Szolnoki Főiskola Üzleti Fakultás Szolnok Az adós példák aktualizálása folyamatban van! Vállalati pénzügyek és adózási alapok Példatár Szolnok, 2007. augusztus Összeállította: Dr. Túróczi Imre Főiskolai tanár
I. Pénzügyi döntések, a pénz időértéke A pénzgazdálkodás során számtalan döntést kell hoznunk. Ezek lehetnek rövid, közép illetve hosszú távúak. Természetesen ezekben, az esetekben is beszélhetünk stratégiai és politikai döntésekről. Döntéseink során egy rendkívül fontos tényezőt elengedhetetlenül figyelembe kell vennünk. Ez az idő, amelyre tekintettel kell lennünk. Az idő multával a pénz képes nyereséget termelni, gondoljunk a bankbetétek kamatára. Egy fontos gondolatot tisztázni kell, mielőtt a tananyag tárgyalásába kezdünk. Minden befektetési döntés során választunk kettő vagy több lehetőség közül. A döntés során természetesen a legjobb lehetőséget keresünk. A számításaink az időtényezőre, az egyes lehetőségek hozamára és a kockázatra koncentrálnak. A. A kamatszámítás alapjai: A kamat: az a pénzmennyiség, amellyel a tőke egy adott kamatozási időtartam alatt növekszik. A kamatozási időtartam: azon időszak, amelyre a kamat jár. A kamat azt mutatja meg, hogy a pénz egy meghatározott idő alatt (kamatozási időtartam) mennyit gyarapszik. Kamatláb: az időegység tőkenövekményének és az induló tőkének a hányadosa. A számítások során a kamat összegét úgy határozzuk meg, hogy az induló tőkét szorozzuk az előre megadott kamatlábbal, a kamatlábat pedig úgy, hogy az időszak végén rendelkezésre álló pénzösszeget osztjuk az induló tétellel, és az eredményből kivonunk egyet. Az alkalmazott képlet a következő: A kezdő tőke (névérték) százalékában kifejezett éves tőkenövekmény. FV 1 = C 0 (1+r) FV 1 = C 1 = a mai pénzösszeg jövőbeli (1 év múlva esedékes) értéke. C 0 = mai pénzösszeg, kezdő tőke r= évi kamatláb/ megtérülési- vagy hozamráta 1+r= kamattényező Egyszerű kamatozás
Minden periódusban csak a kezdő befektetés (tőke) kamatozik. FV n =C 0 +(1+n)) Jelmagyarázat: FV n = mai pénzösszeg jövőbeni (n év múlva esedékes) értéke C 0 = mai pénzösszeg n= évek száma r= évi kamatláb Például: A befektetett pénz összege: 1.000.000 Ft Időszak: egy év Feladat: a. Határozza meg a kamat összegét és az időszak végén rendelkezésre álló pénzösszeget, ha a kamatláb 12%/év! b. Határozza meg a kamatlábat, ha az 1.250.000 Ftunk van! Megoldás: a. A kamat összege 1.000.000 X 0,12 = 120.000 Ft A növelt összeg 1.120.000 b. A kamatláb (1.120.000/1.000.000) - 1 = 0,12 azaz 12% A kamatos kamatozás: A kamatos kamat számítását jövőérték számításnak is nevezzük és FV-vel jelöljük. Lényege, hogy az időszak végén nem vesszük fel a kamat összegét, hanem azt a tőkéhez adjuk és az kamatozni fog. Az alkalmazott képlet a következő: Kamatos kamattényezők Egységnyi pénzösszeg jövőbeli értékei: tőke szorozva (1+r). FV n = C 0 FVIF r,n FV n =C O (1+r) n A diszkontálás: a jövőbeli pénz jelenlegi értékének meghatározását jelenti.
Kiszámítása: PV=C 0 = FV 1 (1/ 1+r) Diszkonttényező A kamattényező reciproka: 1/ (1+r). Azt fejezi ki, hogy a jelenérték hányszorosa a valamely jövőbeli időpontban esedékes egységnyi pénzösszegnek. Diszkonttényezők [1/(1+r) n ] n év (periódus) múlva esedékes egységnyi pénzösszeg r kamatláb melletti jelenértékei: Diszkontláb (d) Az időegységre jutó levont kamat (diszkont) a jövőbeli tőkeérték százalékában kifejezve. Diszkontláb és kamatláb összefüggése: r d= és 1 + r d r = 1- d Tényleges (effektív) kamatláb Az a kamatláb, amelyet bármely (névleges) kamatláb évenkénti tőkésítéssel eredményezne. Kiszámítása: r eff = (1+ i/m) m -1 Jelmagyarázat: i: éves kinyilvánított (jegyzett) kamatláb m: évente hány alkalommal történik kamatfizetés B. SPECIÁLIS PÉNZÁRAMOK Annuitás: Meghatározott ideig esedékes, periódusonként egyenlő nagyságú pénzáramlásokat annuitásnak nevezzük.
Az annuitások során be- vagy kiáramló pénzmozgásokat is értékelhetjük és a gazdaságossági számításaink során azokat döntéseink előkészítésére használhatjuk. Természetesen nem mindegy, hogy a pénzeket kapjuk, vagy adjuk, hogy milyen hosszú időn át és, hogy ez alatt az idő alatt az alternatív befektetések hozama hogyan alakul. Az annuitásoknak számoljuk a jövő értékét, a jelenértékét. Nem mindegy az sem, hogy a pénzmozgások az időszak elején, vagy a végén történnek. Ezek alapján az annuitásokat a következők szerint csoportosíthatjuk: Szokásos annuitás: Olyan annuitás, ahol a pénzáramlások a periódusok végén jelentkeznek. Esedékes annuitás: Olyan annuitás, ahol a pénzáramlások a periódus elején esedékesek. Szokásos annuitás jövőértéke: Kiszámítása: ( 1 + r) FVAN n = AN FVIFA r,n FVIFA r, n = r n Annuitás tényező n perióduson keresztül esedékes egységnyi pénzösszegek r kamatláb melletti együttes jövőbeli értéke. Esedékes annuitás jövőértéke: FVIFAD r,n : esedékes annuitás tényező. Kiszámítása: FVAD n = AN FVIFAD r,n FVIFAD r,n = FVIFA r,n+1 1 Szokásos annuitás jelenértéke n perióduson át esedékes, periódusonként egyenlő nagyságú pénzáramlások sorozatának jelenértéke. PVAN n = AN PVIFA r,n
Annuitás diszkonttényező n perióduson át esedékes egységnyi pénzösszeg r kamatláb melletti együttes jelenértéke. Kiszámítása: PVIFA r, n 1 = ( 1 + r) r 1 n Esedékes annuitás jelenérték Kiszámítása: PVAND n = AN PVIFAD r,n PVIFAD r,n = PVIFA r,n-1 +1 Szokásos annuitás jövőértékének általános képlete Kiszámítása: FVAN m n = AN FVIFA r/m, m n C. Az örökjáradék A periódusonként egyenlő nagyságú, végtelen számú pénzösszegek sorozata. Az örökjáradék jelenértéke, tőkeértéke, azon összeg, melyet az aktuális kamatláb mellett be kell fektetni ahhoz, hogy a járadékkal megegyező hozamot kapjunk. Kiszámítása c PV ö = r Jelmagyarázat: c: évenkénti fix összeg, a járadék összege r: évi kamatláb Növekvő örökjáradék Periódusonként azonos ütemben növekvő pénzösszegek végtelen sorozata. Egy egyszerű kérdést tegyünk fel. Egy bankban elhelyezek 1.000.000 Ft-ot. Az éves kamatláb 8%. Nem akarok több pénz befektetni, de azt szeretném,
ha a kamat formájában megjelenő hozam minden évben 3%-kal emelkedne. Hogyan tudom ezt elérni? A válasz egyszerű a kamatot nem veszem fel teljes összegében, hanem 3% pontnak megfelelő összeget bennhagyok és csak 5%-ot veszek fel. Növekvő örökjáradék esetén az induló járadéktag számítása: Induló járadéktag = Elhelyezett tőke X (kamatláb növekedés mértéke) Az n. év járadéka = induló járadéktag X (1+ növekedés mértéke ) n-1 Növekvő örökjáradék jelenértékének kiszámítása: PV c r q = 1 q= a pénzáramok növekedési üteme. II. A kötvény és részvény árfolyama: II/ A. A kötvény árfolyama: A kötvényről elmondhatjuk, hogy hozama előre meghatározható, a pénzáramok tervezhetőek. Az értékpapír pedig annyit ér a piacon, mint a későbbiekben várható bevételek jelenértéke. Ez természetesen az elméleti árfolyam, a piacon ettől eltérő árak is kialakulhatnak. Az árfolyam meghatározása érdekében először meg kell adnunk az értékpapír cash-flow-ját. A cash-flow nem más, mint a kötvény által indukált pénzmozgások összessége. Nézzünk erre egy példát: Írjuk fel egy 10 000 Ft névértékű, 5 éves lejáratú, 12 % kamatozású kötvény pénzáramát, egy évi türelmi idő figyelembevételével! A kötvényt névértéken vásároltuk, a törlesztés egyenletes összegű. A kötvényvásárló hitelezője a kötvénykibocsátónak, ezért törlesztésre és kamatra jogosult. A kötvény pénzáram a vásárláskor negatív, a kamatozás és a törlesztés időszakában pozitív.
Évek Tőke év elején Törlesztés Kamatfizetés 0-10 000 1. 10 000-1 200 1 200 2. 10 000 2 500 1 200 3 700 3. 7 500 2 500 900 3 400 4. 5 000 2 500 600 3 100 5. 2 500 2 500 300 2 800 10 000 4 200 4.200 1. feladat Írjuk fel annak a befektetésnek a pénzáramát, amelyet egy hét évvel ezelőtt kibocsátott államkötvény vásárlással realizálunk! Az államkötvényt 10 éves lejárattal bocsátották ki, 10 000 forintos névértéken, 8% kamatlábbal. A hátralévő futamidő 3 év, félévente fizet kamatot. A tőketörlesztés egy összegben, lejáratkor lesz. A vásárlás közvetlenül a legutóbbi kamatfizetés után történt, 95% árfolyamon. Hátralévő évek Tőke év elején Törlesztés Kamatfizetés 1.+2. félév 0-9 500 1. 10 000-800 800 2. 10 000-800 800 3. 10 000 10 000 800 10 800 2. feladat Mutassuk be annak a jelzáloglevélnek a pénzáramát, amelyet 46 százalékos árfolyamon vettünk, a hátralévő futamidő 4 év, a névleges kamatláb 7%. A jelzáloglevél névértéke 10 000 Ft, az évi törlesztő részlet 1000 Ft. Évek Tőke év elején Törlesztés Kamatfizetés
0-4 600 1. 4 000 1 000 280 1 280 2. 3 000 1 000 210 1 210 3. 2 000 1 000 140 1 140 4. 1 000 1 000 70 1 070 3.feladat Írjuk fel egy kötvény pénzáramának nettó jelenértékét! A kötvény névértéke 10 000 Ft, kibocsátási árfolyama 105%, lejárata 5 év, törlesztése 5 évi egyenlő részletben történik, a névleges kamatláb 12%. A hasonló befektetések piaci hozama 10%. A kötvény pénzáramát évente diszkontáljuk a 10 százalékos piaci hozammal, majd az egyes években kimutatott jelenértékeket összegezzük. A kötvényvásárlás idejére visszaszámított pénzáramból kivonható a befektetett összeg. A számítás eredményeként megkapjuk a befektetés nettó jelenértékét. NPV = C 0 C n + t = 1 + t t ( 1 r) C 0 = 10 000 * 1,05=10500 n= 5 év r= 10% PV = 3200 2960 2720 2480 2420 + + + + = 1 5 2 3 4 ( 1+ 0,1) 10483 NPV= -10 500 + 10 483= - 17 Ft Évek Tőke év elején Törlesztés Kamatfizetés jelenértéke 0-10 500-10 500 1. 10 000 2 000 1 200 3 200 2 909 2. 8 000 2 000 960 2 960 2 446 3. 6 000 2 000 720 2 720 2 043 4. 4 000 2 000 480 2 480 1 694 5. 2 000 2 000 240 2 240 1 391 10 000 3 600-17
Ez a befektetés a pénz időértékét figyelembe véve, 105%-os kibocsátási árfolyam esetén veszteséges. 4.2. A kötvény elméleti árfolyama 4.2.1 feladat Mennyi az elméleti árfolyam, ha a kötvény névértéke 10 000 Ft, kibocsátási árfolyama 105%, lejárata 5 év, törlesztése 5 évi egyenlő részletben történik, a névleges kamatláb 12%. A hasonló befektetések piaci hozama 10%. A kötvény elméleti árfolyama megegyezik a kötvénytől várható pénzáramlás jelenértékének összegével. P = PV 0 C n = t = 1 + t t ( 1 r) P 3200 2960 2720 2480 2420 0 = + + + + = 5 1 2 3 4 ( 1+ 0,1) 10483 Az 5.1.4. feladatban a nettó jelenérték számításnál lényegében a kötvény elméleti árfolyamát hasonlítottuk össze a befektetés összegével. Ennek alapján megállapíthatjuk, hogy a kötvényt csak akkor lenne célszerű megvásárolni, ha 105%-nál alacsonyabb lenne a kibocsátási árfolyam. 4.2.2. feladat Egy kötvény névértéke 1000 Ft, hátralévő futamideje 3 év. A tőkét lejáratkor egy összegben fizeti vissza. A kamatot fizetik, a kamatláb 8%. A hasonló befektetésektől elvárt hozam 7%. A piaci árfolyam 101 %. Mennyi a kötvény elméleti árfolyama? Érdemes-e megvenni? Mutassuk be a kötvény pénzáramlását a hátralévő években! Hátralévő évek Tőke év elején Törlesztés Kamatfizetés 1. 1 000-80 80 2. 1 000-80 80 3. 1 000 1 000 80 1 080
P 0 C n = t = 1 + t t ( 1 r) 80 80 1080 P 0 = + + = 1027 Ft 1 2 3 ( 1+ 0,07) ( 1+ 0,07) ( 1+ 0,07) A kötvények árfolyamát a gyakorlatban százalékosan adják meg (a névérték arányában). Elméleti árfolyam: 1027/1000=102,7% A 102,7%-os elméleti árfolyamhoz képest a piaci árfolyam nyomott: érdemes vásárolni. Az árfolyam kamatláb-rugalmassága (elaszticitása) Számítsuk ki az alábbi kötvény árfolyamának kamatláb-rugalmasságát! Névérték: 1000 Ft (100% Árfolyam: 970 Ft (97%) Névleges kamatláb: 12% Piaci kamatláb: 13% A kamatláb-rugalmasság (elaszticitás) azt mutatja, hogy a piaci kamatláb egy százalékos változása hány százalékos változást idéz elő a kötvény árfolyamában. E= elaszticitás P 0 = névérték P 1 = árfolyam r 0 = névleges kamatláb r 1 = piaci kamatláb (elvárt hozam) E = P1 P0 r1 r 0 970 1000 0,03 E = = = 0,36 13% 0,083 12%
A mutató azt jelzi, hogy a piaci kamatláb egy százalékos változása 0,36%-os árfolyamváltozást idéz elő. A mutató negatív előjele arra utal, hogy a változás mindig ellentétes, tehát a piaci kamatláb emelkedése árfolyamcsökkenést von maga után. Példánkban a kamatláb 8,3%-kal emelkedett (1/12), 8,3% * -0,36 = -3%, vagyis az árfolyam 3%-kal csökkent. Számolhatunk százalékpontban is, hiszen itt éppen 1 százalékpontos kamatlábemelés történt, amely 30 F-os, vagyis 3%-os árfolyamcsökkenést idézett elő (30/1000). 4.3.1. feladat Az 5.3.4. feladatban megismert kötvény árfolyama hogyan változna meg, ha az elvárt piaci hozam 13%-ról 9%-ra csökkenne? Névérték: 1000 Ft Névleges kamatláb: 12% Elvárt piaci hozam (r 1 ): 13% Elvárt piaci hozam (r 2 ): 9% Árfolyam(P 1 ): 970 Ft Árfolyam (P 2 ):? Kamatláb-rugalmasság (elaszticitás): -0,36 E = P2 P1 r2 r 1 P2 0,36 = 970 = 9% 13% 1077 P2 970 0,3077 P2 0,36 * 0,3077 = 970 P 2 = 970(1+0,1108) = Ha az elvárt piaci hozam 13%-ról 9%-ra csökken, ez a 4 százalékpontos (30,77 %-os) csökkenés 11,08%-os árfolyam emelkedést idéz elő. Amennyiben a piaci hozam 9%, a kötvényt 1077 forintért lehet megvásárolni.
Írjuk fel egy 10 000 Ft névértékű, 5 éves lejáratú, 12 % kamatozású kötvény pénzáramát, egy évi türelmi idő figyelembevételével! A kötvényt névértéken vásároltuk, a törlesztés egyenletes összegű. A kötvényvásárló hitelezője a kötvénykibocsátónak, ezért törlesztésre és kamatra jogosult. A kötvény pénzárama vásárláskor negatív, a kamatozás és a törlesztés időszakában pozitív. Évek Tőke év elején Törlesztés Kamatfizetés 0-10 000 1. 10 000-1 200 1 200 2. 10 000 2 500 1 200 3 700 3. 7 500 2 500 900 3 400 4. 5 000 2 500 600 3 100 5. 2 500 2 500 300 2 800 10 000 4 200 4.1.2. feladat Írjuk fel annak a befektetésnek a pénzáramát, amelyet egy hét évvel ezelőtt kibocsátott államkötvény vásárlással realizálunk! Az államkötvényt 10 éves lejárattal bocsátották ki, 10 000 forintos névértéken, 8% kamatlábbal. A hátralévő futamidő 3 év, félévente fizet kamatot. A tőketörlesztés egy összegben, lejáratkor lesz. A vásárlás közvetlenül a legutóbbi kamatfizetés után történt, 95% árfolyamon. Hátralévő évek Tőke év elején Törlesztés Kamatfizetés 1.+2. félév 0-9 500 1. 10 000-800 800 2. 10 000-800 800 3. 10 000 10 000 800 10 800
4.1.3.feladat Mutassuk be annak a jelzáloglevélnek a pénzáramát, amelyet 46 százalékos árfolyamon vettünk, a hátralévő futamidő 4 év, a névleges kamatláb 7%. A jelzáloglevél névértéke 10 000 Ft, az évi törlesztő részlet 1000 Ft. Évek Tőke év elején Törlesztés Kamatfizetés 0-4 600 1. 4 000 1 000 280 1 280 2. 3 000 1 000 210 1 210 3. 2 000 1 000 140 1 140 4. 1 000 1 000 70 1 070 4.1.4..feladat Írjuk fel egy kötvény pénzáramának nettó jelenértékét! A kötvény névértéke 10 000 Ft, kibocsátási árfolyama 105%, lejárata 5 év, törlesztése 5 évi egyenlő részletben történik, a névleges kamatláb 12%. A hasonló befektetések piaci hozama 10%. A kötvény pénzáramát évente diszkontáljuk a 10 százalékos piaci hozammal, majd az egyes években kimutatott jelenértékeket összegezzük. A kötvényvásárlás idejére visszaszámított pénzáramból ezek után kivonható a befektetett összeg. A számítás eredményeként megkapjuk a befektetés nettó jelenértékét. NPV = C 0 C n + t = 1 + t t ( 1 r) C 0 = 10 000 * 1,05=10500 n= 5 év r= 10% PV = 3200 2960 2720 2480 2420 + + + + = 1 5 2 3 4 ( 1+ 0,1) 10483
NPV= -10 500 + 10 483= - 17 Ft Évek Tőke év elején Törlesztés Kamatfizetés jelenértéke 0-10 500-10 500 1. 10 000 2 000 1 200 3 200 2 909 2. 8 000 2 000 960 2 960 2 446 3. 6 000 2 000 720 2 720 2 043 4. 4 000 2 000 480 2 480 1 694 5. 2 000 2 000 240 2 240 1 391 10 000 3 600-17 Ez a befektetés a pénz időértékét figyelembe véve, 105%-os kibocsátási árfolyam esetén veszteséges. II/B A részvény árfolyama: A részvényvásárlás felfogható olyan befektetésként, amely örök időkre osztalékhozamot biztosít (természetesen a részvénytársaság nyereségének függvényében!) Az a vállalat, amelynek a részvényét megvásároltuk, 600 Ft állandó összegű osztalékot ígér a 2000 Ft névértékű részvényre. Mennyi a részvény elméleti árfolyama, ha az alternatív befektetésektől elvárt hozam (piaci kamatláb) 10%? Érdemes-e eladnunk, ha a részvény piaci árfolyama 5000 Ft? Ha eladjuk a részvényt, ellenértékként legalább a várható osztalékok végtelen pénzáramát jelenértéken szeretnénk megkapni. A részvény elméleti árfolyama ezért hasonlóan számítható, mint az örökjáradék jelenértéke. DIV P = r P= a részvény elméleti árfolyama DIV= várható osztalék (dividend) r= alternatív befektetésektől elvárt hozam 600 P = = 6000Ft 0,1 Ez a részvény alulértékelt a piacon, tehát célszerű tartani, és csak akkor eladni, ha a piaci árfolyam meghaladja a 6000 Ft-ot. Ilyen piaci árfolyam mellett inkább venni érdemes!
3.1.2.feladat Hogyan alakul annak a részvénynek az elméleti árfolyama, amelynek osztalékát a részvénytársaság évente 2 százalékkal tervezi növelni? A következő osztalékfizetéskor 800 Ft kifizetését ígéri a vállalat igazgatósága. A befektetésektől 10% piaci hozamot várunk. A növekvő örökjáradék mintájára oldjuk meg a feladatot! DIV P = r g P= a részvény elméleti árfolyama DIV= várható osztalék (dividend) r= alternatív befektetésektől elvárt hozam g= az osztalék évi növekedési üteme 800 P = = 10000Ft 0,1 0,02