3. eületszáítás elei úto és z itegálszáítás felhszálásávl tli felépítés:. eületszáítás. Speciális síkidook teülete Négyszögek Háoszög Kö 3. Két síkido teülete 4. Itegálszáítás 5. eületszáítássl kpcsoltos tételek és izoyításik 6. Kokét példávl 7. Alklzások Néháy síkido teületéek eghtáozásához kész utsítások képletek vk, elyek egysze e lklzhtók z igéyes godolkodás zo zt kíváj, hogy teület fogláól is legye elképzelésük, étsük képletek ögötti összefüggéseket is.. Báely síkidohoz hozzáedelhetük egy vlós száot (teületfüggvéy) következ féleképpe: ) Mide sokszög teülete pozitív vlós szá legye. ) Az egységyi oldlhosszúságú égyzet teülete teületegység. c) Két egyevágó síkidohoz ugyzt teületétéket edeljük hozzá. d) Egy síkidoot egyássl diszjukt (ics közös észe) észeke otv észek teületösszege egegyezik síkido teületével. Megállpodás szeit teületegység z égyzet, elyek oldli hosszúságúk.. Speciális síkidook teülete: Négyszögek. Az és oldlhosszúságú tégllp teülete.. A plelog átdolhtó tégllppá, tehát teületét kiszáolhtjuk egy oldl és hozzá ttozó gsság szoztávl. (= ) 3. A tpéz teülete visszvezethet plelog teületéek ( + c) kiszáításá. (= ) 4. A deltoid teületéek kiszáítás visszvezethet tégllp teületée. e f (= ) 5. A szályos sokszöget teülete háoszöget teületéek kiszáításá vezethet vissz.. oldl
Eelt szit éettségi tetikáól 007 Szóeli tételek Háoszögek 6. Visszvezethet plelog teületéek kiszáításá. (= ) si γ Kiszáíthtjuk két oldl és köze zát szög siusáól. (= ) Kiszáíthtjuk Heo-képlettel (= s( s )( s )( s c) ) Kiszáíthtjuk keület feléek és eit kö sugák szoztáól. (=s) Kö 7. Egy sugú kö teülete elei úto: = π Itegálszáítássl: x dx α 8. Köcikk teülete egyeese áyos középpoti szöggel. (= ) 9. Köszelet teülete visszvezethet köcikk és háoszög teületéek kiszáításá. 0. Ellipszis teülete =π 3. Két síkido teülete: H két háoszög hsoló, és hsolóságuk áy λ, kko teületük áy λ. Két hsoló lkzt eseté, h hsolóság áy λ, kko teületük áy λ. 4. Itegálszáítás, it teületszáítási ódsze: Az [ ; ] itevlluo folytoos, e egtív f(x) függvéy göéje ltti teületet htáozott itegál fogláól következ e z f ( x) dx képlettel száolhtjuk. H z f(x) folytoos függvéye ics el jelkikötés, kko z f(x) itegálj z x tegely feletti és ltti teületek el jeles összegét dj. Ilyeko z x tegely felett idook teületét pozitív, z x tegely ltti síkidook teületét egtív el jellel vesszük figyelee. oldl
Eelt szit éettségi tetikáól 007 Szóeli tételek 5. ÉEL A háoszög teülete = si γ. BIZONYÍÁS Legye dott egy háoszög két oldl, és köze zát szögük. (,, siγ ) Így háo eset lehetséges:.) γ hegyesszög. A háoszög teületét kiszáíthtjuk =. Adott oldl, de iseetle. Viszot dott oldl is. Az AC deékszög háoszög l kifejezhetjük - t segítségével. Mégpedig: γ = Ezt ehelyettesítve teületképlete:.) γ topszög. si = siγ. = si γ. Ee z esete -t z dott γ szög küls szögéek segítségével fejezhetjük ki: = si(80-γ ) tehát: si( 80 γ ) = ehát háoszög teületét kiszáíthtjuk, h két oldl és köze zát szögük siusák szoztát elosztjuk kett vel. 3.) γ deékszög. Vgyis si90 =, tehát teületképlet =. 3. oldl
Eelt szit éettségi tetikáól 007 Szóeli tételek (vgy) ÉEL: A háoszög teülete =s. BIZONYÍÁS: H z ABC háoszög eít köéek középpotját összekötjük z A,B,C csúcsokkl, kko z eedeti háoszöget háo kis háoszöge otottuk fel. Nyilvávló, hogy háo kis háoszög teületéek összege z eedeti háoszög teületét dj. A felotásól következik, hogy z AOB, BOC, COA kis háoszögekek c,, oldlkhoz ttozó gssági eít köek z sugi. Így z ABC háoszög teületée felíhtjuk: c ( + + c) = + + = + + c = s (zz háoszög keületéek fele.) ehát: =s. 6. KONKRÉ PÉLDA Legye dott háoszög háo oldlák hossz. = 3 c, = 4 c, c = 5 c. Héo képlet lklzásávl köye kiszáíthtjuk e l háo dtól teületet: 3 + 4 + 5 s= = 6 c. = 6(6 3)(6 4)(6 5) = 36 = 6 c Vizsgájuk eg, hogy ásik teületképlet lklzásávl ugyezt z eedéyt si γ kpjuk-e. A = képlet lklzásához szükségük v g szöge, elyet egy cosius-tétel lklzásávl egysze e kiszáolhtuk. B c A O C c = + - cosγ 5=9+6- cosγ cosγ =0,083333 γ 85 C γ Alklzv kiszáított γ szöge teületképletet: B c A = 3 4 si85 6c 4. oldl
Eelt szit éettségi tetikáól 007 Szóeli tételek Az iét kiszáított g szög segítségével ki tudjuk száoli háoszög gsságát is. siγ = = siγ 4 c. Ezt ehelyettesítve teületképlete: = = 3 4 =6 c. A teületképlet lklzásávl köye eghtáozhtjuk háoszög eíhtó köéek sugát is, hisze = s képlete ehelyettesítve z iét kiszáolt teületet, egkphtjuk eíhtó kö sugát is. 6 = 6 = c. ehát ká háoszög háo oldláól köye eghtáozhtjuk eíhtó köéek sugát. 7. ALKALMAZÁSOK: Méöki uká teület és felszíéése kilépve síkól z itegálszáítást hszáljuk fogástestek téfogták kiszáításá is, vlit egyik eszköze függvéy vizsgáltk. Geoetii feldtok egoldásáál sokszo hszáljuk teületképleteket. Felszíszáításál is egtult teület képleteket lklzzuk. Az építészete lkások lpteületéek, telkek gyságák kiszáításá is lklzzuk, vlit földéésél is. 5. oldl
Eelt szit éettségi tetikáól 007 Szóeli tételek Megjegyzés: H á egcsiált ezt izoyítást is, e tölö ki, háth vlelyik zohist állt ezt válsztá. De tétel kidolgozás szepotjáól ide tette végée, hogy e zvjo e ott háoszöges észél. á Ú ízo hov teszi, vgy esetleg ele teszi-e. É itt hgyo, it kiegészít yg. ÉEL: = ( szoszédos oldlk szozt) BIZONYÍÁS: Bizoyítás: eguttjuk, hogy = + Osszuk fel tégllp gsságát egyel észe ( Ζ ), és éjük fel ezt észt ásodik tégllp gsságá z lp végpotjáól kiidulv háyszo + csk lehetséges. H ez k-szo lehetséges, kko I. k < ( k +), ( k Ζ ). Az osztópotoko át húzzuk páhuzosokt tégllpok lpjávl. Ekko egyevágó tégllpokt kpuk. Ezét felíhtjuk következ egyel tleséget: II. k < ( k +) I. és II. egyel tleségeket átlkíthtjuk. Osszuk el I. idegyik oldlát z ( > 0) és II. idegyik oldlát ( > 0) szál. Ekko és és potj, hol k k + < k k + < k k ; + itevllu els d = Mide -e 6. oldl
Eelt szit éettségi tetikáól 007 Szóeli tételek 0 <, z eegtív szá, ely ide pozitív egész szá ecipokáál kise, 0. ehát = 0 =, it izoyíti kellett. Most tekitsük oly tégllpot, elyek z lpj és gsság, és hsolítsuk össze z egység oldlú, egység teület égyzettel. Az el igzolt tétel szeit: = =. A teület tégllpot hsolítsuk össze z lpú és gsságú teület tégllppl. Ekko = = =. H =, kko tégllp égyzet és teülete = Kidolgozój: Kovács Lili.D 7. oldl