1. szemináriumi feladatok két időszakos fogyasztás/ megtakarítás
1. feladat Az általunk vizsgál gazdaság csupán két időszakig működik. A gazdaságban egy reprezentatív fogyasztó hoz döntéseket. A fogyasztó az első periódusban 452 egységnyi exogén jövedelemben részesül, a második periódusbeli jövedelme 923. Lehetősége van arra is, hogy a vagyonkezelő álatal meghatározott 2 százalékos kamat mellett megtakarításokat eszközöljön, vagy hiteleket vegyen fel. 1. Adja meg a fogyasztó első, illetve második periódusbeli költségvetési korlátjának egyenletét. (Fontos figyelmeztetés: ha egyenletet kell felírnia akkor abban az exogén és az endogén változóknak betűvel kell szerepelniük! Csak a paraméterek helyére helyettesítheti be a feladat főszövegében megadott számokat.) 2. Írja fel az intertemporális költségvetési korlát egyenletét! 3. Egy megfelelő ábrán rajzolja fel a fogyasztó intertemporális költségvetési korlátját és jelölje be a kezdeti jövedelempályát reprezentáló pontot. 4. Mutassa meg, mi történik az intertemporális költségvetési korláttal, ha a kamat mégsem 2, hanem 4 százalék. 2. feladat Egy két periódusig működő gazdaságban zajlódó folyamatokat vizsgálunk. A reprezentatív fogyasztó célfüggvénye az U = ln C 1 + 0, 99 ln C 2 formában adott. A gazdasági szereplő az első periódusban 912, a második periódusban 557 egységnyi exogén jövedelmet realizál. A gazdaságban létezik vagyonkezelő, aki vállalja, hogy 1,54 százalékos kamat mellett hitelt nyújt a fogyasztónak, vagy kezeli betéteit. 1. Írja fel a 2. periódus költségvetési korlátjának egyenletét! 2. Adja meg az intertemporális költségvetési korlát egyenletét, és egy megfelelő ábrán a jövedelem-folyamot reprezentáló pont megjelölésével ábrázolja is azt. 3. Írja fel az Euler egyenletet, és magyarázza el, hogy mit jelent. 4. Határozza meg a fogyasztó első-, és második periódusbeli fogyasztását, valamint az, hogy a fogyasztó az első periódusban mennyi megtakarítást helyez el a vagyonkezelőnél, vagy mennyi hitelt vesz fel a vagyonkezelőtől. 5. Rajzolja be az ábrába az optimális választást meghatározó közömbösségi görbét és jelölje be az optimális fogyasztói kosarat, valamint az első periódusbeli megtakarítás/hitel nagyságát. 6. Mutassa meg az ábrán, hogy a fogyasztó jobban jár egy olyan "világban" ahol vagy vagyoneszköz piac, mint egy olyan "világban", ahol nincs vagyoneszköz piac. 3. feladat Az általunk vizsgált gazdaság reprezentatív fogyasztója az U = ln C 1 + 0, 97 ln C 2 életpálya-hasznosságot maximalizálva dönt a fogyasztási pályájáról. A gazdasági szereplő az első periódusban 1 egység, míg a második periódusban 2 egység jövedelmet realizál. Lehetősége van arra is, hogy 1 + r = 1, 02 kamat mellett a nemzetközi vagyoneszköz piacon kölcsönt vegyen fel, vagy betéteket helyezzen el. 1. Adja meg a gazdasági szereplő költségvetési korlátjának egyenletét az első periódusban! 2. Adja meg a második periódusbeli költségvetési korlát egyenletét! 3. A két költségvetési korlát felhasználásával írja fel az intertemporális költségvetési korlátot! 4. Írja fel a fogyasztó problémájához tartozó Lagrange-függvényt! 5. Adja meg a fogyasztó problémájának megoldásához tartozó elsőrendű feltételeket! 1
6. Az elsőrendű feltételekből fejezze ki az Euler-egyenletet! 7. Számolja ki, mekkora első, illetve második periódusbeli fogyasztás mellett maximalizálja a fogyasztó az életpályája hasznosságát! 8. Kölcsönt nyújt, vagy kölcsönt vesz fel a fogyasztó az első periódusban? Mekkora ennek a kölcsönnek az értéke? 9. Az alábbi koordinátarendszerben ábrázolja a fogyasztó költségvetési korlátját, azt a közömbösségi görbét, amely segítségével az optimális választás geometriailag is meghatározható, illetve jelölje be a fogyasztó kezdeti készleteit reprezentáló jószágkosarat, és a gazdasági szereplő fogyasztási pontját! Y 2, C 2 második periódus Y 1, C 1 első periódus 4. feladat 4 gazdaságot vizsgálunk: A-t, B-t, C-t és D-t. Mind a négy gazdaság csupán két időszakig működik, s mind a négy gazdaságban egy reprezentatív fogyasztó kívánja életpályája-hasznossági függvényének maximalizálásával meghatározni a fogyasztási pályáját. Mind a 4 gazdaság kis nyitott gazdaság, így a gazdasági szereplőknek lehetőségük van arra, hogy 1 + r konstans kamat mellett a nemzetközi vagyoneszköz piacon betéteket helyezzenek el, vagy ugyanitt hiteleket vegyenek fel. A megadott célfüggvények mellett írja fel a fogyasztók Euler-egyenletét! 1. Az A gazdaság reprezentatív fogyasztójának hasznossági függvénye: U = ln C 1 + 0, 98 ln C 2. 2. A B gazdaság reprezentatív fogyasztójának hasznossági függvénye: U = C 0,5 1 + 0, 92C 0,5 2. 3. A C gazdaság reprezentatív fogyasztójának hasznossági függvénye: U = C1 σ 1 1 σ + β C1 σ 2 1 σ. 4. A D gazdaság reprezentatív fogyasztójának hasznossági függvénye: U = C 1 α 1 C α 2. 5. feladat 4 gazdaságot vizsgálunk: A-t, B-t, C-t és D-t. Mind a négy gazdaság csupán két időszakig működik, s mind a négy gazdaságban egy reprezentatív fogyasztó kívánja életpályája-hasznossági függvényének maximalizálásával meghatározni a fogyasztási pályáját. Mind a 4 gazdaság kis nyitott gazdaság, így a gazdasági szereplőknek lehetőségük van arra, hogy 1 + r = 1, 05 konstans kamat mellett a nemzetközi vagyoneszköz piacon betéteket helyezzenek el, vagy ugyanitt hiteleket vegyenek fel. A megadott jövedelem-pályák mellett írja fel a fogyasztók intertemporális költségvetési korlátjának egyenletét! 1. Az A gazdaság reprezentatív fogyasztójának jövedelem-pályája: Y 1 = 10, Y 2 = 10. 2. A B gazdaság reprezentatív fogyasztójának jövedelem-pályája: Y 1 = 8, Y 2 = 12. 3. A C gazdaság reprezentatív fogyasztójának jövedelem-pályája: Y 1 = 12, Y 2 = 8. 4. A D gazdaság reprezentatív fogyasztójának jövedelem-pályája: Y 1 = 100, Y 2 = 100. 2
6. feladat Töltse ki az alábbi táblázatot! Gazdaság időpreferencia kamat (1 + r) személyes diszkontfaktor piaci diszkontfaktor Az első, vagy a második periódusbeli fogyasztás lesz a nagyobb? A 0,98 1,05 B 1/1,025 1,025 C 0,82 1,04 D 0,95 1,02 7. feladat Az alábbi táblázat öt gazdaságban mutatja a reprezentatív gazdasági szereplő első, illetve második periódusbeli jövedelmét. Tudjuk, hogy az öt gazdasági szereplő ízlésvilágát leíró életpálya-hasznossági függvény azonos U = lnc 1 +β ln C 2, valamint ismert az is, hogy mind az öt gazdaságban működik egy vagyonkezelő, amely 1 + r =konstans kamat mellett hajlandó hitelt nyújtani, és ugyanilyen kamat mellett hajlandó betéteket kezelni. A "konstans" a gazdaságokban azonos. Gazdaság Első periódusbeli jövedelem Második periódusbeli jövedelem A 100 100 B 90 110 C 110 90 D 200 0 E 0 200 1. Álítsa első időszakbeli fogyasztásuk alapján növekvő sorrendbe a gazdaságokat, ha 1 + r = 1, 02! 2. Megváltozik-e a sorrend, ha 1 + r = 1, 05? 3. És akkor, ha 1 + r = 1, 2? 8. feladat Az alábbi ábra egy reprezentatív fogyasztó intertemporális költségvetési korlátját, illetve a fogyasztó ízlésvilágát reprezentáló közömbösségi görberendszer egy elemét tartalmazza alapesetben. 3
Y 2, C 2 második periódus Y 2 C 2 Y 1 C 1 Y 1, C 1 első periódus 1. Kölcsönt nyújt, vagy kölcsönt vesz fel a fogyasztó az 1. periódusban? 2. Tételezzük fel, hogy a gazdaságot, ahol a fogyasztó él válság súlytja, így a fogyasztó jövedelmének 20 százaléka mindkét periódusban megsemmisül. Rajzolja be a fenti ábrán, hogyan érinti e változás a költségvetési korlátot, és a fogyasztó optimális választását. 3. Miként változott a fogyasztó által nyújtott kölcsön (vagy a fogyasztó által felvett hitel) nagysága? 4