Fókuszált fénynyalábok keresztpolarizációs jelenségei K házi-kis Ambrus, Klebniczki József Kecskeméti F iskola GAMF Kar Matematika és Fizika Tanszék, 6000 Kecskemét, Izsáki út 10. Véges transzverzális kiterjedés fénynyalábok viselkedése számos olyan jelenséget eredményez, amit az optikában széleskör en elterjedt kétdimenziósnak nevezhet leírás nem tud helyesen leírni. A háromdimenziós leírásból igen, de a kétdimenziós leírásból nem következ polarizációs jelenségek, a keresztpolarizációs jelenségek általános leírását adjuk a fénynyalábok paraxiális közelítésének alkalmazásával. Az analitikusan nyert képletek segítenek a fókuszált fénynyalábok viselkedésének megértésében. Megvizsgáltuk a közegek határfelületér l visszavert, illetve azon megtör fénynyalábokat, megadjuk a keresztpolarizációs hatás er sségének a beesési szögt l való függését. I. BEVEZETÉS Fénynyalábok polarizációs tulajdonsága számos alkalmazás során játszik fontos szerepet. Gondoljunk csak az elektrooptikában a fény polarizációját kihasználó modulációs, fényterel eljárásokra. Az er s fókuszálást alkalmazó optikai adatrögzítés, mikroszkópia, mikromegmunkálás területén az utóbbi id ben különös hangsúlyt kapott a fénynyalábok polarizációja. Megmutatták [1], hogy speciális, úgymond radiálisan poláros fénynyalábokkal lényegesen kisebb fókuszált foltméretek érhet k el, mint a szokásos lineárisan, vagy cirkulárisan polarizált fénynyalábok alkalmazásával. Nagyon fontos tehát a fénynyalábok polarizációs tulajdonságainak megfelel ismerete. A fels fokú oktatásban használt tankönyvekben és az optikai szakirodalomban is szinte kizárólagosan kivételként érdemes Born és Wolf kiváló könyvét [] megemlíteni) a fénynyalábok kétdimenziós D) leírását használják. A D-leírás keretében a fénynyaláboknak csupán transzverzális elektromágneses terét tételezik fel, pedig könnyen megmutatható lásd a II. fejezetben), hogy transzverzális irányokban véges, lineárisan polarizált fénynyaláboknak is van longitudinális irányú elektromágneses tere. A longitudinális terek általában annál er sebbek, minél er sebben fókuszált a fénynyaláb. Gyengén fókuszált nyalábokban a D-leírástól mutatott csekély eltérés miatt alkalmazható a D-modell olyan sikeresen például a lézerrezonátorok tervezésében [3]. Fénynyalábok D-modelljének elektromos és mágneses térer ssége csupán a hullámegyenletnek a megoldása, de nem megoldása a Maxwell-egyenleteknek. Ezen modell alkalmazásának el nye egyszer ségében rejlik, sík felület izotrop optikai elemekre a beesési síkban, vagy arra mer legesen polarizált fénynyaláb visszavert, illetve áteresztett fénynyalábja továbbra is lineárisan polarizált marad. Hasonlóan, a fókuszálás nem változtatja meg a bees nyaláb polarizációs állapotát. Fókuszált fénynyalábok elektromágneses terének háromdimenziós 3D) leírását el ször Richards és Wolf adta Electronic address: kohazi-kis.ambrus@gamf.kefo.hu; URL: matfiz.gamf.hu/kohazi-kis.ambrus meg [4] már 1959-ben. Megmutatták, hogy még ha a bees fény síkban polarizált is, a fókuszált fénynyalábnak a fókuszálás er sségét l függ mértékben megjelenik az eredeti polarizáció transzverzális irányára mer leges és longitudinális irányú elektromos tere is. A fénynyalábok 3D-viselkedéséb l következik továbbá, hogy még izotrop sík felületeken történ törés, visszaver dés esetén is általában keletkezik a bees fénynyaláb beesési síkban, vagy a beesési síkra mer legesen polarizált elektromos terére mer leges elektromos térkomponens is [5]. A szakirodalomban éppen ezeket a D-modell alapján nem várt polarizációs jelenségeket szokás keresztpolarizációs jelenségeknek nevezni [6]. Ebben a cikkben a 3D-fénynyalábok tulajdonságait, keresztpolarizációs jelenségeit vizsgáljuk a matematikailag egyszer bb, a lényegi vonásokat azonban megmutató paraxiális közelítés keretében. A keresztpolarizációs jelenségek jelentkeznek, kísérletileg meggyelhet k [5, 7] gyengén fókuszált, a paraxiális közelítésnek megfelel fénynyalábok esetén is, de a fénynyalábok 3D-jellege f ként az er sen fókuszált, a paraxiális közelítésen már kívül es fénynyalábok esetén jelentkezik meghatározó er vel. A paraxiális közelítés alkalmazását azonban az indokolja, hogy a keretében levezethet - a nemparaxiális leírással összevetve lényegesen egyszer bb - összefüggésekkel jellegében helyesen adhatjuk vissza a 3D-viselkedés f bb jellemvonásait. A II. fejezetben összefoglaljuk a paraxiális 3D koherens fénynyalábok jellemz it. A III. fejezetben egyszer, paraxiális leírását adjuk a fókuszálás során megjelen keresztpolarizációnak. A IV. fejezetben izotrop közegek határfelületén megtör, vagy arról visszaver d fénynyaláb keresztpolarizált jelének általános jellemz it adjuk meg. Végül a V. fejezetben röviden összegezzük a cikkben leírtakat. II. 3D-FÉNYNYALÁBOK A szabad térben érvényes 3D-megoldások felírásakor a Maxwell-egyenletek vektoriálisan is helyes síkhullámmegoldásaiból érdemes kiindulni. Mivel a Maxwellegyenletek az elektromágneses tér jellemz ire nézve lineárisak, ezért a teljes rendszert képez síkhullámmegoldásokból lineáris kombinációval megkaphatók a fénynyalábok általánosan érvényes, 3D-megoldásai.
Egy ε r relatív dielektromos állandójú homogén, izotrop, nem mágneses µ r = 1) forrásmentes térben kialakítható ω körfrekvenciájú monokromatikus fénytér elektromos e) és mágneses h) tere kielégíti a Maxwellegyenleteket. A következ kben az elektromágneses térnek f ként csak az elektromos terével foglalkozunk: a fénytér mágneses tere a Maxwell-egyenletek segítségével az elektromos térb l már számolható. A síkhullámmegoldások elektromos tere: e r, t) = E e i ω t k r), 1) ahol k = k x, k y, k z ) a síkhullám hullámszámvektora k 0 = π/λ, λ a fény vákuumban mért hullámhossza): k = k x + k y + k z = k 0 ε r. ) Monokromatikus, ω körfrekvenciájú, tetsz leges fénytér felírható a síkhullám-megoldások összegeként: e r, t) = ei ω t π E k x, k y ) e i k r) dkx dk y. 3) Az összegzés integrálás) elvégzésekor elegend csupán két hullámszámvektor-komponensre k x, k y ) összegezni, mert a harmadik hullámszávektor-komponens k z ) meghatározható a ) összefüggésb l. A 3) Fouriersorfejtésb l visszakaphatók a síkhullámok elektromos terének er sségét szögspektrális felbontását) meghatározó E k x, k y ) vektorok: E k x, k y ) = 1 π e x, y) e i k xx+k y y) dx dy, 4) ahol e x, y) = e x, y, z = 0, t = 0), az elektromos térer sség térbeli eloszlása egy síkon egy kezd id pontban. Az elektromos tér divergencia-mentessége következtében a síkhullámok elektromos-térer sségét megadó E k x, k y ) vektorok komponensei azonban nem választhatóak meg egymástól függetlenül: k x E x + k y E y + k z E z = 0. 5) Azaz E k x, k y ) komponensei közül nem választható meg két térer sség-komponens függvény is azonosan zérusnak, ezért a fénynyaláb térer sségének sem lehet csupán egy komponense nem azonosan zérus. Ezek alapján jól látszik, hogy például a D-modell lineárisan polarizált fénynyalábja, ahol a térer sségnek csupán egy transzverzális irányban van zérustól különböz értéke, valójában nem megoldása a Maxwell-egyenleteknek. A továbbiakban meghatározzuk a lineárisan polarizált fénynyalábok 3D-modellben helyes paraxiális modelljét. Egy z-irányba terjed x-irányban polarizált fénynyaláb deniálásához az el z ekben kifejtettek értelmében el írhatjuk egy x y síkon a térer sség két komponensének viselkedését. A lineárisan polarizáltsághoz írhatjuk, hogy e y x, y) = 0, és egy w 0 nyalábderekú alapmódusú Gauss-fénynyaláb deniálásához megadhatjuk e x x, y) függvényt is a következ képpen: e x x, y) = E x 0 exp x + y ) w 0 6) A 4) összefüggésb l adódik, hogy ekkor E y k x, k y ) függvény is azonosan zérus lesz, továbbá a következ t kapjuk lásd a függeléket): E x k x, k y ) = E x 0 q 0 i k exp ) i q0 k x + ky) k, 7) ahol q 0 = π w 0/λ, és k a ) képletben deniált. A 5) képletb l viszont azonosan zérustól különböz adódik E z k x, k y ) függvényre: E z k x, k y ) = k x E z k x, k y ). 8) k z Azaz a a lineárisan polarizált fénynyalábunknak longitudinális elektromos terének kell lennie. A fénynyaláb elektromos tere térbeli és id beli függése meghatározásához Fourier-sorfejtését 3) kell meghatároznunk, amit paraxiális közelítésben analitikusan is elvégezhetünk [7] lásd a függeléket) r = x +y, q = q 0 +z, q E 0 z, t) = E 0 x 0 q e i ω t k z) ): e x r, t) = E 0 z, t) exp i k ), 9) e y r, t) = 0, 10) e z r, t) = E 0 z, t) x q exp i k ). 11) A transzverzális és a longitudinális térrer sségek abszolút-értékei maximumának arányára K L ) a következ t kaphatjuk [7]: λ K L = 0, 14. 1) w 0 Például egy w 0 = 3 λ nyalábderék-vastagságú lineárisan polarizált fénynyalábban minden transzverzális síkon a longitudinális térer sség maximuma közelít leg 5%-a az ugyanazon síkon meghatározott transzverzális térer sség maximumának. Láthatjuk, hogy a D-modell közelít megoldásához a 3D-modell a fénynyaláb fókuszáltságának növelésével növeked eltérést ad. Azaz a D-modell a fénynyalábok gyenge fókuszáltsága esetén azok nagyon sok területen kielégít pontosságú modelljét adja.
A Maxwell-egyenletekb l a síkhullám-összetev k elektromos és mágneses tere közötti kapcsolatra adódó H = 1 ω ε 0 k E képlet segítségével a fénynyaláb mágneses tere is számolható lásd a függeléket): h x r, t) = H 0 z, t) x y q exp i k ) h y r, t) = H 0 z, t) 1 + x y ) exp i k ), 13), 14) h z r, t) = H 0 z, t) y q exp i k ), 15) ahol H 0 z, t) = E 0 z, t) n ε 0 /µ 0, n = k/k 0 = ε r a közeg törésmutatója. Eredményül azt kaptuk, hogy az elektromos térer sség transzverzális részének lineáris polarizáltsága esetén a fénynyaláb mágneses terének longitudinális komponense mellett zérustól különbözik mindkét transzverzális komponense is. Azaz a fénynyalábot nevezhetjük csupán elektromosan lineárisan polarizált fénynyalábnak is. Hasonlóan deniálhattunk volna mágnesesen lineárisan polarizált fénynyalábot is, aminek elektromos tere nem lenne lineárisan polarizált. Az elektromosan polarizált fénynyaláb modellje fontosságát az emeli ki, hogy léteznek olyan a rendezett molekulái révén anizotrop elnyel -képesség vékonylm) polarizátorok, amelyek elektromosan polarizált fénynyalábokat állítanak el, és bármely optikai rendszerb l kilép fénynyaláb is felbontható elektromosan polarizált fénynyaláb komponensekre. A D-modellben feltételezzük, hogy a fénynyalábnak csak transzverzális elektromos és mágneses tere van. Hagyományosan a p-polarizált fénynyalábról feltesszük, hogy csak a beesési síkban van elektromos tere, míg az s-polarizált fénynyalábról azt gondoljuk, hogy csak a beesési síkra mer leges elektromos tere van. A Dmodellben ezen deníciók alapján történ felbontással valós, zikai s- és p-polarizált fénynyalábokat kapunk. A 3D-modellben azonban a szokásos s-polarizált komponens nem ad zikai fénynyalábot, mert mint láttuk, azok elektromos terének legalább két Descartes-komponense nullától különböz. Ebb l következ en a fénynyalábok szokásos s- és p-polarizált komponensekre történ felbontása a 3D-modellben nem tartható meg. Ezen probléma elkerülése végett módosítanunk kell az s- és a p-polarizált fénynyalábok denícióját [5]. A továbbiakban p-polarizáltnak nevezünk egy fénynyalábot, ha annak elektromos tere zérus a beesési síkra mer leges irányban, és s-polarizáltnak nevezzük, ha elektromos tere zérus a beesési síkban, a fénynyaláb terjedési irányára mer leges irányban. A polarizációs állapotok ezen deníciói megfelelnek a vékonylm polarizátorok polarizációs hatásának. A D-modellben a hagyományos és a módosított deníciók teljesen egyenérték ek. A fenti polarizációs állapotok módosított denícióit a viszonylag egyszer elméleti modell 9)-15) képletek) és a vékonylm polarizátoros megvalósíthatóság teszi elfogadhatóvá. Meg kell azonban jegyeznünk, hogy nem minden, a gyakorlatban használt, polarizátor állít el a 9)-15) képletek által deniált polarizált fénynyalábokat. A polarizálás mechanizmusából azonban az általunk részletezettnél bonyolultabb polarizációs állapotok következnek például a Glan-Thompson, vagy a dielektrikum-tükör polarizátorok esetén. Azaz a D-modellben egyenérték - nek számító polarizátorok a 3D-modellben nem egyenérték ek. A síkhullám-összetev k térer sség-komponensei közötti 5) összefüggésb l leolvasható, hogy a 3D-modellbeli fénynyalábok síkhullám-összetev i elektromos térer sségének legalább két komponense zérustól különböz. Ebb l következik az el z ekben részletezett lineárisan polarizált fénynyalábok longitudinális tere. Van azonban csak transzverzális elektromos térer sséggel TE) bíró fénynyaláb is, ekkor E z k x, k y ) = 0, amib l az angulárisan polarizált fénynyaláb jellemz i vezethet k le. Megmutatható, hogy az ilyen fénynyalábban a mágneses tér sugár irányban, radiálisan polarizált. Hasonlóan, a transzverzális mágneses térer sséggel TM) bíró fénynyalábok elektromos tere lesz sugárirányú: az utóbbi fénynyalábot szokás radiálisan poláros nyalábnak nevezni. III. A FÓKUSZÁLÁS KERESZTPOLARIZÁCIÓS HATÁSA A D-modellben a lineárisan polarizált fénynyalábok meg rzik lineárisan polarizált állapotukat anizotrop lencsével történ fókuszálás után is. A fénynyalábok 3Dmodellje szerint azonban a fókuszált nyalábban megjelenik az eredeti polarizációs irányra mer leges polarizációjú fény is, mint ahogyan azt úttör cikkükben Richards és Wolf már 1959-ben meghatározta [4]. Ebben a fejezetben paraxiális közelítésben számolom a fókuszálás 3Dmodelljét. Eredményül egyszer, könnyen kiértékelhet képleteket kapunk a keresztpolarizációs jelek er sségére, amivel a kísérletek eredményének értelmezéséhez szükséges nagyságrendi becslések kaphatók. Tekintsünk egy, az el z fejezetben meghatározott monokromatikus lineárisan polarizált fénynyalábot közvetlenül a lencse el tt egy x 1 y 1 transzverzális síkon a képletekb l a triviális id függést elhagytuk): e 1 x 1, y 1 ) = E 1 r 1 ) 1 0 x 1 /q 1 E 1 r 1 ) = E x 1 exp i k ) 1 1 3, 16), 17) ahol r 1 = x 1 + y 1 és E x 1 a bees fénynyaláb elektromos térer ssége x komponensének maximális értéke. A lencse fókuszáló hatását a paraxiális közelítés második rendjében a fény terjedési irányának megváltoztatása miatt a fény er sségét módosító szorzó A r 1 )), a lencse
4 optikai tengelyét l mért r 1 sugártól függ fázistolással ϕ) és az elektromos teret megdönt mátrixszal ˆM δ α ) írhatjuk le: e x 1, y 1 ) = e i ϕ ˆMδ α A r 1 ) e 1 x 1, y 1 ). 18) Mivel egy f fókusztávolságú vékonylencse fázisfront módosító hatását 1/q = 1/q 1 1/f adja [3], ezért a vékonylencse radiálisan parabolikus fázistolása: ϕ r 1 ) = k ) 1 k ) 1 = k 1 1 f. 19) A lencse a sugárirányban változó késleltet hatása mellett a fénynyaláb elektromos terét is megdönti. A következ kben feltesszük, hogy a lencse apertúrája a fény hullámhosszánál lényegesen nagyobb, és a lencse mögött kialakuló fényteret is csak a fény hullámhosszánál lényegesen nagyobb távolságra vizsgáljuk. Ekkor a vékonylencsére bees fényt lokálisan síkhullámként kezelt fénysugarak összességének tekinthetjük. A fénysugarak törését alapvet en annak megfelel en írhatjuk le, hogy a lencse lokálisan egy kis-szög prizmaként viselkedik, amelynek δ eltérítési szögét az határozza meg, hogy a lencse a párhuzamosan beérkez fénysugarakat mind a fókuszpontjában gy jti össze tan δ = r 1 /f). A megdöntött fénysugárnak is a terjedési irányára mer leges az elektromos és mágneses tere. A fénysugár terjedési irányának megváltoztatása ezért általában megváltoztatja a fénysugár elektromos terének rezgési irányát is. A térer sségvektort transzformáló ˆM δ α mátrix három elemi transzformáló mátrix szorzataként áll el : ˆM δ α = ˆM α ˆMδ ˆM 1 α, 0) ahol ˆMδ az optikai tengely irányába történ δ szög forgatás, míg ˆM α egy az optikai tengely körüli α szög forgatás mátrixa sin α = y 1 /r 1, cos α = x 1 /r 1 ). A lencse fényterének módosító hatását a [4] referencia szerint A r 1 ) = cos δ amplitúdó-szorzással kell gyelembe venni. Csak a legfeljebb másodrend en kis tagokat meghagyva a következ t kapjuk: A r 1 ) 1 1 4 f. 1) A 18) képlet segítségével paraxiális közelítésben közvetlenül a lencse mögött megkapott térer sség eloszlásból a 4) képlet segítségével számolhatjuk a lencse után tovaterjed fény síkhullám-összetev inek er sségét. Az utóbbiból pedig 3) képlet alkalmazásával megkaphatjuk a lencse mögött valamilyen z távolságban kialakuló fénynyaláb elektromos terének eloszlását. A paraxiális közelítés és a Siegman-lemma többszöri alkalmazásával egy meglehet sen összetett kifejezést kapunk. A gyakorlatban fontosabb esetekben azonban tehetünk bizonyos egyszer sít feltevéseket. Párhuzamosított, nem túlságosan 1. ábra. A bees x-irányban lineárisan polarizált fénynyalábban fókuszálás hatására keletkez y-irányú elektromos tér helyfüggése keskeny bees fénynyaláb esetén teljesül, hogy q 1 f, aminek következtében teljesül még a q 1 q, és a q f) f összefüggés is. Ezek gyelembevételével a fénynyaláb elektromos terének a térbeli és id beli eloszlását a következ képletekkel adhatjuk meg a paraxiális közelítés második rendjében [7]: e 3 r, t) = E 3 r, t) 1 3 x +y 4 q 3 x y 3 x/q 3, ) q E 3 r, t) = E x 1 exp k x + y ) ) e i ω t k z), q 3 3 3) ahol q 3 = q + z. A ) kifejezés a fókuszálás keresztpolarizációs jelenségét mutatja: a bees fénynyalábban az elektromos térer sség y komponense zérus volt lásd a 16) képletet), a fókuszált nyalábban viszont megjelenik ez a térer sségkomponens is lásd az 1. ábrát). Az ) képletet elemezve megmutatható [7], hogy a keresztpolarizáció révén keltett y komponens és az eredeti polarizációs iránynak megfelel x komponens elektromos térer sségek maximumainak arányát K F ) a következ képpen számolhatjuk: ) λ K F 9, 3 10 3, 4) w 3 0 ahol w 3 0 = f λ π w 0 a fókuszált nyaláb nyalábderekának vastagságát, míg w 0 a bees fénynyaláb vastagságát adja. A 4) képletb l kit nik, hogy még w 3 0 = 3 λ mellett is a keresztpolarizált térer sség maximuma az eredeti polarizáció irányába es térer ssége maximumának
csupán ezred része. Azaz a viszonylag vastag a Dmodellel is egészen pontosan leírható) lineárisan polarizált bees nyalábból fókuszálás révén nagyon jó közelítéssel az el z fejezetben deniált elektromosan polarizált 3D-fénynyalábot kaptunk. IV. A TÖRÉS ÉS VISSZAVERŽDÉS KERESZTPOLARIZÁCIÓS HATÁSA A D-modell szerint izotrop közegek sík határfelületén bekövetkez visszaver dés vagy törés esetén a beesési síkban, vagy arra mer legesen lineárisan polarizált bees fénynyaláb polarizációs állapota nem változik. A fénynyalábok 3D-modellje szerint azonban ha a határfelület reexiós, illetve transzmissziós Fresnel-együtthatói függenek a bees fény polarizációs állapotától, akkor a bees fény polarizációs irányára mer leges irányú polarizáció is megjelenik a visszavert és a megtört fénynyalábban [5, 7]. Ebben a fejezetben áttekintjük a visszaver dés és a törés során megjelen keresztpolarizációs jelenségeket. A keresztpolarizációs jelenség értelmezéséhez most is a bees fénynyaláb síkhullám-összetev ire történ bontás nyújt segítséget. A bees fénynyaláb legyen bár a beesési síkban, vagy arra mer legesen polarizált, a fénynyalábot alkotó síkhullám-komponensek általában már nem lesznek a saját beesési síkjukban vagy arra mer legesen polarizáltak. Ez különösen azokra a ferdének nevezhet síkhullám-összetev kre teljesül, amelyek hullámszámvektora nem illeszkedik a fénynyaláb beesési síkjába. A ferde síkhullám-összetev knek van a saját beesési síkjukban és arra mer legesen polarizált tere is, amelyekre a reexiós, illetve a transzmissziós együtthatók különbözhetnek. Ezért ezen síkhullám-komponensek polarizációja ekkor elfordulhat, ennek következtében a síkhullám-összetev k ered jeként sem a bees fénynyaláb polarizációs állapotát kapjuk vissza. Minél jelent sebben eltérnek a beesési síkban vagy az arra mer legesen polarizált fényhullámokra érvényes Fresnel-együtthatók egymástól annál jelent sebb a visszaver déskor, illetve töréskor bekövetkez polarizáció torzulás mértéke. A ferde síkhullámösszetev knek a jelenség kialakításában játszott szerepe miatt várható, hogy a keresztpolarizált jel a fénynyaláb beesési síkja két oldalán rendelkezik a bees fénynyaláb szimmetriája esetén két egyforma maximummal. Tételezzük fel, hogy ismert a bees fénynyaláb szögspektrális felbontása, azaz ismert a fénynyalábot alkotó k hullámszám-vektorú síkhullám-összetev k E ) i k térer sség vektor-amplitúdója a vektor komponensei adják a térer sség komponenseinek amplitúdóját). Az egyes síkhullámok törését, visszaver dését a saját beesési síkjához és a határfelülethez illeszked koordinátarendszerben lehet egyszer en, a Fresnel-formulákkal megadni. A síkhullám lokális koordináta-rendszerének három tengelyét jelöljük ˆx, ŷ és ẑ jelekkel. A tengelyek határozzanak meg úgy egy jobbsodrású koordinátarendszert, hogy legyen ẑ a felületre mer leges, a második közeg irányába mutató tengely, ˆx irányát a síkhullám beesési síkjának és határfelület metszete által meghatározott irány adja. Ekkor a bees fényhullámok E i k ) és a megtört vagy visszavert fényhullámok Ea k ) vektor-amplitúdói komponensei között az alábbi A s és A p Fresnel-együtthatók teremtenek kapcsolatot ha a = r, akkor A s és A p reexiós együtthatókat R s és R p ), míg ha a = t, akkor A s és A p transzmissziós együtthatókat T s és T p ) jelentenek): E a ˆx = A p E i ˆx, 5) E a ŷ = A s E i ŷ. 6) A visszavert vagy megtört síkhullám ẑ komponensét a síkhullám elektromos terének divergencia-mentességéb l számolhatjuk. A visszavert vagy megtört fénynyaláb elektromos terének meghatározásához a 5)-6) képletekkel a síkhullám-összetev lokális koordináta-rendszerében meghatározott visszavert vagy megtört síkhullámok vektor-amplitúdóit vissza kell transzformálni a fénynyaláb közös koordináta-rendszerébe, és a síkhullámok járulékait fel kell összegezni. Visszaver dés, illetve törés esetén a fénynyalábok szögspektruma változásának azaz a síkhullám-összetev k transzformálódásának felírásakor alapvet en koordinátatranszformációkat, továbbá a 5) és a 6) képleteket kell csak alkalmazni [5, 7]. Az alapvet en lineáris transzformációkat magába foglaló számolás végigviteléhez tanácsos egy analitikus számolásra alkalmas számítógépes program segítségét is igénybe venni. A paraxiális közelítés legalacsonyabb el nem t n rendje határozza meg alapvet en a paraxiális fénynyaláb transzverzális térer sség, illetve intenzitás eloszlását. Visszaver dés a = r) és fénytörés a = t) esetén a paraxiális közelítés els rendjében egy általános, a keresztpolarizáció mértékét megadó képletet kapunk: E a u k x, k y ) = k y A s p k i tan α E i v k x, k y ), 7) ahol k i a bees síkhullám-összetev hullámszámvektorának abszolút értéke, α a síkhullám-összetev beesési szöge, továbbá u, v és A s p jelek a következ ket jelentik a négy lehetségesen felmerül alapesetben: Reexió esetén a = r), ha a bees fény a beesési síkban polarizált, akkor v = x, u = y és A s p = R s R p, ha a bees fény a beesési síkra mer legesen polarizált, akkor v = y, u = x és A s p = R p R s. Transzmisszió esetén a = t), ha a bees fény a beesési síkban polarizált, akkor v = x, u = y és A s p = T s T p, 5
6. ábra. A bees x-irányban lineárisan polarizált fénynyaláb visszaver désekor vagy törésekor keletkez y-irányban polarizált fénynyaláb transzverzális intenzitás-eloszlása ha a bees fény a beesési síkra mer legesen polarizált, akkor v = y, u = x és A s p = cos β T s cos α T p cos α cos β, ahol β a törési szög. Meggyelhet, hogy a keresztpolarizációs jel er ssége azonos a bees fény beesési síkban és arra mer leges polarizációja mellett visszavert fény esetén, a két különböz törésmutatójú közeg által határolt síkpárhuzamos rétegrendszeren történ áthaladás esetén viszont nem. A 7) képletb l látható, hogy a keresztpolarizációs jel transzverzális eloszlásának meghatározásában kulcsszerepet játszik a síkhullám-összetev k hullámszámvektorának a fénynyaláb beesési síkjára mer leges komponense k y ). Megmutatható, hogy alapmódusú Gaussfénynyaláb visszaver dése, törése esetén általában a keresztpolarizált fénynyaláb a. ábrán látható els rend HermiteGauss) transzverzális intenzitás-eloszlással bír lásd a függeléket). A fénynyalábok teljesítményét a fénynyalábot alkotó síkhullám-összetev k Poynting-vektorának a fénynyaláb a terjedési irányú z-tengely) komponenseinek felösszegzésével a Maxwell-egyenletek segítségével a paraxiális közelítés legalacsonyabb rendjében egy, a terjedés irányára mer leges síkra vett felületi integrállal a következ képpen számolható: P = n ε0 π µ 0 dx dy e x + e y ), 8) ahol n a közeg törésmutatója, ε 0 a vákuum dielektromos állandója, µ 0 pedig a vákuum permeabilitása. A 8) képlet segítségével meghatározhatjuk a bees fénynyaláb P i teljesítménye és a keresztpolarizációval keltett fénynyaláb P X teljesítménye közötti kapcsolatot: 3. ábra. Leveg b l érkez fénynyalábnak egy 1, 48 törésmutatójú üvegfelületér l történ visszaver dése esetén a keresztpolarizációs hatás er sségét meghatározó, a 30) képletben deniált δ X függése a beesési szögt l P X = δ X λ w 0 ) P i, 9) δ X = 1 n a n i ) As p, 30) π tan α ahol w 0 a fénynyaláb nyalábderék-vastagsága, ami a visszaver dés vagy a törés során nem változik; n i a fénynyaláb érkezése felöli közeg törésmutatója, míg n a visszaver dés esetén megegyezik n i -vel, áthaladás esetén pedig a túlsó közeg törésmutatója. A 7) képlet tetsz leges izotrop közegekb l álló rétegszerkezetr l történ visszaver dés vagy áthaladás esetére érvényes. Két veszteségmentes közeg határfelületén bekövetkez visszaver dés és törés esete annyira egyszer, hogy ekkor a keresztpolarizációs jelenségek er ssége áttekinthet. A 3-5. ábrák egy üvegfelület n = 1, 48) és vákuum vagy leveg határfelületén megjelen keresztpolarizációs jelenségek er sségét δ X ) ábrázolják a beesési szög α) függvényében. A beesési síkra mer legesen polarizált bees fénynyaláb szaggatott vonal) esetén a keresztpolarizációs hatás lényegesen er sebb, mint a beesési síkban polarizált folytonos vonal) bees fénynyaláb esetén. Az ábrákat áttanulmányozva meggyelhet, hogy különösen a beesési síkban polarizált bees fénynyaláb áthaladása során lesz a keresztpolarizációs hatás igazán kicsi. Leger sebb keresztpolarizációs jelet nagyobb törésmutatójú közegb l bees fénynyaláb visszaver dése során észlelhetünk. Az ábrák tanulmányozása során ne felejtsük
7 4. ábra. Leveg b l érkez fénynyalábnak egy 1, 48 törésmutatójú üvegfelületén történ átjutása esetén a 30) képletben deniált δ X függése a beesési szögt l. 5. ábra. Egy 1, 48 törésmutatójú közegb l érkez fénynyalábnak a közeg és és leveg határfelületér l történ visszaver dése esetén a keresztpolarizációs hatás er sségét meghatározó, a 30) képletben deniált δ X függése a beesési szögt l el, hogy a keresztpolarizált nyaláb teljesítményének számolásakor gyelembe kell még vennünk a bees fénynyaláb nyalábdereka vastagságának és a fény hullámhosszának arányát a 9) összefüggésnek megfelel en. V. ÖSSZEGZÉS Dolgozatunkban véges fénynyalábok háromdimenziós paraxiális leírását adtuk. Különös gyelmet szenteltünk a széleskör en elterjedt kétdimenziós leírástól legszem- 6. ábra. Egy 1, 48 törésmutatójú közegb l érkez fénynyalábnak a közeg és leveg határfelületén történ áthaladása esetén a keresztpolarizációs hatás er sségét meghatározó, a 30) képletben deniált δ X függése a beesési szögt l. A beesési síkban polarizált bees fénynyaláb folytonos vonal) esetén a keresztpolarizációs hatás lényegesen gyengébb, mint a beesési síkban polarizált szaggatott vonal) bees fénynyaláb esetén bet n bb eltérést adó polarizációs jelenségek vizsgálatának. A paraxiális leírás következetes alkalmazása is elegend volt a fénynyalábok háromdimenziós, valós viselkedésének feltárásához. Megmutattuk, hogy fénynyalábok fókuszálása során a keresztpolarizációs hatás jellemz en lényegesen gyengébb, mint izotrop határfelületeken bekövetkez törés vagy visszaver dés esetén. Megmutattuk, hogy alapmódusú Gauss-fénynyalábok visszaver dése, törése során a keresztpolarizált fénynyaláb mindig els rend HermiteGauss eloszlású. A keresztpolarizációs jel er sségét a fénynyaláb beesési szögének függvényében grakonok segítségével is megadtuk a legegyszer bb esetben, amikor a fénynyaláb vákuum vagy leveg, illetve egy üveg sík határfelületén ver dik vissza, vagy törik meg. A keresztpolarizációs jel er sségét meghatározó képletek azonban tetsz leges síkpárhuzamos izotrop rétegekb l álló dielektrikum rétegszerkezeten bekövetkez visszaver dés, illetve törés esetén is alkalmazhatók. A reexió és törés jelensége során fellép keresztpolarizációs jelenségek egyszer kísérletekkel könnyen vizsgálható [5, 7]. FÜGGELÉK: A GAUSS-FÉNYNYALÁBOK PARAXIÁLIS KÖZELÍTÉSÉNEK SZÁMOLÁSA A fénynyalábok paraxiális közelítése a fénynyalábok síkhullám-összetev re történ felbontásával úgy értelmezhet, hogy lényegében a nyaláb terjedési irányával csupán kis szöget bezáró síkhullámok játszanak csak sze-
8 repet a nyaláb kialakításában, így a kifejtés szempontjából érdekes síkhullámok hullámszám-vektorára teljesül, hogy k x, k y k, k z. Ekkor a hullámszám-vektorok z komponense a paraxiális közelítés második rendjében: A Siegman-lemmából parciális-integrálással levezethet a következ két hasznos integrálképlet [7]: k z k k x k k y k 31) Gauss-fénynyalábok paraxiális optikájának számolása során alkalmazandó 3) és 4) integrálképletek kiértékeléséhez az alábbi integrálképletekre van szükség. A Siegman-lemma egy integrálképlet lásd a [3] 337. oldala), azt mondja, hogy tetsz leges, komplex A és B esetén, ha Re A) > 0, akkor x exp A x B x ) dx = B A x exp A x B x ) dx = = B + A/ A π B A exp A ) π B A exp, A ) 33). 34) exp A x B x ) ) π B dx = A exp A. 3) [1] R. Dorn, S. Quabis, and G. Leughs. Sharper focus for a radially polarized light beam. Phys. Rev. Lett., 91:33901 1, 003. [] M. Born and E. Wolf. Principles of optics. Cambridge University Press, 1999. [3] A. E. Siegman. Lasers. University Science Books, Mill Valley, California, 1986. [4] B. Richards and E. Wolf. Electromagnetic diraction in optical systems ii. structure of the image eld in an aplanatic system. Proc. Roy. Soc. A, 53:3581, 1959. [5] A. K házi-kis. Cross-polarization eects of light beams at interfaces of isotropic media. Opt. Comm., 53:837, 005. [6] W. Nasalski. Three-dimensional beam reection at dielectric interfaces. Opt. Comm., 197:171, 001. [7] A. K házi-kis. Gauss-fénynyalábok alkalmazása femtoszekundumos lézerek tervezésében és keresztpolarizációs jelenségek vizsgálatában. PhD értekezés, SZTE, Fizika Iskola, 005.