JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994

Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus

1 Előszó Ez a jegyzet egy több kötetre tervezett sorozat első része. A sorozat szándékaink szerint a matematikának a tanárképzés szempontjából legfontosabb fejezeteit dolgozza fel, figyelembe véve a tanárképző intézmények tanterveit. Az analíızis tárgy keretében oktatott tananyagot 6-8 kisebb terjedelmű kötetben tervezzük kiadni. Ebben a sorozatban jelent meg Kamarás Lajos: Matematikai bevezetés című kötete, amely a halmazelméleti és logikai alapokat tartalmazza. A jegyzetben a szorosabb értelemben vett tananyagon túlmenően néhány olyan téma is szerepel, amely a kitekintést szolgálja és a tanár-továbbképzésben hasznosítható. Minden fejezethez egy feladatsor kapcsolódik, amely a gyakorlás mellett az anyag mélyebb elsajátítását is elősegítheti. A jegyzethez fűzött függelék a felhasznált legfontosabb halmazelméleti és algebrai fogalmakat foglalja össze, ezzel is elősegítve a jegyzet önálló használatát.

2 TARTALOM 1. Valós és komplex számok 1.1. A valós számok axiómái.................... 1 1.2. Számok abszolút értéke, intervallumok............ 10 1.3. Számok gyöke....................... 14 1.4. Számhalmazok alsó és felső határa.............. 17 1.5. Az R n tér......................... 20 1.6. Nevezetes egyenlőtlenségek................. 22 1.7. Komplex számok...................... 26 1.8. Feladatok......................... 29 2. Számsorozatok 2.1. A sorozat fogalma..................... 35 2.2. Monoton sorozatok..................... 39 2.3. Korlátos és korlátos változású sorozatok........... 41 2.4. Konvergens sorozatok.................... 46 2.5. Műveletek határértékekkel.................. 50 2.6. Monoton sorozatok határértéke............... 56 2.7. A Cauchy-féle konvergencia kritérium............. 60 2.8. Tágabb értelemben vett határérték.............. 62 2.9. Sorozat alsó és felső határértéke............... 67 2.10. Feladatok........................ 71 3. Végtelen sorok és végtelen szorzatok 3.1. Végtelen sorok konvergenciája................ 77 3.2. Végtelen szorzatok..................... 81 3.3. Nevezetes sorok...................... 84 3.3.1. Pozitív tagú sorok.................. 84 3.3.2. Leibniz-típusú sorok................. 86 3.3.3. Számok végtelen tört előállítása............ 88 3.4. Műveletek végtelen sorokkal................. 91 3.5. Konvergencia kritériumok.................. 100 3.6. Kettős sorozatok és kettős sorok............... 104 3.7. Végtelen sorok szorzása................... 109 3.8. Feladatok......................... 115

4. Függelék 4.1. Relációk......................... 121 4.1.1. Ekvivalencia relációk................. 123 4.1.2. Rendezési relációk.................. 124 4.2. Függvények........................ 125 4.2.1.Műveletek függvényekkel................ 127 4.3. Algebrai struktúrák.................... 129 3

4 1.1. A valós számok axiómái 1. Valós és komplex számok Ebben a pontban összefoglaljuk a valós számokkal kapcsolatos legfontosabb fogalmakat, az algebrai műveletekre és az egyenlőtlenségre vonatkozó műveleti szabályokat. Különös hangsúllyal foglalkozunk a matematikai analízis szempontjából alapvető szétválasztási axiómával és annak következményeként megmutatjuk számok gyökének, valamint számhalmazok alsó és felső határának a létezését. A valós számok mellett használni fogjuk a komplex számokat és az n-dimenziós vektorokat is. Ezért ezekkel kapcsolatosan egy rövid áttekintést adunk, kiemelve azokat a fogalmakat és tételeket, amelyek később felhasználásra kerülnek. 1.1. A valós számok axiómái Jelöljük R-rel a valós számok halmazát. Az alábbiakban röviden összefoglaljuk a valós számok legfontosabb az R-et meghatározó tulajdonságait. Test axiómák A valós számok halmaza a rajta értelmezett összeadás és szorzás műveletével testet alkot. Ez részletesen szólva a következőket jelenti. I. Az R-en értelmezve van az összeadás művelete, azaz a leképezés az alábbi tulajdonságokkal: R R (a, b) a + b R i) a + b = b + a (a, b R) (az összeadás kommutatív) ii) (a + b) + c = a + (b + c) (a, b, c R) (az összeadás asszociatív) iii) iv) létezik egy, az összeadásra nézve kitüntetett elem, a 0 szám, amelyre a + 0 = a (a R) minden a R elemhez létezik egy a R szám, amelyre teljesül. a + a = 0

1. Valós és komplex számok 5 II. Az R-en értelmezve van a szorzás művelete, azaz a R R (a, b) a b R leképezés az alábbi tulajdonságokkal: i) a b = b a (a, b R) (a szorzás kommutatív) ii) (a b) c = a (b c) (a, b, c R) (a szorzás asszociatív) iii) létezik egy, a szorzásra nézve kitüntetett elem, az 1 szám, amelyre a 1 = a (a R) iv) minden a R, a 0 elemhez létezik egy a 1 R szám, amelyre a 1 a = 1 teljesül. III. Az összeadást és a szorzást a disztributivitás szabálya kapcsolja össze: (a + b) c = a c + b c (a, b, c R). Könnyen igazolható (lásd az 1. feladatot és a Függeléket), hogy egyetlen olyan 0 ill. 1 szám létezik, amelyre I.iii) ill. II.iii) teljesül. Ezt az összadásra nézve kitüntetett 0 elemet az R nullelemének, a szorzásra nézve kitüntetett 1 elemet pedig az R egységelemének nevezzük. Megmutatható (lásd a Függeléket), hogy minden a R számhoz egyetlen I.iv) tulajdonságú a szám létezik, melyet az a additív inverzének vagy ellentettjének nevezünk. Az a + ( b) számot az egyszerűbb a b szimbólummal fogjuk jelölni, és az a és b számok különbségének fogjuk nevezni. A szorzás műveletének jelét ha ez nem okoz félreértést gyakran elhagyjuk. Ennek megfelelően az a, b R valós számok szorzatára az a b és az ab jelöléseket egyaránt használjuk. Megmutatható, hogy minden 0-tól különböző a számhoz egyetlen II.iv) tulajdonságú a 1 szám létezik, melyet az a reciprokának vagy multiplikatív inverzének nevezünk. A nullától különböző valós számok halmazát az R := R \ { 0 } szimbólummal jelöljük. Az a b 1 számot az a és b hányadosának nevezzük, és általában az a vagy az a/b szimbólumok valamelyikével fogjuk jelölni. b Ezekből az axiómákból a valós számok egyéb ismert tulajdonságai már levezethetők. Ilyen példul az a 0 = 0 (a R),

6 1.1. A valós számok axiómái állítás vagy a jól ismert ( a) b = (a b) (a, b R) szabály. Ezekkel kapcsolatban utalunk az 1. feladatra. Rendezési axiómák A valós számok halmazán értelmezve van egy reláció, amelyre nézve R rendezett test. Ez részletesebben szólva a következőket jelenti. IV. A reláció lineáris rendezés az R-en, azaz i) a a (a R) (a reláció reflexív) ii) a b és b a a = b (a, b R) (a reláció antiszimmetrikus) iii) a b és b c a c (a, b, c R) (a reláció tranzitív) iv) a b vagy b a (a, b R) (a reláció lineáris rendezés). V. A relációt az összeadással és a szorzással az alábbi szabályok kapcsolják össze: i) a b a + c b + c (a, b, c R) (az összeadás monoton) ii) a b és 0 c a c b c (a, b, c R) (a szorzás monoton). A kisebb-egyenlő ( ) rendezési reláció mellett szokás még a kisebb (<) relációt használni. Akkor mondjuk, hogy az a, b R számokra a < b teljesül, ha a b és a b. Néha a és < relációk helyett a nagyobb-egyenlő ( ) és a nagyobb ( > ) relációkat is használjuk a következő értelemben: b a a b, b > a a < b. Könnyen igazolható, hogy bármely a R számra a a 0. Speciálisan az 1 számra 1 = 1 1 > 0 teljesül, következésképpen V. i) alapján minden a R számra a < a + 1. Az R 0-nál nagyobb elemeit pozitív-, a 0-nál kisebb elemeit negatív számoknak, az R + := {x R : 0 x } halmaz elemeit pedig nem-negatív számoknak nevezzük.

1. Valós és komplex számok 7 A rendezési axiómákból levezethetők az egyenlőtlenségre vonatkozó jól ismert számolási szabályok, mint például a következő: ha a b és c d, akkor a + c b + d. Ezzel kapcsolatban lásd a 2. feladatot. Természetes számok A valós számok további meghatározó tulajdonságainak a megfogalmazásához felhasználjuk a természetes számok fogalmát. Az R valamely H nem üres részhalmazát induktívnak nevezzük, ha i) 0 H, ii) x H = x + 1 H. Nyilvánvaló, hogy pl. R induktív halmaz és induktív halmazok közös része is induktív. Definíció. Az R induktív részhalmazainak közös részét a természetes számok halmazának nevezzük, és az N szimbólummal jelöljük. Az N értelmezéséből következik, hogy a természetes számok halmaza az R legszűkebb induktív részhalmaza, következésképpen az N minden induktív halmaznak része. Az N mellett gyakran használni fogjuk a természetes számok alábbi részhalmazát is: N := N \ {0}. Az R + halmaz nyilván induktív. Ezért az induktív halmazok közös részének, azaz az N halmaznak az elemei nem-negatívok. A természetes számoknak ez a bevezetése magában foglalja a teljes indukció elvét és a rekurzióval való értelmezés lehetőségét. A teljes indukció elve A teljes indukció elve a következőképpen fogalmazható meg. Tegyük fel, hogy a természetes számokra vonatkozó valamely állítás igaz a 0 számra, abból, hogy az n természetes számra igaz az állítás, következik, hogy az n + 1 számra is igaz. Ekkor a szóban forgó állítás minden természetes számra igaz. Valóban, a fentiek szerint az a halmaz, amelyre az állítás igaz, a természetes számoknak egy induktív részhalmaza. Mivel az N a legszűkebb ilyen halmaz, azért

8 1.1. A valós számok axiómái a szóban forgó halmaz tartalmazza az N-et. Másrészt, mivel a feltétel szerint a vizsgált halmaz része is N-nek, azért szükségképpen egyenlő vele. A valós számoknak egy fontos geometriai tulajdonságával kapcsolatos az Archimédeszi axióma VI. Minden a és b pozitív valós számhoz létezik olyan n természetes szám, hogy b < n a. A valós számoknak a matematikai analízis szempontjából talán legfontosabb tulajdonságát fejezi ki az ún. Szétválasztási axióma VII. Legyen A és B a valós számok két nem üres részhalmaza. Ha minden a A és minden b B elemre a b, akkor létezik olyan ξ valós szám, amelyre a A, b B : a ξ b teljesül. Utalva az axióma szemléletes tartalmára azt szoktuk mondani, hogy a ξ szám szétválasztja az A és B halmazt. Megjegyezzük, hogy az Archimédeszi és a szétválasztási axióma nem független egymástól. Nevezetesen a test-, a rendezési- és a szétválasztási axiómát felhasználva az Archimédeszi axiómában megfogalmazott állítás bebizonyítható (lásd a 18. feladatot). A természetes számok fogalmát felhasználva értelmezhetjük a véges halmazok fogalmát. Tetszőleges n természetes szám esetén az N n := {k N : k < n} halmazt az N n-edik szeletének nevezzük. Ennek megfelelően az N 0-adik szelete az üres halmazt, első szelete a {0} halmaz, második szelete a {0, 1} halmaz, stb. Az n természetes számot az N n szelet hosszának nevezzük. A bijekció fogalmára támaszkodva (lásd a Függeléket), most már könnyen értelmezhetjük a véges halmaz fogalmát. Bebizonyítható (lásd a Függeléket), hogy bármely nem üres H halmaz esetén N-nek legfeljebb egy olyan N n szelete létezik, amelyre a H kölcsönösen egyértelműen leképezhető. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a H halmaz véges, ha létezik olyan n természetes szám, hogy H és N n kölcsönösen egyértelműen megfeleltethető egymásnak. Az n természetes számot a H halmaz elemei számának nevezzük. A nem véges halmazokat végtelen halmazoknak nevezzük.

1. Valós és komplex számok 9 Azt, hogy a H halmaz elemeinek száma n, úgy is szokás kifejezni, hogy H egy n-elemű halmaz. A fenti definícióban szereplő valamely x : N n H bijekciót felhasználva és az x leképezés i N n helyen felvett értékét x i -vel jelölve az n elemű H halmazra gyakran a H = {x 0, x 1,, x n 1 } jelölésmódot használjuk (lásd még a Függeléket). Véges halmaz és annak valódi részhalmaza között nem létesíthető kölcsönösen egyértelmű leképezés (lásd a Függeléket). A természetes számok halmaza és annak N valódi részhalmaza között az N n n + 1 N leképezés egy bijekció, következésképpen N nem véges. A végtelen halmazok legegyszerűbb osztályát alkotják azok a halmazok, amelyek bijektív módon az N-re képezhetők. Ezekre vonatkozik az alábbi fogalom. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a H halmaz megszámlálhatóan végtelen (röviden: megszámlálható), ha létezik a H és N között egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. A megszámlálható halmazok tehát alkalmas, természetes számok halmazán értelmezett függvények értékkészleteként is megkaphatók. Ezzel összhangban az ilyen halmazokat az szimbólummal szoktuk jelölni. {x 0, x 1,, x n, } vagy az {x n : n N} Bebizonyítható, hogy a racionális számok halmaza megszámlálható (lásd a 19. feladatot). Az alábbiakban a Függelék 4.1.1. pontjában megadott általános definícióval összhangban bevezetjük számhalmazok maximumának és minimumának a fogalmát. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a H R nem üres számhalmaznak van legkisebb eleme (más szóval: van minimuma), ha létezik olyan α H, hogy minden x H számra α x. Akkor monjuk, hogy a H számhalmaznak van legnagyobb eleme (más szóval: van maximuma), ha létezik olyan β H, hogy minden x H elemre x β teljesül. Ezek jelölésére bevezetjük az szimbólumokat. α = min H, β = max H

10 1.1. A valós számok axiómái Nyilvánvaló, hogy ha H = {a} egyelemű számhalmaz, akkor max H = min H = a. Egyszerűen adódik, hogy bármely kételemű számhalmaznak van maximuma és minimuma. Valóban a maximumra és a minimumra egy újabb jelölést bevezetve az alábbiakat állíthatjuk: { α, ha α β max {α, β} = α β := β, ha α < β, { α, ha α β min {α, β} = α β := β, ha α > β. Az α β számot az α és a β felső burkolójának, az α β számot pedig az α és β számok alsó burkolójának nevezzük. Legyen n N egy természetes szám és {α 0, α 1,, α n 1 } egy n elemű valós számhalmaz. n-re vonatkozó teljes indukcióval egyszerüen igazolható, hogy ennek a halmaznak is létezik a maximuma és a minimuma. Ezekre az alábbi jelöléseket használjuk: max {α k : k N n } = n 1 k=0 α k, min {α k : k N n } = n 1 k=0 α k. A természetes számok halmazának nincs legnagyobb eleme. Valóban, minthogy bármely n N természetes számra n + 1 N és n + 1 > n, azért N-nek nincs legnagyobb eleme. A továbbiakban gyakran felhasználjuk az alábbi állítást: 1.Tétel. A természetes számok bármely, nem üres részhalmazának van legkisebb eleme. Bizonyítás. Legyen K N, K a szóban forgó halmaz és vezessük be az L := {l N : l k ( k K)} jelölést. Minthogy 0 L, azért L nem üres. Megmutatjuk, hogy i) létezik olyan l L, hogy l + 1 / L, ii) ez az l szám K-nak is eleme. Innen figyelembe véve az L halmaz értelmezését már következik, hogy minden k K esetén l k, azaz l a K halmaz legkisebb eleme. Indirekt bizonyítást alkalmazva tegyük fel, hogy az i) állítással ellentétben minden l L elemre l + 1 L. Minthogy 0 L, azért az N értelmezését figyelembe véve L = N következne. Innen az L definíciója alapján minden l N és minden k K számra l k következne. Ez az állítás az l := k + 1 számot véve a k + 1 k ellentmondáshoz vezet.

1. Valós és komplex számok 11 A ii) igazolásához vegyük figyelembe, hogy l k minden k K elemre. Minthogy l + 1 / L, azért az L definíciója alapján létezik olyan k 0 K, hogy k 0 < l + 1. Erre a k 0 elemre tehát l k 0 < l + 1 teljesül. Egyszerűen igazolható viszont, hogy nincs olyan m természetes szám, amelyre l < m < l + 1 teljesülne (lásd a 3. feladatot), következésképpen l = k 0 K. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. A teljes indukció újabb alkalmazásaként bebizonyítjuk az alábbi, később felhasználásra kerülő nevezetes egyenlőtlenséget. Bernoulli-féle egyenlőtlenség. Bármely n N természetes szám és h R valós szám esetén i) 1 + nh (1 + h) n, ha h > 1, ii) (1 + h) n 1 + 2nh, ha 0 < h < 1 2n. Bizonyítás. Az i) egyenlőtlenség n = 1 esetén nyilván fennáll. Tegyük fel, hogy valamilyen n-re igaz, és ezt felhasználva igazoljuk n + 1-re. Valóban, (1 + h) n+1 = (1 + h) n (1 + h) (1 + nh)(1 + h) = = 1 + (n + 1)h + nh 2 1 + (n + 1)h, ahol az utolsó lépésben a nyilvánvalóan nem-negatív nh 2 tag elhagyásával az összeget legfeljebb csökkentettük. Ezzel az i) állítást n + 1-re, következésképpen a teljes indukció elve alapján minden természetes számra igazoltuk. A ii) egyenlőtlenség igazolásához felhasználjuk az i)-et és az alábbi két egyenlőtlenséget: 1 1 + h > 1 h, 1 nh > 1 1 + 2nh, ha 0 < h < 1 2n. Az első a nyilvánvaló 1 > 1 h 2 egyenlőtlenségből, a második pedig az (1 nh)(1 + 2nh) = 1 + nh 2n 2 h 2 = 1 + nh(1 2nh) azonosságból a 0 < h < 1/(2n) feltétel alapján pozitív második tag elhagyásával adódik. Ezeknek és az i) egyenlőtlenségnek a felhasználásával 1 (1 + h) n > (1 1 h)n 1 nh > 1 + 2nh adódik, ahonnan a kifejezések reciprokra térve át ii) már következik.

12 1.2. Számok abszolut értéke, intervallumok Megjegyzések 1. Az I, II, III követelményeknek eleget tevő algebrai struktúrákat testeknek nevezzük (lásd a Függeléket). Ezek a követelmények még nem határozzák meg a valós számokat. Valóban, már a két elemű Z 2 := {0, 1} halmazon is lehet olyan összeadást és szorzást értelmezni, amelyekre nézve Z 2 testet alkot. Könnyen ellenőrizhető, hogy ha a Z 2 halmazon az összeadást és a szorzást a 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 0 0 = 0 1 = 1 0 = 0, 1 1 = 1 szerint értelmezzük, akkor teljesülnek a test axiómák. Mivel minden testnek van nulleleme és egységeleme, azért ennél szűkebb test nem létezik. Továbbá, a 0 0, 0 1, 1 1 utasítással értelmezett reláció nyilván eleget tesz IV -nek. Ugyanez igaz akkor is, ha 0 1 helyett az 1 0 relációt írjunk elő, de V triviális módon nem teljesül egyik választással sem. Nyilvánvaló tehát, hogy a Z 2 test lényegesen különbözik a valós számok halmazától. 2. A természetes számok fenti értelmezése alapján azok több ismert tulajdonsága nem magától értetődő. Pl. az a tény, hogy két természetes szám összege és szorzata is természetes szám, külön bizonyításra szorul, ha az N említett definícióját vesszük alapul. Ezzel kapcsolatban lásd a 3.feladatot. 3. A Z := {n R : n N vagy n N} halmaz elemeit egész számoknak nevezzük. Az egész számok hányadosaként előállítható számokat racionális számoknak nevezzük és a Q := {r = p R : p, q Z, q 0} q szimbólummal jelöljük. Megmutatható, hogy Q maga is testet alkot, amelyre a rendezési és az Arhimédeszi axióma is teljesül. Az említett axiómák együtt sem határozzák meg a valós számok halmazát, hiszen azokat Q is kielégíti, és amint az ismeretes, Q R. A szétválasztási axióma azonban nem teljesül a Q-ra (lásd később). 4. A racionális számok körében, amint az már a középiskolai tanulmányok alapján is ismeretes, nem végezhető el a gyökvonás minden esetben. A 2 egész számnak például nincs négyzetgyöke a racionális számok körében. Más szóval, nincs olyan racionális szám, amelynek négyzete 2-vel egyenlő. Ez egyszerű oszthatósági meggondolással igazolható. A következő pontban a szétválasztási axióma alapján bebizonyítjuk, hogy minden a pozitív valós szám és bármely n 2 természetes szám esetén van olyan x R szám, hogy x n = a. 5. Megmutatható, hogy ezek az axiómák izomorfia erejéig egyértelműen meghatározzák a valós számok halmazát. Ez azt jelenti, hogy bármely két, az I. V II. axiómáknak eleget tevő rendezett test között létezik egy kölcsönösen egyértelmű, művelet- és rendezéstartó leképezés. Minthogy ilyen halmazok között sem az algebrai struktúrát sem a rendezést tekintve nincs különbség, azért ezeket azonosnak tekinthetjük (lásd a Függeléket). 6. Itt most nem foglalkozunk a valós számok szisztematikus, a halmazelmélet axióma rendszeréből kiinduló felépítésével. Egyfajta felépítést, más ún. lokális testek konstrukciójával együtt e sorozat egy további részében fogunk bemutatni. 7. A valós számokkal kapcsolatban célszerű bizonyos geometriai szóhasználattal élni. Az euklideszi geometria axióma rendszeréből következik, hogy bármely egyenes pontjai és a valós számok halmaza között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ezzel

1. Valós és komplex számok 13 összhangban az R-et egy egyenessel, az ún. számegyenessel, magukat a valós számokat pedig az egyenes pontjaival szokás azonosítani. Ennek megfelelően valós számok helyett gyakran a számegyenes pontjairól fogunk beszélni. 1.2. Számok abszolút értéke, intervallumok A reláció felhasználásával értelmezhetjük számok abszolút értékét. Tetszőleges x R szám x szimbólummal jelölt abszolút értékét az { + x, ha x 0 x := x, ha x < 0 utasítással értelmezzük. Az alábbiakban összefoglaljuk az abszolút érték legfontosabb tulajdonságait. 2. Tétel. i) x 0 és x = 0 x = 0 (x R) ii) x y = x y (x, y R) iii) x + y x + y (x, y R) iv) x y x y (x, y R). Bizonyítás. Mivel az i) és ii) állítások közvetlenül adódnak az abszolút érték definíciójából és a szorzás előjel szabályából, azért ezek bizonyítását nem részletezzük (lásd az 1. feladatot). Az x értelmezése alapján az x szám vagy x -kel, vagy x -kel egyenlő. Következésképpen bármely x, y R számpárra Innen, összeadva az egyenlőtlenségeket x x x, y y y. ( x + y ) x + y x + y következik. Mivel sem x+y sem annak 1 szerese nem nagyobb x + y -nél, azért x + y x + y. A iv) egyenlőtlenség a iii) egyszerű következménye. Valóban, iii) alapján x = y + (x y) y + x y,

14 1.2. Számok abszolut értéke, intervallumok azaz x y x y. Ha ez utóbbi egyenlőtlenségben az x és az y szerepét felcseréljük ( x y ) x y adódik. Ezt és az ezt megelőző egyenlőtlenséget egybevetve a bizonyítandó iv) egyenlőtlenség adódik. Az abszolút értéknek szemléletes geometriai jelentése van: x y az x és y számoknak megfelelő pontok távolságaként értelmezhető. A iii)-ban szereplő becslést háromszög egyenlőtlenségnek nevezzük. A, műveletek kifejezhetők az abszolút érték segítségével. Bármely két α, β R valós számra ui. (1) α β = (α + β) + α β, α β = 2 (α + β) α β. 2 Mindkét azonosság jobb és bal oldala is szimmetrikus az α, β változókban. Feltehetjük tehát, hogy pl. α β. Ekkor a bal oldalon α, ill. β áll. A jobb oldalak pedig az abszolút érték definíciója alapján a következőkkel egyenlők: (α + β) + (α β) 2 = α, ill. (α + β) (α β) 2 = β. A továbbiakban fontos szerepet játszanak a valós számok bizonyos részhalmazai, az intervallumok. Legyen α, β R és tegyük fel, hogy α < β. Az (α, β) := {x R : α < x < β}, [α, β] := {x R : α x β} számhalmazokat nyílt, ill. zárt intervallumoknak nevezzük. Az R [α, β) := {x R : α x < β}, (α, β] := {x R : α < x β} részhalmazait balról zárt, jobbról nyílt, ill. jobbról zárt, balról nyílt intervallumoknak nevezzük. Az α szám az intervallum bal-, a β szám az intervallum jobb végpontja. A valós számokat a számegyenes pontjaival azonosítva az intervallumok a szakaszoknak felelnek meg. Az α és β pontok a szakasz végpontjai, az (α + β)/2 szám az intervallum felezéspontjának, más szóval középpontjának felel meg. A β α számot a szóban forgó négy intervallum hosszának vagy mértékének nevezzük. Az α középpontú, 2r hosszúságú intervallumra külön jelölést is bevezetünk: K r (α) := (α r, α + r) = {x R : x α < r}. A K r (α) intervallumot az α pont r-sugarú környezetének is szokás nevezni.

1. Valós és komplex számok 15 Az Archimédeszi axióma geometriai tartalma a következő: ha bármilyen szakaszra a kezdőpontból kiindulva egymás után felmérünk egy másik szakaszt, akkor véges sok lépés után lefedjük azt. A szóban forgó axióma egyik érdekes következménye a 3.Tétel. Minden intervallum tartalmaz racionális számot. Bizonyítás. Nyilván elegendő az állítást nyílt intervallumokra igazolni. Legyen (α, β) egy nyílt intervallum és jelölje γ := β α az intervallum hosszát. Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor α > 0. Alkalmazva az Archimédeszi axiómát az 1 és az 1 γ > 0 számokra azt kapjuk, hogy létezik olyan n pozitív egész szám, amelyre 1 γ < n 1 = n, azaz γ > 1 n. Vezessük be a természetes számok alábbi részhalmazát: K := {k N : k 1 n β}. Először megmutatjuk, hogy a K halmaz nem üres. Ehhez alkalmazzuk még egyszer az Archimédeszi axiómát a β és az 1/n számokra. Következésképpen van olyan k pozitív egész, hogy k/n > β. Jelöljük m-mel a K legkisebb elemét. Ekkor (2) Megmutatjuk, hogy m 1 n < β m n. (3) α < m 1 n. Ez egybevetve (2)-vel azt jelenti, hogy az r := (m 1)/n racionális számra nyilván r (α, β) teljesül. A (3) egyenlőtlenséget indirekt bizonyítással igazoljuk. Ekkor az indirekt feltétel és (2) alapján m 1 α, β m n n. Innen az első egyenlőtlenséget beszorozva 1-gyel és a két egyenlőtlenséget összeadva γ = β α 1 n adódik, ami ellentmond az n definíciójának. Ezzel a tételt az α > 0 esetben bebizonyítottuk.

16 1.2. Számok abszolut értéke, intervallumok Az α 0 eset visszavezethető az előzőre. Valóban, legyen l N olyan, hogy l > α, azaz α 1 := l + α > 0. Legyen β 1 := l + β és alkalmazzuk az első részben igazolt állítást az (α 1, β 1 ) intervallumra. Létezik tehát olyan r racionális szám, amelyre teljesül. Innen α 1 = α + l < r < β 1 = β + l α < r l < β következik, azaz az r l racionális szám az (α, β) intervallumnak eleme. Ezzel a tételt a második esetben is igazoltuk. A tétel bizonyítása szemléletes tartalommal rendelkezik. Nevezetesen, ha ui. az n N számot elég nagynak választjuk, akkor 1/n kisebb az (a, b) intervallum hosszánál. A számegyenes 0 pontjából kiindulva egymás után felmérve az 1/n hosszúságú szakaszt, a végpontok nem ugorhatják át az (α, β) intervallumot. A tételt az (α, r) intervallumra alkalmazva adódik, hogy ebben az intervallumban is létezik racionális szám. Ezt az eljárást folytatva rekurzióval egy racionális számokból álló, megszámlálható számhalmazt kapunk. Ezzel beláttuk, hogy minden intervallum végtelen sok racionális számot tartalmaz. Az előzőhöz hasonló meggondolással adódik, hogy minden x R számhoz egyetlen olyan n Z egész szám létezik, amelyre n x < n + 1 teljesül. Ezt az n számot az x szám egész részének nevezzük és az szimbólumokkal jelöljük. Az [x] := Int (x) := n {x} := x [x] számot az x R szám tört részének nevezzük. Legyen {[a n, b n ] : n N} zárt intervallumoknak egy megszámlálható halmaza (más szóval: rendszere). Akkor mondjuk, hogy ezek az intervallumok egymásba vannak skatulyázva, ha bármely n N számra [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ]. Az intervallum rendszer közös részére, azaz a halmazra vonatkozik az alábbi, ún. n N [a n, b n ]

1. Valós és komplex számok 17 Cantor axióma. Zárt intervallumok bármely megszámlálható, egymásba skatulyázott rendeszerének a közös része nem üres. A most megfogalmazott állítás egyszerű következménye a szétválasztási axiómának. Valóban, legyen A := {a n : n N}, B := {b n : n N} az intervallumok bal, ill. jobb végpontjainak halmaza. Ekkor az intervallumokra tett feltétel alapján bármely m, n N esetén a m < b n, s ezért az A és B halmazokra teljesülnek a szétválasztási axiómában megfogalmazott kikötések. Következésképpen létezik olyan ξ R, hogy minden n természetes számra a n ξ b n teljesül. Nyilvánvaló, hogy ez a ξ szám a szóban forgó intervallumok közös részének is eleme. 1.3. Számok gyöke A szétválasztási axióma egyik következménye, hogy minden pozitív valós számnak létezik n-edik gyöke, amelynek értelmezéséhez az alábbi állítás szolgáltat alapot. 4. Tétel. Legyen n 2 természetes szám és α nem-negatív valós szám. Ekkor egyetlen olyan ξ nem-negatív valós szám létezik, amelyre (4) ξ n = α teljesül. Bizonyítás. Először a tételben szereplő ξ szám létezését igazoljuk. Minthogy az α = 0 esetben ξ = 0 megfelelő, azért elegendő pozitív α-val foglalkozni. A szétválasztási axióma alkalmazásához vezessük be a következő két számhalmazt: A := {x R + : x n < α}, B := {y R + : y n α}. Minthogy 0 A, az A halmaz nem üres. Ha α 1, akkor 1 B, ha pedig α > 1, akkor α n > α, következésképpen α B, s ezért B sem üres. Most megmutatjuk, hogy az A minden eleme kisebb vagy egyenlő a B bármely eleménél. Indirekt bizonyítást alkalmazva tegyük fel, hogy valamely x A, y B elempárra x > y teljesülne. Ekkor az A és B definiciója alapján α y n < x n < α, azaz α < α következne, ami nyilván nem igaz. Ezzel beláttuk, hogy a most bevezetett halmazokra teljesülnek a szétválasztási axióma feltélei, következésképpen létezik olyan ξ valós szám, amely a két halmazt szétválasztja. Megmutajuk, hogy erre (4) teljesül.

18 1.3. Számok gyöke Ezt az állítást is indirekt úton igazoljuk, megmutatva, hogy a i) ξ n < α, ii) ξ n > α egyenlőtlenségek közül egyik sem állhat fenn. Az i) esetben ui., amint azt rögtön belátjuk, létezne olyan ξ-nél nagyobb ξ 1 elem, amelyre ξ1 n < α teljesülne. Ez azt jelentené, hogy ξ 1 A, következésképpen ξ-nél nagyobb A-beli elem is lenne, s ez nyilván ellentmond annak, hogy ξ szétválasztja a szóban forgó két halmazt. Ha ii) teljesülne, akkor létezne olyan ξ 2 B elem, amelyre ξ 2 < ξ, s ez ismét ellentmond a ξ szétválasztó tulajdonságának. Tegyük fel először, hogy i) teljesül. Ekkor van olyan ɛ > 0 szám, hogy Válasszuk a δ > 0 számot úgy, hogy ξ n + ɛ = α. (5) δξ n 1 < ɛ és δ ξ < 1 teljesüljön és legyen h := δ/(2ξn). Ekkor 0 < h < 1 2n, következésképpen alkalmazhatjuk a Bernoulli-egyenlőtlenség ii)-részét: (1 + h) n = (1 + δ 2ξn )n < 1 + δ ξ. Mindkét oldalt beszorozva ξ n -nel és felhasználva az (5) feltételt adódik. Ezzel beláttuk, hogy a (ξ + δ 2n )n < ξ n + δξ n 1 < ξ n + ɛ = α ξ 1 := ξ + δ 2n > ξ számra ξn 1 < α. A ii) esetben létezik olyan ɛ > 0 szám, hogy α = ξ n ɛ. Alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlőtlenség i) részét a h := δ nξ számra, ahol a δ > 0 számot úgy választjuk, hogy (6) δ nξ < 1 és δξn 1 < ɛ teljesüljön. Ekkor azt kapjuk, hogy (1 + h) n = (1 δ nξ )n > 1 δ ξ,

1. Valós és komplex számok 19 ahonnan ξ n -nel való szorzás után a (6) feltétel figyelembe vételével (ξ δ n )n > ξ n δξ n 1 > ξ n ɛ = α, azaz a ξ 2 := ξ δ n < ξ számra ξn 2 > α teljesül. létezik. Ezzel megmutattuk, hogy a (4) feltételnek eleget tevő ξ szám valóban Az egyértelműség bizonyításához tegyük fel, hogy az állítással ellentétben létezik két különböző ξ 1, ξ 2 nem-negatív szám, úgy, hogy mindkettőre (7) ξ n 1 = α ξ n 2 = α teljesül. Tegyük fel, hogy pl. ξ 1 < ξ 2. Ekkor ξ n 1 < ξ n 2 következik, ami nyilván ellentmond (7)-nek. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. A fenti tétel alapján értelmezhetjük a gyök fogalmát. Definíció. Legyen n > 1 természetes szám és α R +. Azt a ξ R + számot, amelyre ξ n = α az α szám n-edik gyökének nevezzük, és az n α szimbólummal jelöljük. A gyök értelmezéséből egyszerűen következnek a gyökvonás alapazonosságai: ( n α ) n = α, n α n = α (α R + ). Az első ekvivalens az n-edik gyök definíciójával. A második abból következik, hogy α eleget tesz az n α n definíciójában szereplő követelményeknek. Az n számot az n α gyökkitevőjének nevezzük. Ha n = 2, azaz ún. négyzetgyök esetén a gyökkitevőt elhagyva a α jelölést használjuk. Megjegyezzük, hogy ha n páros szám, akkor bármely α pozitív valós számhoz két olyan valós szám is létezik, amelynek n-edik hatványa α, az n α és n α. Minthogy minden valós szám páros kitevőjű hatványa nem-negatív, azért a negatív számoknak az előbbi definiciónak megfelelő módon nem értelmezhető páros kitevőjű gyöke a valós számok körében. Ez szükségessé teszi a valós számok kibővítését. A gyök értelmezése alapján egyszerűen igazolhatók a következő azonosságok: bármely α, β R + valós számra és minden 1-nél nagyobb m, n N természetes számra (8) n αβ = n α n β, α n β = n α n β

20 1.4. Számhalmazok alsó és felső határa (9) ( n α ) m = n α m, m n α = nm α, ahol a hányadosra vonatkozó azonosságban feltesszük, hogy β 0. Példaként bebizonyítjuk a szorzatra vonatkozó azonosságot, megjegyezve, hogy a többi hasonlóan igazolható. Az előző megjegyzés szerint elegendő az n-edik hatványok egyenlőségét igazolni. A bal oldal n-edik hatványa a gyök értelmezése szerint ( ) n n αβ = αβ. A jobb oldal n-edik hatványa pedig a szorzat hatványára vonatkozó azonosság és a gyökvonás értelmezése szerint a következővel egyenlő: ( n ) n ( α n β = n ) ( n ) n α n β = αβ. Ezzel a szorzat gyökére vonatkozó azonosságot bebizonyítottuk. 1.4. Számhalmazok alsó és felső határa A szétválasztási axióma szoros kapcsolatban van számhalmazok ún. felső és alsó határával. Ezek értelmezéséhez először vezessük be az alábbi fogalmakat. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a nem üres H R számhalmaz felülről korlátos, ha (10) K R x H : x K. Ha a fenti definicióban a jelet a jellel cseréljük fel, eljutunk az alulról korlátos számhalmaz értelmezéséhez. Definíció. Akkor mondjuk, hogy a nem üres H R halmaz alulról korlátos, ha (11) k R x H : x k. Az (10) feltételnek eleget tevő K számokat a H halmaz felső, a (11) feltételt kielégítő k számokat H alsó korlátjainak nevezzük. Nyilvánvaló, hogy minden felső korlátnál nagyobb szám is felső korlát, és minden alsó korlátnál kisebb szám is alsó korlát. Definíció. Akkor mondjuk, hogy valamely számhalmaz korlátos, ha felülről is és alulról is korlátos.

1. Valós és komplex számok 21 Egyszerűen belátható, hogy valamely H számhalmaz akkor és csak akkor korlátos, ha K R x H : x K. Végtelen számhalmaznak általában nincs legkisebb (legnagyobb) eleme. A szétválasztási axióma következményeként adódik viszont az alábbi 5. Tétel. Felülről korlátos számhalmaz felső korlátjai között van legkisebb, alulról korlátos számhalmaz alsó korlátjai között van legnagyobb. Bizonyítás. Legyen A egy nem üres halmaz és jelöljük B-vel az A felső korlátjainak a halmazát. Ekkor B sem üres és a felső korlát értelmezése alapján a B halmaz minden eleme nagyobb vagy egyenlő az A halmaz bármely eleménél. Az A és B halmazpárra teljesülnek a szétválsztási axióma feltételei, következésképpen létezik a szóban forgó halmazokat elválasztó szám, azaz olyan ξ R, amelyre i) x A : x ξ, ii) K B : ξ K telejesül. Az i) állítás azt jelenti, hogy ξ az A halmaznak egy felső korlátja és ii) szerint az A-nak nincs ξ-nél kisebb felső korlátja. Ezzel beláttuk, hogy ξ a legkisebb felső korlát. A bizonyításban a felső korlátok halmazát az alsó korlátok halmazával cserélve fel, hasonlóan adódik az állítás alsó korlátokra vonatkozó része. Egyszerűen belátható, hogy a fenti tételben szereplő legkisebb és legnagyobb elem egyértelmű (lásd a Függeléket). Ez a tétel lehetővé teszi az alábbi fogalom bevezetését. Definíció. Felülről korlátos számhalmaz legkisebb felső korlátját a számhalmaz felső határának, alulról korlátos számhalmaz legnagyobb alsó korlátját a számhalmaz alsó határának nevezzük. A H R számhalmaz felső határát (más szóval: szuprémumát vagy lényeges felső korlátját) a sup H, alsó határát (más szóval: infimumát vagy lényeges alsó korlátját) az inf H szimbólummal jelöljük. Azt, hogy az α szám a H halmaz felső határa, gyakran a következő formában fogjuk felhasználni: i) α a H halmaz felső korlátja, vagyis x H : x α, ii) bármely α-nál kisebb szám H-nak már nem felső korlátja, vagyis a < α x H : x > a.

22 1.4. Számhalmazok alsó és felső határa Hasonlóan, az inf H = β állítás az alábbiakat jelenti: i) β a halmaz alsó korlátja, vagyis x H : x β, ii) bármely β-nál nagyobb szám H-nak már nem alsó korlátja, vagyis b > β x H : x < b. Megjegyzések 1. A felső és az alsó határ létezésére vonatkozó 1. Tétel a szétválasztási axióma következményeként adódott. Megmutatható (lásd a 17. feladatot), hogy a felső határ létezésére vonatkozó állítás valójában ekvivalens a szétválasztási axiómával. 2. Nyilvánvaló, hogy egy számhalmaz akkor és csak akkor korlátos, ha létezik olyan intervallum, amely a halmazt tartalmazza. 3. Ha valamely H halmaznak van legnagyobb eleme, akkor ez egyben a H felső határa is, azaz Hasonló állítás igaz a legkisebb elemre: max H = sup H. min H = inf H, feltéve, hogy H-nak van legkisebb eleme. Ezek alapján a szuprémum a maximum, az infimum pedig a minimum fogalmának kiterjesztéseként (általánosításaként) is felfogható. Ha H véges valós számhalmaz, akkor van legnagyobb és legkisebb eleme, végtelen halmaznak azonban általában nincs se maximuma, se minimuma. Ilyenkor ezek szerepét a felső és az alsó határ veszi át. 4. Célszerű kiterjeszteni az alsó és felső határ fogalmát nem korlátos halmazokra. Ehhez kibővítjük a valós számok halmazát két elemmel, amelyeket plusz, ill. mínusz végtelennek nevezünk és a +, szimbólumokkal jelölünk. Szokás ezeket ideális elemeknek is nevezni, és ugyanúgy, mint a valós számok esetében a + előjelet gyakran elhagyjuk. A valós számok ezekkel bővített halmazára az R := R {+, } jelölést használjuk. Ha valamely halmaz felülről nem korlátos, akkor azt fogjuk mondani, hogy felső határa +, ha pedig alulról nem korlátos, akkor definició szerint alsó határa legyen. 5. A < relációt terjesszük ki a valós számok ideális elemekkel bővített R halmazára az alábbiak szerint. Legyen x R : < x < +. A most bevezetett szóhasználattal élve azt mondhatjuk, hogy egy halmaz pontosan akkor felülről korlátos, ha sup H < +, és pontosan akkor alulról korlátos, ha inf H >.

1. Valós és komplex számok 23 A korábban bevezetett ún. véges intervallumok mellett használni fogjuk az alábbi ún. végtelen intervallumokat is: (α, + ) := {x R : x > α}, (, β) := {x R : x < β}, [α, + ) := {x R : x α}, (, β] := {x R : x β}. Ezekkel összhangban a valós számok és az ideális elemekkel kibővített valós számok halmazát a (, ) := R, végtelen intervallumokkal is jelöljük. [, ] := R 1.5. Az R n tér Az alábbiakban bevezetjük a vektor fogalmának egy általánosítását. Ehhez nem geometriai és fizikai meggondolások, hanem algebrai definíciókon keresztül jutunk el. Legyen n egy rögzített pozitív egész szám és jelöljük R n -nel az R-nek önmagával vett n-szeres direkt szorzatát (lásd a Függeléket). Az R n elemei tehát rendezett szám n-esek, amelyeket az x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) szimbólumokkal jelölünk. Utalva ezek geometria jelentésére, az R n elemeit vektoroknak, az x 1, x 2,, x n számokat az x vektor koordinátáinak szokás nevezni. Az x, y R n vektorokat akkor tekintjük egyenlőknek, ha x 1 = y 1, x 2 = y 2,, x n = y n. Az x, y R n vektorok összegét, továbbá az x vektor és a λ valós szám szorzatát az x + y := (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) λ x := (λx 1, λx 2,, λx n ) utasítással értelmezzük. (A szorzás jelét el szokás hagyni.) A ( 1) x helyet x-et is írunk. Az R algebrai tulajdonságainak az összefoglalásához felhasználjuk a csoport fogalmát (lásd a Függeléket). Egyszerűen ellenőrizhető, hogy

24 1.5. Az R n tér I. R n a most értelmezett összeadásra nézve csoportot alkot, amelynek a nulleleme a Θ := (0, 0,, 0) R n vektor, s az x elem inverze a x vektor. II. A szorzást és az összeadást az alábbi műveleti szabályok kapcsolják össze: bármely x, y R n vektorra és minden λ, µ R számra (más szóval: skalárra) i) λ(µx) = (λµ)x (skalár asszociativitás) ii) (λ + µ)x = λx + µx (skalár disztributivitás) iii) λ(x + y) = λx + λy (vektor disztributivitás) iv) 1 x = x. A geometriában és a fizikában is fontos szerepet játszik a skaláris szorzat fogalma. Az x, y R n vektorok skaláris szorzatán az x, y := x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n valós számot értjük. Az x vektornak önmagával vett skaláris szorzatának négyzetgyökét, azaz az x := x, x = x 2 1 + x2 2 + + x2 n számot az x vektor abszolút értékének vagy euklideszi normájának nevezzük. Az n = 2 esetben az R n elemeit azonosíthatjuk a sík pontjaival vagy vektoraival az x = (x 1, x 2 ) R 2 elemnek az x 1 (első), x 2 (második) koordinátájú pontot, ill. vektort feleltetve meg. Ehhez hasonlóan a tér pontjait, ill. vektorait az R 3 elemeivel azonosíthatjuk. A skaláris szorzat fenti definíciója összhangban van a geometriai és fizikai értelmezéssel és az x R n (n = 2, 3) elem abszolút értéke egyenő az x-et reprezentáló vektor hosszával, vagy az x pontnak a koordináta rendszer kezdőpontjától vett távolságával. A definíció alapján könnyen ellenőrizhetők a skaláris szorzat következő tulajdonságai: bármely x, y, z R n vektorra és λ, µ R számra i) x, y = y, x (kommutativitás) ii) λx + µy, z = λ x, z + µ y, z (linearitás) iii) x, x 0 és x, x = 0 x = Θ.

1. Valós és komplex számok 25 1.6. Nevezetes egyenlőtlenségek Ebben a pontban bebizonyítunk néhány nevezetes egyenlőtlenséget, amelyeket később még felhasználunk. Számtani és mértani közép. Legyen n > 1 egy természetes szám és tegyük fel, hogy x 1, x 2,..., x n nem-negatív számok. Ekkor n (12) x 1 x 2 x n x 1 + x 2 + + x n. n Az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha x 1 = x 2 = = x n. Bizonyítás. Az egyenlőtlenséget a teljes indukció egy más esetekben is jól használható változatával igazoljuk. i) Legyen először n = 2. Ekkor a bizonyítandó állítás a 0 x2 1 + 2x 1 x 2 + x 2 2 4 x 1 x 2 = (x 1 x 2 ) 2 4 nyilvánvalóan fennálló egyenlőtlenséggel ekvivalens. Innen az egyenlőségre vonatkozó állítás is következik. ii) Második lépésben most az n = 2 m (m N ) alakú számokra igazoljuk az állítást teljes indukcióval. Mivel m = 1-re az egyenlőtlenséget már bebizonyítottuk, teljes indukciót használva tegyük fel, hogy 2 m tagra igaz az állítás. Vezessük be az X 1 := x 1 + x 2 + + x 2 m 2 m, X 2 := x2m +1 + x 2m +2 + + x 2 m+1 2 m jelöléseket. Figyelembe véve, hogy az egyenlőtlenség két tagra és 2 m tagra igaz, ( x1 + x 2 + + x 2 m+1 2 m+1 ) 2 m+1 ( X1 + X 2 = 2 x 1 x 2 m x 2m +1 x 2 m+1 ) 2 2 m X 2m 1 X 2m 2 adódik, azaz 2 m+1 tagra is igaz. Ezzel az egyenlőtlenséget minden 2 m (m N ) esetén igazoltuk. iii) Az általános eset igazolásához válasszunk olyan m N számot, amelyre 2 m > n teljesül és legyen l := 2 m n. Az n darab y 1 := x 1,, y n := x n

26 1.6. Nevezetes egyenlőtlenségek számot az y n+1 := y n+2 := := y 2 m := x 1 + x 2 + + x n n utasítással egészítsük ki 2 m tagra, és ezekre alkalmazzuk a már bebizonyított egyenlőtlenséget. Ekkor azt kapjuk, hogy ( ) 2 m ( ) 2 m y1 + y 2 + + y 2 m nz + lz = = z 2m x 1 x 2 x n z l, ahonnan 2 m 2 m ( ) n z n x1 + x 2 + + x n = x 1 x 2 x n n következik. Ezzel az egyenlőtlenséget minden 1-nél nagyobb természetes számra bebizonyítottuk. Az egyenlőségre vonatkozó állítás is adódik a közölt bizonyításból. A (12) bal oldalán álló számot a nem-negatív x 1, x 2,, x n számok mértani közepének, a jobb oldalán álló számot ezek számtani közepének nevezzük. Az n-tagú összegeket és az n-tényezős szorzatokat a (szumma) és a (produktum) jelek alkalmazásával szokás még a n x k := x 1 + x 2 + + x n, k=1 =: z n x k := x 1 x 2 x n k=1 alakban felírni. Ezzel a jelöléssel (12) a következő alakú: n n x k 1 n x k. n k=1 k=1 Cauchy-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség. Tegyük fel, hogy n N és legyenek x 1, x 2,, x n és y 1, y 2,, y n valós számok. Ekkor (13) x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n x 2 1 + x2 2 + + x2 n y1 2 + y2 2 + + y2 n. Az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha létezik olyan λ R szám, hogy x 1 = λy 1,, x n = λy n vagy y 1 = λx 1,, y n = λx n. Felhasználva az x = (x 1,, x n ), y = (y 1,, y n ) R n vektorok skaláris szorzatát és abszolút értékét (13) a következőképpen írható: x, y x y.

1. Valós és komplex számok 27 Bizonyítás. (13) helyett a bal és a jobb oldal négyzeteire igazoljuk az egyenlőtlenséget. Legyen először n = 2. Ekkor a bizonyítandó egyenlőtlenség ekvivalens a következővel: (x 2 1 + x 2 2)(y 2 1 + y 2 2) x 1 y 1 + x 2 y 2 2 = = x 2 1y 2 2 + x 2 2y 2 1 2x 1 y 1 x 2 y 2 = (x 1 y 2 x 2 y 1 ) 2 0, amely nyilvánvalóan fennáll. Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha x 1 y 2 = x 2 y 1, amiből egyszerű diszkusszióval ellenőrizhető az egyenlőséggel kapcsolatos állítás. Az általános eset hasonlóan igazolható, csak a fenti két tagra vonatkozó azonosságot az alábbival kell felcserélni: ( n ) ( n ) ( n ) 2 n k 2 2 x k y k x k y k = (x k y l x l y k ) 2. k=1 k=1 k=1 k=1 l=1 Ez az azonosság vagy n-re vonatkozó teljes indukcióval igazolható, vagy a bal oldalon elvégezve a szorzást és a négyzetre emelést, összevonás után közvetlenül adódik. Innen a szóban forgó egyenlőtlenség és az egyenlőség esete is következik. Minkowski-egyenlőtlenség. Tegyük fel, hogy n N és legyenek x 1, x 2,, x n és y 1, y 2,, y n valós számok. Ekkor (14) (x1 + y 1 ) 2 + (x 2 + y 2 ) 2 + + (x n + y n ) 2 x 2 1 + x2 2 + + x2 n + y1 2 + y2 2 + + y2 n, vagy felhasználva az x = (x 1,, x n ), y = (y 1,, y n ) R n vektorok abszolút értékét (15) x + y x + y. Az egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha létezik olyan λ R + szám, hogy λx = y vagy λy = x. Bizonyítás. Az egyenlőtlenséget a második formájában fogjuk igazolni, felhasználva az abszolút érték definícióját, a skaláris szorzat linearitását és a Cauchy- Bunyakovszkij-egyenlőtlenséget. Ha a bal oldal nulla, akkor az egyenlőtlenség nyilván fennáll. Tegyük fel tehát, hogy a bal oldal pozitív. Ekkor a mondottak felhasználásával x + y 2 = x + y, x + y = x, x + y + y, x + y x, x + y + y, x + y x x + y + y x + y = = ( x + y ) x + y

28 1.7. Komplex számok. adódik. Innen az x+y > 0 számmal való osztás után a bizonyítandó egyenlőtlenség adódik. Az x+y > 0 esetben egyenlőség nyilván akkor és csak akkor áll fenn, ha a fenti bizonyításban szereplő egyenlőtlenségekben mindenhol egyenlőség van. Ez pedig azzal egyenértékű, hogy egyrészt x, x + y és y, x + y azonos előjelű, másrészt vannak olyan γ, µ R számok, hogy γx = x + y és µy = x + y. Innen következik, hogy γ és µ azonos előjelű, továbbá γx = µy, ahonnan pl. µ 0 esetén y = λx (λ = γ/µ > 0) adódik. Vektorok abszolút értékének tulajdonságai. Bármely x = (x 1, x 2,, x n ), y = (y 1, y 2,, y n ) R n vektorra és λ R számra (16) i) x 0 és x = 0 x = Θ ii) λ x = λ x iii) x + y x + y iv) x y x y. Bizonyítás. Az i) és ii) közvetlenül adódik az abszolút érték definíciójából és a szorzat gyökére vonatkozó (8) azonosságból. A iii) azonos a Minkowski-féle egyenlőtlenséggel, iv) pedig szórol szóra ugyanúgy igazolható, mint a számok abszolút értékére vonatkozó hasonló egyenlőtlenség. Becslések vektor abszolút értékére. Bármely x = (x 1, x 2,, x n ) R n -beli vektorra i) x x 1 + x 2 + + x n n x ii) 1 x max { x 1, x 2,, x n } x. n Bizonyítás. Az i) első fele könnyen ellenőrizhető. Valóban, négyzetre emelés után a bal oldalon a koordináták négyzeteinek az összege, a jobb oldalon ezen kívül a koordináták abszolút értékei szorzatainak kétszeresei is fellépnek. Az i) második része a Cauchy-Bunyakovszkij-féle egyenlőtlenség alapján adódik, ha azt az x 1, x 2,, x n és az 1, 1,, 1 szám n-esekre alkalmazzuk. A ii) az x definíciójából következik, ha abban minden koordináta helyére a maximális abszolút értékűt írjuk, ill. csak a maximális abszolút értékűt hagyjuk meg.

1. Valós és komplex számok 29 1.7. Komplex számok Az 1.3. pontban a gyökök értelmezése során nem-negatív számokra szorítkoztunk. Ennek az volt az oka, hogy a negatív számoknak nincs páros kitevőjű gyöke a valós számok körében, hiszen bármely valós szám páros kitevőjű hatványa nem-negatív. Speciálisan, nincs olyan valós szám, amelynek a négyzete 1 lenne. Célszerű a valós számok halmazát olymódon kibővíteni, hogy a kibővített halmaz is testet alkosson, és benne a gyökvonás már maradéktalanul elvégezhető legyen. Az új számokat az R 2 elemeivel vagy ami ugyanazt jelenti, a sík pontjaival fogjuk azonosítani. Első lépésben az R 2 halmazon bevezetünk egy összeadást és egy szorzást, és megmutatjuk, hogy R 2 ezekre nézve testet alkot. Definíció. Tetszőleges x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ) R 2 elemekre legyen (17) x + y : = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ), x y : = (x 1 y 1 x 2 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). Egyszerű számolással ellenőrizhető a következő állítás. 6. Tétel. R 2 a (17) alatt értelmezett műveletekkel testet alkot, amelynek nulleleme Θ := (0, 0), egységeleme e := (1, 0). Bizonyítás. Minthogy a + művelet ugyanaz, mint az R n -ben már korábban bevezetett összeadás, azért amint azt már láttuk R 2 erre nézve kommutatív csoportot alkot, amelynek nulleleme a Θ. Most megmutatjuk, hogy R 2 \{Θ} a fent bevezetett szorzásra nézve is csoportot alkot. A szorzás kommutativitása a definícióból leolvasható. Az aszociativitás igazolásához tekintsük az x = (x 1, x 2 ), y = (y 1, y 2 ), z = (z 1, z 2 ) R 2 elemeket. A szorzás értelmezése alapján, felhasználva a valós számokra vonatkozó műveleti szabályokat, egyrészt (x y) z = (x 1 y 1 x 2 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z = = (x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 1 x 1 y 2 z 2 x 2 y 1 z 2, x 1 y 1 z 2 x 2 y 2 z 2 + x 1 y 2 z 1 + x 2 y 1 z 1 ), másrészt x (y z) = x (y 1 z 1 y 2 z 2, y 1 z 2 + y 2 z 1 ) = = (x 1 y 1 z 1 x 1 y 2 z 2 x 2 y 1 z 2 x 2 y 2 z 1, x 1 y 1 z 2 + x 1 y 2 z 1 + x 2 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ) adódik. Innen az asszocitivitás már nyilvánvaló.

30 1.7. Komplex számok. Egyszerűen belátható, hogy e := (1, 0) egységelem a fenti szorzásra nézve. Valóban, bármely x = (x 1, x 2 ) elemre x e = (x 1 1 x 2 0, x 1 0 + x 2 1) = x. Végül megmutatjuk, hogy bármely x = (x 1, x 2 ) Θ elemnek az x 1 := elem a multiplikatív inverze. Valóban ( x1 x 2 1 +, x2 2 x 2 x 2 1 + x2 2 ( x x 1 x1 x 1 + x 2 x 2 = x 2 1 +, x ) 1x 2 x 2 x 1 x2 2 x 2 1 + = (1, 0) = e. x2 2 Ezzel beláttuk, hogy R 2 a fent bevezetett műveletekkel testet alkot. ) Az R x x := (x, 0) R 2 leképezés nyilvánvalóan kölcsönösen egyértelmű az R és az R := {(x, 0) : x R} R 2 halmaz között. Bármely x = (x 1, 0), y = (y 1, 0) R elempárra x + ŷ = (x 1 + y 1, 0) = x + y, x ŷ = (x 1 x 2, 0) = x y teljesül. Ez más szóval azt jelenti, hogy a szóban forgó leképezés R-beli összeget R-beli összegbe, R-beli szorzatot R-beli szorzatba visz át, s ezért a két halmaz algebrai szempontból azonosnak tekinthető, más szóval: egymással izomorfak (lásd a Függeléket). Ebben a leképezésben a 0-nak a Θ, az 1-nek az e és a 1-nek a e := ( 1, 0) felel meg. Az R-et azonosítva az R 2 test R részhalmazával, a most értelmezett test a valós számok bővítésének tekinthető. Egyszerűen megmutatható, hogy a bővebb testben a 1 számnak megfelelő e elemnek van négyzetgyöke, nevezetesen az ı := (0, 1) elem. Valóban, a szorzás definíciója alapján ı ı = (0 1, 0 + 0) = e. Később megmutatjuk, hogy a gyökvonás nem csak a valós számoknak megfelelő számok körében végezhető el, hanem a kibővített számtest bármely elemének minden n N, n > 1 esetén létezik n-edik gyöke.

1. Valós és komplex számok 31 Kiindulva a z =: (x 1, y 1 ) = (x 1, 0) + (y 1, 0) (0, 1) = x + ŷ ı azonosságból, az említett megfeleltetésben egymáshoz rendelt elemek között jelölésben sem teszünk különbséget. Ekkor az R 2 elemeit azonosíthatjuk a C := {z = x + y ı : x, y R} halmaz elemeivel, ahol ı 2 = 1, és a megfeleltetés az R 2 (x, y) z := x + y ı C leképezéssel adható meg. Ezzel összhangban az öszeadás és a szorzás a C-ben a következő: tetszőleges z 1 := x 1 + y 1 ı, z 2 = x 2 + y 2 ı C elemre z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 ) ı, z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ı. A z C, z 0 szám multiplikatív inverzére a valós számok körében is szokásos jelöléseket és elnevezéseket használva z 1 = 1 z = x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 ı adódik, és ezt az elemet a z reciprokának is szokás nevezni. A szorzás jelét a valós esethez hasonlóan elhagyjuk, ha az nem okoz félreértést. Az egymással izomorf két test közül általában a másodikat szokás használni. A C elemeit komplex számoknak, magát a C-t a komplex számok testének nevezzük. Az x, y R számokat a z = x + yı komplex szám valós, ill. képzetes részének nevezzük, és az x =: Rz, y =: Iz szimbólumokkal jelöljük. A z := x y ı komplex számot a z komplex konjugáltjának, az z := x 2 + y 2 = zz nem-negatív valós számot a z abszolút értékének nevezzük. A C elemeit, az R 2 elemeihez hasonlóan, szokás a sík pontjaival, ill. vektoraival azonosítani, a valós számok halmazának megfelelő egyenest valós tengelynek, az {yı : y R} halmaznak megfelelő egyenest képzetes vagy imaginárius tengelynek, magát a síkot komplex számsíknak nevezni. A z szám abszolút értéke a neki megfelelő vektor hosszával