A hiszterézis karakterisztikával jellemzett rendszerek

A hiszterézis karakterisztikával jellemzett rendszerek és a numerikus térszámítás kapcsolata Írta: Dr. Kuczmann Miklós, Ph.D egyetemi docens aki a habilitált doktor címre pályázik Műszaki tudományok tudományterületen Informatikai tudományok tudományágban a Széchenyi István Egyetem Műszaki Tudományi Karán Széchenyi István Egyetem, Műszaki Tudományi Kar Jedlik Ányos Gépész-, Informatikai és Villamosmérnöki Intézet Távközlési Tanszék, Elektromágneses Terek Laboratórium Győr 21

Tartalomjegyzék 1. Bevezető 1 1.1. A kutatás előzménye............................. 1 1.2. A kutatás tervezett célkitűzése........................ 2 1.3. A dolgozat felépítése............................. 4 1.4. Publikációk.................................. 4 1.5. Köszönetnyilvánítás.............................. 7 2. Irodalmi áttekintés 8 2.1. A hiszterézis operátor............................. 8 2.1.1. A skalár Preisach-modell....................... 9 2.1.2. A vektor Preisach-modell....................... 12 2.2. A mágneses hiszterézis karakterisztika mérése............... 14 2.2.1. A skalár karakterisztika........................ 14 2.2.2. A vektor karakterisztika....................... 15 2.3. Elektrodinamikai rendszerek numerikus analízise.............. 18 2.3.1. A Maxwell-egyenletek........................ 19 2.3.2. Potenciálformalizmusok....................... 2 2.3.3. A súlyozott maradék elve, a végeselem-módszer.......... 26 2.3.4. A nemlinearitás figyelembe vétele.................. 32 3. A hiszerézis jelenségének vizsgálata 33 3.1. A skalár hiszterézis karakterisztika...................... 33 3.1.1. A jelenség mérés útján történő vizsgálata.............. 33 3.1.2. A modell bemutatása......................... 37 3.1.3. A modell verifikációja......................... 4 3.2. A vektor hiszterézis karakterisztika..................... 41 3.2.1. A jelenség mérés útján történő vizsgálata.............. 41 3.2.2. A modell bemutatása......................... 47 3.2.3. A modell identifikációja....................... 48 3.2.4. A modell verifikációja......................... 5 3.3. A tudományos eredmények összefoglalása.................. 52 I

4. A hiszterézis karakterisztika illesztése numerikus technikákhoz 54 4.1. A fixpontos technika rövid bemutatása................... 55 4.2. A polarizációs formula............................ 56 4.3. A polarizációs formula alkalmazása a potenciálformalizmusokban..... 58 4.4. A nemlineáris formalizmusok......................... 6 4.4.1. A direkt karakterisztika alkalmazása................ 6 4.4.2. Az inverz karakterisztika alkalmazása................ 62 4.5. A T potenciál közelítése élmenti végeselemekkel................................ 63 4.6. A tudományos eredmények összefoglalása.................. 64 5. A végeselem-módszer alkalmazása a villamosmérnöki tervezésben 66 5.1. Lineáris örvényáramú feladat........................ 67 5.2. A skalár hiszterézis mérésére alkalmas elrendezés numerikus analízise........................ 7 5.3. Nemlineáris statikus mágneses tér számítása................ 71 5.3.1. A 1-es számú T.E.A.M. tesztfeladat................ 71 5.3.2. A 13-as számú T.E.A.M. tesztfeladat................ 73 5.3.3. A 24-es számú T.E.A.M. tesztfeladat................ 74 5.4. A vektor hiszterézis mérésére alkalmas elrendezés numerikus analízise és tervezése.................................... 76 5.4.1. A szimulációk fontosabb adatai................... 76 5.4.2. A szimulációs eredmények bemutatása............... 77 5.5. A tudományos eredmények összefoglalása.................. 83 6. Az új tudományos eredmények összefoglalása 84 7. További kutatási feladatok 87 A. A mérések során használt eszközök 88 A.1. A mérési adatgyűjtő rendszer........................ 89 A.2. A LabVIEW.................................. 9 A.3. A mérést vezérlő program.......................... 9 A.4. A mérések során használt egyéb eszközök.................. 93 B. Az izotróp vektormodell identifikációja 96 B.1. Az Everett-függvény diszkretizálása..................... 96 B.2. Az identifikáció első lépése.......................... 97 B.3. Az identifikáció második lépése....................... 99 II

C. Potenciálformalizmusok és gyenge alakjaik 12 C.1. A Φ-formalizmus............................... 13 C.2. A kötött A-formalizmus........................... 13 C.3. A szabad A-formalizmus........................... 14 C.4. A kötött T,Φ Φ-formalizmus....................... 14 C.5. A szabad T,Φ Φ-formalizmus....................... 16 C.6. A kötött A, V A-formalizmus....................... 17 C.7. A szabad A, V A-formalizmus....................... 19 C.8. A kötött T,Φ A-formalizmus....................... 11 C.9. A szabad T,Φ A-formalizmus....................... 111 C.1.A kötött T,Φ A Φ-formalizmus..................... 113 C.11.A szabad T,Φ A Φ-formalizmus.................... 115 C.12.A kötött A, V Φ-formalizmus....................... 117 C.13.A szabad A, V Φ-formalizmus....................... 118 C.14.A kötött A, V A Φ-formalizmus.................... 119 C.15.A szabad A, V A Φ-formalizmus.................... 121 C.16.A Maxwell-egyenletek kontraktív tulajdonsága............... 123 D. A potenciálfüggvények közelítése 124 D.1. Egydimenziós csomóponti formafüggvények................. 124 D.2. Kétdimenziós csomóponti formafüggvények háromszögelem felett............................. 127 D.3. Háromdimenziós csomóponti formafüggvények tetraéder esetén................................ 133 D.4. Az élmenti formafüggvények......................... 138 III

1. fejezet Bevezető 1.1. A kutatás előzménye A dolgozat középpontjában a ferromágneses hiszterézis karakterisztika mérése, modellezése és villamosmérnöki gyakorlatban történő alkalmazása áll. A hiszterézis karakterisztikával jellemzett rendszer egy bonyolult nemlineáris és többértékű kapcsolatot realizál a rendszer által modellezett mérnöki objektum bemeneti és kimeneti jele között. Ferromágneses anyagok esetén a mágneses térerősség és a mágneses indukció között fennálló kapcsolatot kell modellezni. A matematikai és a villamosmérnöki, valamint az informatikai alkalmazások szempontjából a modell egy fekete doboz, amelynek bemenete és kimenete között a kapcsolatot a hiszterézismodell írja le. A mágneses anyagok viselkedésének leírása ugyanis többféleképp is megtehető. A fizikusok számára érdekes lehet az anyag belsejében lejátszódó mikromágneses hatások vizsgálata, azok modellezése; matematikailag a hiszterézis egy bonyolult nemlineáris operátor; villamosmérnöki oldalról pedig egy eszköz, amellyel a bonyolult bemenet-kimenet kapcsolat leírható, s a modell tervező rendszerekhez illeszthető. A dolgozatban ezen utóbbi szempont szerint foglalkozom a hiszterézis modellezésével. A modell felépítéséhez, identifikációjához és validációjához elengedhetetlen a jelenség laboratóriumi körülmények között történő vizsgálata. A számomra fontos makroszkópikus kapcsolat a mágneses térerősség és a mágneses indukció között számos jól ismert eljárással vizsgálható. A skalár hiszterézis karakterisztika felvételére egyik elterjedten alkalmazott mérési eljárás toroid alakú tekercset alkalmaz. Munkám során én is a toroid transzformátort alkalmaztam. A szabványban (IEC 44-2) is rögzített Epstein-keret is a skalár karakterisztika vizsgálatára alkalmas. Skalár karakterisztika esetén a feltételezés az, hogy a mágneses térerősség és a mágneses indukció egymással párhuzamosak. Ez azonban számos gyakorlatban előforduló elrendezés esetén nem igaz. A legtöbb, ipari körülmények között előforduló probléma bonyolult alakzatokat tartalmaz. Például a villamos gépek hornyaiban a geometria miatt a mágneses térerősség és a mágneses indukció között nagyon bonyolult kapcsolat áll fenn, az E-I lemezekből felépített transzformátorok sarkokat tartalmaznak, ahol a kialakuló mágneses tér iránya megváltozik követve a vasmag alakját. Minden elrendezés alapvetően háromdimenziós, ahol a mágneses tér alakulása nehezen számítható. Ezen okok vezettek el az ún. vektoriális hiszterézis karakterisztika méréséhez és modellezéséhez. Az utóbbi években számos mérési elrendezés készült a jelenség vizsgálatára a legkülönfélébb alakú próbatestekkel, és mérési technikákkal. A mérési eljárások közül egyet én is megépítettem, melynek tervezése és 1

analízise során a korszerű tervező technikákat alkalmaztam, s amelyet a dolgozatban részletesen bemutatok. A hiszterézis jelenségének modellezése is több módszerrel végezhető. A Stoner Wohlfarth-modell egy mágneses részecske viselkedését írja le és a részecskére felírható energia minimalizálásából indul el. Alkalmas a skalár jelenség és a vektoriális viselkedés modellezésére is, és a mágneses részecskék sokaságából felépített rendszer bonyolultabb folyamatok leírására is használható. A Jiles Atherton-modell egy paramágneses momentum viselkedésének leírásából indult el, s számos módosítás után alkalmassá tették a ferromágneses hiszterézis modellezésére is. A Preisach-féle hiszterézismodell talán a legelterjedtebben alkalmazott technika a villamosmérnöki alkalmazások világában, magam is ezen modellt használom a munkám során. Ezeken kívül számos egyszerűbb modell is létezik, mint például a Rayleigh-modell, a Frölich-modell, a Duhem-modell, alkalmaznak egyszerű függvényekből felépített modelleket is. Az alkalmazás, az elérni kívánt pontosság, az identifikáció, a számítási sebesség, mind befolyásolja a megfelelő modell kiválasztását. A villamosmérnöki gyakorlatban a numerikus térszámítást igénylő problémák megoldása, a különféle eszközök tervezése és analízise a Maxwell-egyenletek valamely numerikus módszerrel történő megoldásán alapszanak. A Maxwell-egyenletek rendszere az elektromágneses tér változóira felírt parciális differenciálegyenletek, vagy integrálegyenletek, amelyek minden elektromágneses térszámítást igénylő feladat megoldására alkalmasak. Potenciálok bevezetésével kevesebb ismeretlent tartalmazó parciális differenciálegyenletek formájában írhatók fel a megoldandó egyenletek. A számos numerikus technika közül a dolgozatban a végeselem-módszert alkalmazom, melynek lényege abban áll, hogy a vizsgált tartományt egyszerű alakzatokra bontjuk fel, amelyekre egyszerű egyenletek írhatók fel, végül ezen egyszerű egyenletek összesítésével a probléma egy közelítő megoldása áll elő. A végeselem-módszer a súlyozott maradék elvének gyenge alakjára épül, s a Galjorkin-eljárást alkalmazza. A végeselem-módszer a diszkretizálás eredményeképp a parciális differenciálegyenleteket algebrai egyenletek rendszerévé transzformálja. Amennyiben a konstitúciós reláció nemlineáris, ahogy az a hiszterézis karakterisztika figyelembe vételekor is fennáll, úgy a nemlineáris parciális differenciálegyenleteket alkalmas, konvergens nemlineáris egyenletrendszer-megoldóval kell összekapcsolni. A dolgozatban a fixpontos technikával foglalkozom. 1.2. A kutatás tervezett célkitűzése Munkám során egy könnyen alkalmazható, egyszerűen identifikálható, gyors és pontos hiszterézismodell megalkotása az egyik cél, amihez eddigi tapasztalataim alapján a Preisach-féle hiszterézismodell a legalkalmasabb. Villamosmérnöki alkalmazási szempontból nagyon lényeges a gyors és pontos működés. Előbbi megcélozható a lépcsősgörbe alkalmas tárolásával és kezelésével, amely párhuzamos működést is lehetővé kell, hogy tegyen, ugyanis arra kell gondolnom, hogy a modellt numerikus térszimulációba is illeszteni kívánom. Végeselem-módszer esetén a vizsgált geometria meghatározott pontjaiban nagyszámú hiszterézismodell futtatására van szükség, és emiatt az implementálás rendkívül lényeges. A sebesség úgy is növelhető, hogy az Everett-függvényt alkalmazom a modell kimenetének számítása során. A pontos modell a megfelelő identifikációval elérhető. Identifikációhoz a koncentrikus görbékből kiindulva az Everett-függvényt célszerű alkalmazni. Mindez természetesen a vektoriális hiszterézismodell esetében is előnyös lesz, 2

hiszen a vektormodell kimenetét számos skalármodell szuperpozíciója adja. A numerikus térszimulációba történő illesztés szempontjából nagyon fontosnak ítélem, hogy a modell változtatás nélkül alkalmas legyen a direkt karakterisztika és az inverz karakterisztika modellezésére. Ezt az Everett-függvény identifikációja során lehet megvalósítani. A vektoriális hiszterézismodell és identifikációjának átdolgozására biztosan szükség van, mivel a Preisach-modell említett kiterjesztése forgó mágneses tér modellezésére nem tökéletesen alkalmas. Emiatt a Ph.D disszertációmban közölt technika átdolgozása kézenfekvő. A mérések során a jól bevált toroid alakú próbatestet kívánom alkalmazni az ugyancsak jól bevált National Instruments mérési adatgyűjtő környezetben. A mért jelek esetemben mindig periodikusak, de sok esetben a mért jelek eddigi tapasztalataim alapján nagyon zajosak. A periodicitást kihasználva egy olyan Fourier-sorfejtésen alapuló digitális szűrési technikát kívánok kifejleszteni, amely a meglévő eszközökkel kidolgozható. A szűrés a vektoriális mérések során még fontosabb, mert a mérőtekercsek a levegőben helyezkednek el, aminek eredményeképp a mért indukált feszültség amplitúdója nagyon kicsi. Sok esetben szükség van a mágneses indukció időfüggvényének előírására, ami csakis szabályozás útján állítható elő. Ki kell dolgoznom tehát egy hatékony és robusztus szabályozási rendszert, amely ezt az előre nem ismert nemlineáris rendszert szabályozni képes. A vektoriális hiszterézis karakterisztika mérésére a laboratóriumomban is könnyedén megépíthető elrendezést kívánom megvalósítani, amely egy villamos gép átalakítását igényli, s amely kör alakú próbatest vizsgálatára szorítkozik. Mérnöki munka lévén, a mérések elvégzése során rendkívül fontosnak tartom, hogy a méréseket a saját magam által összeállított mérési elrendezéssel magam végezzem el, hiszen így a munka minden egyes fázisát jól megismerem és ellenőrizhetem, ami az esetleges hibák javítása, illetve új ötletek implementálása során előnyt jelent. A mérések elvégzése során a mérési eredményeket pontról-pontra ellenőrizni és analizálni kívánom a végeselem-módszeren alapuló tervező rendszerrel. Ebben a fázisban ellenőrizni és igazolni szeretném az irodalomból ismeretes mérési elvek alapjait, s ezek által a saját mérési elrendezésem is tökéletesíteni tudom. A Maxwell-egyenletekből kiindulva a lineáris statikus mágneses tér és a lineáris örvényáramú tér számítására alkalmas potenciálformalizmusok az irodalomból rendelkezésre állnak. Ezek nagyon aprólékos összeállítása, összegyűjtése oktatási szempontból is rendkívül fontos. Tudomásom szerint az elmúlt időszakban ilyen jellegű összefoglaló munka nem jelent meg, s ezt a hiányt pótolni igyekszem munkám összefoglalásával. Ehhez újat úgy kívánok adni, hogy a formalizmusokban bevezetem a nemlineáris hiszterézis karakterisztika kezelésére alkalmas polarizációs formulát. Ezáltal minden formalizmus alkalmas lehet a nemlinearitás kezelésére, s a kapott nemlineáris parciális differenciálegyenleteket valamilyen nemlineáris egyenletrendszerek megoldására alkalmas technikával meg lehet oldani. Munkám során a fixpontos technika részleteinek kívánok utánajárni, s azt a végeselem-módszerben implementálni. Szeretném a polarizációs formula minden válfaját minden potenciálformalizmussal együttesen alkalmazni anélkül, hogy a modell kimeneti jelének ismeretében további iterációs lépésekre legyen szükség a modell bemenetének meghatározására. A kidolgozott módszerek akkor működnek hatékonyan, ha azok alkalmazhatók a mérnöki tervezésben. Ennek igazolására számos feladatot meg szeretnék oldani. Ezek egy része nemzetközileg kiírt tesztfeladat, másik része pedig saját mérési eredményeim és a numerikus módszerek eredményeinek összevetése lesz. 3

1.3. A dolgozat felépítése A dolgozat második fejezete az általam is művelt tudományterület irodalmi összefoglalását tartalmazza, ahol leírom az általam is felhasznált elméleti és gyakorlati ismereteket. A további munkám ezen ismeretanyagra épül. Bemutatom a Preisach-modell alapötletét, felépítését, működését és vektoriális kiterjesztését. Bevezetem a Maxwellegyenletek differenciális alakját, a potenciálokat és a potenciálformalizmusokat, amelyek alkalmasak a statikus mágneses tér és az örvényáramú tér számítására. Bemutatom a munkám során használt végeselem-módszert is, és röviden utalok a nemlinearitás kezelésére. A harmadik fejezetben a hiszterézis jelenségének vizsgálatára fókuszálok, amely egyben munkám fő témája. Bemutatom a skalár hiszterézis karakterisztika mérésére alkalmas mérési elrendezést, a megvalósított szűrési és szabályozási technikákat. Részletezem a skalár Preisach-modell implementálását, amely nagymértékben befolyásolja a numerikus módszerekben történő alkalmazását, s elvégzem a modell implementálását saját méréseim alapján. A modell működésének helyességét is saját mérési eredményeimre alapozva teszem. Ezután mutatom be a vektoriális hiszterézis karakterisztika mérésére alkalmas elrendezést, valamint a vektoriális Preisach-modell felépítését, identifikációját és verifikációját. A negyedik fejezetben a hiszterézis modellek numerikus térszimulációs eljárásokba történő illesztését mutatom be. A választott módszer a biztos konvergenciával bíró fixpontos technika. A nemlinearitást a polarizációs formulával linearizáltam, s az így előálló problémát a fixpontos iterációs eljárással oldottam meg. A fejezetben bemutatom az összes lehetséges formalizmust. Az ötödik fejezet hat válogatott feladat megoldását tartalmazza, amelyben igazolom a kidolgozott eljárások alkalmazhatóságát. A vektoriális hiszterézis mérésére alkalmas mérőberendezés beható numerikus analízise nemcsak a mérés tervezése során nyújtott segítséget, hanem igazolni tudtam a szenzorok elhelyezésének helyességét, s a kidolgozott vektormodell alkalmazhatóságát. A befejező két fejezetben összefoglalom a dolgozat eredményeit, s további megválaszolásra váró kérdéseket fogalmazok meg, melyekkel a jövőben foglalkozni kívánok. Terjedelmi okok miatt számos eredményt függelék formájában közlök. A dolgozatot a felhasznált irodalom jegyzéke zárja. A dolgozatot L A TEX szövegszerkesztővel készítettem. 1.4. Publikációk A dolgozat a következő tíz legfontosabbnak ítélt publikációmra épül, melyek rövid bemutató leírását is közlöm: (i) M. Kuczmann, A. Iványi, Finite Element Method in Magnetics, Akadémiai Kiadó, Budapest, 28, ISBN: 978 963 5 8649 8, p. 31. A Magyar Tudományos Akadémia Akadémiai Kiadója által Nívódíjban részesített alkotás 29-ben, a 28. év Kiemelkedő Szellemi Alkotása díj nyertes könyve a Pécsi Tudományegyetemen, és a Széchenyi István Egyetem által is Publikációs Nívódíjjal jutalmazott alkotás 29-ben. A 31 oldalas angol nyelvű szakkönyv tartalma a jelen dolgozat teljes terjedelmét végigkíséri. A szakkönyv ugyanis 4

bemutatja az elektromágneses térszimulációban használatos formalizmusokat, a súlyozott maradék elvét, a végeselem-módszert, a ferromágneses hiszterézis modellezését és a modell numerikus térszimulációba történő illesztését, valamint számos példát. A könyvben nagyon részletesen vezettem le az egyes összefüggéseket, emiatt a szakspecifikus oktatásban is hasznos. A dolgozat a vektoriális hiszterézis karakterisztika mérésében és modellezésében mutat ehhez képest újat, s számos új feladatot oldottam meg a könyv megjelenése óta. (ii) M. Kuczmann, Fourier transform and controlling of flux in scalar hysteresis measurement, Physica B, vol. 43, 28, pp. 41-413 (IF=,822). A cikkben bemutatom a skalár hiszterézis karakterisztika mérésekor jelentkező zajos jelek szűrési technikáját, amikor a mért jeleket Fourier-sorba fejtem, majd a megfelelő harmonikusokat digitális szűrő segítségével eliminálom. Ezáltal tökéletes zajszűrés érhető el szoftveres úton, mivel a műveleteket a LabVIEW programcsomag keretén belül a National Instruments mérési adatgyűjtő rendszerét felhasználva végeztem el. A cikkben bemutatom azt a szabályozási eljárást is, amelynek segítségével tetszőleges időbeli lefutású mágneses indukció nyerhető. A szűrés és a szabályozás együttes alkalmazásával nagyon gyorsan és hatékonyan lehet a skalár hiszterézis modellek identifikációjához szükséges tanítási adatsort előállítani. Mindezt a 3. fejezetben részletezem. (iii) M. Kuczmann, Measurement and simulation of vector hysteresis characteristics, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 45, no. 11, 29, pp. 5188-5191 (IF=1,129). A cikkben az előző pontban tárgyalt munka folytatásaként röviden bemutatom a vektoriális hiszterézis karakterisztika mérésére alkalmas elrendezést, valamint a (ii) pontban bemutatott szűrési eljárás és szabályozási rendszer továbbfejlesztését. Célom volt, hogy a LabVIEW rendszerben kidolgozott eljárások alkalmasak legyenek a kétdimenziós vektoriális hiszterézis viselkedésének vizsgálatára is. A cikkben bemutatom a vektoriális Preisach-modell felépítését, identifikációját és verifikációját. Tárgyalom a mérési elrendezés numerikus analízisét is. A cikk eredményeit szintén a 3. fejezetben tárgyalom részletesen, továbbá a 4. és az 5. fejezetben is felhasználom az itt elért eredményeket. (iv) M. Kuczmann, Numerical analysis of a 2D vector hysteresis measurement system under construction, Journal of Electrical Engineering, vol.57, no.8/s, Bratislava, ISSN: 1335-3632, 26, pp. 44-47. Ezen cikk a vektoriális hiszterézis mérésére alkalmas elrendezés megépítése előtt az egyik első munkám az elrendezés működésének vizsgálatára, és pusztán elméleti eredményeket tartalmaz. Ebben számos eredmény utalt arra, hogy a mérési elrendezés helyesen fog működni. A munka során a Preisach-modellt alkalmaztam, s ezen szimulációs eredmények indították el a modell (iii) cikkben bemutatott módosítását is. Az eredményeket az 5. fejezetben részletezem. (v) M. Kuczmann, Simulation of a vector hysteresis measurement system taking hysteresis into account by the vector Preisach model, Physica B, vol. 43, 28, pp. 433-436 (IF=,822). 5

Ez a munka a (iv) pontban bemutatott eredmények validálására szolgál egy másik potenciálformalizmus alkalmazásával, s az eredményeket szintén az 5. fejezetben mutatom be. (vi) M. Kuczmann, Identification of the 2D vector Preisach hysteresis model, COMPEL, elfogadott cikk, megjelenés alatt, 21 (IF=,441). Ebben a cikkben alkalmam nyílt a (iii)-ban röviden összefoglalt eredmények bővebb kifejtésére. Itt a mérés, a szűrési technika, a szabályozás és a modell végeselemes tervezésben történő alkalmazása letisztult, minden részletre kiterjedt, hiszen ez az egyik legutóbbi munkám ebben a témában. Ezen eredmények visszaköszönnek a 3. és az 5. fejezetben. (vii) M. Kuczmann, L. Stoleriu, Anisotropic vector Preisach model, Journal of Advanced Research in Physics, elfogadott cikk, 21. Ebben a cikkben a vektoriális hiszterézis karakterisztika egy javítása szerepel, amikor a modellt alkalmassá tettem az egytengelyű anizotrópiával bíró ferromágneses anyagok modellezésére. Az eredmények a 3. fejezetben olvashatók bővebben. (viii) M. Kuczmann, Nodal and edge finite element analysis of eddy current field problems, Przeglad Elektrotechniczny, vol. 84, no. 12, 28, pp. 194-197. A cikk a csomóponti és az élmenti végeselemek alkalmazását mutatja be örvényáramú problémák megoldása kapcsán. A cikkben röviden bemutatom a kiindulási egyenleteket, a formalizmusokat és egy nemzetközileg kiírt tesztfeladatot is megoldottam a módszerek validálása céljából. Ezen eredmények adják részben a 4. és az 5. fejezet mondanivalóját. (ix) M. Kuczmann, Nodal and vector finite elements in static and eddy current field problems, Pollack Periodica, vol. 3, no. 2, 28, pp.85-96. Ebben a cikkben a (viii) munkához hasonló témával foglalkoztam, de bővebben, részletesebben be tudtam mutatni a numerikus módszereket. Ebben a cikkben statikus mágneses tér számításával is foglalkoztam, s további nemzetközileg kiírt problémákat oldottam meg. Az eredmények a 4. és az 5. fejezetben olvashatók. (x) M. Kuczmann, Newton-Raphson method in the polarization technique to solve nonlinear static magnetic field problems, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 46, no. 3, 21, pp. 875-879 (IF=1,129). Ebben a cikkben nemlineáris problémák numerikus analízisével foglalkozom. A problémák megoldása során a polarizációs formulát alkalmaztam a nemlineáris karakterisztika linearizálására és a fixpontos módszert az így nyert egyenletrendszer megoldására. A cikk eredményeit a 4. és az 5. fejezetben fejtem ki bővebben. Az (i) munka mellett ebben az írásban közöltem a 4. fejezetben bemutatásra kerülő technikát, amely alkalmas a T áram-vektorpotenciál számítására a modern élmenti végeselemek felhasználásával. Ebben a cikkben foglalkoztam a Newton Raphsoneljárás numerikus térszámítási problémákban történő alkalmazásával is, de ezen eredmények nem részei jelen dolgozatnak. 6

1.5. Köszönetnyilvánítás Ezúton is szeretném megköszönni Iványi Amália professzorasszonynak (Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar, Műszaki Informatika Tanszék) azt a buzdítást és támogatást, ami a jelen dolgozat megírásához vezetett. Köszönetem fejezem ki Borbély Gábor tanszékvezető docens úrnak, aki lehetővé tette számomra a nyugodt, elmélyült munkát a Széchenyi István Egyetem Távközlési Tanszékén. Köszönöm az Egyetem vezetésének a kutatásaim során nyújtott támogatást a Kutatási Főirányok pályázatok (15-32-51 27-ben, 15-321-2 28-ban, 29-ben és 21-ben) és a Posztdoktori Kutatási pályázatok (15-32-57 27-ben, 15-321-2 28-ban) kapcsán. Jelen habilitációs dolgozat méltó lezárása a Magyar Tudományos Akadémia Bolyai János Kutatási ösztöndíjának (BO/64/6), amit három évre nyertem el és kiváló minősítéssel zártam, s köszönetem fejezem ki az Országos Tudományos Kutatási Alap posztdoktori támogatásáért (OTKA PD 73242), melynek zárása szintén a 21-es évben történik. A kétoldalú kormányközi Tudományos és Technológiai egyezmény (OMFB-725/28, RO-46/27) keretén belül a romániai Iasi városában található Alexandru I. Cuza Egyetem Fizika Tanszékének egy kollégájával, Laurentiu Stoleriu professzorral közös munka a (vii) sorszámú publikáció, aminek keretén belül elindult egy közös kutatás a hiszterézis karakterisztika témakörében. A szombathelyi székhelyű EPCOS Kft. több alkalommal is támogatta munkám, ezt ezúton is szeretném megköszönni. Könyvem megírása során óriási segítséget kaptam Bíró Oszkár professzor úrtól (Institut für Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik, Technische Universität Graz, Ausztria), aki sok e- setben volt segítségemre az egyes potenciálformalizmusok megértése során, s a könyv bírálójaként nagyban hozzájárult a sikerhez. Köszönöm a másik lektor Kis Péter adjunktus (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Automatizálási és Alkalmazott Informatikai Tanszék) segítségét és hasznos tanácsait, valamint azt, hogy sok esetben együtt dolgoztunk egy-egy problémán. Köszönetem fejezem ki azon lelkes hallgatóimnak, akik mellettem, velem dolgozva fáradhatatlanul művelik ezt a nem könnyű tudományterületet. Köszönöm Füzi János kollégám (Központi Fizikai Kutató Intézet, Szilárdtestfizikai és Optikai Kutatóintézet) és Mészáros István docens úr (Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Anyagtudomány és Technológia Tanszék) mérésék során nyújtott segítségét és a konzultációkat. Végül, de nem utolsó sorban köszönöm feleségem, Lívia, és Anna lányom mindennapos támogatását és a megértést, hogy rengeteg időt töltöttem a számítógép előtt. 7

2. fejezet Irodalmi áttekintés Ebben a fejezetben az irodalomra hivatkozva összefoglalom azon ismeretanyagot, a- melyre a további fejezetek épülnek. Bevezetem a hiszterézis operátor fogalmát, röviden bemutatom a skalár és a vektoriális Preisach-modellt, majd a szokásos mérési elrendezéseket. Bevezetem az általam használt Maxwell-egyenleteket és a lineáris problémák megoldására alkalmas különféle potenciálformalizmusokat, valamint röviden bemutatom a végeselem-módszert, végül utalok a nemlinearitás kezelésére. 2.1. A hiszterézis operátor A rendszerelmélet nyelvén fogalmazva definiálható a 2.1 ábrán látható jelátalakító, vagy rendszer, amely a bemenetére érkező bemeneti u(t) jelet f(t) jellé alakítja, ahol f(t) a rendszer kimeneti jele [1 3]. Az ábrán a jelen dolgozatban is tárgyalt hiszterézises jellegű bemenet-kimenet kapcsolat is látható [4 9]. A bemenet és a kimenet kapcsolatát a rendszer modellje valamely matematikai formalizmussal egyértelműen megadja, azaz f(t) = Γ{u(t)} (2.1) alakban definiálható a rendszert reprezentáló modell. 2.1. ábra. A hiszterézis operátor és egy karakterisztikája Ha a bemeneti u(t) jel és a kimeneti f(t) jel kapcsolata nemlineáris és többértékű, továbbá a kimeneti jel t időpillanatban felvett értéke a bemeneti- és a kimeneti jel t t, valamint t < t időpontbeli értékeitől, azaz a rendszer előéletétől is függ, akkor beszélünk hiszterézissel bíró rendszerről [4 9]. Az ilymódon definiált rendszer memóriával rendelkezik. A 2.1 ábrán a kis nyilak reprezentálják a kimeneti jel változásának irányát, 8

s látható, hogy a kimeneti jel értéke függ a rendszer előéletétől, azaz ugyanazon bemeneti jel mellett a válaszjel különböző lehet, attól fügően, hogy a rendszer milyen állapotban van. A hiszterézis jellegű viselkedés a tudományos élet számos területén megjelenik [4 2]. A bemeneti u(t) jel és a kimeneti f(t) jel definiálásával különféle szakterületek hiszterézises jelenségei tárgyalhatók ugyanazon matematikai apparátus felhasználásával. A következőkben a teljesség igénye nélkül pár jellegzetes példát hozok a jelenség sokszínűségének igazolására. A villamosmérnöki szakterületen legfontosabb és legismertebb ilyen rendszer a ferromágneses hiszterézissel jellemzett rendszer (pl. transzformátorok, villamos gépek vasteste), amikor u(t) a H(t) mágneses térerősség és f(t) a B(t) mágneses indukció. Ennek fordítottja is előfordul, ami az ún. inverz hiszterézis modellre vezet. Az elektronikában a különféle triggerek, komparátorok is hiszterézises viselkedéssel bírnak [9,21,22]. Mechanikában előforduló hiszterézis például, amikor a nemlineáris rendszer u(t) bemeneti jele az erő és f(t) az elmozdulás, a feszültség vagy a deformáció. Például a súrlódás miatt a meghúzott test csak később reagál a rá ható erőre, bizonyos anyagok megnyúlásának modellezése pedig hiszterézis jelenségének figyelembevételét kívánhatja meg. Klasszikus példa a mágneses térbe helyezett, fémből készült inga mozgásának leírása is [9,2]. Ha egy anyag fagyáspontja és olvadáspontja különböző, akkor a két pont közötti állapot (szilárd vagy folyékony) függ az előélettől. A közgazdaságtudomány területén is fellelhető a hiszterézis. Például valamely termék exportálásának elindítása előtt fontos lépéseket kell megtenni, a munka nagy odafigyelést igényel. Ha a termék sikeres, akkor az export felfuttatása után túl nagy odafigyelés nem szükséges. Létezik modell a munkanélküliség modellezésére is [9]. Grafikus felületek fejlesztése esetén is megjelent a hiszterézis fogalma. Ha például egy menüsor egy elemét kinyitjuk, s a menüsoron hagyjuk az egér kurzorát, akkor kis idő elteltével a teljes menü megnyílik. Ugyanez érhető el egy ismételt kattintással, azaz az előélettől függ a menüsor viselkedése. Ez figyelhető meg például a Microsoft Word 23 szövegszerkesztő alkalmazásban is [23]. Néhány esetben a bemeneti jel nem skalárfüggvény, hanem vektorfüggvény. A kimenet is hasonlóképp lehet vektorfüggvény. Ebben az esetben két vektorfüggvény között kell kapcsolatot kialakítani, ami a vektoriális hiszterézis operátor bevezetését kívánja meg, f(t) = Γ{ u(t)}, (2.2) amíg a (2.1) által definiált operátor egy skalár hiszterézis operátor. Jelen dolgozatban a villamosmérnöki szempontból lényeges ferromágneses hiszterézis jelenségét tartom szem előtt, s a Preisach-féle hiszterézismodellt használom [4 2]. 2.1.1. A skalár Preisach-modell A Preisach-modell első változata a [24] cikkben jelent meg, amely egy intuitív modellt ad a ferromágneses anyagokban lejátszódó folyamatok egy lehetséges leírására. A modell azóta rengeteg változáson ment keresztül, melynek eredményeképp mára egy matematikai modell áll rendelkezésre a hiszterézis jelenségének általános leírására. Azaz a Preisach-modell nem csupán a ferromágneses hiszterézis leírására alkalmas, hanem egy 9

általános modell [4 1, 25 64]. Jelen fejezetben a skalár modell irodalomból ismert és általam is használt tulajdonságait mutatom be. A Preisach-modell kimenetét végtelen számú relé-típusú karakterisztikával rendelkező rendszer válaszának súlyozott összegeként, azaz szuperpozíciójaként lehet előállítani az f(t) = Γ{u(t)} = µ(α, β) ˆγ(α, β) u(t) dαdβ (2.3) α β formula alapján, ahol Γ{ } jelöli a skalár hiszterézis operátort. A relé-típusú karakterisztika (hiszteron) jól ismert jellege a 2.2 ábrán látható, melynek a felkapcsolási értékét α, lekapcsolási értékét β jelöli, és α β. A karakterisztika bemeneti jele sok esetben valamely értékkel (pl. a bemeneti jel maximális értékével) normalizált. Kimenete csupán két értéket vehet fel, ˆγ(α, β) = ±1. A 2.2 ábra mutatja azt a hiszteronok párhuzamos kapcsolásából álló párhuzamos rendszert is, amely a (2.3) összefüggést hivatott reprezentálni. A µ(α, β) ún. Preisach-eloszlásfüggvény az egyes hiszteronok kimenetét súlyozza. Az eloszlásfüggvény mérési adatok alapján identifikálható. 2.2. ábra. A relé-típusú karakterisztika és a belőle felépített párhuzamos rendszer Az egyes hiszteronok α és β értékei más és más értékeket vesznek fel a fenti párhuzamos rendszer egyes ágaiban. Ennek egyszerű leírására dolgozták ki az ún. Preisach-háromszöget (l. 2.3 ábra). A Preisach-háromszög az a tartomány, amelyre igaz az α β feltétel, azaz az a tartó, amely felett a (2.3) által definiált integrálást el kell végezni. A Preisach-háromszögön a rendszer előéletét az L(t) lépcsősgörbe reprezentálja, amely balról jobb irányba mozog, ha a rendszer bemeneti jele növekszik, s fentről lefelé, ha a bemeneti jel csökken. A lépcsősgörbe bemeneti jelnek megfelelő mozgása kapcsolja fel vagy le az egyes α és β értékekkel reprezentált hiszteronokat. Alaphelyzetben a lépcsősgörbe egy egyenes, amely a (, ) és (+1, 1) pontokat köti össze az α β síkon, kettéválasztva ezáltal a háromszöget. A lépcsők sarkai a bemeneti jelben lévő maximum és minimum értékeknek megfelelően alakulnak ki, azaz a lépcsősgörbe segítségével a rendszer bemenetére érkező jel múltbéli értékei tárolódnak, vagyis a memóriát realizálja. A 2.3 ábrán a lépcsősgörbe kialakulása a karakterisztika ismeretében nyomon követhető. A (2.3) kettős integrál kiértékelése meglehetősen időigényes művelet. Ezen oknál fogva célszerűbb használni az E(α, β) Everett-függvényt, ami a µ(α, β) ismeretében a 1

2.3. ábra. A Preisach-háromszög és a hozzá tartozó karakterisztika jellege következőképp számítható: E(α, β) = µ(α, β ) dα dβ, (2.4) azaz µ(α, β) = α β 2 E(α, β). (2.5) α β Az Everett-függvény ismeretében a hiszterézis modell kimenete sokkal takarékosabban előállítható, mint a (2.3) kettős integrállal. Felhasználva a (2.4) definíciós formulát a (2.3) összefüggésben, a következő összeg adódik: f(t) = E(α, β ) + 2 K [E(α k, β k 1 ) E(α k, β k )], (2.6) k=1 ahol K jelöli a lépcsősgörbe által tárolt sarkok számát. Az Everett-függvény másik nagy előnye, hogy közvetlen kapcsolatban áll a mérési eredményekkel. Az ún. elsőrendű visszatérő görbék segítségével az Everett-függvény felépíthető az E(α, β) = f α f α,β, (2.7) 2 ahol az f α és f α,β értékek értelmezése a 2.4 ábrán látható. Az (α, f α ) pont az elsőrendű visszatérő görbe kezdőpontja, amikoris a visszatérő görbe a főhurokról elindul, α tehát rögzített. A (β, f α,β ) pont pedig a visszatérő görbén β értékének megfelelően vándorol. Ezáltal az Everett-függvény rögzített α mellett minden β értékre számítható. Ugyanez elvégezhető a koncentrikus minor görbék segítségével is, de ekkor egy koncentrikus görbén, s nem a visszatérő görbén mozog a kérdéses (β, f α,β ) pont, ahogy az a 2.5 ábrán is látható. A koncentrikus görbék mérése bizonyos esetekben egyszerűbb. Egy ilyen mérési sor és a belőle számított Everett-függvény a 2.6 ábrán látható mágneses hiszterézis karakterisztika esetén. Megjegyzem, hogy az általam használt modell bemenete és kimenete mindig normalizált. 11

2.4. ábra. Az Everett-függvény felépíthető az elsőrendű visszatérő görbék alapján 2.5. ábra. Az Everett-függvény felépíthető a koncentrikus görbék alapján 2 1 1.75 B[T] E(α,β).5.25 1 2 1.5.5 1 H[A/m] x 1 4 1.5 β.5 1 1.5 α.5 1 2.6. ábra. Mért koncentrikus görbék és az Everett-függvény 2.1.2. A vektor Preisach-modell A vektor Preisach-modell legtöbbet hivatkozott megvalósítása a skalár modell Mayergoyz által bevezetett a 2.7 ábrán látható általánosítása a kétdimenziós síkban [4,6, 12

y e y u e ϕ e x ϑ u u ϕ ϕ x 2.7. ábra. A kétdimenziós vektormodellben definiált irányok értelmezéséhez 9,1,25,63 78]. Ebben a fejezetben a citált irodalomra hivatkozva mutatom be a vektor modell legfontosabb tulajdonságait. Az általánosítás lényege abban áll, hogy a vektoriális kimenetet végtelen számú skalármodell szuperpozíciójaként lehet számítani, azaz f(t) = Γ{ u(t)} = π/2 π/2 e ϕ Γ ϕ { e ϕ u(t)} dϕ. (2.8) Felhasznáva a (2.3) összefüggést, a következő formula adódik: π/2 ( ) f(t) = e ϕ µ(α, β, ϕ) ˆγ(α, β) ( e ϕ u(t)) dα dβ dϕ. (2.9) π/2 α β Az egyes skalármodellek bemenete az e ϕ u(t) skalárszorzat szerint áll elő, ami a bemeneti u(t) vektor ϕ irányban eső vetülete. Itt µ(α, β, ϕ) jelöli a vektormodellt képező skalármodellek eloszlásfüggvényét, amely anizotróp modell esetén irányfüggő, az egyszerűbb izotróp esetben azonban iránytól független. Kézenfekvő, hogy az egyes irányokban futtatandó skaláris modellek kettős integrálja kiváltható az Everett-függvény segítségével, s minden irány mentén használható a (2.6) összeg. A Γ ϕ { } operátorban szereplő eloszlásfüggvény vagy Everett-függvény az identifikáció során határozható meg. Itt az Everett-függvényt használom számos, már említett előnyös tulajdonsága miatt. Az identifikáció alapját jelentő integrálegyenlet formulája anizotróp és izotróp esetben a következő: illetve F(α, β, ϕ) = F(α, β) = π/2 π/2 π/2 π/2 cos ψ E(α cos ψ, β cosψ, ψ + ϕ) dψ, (2.1) cosϕe(α cosϕ, β cosϕ) dϕ. (2.11) 13

Itt F(α, β, ϕ) és F(α, β) jelöli a mérési eredményekből ismert Everett-függvényeket, a kérdéses E(α, β, ϕ) és E(α, β) Everett-függvény pedig az integranduszban szerepel. Anizotróp esetben a ψ integrálási változó a ϕ szög által definiált iránytól mérendő fázist jelöli. Az identifikáció során tehát integrálegyenletet kell megoldani, amely ebben az esetben csak numerikusan oldható meg. A vektor Preisach-modell egy fontos általánosítása érhető el a következő módon: f(t) = π/2 π/2 e ϕ ( α β ) µ(α, β, ϕ) ˆγ(α, β) [ u(t) ξ(ϑ u (t) ϕ)] dα dβ dϕ, (2.12) azaz az egyes irányokban számított vetületek meghatározását lehet módosítani. Itt ϑ u (t) jelöli a bemeneti vektor x-tengellyel bezárt szögét (l. 2.7 ábra). A modellben szereplő ξ(ϑ u (t) ϕ) függvény cos(ϑ u (t) ϕ) függvény szerinti választása mellett az eredeti (2.9) modell áll elő. Előnyös azonban a következő választás: ξ(ϑ u (t) ϕ) = sign{cos(ϑ u (t) ϕ)} cos 1/w (ϑ u (t) ϕ), (2.13) ahol w egy paraméter, amely tipikusan cirkulárisan polarizált mérési adatok alapján identifikálható. Tapasztalatok szerint ez a módosítás jó szolgálatot tesz, ha az izotróp anyag olyan anizotrópiával bír, amely különösen cirkulárisan polarizált mérések során figyelhető meg. 2.2. A mágneses hiszterézis karakterisztika mérése A dolgozatban a rendkívül szerteágazó előfordulási és alkalmazási terület közül a villamosmérnöki szakmához közelálló mágneses hiszterézis jelenségével, mérésével, szimulációjával és alkalmazásával foglalkozom. Nagy jelentősége van a lágymágneses a- nyagoknak, amelyek permeabilitása nagy, hiszterézis vesztesége és koercitív térerőssége pedig kicsi. Lágymágneses anyagokból építik a transzformátorokat, a motorok és villamos gépek jelentős részét. Jelen fejezet az irodalomból ismeretes legfontosabb mérési eljárásokat és alapelveket mutatom be röviden, utalva a vonatkozó irodalomra. 2.2.1. A skalár karakterisztika A skalár hiszterézis karakterisztika mérése során feltételezzük, hogy a próbatestben (de legalább a mérés helyén) kialakuló H mágneses térerősség vektor és B mágneses indukció vektor egymással párhuzamos, azaz irányuktól eltekinthetünk, s a cél a közöttük fennálló skalár jellegű kapcsolat felvétele. Hiszterézis karakterisztika mérésekor célszerű törekedni a zárt mágneses kör felépítésére, vagy eleve olyan alakú próbatestet kell alkalmazni, amely zárt [9]. Az egyik leggyakrabban alkalmazott mérési összeállítás toroid alakú próbatestet tartalmaz [9, 79, 8]. A dolgozat 3.1. fejezete egy általam épített mérési elrendezést mutat be, ezért itt csak egy rövid bevezetésre szorítkozom. A toroid transzformátor árammal átjárt primer tekercse adja a mágneses anyag gerjesztését, s válaszát a nyitott szekunder tekercsen mérhető indukált feszültségből lehet meghatározni. Nagy előnye, hogy a toroid alakú próbatest nem tartalmaz légrést, azaz a mágneskör zárt, továbbá a geometriából adódik, hogy a szórt mágneses fluxus elhanyagolható. Ennek eredményeképp 14

a mágneses térerősség az áramból közvetlenül számítható. Hátránya viszont, hogy a különféle anyagokból készült próbatesteket külön-külön kell tekerccsel ellátni. A másik etalonnak számító méréstechnikai eljárás a 2.8 ábrán látható ún. Epsteinkeret alkalmazása [9,8 85] (IEC Standard Ref. No. 44-2, 1996 [9,25,83]). Az Epsteinkeret négy oldala 3 mm széles, 28 35 mm hosszúságú lemezekből épül fel, melyeket a sarkoknál átlapolással kell összeilleszteni. A sarkok hatását elhanyagolják. A négy keret mindegyikén gerjesztő tekercs van, melyek árama gerjeszti az elektromágneses teret a lemezeken belül. A négy egyforma tekercset természetesen egymással sorba kell kapcsolni. A mágneses indukció a próbatestek köré helyezett tekerccsel mérhető, a mágneses térerősség pedig a gerjesztő áram alapján számítható. A keret nagy előnye, hogy különféle anyagok viszonylag gyorsan cserélhetők, továbbá a kereskedelemben szabványosított mérési összeállítások beszerezhetők. 2.8. ábra. Az Epstein-keret [84] Léteznek olyan mérési elrendezések is, amelyek a próbatestek még gyorsabb cseréjét teszik lehetővé. Ilyen például az U-alakú, nagy permeabilitású jármot tartalmazó összeállítás és ennek különböző változatai [9, 8, 81, 86 88]. Az U-alakú járom gerjesztő tekercse hozza létre a mágneses teret. A járom szabadon álló végeire lehet ráhelyezni a próbatestet, azaz a próbatest zárja a mágneskört. 2.2.2. A vektor karakterisztika A vektoriális hiszterézis karakterisztika mérése során a próbatestben a H mágneses térerősség vektor és a B mágneses indukció vektor közötti kapcsolat felvétele a cél. Erre szintén többféle elrendezés használatos. A vektoriális hiszterézis mérésekor főként vékony lemezekből készült próbatestek vizsgálata a cél. Az Epstein-keret alkalmas a vizsgálni kívánt anyag karakterisztikájának felvételére [9, 85, 89, 9]. Az Epstein-kerettel alapvetően skalár karakterisztikát lehet mérni, de akár anizotróp anyagból készült lemez viselkedése is feltérképezhető vele, ha a keret a 2.9 ábrán látható módon kivágott lemezekből épül fel. Ebben az esetben minden irányból megfelelő számú lemezre van szükség, a mérés tehát időigényes. Az izotróp anyagoknak is 15

van némi anizotróp viselkedése, mert a lemezeket hengereléssel gyártják, majd hőkezelik, ennek ellenére a hengerelés irányában az anyagot kis mértékben könnyebb mágnesezni, mint a hengerelésre merőleges irányban. 2.9. ábra. Lemezek készítése Epstein-kerethez Az Epstein-keret esetében tehát a feltételezés az, hogy a mágneses térerősség és a mágneses indukció vektorai egymással párhuzamosak. Ezen oknál fogva kezdtek el foglalkozni más mérési elrendezésekkel, melyek különféle alakú próbatestet használva alkalmasak arra, hogy a mágneses térerősség és a mágneses indukció alakulását pontosabban meg tudják határozni [9, 9]. Három jellegzetes alak terjedt el: négyszög, hatszög, kör. A négyszög alakú próbatestben lejátszódó folyamatok vizsgálatára már a kereskedelemben is kapható berendezés létezik [25,85,88 16], amely alkalmas lineáris és cirkulárisan polarizált mágneses tér előállítására és mérésére. A próbatesthez a 2.1(a) ábrán látható módon vékony légrésen keresztül kapcsolódik a két, egymásra merőleges járom mágneses tere, melyeket egy-egy tekercs gerjeszt. A jármokat külön mágneskör zárja. Az x és az y irányú mágneses teret gerjesztő tekercsek két-két, egymással sorosan kapcsolt tekercsből állnak. A mérések elvégzéséhez két független, vezérelhető generátor szükséges. A mágneses indukció vektor két ortogonális komponensének mérése két egymásra merőleges tekerccsel történik, amelyeket a próbatestbe fúrt kis átmérőjű lyukakon keresztül lehet átvezetni. A minta felületén a mágneses térerősség vektor két komponensének mérése a próbatestre helyezett tekercsekkel történik. Az említett elrendezés a 2.1(b) ábrán látható [92]. Másik lehetőség a hatszög alakú próbatest alkalmazása [25, 17], amelyet általában nagyobb méretű próbatestek vizsgálatára alkalmaznak. Emiatt alkalmas anizotróp anyagok karakterisztikájának mérésére is. A mérés elve hasonló a fentiekhez, de háromfázisú gerjesztést alkalmaznak, hiszen a hatszög alakú próbatesthez három járom csatlakozik. A dolgozat 3.2. fejezetében a kör alakú próbatest vizsgálatára alkalmas mérési elrendezéssel részletesen foglalkozom [89, 93, 18 112], ezért itt erre nem térek ki. A mérés elve a fentiekkel azonos, de az elrendezés lényegesen olcsóbb, mert egy villamos motorból kialakítható. A vektoriális hiszterézis mérésére alkalmas elrendezések sarkalatos pontja a mágneses térerősség vektorának vagy a mágneses indukció vektorának szabályozása. Szabályozásra azért van szüksége, mert az árammal egyik mennyiség sincs egyszerű, közvetlen kapcsolatban, azaz előre definiált lefutású mágneses térerősség vagy mágneses indukció elérése csak visszacsatolás révén érhető el [8, 89, 9, 12, 15, 16, 11, 113 115]. A szabályozás 16

(a) Sematikus vázlat (b) Egy megvalósított elrendezés [92] 2.1. ábra. Négyszög alakú próbatestet tartalmazó mérési összeállítás 17

nehézsége abban áll, hogy a nemlineáris szabályozandó rendszer gerjesztés-válasz kapcsolata nem ismert. Ezen oknál fogva sok esetben becslést is alkalmaznak a berendezés modelljének paraméterinek meghatározására [113, 114], de a cél a legegyszerűbb proporcionális szabályozóval is elérhető. Ezen mérések során kulcskérdés, hogy a minta lehető legnagyobb részén homogén legyen a mágneses tér alakulása [89,9,98 12,15,112,116]. A mágneses térerősség és a mágneses indukció tekercsekkel történő mérése a próbatest közepén történik, általában 2 mm 2 mm-es felületen. Numerikus analízis által ismert, hogy a tér homogenitása növelhető azáltal, hogy a próbatest és a gerjesztő járom között légrés van [98,1,13,112, 116]. Másik lehetőség, hogy a próbatest fölé ugyanolyan anyagból készült árnyékoló lapot helyeznek. Ez a megoldás kétdimenziós lineáris végeselem-módszerrel történő tervezés eredményeképp született [98, 1, 112, 116]. A mágneses indukció mérése tekercs segítségével történik. A tekercs Epstein-keret esetében körbeveszi az anyag teljes keresztmetszetét, a többi esetben a próbatestbe kis átmérőjű lyukakon keresztül lehet vezetni a mérőtekercset. A legtöbb esetben a mágneses térerősség mérése is tekercsek segítségével történik, amelyet a próbatest felületére kell helyezni. A cél a minta felületén a mágneses térerősség mérése. A szenzorok kalibrációja rendkívül fontos ezekben az esetekben [85,87,89,97,98,1 13,15,117,118]. Sok helyen ún. Rogowski Chattock-tekercset, vagy Hall-szenzort alkalmaznak a mágneses térerősség mérésére [88 9,16]. Különféle villamos berendezések korszerű tervezése számítógépen futó szoftverekkel lehetséges, amelyek valamely numerikus technikát alkalmaznak. A tervezés során a legjobb anyagokat, a legmegfelelőbb elrendezéseket kell a tervezőnek optimalizáció útján kiválasztania. Ez rendkívül időigényes és nagy számítási kapacitást kívánó feladat, amikor a különféle anyagok tulajdonságairól információt csak mérés útján lehet szerezni. Transzformátorok és villamos gépek számítása, tervezése során a fenti eljárások megbízhatósága, az eredmények reprodukálhatósága rendkívül fontos, amely nagymértékben befolyásolja a számítás kimenetét, hiszen a numerikus analízis során a használt modellek identifikációja a mérések alapján lehetséges [89 91,94,119]. Ezért nagyon fontos a numerikus technikák és a gyakorlati mérések párhuzamos alkalmazása. A vektor hiszterézis mérésére alkalmas eszközök fő tervezési eszköze a végeselemmódszer [88, 89, 18, 19, 112, 116]. A tervezés célja alkalmas szenzorrendszer, próbatest, gerjesztés, stb. optimalizálása és analizálása. A numerikus technikák további nagy előnye a méréssel szemben, hogy lehetőség nyílik bepillantani a térváltozók alakulására olyan helyeken, ahol a mérés gyakorlatilag lehetetlen. 2.3. Elektrodinamikai rendszerek numerikus analízise Az elektrodinamika alapegyenleteiből, azaz a Maxwell-egyenletekből kiindulva olyan bonyolult rendszerek behatóbb vizsgálata és tervezése lehetséges, mint például a transzformátorok, különféle motorok és villamos gépek, mérőberendezések, antennák, csőtápvonalak és üregrezonátorok, stb. [25, 12 138]. A problémát leíró Maxwell-egyenletek és az alkalmas peremfeltételek ismeretében a potenciálfüggvény megválasztása után a vizsgálat tárgyát képező feladatkör parciális differenciálegyenletei előállíthatók. Ezen parciális differenciálegyenletek és peremfeltételek jellemzik a vizsgált rendszert, azaz rendszerjellemző függvénynek is felfoghatjuk ezen egyenleteket. Az életben fellelhető összes probléma alapjában véve folytonos idejű bemeneti jelre 18

folytonos idejű kimeneti jellel reagál, azaz a körvonalazott rendszerek túlnyomó többsége folytonos idejű, analóg rendszer [1 3]. A jelen dolgozatban tárgyalt elektrodinamikai rendszerek gerjesztés-válasz kapcsolata rendkívül bonyolult parciális differenciálegyenletekből és peremfeltételekből álló egyenletrendszer, amelyek számítógéppel történő megoldása csakis az egyenletek diszkretizálásával lehetséges [13, 134, 135, 137, 139 145]. A térbeli diszkretizálás többféle módon megoldható, a dolgozatban a legnépszerűbb, s legdinamikusabban fejlődő végeselem-módszerre szorítkozom [13,131,133 135,137,139 15], azonban a közölt egyenletek megoldása más numerikus technikákkal is elvégezhetők. Az időbeli diszkretizálás Euler hátralépő módszere, vagy a Crank Nicolson-séma szerint egyszerű, és ezen technikák stabil megoldásra vezetnek [25, 137, 145]. A folytonos idejű rendszerek gerjesztés-válasz kapcsolatát alkalmas diszkretizálással tehát diszkrét idejű rendszerré lehet alakítani. Hangsúlyozom, hogy a diszkretizálás térben is megtörténik. A Maxwell-egyenletekből potenciálok választásával tehát parciális differenciálegyenletek írhatók fel, melyek térbeli és időbeli diszkretizálásával algebrai egyenletek kaphatók. Az algebrai egyenletek megoldása pedig a potenciálok egy közelítését szolgáltatja, vagyis numerikus technikával mindig egy közelítés kapható. Analitikusan ugyanis csak nagyon kevés, egyszerű geometriával bíró feladat oldható meg. A dolgozatban nemlineáris elektrodinamikai rendszerekkel foglalkozom, amikor a mágneses térerősség és a mágneses indukció között fennálló konstitúciós reláció nemlineáris, sőt, hiszterézissel jellemzett. Ezen bevezető fejezet a lineáris elektrodinamikai rendszerek irodalomból ismert leírására, a végeselem-módszer bemutatására, valamint a nemlineáris feladatok pontos megfogalmazására koncentrál. 2.3.1. A Maxwell-egyenletek A dolgozatban használt numerikus technika, a végeselem-módszer, a Maxwell-egyenletek differenciális alakjából indul ki. A H( r, t) mágneses térerősség, az E( r, t) elektromos térerősség, a B( r, t) mágneses indukció, a J( r, t) áramsűrűség mellett a következő egyenletekről van szó: H( r, t) = J( r, t), (2.14) E( r, t) = B( r, t), (2.15) t B( r, t) =, (2.16) B( r, t) = H { H( r, t)}, vagy H( r, t) = B{ B( r, t)}, (2.17) J ( r, t), a tekercsben, J( r, t) =, a levegőben, (2.18) σe( r, t), az örvényáramtartományban. Utóbbi egyenletben a σ az anyag vezetőképessége, J ( r, t) pedig az elektromágneses teret gerjesztő áramsűrűség. Munkám során olyan feladatokat oldottam meg, amelyekben a gerjesztő tekercs áramsűrűsége az alacsony frekvencia miatt előírható. A H { } és B{ } operátorok az anyag karakterisztikáját írják le. Levegőben a B( r, t) = µ H( r, t), vagy a H( r, t) = ν B( r, t) konstitúciós egyenletekre egyszerűsődnek, és µ = 1/ν a levegő permeabilitása. Lineáris és izotróp karakterisztikájú mágneses anyagok esetében ezen egyenletek formája a B( r, t) = µ µ r H( r, t), vagy a H( r, t) = ν ν r B( r, t) összefüggés 19

szerint alakul, ahol µ r = 1/ν r az anyag relatív permeabilitása. Ezen kapcsolatnak számos egyéb formája ismeretes az irodalomban. Általános esetben azonban a karakterisztika valamely hiszterézis modell által reprezentált nemlineáris kapcsolatot jellemez, amelyet sok esetben (lágymágneses anyagok) egyértékű nemlinearitással írnak le. A (2.14) egyenlet (Ampére-törvény) azt mondja ki, hogy örvényes mágneses tér áramsűrűség eredményeképp jön létre. Ezen áramsűrűség a (2.18) szerint lehet a vezetőben (tekercs) folyó áram J ( r, t) sűrűsége, vagy épp a vezető anyagban kialakuló σ E( r, t) örvényáram. A (2.15) egyenlet a Faraday-féle indukciótörvény, amely azt mondja ki, hogy az időben változó mágneses tér örvényes elektromos teret kelt, amely a vezető anyagokban létrehozza az örvényáramokat. A (2.16) pedig a mágneses tér forrásmentességére utaló egyenlet. Munkám során főleg statikus mágneses tér és örvényáramú problémákkal foglalkoztam, emiatt a fenti egyenletekben az eltolási áramot elhanyagoltam, s a közölt egyenletek az örvényáramú problémák leírására alkalmasak. Statikus mágneses tér problémák esetén az örvényáram hatása elhanyagolható, azaz a (2.15) egyenlet elhagyható, ahogy a (2.18) reláció utolsó tagja is. A Maxwell-egyenletek a térjellemzők közötti kapcsolatokat adják meg, azonban különféle közeghatár- és peremfeltételt kell megfogalmazni, hogy azok egyértelműen írják le az adott problémákat. Két különböző közeggel kitöltött térfogat határán közeghatár feltételeket kell megfogalmazni, amely az elektromos térerősség és a mágneses térerősség tangenciális komponensének, valamint a mágneses indukció és az áramsűrűség normális komponensének folytonosságát jelenti. A mágneses térerősség tangenciális komponense akkor nem folytonos, ha a közeghatáron K( r, t) felületi áram folyik. A peremfeltétel a probléma tartományát lezáró peremeken előírt feltételekben merül ki, amely a fenti tangenciális és normális komponensekre ad előírást, amelyeknek teljesülni kell. Ezen feltételeket a következőkben részletesen kifejtem. A következőkben az egyszerűbb írásmód érdekében a vektorfüggvények argumentumát, azaz az ( r, t) jelölést elhagyom. 2.3.2. Potenciálformalizmusok A Maxwell-egyenletek általános megoldása potenciálok bevezetésével lehetséges, a- melynek eredményeképp az ismeretlenek (a térjellemzők) száma csökkenthető, s mindez a potenciálokra felírható parciális differenciálegyenletek megoldására vezet. A potenciálok ismeretében a térjellemzők, s egyéb adatok természetesen számíthatók. Alapvetően skalárpotenciál, vagy vektorpotenciál alkalmazható a megfogalmazott problémák leírására, melyek elliptikus, valamint parabolikus típusú parciális differenciálegyenletekre vezetnek. A következőkben a legfontosabb potenciálok bemutatására szorítkozom, amikor a probléma lineáris [64,121 131,133 135,137 14,144,151 184]. Erre építve aztán a 4. fejezetben bemutatom a nemlinearitás figyelembe vételének egy lehetséges módozatát. Statikus mágneses tér A statikus mágneses tér problémák általános felépítése a 2.11 ábrán látható. A mágneses teret a tekercs árama gerjeszti, amely a levegővel kitöltött Ω tartományban helyezkedik el, s van egy tartomány (Ω m ), amelyet lineáris mágneses anyag tölt ki. Általánosan az Ω m tartományt ferromágneses anyag tölti ki, melynek karakterisztikája 2

nemlineáris, s hiszterézissel jellemzett. Ez a 4. fejezetben kerül bemutatásra. A Γ m jelöli a közeghatárt, a Γ B peremen a B n = b (b a fiktív mágneses töltések felületi sűrűsége, amely szimmetriasík esetében zérus, egyébként számítható), a Γ H peremen pedig a H n = K feltétel kell teljesüljön. Az n normálvektor a 2.11 ábra szerint a kérdéses tartományból kifelé mutat. Γ H levegő µ Γ B i n mágneses anyag Γ m n m n H, B Ω m Ω Γ B Γ H µ r Γ m Γ B Γ B 2.11. ábra. Statikus mágneses tér feladat sematikus rajza A statikus mágneses tér alapvetően a mágneses skalárpotenciállal, illetve a mágneses vektorpotenciállal számítható. Itt a legfontosabb összefüggésekre mutatok rá. A mágneses skalárpotenciál. A mágneses térerősség felbontható egy rotációval bíró és egy rotációmentes komponensre, azaz H = T + H m, (2.19) ahol T = J, és H m =. (2.2) Ez a dekompozíció kielégíti a (2.14) egyenletet. A T áram-vektorpotenciál a µ permeabilitású közegben számított mágneses térerősséggel egyezik meg, amely többféleképp számítható az ismert J áramsűrűségből, azaz ismertnek tekinthető [135,137]. A rotációmentes komponens előállítható egy Φ skalárpotenciál (mágneses skalárpotenciál) negatív gradienseként, azaz H m = Φ, (2.21) vagyis a mágneses térerősség alakja az alábbi: H = T Φ, az Ω Ω m tartományon. (2.22) Ezen potenciálformalizmusnak és a lineáris anyagmodellnek megfelelő Laplace Poisson-egyenlet a (2.16) egyenletből az alábbi: (µ Φ) = (µ T ), az Ω Ω m tartományon, (2.23) 21

ahol µ = µ az Ω, és µ = µ µ r az Ω m tartományban. A feladatkörhöz a következő Dirichelt-típusú, illetve Neumann-típusú peremfeltételek tartoznak: Φ = Φ, a Γ H peremen, (2.24) (µ T µ Φ) n = b, a Γ B peremen, (2.25) ahol a Φ konstans a skalárpotenciál gradiense tangenciális komponensének vonalmenti integrálásával számítható. A fenti potenciált redukált mágneses skalárpotenciálnak is nevezik, mert a T áramvektorpotenciál tartalmazza a gerjesztés hatását. Sok esetben (pl. mágneses pólusok számításakor) alkalmazható a teljes mágneses skalárpotenciál, melyet a H = Ψ egyenlet definiál, ekkor ugyanis az áramsűrűség a vizsgált tartományban zérus. Létezik még a két skalárpotenciál kombinációja, az ún. Φ Ψ-formalizmus. A mágneses vektorpotenciál. Az A mágneses vektorpotenciál a (2.16) egyenlet alapján vezethető be a B = A (2.26) összefüggés szerint, amely az Ω Ω m tartományban érvényes. A fenti kifejezés a (2.14) egyenlet és a lineáris konstitúciós reláció szerint a következő lineáris parciális differenciálegyenletre vezet: (ν A) (ν A) = J, az Ω Ω m tartományon. (2.27) A ν paraméter a permeabilitás reciproka, amely 1/µ az Ω, és 1/(µ µ r ) az Ω m tartományban. Az egyenlet bal oldalának második tagja a mágneses vektorpotenciál divergenciájának megválasztása eredményeképp került az egyenletbe, ugyanis itt a A = Coulomb-mértéket célszerű alkalmazni. Az egyenlethez a következő peremfeltételek tartoznak: (ν A) n = K, a Γ H peremen, (2.28) A n =, a Γ H peremen, (2.29) n A = α, a Γ B peremen, (2.3) ν A =, a Γ B peremen, (2.31) ahol α a α = b összefüggés alapján számítható. A (2.27)-(2.31) egyenletek által definiált formalizmus a mértékkel ellátott A-formalizmus. Ezt kötött formalizmusnak is hívják. Alkalmas numerikus technikával, s felhasználva a (2.2) összefüggés első egyenletét, a következő ún. szabad A-formalizmus kapható: (ν A) = T, az Ω Ω m tartományon, (2.32) (ν A) n = K, a Γ H peremen, (2.33) n A = α, a Γ B peremen. (2.34) Létezik a skalárpotenciál és a vektorpotenciál kombinációjaként eredményezett A Φformalizmus is, melynek célja az ismeretlenek csökkentése. 22

Örvényáramú tér Az örvényáramú tér problémák általános felépítése a 2.12 ábrán látható. A mágneses teret ebben az esetben is a tekercs árama gerjeszti, amely a levegővel kitöltött Ω n tartományban helyezkedik el, s az Ω c tartományt vezető anyag tölti ki, amely esetleg még mágnesezhető is. Ebben a tartományban jön létre a σ E örvényáram által keltett H e mágneses tér, amely visszahat az azt létrehozó mágneses térre. A Γ nc felület választja el a két tartományt, ahol a közeghatár feltételeknek teljesülni kell, a Γ B peremen a B n = b, a Γ Hn peremen a H n = K, a Γ Hc peremen a H n =, a Γ E peremen pedig az E n = feltétel kell teljesüljön. Belátható, hogy a Γ Hc peremen a J n =, a Γ E peremen pedig a B n = feltétel is teljesül. Γ Hn levegő µ Γ B i(t) n vezető tartomány σ Ω c Γ nc σ E n c n n H, B Γ B Γ Hc µ r H e Ω n Γ nc Γ E Γ B 2.12. ábra. Örvényáramú probléma sematikus rajza Ebben a fejezetben csak az Ω c tartományban kialakuló elektromágneses tér számításával foglalkozom, a következő fejezetben pedig az itt összefoglalt formalizmusokat csatolom a levegő tartományában kialakuló statikus mágneses tér formalizmusaival. Az örvényáramú tartomány számítása is többféleképp lehetséges. Alapvetően a T áram-vektorpotenciál kiegészítve a Φ redukált mágneses skalárpotenciállal, és az A mágneses vektorpotenciál a V elektromos skalárpotenciállal alkalmazható. Ebben a fejezetben a legfontosabb összefüggésekre utalok. Az áram-vektorpotenciál és a mágneses skalárpotenciál. Az örvényáram forrásmentessége a folytonossági egyenlet szerint jól ismert összefüggés, amelyből a T áramvektorpotenciál származtatható, azaz a J = összefüggés szerint a J = T, az Ω c tartományon (2.35) bevezethető. A (2.14) Ampére-féle gerjesztési törvény alapján a mágneses térerősség alakja az alábbi: H = T + T Φ, az Ω c tartományon, (2.36) ahol a Φ a fentiekben már bemutatott redukált mágneses skalárpotenciál. A T tag hozzáadása a T Φ összefüggéshez numerikus szempontból előnyös, s megtehető, hiszen az örvényáramú tartományban a forrásáram zérus. 23

Az elektromos térerősség a (2.18) egyenlet utolsó összefüggése szerint tehát a következő módon számítható az áram-vektorpotenciálból: E = 1 σ T, az Ω c tartományon. (2.37) A (2.15) Faraday-törvénybe, a (2.16) egyenletbe, és a peremfeltételekbe helyettesítve az alábbi egyenletrendszer definiálja a T,Φ-formalizmust: ( ) 1 σ T + µ T t µ Φ t = µ T t, az Ω c tartományon, (2.38) (µ T µ o Φ) = (µ T ), az Ω c tartományon, (2.39) T n =, a Γ Hc peremen, (2.4) Φ = Φ, a Γ Hc peremen, (2.41) ( ) 1 σ T n =, a Γ E peremen, (2.42) (µ T + µ T µ Φ) n =, a Γ E peremen. (2.43) Ebben a formalizmusban a T = Coulomb-mérték egyelőre nem szerepel, azaz a fenti szabad formalizmust alkalmas numerikus technikával kell realizálni. A Coulomb-mértéket is magába foglaló kötött formalizmus egyenletei az alábbiak: ( ) ( ) 1 σ T 1 σ T + µ T t µ Φ t = µ T t, az Ω c tartományon, (2.44) (µ T µ Φ) = (µ T ), az Ω c tartományon, (2.45) T n =, a Γ Hc peremen, (2.46) Φ = Φ, a Γ Hc peremen, (2.47) 1 σ T =, a Γ Hc peremen, (2.48) ( ) 1 σ T n =, a Γ E peremen, (2.49) (µ T + µ T µ Φ) n =, a Γ E peremen, (2.5) T n =, a Γ E peremen. (2.51) 24

A mágneses vektorpotenciál és az elektromos skalárpotenciál. A mágneses vektorpotenciál a mágneses indukció forrásmentességéből vezethető le, miszerint B = A, az Ω c tartományon. (2.52) A második Maxwell-egyenlet alapján az elektromos térerősség is definiálható, E = A t V, az Ω c tartományon, (2.53) ahol V az elektromos skalárpotenciál. Az Ampére-féle gerjesztési törvény és az örvényáram forrásmentessége szolgáltatja a felírható parciális differenciálegyenleteket, melyeket a peremfeltételek egészítenek ki az alábbi módon: (ν A) + σ A t + σ V =, az Ω c tartományon, (2.54) ( ) σ A t + σ V =, az Ω c tartományon, (2.55) (ν A) n =, a Γ Hc peremen, (2.56) σ A t n σ V n =, a Γ H c peremen, (2.57) n A =, a Γ E peremen, (2.58) V = V, a Γ E peremen. (2.59) Itt V értéke konstans. Ezen szabad formalizmus a Coulomb-mértéket nem foglalja magába, de alkalmas numerikus technikával megoldható. A Coulomb-mértéket is tartalmazó kötött formalizmus a következő egyenletek által definiált: (ν A) (ν A) + σ A t + σ V =, az Ω c tartományon, (2.6) ( ) σ A t + σ V =, az Ω c tartományon, (2.61) (ν A) n =, a Γ Hc peremen, (2.62) ( σ A ) t + σ V n =, a Γ Hc peremen, (2.63) A n =, a Γ Hc peremen, (2.64) n A =, a Γ E peremen, (2.65) V = V, a Γ E peremen, (2.66) ν A =, a Γ E peremen. (2.67) 25

Csatolt problémák A 2.12 ábra szerint az örvényáramú tartományt egy örvényáramtól mentes tartomány veszi körül. Az örvényáramú tartományt vagy a T,Φ-alakban megfogalmazott formalizmus, vagy az A, V -formalizmus írja le. A levegőben lejátszódó statikus mágneses tér leírására a Φ skalárpotenciál, vagy az A vektorpotenciál alkalmazható. A kapcsolódó Γ nc közeghatáron a különféle formalizmusokat csatolni kell egymáshoz, s ezen a felületen a mágneses térerősség tangenciális komponense, valamint a mágneses indukció normális irányú komponense folytonos kell legyen. A csatolás a legkülönfélébb formalizmusokat eredményezheti: T,Φ Φ, A, V A, A A, T,Φ A, T,Φ A Φ, A, V Φ, A, V A Φ. Minden egyes formalizmusnak lehet kötött és szabad kivitele. Az egyes potenciálformalizmusok levezetése és bemutatása rendkívül hosszadalmas, ezért azokat a C. függelékben foglalom össze. 2.3.3. A súlyozott maradék elve, a végeselem-módszer Az előző fejezetben bemutatott, és a továbbiakban bemutatásra kerülő elliptikus és parabolikus típusú parciális differenciálegyenletek közelítő megoldása többek között a súlyozott maradék elv alapján lehetséges [25, 121, 122, 126, 13, 131, 133, 135, 137, 145, 151, 176, 185 19]. A súlyozott maradék elv körén belül három fő csoportba sorolhatók a különféle módszerek, ahogy az a 2.13 ábrán is látható. Ezek közül csak a gyenge alakkal, a Galjorkin-technikával, és ezen belül a végeselem-módszerrel foglalkozom [121, 122, 13, 131, 133 135, 137, 139, 14, 142 144, 146, 151, 191, 192]. A végeselemmódszer (Finite Element Method, FEM) a legnépszerűbb és a legelterjedtebben alkalmazott numerikus technika parciális differenciálegyenletek közelítő megoldására. A súlyozott maradék elv lényege abban áll, hogy nem törekszik sem a parciális differenciálegyenletek, sem a peremfeltételek tökéletes kielégítésére, hanem a parciális differenciálegyenletek és a peremfeltételek maradékának egy tetszőleges súlyfüggvénnyel vett ún. belső szorzatát teszi zérussal egyenlővé, s ennek a súlyozott maradéknak a megoldása szolgáltatja a probléma megoldásának egy lehetséges közelítését. A belső szorzatban szereplő integrálás változatlan formában történő alkalmazása a direkt alakot eredményezi. Amennyiben a szorzatfüggvényre vonatkozó integrálási tétel kerül alkalmazásra, úgy a gyenge alak nyerhető, melynek eredményeképp a deriválás rendje eggyel csökken. A harmadik alak pedig az inverz alak. A súlyfüggvény tetszőlegesen megválasztható. Az ún. Galjorkin-eljárás kapcsán a súlyfüggvényt és a potenciálokat közelítő függvényt azonosnak kell választani, s ezúton lehet eljutni a végeselem-módszerhez is. Megjegyzem, hogy a végeselem-módszer a Dirichlet-típusú peremfeltételeket tökéletesen, míg a Neumanntípusú peremfeltételeket a térbeli diszkretizálás finomságától függően, közelítőleg elégíti ki. Az egyes potenciálformulák gyenge alakjának összefoglalását a C. függelékben közlöm a terjedelem miatt. A végeselem-módszer áttekintése A végeselem-módszer tehát egy numerikus technika parciális differenciálegyenletek közelítő megoldására, melynek lényege, hogy a megoldandó probléma geometriáját egyszerű geometriájú elemek segítségével diszkretizálva, azokon egyszerű egyenleteket felírva 26

Direkt alak Véges differenciák módszere Gyenge alak Végeselem-módszer Ált. gyenge alak Inverz alak Trefftz-módszer Bubnov Galjorkinmódszer Peremelemmódszer 2.13. ábra. A numerikus térszámítási eljárások főbb csoportjai lehet a feladatot megoldani. Munkám során a COMSOL Multiphysics szoftvert alkalmaztam, amely kiválóan alkalmas a gyenge alakkal megfogalmazott problémák kezelésére [193,194]. A végeselem-módszer lépései a 2.14 ábrán láthatók. Az első lépés a helyes modell megalkotása, ami áll egyrészt a vizsgált geometria CAD-rendszerben (Computer Aided Design, CAD, azaz számítógéppel történő tervezés) történő leképezéséből, másrészt a megfelelő fizikai képből kiindulva, a megoldandó parciális differenciálegyenletek és peremfeltételek felírásából. Ebben a lépésben kell kidolgozni a diszkretizálás eredményeképp kapott megoldandó egyenleteket is, amelyek a súlyozott maradék elvnek megfelelően lineáris, vagy nemlineáris algebrai egyenletek. Az előfeldolgozási fázisban a feladat a különféle anyagi jellemzők és a gerjesztés pontos definiálása, valamint a geometria végeselemes ráccsal történő diszkretizálása. A végeselem egyszerű geometriai alakzat, két dimenzóban például háromszög (2.15(a) ábra) és négyszög (2.15(b) ábra), három dimenzióban pedig tetraéder (2.16(a) ábra) és hexaéder (2.16(b) ábra) a legelterjedtebben alkalmazott forma, amelyekkel egy geometria egyszerű szabályokkal felbontható. Az így előálló háló definiálja a megoldandó egyenletrendszert is, ugyanis a háló csomópontjaiban vagy a háló élei mentén helyezkednek el az ismeretlen potenciál közelítésére használt polinomok együtthatói. Előbbi esetben 27

A modell specifikációja Adatok Előfeldolgozás Modell optimalizálása Nemlineáris iteráció / Időlépés Végeselemes háló Elemegyenlet Asszemblálás Megoldás Utófeldolgozás Számítás 2.14. ábra. A szimuláció lépései végeselem-módszer esetén csomóponti, utóbbi esetben vektoriális vagy élelemes közelítésről beszélünk. Ezután a súlyozott maradék elv gyenge alakjára támaszkodva az egyetlen végeselemre felírható lokális egyenletek (elemegyenlet) alapján fel kell építeni a megoldandó globális egyenletrendszert. Ez az ún. asszemblálás, amikor ciklusban végig kell menni valamennyi végeselemen, s a megfelelő egyenletek együtthatóit a megfelelő helyre hozzá kell adni. Ennek eredménye egy nagyméretű, ritka (sparse) mátrix, mivel nagyon kevés eleme különbözik zérustól. A megoldó algoritmus szempontjából sok esetben célszerű szimmetrikus mátrixot generálni, amennyiben az lehetséges. Az egyenletrendszer megoldására számos algoritmus létezik. A számítási ciklust különböző bemeneti feltételek mellett ismételni kell az időfüggő örvényáramú problémák időtartományban történő megoldása esetén, míg a nemlineáris egyenletrendszer megoldása iterációt is igényel. y 3 él y 4 3 él 2 2 1 csomópont x 1 csomópont x (a) Háromszög (b) Négyszög 2.15. ábra. Tipikus végeselemek a kétdimenziós x y síkon 28

z z 8 4 y 5 y 7 6 3 3 4 1 1 él él csomópont 2 x (a) Tetraéder csomópont 2 x (b) Hexaéder 2.16. ábra. Tipikus végeselemek három dimenzióban Az egyenletrendszer megoldása után a közelítő potenciálfüggvény ismeretében gyakorlatilag az összes kérdéses mennyiség számítható. Ez az utófeldolgozási fázis. A szimulációs eredmények birtokában a modell javítható, a végeselemes és időbeli diszkretizálás finomítható, azaz a modell jósága iteratívan növelhető. A potenciálok közelítése A numerikus módszerek a megoldandó problémák egy közelítését szolgáltatják. Végeselem-módszer esetén a parciális differenciálegyenletekben szereplő potenciálokat a végeselemekre felírt polinomok segítségével lehet közelíteni, amelyeket formafüggvényeknek is neveznek. Ebben a fejezetben az approximáció lényegét foglalom össze. A skalár súlyfüggvényt (vektor-skalár függvény) és az approximáció során alkalmazott közelítő formafüggvényt a továbbiakban N = N( r) jelöli, a vektor súlyfüggvényt (vektorvektor fügvény) és közelítő formafüggvényt pedig W = W( r). A Φ = Φ( r) vagy Φ = Φ( r, t) reprezentatív skalár potenciálfüggvények m számú lineárisan független függvény lineáris kombinációjával approximálhatók: Φ Φ a = Φ D + m N i Φ i, (2.68) i=1 ahol Φ a jelöli a Φ potenciál közelítését. Az N i = N i ( r) az approximáció formafüggvénye, Φ i = Φ i (t) pedig az ismeretlen együtthatókat jelöli (statikus esetben ezek természetesen időtől függetlenek). A fenti közelítés első tagja a Dirichlet-féle peremfeltételek kielégítését hivatott biztosítani, Φ D = g, a Γ D peremen, (2.69) ahol g egy előre megadott érték. Ennek következménye, hogy a Γ D peremen a második összeg minden tagja zérus kell legyen, azaz teljesülnie kell az feltételnek. N i =, a Γ D peremen ( i, i = 1,, m) (2.7) 29

Az A = A( r) vagy A = A( r, t) reprezentatív vektor potenciálfüggvények k számú lineárisan független formafüggvény segítségével közelíthetők a következő módon: A A a = A D + k j=1 W j A j. (2.71) Itt A a jelöli az A vektorfüggvény approximációját, a W j = W j ( r) az approximáció formafüggvényét, A j = A j (t) pedig az ismeretlen együtthatókat, amelyek statikus e- setben nem függenek az időtől. Az első tag a Dirichlet-típusú peremfeltételek pontos kielégítésére szolgál, azaz ismert G vektorváltozó, vagy ismert G skalárváltozó mellett az alábbi feltételek valamelyikét elégíti ki: n A D = G, vagy AD n = G, a Γ D peremen. (2.72) Ennek következménye, hogy a Γ D peremen a formafüggvény a következő feltételek egyikét kell teljesítse: n W j =, vagy W j n =, a Γ D peremen ( j, j = 1,, k). (2.73) A formafüggvények A skalárpotenciálok csomóponti végeselemekkel közelíthetők, míg a vektorpotenciálok approximálhatók akár csomóponti, akár élelemek (vektorelemek) segítségével. A csomóponti elemek alkalmazása során az N i formafüggvények segítségével kell közelíteni a potenciálokat, s az ismeretlenek a végeselemes háló csomópontjaihoz kapcsolódnak. Az élmenti végeselemek esetén a W j formafüggvényekből és az élekhez rendelt ismeretlenekből áll elő a közelítő potenciál. A közelítő formafüggvények egyszerű folytonos polinomokból épülnek fel, melyek tartója egyetlen végeselem. A formafüggvények a következő tulajdonságokkal bírnak [133]: (i) Minden formafüggvény a teljes problématér felett értelmezett; (ii) Minden csomóponti formafüggvény egyetlen csomóponthoz, s minden élmenti vektor-formafüggvény egyetlen élhez tartozik; (iii) Minden csomóponti függvény azon végeselemeken különbözik nullától, amelyek érintkeznek annak csomópontjával, s minden vektorfüggvény csak azon végeselemeken nem nulla, amelyekhez az él tartozik; (iv) A csomóponti függvény értéke egységnyi az adott csomópontban, s minden más csomópontba zérus. A vektorfüggvény vonalmenti integrálja az adott él mentén egységnyi, az összes többi él mentén pedig zérus; (v) A formafüggvények lineárisan függetlenek. A végeselem-módszerrel számított közelítő megoldás pontossága alapvetően három módon javítható. A végeselemek számát növelve, vagyis a felbontást finomítva az ún. h-fem nyerhető. A közelítő polinomok fokszámának növelése a p-fem-et eredményezi, míg a kettő alkalmas kombinációja a hp-fem. 3

A csomóponti formafüggvények. Skalárfüggvények approximációja a (2.68) összefüggés szerint lehetséges. Végeselem-módszer esetében az N i = N i ( r) bázisfüggvényeket csomóponti formafüggvényeknek hívják. A formafüggvények tulajdonságai alapján a csomóponti formafüggvények az alábbi összefüggés szerint definiálhatók: N i = { 1, az i-edik csomópontban,, bármely más csomópontban. (2.74) Az általam használt csomóponti formafüggvények jellegzetes alakjait, összefüggéseit a D. függelékben foglalom össze. A csomóponti formafüggvények segítségével vektorpotenciálok közelítése is lehetséges, habár újabban az ún. élmenti formafüggvények alkalmazása hódít. A reprezentatív A = A( r, t) potenciálfüggvény háromdimenziós esetben három komponens segítségével írható fel az alábbi módon: A = A x e x + A y e y + A z e z (2.75) ahol e x, e y és e z az x, y és z irányokba mutató egységvektorok, az A x = A x ( r, t), az A y = A y ( r, t), és az A z = A z ( r, t) függvények pedig ezen három irányban az A vektorpotenciál ortogonális komponensei. Kézenfekvő az alábbi közelítés: m A N i (A x,i e x + A y,i e y + A z,i e z ) = i=1 m N i A x,i e x + i=1 m N i A y,i e y + i=1 m N i A z,i e z, i=1 (2.76) azaz az egyes komponenseket külön-külön lehet csomóponti formafüggvényekkel közelíteni. A kutatások eredményeképp kiderült azonban, hogy a vektorpotenciálok ily módon történő közelítése számos numerikus problémát okoz. A Coulomb-mérték előírására különös gondot kell fordítani, különben az iteratív módszerek sok esetben nem konvergensek, mivel az előálló algebrai egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. A Coulomb-mértékkel egyértelművé tett kötött formalizmust csomóponti végeselemmódszerrel szokás megoldani. A másik lényeges probléma, hogy nagy permeabilitású közeg és kis permeabilitású közeg határán (vas/levegő határ) a megoldás nem helyes. Itt külön feltételt kell generálni a közeghatáron, ami azonban nem következik az egyenletekből, de az élmenti formafüggvények irányába mutat. A probléma ugyanis abban áll, hogy a csomóponti formafüggvény folytonos, azaz a mágneses vektorpotenciál normális irányú komponense is és tangenciális irányú komponense is folytonos. A eredmények viszont azt mutatják, hogy vas/levegő határon a normális irányú komponens nem folytonos. Az élmenti formafüggvények. Az élmenti formafüggvények a fenti problémák vizsgálatának eredményeként alakultak ki. A W j élmenti formafüggvények segítségével az A reprezentatív vektorpotenciál a következő módon közelíthető: A k j=1 W j A j. (2.77) 31

A W j élmenti formafüggvény definíciója az alábbi: l W j dl = { 1, a j-edik él mentén,, bármely más él mentén, (2.78) azaz a formafüggvény élmenti vonalintegrálja a j-edik él mentén egységnyi, s az összes többi él mentén nulla. Ez azt jelenti, hogy a W j vektor formafüggvénynek tangenciális komponense csak a j-edik él mentén van, az összes többi élre pedig merőleges. Háromdimenziós esetben nemcsak a j-től különböző élekre merőleges a formafüggvény, hanem minden olyan oldalra is, amely a j-edik éllel nincs kapcsolatban. Ha két végeselemnek van közös éle, akkor ezen az élen az approximált potenciálfüggvény tangenciális komponense folytonos, míg normális komponense nem feltétlenül az. Megjegyzem, hogy a szabad formalizmust ezen élmenti formafüggvényekkel jellemzett vektoriális végeselem-módszerrel szokás megoldani. Az általam használt élmenti formafüggvények jellegzetes alakjait, összefüggéseit a D. függelékben foglalom össze. 2.3.4. A nemlinearitás figyelembe vétele Munkám fő célja a kidolgozott hiszterézis modellek és a különféle potenciálformalizmusok összekapcsolása alkalmas numerikus technikával. Az így előálló, a hiszterézis karakterisztika beillesztésére is alkalmas eljárás kidolgozása bonyolultsága és gépigénye miatt ma is a kutatások középpontjában áll. Kutatásom a [64, 137, 145, 191, 195 214] műveken alapul, amelyek a fixpontos eljárást helyezik előtérbe a nemlineáris egyenletrendszer megoldására. A Maxwell-egyenletekből levezethető potenciálformalizmusok és a hiszterézis karakterisztika linearizálására alkalmas polarizációs formula alkalmas összekapcsolása konvergens iterációs eljáráshoz vezet, amely kiválóan alkalmas bonyolult háromdimenziós problémák megoldására. Eredményeim a 4. fejezetben foglalom össze. 32

3. fejezet A hiszerézis jelenségének vizsgálata 3.1. A skalár hiszterézis karakterisztika 3.1.1. A jelenség mérés útján történő vizsgálata A mérési elrendezés bemutatása Az általam megépített, a skalár hiszterézis karakterisztika mérésére alkalmas elrendezés blokkvázlata a 3.1 ábrán látható. A 2.2. fejezetben már ismertettem, hogy ez a mérési összeállítás kihasználja, hogy egy toroid alakú próbatesten belül a H(t) mágneses térerősség vektor és a B(t) mágneses indukció vektor egymással minden pontban párhuzamos. A toroid keresztmetszetén áthaladó H(t) és B(t) térjellemzők átlaga mérhető, s ezen két skalár időbeli változása írja le a mágneses anyag viselkedését. 3.1. ábra. A realizált skalár hiszterézis mérésére alkalmas elrendezés blokkvázlata A karakterisztika mérése során a toroid N p = 134 menetszámú primer tekercsét előre definiált időfüggvényű i(t) árammal lehet gerjeszteni, aminek hatására a transzformátor N s = 248 menetszámú szekunder tekercsében u(t) feszültség indukálódik. Az áram és az indukált feszültség időfüggvénye mérhető a számítógépbe helyezett National Instru- 33

ments mérési adatgyűjtő (Data Acquisition, NI-DAQ) kártya segítségével. Az áram jelalakját ugyanezen kártyán keresztül lehet a generátorhoz eljuttatni. A számítógépen futó, általam LabVIEW környezetben kifejlesztett eljáráscsomag vezérli a teljes mérést, szabályozza az áramgenerátort, méri és feldolgozza a bejövő jeleket, valamint megjeleníti a mérési eredményeket. A mérések során felhasznált eszközök részletes bemutatása az A. függelékben tekinthető meg. A mágneses térerősség átlagos értéke a toroidon belül Ampére törvénye értelmében a következő összefüggés szerint számítható: H(t) = N p i(t), l (3.1) ahol l = 157 mm a toroid közepes hossza. A mágneses indukció Faraday törvénye szerint az indukált feszültség ismeretében számítható: B(t) = B + 1 S N s t u(τ) dτ, (3.2) ahol S = 32 mm 2 a toroid keresztmetszete, B pedig konstans. A skalár mérések során egy C19 szerkezeti acélból készült próbatest karakterisztikáját vizsgáltam, amely egy lágymágneses anyag, azaz karakterisztikája keskeny, vagyis a karakterisztika által közbezárt terület, következésképp a veszteség is kicsi. A koercitív térerősség szintén kicsi. A méréseket alacsony frekvencián végeztem el az örvényáramok elhanyagolhatósága végett, azaz a frekvenciafüggést nem vizsgáltam, s így a modell is kvázistatikus közelítést valósít meg. Zajszűrés A mérések során kapott hiszterézis karakterisztika meglehetősen zajos, amely különösen kicsiny gerjesztések mellett számottevő. Megfigyeléseim szerint a zaj időbeli átlaga pozitív, ami az integrálás eredményeképp kapott B(t) jelben egyre növekvő offszetet jelent. Tapasztalataim szerint ez a zaj a hardver különböző beállításai mellett sem eliminálható, ezért a 3.2 ábrán látható, nagyon hatékony szoftveres megoldást dolgoztam ki LabVIEW környezetben, amely Fourier-transzformáción és digitális szűrésen alapul. Első lépésben a mért áramjelet és feszültségjelet a LabVIEW FFT (Fast Fourier Transform) blokkjával Fourier-transzformálni kell, majd a nem kívánt harmonikusokat egy LabVIEW-ban implementált digitális szűrő segítségével eliminálni lehet. Ez egyszerűen annyit jelent, hogy az amplitúdóspektrum megfelelő elemeit zérussal beszoroztam. Végezetül a szűrt spektrumot vissza kell transzformálni az időtartományba. A 3.3(a) ábrán egy zajos indukált feszültség amplitúdóspektrumának egy részlete látható (egy nagyított intervallumot mutat a 3.3(b) ábra). Az ábrákon jól látható, hogy a hasznos jel spektruma mellett minden frekvencia képviselteti magát valamekkora amplitúdóval. Ezen nem kívánt komponenseket kell zérussal beszorozni a szűrés során. A 3.4(a) ábrából kitűnik, hogy a zajos mérési eredményekből számított mágneses térerősség és az integrálás útján számított mágneses indukció is zajos, utóbbi időben növekvő offszettel is terhelt. A szűrés eredményeképp kapott karakterisztika azonban mindezektől mentes (3.4(b) ábra). 34

3.2. ábra. A LabVIEW környezetben implementált szűrési eljárás 1 1,75,75 U k (jω) [mv],5 U k (jω) [mv],5,25,25 25 5 75 1 k 5 1 15 2 k (a) Az amplitúdóspektrum (b) Egy nagyított intervallum 3.3. ábra. Példa a mért indukált feszültség amplitúdóspektrumára 1 1.5.5 B [T] B [T].5.5 1 1 5 5 1 H [A/m] 1 1 5 5 1 H [A/m] (a) Zajszűrés előtt (b) Zajszűrés után 3.4. ábra. A mért és a szűréssel kapott karakterisztika 35

A szabályozó algoritmus A mágneses indukció időfüggvényének szabályozása több szempontból is fontos. Skalár hiszterézis mérése esetén az áram és a mágneses térerősség a (3.1) összefüggésnek megfelelően egymással arányosan alakulnak, ha a próbatest toroid alakú. Ha a karakterisztika a könyök és a koercitív térerősség környékén nagyon gyorsan változik, akkor az gyors indukcióváltozást jelent, ami tüskeszerű indukált feszültséget okoz a szekunder tekercs kapcsain. Ezeket a tüskéket azonban nehéz mérni, ugyanis nagyon sok mintavételezési pont szükséges a pontos és megismételhető mérésekhez. Mindemellett a gyors fluxusváltozás Faraday törvényének megfelelően nagy örvényáramokat is indukál a próbatestben, ami meghamisítja a statikus karakterisztika mérésének eredményeit. Ezen okoknál fogva célszerű a nagy fluxusváltozási sebességet csökkenti oly módon, hogy a szekunder tekercs kapcsain mérhető indukált feszültség időfüggvényét írjuk elő például szinuszos lefutásúra, vagy a vele kapcsolatban álló mágneses indukció időfüggvényét. Az ezt megvalósító proporcionális típusú szabályozó algoritmus az alábbi: 1. Inicializálás: szinuszos lefutású áramjellel indul a mérés; 2. A mágneses térerősség és a mágneses indukció mérése a fenti szűrési technikával; 3. A B(t) mért és a B ref (t) előre definiált mágneses indukció időfüggvényének összehasonlítása, ami egy B(t) hibafüggvényt eredményez, B(t) = B(t) B ref (t); (3.3) 4. Az áramjel megváltoztatása a i(t) = P B(t) jellel, ami egy proporcionális szabályozót definiál ( < P < 1, [P] = A T ); 5. Ha B(t) átlaga nem éri el a kívánt értéket visszalépés a 2. pontra, egyébként a mérés véget ér. Itt jegyzem meg, hogy a vektoriális hiszterézis mérése során a szabályozás még nagyobb szerepet kap. A fenti algoritmussal tetszőleges időbeli lefutású indukció elérhető. A 3.5(a) ábrán egy koncentrikus hurok mentén kialakuló minor hurkok láthatók, amelyek hűen követik azt a jól ismert tényt, hogy a minor hurkok reverzibilis permeabilitása a mágneses indukció növelésével csökken [4]. A 3.5(b) ábra magasabb rendű minor hurkok mérésére mutat eredményt. A 3.6(a) ábrán a B ref (t) = [.463 cos(ωt + 36.33 ) +.234 cos(3ωt 89.6 ) +.141 cos(5ωt + 148.3 ) ] T (3.4) összefüggésnek, míg a 3.6(b) ábrán a B ref (t) = [.67 cos(ωt + 16.6 ) +.72 cos(17ωt + 163.8 ) +.34 cos(19ωt 177 ) ] T (3.5) formulának megfelelő időfüggvények szerint alakuló mérési eredmények láthatók f = 5 Hz és f = 5 Hz frekvencián. Ezen mérési eredmények jól illusztrálják a nagyon egyszerű algoritmus robusztusságát. 36

Habilita cio s disszerta cio 1.5 1.5.75.75 B [T] B [T] Kuczmann Miklo s.75 21.75 1.5 2 1 H [A/m] 1 1.5 25 2 (a) Elso rendu minor hurkok 125 H [A/m] 125 25 (b) Magasabb rendu minor go rbe k 1.5 1.5.75.75 B [T] B [T] 3.5. a bra. Minor hurkok me re se.75 1.5 1.75.5 H [A/m].5 1.5 1 1 x 1 4 (a) A (3.4) jelhez tartozo karakterisztika.5 H [A/m].5 1 x 1 4 (b) A (3.5) jelhez tartozo karakterisztika 3.6. a bra. Magasabb rendu minor hurkok me re se ku lo nbo zo frekvencia kon 3.1.2. A modell bemutata sa A tova bbiakban a tte rek a ma gneses hisztere zis karakterisztika opera tora nak szoka sos jelo le se re, azaz vagy a B(t) = H {H(t)} direkt karakterisztika t, vagy a H(t) = B{B(t)} inverz karakterisztika t fogom haszna lni a 2.1. fejezetben haszna lt Γ{ } a ltala nos jelo le s helyett. Az opera tor vektoria lis hisztere zis modelleze se esete n terme szetesen ke t vektor ~ ~ ~ ~ ko zo tt ad kapcsolatot, azaz B(t) = H {H(t)}, illetve H(t) = B{B(t)}. Munka m sora n a Preisach-fe le hisztere zis modellt alkalmaztam, melynek a ltalam is haszna lt tulajdonsa gait a 2. fejezetben bemutattam. A modell implementa la sa sora n ke t fontos szempontot tartottam szem elo tt: egyszeru identifika cio, amely ko zvetlenu l a me re si eredme nyekhez kapcsolo dik; valamint gyors mu ko de s, ami a me rno ki alkalmaza s szempontja bo l rendkı vu l fontos. A modell fele pı te se sora n az Everett-fu ggve nyt alkalmaztam, amely jo l illeszkedik az elve gzett me re sek eredme nyeihez. A me re s sora n egyszeru bb a koncentrikus go rbe k felve tele, ezen okna l fogva a 2.5 a bra n felva zolt mo don hata roztam meg az Everettfu ggve nyt. Az Everett-fu ggve ny approxima cio ja t harmadfoku spline interpola cio val ve geztem. 37

Az Everett-függvény másik nagy előnye, hogy segítségével a modell kimenetének számítása során nem kell integrálást végezni, hanem a (2.6) összefüggést lehet alkalmazni. A következőkben bemutatásra kerülő algoritmus a lépcsősgörbe olyan tárolását alkalmazza, amely alkalmassá teszi a modellt párhuzamos módon történő realizálásra. Mindezt MATLAB környezetben implementáltam, a szoftver alapműveleteit előnyösen kihasználva. A párhuzamosíthatóság az alkalmazás szempontjából rendkívül fontos. A mágnesezési folyamatokat célszerű a t = időpillanatban lemágnesezett állapotból indítani, amikor H() = és B() =. Itt az inverz modell működését mutatom be, mert a vektormodell inverz alakban működik, a direkt modell működése pedig az itt leírtakkal analóg. (a) Az első mágnesezési görbe (b) A visszatérő görbe 3.7. ábra. Az illusztráció első és második lépése Ha a mágneses indukció nő, akkor a mágneses térerősség az első mágnesezési görbének megfelelően alakul, és a lépcsősgörbe balról jobbra halad, ahogy az a 3.7(a) ábrán látható. Az ábrán szaggatott vonal jelzi a lemágnesezett állapotnak megfelelő lépcsősgörbét, ami két egyenlő nagyságú területre osztja a háromszöget. Ha a mágneses indukció ezután csökken, akkor egy koncentrikus görbének megfelelő visszatérési görbén halad a mágnesezési folyamat. Ezt illusztrálja a 3.7(b) ábra. Az ábrán megjelöltem a háromszögön értelmezett lépcsőfokot és a neki megfelelő eltárolt, illetve felhasznált pontot az α = β egyenes mentén. A lépcsősgörbe egy vízszintes szakasza ekkor fentről lefelé halad egyre növelve a negatív előjellel rendelkező hiszteronok területét, miáltal a 38

mágneses térerősség is csökken. A -val jelzett pont az első pont, amit a memóriában tárolni kell és ami az első lépcsőfokot jelenti. Ennek koordinátái: (α, β = α ). Nem szükséges azonban mindkét érték tárolása. Az α = β egyenesen ugyanis alkalmas algoritmussal ezt egyetlen adat tárolásával meg lehet tenni, azaz L = {α }. Ekkor a mágneses térerősség a következőképp számítható (2.6) alapján: H(t) = H max ( E(α, β ) + 2 [E(α 1, β ) E(α 1, β 1 )]) (3.6) ahol β = α az L listában tárolt egyetlen érték, valamint α 1 = α és β 1 = B(t)/B max. A H max és B max értékek a technikai szaturációhoz tartozó maximális mágneses térerősség és indukció értékek, melyekkel a modell bemenete és kimenete normalizálható. A β 1 tehát ebben a lépésben csökken, s mozgatja a lépcsősgörbét. Ha a mágneses indukció elérné a α B max értéket, akkor az L listából törölni kell az α értéket, s vissza kell térni az első mágnesezési görbére. (a) Egy minor hurok nyitása (b) Harmadrendű minor hurok nyitása 3.8. ábra. Az illusztráció harmadik és negyedik lépése A 3.8(a) ábra szerint az 1 pontban a modell bemenete nő, s egy minor hurok alakul ki. Ennek eredményeképp a lépcsősgörbe egy függőleges szakasza balról jobbra halad, s kialakult egy újabb lépcsőfok, amit tárolni kell, azaz az L lista a következő módon gyarapszik: L = {β 1, α }. Itt β 1 a második, 1-gyel jelzett lépcsőfok koordinátája. Ebben az esetben a kimenet számítása a H(t) = H max ( E(α, β ) + 2 [E(α 1, β ) E(α 1, β 1 ) + E(α 2, β 1 ) E(α 2, β 2 )]) (3.7) 39

összefüggésnek megfelelően alakul. Itt α 2 = B(t)/B max, ami változik, az utolsó tag pedig az Everett-függvény definíciója miatt zérus. Ha a bemeneti jel értéke eléri az L listában tárolt α -nak megfelelő értéket, akkor a lista mindkét elemét törölni kell. Ebben az esetben a minor hurok bezárul. Ha a 2-vel jelzett pontban a mágneses indukció csökken, akkor egy magasabb rendű minor hurok alakul ki, s ahogy a 3.8(b) ábrán látható, a lépcsősgörbe egy vízszintes szakasza lefelé mozog. A 2-vel jelzett pont bekerül az L listába, azaz L = {β 1, α 2, α }. Ha a bemeneti jel addig csökken, hogy elérje az 1 pontot, akkor a kialakult minor hurok bezárul, s a lista 1 és 2 jelzésű eleme törlődik. Más szóval a modell állapota visszatér a 3.7(b) ábrán feltüntetett állapothoz. Az L lista tehát dinamikusan változik attól függően, hogy a modell bemenete hogy alakul. 3.1.3. A modell verifikációja A 3.9(a) ábra mutatja a mérések által kapott koncentrikus görbék és a szimuláció eredményeinek összehasonlítását. A két eredmény gyakorlatilag megegyezik, ahogy ezt a 3.9(b) ábrán felvázolt összehasonlítás is mutatja, ami a hiszterézis által határolt terület alakulását ábrázolja az indukció függvényében. Ez a jó egyezés a modell felépítése révén várható is volt. 1.4 18.7 135 B [T] w [J/m 3 ] 9.7 45 1.4 2 1 1 2 H [A/m] (a) A mért és szimulált hurkok.2.5.8 1.1 1.4 B [T] (b) A hiszterézishurok alatti terület 3.9. ábra. Mért és szimulált koncentrikus görbék összevetése (mérés:, szimuláció: ) A 3.1 ábrán egy mért és szimulált magasabb rendű minorgörbe alakulása látható. A két görbe jellege azonos, azonban némi különbség tapasztalható a mérés és a szimuláció között. Ugyanezen különbség fellelhető az összes mért minorgörbe kapcsán. Ennek oka az, hogy a modell statikus modell, azaz a bemeneti jel változási sebességét nem veszi figyelembe. A modell kimenete a 3.9(a) ábrán látható külső görbe alakjának megfelelően alakul, a minor görbék pedig ezen belül jelennek meg. A mérés ehhez képest kicsit szélesebb. Ez a különbség azzal magyarázható, hogy a méréshez használt toroid keresztmetszete kellően nagy ahhoz, hogy az f = 1 Hz-es frekvencián végzett mérést a kialakuló örvényáramok már módosítsák. A 3.11 ábrán látható, hogy a különféle minorhurkok méréséhez használt görbe változási sebessége nagyobb, mint az identifikációhoz használt szinuszos lefutású jelé ugyanazon működési frekvencia mellett. 4

1.4.7 Mért görbe Szimuláció B [T].7 1.4 2 1 1 2 H [A/m] 3.1. ábra. Mért és szimulált minor hurkok összevetése 1.4.7 B [T].7 Szinuszos B(t) Minorhurok 1.4.25.5 t [s].75 1 3.11. ábra. A minorhurkok méréshez használt jel gyorsabban változik, mint az identifikációhoz használt jelé 3.2. A vektor hiszterézis karakterisztika 3.2.1. A jelenség mérés útján történő vizsgálata A mérési elrendezés bemutatása A kutatómunka során a 3.12 ábrán látható ún. RRSST rendszert építettem, amely alkalmas a vektoriális hiszterézis jelenségének mérésére. Az RRSST a Round shaped Rotational Single Sheet Tester elnevezésből származik, azaz egy olyan forgó mágneses tér előállítására alkalmas eszköz, amelybe kör alakú próbatestet lehet helyezni. Az elrendezés lelke egy átalakított villamos gép, melynek forgórészét eltávolítottam, s tekercsrendszerét lecseréltem. A forgórész helyén lehet elhelyezni a kör alakú, maximum 41

3.12. ábra. A realizált vektoriális hiszterézis mérésére alkalmas elrendezés blokkvázlata 8 mm átmérőjű próbatestet, melynek vastagsága 1 mm (l. még 3.13 ábra). A próbatest ez esetben is lágymágneses anyagból készült. Az állórész és a próbatest között 1 mm-es légrés van, mert a próbatest átmérője 78 mm (l. 3.14 ábra). A háromfázisú tekercselést kétfázisúra cseréltem, melynek speciális kialakítása (3.15 ábra) biztosítja, hogy a motor belsejében homogén mágneses tér alakul ki. A berendezésen belül kialakuló mágneses tér előállítását két, egymástól függetlenül vezérelhető áramgenerátor szolgáltatja, melyek árama számítógép segítségével szabályozható. A próbatestben létrejövő H(t) mágneses térerősség és B(t) mágneses indukció mérésére alkalmas szenzorok jelét szintén a számítógépbe helyezett National Instruments mérőkártya gyűjti össze. Ebben az esetben is a számítógépen futó, általam LabVIEW környezetben kifejlesztett eljáráscsomag felügyeli a mérést. A mérések során felhasznált eszközök részletes bemutatása az A. függelékben tekinthető meg. 3.13. ábra. A mérési elrendezés, a próbatest és a szenzorok elhelyezése A mágneses térerősség ortogonális komponenseit mérő szenzor négy tekercsből áll, melyből kettő-kettő méri az x és y komponensek értékét a következő módon. A mágneses térerősség tangenciális komponense folytonos két különböző anyaggal kitöltött közeg határán, azaz a próbatest felszínén, s a próbatest felszínével párhuzamos komponenst kell mérni. Közvetlenül a próbatest felszínén azonban tekercs segítségével nem lehet mérést végezni. Végeselemes szimulációk segítségével igazoltam, hogy a próbatest felszínéhez közel a mágneses térerősség a próbatesttől távolodva közel lineárisan változik. Ha 42

3.14. ábra. A próbatest és a B-tekercsek méretei 3.15. ábra. A speciális tekercsrendszer a menetszámokkal tehát két mérési eredmény rendelkezésre áll, akkor egy egyenes egyenletéből a mágneses térerősség a próbatest felszínén egyszerű lineáris extrapolációval számítható [87,89]. Az x komponens mérésére szolgáló két tekercs menetszáma N Hx,1 = 81 illetve N Hx,2 = 82, az y komponenset mérő két tekercs menetszáma pedig N Hy,1 = 8 és N Hy,2 = 82. Az egyes tekercsek hatásos keresztmetszetét szolenoiddal valamint Helmholtz-tekerccsel történő kalibrációval határoztam meg (l. A. függelék), ezek a következők: S Hx,1 = 3,12764 1 5 m 2, S Hx,2 = S Hy,1 = S Hy,2 = 2,93842 1 5 m 2. Az egyes tekercsek által mért mágneses térerősség értéke a H(t) = H + 1 S N µ t u(τ) dτ (3.8) összefüggés szerint számítható, ahol H az integrálási konstans, S és N a fent említett hatásos felület és menetszám, µ = 4π 1 7 H a vákuum permeabilitása, u(t) pedig az m egyes tekercsek által mért indukált feszültség. A fenti integrálás tehát négy mágneses térerősség időfüggvényt ad. Az egyes tekercsek felülettől mért távolsága a következő: z Hx,1 = 9,85 mm, z Hx,2 = 2,25 mm, z Hy,1 = 7,25 mm, z Hy,2 = 4,75 mm. Ezen adatok, 43

valamint a mérési eredmények birtokában a mágneses térerősség két komponense lineáris extrapolációval számítható, azaz és H x (t) = H x,2(t) z Hx,1 H x,1 (t) z Hx,2 z Hx,1 z Hx,2, (3.9) H y (t) = H y,2(t) z Hy,1 H y,1 (t) z Hy,2 z Hy,1 z Hy,2, (3.1) amit a 3.16 ábra illusztrál, és H 1 = H x,1 (t), H 2 = H x,2 (t), z 1 = z Hx,1, z 2 = z Hx,2 a H x (t) számítása során, valamint H 1 = H y,1 (t), H 2 = H y,2 (t), z 1 = z Hy,1, z 2 = z Hy,2 a H y (t) komponens meghatározásakor. A négy tekercs elrendezése a 3.13 ábrán is látható. 3.16. ábra. A két H-szenzor elhelyezkedése A mágneses indukció két ortogonális komponensét egy-egy tekercs méri, amelyek a próbatestbe fúrt kicsiny lyukakon keresztül fűzhetők át. A két tekercs elhelyezkedését a 3.14 ábra mutatja. Ezek menetszáma N Bx = N By = 2, keresztmetszetük pedig S Bx = S By = 2 1 5 m 2. Az általuk mért mágneses indukció komponensek a következő összefüggéssel számíthatók: B(t) = B + 1 S N t u(τ) dτ, (3.11) ahol B az integrálási konstans, S és N pedig a fenti keresztmetszeti és menetszám adatok. Zajszűrés A (3.8) és (3.11) integrálokból látható, hogy mind a mágneses térerősség, mind a mágneses indukció meghatározása indukált feszültség mérésére vezethető vissza. Előbbi jele különösen zajos, utóbbi értéke viszont könnyebben mérhető, de érzékelhető zajjal terhelt. A mágneses térerősséghez tartozó indukált feszültséget a próbatest felett a levegőben elhelyezett tekercs méri, levegőben viszont nagyon kicsi a fluxusváltozás, s a mérőszenzor méretei sem túl nagyok. Emiatt a zaj sokkal nagyobb mértékben jelentkezik, gyakorlatilag a jel a zajban elveszik (l. A.6 ábra). A mágneses indukció meghatározásához mért indukált feszültség a nagy permeabilitású próbatestben kialakuló fluxusváltozás eredménye, amely sokkal kényelmesebben mérhető, de a zaj hasonló e- redményeket szül (időben növekvő offszet), mint a skalár hiszterézis mérésekor. Ezen problémák a skalár hiszterézis mérésekor is használt Fourier-transzformáción és digitális szűrési technikán alapuló eljárással nagyon hatékonyan feloldhatók. Ebben az esetben azonban hat csatorna jelét kell szűrni, de a technika ugyanaz. 44

A szabályozó algoritmus A gerjesztő áramokat szabályozóval kell hangolni úgy, hogy közben a mágneses indukció vektor vagy a mágneses térerősség vektor két ortogonális komponensének időfüggvénye előre definiált időbeli lefutású legyen. Vektoriális hiszterézis karakterisztika mérése során ugyanis sem a mágneses térerősség sem a mágneses indukció nincs olyan egyszerű kapcsolatban egymással mint ahogy a skaláris esetben. A szabályozást megvalósító proporcionális típusú szabályozó algoritmus alább bemutatott formája mindezt automatikusan megvalósítja. A szabályozó lépései a következők (3.17 ábra): 1. Inicializálás: szinuszos lefutású áramjelekkel indul a mérés, azaz i x (t) és i y (t) csúcsértéke, frekvenciája és fázisa megadható; 2. A mágneses térerősség és a mágneses indukció mérése a fenti szűrési technikával; 3. A B(t) mért és a B ref (t) előre definiált mágneses indukció időfüggvényének összehasonlítása, ami egy B(t) hibafüggvényt eredményez, amelynek itt természetesen két komponense van, B(t) = B(t) B ref (t); (3.12) 4. A két áramjel megváltoztatása a P B(t) jelekkel, ami egy proporcionális szabályozót definiál ( < P < 1, [P] = A T ); 5. Ha B(t) átlaga nem éri el a kívánt értéket visszalépés a 2. pontra. Ugyanezen algoritmussal tetszőleges H ref (t) trajektória is elérhető. 3.17. ábra. A mérőrendszer szabályozása visszacsatolással Az x és az ortogonális y irányban mért hiszterézis karakterisztikák a 3.18 ábrán láthatók. A mérés során a mágneses indukció időfüggvényét szabályoztam oly módon, hogy az szinuszos időbeli lefutású legyen. Az ábrából kitűnik, hogy ugyanazon mágneses indukcióértékhez az y irányban nagyobb mágneses térerősség szükségeltetik, azaz a vizsgált anyag az y irányban kis mértékben nehezebben mágnesezhető, mint az x irányban. Megjegyzem, hogy az anyag a gyártó szerint izotróp, de a vizsgálat tárgyát képező próbatest lemeze hengereléssel készült, s a hengerelés iránya egybeesik az x tengely irányával. A gyártási technológiából eredő kicsiny anizotrópia jól érzékelhető a mérés 45

1.8 1.8.9.9 B x [T] B y [T].9.9 1.8 1.5.5 1 H [A/m] x 1 4 x 1.8 1.5.5 1 H [A/m] x 1 4 y 3.18. ábra. Az x és az y irányban mért hiszterézis karakterisztikák 1 1.5.5 F x (α,β).5 F y (α,β).5 1 1.5 β.5 1 1.5 α.5 1 1 1.5 β.5 1 1.5 α.5 1 3.19. ábra. Az x és az y irányban mért Everett-függvények során [95,215,216]. A mért koncentrikus görbékből származtatott Everett-függvények a 3.19 ábrán láthatók. Az elvégzett mérésekből a következő következtetést lehet levonni. A mért hiszterézis karakterisztikák π szerint periodikusan ismétlődnek amidőn a gerjesztés irányát elforgatjuk az x tengelyhez képest, továbbá az x tengelyre szimmetrikusak. Mindezek természetesen az Everett-függvényekre is igazak: F(α, β, ϕ + π) = F(α, β, ϕ), (3.13) F(α, β, ϕ) = F(α, β, ϕ). (3.14) Ezen két feltételt az F(α, β, ϕ) = Fx(α, 2 β) cos 2 ϕ + Fy 2 (α, β) sin 2 ϕ (3.15) interpolációs függvény kielégíti, s tapasztalatok szerint a kismértékű anizotrópiával bíró Everett-függvények mérési iránytól való függését kiválóan kezeli. A szabályozó megfelelő működését bizonyítja a 3.2(a) ábrán látható bonyolult mágneses indukció szabályozással történő elérése, melyre a rendszer válasza, azaz a mágneses térerősség a 3.2(b) ábrán látható. A kidolgozott vektormodell validációja során további mérési eredményeket is bemutatok (l. 3.2.4. fejezet). 46

1.2 12.6 6 B y [T] H y [A/m].6 6 1.2 1.2.6.6 1.2 B [T] x 12 12 6 6 12 H [A/m] x (a) A mágneses indukció (b) A mágneses térerősség 3.2. ábra. Bonyolult mágneses indukció trajektóriára adott mágneses térerősség 3.2.2. A modell bemutatása A vektoriális hiszterézis modell építőköve a 3.1. fejezetben bemutatott skalár Preisachmodell. A vektormodell ugyanis skalármodellek szuperpozíciójaként építhető fel a következő módon (l. 2.7 ábra a 2.1. fejezetben): H(t) = π/2 π/2 e ϕ H ϕ (t) dϕ = π/2 π/2 e ϕ B{B ϕ (t)} dϕ. (3.16) A fenti integrálkifejezés szerint a vektormodell kimenetét a kétdimenziós síkban értelmezett [ π/2,, π/2] intervallumban egyenletesen az e ϕ egységvektor által definiált irányokban egy-egy skalármodellt futtatva, azok kimenetét vektoriálisan összegezve kapjuk meg. Jelen dolgozat fő témája a kétdimenziós vektormodell, ezért itt csak erre fókuszálok. Ezen összefüggést számítógépre vinni a H(t) = n e ϕi B{B ϕi (t)} ϕ (3.17) i=1 közelítéssel lehet, ahol ϕ i = π 2 + i 1 π, i = 1,, n, (3.18) n a [ π/2,, π/2] intervallumban ekvidisztánsan felvett irányokat adja meg az e ϕi egységvektorral, azaz n számú skalármodell szükséges a vektormodell felállításához. A klasszikus vektormodell esetén ahogy azt a 2.1. fejezetben is bemutattam az egyes skalármodellek bemenete a vektormodell bemenetére adott B(t) vektor e ϕ irányába eső vetülete, azaz B ϕi (t) = B(t) cos(ϑ B ϕ i ) = B x (t) cosϕ i + B y (t) sin ϕ i, (3.19) ahol B x (t) és B y (t) a B(t) vektor két ortogonális komponense. Ehelyett azonban célszerű alkalmazni a következő vetületképzési módot: B ϕi (t) = B x (t) sign(cosϕ i ) cosϕ i 1/w + B y (t) sign(sin ϕ i ) sinϕ i 1/w. (3.2) 47

Amennyiben a w paraméter értéke 1, akkor a klasszikus modellt kapjuk vissza. A w paraméter segítségével lehetőség nyílik a cirkulárisan polarizált eredmények pontosabb szimulációjára, w = 1 esetén ugyanis a bemenet és a kimenet hasonló jelleg szerint alakul. Ekkor a bemeneti jel cirkuláris, és a kimeneti jel is cirkuláris, habár köztük fáziskésleltetés tapasztalható. Mérési eredmények viszont azt mutatják, hogy szabályozott cirkulárisan polarizált indukció mellett a mágneses térerősség nem kör alakot vesz fel, hanem bizonyos irányokban kisebb-nagyobb mértékben eltér attól. Az eltérés mértéke az anyag gyártási folyamata során szerzett anizotrópiájától függ. Az említett jelenségre a 3.2.4. fejezetben mutatok mérési eredményeket. A fenti összefüggést izotróp modell esetére dolgozták ki, ahogy azt az irodalmi összefoglalóban is közöltem. Itt ennek egy egytengelyű anizotrópiával bíró anyag modellezésére alkalmas általánosításával foglalkozom. 3.2.3. A modell identifikációja A mérési eredményekkel is alátámasztott (3.13) periodicitási- és (3.14) szimmetriafeltételezésből kiindulva a mért Everett-függvények Fourier-sorba fejtése kézenfekvő. A Fourier-sorral való approximáció lehetővé teszi a mért Everett-függvény a mérés irányától való függésének eliminálását, miáltal a modell identifikációja egyszerűsödik. A következő sorfejtés alkalmazható: F(α, β, ϕ) = m F m (α, β) cos(2mϕ), (3.21) ahol az F m (α, β) Fourier-együtthatók a mérési eredményekből meghatározhatók. Az F (α, β) állandó összetevő az F (α, β) = 2 π = ϕ π π/2 ( F(α, β, ϕ) dϕ F(α, β, ) + F ( α, β, π ) 2 ) n 1 (3.22) + 2 F(α, β, ϕ j ) definíciós formula alapján számítható, azt trapézmódszerrel közelítve. A harmonikus komponensek definíciós összefüggése szintén a trapézszabállyal approximálható: F m (α, β) = 4 π π/2 = 2 ϕ π j=1 F(α, β, ϕ) cos(2mϕ) dϕ ( ) ( F(α, β, ) + ( 1) m F α, β, π ) n 1 + 2 F(α, β, ϕ j ) cos(2mϕ j ). 2 Az állandó összetevő és az alapharmonikus összege, azaz az j=1 (3.23) F(α, β, ϕ) = F (α, β) + F 1 (α, β) cos(2ϕ) (3.24) közelítés 5 1 4 nagyságrendű relatív hibával approximálja a mérési eredményeket. Ezen két harmonikus komponens is egy-egy Everett-függvényt definiál, melyek a 3.21 ábrán láthatók. 48

1.4.5.2 F (α,β).5 F 1 (α,β).2 1 1.5 β.5 1 1.5 α.5 1.4 1.5 β.5 1 1.5 α.5 1 3.21. ábra. A Fourier-sorfejtés eredményeképp kapott F (α, β) és F 1 (α, β) Everettfüggvények Belátható, hogy az egyes irányokban az ismeretlen Everett-függvények hasonlóképp Fourier-sorba fejthetők, s hogy E(α, β, ϕ) = E (α, β) + E 1 (α, β) cos(2ϕ) (3.25) alakban előállíthatók. Ez nagymértékben megkönnyíti az identifikációt. Az identifikáció alapja ugyanis a bevezetőben ismertetett F(α, β) = π/2 π/2 cosϕe(α cosϕ, β cosϕ) dϕ (3.26) összefüggés, amely izotróp esetben érvényes, s az egyes harmonikusok között a következő alakú kapcsolat áll fenn: F m (α, β) = π/2 π/2 cosϕ cos(2mϕ)e m (α cos 1/w ϕ, β cos 1/w ϕ) dϕ, (3.27) amely tartalmazza az új w paramétert is. Az identifikáció nehézsége abban áll, hogy az ismeretlen Everett-függvény az integranduszon belül szerepel. Az identifikációs algoritmus a B. függelékben található, ahol részletesen bemutatom az izotróp esetre vonatkozó eljárást, amelyben a w paramétert is alkalmazom. A fenti összefüggésből látható, hogy a cos(2mϕ) az m értékétől függően változik. Ez azonban elvi nehézséget nem okoz az algoritmus alkalmazása során, hiszen a jobb oldalon nem az E(α cos 1/w ϕ, β cos 1/w ϕ) integrandusszal kell számolni, hanem a cos(2mϕ)e m (α cos 1/w ϕ, β cos 1/w ϕ) bővített taggal. A (3.27) integrálegyenlet tetszőleges w mellett megoldható, amelynek kapcsolata van a mérési eredményekkel, megjegyzem ugyanakkor, hogy a paraméter értéke általában nem sokkal nagyobb 1-nél. Fontos megjegyeznem, hogy a w paraméter kapcsán több lehetőség is felmerül az identifikáció során. Lehetőség van arra, hogy minden m értékhez ugyanazon w tartozzék, vagy ellenkezőleg, minden m-hez különböző w m tartozzék. Az identifikációs algoritmus végezetül a következő: 1. Az algoritmus w = 1-gyel (w m = 1) indul; 49

2. Az E m (α, β) Fourier-együtthatók meghatározása a (3.27) integrálegyenletnek megfelelően; 3. Cirkulárisan polarizált mérési eredményekkel gerjesztve a vektormodellt a w (vagy w m ) paraméterek meghatározhatók a Nelder-Mead szimplex módszer segítségével; 4. Amennyiben a mérési eredmények és a szimulációs adatok közti eltérés nem megfelelő, az algoritmus a 2. lépéstől kezdve újabb iterációval folytatdódik. Az identifikáció mindössze pár percet vesz igénybe. A kétdimenziós vektormodell felépítése során n = 28 irányt használtam. Az optimalizáció eredményeképp kapott modellparaméterek az alábbiak, ha az egyes Fourieregyütthatók meghatározása során különböző w paramétert használtam: w = 1,17, és w 1 = 1,1786. Ha mindkét Fourier-együttható esetében ugyanazon w paramétert használom, akkor w = w 1 = 1,176 az identifikációs algoritmus eredménye. Ezen eredményekből látható, hogy a w 1 paraméter módosítása nem sokban befolyásolja a szimulációs eredményeket, ami a 3.22 ábra kapcsán világos, hiszen az E 1 (α, β) függvény két nagyságrenddel kisebb, mint az E (α, β) Everett-függvény. Ha az anizotróp jelleg jobban érzékelhető lenne, a különbség is nagyobb lenne, hiszen a két Fourier-együttható különböző súllyal vesz részt az irányfüggés modellezésében. x 1 3.2 6.1 3 E (α,β).1 E 1 (α,β) 3.2 1.5 β.5 1 1.5 α.5 1 6 1.5 β.5 1 1.5.5 1 α 3.22. ábra. Az identifikáció eredményeképp kapott E (α, β) és E 1 (α, β) Fourieregyüthatók 3.2.4. A modell verifikációja A 3.23(a) és a 3.23(b) ábrákon látható, hogy az x és az y irányban mért és számított karakterisztikák jó egyezést mutatnak. Az is látható, hogy az egyes irányokban a karakterisztikák nem azonosak az anyag anizotrópiájának megfelelően. Ez a jellegzetes viselkedés izotróp anyagmodellel nem írható le ilyen jó egyezéssel. A 3.24 ábrán az óramutató járásával ellentétes irányban forgatott mágneses indukció eredményeképp kialakuló mágneses térerősség vektorának trajektóriája látható. Itt is jól kivehető, hogy az y irányban a mágneses térerősség értéke kismértékben nagyobb, habár a mágneses indukció vektora kört ír el. Az óramutató járásával egyező irányú forgatás eredményeképp kapott mérési adatok ezeknek az y tengelyre vett tükörképei. 5

A 3.25(a) ábra bonyolultabb trajektóriát mutat, amely mentén a mágneses indukció vektorának végpontja szabályozás révén végigfut. A trajektória az alapharmonikus mellett magasabb harmonikust is tartalmaz, amelynek következtében alakul ki a ±45 -os és a ±135 -os irányokban egy-egy leszívás. A mágneses térerősség vektora szintén bonyolult pályát ír le, ahogy az a 3.25(b) ábrán is látható. A modell kimenete kis hibával ugyan, de hűen követi a mért mágneses térerősség alakulását. A próbatest anizotróp viselkedése itt is megmutatkozik, hiszen a kimenet az x irányban kissé lapított. 1.6 1.6.8.8 B x [T] B y [T].8.8 1.6 2 1 1 2 H [A/m] x 1.6 2 1 1 2 H [A/m] y (a) Az x irány (b) Az y irány 3.23. ábra. Az x és az y irányban mért és szimulált koncentrikus görbék összehasonlítása (mérés:, számított: ) 6 3 H y [A/m] 3 6 6 3 3 6 H [A/m] x 3.24. ábra. A forgó mágneses térben mért és szimulált eredmények összehasonlítása (mérés:, számított: ) 51

1.6 16.8 8 B y [T] H y [A]/m.8 8 1.6 1.6.8.8 1.6 B [T] x 16 16 8 8 16 H [A]/m x (a) A mágneses indukció (b) A mért és szimulált mágneses térerősség 3.25. ábra. Bonyolult mágneses indukció trajektóriára adott mágneses térerősség (mérés:, számított: ) 3.3. A tudományos eredmények összefoglalása 1. Tézis A skalár hiszterézis karakterisztika mérésének egyszerűsítése, javítása és a mérési adatok eredményesebb felhasználása céljából olyan Fourier-transzformáción és digitális szűrési technikán alapuló eljárást implementáltam, amely lényegesen elősegíti a hiszterézismodellek identifikációját. A kidolgozott szabályozóval tetszőleges időbeli lefutású mágneses indukció előállítható. A javasolt technikák a bonyolultabb vektoriális hiszterézis karakterisztika mérése során még nagyobb jelentőséggel bírnak, mivel a mért jelek sokkal zajosabbak. A mérési adatok alapján realizáltam a Preisach-féle hiszterézismodell egy, a mérnöki szimulációkban rendkívül előnyösen alkalmazható verzióját, amely kis futási ideje mellett nagy pontossággal bír. A gyors futási időt a lépcsősgörbe alkalmas szervezésével és párhuzamos kezelésével, a pontosságot pedig az Everett-függvény spline technikán alapuló közelítésével biztosítottam. Kidolgoztam az izotróp és az anizotróp vektor Preisach-modell egy általánosítását, amely alkalmas a forgó mágnesezési folyamatok még pontosabb leírására, a modellek identifikációjára pedig eljárást javasoltam. Az egyes modellek elemzésén túl a modellek saját mérési eredményekkel történő összevetésével igazoltam elméleti eredményeim helyességét. 1.a A skalár hiszterézis karakterisztika mérésére egy automatizált mérési elrendezést dolgoztam ki, amely a különféle hiszterézismodellek identifikációjához szükséges tanítási mintahalmazt felveszi. A zajjal terhelt mért jelekből a zavaró összetevőket egy Fourier-transzformáción és digitális elveken megvalósított szűrési technikával tökéletesen elimináltam. Az előre definiált jelalakú mágneses indukció elérésére egy proporcionális szabályozó eljárást implementáltam, amelynek robusztusságát nagymértékben befolyásolja a szűrés sikeressége. 1.b A skalár hiszterézis karakterisztika modellezésére a frekvenciafüggetlen Preisachmodellt alkalmaztam oly módon implementálva, hogy az gyors és pontos legyen a mérnöki szimulációkban. A megvalósított modell képes kihasználni a mai párhuzamos számítástechnika előnyeit. A modell felállítása során az Everett-függvényt 52

identifikáltam, ami tökéletes egyezést biztosít a mért és a szimulált eredmények között. 1.c Kidolgoztam a vektoriális hiszterézis karakterisztika mérésére alkalmas automatizált mérési elrendezést, amely alkalmas a kialakuló mágneses tér rögzítésére egy kör alakú próbatestben. Realizáltam a mérések pontos elvégzéséhez szükséges szenzorokat. A szenzorok jele ebben a mérésben gyakorlatilag elveszik a környezeti zajban, emiatt a skalár mérésnél kidolgozott szűrési technika itt még nagyobb jelentőségű volt. A vektoriális mérések során nemcsak a mágneses indukció, de a mágneses térerősség előírt jelalakja is csak szabályozással érhető el. Ezen oknál fogva általánosítottam a skalár mérésnél alkalmazott proporcionális szabályozót. Az általam implementált mérési elrendezés kiválóan alkalmas a vektoriális karakterisztika felvételére, s a vektoriális hiszterézis modellek identifikációjához szükséges minták előállítására. 1.d A klasszikus izotróp vektoriális Preisach-hiszerézismodellt általánosítottam oly módon, hogy egy új paraméter bevezetésével az alkalmas legyen a forgó mágnesezési folyamatok pontosabb leírására. Az izotróp modell identifikációjára általam korábban kidolgozott eljárást ennek megfelelően módosítottam. A klasszikus anizotróp vektoriális Preisach-hiszerézismodellt pedig általánosítottam oly módon, hogy az alkalmas legyen az egytengelyű anizotrópia kezelésére úgy, hogy a forgó mágnesezési folyamatok során tapasztalható jelenségek leírása még pontosabb legyen. Ezt a mért Everett-függvények Fourier-sorba fejtésével értem el, s az izotróp modellre alkalmazható identifikációs technikát tudtam alkalmazni, de ebben az esetben több paramétert kell a forgó mágnesezési folyamatok alapján identifikálni. A modellek kimeneti jelét saját mérési eredményekkel vetettem össze, ami igazolta elméleti eredményeim helyességét. 53

4. fejezet A hiszterézis karakterisztika illesztése numerikus technikákhoz A 3. fejezetben egy nagyon hatékony, a mérési eredmények alapján viszonylag egyszerűen identifikálható, és a mérnöki számításokban kiválóan alkalmazható hiszterézis modellt dolgoztam ki. A bevezetőben röviden felvázoltam a lineáris statikus mágneses tér és a lineáris örvényáramú tér számítására alkalmas potenciálformalizmusokat. Ebben a fejezetben a mágnesezési karakterisztika modellezésére alkalmas eljárásokat és a numerikus térszámítást kapcsolom össze egy stabil, konvergens és egyszerűen implementálható technikával, a fixpontos módszerrel. A fixpontos technika az egyik legelterjedtebben alkalmazott módszer olyan nemlineáris numerikus térszimulációt igénylő problémák megoldására, amelyekben a nemlinearitás bonyolult, hiszterézis jellegű karakterisztika által definiált. A fixpontos módszernek számos előnye van: (i) Tetszőleges monoton, Lipschitz-folytonos nemlinearitás mellett bizonyítottan konvergens technika, és a nemlineáris karakterisztika inflexiós pontot is tartalmazhat, ahogy a hiszterézis görbe is; (ii) A karakterisztika nem kell, hogy sima függvény legyen, szakaszonként lineáris függvény is alkalmazható; (iii) Tetszőleges kiindulási értékből indítható; (iv) A diszkretizáció eredményeképp felírt egyenletrendszer jobb oldala módosul az iterációs lépések során, a bal oldalon álló mátrixot csak egyszer kell feltölteni. A módszer hátránya, hogy rendkívül lassú a konvergenciája, vagyis a nemlineáris elektrodinamikai problémák megoldása időigényes. A fixpontos módszer alkalmazásához a nemlineáris konstitúciós relációt a polarizációs formulának megfelelően fel kell bontani egy lineáris komponensre, amely a modell bemeneti változójának lineáris függvénye, és egy nemlineáris tagra, amely a karakterisztikától függ, s amely a fixpontos nemlineáris iteráció eredményeképp számítható. A nemlineáris egyenletrendszert így tehát linearizálni lehet, amit aztán iteratív módon kell megoldani. A fejezet végén mutatom be a T áram-vektorpotenciál számítására alkalmas, általam kidolgozott szabad potenciálformalizmust, amely élmenti végeselemekkel implementálható, s amely alkalmas a modern szabad formalizmusokban történő alkalmazásra. 54

4.1. A fixpontos technika rövid bemutatása A fixpontos módszer a nemlineáris egyenletekből álló egyenletrendszer x = f(x) (4.1) alakban felírt formuláját iteratívan oldja meg a szukcesszív approximációnak, azaz az x (n) = f(x (n 1) ) (4.2) iterációsorozatnak megfelelően, ahol az n-edik iteráció eredménye függ az (n 1)-edik iterációs lépés eredményétől, x az ismeretleneket tartalmazó oszlopvektor, f( ) pedig a nemlineáris leképezés fixpontos alakja. A fixpontos technika a 4.1 ábrán látható egyismeretlenes esetben akkor konvergál a c = f(c) fixponthoz, azaz az x = f(x) egyenlet megoldásához, ha található olyan I intervallum, ahol az y = f(x) függvény deiváltja nem nagyobb, mint az y = x függvény deriváltja, azaz, ha teljesül a df(x) dx < 1 (4.3) feltétel. Ekkor az x (n+1) = f(x (n) ) iterációs sorozat tetszőleges x I pontból indítható és n =, 1, 2. A 4.1 ábrából az is kitűnik, hogy minél laposabb az f(x) függvény, azaz a deriváltja minél közelebb van a nullához, a konvergencia annál gyorsabb. Általánosan a (4.3) feltétel a következő módon fogalmazható meg: f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 < 1, x 1, x 2 I. (4.4) Az utóbbi formula alapján a kontrakció definíciója is felírható: f(x 1 ) f(x 2 ) q x 1 x 2, x 1, x 2 I, (4.5) y y = x c = f(c) y = f(x) c x 2 x 1 x x 4.1. ábra. Kontraktív leképezés esetén a fixpontos módszer a c = f(c) fixponthoz konvergál 55

és < q < 1. Amennyiben ez a feltétel teljesül, úgy az f(x) függvényt kontraktív leképezésnek, vagy kontrakciónak hívjuk, mert az csökkenti az x 1 és x 2 pontok közötti távolságot. A kontraktív leképezés konvergens x (n+1) = f(x (n) ) (n ) iteratív eljárást eredményez, amely az x = f(x) egyenlet megoldásához konvergál. A 4.2 ábra egy divergens iterációs sorozatot mutat, amikor a kontrakció feltétele nem teljesül. y y = f(x) y = x c = f(c) c x x 1 x 4.2. ábra. Amennyiben az y = f(x) leképezés nem kontraktív, úgy az iteráció divergens Tetszőleges F(x) = alakú egyenlet átalakítható az x = f(x) alakra a következő módon: x n+1 = x n λf(x n ) f(x n ), n =, 1,, (4.6) ahol a λ paraméter alkalmas megválasztásával az f(x) függvény kontraktív, azaz a konvergencia biztosítható. 4.2. A polarizációs formula A mágneses indukció a 4.3 ábrán látható módon felbontható egy lineáris és egy nemlineáris komponens összegére: B = µ H + R, (4.7) ahol µ konstans, azaz az első tag lineáris és a mágneses térerősség függvénye, továbbá az R komponens rejti magában a nemlinearitást, ami a karakterisztikától függ. A µ természetesen lehet tenzor is, ha anizotróp a karakterisztika, de ebben a dolgozatban a tenzor elemei ekkor is konstans értékek. Ezt a formulát az R = B µ H (4.8) alakban is fel lehet írni. Ebből kiindulva két lehetőség is kínálkozik. A mágneses térerősség inverz hiszterézis karakterisztikával történő kifejezése az R = B µb{ B} = f BR { B} (4.9) 56

4.3. ábra. A mágneses indukció felbontható egy lineáris és egy nemlineáris komponens összegére formulát eredményezi, ami alakilag megegyezik a (4.6) egyenlettel, s amely a µ alkalmas megválasztása mellett kontraktív leképezés. A másik lehetőség a direkt karakterisztika alkalmazása, vagyis R = H { H} µ H = f HR { H}. (4.1) A (4.9) egyenletből kiindulva belátható, hogy µ optimális értéke, amely globálisan konvergens iterációs sémát eredményez, az alábbi: µ o = 2 µ max µ min µ max + µ min, (4.11) ahol µ max és µ min a direkt karakterisztika meredekségének a maximális és a minimális értéke. Ekkor a (4.9) leképezés kontrakció. A (4.1) összefüggés szerint felírt leképezésben szereplő µ paraméter optimális értékét a fejezet végén közlöm. Ha a karakterisztika anizotróp, akkor mindhárom irányban külön-külön meg kell határozni µ o értékét, s ezen értékek adják a permeabilitás tenzorának diagonális elemeit. Ha a karakterisztika izotróp, akkor mindhárom irányban ugyanazon optimális érték adódik. Az indexben szereplő o betű az optimális értékre utal. A mágneses térerősség a fentiekkel analóg módon felírható a következő alakban: H = ν B + I, (4.12) ahol ν konstans és I nemlineáris. Ez az összeg átrendezhető az I = H ν B (4.13) alakra, ahonnan szintén két formula írható fel. A direkt karakterisztikát alkalmazva: I = H νh { H} = f HI { H}. (4.14) 57

Ez a formula alakilag megegyezik a (4.6) egyenlettel, s alkalmas a ν paraméter optimális értékének meghatározására. Belátható ugyanis, hogy a (4.14) leképezés kontraktív, ha ν o = 2 ν max ν min ν max + ν min, (4.15) s ennek eredményeképp az iterációs séma globálisan konvergens. Itt ν max és ν min az inverz karakterisztika meredekségének maximális és minimális értéke. A másik lehetőség az inverz karakterisztika alkalmazása a (4.13) összefüggésben, azaz I = B{ B} ν B = f BI { B}, (4.16) amely a (4.9) összefüggésből is származtatható ν = 1/µ-vel való beszorzással és I = ν R helyettesítéssel. Az alkamas optimális ν érték így (4.11) reciprokaként határozható meg, ν o = ν max + ν min, (4.17) 2 hiszen ν max = 1/µ min és ν min = 1/µ max. Ennek analógiájára a (4.1) összefüggésben szereplő µ paraméter optimális értéke µ o = µ max + µ min. (4.18) 2 A µ o és ν o értékek meghatározása és alkalmazása egymással tehát teljesen analóg. Az R vektor számítható (4.9) vagy (4.1) alapján, miközben µ optimális értéke (4.11) vagy (4.18) szerint állítható be. Azaz R az inverz karakterisztika és a direkt karakterisztika alapján is számítható más-más optimális permeabilitás értékkel. Ugyanez mondható el az I vektor esetében is. Mindent összegezve összesen négy lehetséges iterációs séma adható meg, amelyeket a 4.4. fejezetben foglalom össze. 4.3. A polarizációs formula alkalmazása a potenciálformalizmusokban A bevezetőben bemutatott Maxwell-egyenletekben szereplő (2.17) konstitúciós relációk mindegyike felírható tehát egy-egy összeg formájában a (4.7), vagy a (4.12) polarizációs formula szerint. Az előző fejezetben megmutattam, hogy a polarizációs formulában szereplő paraméterek alkalmas megválasztásával a leképezés kontraktív, ami a fixpontos iterációs séma szempontjából rendkívül fontos, hiszen így lesz a séma konvergens. A polarizációs formula Maxwell-egyenletekbe történő helyettesítése a bevezetőben bemutatott potenciálok által különféle formalizmusokat eredményez a nemlineáris elektromágneses tér számítására. Az áram-vektorpotenciál és a mágneses skalárpotenciál segítségével a mágneses térerősség kifejezhető a H = T + T Φ alakban. Ezen összefüggés (4.7) polarizációs formulába történő helyettesítése a mágneses indukció következő kifejezését szolgáltatja: B = µ H + R = µ( T + T Φ) + R. (4.19) 58

Természetesen a nemlineáris örvényáramoktól mentes tartományban T hiányzik a felírásban. A fenti kifejezést a Maxwell-egyenletekbe helyettesítve, s azokat megoldva a mágneses térerősség számítható közvetlenül, de a mágneses indukció is közelíthető a 4.4. fejezetben javasolt módon, azaz H = M { R}, illetve B = M { R}, (4.2) itt az M { } operátor jelöli a Maxwell-egyenletek valamely potenciálformalizmussal történő reprezentálását. A H ezután a (4.1), a B pedig a (4.9) egyenletbe helyettesíthető, aminek eredménye egy-egy fixpontos alakban felírható egyenlet, R = f HR {M { R}}, illetve R = f BR {M { R}}. (4.21) Fontos megjegyezni, hogy a fixpontos iteráció alatt a gerjesztés és a peremfeltételek nem változnak, csupán R értéke módosul minden lépésben. A fixpontos iterációs lépéseknek fizikai tartalma nincs. Az A mágneses vektorpotenciál segítségével a B mágneses indukció kifejezhető a jól ismert B = A összefüggés alapján, amit a (4.12) alakba helyettesítve a mágneses térerősség felírható: H = ν B + I = ν A + I. (4.22) A fenti kifejezést a Maxwell-egyenletekbe helyettesítve, s azokat megoldva a mágneses indukció közvetlenül számítható, a mágneses térerősség pedig a 4.4. fejezetben javasolt módon közelíthető, s így B = M { I}, illetve H = M { I}. (4.23) A B ezután a (4.16), a H pedig a (4.14) egyenletbe helyettesíthető, aminek eredménye egy-egy fixpontos alakban felírható egyenlet, I = f BI {M { I}}, illetve I = f HI {M { I}}. (4.24) A (4.21) első kifejezése által definiált fixpontos iterációs séma tehát akkor konvergens, ha teljesül az f HR {M { R 1 }} f HR {M { R 2 }} q R 1 R 2 (4.25) kontrakciós feltétel R 1, R 2 -re. Hasonló feltétel írható fel a (4.21) második sémájára, és a (4.24) mindkét sémájára. Az itt szereplő norma a belső szorzat négyzetgyökét jelöli, x = < x, x > = x x dω = x 2 dω. (4.26) Ω Ismeretes, hogy a Maxwell-egyenletek az alábbi tulajdonsággal bírnak (l. C. függelék): M { R 1 } M { R 2 } R 1 R 2, R 1, R 2. (4.27) Ω 59

Ugyanez írható fel az I változóval is. Az előző fejezet alapján ismert továbbá, hogy az f HR { }, f HI { }, f BR { } és f BI { } operátorok kontarkciók, aminek következtében a (4.25) feltétel biztosan teljesül, azaz a (4.21) és a (4.24) sémák által definiált iterációs eljárások konvergensek. A lineáris konstitúciós egyenletektől a polarizációs alak formálisan mindössze egy additív tagban különbözik, amely additív tag minden olyan egyenletben megjelenik, amelyben B vagy H előfordult és az adott tartomány nemlineáris karakterisztikával bír. Ezek alapján kidolgoztam az összes potenciálformalizmus parciális differenciálegyenletét és a hozzá tartozó peremfeltételeket, s az egyes formalizmusok gyenge alakját. A potenciálformalizmusokat és a gyenge alakokat terjedelmük miatt a C. függelékben közlöm. 4.4. A nemlineáris formalizmusok 4.4.1. A direkt karakterisztika alkalmazása A direkt karakterisztika bemeneti jele a H mágneses térerősség, s kimenete a B mágneses indukció. Kézenfekvő tehát a direkt karakterisztikát a Φ-formalizmussal, vagy a T,Φ-formalizmus valamely válfajával összekapcsolni, hiszen ekkor a mágneses térerősség az elsődleges változó a H = T Φ, (4.28) vagy a H = T + T Φ (4.29) összefüggésnek megfelelően. A polarizációs formulának köszönhetően azonban a direkt karakterisztika olyan formalizmussal is alkalmazható, amikor a B mágneses indukció az elsődleges változó. Ebben az esetben a B = A összefüggés szerint az A mágneses vektorpotenciálra épül a formalizmus. Sok esetben a direkt modellt alkalmazzák inverz alakban oly módon, hogy alkalmas algoritmussal (legtöbb esetben a regula falsi algoritmussal) a formalizmusból kiadódó B mágneses indukcióhoz (ami a modell kimenete) tartozó H mágneses térerősséget keresik meg. Ez rendkívül időigényes művelet, mert minden iterációs lépésben regula falsi iterációt is futtatni kell a megfelelő bemenet-kimenet pár megkereséséhez. Az itt bemutatásra kerülő eljárás sokkal hatékonyabb. Séma a mágneses térerősségre építve Az algoritmus lépései a µ o = µ max + µ min 2 (4.3) optimális permeabilitást alkalmazva a következőképp foglalható össze. Az iteráció tetszőleges R () értékkel indítható, s az n-edik lépésben a következők történnek (n > ): (i) A H (n) mágneses térerősség értékének meghatározása az alkalmazott formalizmus segítségével, amely az R (n 1) -re épül, azaz, H (n) = M { R (n 1) }; 6

(ii) A B (n) mágneses fluxus vektor a direkt modell futtatásával határozható meg, azaz B (n) = H { H (n) }; (iii) Az R nemlineáris reziduál értéke javítható az R (n) = B (n) µ o H (n) = H { H (n) } µo H (n) (4.31) összefüggésnek megfelelően; (iv) Az (i) (iii) lépéseket addig kell ismételni, amíg az eljárás nem konvergál. Az iterációs technika leállási feltétele az alábbi: R (n) R (n 1) < ε, (4.32) ahol ε küszöb egy kellően kis érték. Séma a mágneses indukcióra építve Az iteráció tetszőleges I () értékből indítható. Az n-edik iterációs lépés (n > ) a következőkből áll: (i) A B (n) mágneses indukció a Maxwell-egyenletek alapján számítható az (n 1)-edik lépésbeli értékekre támaszkodva, B (n) = M { I (n 1) }; (ii) A H (n) mágneses térerősség a következő módon becsülhető: H (n) = ν o B (n) + I (n 1) ; (4.33) (iii) Az I (n) nemlineáris reziduál a direkt modell segítségével javítható: I (n) = H (n) νo H { H (n) }; (4.34) (iv) Az (i) (iii) lépéseket addig kell ismételni, amíg az I (n) I (n 1) < ε (4.35) kritérium alkalmas ε küszöb mellett nem teljesül. Az algoritmusban az optimális ν a következő formulával számítandó: ν o = 2 ν max ν min ν max + ν min. (4.36) 61

4.4.2. Az inverz karakterisztika alkalmazása Sok esetben azonban nem a direkt, hanem az inverz karakterisztika áll rendelkezésre, mint ahogy a jelen dolgozatban is. Ekkor a mágneses vektorpotenciálon alapuló technikát lehet alkalmazni, mert az a mágneses indukciót szolgáltatja. Az inverz karakterisztika bemeneti jele a B mágneses indukció, s kimenete a H mágneses térerősség. Kézenfekvő tehát az inverz karakterisztika A mágneses vektorpotenciállal történő alkalmazása, mivel ekkor a mágneses indukció az elsődleges változó a B = A (4.37) összefüggésnek megfelelően. A polarizációs formulának köszönhetően azonban az inverz karakterisztika olyan formalizmussal is alkalmazható, amikor a H mágneses térerősség az elsődleges változó. Ezek a formalizmusok a Φ mágneses skalárpotenciálra, illetve a T áram-vektorpotenciálra épülnek. Ekkor sok esetben az inverz modellt alkalmazzák oly módon, hogy alkalmas algoritmussal a H mágneses térerősséghez tartozó B mágneses indukciót keresik meg. Ez azonban az előző fejezetben említett okok miatt rendkívül időigényes, az itt bemutatásra kerülő eljárás sokkal hatékonyabb. Séma a mágneses indukcióra építve Az iteráció tetszőleges I () értékből indítható, az n-edik iterációs lépés (n > ) a következőket foglalja magában: (i) A B (n) mágneses indukció a Maxwell-egyenletek alapján az (n 1)-edik lépésre támaszkodva számítható, B (n) = M { I (n 1) }; (ii) A H (n) mágneses térerősség a H (n) = B{ B (n) } operátor szerint az inverz modellel számítható; (iii) Az I (n) nemlineáris reziduál a következő módon javítható: I (n) = H (n) νo B (n) = B{ B (n) } νo B (n) ; (4.38) (iv) Az (i) (iii) lépéseket addig kell ismételni, amíg az I (n) I (n 1) < ε (4.39) kritérium alkalmas ε küszöb mellett nem teljesül. Itt az optimális ν érték a következő: ν o = ν max + ν min. (4.4) 2 62

Séma a mágneses térerősségre építve Ebben az esetben: µ o = 2 µ max µ min µ max + µ min. (4.41) Az iteráció tetszőleges R () értékből indítható, az n-edik iterációs lépés (n > ) a következőket foglalja magában: (i) A H (n) mágneses térerősség a Maxwell-egyenletek alapján számítható, s az eredmény az (n 1)-edik lépésben kapott eredménytől függ, H (n) = M { R (n 1) }; (ii) A B (n) mágneses indukció B (n) = µ o H (n) + R (n 1) (4.42) becslése után lehet futtatni az inverz modellt, H (n) = B{ B (n) }; (iii) Az R (n) nemlineáris reziduál a következő módon javítható: R (n) = B (n) µ o B{ B (n) }; (4.43) (iv) Az (i) (iii) lépéseket addig kell ismételni, amíg az R (n) R (n 1) < ε (4.44) kritérium alkalmas ε küszöb mellett nem teljesül. 4.5. A T potenciál közelítése élmenti végeselemekkel A T áram-vektorpotenciál számítására kidolgoztam egy szabad formalizmust, s a potenciál közelítésére élmenti végeselemeket használtam [137]. A formalizmus gyenge alakja felírható, s az A-formalizmushoz hasonló algoritmus használható a számításhoz. A T áram-vektorpotenciál meghatározható a következő funkcionál minimalizálásával: F { T } = T J 2 dω, (4.45) Ω amely ekvivalens a T = J, az Ω tartományon (4.46) érvényes parciális differenciálegyenlettel, amely a T -t definiálja. A funkcionál minimalizálása során a következő peremfeltételeket is figyelembe kell venni: T n =, a Γ H peremen, (4.47) 63

T n =, a Γ B peremen. (4.48) A funkcionál első variációjából [25,137] kiindulva a következő parciális differenciálegyenlet és a hozzá kapcsolódó peremfeltételek kaphatók: T = J, az Ω tartományon, (4.49) T n =, a Γ H peremen, (4.5) T n =, a Γ B peremen. (4.51) Ez egy peremérték-feladat, amelynek gyenge alakja levezethető és a probléma végeselemmódszerrel megoldható. A javasolt technika előnye, hogy szabad formalizmus, ami élmenti végeselemekkel megoldható, s könnyedén implementálható olyan szabad formalizmust is támogató végeselemes környezetben, amely alkalmas a vektorpotenciállal történő számításokra. A javasolt szabad formalizmus másik nagy előnye, hogy a T áram-vektorpotenciál élmenti végeselemekkel reprezentálható, amely jól illeszkedik a modern szabad formalizmusokhoz. 4.6. A tudományos eredmények összefoglalása 2. Tézis A kidolgozott Preisach-féle hiszterézismodelleket a polarizációs formulát használva numerikus térszimulációt alkalmazó eljárásba illesztettem. A polarizációs formulával linearizáltam a nemlineáris karakterisztikát, a lineáris tag meredekségének alkalmas megválasztásával pedig kontraktív leképezést nyertem, amely a Maxwell-egyenleteken keresztül bizonyítottan konvergens fixpontos iterációs sémára vezet. Kidolgoztam az összes statikus mágneses tér és örvényáramú tér számítására alkalmas potenciálformalizmus nemlineáris hiszterézis figyelembevételére alkalmas alakját, s kidolgoztam az egyes formalizmusok gyenge alakját is, amelyek a végeselem-módszerben is alkalmazhatók. A formalizmusok alkalmasak más numerikus módszerben történő implementálásra is. A polarizációs formula két alakját és az egyes formalizmusok elsődleges változóját alapul véve kidolgoztam az összes lehetséges variációt, ahogy a formalizmusok és a direkt, vagy inverz alakban implementált hiszterézismodellek összekapcsolhatók. Ezen tézishez kapcsolódóan olyan új szabad formalizmust alkalmazó peremérték-feladatot dolgoztam ki a T áram-vektorpotenciál meghatározására, amely jól illeszkedik a modern vektoriális végeselem-módszerhez. 2.a Kidolgoztam a polarizációs formula mindkét lehetséges alakját, amelyek alkalmasak a direkt és az inverz hiszterézis karakterisztikával reprezentált anyagok modelljének linearizálására. Az ily módon linearizált karakterisztikát összekapcsoltam az egyes potenciálokkal, miáltal összefoglaltam az összes lehetséges formalizmust, amely alkalmas nemlineáris statikus és örvényáramú mágneses tér számítására. Különválasztottam a mértékkel ellátott kötött formalizmus és a mérték nélküli szabad formalizmus egyenleteit, és megadtam azok gyenge alakját. A gyenge alak közvetlenül alkalmas a végeselem-módszerben történő realizálásra. Mindez összesen négy lehetséges módszert eredményez, amelyek mentesek a további belső iterációktól, miáltal a futási idő jelentősen redukálható. 64

2.b Olyan új peremérték-feladatot fogalmaztam meg, amely egy szabad formalizmus keretében alkalmas a T áram-vektorpotenciál előállítására, és a gyenge alakban megfogalmazható probléma megoldásaként meghatározható vektorpotenciál közvetlenül kapcsolódhat a modern élmenti végeselem-módszerhez. 65

5. fejezet A végeselem-módszer alkalmazása a villamosmérnöki tervezésben Ebben a fejezetben a dolgozatban bemutatott formalizmusok és numerikus módszerek alkalmazhatóságát igazolom bonyolultabb problémák megoldása kapcsán. A fejezet öt olyan feladatot tartalmaz, amelyek rávílágítanak egy-egy lényeges momentumra. Minden egyes példát a végeselem-módszerrel oldottam meg. A példák kidolgozására a COMSOL Multiphysics [193, 194] végeselemes szoftver függvényeit alkalmaztam a MATLAB programrendszerben [217]. Az első feladat egy háromdimenziós lineáris örvényáramú T.E.A.M. feladat (Testing Electromagnetic Analysis Methods, International Compumag Society), amely egy többszörösen összefüggő örvényáramú tartományt tartalmaz, s emiatt alkalmas a dolgozatban bemutatott különféle potenciálformalizmusok szükségességének bemutatására. Második feladatként a 3.1. fejezetben bemutatott skalár hiszterézis karakterisztika felvételére alkalmas mérési elrendezés numerikus szimulációját közlöm. A toroid transzformátor tengelyszimmetrikus volta miatt ez egy kétdimenziós nemlineáris feladat, s amely alkalmas az örvényáramok mérésekre gyakorolt hatásának, valamint a frekvenciafüggetlen modell hiányosságainak bemutatására is. A hiszterézis modellezésére a skalár Preisach-modellt használtam. A harmadik pont három statikus, háromdimenziós, nemlineáris feladat megoldását mutatja be, amelyek mindegyike T.E.A.M. feladat. A problémák megoldására a dolgozatban bemutatott formalizmusokat alkalmaztam a fixpontos technikával megoldva azokat. A dolgozatot záró feladat a 3.2. fejezetben bemutatott vektoriális hiszterézis karakterisztika mérésére alkalmas berendezés számítógéppel támogatott tervezése és analízise. A végeselemes analízis számos tervezési kérdésre megadta a választ, a numerikus eredmények és a megvalósított méréstechnikai eszköz együttesen vezetett el a kidolgozott vektoriális Preisach-modell megalkotásához. 66

5.1. Lineáris örvényáramú feladat Az 5.1 ábrán látható 7-es sorszámú T.E.A.M. feladat egy lineáris örvényáramú probléma [169,178,179,218 229]. A kitűzött feladat egy alumínium lapot tartalmaz, melynek vezetőképessége σ = 3.526 1 7 S/m. Az alumínium lapban egy lyuk található. Az elektromágneses teret egy tekercs gerjeszti (2742 AM, amper-menet), amely az alumínium lap felett helyezkedik el, s a gerjesztés frekvenciája f = 5 Hz, valamint f = 2 Hz. Az örvényáramú tartományban található lyuk miatt a feladat egy többszörösen összefüggő tartomány vizsgálata. 5.1. ábra. A 7-es számú T.E.A.M. feladat: alumínium lap a tekercs alatt A szinuszos gerjesztés és a lineáris feladat együttese indokolja a Maxwell-egyenletek és a potenciálformalizmusok komplex formalizmussal [2,3,135] történő felírását és alkalmazását. Ezáltal a stacionárius válasz számítható, amely eredmények mérési adatokkal is összevethetők. A feladatot a legkülönfélébb formalizmusokkal oldottam meg ugyanazon végeselemes háló mellett. A végeselemes felbontás 864 tetraédert tartalmaz, de harmadfokú közelítést. A példa jól mutatja, hogy többszörösen összefüggő tartomány esetén a számított (a) A, V A-formalizmussal (b) T, Φ Φ-formalizmussal 5.2. ábra. Az örvényáram komplex csúcsának valós része f = 5 Hz frekvencián 67

5.1. táblázat. A különféle potenciálformalizmusok viselkedése Módszer Frekvencia Ismeretlenek Iterációszám Számítási idő [Hz] száma [sec] A, V A, nodális 5 1222 532 1924 A, V A, nodális 2 1222 857 2454 A, V A, élmenti 5 132344 132 616 A, V A, élmenti 2 132344 132 616 A, V A Φ, nodális 5 55554 98 145 A, V A Φ, nodális 2 55554 9995 9919 A, V A Φ, élmenti 5 58377 185 259 A, V A Φ, élmenti 2 58377 18 255 T, Φ Φ, nodális 5 5324 5 319 T, Φ Φ, nodális 2 5324 6 345 T, Φ Φ, élmenti 5 55949 216 278 T, Φ Φ, élmenti 2 55949 277 355 T,Φ A Φ, nodális 5 53422 47 34 T,Φ A Φ, nodális 2 53422 44 325 T,Φ A Φ, élmenti 5 55999 2353 249 T,Φ A Φ, élmenti 2 55999 192 1171 A A, élmenti 5 128952 45 1598 A A, élmenti 2 128952 31 1213 A A Φ, élmenti 5 54147 436 456 A A Φ, élmenti 2 54147 328 384 elektromágneses tér helytelen, ha a levegőben csak a Φ potenciált alkalmazzuk. Az etalon megoldás az A, V A-formalizmussal számított, amelynek eredménye az 5.2(a) ábrán látható. Az 5.2(b) ábrán a helytelen megoldást rajzoltam fel, amelyet az A, V Φ- formalizmussal vagy a T,Φ Φ-formalizmussal lehet elérni. Az előbbi esetben az örvényáramok körbefolynak a lyuk körül, míg a mágneses skalárpotenciállal számított esetekben nem. Ezen oknál fogva alakultak ki a különféle bonyolultabb formalizmusok. A T, Φ Φ-formalizmus esetén a lyuk kitölthető vezető közeggel, melynek vezetőképessége nagyságrendekkel kisebb, mint az alumínium vezetőképessége. Ekkor ezen formalizmus is helyes eredményt szolgáltat. Az egyes formalizmusok általam tapasztalt jellemzőit (iterációszám és futási idő egy AMD Athlon 64 X2 Dual Core Processor 46+ 2,41 GHz számítógépen, amelyben 4GByte RAM van) az 5.1. táblázatban foglaltam össze. Ebből kitűnik, hogy a mágneses vektorpotenciált alkalmazó technikák élmenti végeselemekkel felgyorsíthatók, míg az áram-vektorpotenciál a csomóponti közelítéssel igényel kevesebb lépésszámot. Az 5.3 ábrán a mért és szimulált eredmények összehasonlítása látható. Az (a)- (d) ábrákon a mágneses indukció z irányú komponense, az (e)-(h) ábrákon pedig az örvényáram y irányú komponense látható. Az eredmények gyakorlatilag megegyeznek. A B z mérése az x =,, 288 mm, y = 72 mm és y = 144 mm vonal mentén történt z = 34 mm magasságban. A J y mérése pedig az x =,, 288 mm, y = 72 mm, z = mm és z = 19 mm vonal mentén. 68

9 9 6 6 B z [mt] 3 B z [mt] 3 Mérés, y=72mm Nodális Élmenti Mérés, y=144m Nodális Élmenti 3 75 15 225 3 x [mm] (a) A, V A-formalizmus, f = 5 Hz 9 Mérés, y=72mm Nodális Élmenti Mérés, y=144m Nodális Élmenti 3 75 15 225 3 x [mm] (b) A, V A-formalizmus, f = 2 Hz 9 6 6 B z [mt] 3 B z [mt] 3 Mérés, y=72mm Nodális Élmenti Mérés, y=144m Nodális Élmenti 3 75 15 225 3 x [mm] (c) A, V A Φ-formalizmus, f = 5 Hz 2 x 16 Mérés, y=72mm Nodális Élmenti Mérés, y=144m Nodális Élmenti 3 75 15 225 3 x [mm] (d) A, V A Φ-formalizmus, f = 2 Hz 5 x 16 1 2.5 J y [A/m 2 ] Mérés, z=19mm Nodális 1 Élmenti Mérés, z=mm Nodális Élmenti 2 75 15 225 3 x [mm] (e) T,Φ Φ-formalizmus, f = 5 Hz 2 x 16 J y [A/m 2 ] Mérés, z=19mm Nodális 2.5 Élmenti Mérés, z=mm Nodális Élmenti 5 75 15 225 3 x [mm] (f) T, Φ Φ-formalizmus, f = 2 Hz 5 x 16 1 2.5 J y [A/m 2 ] Mérés, z=19mm Nodális 1 Élmenti Mérés, z=mm Nodális Élmenti 2 75 15 225 3 x [mm] (g) T,Φ A Φ-formalizmus, f = 5 Hz J y [A/m 2 ] Mérés, z=19mm Nodális 2.5 Élmenti Mérés, z=mm Nodális Élmenti 5 75 15 225 3 x [mm] (h) T,Φ A Φ-formalizmus, f = 2 Hz 5.3. ábra. A mágneses indukció z komponensének és az örvényáram y komponensének eredményei a különböző formalizmusokkal számítva 69

5.2. A skalár hiszterézis mérésére alkalmas elrendezés numerikus analízise Ebben a fejezetben a 3.1 ábrán látható mérési elrendezés szimulációját mutatom be. A szimuláció során az 5.4(a) ábrán látható mért koncentrikus görbék alapján az 5.4(b) ábrán felvázolt Everett-függvényt alkalmaztam az inverz Preisach-modell felállításához [23]. 4 2 1.5 H [A/m] E(α,β).5 2 4 1.4.7.7 1.4 B [T] 1 1.5 α.5 1 1.5 β.5 1 (a) A mért koncentrikus görbék (b) Az Everett-függvény 5.4. ábra. A szimulációban használt karakterisztika A tengelyszimmetrikus kétdimenziós probléma megoldására a mágneses vektorpotenciált alkalmaztam, s a nemlineáris feladatot a fixpontos módszerrel oldottam meg. A skalár karakterisztika alkalmazható, hiszen a mágneses térerősségnek és a mágneses indukciónak csak ϕ irányú komponense van. A mágneses térerősséget az áramból, a mágneses indukciót pedig a toroid felületére átlagolva számítottam. A mérési és szimulációs eredmények alacsony frekvencián szinte megegyeznek, mert az örvényáramok hatása elhanyagolható. A modellt f = 5 Hz frekvencián mért karakterisztikából identifikáltam. A frekvenciafüggetlen modellt magasabb frekvencián alkalmazva az 5.5(a) ábrán látható eredményt kaptam. Az örvényáramok hatása miatt a 1.6 1.6.8.8 B [T] B [T].8.8 1.6 4 2 2 4 H [A/m] (a) A frekvenciafüggetlen modell alapján 1.6 4 2 2 4 H [A/m] (b) A kiterjesztett modell alapján 5.5. ábra. Mért és szimulált minor hurkok összevetése, f = 5 Hz 7

mért mágneses térerősség értéke nagyobb ugyanazon indukció mellett, ami azt mutatja, hogy a Maxwell-egyenletekből származó örvényáramú veszteség nem elegendő a magasabb frekvencián történő szimulációkhoz. Ezen oknál fogva extra veszteségből származó térerősséget szokás hozzáadni a frekvenciafüggetlen modell kimenetéhez, amelynek értéke mérések alapján identifikálható. A [231] cikk alapján kiterjesztett modell eredménye az 5.5(b) ábrán látható. A frekvenciafüggő modell vizsgálatával csak érintőlegesen foglalkoztam ezen feladat megoldása során, ezért ezen eredmények nem kerültek bele a dolgozatba. 5.3. Nemlineáris statikus mágneses tér számítása Ebben a fejezetben három T.E.A.M. tesztfeladat megoldását mutatom be [137, 159, 164, 166, 232 235]. Mindhárom esetben az 5.6 ábrán látható nemlineáris karakterisztikát használtam, amely a 13-as számú tesztfeladatból származik. A 1-es és a 24-es számú feladatok módosított verziója található ebben a fejezetben, mert a célom az egyes formalizmusok összevetése volt. A gerjesztés mindhárom esetben egyenáramú. 2 1.5 B [T] 1.5 2 4 6 8 H [A/m] 5.6. ábra. A feladatokban használt nemlineáris karakterisztika 5.3.1. A 1-es számú T.E.A.M. tesztfeladat A szimuláció során az 5.7(a) ábrán látható feladat nyolcadát oldottam csak meg, az elrendezés szimmetriájából adódóan. A vékony lemezekben a tekercs által gerjesztett mágneses tér jön létre, s a feladat ennek vizsgálata. A szimulációt elvégeztem egy ritka és egy sűrű végeselemes hálón (l. 5.7(b) ábra). A ritka háló 8413 tetraédert tartalmaz, amelynek eredményeképp az ismeretlenek száma 1285, 57278, és 43539 a Φ-formalizmus, a nodális, valamint az élmenti A-formalizmus esetén. A sűrű háló 5537 végeselemből áll, ami 7713, 35876, és 273582 ismeretlent generál ugyanazon formalizmusok esetén. Az 5.2. táblázatban a fixpontos technika iterációs lépésszámát és az ehhez szükséges időt a már említett AMD Athlon számítógépet használva foglaltam össze a sűrű háló futtatási eredményeit bemutatva. 71

(a) A tesztfeladat geometriája (b) A végeselemes felosztás egy részlete 5.7. ábra. A 1-es számú T.E.A.M. tesztfeladat: mágnesezhető lemezek egy tekercs körül Az 5.8(a) ábrán a mágneses indukció alakulása látható a lemez mentén két különböző gerjesztőáram mellett. Az egyes formalizmusok gyakorlatilag ugyanazon eredményekre vezetnek. Az 5.8(b) ábrán a vízszintes lemez alatt a levegőben létrejövő mágneses indukció alakulása látható. A kötött vektorpotenciál formalizmusa adja ugyanazon háló mellett a leggyengébb megoldást. Az 5.3. táblázatban összefoglaltam a [164] irodalomból ismert mérési eredményeket és az általam számított adatokat. Az első mérési eredmény a középső függőleges lemez közepéről,a második a vízszintes lemez közepéről, a harmadik pedig a szélső függőleges lemez közepéről származik, amikor a gerjesztő áram értéke a 913,68 AM-nek felel meg. Mindhárom formalizmus kiválóan teljesített. 5.2. táblázat. A szimulációs technikák eredményei Formalizmus Lépésszám Idő[sec] Φ 9 332 A-élmenti 9 37 A-csomóponti 15 2778 72

2 1.6 3AM.4.3 3AM Φ A vektor A nodális B [T] 1.2 913,68AM B [T].2.8 Φ A vektor A nodális.4 A B C D.1 E 913,68AM F (a) A mágneses indukció abszolút értéke a lemez mentén (b) A mágneses indukció abszolút értéke a vízszintes lemez alatt 5.8. ábra. Az egyes formalizmusok összehasonlítása 5.3. táblázat. Szimulációs eredmények Mért 1.67.94 1.14 Φ 1.741.9595 1.1861 A-élmenti 1.6997.9532 1.184 A-csomóponti 1.6891.9372 1.1489 5.3.2. A 13-as számú T.E.A.M. tesztfeladat Ez a feladat csupán a lemezek elhelyezésében különbözik az előzőtől. Az 5.9(a) ábra az elrendezés geometriáját, az 5.9(b) ábra pedig a használt végeselemes felbontást mutatja (14718 tetraéder, s az ismeretlenek száma 198632, 93736, és 694143 a mágneses skalárpotenciált, a szabad és a kötött mágneses vektorpotenciált alkalmazva). Az 5.1(a) ábra és az 5.1(b) ábra az egyes formalizmusok által eredményezett mágneses indukció értékét mutatja a lemezek mentén és a vízszintes lemez alatt. Előbbit mérési eredményekkel is össze tudtam hasonlítani. Az egyes formalizmusok ennél a feladatnál is nagyon hasonló eredményeket szolgáltatnak. A szimulációk során feljegyzett lépésszámot és a futáshoz szükséges időt az 5.4. táblázatban foglaltam össze. 5.4. táblázat. A szimulációs technikák eredményei Formalizmus Lépésszám Idő[sec] Φ 14 1364 A-élmenti 7 2416 A-csomóponti 8 4346 A 1-es és a 13-as feladat geometriájából adódóan a középső lemezben az 5.11(a) ábrán és az 5.11(b) ábrán látható vektorok szerint alakul a mágneses indukció. 73

(a) A tesztfeladat geometriája (b) A végeselemes diszkretizálás egy részlete 5.9. ábra. A 13-as számú T.E.A.M. tesztfeladat: mágnesezhető lemezek egy tekercs körül 1.6 1.2 Φ A vektor A nodális Mérés.4.3 Φ A vektor A nodális B [T].8 B [T].2.4.1 A B C D E F (a) A mágneses indukció abszolút értéke a lemez mentén (b) A mágneses indukció abszolút értéke a vízszintes lemez alatt 5.1. ábra. Az egyes formalizmusok összehasonlítása 5.3.3. A 24-es számú T.E.A.M. tesztfeladat Ez a feladat az eredeti 24-es feladat módosítása, amelynek geometriája az 5.12 ábrán látható. Ez egy villamos gép, amelynek forgórésze az ábrán is látható pozícióban áll. A végeselemes háló 396 tetraéder elemből áll, ami 55825 és 25653 ismeretlent generál a mágneses skalárpotenciál és a szabad mágneses vektorpotenciál esetén. Az 5.12 ábrán 74

8 8 6 6 z [mm] 4 z [mm] 4 2 2 7.5 15 22.5 3 y [mm] (a) T.E.A.M. 1 7.5 15 22.5 3 y [mm] (b) T.E.A.M. 13 5.11. ábra. A mágneses indukció alakulása a középső függőleges lemezben bejelölt vonal mentén mindkét formalizmussal számítottam a mágneses indukció értékét. Ezek összehasonlítása látható az 5.13 ábrán. A két eredmény nagyon jó egyezése ebben a feladatban is igazolja a formalizmusok alkalmazhatóságát. 5.12. ábra. A mágneses indukció alakulása a villamos gép belsejében 2 1.5 Φ A vector B [T] 1.5 125 25 375 5 Position 5.13. ábra. A két formalizmus által számított indukció összehasonlítása 75

5.4. A vektor hiszterézis mérésére alkalmas elrendezés numerikus analízise és tervezése Ebben a fejezetben a 3.12 ábrán látható mérési elrendezés numerikus analízisét és a mérés összeállítása során végzett, a tervezést és a mérés megépítését segítő számítások és szimulációk eredményeit foglalom össze. A 3. fejezetben bemutatott végleges mérési elrendezés számos javítás eredménye, itt ezen lépések végeselem-módszerrel történő támogatására fókuszálok a [137,236 243] publikációim alapján. Fő tervezési kérdés, hogy a mérés során a gerjesztés, a próbatest és a szenzorok elhelyezkedése milyen legyen, azaz milyen módon lehet pontos képet kapni a mágneses térerősség és a mágneses indukció alakulásáról a mérés során, s milyen tényezők befolyásolják a mérési eredményeket. Ez egyrészt abban áll, hogy meg lehessen határozni, hogy a próbatesten belül mekkora az a lehető legnagyobb terület, ahol a kialakuló térjellemzők a mérési frekvencián közel homogén teret adnak, továbbá, hogy a próbatest felszínéhez közel milyen a mágneses térerősség változása. Előbbi ugyanis befolyásolja az alkalmazandó szenzorok méretét, utóbbi pedig a mágneses térerősség mérési technikáját. A mágneses térerősség felvétele kritikus pontja a mérésnek. Fontos kérdés az alkalmazott frekvencia megválasztása is. Alacsony frekvencián, szabályozást is alkalmazva, a mérési idő nagyon megnőhet, míg nagy frekvencián az örvényáramok befolyásolhatják a statikus karakterisztika felvételének pontosságát. Érdekes kérdés a speciálisan erre a célra kidolgozott gerjesztő tekercsrendszer is, amely az átalakított motoron belül homogén mágneses tér gerjesztésére alkalmas. Azon kérdések, amelyek a próbatesten belül kialakuló elektromágneses tér ismeretében válaszolhatók meg, csak numerikus analízissel vizsgálhatók, s a kapott eredmények mérésekkel validálhatók. Nagyon fontos tehát a mérések és a numerikus szimulációk egyensúlya, hogy azok egymást kiegészítsék a munka során. A numerikus analízist több módon is elvégeztem. Először egy nemlineáris örvényáramú feladatot oldottam meg egy feltételezett izotróp vektor hiszterézis karakterisztikával, amiből képet kaptam az elrendezés főbb tulajdonságairól, majd a mérések alapján identifikált modellekkel is végeztem számításokat. Utóbbi számítások során az alacsony frekvencia miatt statikus nemlineáris mágneses tér szimulációjával foglalkoztam. A mérések és szimulációk együtt tökéletesítették a mérési elrendezést, s a dolgozatban bemutatott végső modell is ezen munka eredményeképp született meg. 5.4.1. A szimulációk fontosabb adatai A villamos gép állórésze lemezelt, emiatt ebben a tartományban az örvényáramok hatását minden szimulációban elhanyagoltam. Az állórész z irányú méretei sokkal nagyobbak, mint a próbatest vastagsága, emiatt az állórész nemlineáris karakterisztikáját elhanyagoltam, hiszem a benne kialakuló mágneses indukció sokkal kisebb, aminek következtében az állórészben lejátszódó mágnesezési folyamatok a karakterisztika lineáris szakaszán történnek. A feltételezett relatív permeabilitás µ r = 4. A próbatestet örvényáramú számítások során örvényáramú tartományként vettem figyelembe, σ = 2 1 6 S/m vezetőképességet feltételezve. A próbatesten belül először izotróp vektoriális karakterisztikát tételeztem fel, amelynek x irányú komponense példaként az 5.14 ábrán látható, később az identifikáció útján nyert karakterisztikával is végeztem számításokat. 76

4 µ o H x 2 R x B x [T] 2 µ max H x 4 2 1 1 2 H x [A/m] 5.14. ábra. A hiszterézis karakterisztika, valamint a µ o H x és R x komponensek jelentése A szimulációt a kutatás során több potenciálformalizmussal is elvégeztem. A lineáris analízis során, amikor a motor belsejében kialakuló homogén tér vizsgálatát végeztem a próbatest nélkül, akkor a Φ-formalizmust alkalmaztam. Ezekben a számításokban és mérésekben vizsgáltam az állórész modelljét. A Φ-formalizmust a viszonylag kevés ismeretlen miatt alkalmaztam nemlineáris számításokban is. Örvényáramú számítások során az A A és a T,Φ Φ módszerekkel dolgoztam. Az elrendezést az 5.15 ábrán látható módon az x y síkban háromszög alakú végeselemekkel diszkretizáltam, s az így előálló kétdimenziós végeselemes hálót a z irányban kiterjesztettem. Így prizma alakú háromdimenziós elemeket kaptam. Az örvényáramú számítások során a behatolási mélység eredményekre gyakorolt hatása miatt a próbatesten belül három réteg van. 5.4.2. A szimulációs eredmények bemutatása A szimuláció első lépése a két tekercs áramának megfeleltethető T áram-vektorpotenciál számítása külön-külön, amelyek approximációját nulladfokú és elsőfokú élmenti végeselemekkel is elvégeztem. Két tekercs van, emiatt mindkét tekercs által generált T számítására szükség van, az eredő tér pedig szuperpozícióval számítható. Az 5.16 ábrán ennek x és y irányú komponense látható a szabad térben (az ábrán feltüntettem a motor hornyait is). Az ábrákból kitűnik, hogy a speciálisan kialakított tekercselrendezés valóban alkalmas a motoron belül a homogén mágneses tér generálására. A két független áram időbeli lefutása szabályozás nélkül az alábbiak szerint alakul: i x (t) = I x sin(ωt + α), és i y (t) = I y sin(ωt + β). (5.1) A számításokat f = 5 Hz, f = 5 Hz és f = 5 Hz frekvencián végeztem el (a körfrekvencia ω = 2πf), s az áram csúcsértéke I x = I y = 1 A volt. Az α és β fázisok pedig beállíthatók attól függően, hogy lineárisan vagy cirkulárisan polarizált mágneses tér szimulációja a cél. 77

5.15. ábra. A kétdimenziós végeselemes háló, amely a háromdimenziós prizmaelemek alapját képezi Az 5.17 ábrán a mágneses térerősséget először az x irányba növeltem az áram növelésével, majd az áram amplitúdóját konstansnak tartva, az óramutató járásával ellentétes irányba körbeforgattam a mágneses teret. Az ábrákon a próbatest középpontjában (x = y = z = ) lejátszódó folyamatok láthatók a stacionárius állapotban. Az ábrából kitűnik, hogy az örvényáramok hatása csak az f = 5 Hz frekvencián számottevő, azaz a kisebb frekvenciákon, ahol a méréseket is végeztem, az örvényáram elhanyagolható, és az elrendezés alkalmas a statikus karakterisztika felvételére. A méréseket végül az f = 5 Hz frekvencián végeztem. A hiszterézis karakterisztika hatása is érzékelhető, mert fáziskülönbség tapasztalható a mágneses térerősség és a mágneses indukció között (l. még 5.18 ábra). Mindkét trajektória kör alakú, amit azonban a mérések megcáfoltak. Ez vezetett el a kidolgozott modell megalkotásához. Az 5.19 ábrán a növekvő frekvencia hatására kialakuló áramkiszorítási jelenség egyre nagyobb mértékben érezteti hatását. A J áramsűrűség a frekvencia növelésével egyre jobban kiszorul a próbatest felszínének irányába, aminek hatására a kialakuló elektromágneses tér is módosul. Látható, hogy alacsony frekvencián a mágneses indukció nagysága konstans a próbatesten belül, de nagyobb frekvencián ez nem igaz. Az 5.2 ábra a mágneses térerősség trajektóriáját mutatja cirkulárisan polarizált mágneses tér esetén. A mágneses térerősség mérésére általában egy 2 mm 2 mm méretű szenzort használnak, ahogy azt a 3. fejezetben már bemutattam. A cél a minél nagyobb homogén terület elérése, ahol a szenzor által átlagolt mért térjellemzők megegyeznek a terület bármely pontjában mérhető értékkel. Az 5.2 ábrán mm-ben feltüntetett koordináták azt mutatják, hogy a 2 mm 2 mm méretű szenzor helyes választásnak bizonyult, de ennél nagyobb méret csak akkor alkalmazható, ha a próbatest is nagyobb. Az 5.21 ábra ugyanezt hivatott igazolni, de ebben az esetben lineárisan polarizált mágneses térerősség előállítása a cél. A (38 mm, mm) és a ( mm, 38 mm) koordinátájú pontokban számított értékek nagy mértékben eltérnek a próbatest közepén mért értékektől. 78

5.16. ábra. A T áram-vektorpotenciál x és y komponense H x [A/m], H y [A/m] 4 2 2 H x H y 5Hz 5Hz 5Hz H y /2 [A/m], B y [T] 2 1 1 H B 4 1 1 19 28 36 Minták 2 2 1 1 2 H x /2 [A/m], B x [T] 5.17. ábra. A mágneses térerősség ortogonális x és y komponenseinek alakulása az idő függvényében, valamint a térjellemzők trajektóriája az x = y = z = pontban 79