HÁLÓZATOK AZ ISKOLÁBAN NETWORKS IN SCHOOL CLASSES Cseh Gyopárka Báthory István Elméleti Líceum ÖSSZEFOGLALÁS Az osztályokban kialakuló klaszterképződést (csoportosulást) vizsgáltuk és annak a lehetőségét, hogy ezt a spontán klaszterképződést optimalizáljuk modell segítségével. A klasztereken belüli frusztráció az oka annak, hogy a valós klaszterképződés lényegesen eltér az optimálistól. Az optimális klaszter-térkép fontos eszköz lehet az osztálynevelő kezében a közösségépítés szempontjából. Ugyanakkor, a tanulási folyamatokat tanulmányozva, a logikus tanulásnál is klaszterképződést vettünk észre. A logikus tanulás mértéke érdekes fázisátalakulás-szerű jelenséget mutat az intelligencia (IQ) függvényében. Ennek a jelenségnek az ismerete viszont a tanároknak ad segítséget a tanítási és a számonkérési módszer kiválasztására a tanulók és az osztály adottságainak az ismeretében. ABSTRACT We studied the clusterization in school classes and the possibility to find the optimal clusterization. The frustration in the inside of the clusters makes the big difference between the real and the optimal clusterization. The optimal cluster-map would be a great help for the teacher to form a community. At the same time, in the learning process, we observed a clusterization by logical learning. The logical learning rate shows an interesting phase-like transition as a function of the intelligence (IQ). The knowledge of this process will help the teacher to choose the teaching and evaluating method as a function of the possibilities there students and there class. KULCSSZAVAK/KEYWORDS klaszterképződés, fázisátalakulás, tanulás correlation clustering, phase transition, learning BEVEZETŐ Bár a gráfokkal először a matematikusok foglalkoztak, a múlt század közepétől kezdve már a fizikusok is felfigyeltek rájuk. Amint egyre több alkalmazásukat találták meg a mindennapi életünkben, a fizika mellett, a biológia vagy a szociológia terén [1], [2], egyre több lehetőség nyílik az iskola falain belüli tanulmányozásra és alkalmazásra is. A gráfokra, hálózatokra alapuló, fizikából kölcsönzött modell, lehetőséget ad az osztályközösség tanulmányozása, ezzel egyrészt segíthet az osztályközösség összekovácsolásában, másrészt tudatosíthatja a diákokban a fizika alkalmazhatóságát. Ez a modell lehetőséget ad a megtanulandó ismerethalmaz tanulmányozására is. A haszon ebben az esetben is kettős lesz, amellett, hogy a fizika alkalmazhatóságára egy újabb példa lesz, a tanár, a diákok adottságainak megfelelő módszereket választhat, ezáltal a tanulás hatékonyságát növelheti.
Vannak nagyon összeforrott, egységes osztályközösségek és vannak nagyon széthúzó osztályközösségek. Nyilvánvaló, hogy egy összetartó osztályban jobb munkahangulat van, a tanár sokkal könnyedébben tud dolgozni, mint egy széthúzó osztályban. A széthúzó osztályokban a klikkek kialakulásán kívül a fő probléma a klikkeken belül kialakuló konfliktusok. Ezért a tanár munkáját nagyon megkönnyítené, ha lenne lehetősége, hogy ezeket a konfliktusokat feltérképezze és megszüntesse. Erre adhat lehetőséget a modellünk. A modellünket ugyanakkor a tanulásra is alkalmaztuk, kimutattuk, hogy a logikus tanulás alapfeltétele a tanulási egységek logikai kötésekkel történő klaszterképződése, s bár van egy összefüggés a logikus tanulás és az intelligencia között, ez nem egy egyenes arány, tehát nem várható el a diáktól az intelligenciájával megegyező mértékű logikus tanulás. A jó tanár a diáknak útmutatást is tud adni, hogy hogyan tudná a legjobban és leghatékonyabban elsajátítani az anyagot. Ennek viszont előfeltétele, hogy a tanár tudja, milyen mértékben képes a diák a logikus tanulásra, mely tanulási forma köztudottan a leghatékonyabb. A MODELL Tekintsünk egy N egyedből álló rendszert [2], [3]. Az egyedek között kötések lehetnek. Tekintsük ezeket a kötéseket pozitívnak, ha az egyedek szívesen együttdolgoznak egymással, negatívnak, ha közöttük konfliktus van, és nullának, ha nincsenek egymással kapcsolatban. Ezen egyedek koalíciókba, klaszterekbe, csoportokba tömörülnek. A rendszerben viszont frusztráció fog kialakulni. Ennek oka, az egyazon csoporton belüli pozitív és negatív kötések együttes jelenléte. Minden egyén szeretne csak olyanokkal egy csoportban lenni, akikkel szívesen dolgozik együtt, de ilyen ideális klaszterképződés a valóságban nincs. Az 1-es ábrán levő csoportban a frusztrációt az 1-es és a 3-as egyed közötti ellentét váltja ki, hisz az 1-es egyed sem mondana le az a 2-es és a 4-es egyed társaságáról, meg a 3-as egyed sem. Az 1-es egyed viszont elkerülné a 3-as egyed társaságát, de ezt nem teheti. 1. ábra. Frusztráció a klaszterben 1 2 2. ábra. Egy hét egyedből álló rendszer klaszterképződése E frusztrációk miatt tökéletes klaszterképződése egy ilyen rendszernek nem lesz, de meg lehet keresni az optimális megoldást, amikor a rendszerben levő frusztráció a minimumra csökkenthető. A 2-es ábrán látható hét egyed ideális klaszterképződés esetén két klaszterbe fog csoportosulni, mert akkor csak egy frusztrációt okozó negatív kötés (antipátia) lesz a
csoportokon belül, míg ha egyetlen klaszterbe tömörülnének, a frusztrációt okozó kötések száma 6 lenne. Látható, hogy abban az esetben, ha csak pozitív kötések vannak, akkor egyetlen egy nagy klaszterbe csoportosul mindenki, ha meg mindenki mindenkit utál, akkor N darab klaszter lenne, tehát minden egyén külön klaszterbe kerülne. Minden más esetben a klaszterek száma 1 és N között fog mozogni. A spin-üveg nem mágneses fém kis mennyiségű mágneses fémmel (0.1-10 %) ötvözve, oly módon, hogy a mágneses elem atomjai véletlenszerű eloszlásban találhatók a nem mágneses elem kristályrácsában. A spin-üveg tanulmányozásánál használt energia analógiájára a rendszert egy költségfüggvénnyel tudjuk jellemezni, melynek alakja: ahol: S ij az i-dik és a j-dik egyén közötti kötés. δ σ(i)σ(j) Kronecker szimbólum σ (i), σ (j) a klaszter, melyben az i-edik, j-edik egyén található S i,j =+1/N q valószínűséggel és S i,j = 1/N (1-q) valószínűséggel. q a pozítív kötés valószínűsége (1) Ha két egyén kötődik egymáshoz, vagyis szívesen vannak együtt, akkor S ij =+1/N, ha viszont a két egyén nem állhatja egymást, akkor S i,j = 1/N. A kötési mátrix elemeinek (S ij ) értéke úgy van megválasztva, hogy a költségfüggvény normálva legyen, azaz -1 K 0. Minél kisebb a költségfüggvény értéke, annál stabilabb a rendszer, vagyis annál kisebb a frusztráció a rendszerben, hiszen energia jellegű mennyiségről van szó. Az optimális klaszterképződés a költségfüggvény minimumánál érhető el (a stabilitás feltétele az energiaminimum). A költségfüggvény minimumának a meghatározására először is az egyéneket csoportokba osszuk. Ez a felosztás lehet véletlenszerű, de nem szükségszerű. Kiszámítjuk a költségfüggvényt, majd áthelyezünk egy egyént egy másik csoportba, és ismét kiszámítjuk a költségfüggvényt. Ha K értéke csökken ezáltal, akkor a rendszer stabilabb, a frusztráció csökkent, ha K értéke nő, akkor a rendszer instabilabb, a frusztráció a rendszerben ezzel a módosítással nőne. Bevezethetünk egy r rendparamétert, mely megadja a legnagyobb klaszter relatív méretét, vagyis ebben az esetben a legnagyobb csoportban levő egyének számának és az egyének összeségének a hányadosa (ha az egyének száma a rendszerben nagyon nagy, akkor első közelítésben ha csak negatív kötések vannak r=0 és a klaszterek száma N lesz,, ebben az esetben K=0, valamint, ha csak pozitív kötések vannak, r=1,, tehát egyetlen nagy klaszter lesz, ebben az esetben K=-1). Tekintve, hogy már kis rendszereknél is, az egzakt számítások nagyon bonyolultak, közelítő számításokhoz kell folyamodnunk. Az egyik lehetőség a Monte Carlo módszer használata szimulációs hűtési módszerrel. E kombinált módszer lényege a következő: A rendszer jellemezhető egy kezdeti energiaértékkel (költségfüggvényértékkel) (K k ) és hőmérsékletértékkel (T k ), melyeket tetszőlegesen választunk meg. Véletlenszerűen szétosszuk az egyéneket klaszterekbe, a klaszterek számát kellően nagy értéknek vesszük, (nem túl nagy rendszereknél vehetjük úgy is, hogy minden egyén külön klaszterben van az elején) (analóg módon a melegítési procedúrával, a klaszter tulajdonképpen egy állapotot jelképez). Az egyének közötti kötéseket q valószínűséggel pozitívnak vesszük. A hőmérsékletet kis értékekkel ( lassan ) csökkentjük, minden egyes hőmérsékleti értéknél nagyon sok (ezres nagyságrendű) Monte Carlo lépést végzünk el. Minden Monte Carlo lépésnél
o Véletlenszerűen kiválasztunk egy egyént o Kiszámoljuk az energiáját a rendszernek ebben az esetben (a legeslegelső lépésnél az energia az általunk választott érték) o Áthelyezzük az egyént véletlenszerűen más klaszterbe o Kiszámoljuk a rendszer új energiáját és az energiaváltozást o Ha az energia csökkent elfogadjuk a változást o Ha az energia nőtt, akkor is elfogadjuk a változást egy exp( K/T) valószínűséggel o Kiszámoljuk és tároljuk a rendszer legnagyobb klaszterének relatív méretét (r) és a pozitív kötések valószínűségét (q) Csökkentjük a hőmérséklet értékét és újra elvégezzük a Monte Carlo lépéseket az új értékek esetén is, mindaddig, amíg a hőmérséklet el nem ér egy előre maghatározott végső T v értéket Kiszámoljuk a legnagyobb klaszter relatív méretének az átlagértékét minden pozitív kötési valószínűségre. A véletlenszerű számok használata a módszerben szükségszerűen feltételezi a nagyon sok lépest, mert csak így van esély arra, hogy minden egyénre rákerüljön a sor az áthelyezésnél. Az energianövekedést eredményező lépést pedig azért kell elfogadni egy bizonyos valószínűséggel (az analógia miatt épp exp( K/T)), mert létezik lokális minimuma is az energiának, és ezzel lehetősége nyílik a rendszernek ebből a lokális minimumból kiugrani (analóg módon, amikor egy rendszer stabilitását rázással próbáljuk ki). Vizsgálva az r rendparaméter értékét a q függvényében, érdekes fázisátalakulásszerű görbét találtunk (másodfajú fázisátalakulás). 3. ábra. A rendparaméter vizsgálata a pozitív kötések koncentrációjának függvényében szimulációs hűtési módszerrel A fázisátalakulás-szerűségre utal a 4-es ábra is, mely világosan mutatja, hogy a kritikus pont környékén (q=0.5) a rendparaméter átlagos négyzetes szórásának négyzetgyöke nagymértékben megnő, úgy ahogy az egy fázisátalakulástól elvárható lenne. Ez viszont azt is mutatja, hogy egy közösség viselkedése akkor lesz a legkiszámíthatatlanabb, amikor a pozitív és a negatív kötések száma közelítőleg egyenlő arányban van jelen.
4. ábra. A rendparaméter átlagos négyzetes szórásának vizsgálata a pozitív kötések koncentrációjának függvényében A SZOCIOGRAM Kiválasztottunk egy érezhetően frusztrált VI. osztályt, ahol a gyakori konfliktusok az osztálytársak között rányomták a bélyegüket a csoportos munkákra egy-egy laborgyakorlaton. Feltérképeztük az osztályon belüli kötelékeket kérdőív segítségével, majd ábrázoltuk egy szociogrammal (5. ábra). A kérdőívvel a pozitív (baráti) és negatív (ellenséges) kötéseket állapítottuk meg, vagyis meghatároztuk a kötési mátrixot. A szociogramon jól látható a frusztrált hálózat. A két külön sziget két kirekesztett fiú, akikhez egy pozitív kötés sem kötődik, s az ábra átláthatósága miatt nem tüntettük fel az ő pozitív kötődésüket az osztályhoz. Ugyancsak az ábra átláthatósága miatt nem tüntettük fel a felső és az alsó lány csoport közötti sűrű negatív kötési hálózatot sem, s a felső és alsó fiú csoport közötti sűrű negatív kötési hálózatot sem. A frusztrációt okozó kötések között van egy csoport, ami külön figyelmet érdemel, ezek azok a kettős kötések, melyek aszimmetriát hoznak a hálózatba, egyik irányba pozitívak, másik irányba negatívak (az ábra átláthatósága miatt ezeket nem tüntettük fel). - lány - fiú - ellentét - kölcsönös szimpátia - csoporton belüli ellentét 5. ábra. Az osztály szociogramja Majd külön kérdőívvel feltérképeztük a baráti-köröket (6. ábra). Az egyértelműen látszik, hogy a lányok között van kettő, aki ugyan nem egyértelműen kirekesztett, mint a fiúknál, de
mindkét lánycsoporthoz tartozhatna is meg nem is. Az is egyértelmű, hogy a lányok taszítják elsősorban a fiukat, ami figyelembe véve azt, hogy 12-14 éves korosztályról van szó, nem meglepő. Felírtuk erre a hálózatra a kötési mátrixot és a Monte Carlo módszer és szimulált hűtési módszer kombinált használatával megállapítottuk, hogy melyik lenne az ideális klaszterképződés, csoportosulás az illető osztályban (6. ábra). Bár mindenki arra törekedne, hogy egységes, összetartó osztályt alakítson ki, a jelen esetben az eredeti 4 csoport, klikk helyett, a frusztráció, és ezáltal a viszályok, csökkentése végett ajánlott az osztály 7 klikkre való feloszlását elfogadni. Ennek tudatában, annyit már tudtunk tenni, hogy olyan órán, amikor több diák kellett csoportosan együtt dolgozzon, nem engedtük a nagyon frusztrált csoport kialakulását (ez a lányoknál volt elsősorban nagyon szükséges, mert ott ők maguk nehezen találtak frusztráció nélküli kisebb csoportokat a csoportos munkákhoz). a b 6. ábra. a. Az osztályban jelenlevő baráti-körök, klaszterek, b. Az ideális klaszterképződés az osztályban Még megoldásra vár, hogy hogyan tudnánk rávenni az osztályt, hogy az ideális klaszterezést el is fogadja a baráti kapcsolatok kialakításánál, illetve, hogy a létező ellentéteket baráti kötelékekké vagy legalábbis semleges kötésekké alakítsák. A LOGIKUS TANULÁS MODELLJE Több tanulási stílus létezik. Az egyének döntő többségénél, ezek ötvöződnek, nem önállóan jelentkeznek. Az összes tanulási stílus közül a logikus tanulási mód a leghatékonyabb. Mégsem tanul mindenki evvel a technikával. Kutatásunk célja volt felfedni, hogy ki milyen mértékben tudná hasznosítani ezt a technikát. A fentebb bemutatott modell erre az esetre is alkalmazható. Tételezzük fel, hogy van egy tananyagrész, amit meg kell tanulni. Ez több alegységből áll és ezek között az egységek között összefüggések lehetnek. Ha logikus összefüggést vesz észre az illető a két alegység között, akkor azokat összeköti, és egyszerre tanulja meg, ha nem, akkor sorra véve az alegységeket egyenként tanulja meg őket más technika segítségével (például auditív módszerrel, hangosan mondogatva). Viszont minél okosabb, intelligensebb valaki, annál több logikus összefüggést fog megtalálni az alegységek között, tehát az egyszerre megtanulandó anyag, klaszter mérete annál nagyobb lesz. Ebből adódóan, a nagyon magas IQ-val rendelkező egyének logikusan tanulnak, ha viszont alacsony IQ szinttel rendelkeznek, akkor inkább más tanulási stílust választanak. Elvárásaink szerint, a modell alapján, egy fázisátalakulás-szerű görbét kell kapjunk, ha ábrázoljuk a logikus tanulás mértékét az IQ függvényében. A modellünkben szereplő pozitív kötés az intelligencia által aktivált logikus kapcsolat lesz az anyagrészek között, a negatív kötés pedig a mechanikus
tanulásra, magolásra jellemző társítás lesz. A logikus tanulás mértéke (LL) pedig a logikus kapcsolatok által összekapcsolt anyagrész, tehát a klaszter mérete lesz. Közel kétszáz 14 és 71 év közötti egyén IQ-ját mértük (ügyelve arra, hogy lehetőleg a népesség eloszlásának megfelelő arányban legyenek fiatalok és idősek, fiúk és lányok) párhuzamos Raven teszt segítségével (egy standardizált ábrákon alapuló intelligencia teszt, mely lehetővé teszi egyazon teszt használatával az alacsony IQ értékek mérését is, de a magas IQ értékek mérését is). Az IQ az intelligencia mértékét adja meg, 0-tól 200-ig vagy még annál is tovább, hisz az intelligenciának nincs felső határa. Pszichológusok [4], [5] az IQ-t egy hányadossal határozták meg ahol: MK a mentális kor EK az életkor (2) Az emberiség eloszlása z IQ értéküket figyelembe véve egy Gauss-görbe típusú normál eloszlást mutat, az emberek 50%-ának az IQ-ja 90 és 110 között mozog, ez számít átlagos intelligenciának, 70-90 átlagon alulinak, ez alatt az érték alatt szellemi fogyatékosnak, 110-120 átlagon felüli, 120-140 nagyon intelligens és 140 felett zseni. 7. ábra. Az emberiség eloszlása az IQ szint szerint Ugyanezen egyének logikus tanulásuk mértékét a Memletics tanulási teszt segítségével mértük (Internetről ingyenesen letölthető tanulási teszt, mely 70 kérdés segítségével állapítja meg, hogy az egyén a hét különböző tanulási stílust milyen mértékben használja tanulás közben). A hét tanulási stílus: logikus, verbális, kinetikus, egyéni, csoportos, vizuális és auditív. Mindenik mértékét egy 0-20-as skálán méri, ezek közül csak a logikus tanulás mértékét használtuk fel. 8. ábra. Tanulási stílusok
9. ábra. Logikus tanulási ráta az IQ függvényében 10. ábra. A logikus tanulási ráta deviációjának vizsgálata az IQ függvényében Kutatásaink igazolták a feltevésünket, mert a 9. ábra és a 10. ábra másodfajú fázisátalakulásra utal, a görbék hasonlítanak a 3. ábra és 4. ábra görbéihez. A modellben használt normálást (az értékek skálázását 0 és 1 közé) a kísérleti adatok esetében nem lehetett megvalósítani, mert az IQ-nak nincs egy maximális értéke, amivel a kapott értéket elosztva egy 0 és 1 közötti érteket kaphatnánk, így a modell alkalmazhatóságát a logikus tanulásra
csak a két görbe formája tudja igazolni. A kritikus pont valahol a normálintelligencia felső határán enyhén túl, 120 és 130 között jelenik meg, ami azt jelenti, hogy egy 110-es IQ-val rendelkező egyént szinte pont olyan fölösleges logikus tanulásra serkenteni, mint egy 60-as IQ-val rendelkező szellemileg visszamaradt személyt, viszont egy 130-as IQ-val rendelkező egyénnek szinte ugyanolyan esélye van a logikus tanulással való ismeretelsajátításra, mint egy 150-es IQ-val rendelkező szuperzseninek. KÖVETKEZTETÉSEK Modellünk jól leírja a frusztrált hálózatokat, s a bennük rejlő fázisátalakulásra emlékeztető tulajdonságot. A klaszterképződés jelen vannak a mindennapjainkban. Klaszterezést vehetünk észre akkor is, amikor egy osztályközösségben klikkek alakulnak ki, de klaszterképződés vehető észre logikus tanulás esetén is. A valós helyzet feltérképezése után a modellünk valós segítség lehet a tanárnak vagy az osztálynevelőnek az optimális klaszterképződés megállapításában, annak érdekében, hogy az osztályban jobb munkalégkör uralkodhasson. Ugyanakkor a modell hasznos lehet a pszichológusnak vagy pedagógusnak, hogy tanácsot adhasson a diáknak a tanulási stílus meghatározásában. Sokszor találkozhatunk olyan esettel, amikor a diák nem a legoptimálisabb módszerrel tanul, s ez által erőt, energiát és időt veszít. A tanár szemszögéből nézve, a modell ismerete valamint a tanulók értelmi képességeinek az ismerete lehetőséget nyújt a legmegfelelőbb tanításmódszer megválasztására. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Cseh Gyopárka kutatásait az EU AMPOSDRU PhD program finanszírozta. IRODALOMJEGYZÉK 1. Barabási A.-L.: Behálózva- A hálózatok új tudománya, Helikon Kiadó, Budapest, 2008 2. Derényi I., Farkas I., Palla G., Vicsek T.: Magyar Tudomány, 11, 1319, 2006 3. Néda Z., Ravasz M., Florian R., Libál A.: Physica A, 362, 357, 2006 4. Néda Z., Sumi R., Ercsey-Ravasz M., Varga M., Molnár B., Cseh Gy.: Journal of Physics A, Math. Theor., 42, 345003, 1009 5. Kulcsár T.: Iskolapszichológia, Dacia Kiadó, Kolozsvár, 1984 6. Radu I.: Întroducere în psihologia contemporană, Sincron Kiadó, Kolozsvár, 1991 SZERZŐ Cseh Gyopárka, doktori hallgató, Department of Theoretical Physics, Babeş-Bolyai University, Str. M. Kogălniceanu 1, RO-400084, Cluj-Napoca, Romania, Eötvös Lóránd Tudományegyetem, Budapest, email: szcsehgy@yahoo.com