X.6. NYERŐ PIROS Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Valószínűségszámítás, valószínűségi játékok. Előzmények Valószínűség fogalma, igazságos játék fogalma (igazságos játékról beszélünk, ha a nyerési esélyek egyformák, vagy a tétekkel és nyereményekkel játszott játékban hosszú távon átlagosan egyik fél sem gyarapítja vagyonát ). Cél Valószínűségi játékok lejátszása a gyakorlatban, megfigyelési készség fejlesztése, a tapasztalatok alapján matematikai összefüggések felismerése, megfogalmazása és az elmélettel való párhuzam kialakítása készségének fejlesztése. A szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatsor megoldásához szükség lehet francia kártyára, zsetonokra (korong, pénzérme, bab, ). A játékok lejátszása utáni matematikai tartalom nem egyszerű, ezért ezt a feladatsort inkább azoknak ajánljuk, akik matematikából érdeklődő, a nehezebb gondolatok iránt fogékonyabb diákok. A játékokat, feladatokat érdemes sorban lejátszani, megoldani. Ha a 2. feladatnál a különböző stratégiát választók száma körülbelül megegyezik, akkor a párokat az ellenérdekelt csoportokból válasszuk. Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy a játékról szerzett tapasztalatokkal a választott taktikáról, stratégiáról tudunk mondani valamit, például olyanokat, hogy: ha így játszunk, akkor mindig veszítünk. Vagy ha ezt a taktikát választjuk, akkor jobban járunk, mint egy másikkal. Beszéljük meg, mit jelent az, hogy egy játékot érdemes játszani valakinek, és mit jelent az, hogy igazságos játék. Könnyen mondhatnak a gyerekek igazságos vagy igazságtalan játékokat, melyekről ez a tulajdonságuk triviálisan látszik. (Például a Fej vagy írás játék igazságos, mert szimmetrikus, de a huszonegyezés nem, mert egyenlőségnél a bank nyer.) X. Valószínűségszámítás X.6. Nyerő piros 1.oldal/5
Mivel a feladatok játékra és a szerzett tapasztalatokra épülnek, így nagyon fontos, hogy tényleg lejátsszák a gyerekek a partikat. A magyarázatok, indoklások megtalálása, leírása nem feltétlenül lesz mindenki számára könnyű. Most még nem is ez a fontos, hanem a tapasztalatszerzés és a rácsodálkozás. Ezzel együtt, ha van megfelelő hajlandóság és adottság a csoportban, ne hagyjuk ki a lehetőséget a tapasztalatok rendszerezésére és összefoglalására. A játék és a tapasztalatszerzés mindenkinek menni fog, legfeljebb egy kevésbé hasznos stratégiáról szerez valaki tapasztalatokat. Egyszerűbb esetben a beugró és a nyeremény zsetonszámokról való vélekedések megfelelő mélységű indoklása, magyarázata elvárható, de a feladatok többségénél ez nem lesz könnyű. A diákok a végrehajtott kísérletekből gyakorlati tapasztalatot tudnak szerezni, és esetleg intuitív konzekvenciákat is le tudnak vonni. X. Valószínűségszámítás X.6. Nyerő piros 2.oldal/5
NYERŐ PIROS Feladat sor Az osztály egy klubdélutánra kaszinót szervez. Az egyik játék neve Nyerő piros. AZ ALAPJÁTÉK Három kártyalap van az asztalon, közülük kettő fekete és egy piros. A játékmester megkeveri a lapokat, és kirakja színükkel lefelé fordítva egymás mellé. A játékos rámutat egy lapra, ezek után azt megfordítják. A játékos győz, ha a kiválasztott lap a piros lap, veszít, ha a kiválasztott lap fekete. 1. a) Játsszatok le párosával 20-20 játékot! (Azaz mindkét szerepben 20 játék, játékmesterként és játékosként is!) Jegyezzétek fel, ki hányszor győzött! b) Legyen egy játék ára három zseton, tehát ennyit fizetünk a banknak egy játékért. Érdemes-e játszani, ha győzelem esetén a játékos hét zsetont kap (a beadott három zseton mindenképpen a banké, tehát győzelem esetén a nettó nyereség négy zseton)? Véleményedet indokold! Számítsd ki, hogy az a) feladat végrehajtásakor lejátszott játékok eredményét tekintve hány zsetont nyertél volna játékosként? Hány zsetont nyertél volna játékmesterként? A kapott eredmény alátámasztja a válaszodat? c) Ha egy játék ára két zseton, akkor hány zseton járjon győzelem esetén, ha azt szeretnénk, hogy igazságos legyen a játék? Véleményedet indokold! X. Valószínűségszámítás X.6. Nyerő piros 3.oldal/5
VARIÁCIÓ Három kártyalap van az asztalon, közülük kettő fekete és egy piros. A játékmester megkeveri a lapokat, és kirakja színükkel lefelé fordítva egymás mellé. A játékos rámutat egy lapra. Ezután a játékmester, aki tudja, hogy melyik a piros lap és melyik kettő a fekete, a játékos által nem választott két lap közül megfordít egy fekete lapot. (Ezt mindig megteheti.) Már csak két lap fekszik az asztalon. Ekkor a játékos eldöntheti, hogy marad-e az eredetileg választott lapnál, vagy inkább a másik, még nem ismert lapot választja. Ezek után megfordítják a játékos által véglegesen kiválasztott lapot. A játékos győz, ha ez a lap a piros lap, veszít, ha ez a lap fekete. 2. a) Mit gondolsz, érdemes-e váltani az eredetileg választott és a még nem ismert kártya között, vagy nem? Tippelj! b) A tippelés után játsszatok le párosával 20-20 játékot! Jegyezzétek fel, ki hányszor győzött a saját taktikájával! (Minden egyes lejátszott játékban a játékos alkalmazza ugyanazt a taktikát, azaz vagy mindig térjen át a másik lapra, vagy egyszer sem!) A játékok eredményei alapján melyik taktikát érdemes választani? c) Legyen egy játék ára három zseton. Érdemes-e játszani, ha győzelem esetén a játékos öt zsetont kap? A kérdés megválaszolásában segít, ha a korábban lejátszott játékok eredményei alapján kiszámítjátok, mekkora nyereségre (vagy veszteségre) tettetek volna szert! X. Valószínűségszámítás X.6. Nyerő piros 4.oldal/5
MEGOLDÁSOK 1. b) Elvileg a lejátszott játékok megmutatják majd, hogy érdemes-e játszani. Az mindenesetre valószínűleg kiderül majd, hogy a játékos hosszú távon veszíteni fog. Magyarázat Ha a játékos tippel, akkor az esetek (közel) 1/3-ában fog csak a piros lapra mutatni, azaz nyerni. Vagyis átlagosan három játékból egyszer nyer, tehát ha befizet 3 3 zsetont, amiből visszanyer hét zsetont, akkor látható, hogy ezzel hosszú távon kevesebb zsetonja lesz, vagyis a játékosnak ilyen feltételekkel nem érdemes játszania. c) Az előző gondolatmenetet alkalmazva hat zseton járjon a győzelemért. 2. c) Elvileg a lejátszott játékok és a különböző taktikák alkalmazása megmutatja majd, hogy érdemes-e játszani és milyen módon. Az mindenesetre valószínűleg kiderül majd, hogy érdemes váltani a lapok között. Ha nem választják ezt, akkor biztassuk erre a taktikára gyerekeket. Ha kipróbálják, a gyakorlat megmutatja, hogy jobban járnak így. Ne erőltessük, nagy valószínűséggel lesz, aki magától is megpróbálja. Mi van a kevert stratégiával? Jelenség Ha a játékos tippel, és nem vált a lapok között, akkor ugyanaz a helyzet, mint az 1. feladatban, csak még rosszabb feltételekkel játszik, tehát így rohamosan fogy majd a zsetonja. Ha a játékos vált a lapok között, akkor sok játék esetén a játékok közel 3 1 részében veszít, közel 3 2 részében nyerni fog. Így a három zsetonos beugróra győzelem esetén adott öt zseton a játékos számára hosszú távon (sok játék esetén) kifizetődő. Magyarázat Ha a játékos tippel, és vált a lapok között, akkor tulajdonképpen az történik, hogy az elején kiválaszt egy lapot, amit biztosan nem fog végül választani, és a másik kettőből pedig azt választja majd, ami nem a felfordított fekete lap. Így akkor nyer, ha először fekete lapra tippel, azaz 3 2 eséllyel nyerni fog. Vagyis, ha vált a lapok között, akkor átlagosan három játékból kétszer nyer, tehát a befizetett 3 3 zsetonért 2 5 zsetont kap, tehát jól jár, zsetonjainak száma hosszú távon gyarapodik. X. Valószínűségszámítás X.6. Nyerő piros 5.oldal/5