 2600 2500, (Fara Vorderasiatisches Museum, Berlin) Fejezetek a matematika kultu rto rte nete bo l 1. Babilon, Egyiptom e s a Go ro go k
Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette.
Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette. Az sarokpánt nemcsak a 10-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványának 10-szeresét is jelölhette.
Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette. Az sarokpánt nemcsak a 10-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványának 10-szeresét is jelölhette.
Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette. Az sarokpánt nemcsak a 10-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványának 10-szeresét is jelölhette.
Az ék nemcsak az 1-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványát is jelölhette. Az sarokpánt nemcsak a 10-et, hanem a 60 bármely egész kitevős hatványának 10-szeresét is jelölhette. VAT 7858 Vorderasiatisches Museum, Berlin ( A tíz szorzótáblája. )
Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat.
Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni.
Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni.
Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni.
Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni.
Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám?
Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám? 1 60 3 + 20 60 2 + 9 = 217209
Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám? 1 60 3 + 20 60 2 + 9 = 217209 1 60 2 +20 60 1 +9 = 4809
Helyiértékes számírást alkalmaztak, de 60-ig tizes számrendszerben írták a számokat. A nulla hiánya miatt egy-egy számot többféleképpen is lehet olvasni. Mi lehet ez a szám? 1 60 3 + 20 60 2 + 9 = 217209 1 60 2 +20 60 1 +9 = 4809 1 60 1 + 20 + 9 60 1 = 80 + 9 60 = 80 3 20
Otto Neugebauer (1899-1990) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: 1 60 2 + 20 60 1 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 60 1 + 20 + 9 60 1 = 80 3 20 = 1, 20; 9.
Otto Neugebauer (1899-1990) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: 1 60 2 + 20 60 1 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 60 1 + 20 + 9 60 1 = 80 3 20 = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára:
Otto Neugebauer (1899-1990) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: 1 60 2 + 20 60 1 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 60 1 + 20 + 9 60 1 = 80 3 20 = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára:
Otto Neugebauer (1899-1990) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: 1 60 2 + 20 60 1 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 60 1 + 20 + 9 60 1 = 80 3 20 = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára:
Otto Neugebauer (1899-1990) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: 1 60 2 + 20 60 1 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 60 1 + 20 + 9 60 1 = 80 3 20 = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára:
Otto Neugebauer (1899-1990) ötlete: A számokat 60-as számrendszerben, de decimális jegyekkel írjuk: 1 60 2 + 20 60 1 + 9 = 4809 = 1, 20, 9 60 1 + 20 + 9 60 1 = 80 3 20 = 1, 20; 9. Késői szövegekben, csillagászati számításokban speciális jelet használtak a nullára: 1, 0, 4 = 3604
YBC 4652: az óbabiloni időszakból (i.e. 1800 1600) származó tábla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a tábláról: Találtam egy követ, de nem mértem meg. Miután kimértem a súlyának a hatszorosát, és hozzáadtam 2 gint, és hozzáadtam egy heted egy harmadát huszonnéggyel szorozva, megmértem. Az eredmény egy ma-na volt. Mi volt a kő eredeti súlya? (1 ma-na súlya 60 gin.)
YBC 4652: az óbabiloni időszakból (i.e. 1800 1600) származó tábla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a tábláról: Találtam egy követ, de nem mértem meg. Miután kimértem a súlyának a hatszorosát, és hozzáadtam 2 gint, és hozzáadtam egy heted egy harmadát huszonnéggyel szorozva, megmértem. Az eredmény egy ma-na volt. Mi volt a kő eredeti súlya? (1 ma-na súlya 60 gin.)
YBC 4652: az óbabiloni időszakból (i.e. 1800 1600) származó tábla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a tábláról: Találtam egy követ, de nem mértem meg. Miután kimértem a súlyának a hatszorosát, és hozzáadtam 2 gint, és hozzáadtam egy heted egy harmadát huszonnéggyel szorozva, megmértem. Az eredmény egy ma-na volt. Mi volt a kő eredeti súlya? (1 ma-na súlya 60 gin.)
YBC 4652: az óbabiloni időszakból (i.e. 1800 1600) származó tábla, amely eredetileg 22 feladatot tartalmazott. Egy tipikus feladat a tábláról: Találtam egy követ, de nem mértem meg. Miután kimértem a súlyának a hatszorosát, és hozzáadtam 2 gint, és hozzáadtam egy heted egy harmadát huszonnéggyel szorozva, megmértem. Az eredmény egy ma-na volt. Mi volt a kő eredeti súlya? (1 ma-na súlya 60 gin.) (6x + 2) + 1 3 1 24(6x + 2) = 60 7
BM 13901: az óbabiloni időszakból származó tábla. Egy feladat a tábláról: Hétszer összeadtam a négyzet oldalát, és tizenegyszer a területét, [így lett] 6; 15.
BM 13901: az óbabiloni időszakból származó tábla. Egy feladat a tábláról: Hétszer összeadtam a négyzet oldalát, és tizenegyszer a területét, [így lett] 6; 15.
BM 13901: az óbabiloni időszakból származó tábla. Egy feladat a tábláról: Hétszer összeadtam a négyzet oldalát, és tizenegyszer a területét, [így lett] 6; 15.
BM 13901: az óbabiloni időszakból származó tábla. Egy feladat a tábláról: Hétszer összeadtam a négyzet oldalát, és tizenegyszer a területét, [így lett] 6; 15. A megoldandó egyenlet modern feĺırásban: ax 2 + bx = c, ahol a = 11, b = 7 és c = 6; 15 = 6 1 4.
A feladat megoldása az alábbi:
A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45.
A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30.
A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15.
A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete.
A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30.
A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30. A 11 reciprokát nem találjuk.
A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30. A 11 reciprokát nem találjuk. Mivel kell megszoroznunk a 11-et, hogy 5; 30-at kapjunk?
A feladat megoldása az alábbi: Leírjuk, hogy 7 és 11. A 6; 15-öt megszorozzuk 11-gyel, [így lesz] 1, 8; 45. Vesszük a 7 felét, [ez lesz] 3; 30 és 3; 30. Ezt összeszorozzuk [így lesz] 12; 15. [Ezt] hozzáadjuk az 1, 8; 45-höz [így lesz] 1, 21. Ez a 9 négyzete. Kivonjuk a 3; 30-at, amit összezoroztunk, a 9-ből. Az eredmény 5; 30. A 11 reciprokát nem találjuk. Mivel kell megszoroznunk a 11-et, hogy 5; 30-at kapjunk? [A válasz] 0; 30, a négyzet oldala 0; 30.
(1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac.
(1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2.
(1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4.
(1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4.
(1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4. (5) Ennek vegyük a gyökét, ami ac + b 2 /4.
(1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4. (5) Ennek vegyük a gyökét, ami ac + b 2 /4. (6) Vonjuk ki ebből b/2-t, ekkor kapjuk ( ac + b 2 /4 b/2)-t.
(1) Szorozzuk meg a-t c-vel, ennek eredménye ac. (2) Osszuk el b-t 2-vel, ami b/2. (3) Emeljük négyzetre b/2-t, ez lesz b 2 /4. (4) Adjuk ezt hozzá ac-hez, ennek eredménye ac + b 2 /4. (5) Ennek vegyük a gyökét, ami ac + b 2 /4. (6) Vonjuk ki ebből b/2-t, ekkor kapjuk ( ac + b 2 /4 b/2)-t. ac + b (7) Osszuk el a-val, és a válasz x = 2 /4 b/2. a
YBC 7289 Yale Egyetem, Babiloni Gyűjtemény
Hogyan számolták ki (pozitív) számok négyzetgyökét? A Yale Egyetem babiloni gyűjteményének YBC 7289-es agyagtábláján szerepel a 2 alábbi közeĺıtő értéke: 1; 24, 51, 10 (= 30547 21600 = 1.41421296). Mivel 2 = 1.414213562373095049..., ezért 2 1; 24, 51, 10 < 0, 599 10 6.
Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval:
Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2)
Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3)
Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3).
Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3).
Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3). Ekkor teljesülnek a következők tetszőleges n természetes számra: a az a n és b n számok közé esik,
Hogyan érték el ezt a meghökkentő pontosságot? A a valós szám értékének kiszámítása iterációval: 1. Válasszunk egy a 1 < a közeĺıtést és legyen b 1 = a/a 1. (a 1 = 1, b 1 = 2) 2. Legyen a 2 = (a 1 + b 1 )/2 és b 2 = a/a 2. (a 2 = 3/2, b 2 = 4/3). Ekkor teljesülnek a következők tetszőleges n természetes számra: a az a n és b n számok közé esik, b n a n < b n+1 a n+1
Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították:
Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították: Arkhütasz (kb. 426-365, az utolsó nagy pitagoreus)
Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították: Arkhütasz (kb. 426-365, az utolsó nagy pitagoreus) (alexandriai) Heron (kb. 100)
Az eljárást elegendően sokszor végrehajtva a értéke tetszőleges pntossággal kiszámítható. Az algoritmust későbbi korok számos tudósának tulajdonították: Arkhütasz (kb. 426-365, az utolsó nagy pitagoreus) (alexandriai) Heron (kb. 100) Isaac Newton (1643-1727)
Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek:
Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b,
Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a,
Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b,
Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a,
Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a.
Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a. Kétismeretlenes egyenletrendszerek:
Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a. Kétismeretlenes egyenletrendszerek: x ± y = a, xy = b,
Összefoglalás. Algebra és aritmetika Egyismeretlenes egyenletek: ax = b, x 2 = a, x 2 ± ax = b, x 3 = a, x 2 (x + 1) = a. Kétismeretlenes egyenletrendszerek: x ± y = a, xy = b, x ± y = a, x 2 + y 2 = b.
Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket
Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2,
Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2,
Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2, 1 + 2 + + 2 n = 2 n + 2 n 1,
Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2, 1 + 2 + + 2 n = 2 n + 2 n 1, 1 + 2 + + n = 1 n(n + 1), 2
Összefoglalás. Ismerték az alábbi képleteket (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2, (a b)(a + b) = a 2 b 2, 1 + 2 + + 2 n = 2 n + 2 n 1, 1 + 2 + + n = 1 n(n + 1), ( 2 1 1 2 + 2 2 + + n 2 = 3 + 2 ) 3 n (1 + 2 + + n).
Az x 2 + y 2 = z 2 (diofantoszi) egyenletnek eleget tevő (pitagoraszi) számhármasokat az x = p 2 q 2, y = 2pq, z = p 2 + q 2 képletek segítségével találták meg.
Plimpton 322 Columbia Egyetem, New York (Plimpton-gyűjtemény)
Geometria
Geometria arányosság párhuzamos szelésnél,
Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel,
Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe,
Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2,
Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2, hasáb és henger térfogata,
Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2, hasáb és henger térfogata, csonkakúp térfogata: 1 2 (3R2 + 3r 2 )h,
Geometria arányosság párhuzamos szelésnél, Pitagorasz-tétel, háromszög és trapéz területe, kör kerülete: 6r, kör területe: 3r 2, hasáb és henger térfogata, csonkakúp térfogata: 1 2 (3R2 + 3r 2 )h, négyzetes alap- és fedőlapú csonkagúla térfogata: 1 2 (a2 + b 2 )h.