Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés. A pontokat, síkokat nagybetűvel, az egyeneseket kisbetűvel szokás jelölni. Az illeszkedés jele:. Definíció: Definícióval egy újabb fogalmat korábban megismert fogalmak segítségével értelmezünk. Egy fogalmat különböző módon megfogalmazva is definiálhatunk. Tétel, bizonyítás: A fogalmak közötti összefüggések megfogalmazását tételnek nevezzük, az eljárást pedig, ahogyan az összefüggéshez jutunk, bizonyításnak nevezzük. Alaptétel (axióma): Azokat a tételeket, amelyeket nem bizonyítunk egyszerűségük miatt alaptételeknek (axiómáknak) nevezünk. Az alapfogalmak az új fogalmak bevezetéséhez, az alaptételek az új tételek bizonyításához szükségesek. Egy témakör ismereteinek rendszerezése többféle axiómarendszer alapján is történhet. Segédtétel (lemma): Azt a tételt, amelyre a bizonyítások során hivatkozunk, segédtételnek (lemmának) nevezünk. Euklideszi geometria: A különböző geometriai elméletek az alapfogalmak és axiómák megválasztásától függnek. A geometria első következetes felépítése, rendszerbe foglalása Eukleidész ókori görög matematikus nevéhez fűződik, s ezeket a 13 kötetes Elemek című művében foglalta össze. 1
Mi a továbbiakban Euklideszi geoemetriával foglalkozunk, melynek alaptételei a következők: Illeszkedési axiómák: I. axióma: Két pont egy és csak egy egyenest határoz meg. II. axióma: Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes is illeszkedik a síkra. III. axióma: Ha két síknak van közös pontja, akkor van közös egyenesük is. IV. axióma: Három nem egy egyenesre illeszkedő pont egy és csak egy síkot határoz meg. Párhuzamossági axióma: V. axióma: Egy egyenessel egy rá nem illeszkedő ponton keresztül egyetlen párhuzamos egyenes húzható. Az axiómák változtatásával további geometriai modellekhez is eljuthatunk. Pl.: Hiperbolikus (Bolyai), Affin, Projektív; stb. Euklideszi szerkesztés: Euklideszi szerkesztés során csak egyélű vonalzót és körzőt használhatunk, s az eszközöket kizárólag a következőkre használhatjuk: A vonalzót két adott pontra illesztve meghúzhatjuk a rájuk illeszkedő egyenest. Két pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. Adott pont körül adott sugárral kört rajzolhatunk. Két egyenes metszéspontját meghatározhatjuk. Egyenes és kör metszéspontját meghatározhatjuk. Két kör metszéspontját meghatározhatjuk. Egy szerkesztési feladatot akkor mondunk euklideszi szerkesztéssel megoldhatónak, ha a fenti 6 alapművelet véges számú ismétlésével elvégezhető. Euklideszi szerkesztéssel nem megoldható feladatok: kör négyszögesítése (körrel azonos kerületű, vagy területű négyzet szerkesztése); szögharmadolás; bizonyos szabályos sokszögek szerkesztése; stb. 2
DEFINÍCIÓ: (Félegyenes) Az egyenest egy pontja két félegyenesre bontja. DEFINÍCIÓ: (Félsík) A síkot egy egyenese két félsíkra bontja. DEFINÍCIÓ: (Féltér) A teret két síkja két féltérre bontja. Amennyiben a határoló pontot (egyenest, síkot) elhagyjuk, akkor nyílt félegyenesről (félsíkról, féltérről) beszélünk. Ellenkező esetben azt mondjuk, hogy zárt. DEFINÍCIÓ: (Szakasz) Egy egyenest két pontja egy szakaszra és két félegyenesre bontja. Szakasz hossza: Minden szakaszhoz hozzárendelünk egy pozitív valós számot, amit hossznak nevezünk, amennyiben: megadjuk az egységnyi hosszúságú szakaszt az egybevágó szakaszok hossza egyenlő ha egy szakaszt véges számú szakaszra vágunk, akkor a kapott rész szakaszok hosszának összege egyenlő az eredeti szakasz hosszával. Alakzatok távolsága: Két alakzat távolsága a pontjaik között húzható szakaszok közül a legrövidebbnek a hossza. Két ponttávolsága: Két pont távolsága a pontokat összekötő egyenes szakasz hossza. Jele: d AB = d (A; B). A d (A; B) egy nem negatív valós szám, mely a következő feltételeknek tesz eleget: Ha a két pont egybeesik, akkor d AB = 0. d (A; B) = d (B; A) d (A; B) + d (B; C) d(a; C), ahol egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha B illeszkedik az AC szakaszra. 3
Pont és egyenes távolsága: Egy egyenes és egy rá nem illeszkedő pont távolsága a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. A merőleges szakasz a legrövidebb a pontot az egyenessel összekötő szakaszok közül. Pont és sík távolsága: Egy sík és egy rá nem illeszkedő pont távolsága a pontból a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza. Két párhuzamos egyenes távolsága: Párhuzamos egyenesek távolsága az egyik egyenes tetszőleges pontjából a másik egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. Két párhuzamos sík távolsága: Párhuzamos síkok távolsága az egyik sík tetszőleges pontjából a másik síkra bocsátott merőleges szakasz hossza. Két kitérő egyenes távolsága: Azt az egyenest, amely a két kitérő egyenes mindkettőjét merőlegesen metszi az egyenesek normáltranszverzálisának nevezzük. A normáltranszverzális egyenesek közé eső szakaszának hossza a két kitérő egyenes távolsága. Ha két alakzatnak van közös pontja (egymásra illeszkedő és egymást metsző alakzatok), akkor távolságuk 0. DEFINÍCIÓ: (Szög) Egy adott pontból kiinduló két félegyenes szögvonalat (szöget) alkot. A szög részeit szögcsúcsnak és szögszáraknak nevezzük. A szögeket görög betűkkel (α, β, γ, δ, ) jelöljük, de szokás használni az ABC jelölést is, ahol B pont a szög csúcsa, az A, C pontok pedig a szög egy egy szárán helyezkednek el. Azt a szöget, amelyiket használjuk a feladat során, egy körívvel jelöljük az ábrán. A szögszárak a síkot két szögtartományra bontják. 4
Szögmérés: A szögmérés egyik egysége az 1. A fok tovább bontható szögpercekre és szögmásodpercekre: 1 = 60 = 3600". DEFINÍCIÓ: (Ívmérték) A mérendő szöget egy egység sugarú kör középponti szögének tekintjük, s ekkor azt a (mértékegység nélküli) számot, amely megmutatja, hogy a középponti szöghöz tartozó körív a kör sugarának hányszorosa, a szög ívmértékének nevezzük. Jele: α. DEFINÍCIÓ: (Radián) Az egységnyi ívmértékhez tartozó szöget radiánnak nevezzük. Az ívmérték a középponti szöghöz tartozó körív hosszának és a kör sugarának aránya. Az ívmérték egysége az 1 radián, az a szög, amelyhez mint középponti szöghöz a kör sugarával egyenlő hosszúságú körív tartozik. Átszámítás: 1 rad 360 = r 2rπ 1 radián = 180 π 57,3 180 = π radián Számítás: x radián = 360 2π x x = x 2π 360 Szögek fajtái: Nullszög: α = 0 Hegyesszög: 0 < α < 90 Derékszög: α = 90 Tompaszög: 90 < α < 180 Egyenesszög: α = 180 Homorúszög: 180 < α < 360 Telejs szög: α = 360 Forgás szög: α > 360 Az egyenes szögnél kisebb szögeket konvex (domború), a nagyobb szögeket konkáv (homorú) szögtartománynak nevezzük. 5
DEFINÍCIÓ: (Kiegészítő szögek) Azokat a szögeket, amelyek összege 180, kiegészítő szögeknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Pótszögek) Azokat a szögeket, amelyek összege 90, kiegészítő szögeknek nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Forgás szög) Ha úgy tekintjük a szöget, hogy az egy pontból kiinduló egybeeső két félegyenesből az egyik fixen tartásával és a másiknak a közös végpont körüli elforgatásával kaptuk, akkor az így létrehozott szöget forgásszögnek nevezzük. Forgásszög esetén, a köríven nyíllal jelöljük a forgatás irányát. A 360 - nál nagyobb szögeket is forgásszögeknek nevezzük. Az elfordulást irányított szöggel jellemezzük: Az óramutató járásával megegyező elfordulást negatívnak, az ellentétest irányt pedig pozitívnak tekintjük. Szögpárok: 1. Párhuzamos szárú szögek: Ha két konvex szög szárai páronként párhuzamosak, vagy egy egyenesre esnek, akkor ezeket párhuzamos szárú szögeknek nevezzük. Egyállású szögek: Száraik páronként párhuzamosak és megegyező irányúak. Váltó szögek: Száraik páronként párhuzamosak, de ellentétes irányúak. Társszögek: Száraik páronként párhuzamosak és 1 1 szár iránya megegyezik, 1 1 szár iránya pedig ellentétes. 6
2. Merőleges szárú szögek: Ha két konvex szög szárai páronként merőlegesek egymásra, akkor ezeket merőleges szárú szögeknek nevezzük. Ha a váltó szögeknek közös a csúcsuk, akkor azokat csúcsszögeknek nevezzük. Ha a társszögeknek közös a csúcsuk, akkor azokat mellékszögeknek nevezzük. Az egyállású és váltó szögek egyenlő nagyságúak. A társszögek 180 - ra egészítik ki egymást. A merőleges szárú szögek vagy egyenlő nagyságúak, vagy 180 - ra egészítik ki egymást. Térelemek kölcsönös helyzete: I. Két egyenes kölcsönös helyzete: metsző: ha pontosan 1 közös pontjuk van párhuzamos: ha egy síkban vannak, de nincs közös pontjuk (nem metszik egymást), vagy legalább 2 közös pontjuk van (egybeesnek), jele: e f merőleges: ha az egyenesek által bezárt szög derékszög, jele: e f kitérő: ha nincsenek egy síkban II. Két sík kölcsönös helyzete: metsző: ha pontosan 1 közös egyenesük van párhuzamos: ha nincs közös egyenesük (nem metszik egymást), vagy legalább 2 közös egyenesük van (egybeesnek) merőleges: ha a síkok által bezárt szög derékszög 7
III. Egyenes és sík kölcsönös helyzete: metsző: ha pontosan 1 közös pontjuk van párhuzamos: ha nincs közös pontjuk (nem metszik egymást), vagy legalább 2 közös pontjuk van (az egyenes illeszkedik a síkra) merőleges: ha az egyenes merőleges a sík minden egyenesére Az egyenes és sík metszéspontját döféspontnak nevezzük. Merőleges vetület: Egy pontból a síkra bocsátott merőleges egyenesnek a síkon lévő pontját, a pontnak a síkon lévő merőleges vetületének nevezzük. Ha egy egyenes minden pontjából merőlegest állítunk a síkra, akkor a síkból kimetszett pontok alkotják az egyenes merőleges vetületét. Az egyenes merőleges vetületét úgy is megkaphatjuk, ha az egyenesen át egy merőleges síkot fektetünk a síkra. Ekkor a két sík metszésvonala az egyenes merőleges vetülete. Ha az egyenes merőleges a síkra, akkor a vetülete egy pont, minden más esetben egy egyenes. Térelemek hajlásszöge: Térelemek hajlásszöge mindig két egyenes egymással bezárt szögét jelenti. Két metsző egyenes hajlásszöge: Két metsző egyenes négy szögtartományt határoz meg, melyek közül a 2 2 szemközti szög egybevágó. A keletkező szomszédos szögtartományok közül a nem nagyobbat értjük a metsző egyenesek hajlásszögén. Két kitérő egyenes hajlásszöge: Kitérő egyenesek hajlásszögének a tér egy tetszőleges pontján átmenő, velük párhuzamos metsző egyenesek hajlásszögét nevezzük. 8
Egyenes és sík hajlásszöge: Ha egy egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes és sík hajlásszögén az egyenes és az egyenes síkra bocsátott merőleges vetületének a hajlásszögét értjük. Két metsző sík hajlásszöge: A két metsző sík metszésvonalának egy pontjában a két sík mindegyikében merőlegest állítunk a metszésvonalra, s e két merőleges hajlásszögét értjük a két sík hajlásszögének. A síkra merőleges egyenes és a sík hajlásszöge 90. A párhuzamos térelemek hajlásszöge 0. 9
DEFINÍCIÓ: (Mértani hely) Egy ponthalmazról akkor mondjuk, hogy mértani hely, ha a ponthalmaz minden egyes pontja teljesít egy geometriai feltételt és az adott alaphalmazon más pontok nem teljesítik ezt. Szerkesztési feladatok megoldásának lépései: 1. Vázlat készítés: Felvesszük a szerkesztendő síkidomot, ponthalmazt, pontot és megjelöljük az ábrán az adott adatokat. 2. Külön felvesszük az adott adatokat. 3. Megnézzük, hogy a szerkesztendő pontnak (síkidomnak) mennyi feltételt kell teljesítenie. Ezeket leírjuk és megállapítjuk, hogy a feltételeknek milyen mértani hely felel meg. 4. A szerkesztés végrehajtása: Megszerkesztjük a megtalált mértani helyeket és ezek metszéspontja adja a szerkesztendő pontot, pontokat. 5. Diszkusszió: Megnézzük, hogy az adott adatok elrendezésétől, nagyságától függően hány pont szerkeszthető, mikor szerkeszthető, mikor nem szerkeszthető. Alapszerkesztések: A legegyszerűbb szerkesztéseket alapszerkesztéseknek nevezzük. Pl.: szögmásolás, szakasz felezőmerőlegesének megszerkesztése, szögfelezés, stb.. Alapvető mértani helyek: 1. Szög száraitól egyenlő távolságra levő pontok: Egy adott α szög száraitól egyenlő távolságra levő pontok mértani helye a síkon a szögfelező egyenes. Jelöléssel: f α = {P S d Pa = d Pb }. 10
2. Egy adott ponttól adott távolságra levő pontok: Egy adott O ponttól adott r távolságra levő pontok összessége a síkon egy kör, amelynek középpontja az adott O pont és sugara az adott r távolság. (Térben: gömbfelület.) Jelöléssel: k = {P S d OP = r}. 3. Egy adott egyenestől adott távolságra levő pontok: Egy adott e egyenestől adott r távolságra levő pontok összessége a síkon egy párhuzamos egyenespár, amelyek középpárhuzamosa az adott egyenes. (Térben: végtelen hengerfelület.) Jelöléssel: f g = {P S d ep = r}. 4. Két adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok: Két adott A, B ponttól egyenlő távolságra levő pontok összessége a síkon a két pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese. (Térben: felező merőleges sík.) Jelöléssel: f AB = {P S d AP = d BP }. 11
5. Két adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok: Két adott e, f egyenestől egyenlő távolságra levő pontok összessége a síkon: ha a két egyenes párhuzamos, akkor a közép párhuzamos. Jelöléssel: g = {P S d eg = d fg }. ha a két egyenes metsző, akkor a szögfelező egyenesek. Jelöléssel: g α g β = {P S d ep = d fp }. 6. Három adott ponttól egyenlő távolságra levő pontok: Három adott A, B, C ponttól egyenlő távolságra levő pontok összessége a síkon: ha a három pont egy egyenesen van, akkor nincs ilyen pont, mert ekkor a szakaszfelező merőlegesek párhuzamosak. ha a három pont nem egy egyenesen van, akkor meghatároz egy háromszöget, s a keresett pont, az oldalfelező merőlegesek metszéspontja. (Térben: a három pont által meghatározott szakaszok felezőmerőleges síkjainak metszete, ami egy egyenes.) Jelöléssel: K = {P S d PA = d PB = d PC }. 12
7. Három adott egyenestől egyenlő távolságra levő pontok: Három adott a, b, c egyenestől egyenlő távolságra levő pontok összessége a síkon: ha a három egyenes párhuzamos, akkor nincs ilyen pont, mert a középpárhuzamosak is párhuzamosak. ha két egyenes párhuzamos és a harmadik ezeket metszi, akkor két ilyen pont van, a két párhuzamos között a szögfelezők és a középpárhuzamos metszéspontja. Jelöléssel: P 1 P 2 = {P S d Pa = d Pb = d Pc }. 13
ha a három egyenes páronként metszi egymást, akkor négy ilyen pont van. Egy a három pont által meghatározott háromszögön belül, a belső szögfelezők metszéspontja és három a háromszögön kívül, a külső szögfelezők metszéspontjai. Jelöléssel: P 1 P 2 P 3 P 4 = {P S d Pa = d Pb = d Pc }. ha a három egyenes egy pontban metszi egymást, akkor ez a metszéspont. Jelöléssel: P = {P S P a b c} 8. Körtől adott távolságra levő pontok: Egy r sugarú körtől adott a távolságra levő pontok összessége a síkon: ha a < r, akkor egy r + a és egy r a sugarú kör, ahol e két kör középpontja megegyezik az eredeti kör középpontjával. 14
ha a = r, akkor egy r + a sugarú kör és az eredeti kör középpontja. ha a > r, akkor egy r + a sugarú kör, ahol e kör középpontja megegyezik az eredeti kör középpontjával. 15
9. Kört érintő körök középpontjai: Egy R sugarú kört érintő r sugarú körök középpontjainak összessége a síkon: ha R r, akkor egy R + r és egy R r sugarú kör, ahol e két kör középpontja megegyezik az eredeti kör középpontjával. ha R = r, akkor egy R + r sugarú kör, ahol e kör középpontja megegyezik az eredeti kör középpontjával. 16
10. Adott egyenest adott pontjában érintő körök középpontjai: Adott egyenest adott pontjában érintő körök középpontjainak összessége a síkon az egyenesre az adott pontban állított merőleges egyenesen vannak, kivéve az adott pontot. 11. Kört adott pontjában érintő körök középpontjai: Kört adott pontjában érintő körök középpontjainak összessége a síkon egy egyenes, ami átmegy a kör középpontján és az adott ponton, kivéve az adott pontot. 12. Szakasztól adott távolságra levő pontok: 17
Kúpszeletek: A kört, az ellipszist, a parabolát és hiperbolát közös néven kúpszeleteknek nevezzük, mert ezek a görbék megkaphatóak egy forgáskúp különböző síkmetszeteként. Ha a metsző sík nem megy át a kúp csúcsán és merőleges a kúp tengelyére, akkor a síkmetszet kör nem merőleges a kúp tengelyére, és nem párhuzamos egyetlen alkotóval sem, akkor a síkmetszet ellipszis egy alkotóval párhuzamos, akkor a síkmetszet parabola két alkotóval párhuzamos, akkor a síkmetszet hiperbola. DEFINÍCIÓ: (Ellipszis) Az ellipszis azoknak a P pontoknak a halmaza síkon, amelyeknek két adott ponttól (az F 1 ; F 2 fókuszponttól) mért távolságuk (F 1 P; F 2 P vezérsugarak) összege állandó (2a) és ez az állandó nagyobb a két adott pont távolságánál. Jelöléssel: k 1 = {P S d (P; F 1 ) + d (P; F 2 ) = 2a (állandó) > d (F 1 ; F 2 )}. 18
A két F 1 ; F 2 fókuszpontra illeszkedő egyenes az ellipszis egyik szimmetriatengelye. Ennek az ellipszissel két közös pontja van, s az ezekkel meghatározott AB szakaszt az ellipszis nagytengelyének nevezzük. A nagytengely felének hosszát a val jelöljük. A nagy tengely felezőmerőlegese az ellipszis másik szimmetriatengelye. Az ellipszis ebből kimetszi a CD szakaszt, s ezt az ellipszis kistengelyének nevezzük. A kis tengely felének hosszát b vel jelöljük. A két tengely O metszéspontja az ellipszis szimmetriaközéppontja. Az O pont fókuszpontoktól való távolságát c vel jelöljük. A szimmetria miatt d (A; F 1 ) = d (B; F 2 ). Ezek alapján adódik, hogy d (A; F 1 ) + d (A; F 2 ) = d (B; F 2 ) + d (A; F 2 ) = 2a. A definícióból adódik, hogy az ellipszis bármely P pontjára: d (P; F 1 ) + d (P; F 2 ) = 2a. A szimmetria miatt: d (C; F 1 ) = d (C; F 2 ) = a. Az F 1 OC derékszögű háromszögben a Pitagorasz tétel alapján adódik, hogy a 2 = b 2 + c 2. Ha F 1 = F 2, akkor az ellipszis kör. DEFINÍCIÓ: (Hiperbola) A hiperbola azoknak a P pontoknak a halmaza síkon, amelyeknek két adott ponttól (az F 1, F 2 fókuszpontoktól) mért távolságuk (F 1 P; F 2 P vezérsugarak) különbségének abszolútértéke állandó (2a) és ez az állandó nagyobb a két adott pont távolságánál. Jelöléssel: k 2 = {P S d (P; F 1 ) d (P; F 2 ) = 2a (állandó) < d (F 1 ; F 2 )}. 19
A két F 1 ; F 2 fókuszpontra illeszkedő egyenes a hiperbola egyik szimmetriatengelye. Ennek a hiperbolával két közös pontja van, s az ezekkel meghatározott AB szakaszt a hiperbola valós tengelyének nevezzük. A valós tengely felének hosszát a val jelöljük. Az AB szakasz felezőpontja a hiperbola szimmetria középpontja, s ezt O val jelöljük. Az O pont fókuszpontoktól való távolságát c vel jelöljük. A valós tengely felező merőlegese a hiperbola másik szimmetriatengelye. Ennek a hiperbolával nincs közös pontja. Bevezethetünk egy szakaszt, amely megfelel az ellipszis kistengelyének. A valós tengely egyik végpontjából c sugarú körzőnyílással metsszük el a szimmetriatengelyt. A kapott CD szakaszt a hiperbola képzetes tengelyének nevezzük. A képzetes tengely felének hosszát b vel jelöljük. A szimmetria miatt d (A; F 1 ) = d (B; F 2 ). Ezek alapján adódik, hogy d (A; F 2 ) d (A; F 1 ) = d (A; F 2 ) d (B; F 2 ) = 2a. A definícióból adódik, hogy a hiperbola bármely P pontjára: d (P; F 1 ) d (P; F 2 ) = 2a. Az AOC derékszögű háromszögben Pitagorasz tétel alapján adódik, hogy c 2 = a 2 + b 2. DEFINÍCIÓ: (Parabola) A parabola azoknak a P pontoknak a halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott egyenesétől (v vezéregyenestől) és egy adott pontjától (F fókuszponttól) egyenlő távolságra vannak. Jelöléssel: k 3 = {P S d (P; F) = d (P; v)}. 20
Az F fókuszpontból a v vezéregyenesre (direktrixre) bocsátott merőleges egyenes a parabola t szimmetriatengelye. Az F fókuszpont és a v vezéregyenes távolságát a parabola paraméterének nevezzük. A paramétert p vel jelöljük. A t tengely és a v vezéregyenes metszéspontja a parabola T tengelypontja. A tengelypont fókuszponttól (és vezéregyenestől) való távolsága a paraméter fele. Kúpszeletek szerkesztése: 1. Ellipszis 1. módszer: Adottak a következő adatok: a; b. Első lépésben felvesszük az ellipszis tengelyeit és megszerkesztjük az ellipszis fókuszpontjait. Ezt követően az OF 2 szakaszon felveszünk egy tetszőleges S 1 segédpontot. A fókuszpontok egyikéből AS 1, a másikból BS 1 sugarú, egymást metsző köríveket rajzolunk. A keletkező E 1 ; E 2 metszéspontok az ellipszis pontjai lesznek. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető az ellipszis többi pontjai is. 2. módszer: Adottak a következő adatok: F 1 ; F 2 ; a. Első lépésben felvesszük az ellipszis fókuszpontjait és megszerkesztjük az ellipszis tengelyeit. Ezt követően az F 1 fókuszpont körül megrajzoljuk a vezérkört 2a sugárral. A vezérkörön felveszünk egy tetszőleges S 1 segédpontot, majd megrajzoljuk az F 2 S 1 szakasz felezőmerőlegesét. A felezőmerőleges és az F 1 S 1 szakasz metszéspontja az ellipszis E 1 pontja lesz. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető az ellipszis többi pontjai is. 2. Hiperbola: 1. módszer: Adottak a következő adatok: a; b. Első lépésben felvesszük a hiperbola tengelyeit és megszerkesztjük a hiperbola fókuszpontjait. Ezt követően a valós tengely egyenesén, az F 1 F 2 szakaszon kívül felveszünk egy tetszőleges S 1 segédpontot. A fókuszpontok egyikéből AS 1, a másikból BS 1 sugarú, egymást metsző köríveket rajzolunk. A keletkező H 1 ; H 2 metszéspontok a hiperbola pontjai lesznek. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető a hiperbola többi pontjai is. 21
2. módszer: Adottak a következő adatok: F 1 ; F 2 ; a. Első lépésben felvesszük a hiperbola fókuszpontjait és megszerkesztjük a hiperbola tengelyeit. Ezt követően az F 1 fókuszpont körül megrajzoljuk a vezérkört 2a sugárral. A vezérkörön felveszünk egy tetszőleges S 1 segédpontot, majd megrajzoljuk az F 2 S 1 szakasz felezőmerőlegesét. A felezőmerőleges és az F 1 S 1 egyenes metszéspontja a hiperbola egy H 1 pontja lesz. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető a hiperbola többi pontjai is. 3. Parabola: 1. módszer: Adott a következő adat: p. Első lépésben a paraméter ismeretében felvesszük a parabola vezéregyenesét és fókuszpontját, majd megszerkesztjük a parabola tengelypontját. Ezt követően vegyünk fel a parabola tengelyén egy tetszőleges S 1 segédpontot, majd rajzoljunk ezen a ponton át egy a vezéregyenessel párhuzamos egyenest. A fókuszpontból körözve a két párhuzamos egyenes távolságával, a párhuzamos egyenesen keletkező P 1 ; P 2 metszéspontok a parabola pontjai lesznek. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető a parabola többi pontjai is. 2. módszer: Adott a következő adat: p. Első lépésben a paraméter ismeretében felvesszük a parabola vezéregyenesét és fókuszpontját, majd megszerkesztjük a parabola tengelypontját. Ezt követően vegyünk fel a parabola vezéregyenesén egy tetszőleges S 1 segédpontot, majd rajzoljunk ezen a ponton át egy a vezéregyenesre merőleges egyenest. Az FS 1 szakasz felezőmerőlegesét megrajzolva, a merőleges egyenesen keletkező P 1 metszéspont a parabola egy pontja lesz. További segédpontok felvételével hasonló módon szerkeszthető a hiperbola többi pontjai is. 22