10. évfolyam, negyedik epochafüzet

10. évfolyam, negyedik epochafüzet (Geometria) Tulajdonos:

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Síkgeometria... 4 I.1. A háromszög... 4 I.2. Nevezetes négyszögek... 8 I.3. Sokszögek... 14 I.4. Kör és részei... 15 I.5. Ívmérték... 18 II. Térgeometria... 20 II.1. Térben élünk, testek vesznek körül... 20 II.2. Mik is azok a térelemek? Mit tudunk róluk?... 21 II.3. Mértani testek... 22 II.4. Felszín és térfogat... 28 II.4.1. A gúla... 31 II.4.2. A kúp... 32 Az epocha értékelése Résztesztek (3 15 pont) Órai munka (10 pont) Elmélet, számonkérés szóbeli vagy írásbeli (15 pont) Projektmunka egyéni feladat (30 pont) Plusz feladatok (10 pont) Projektmunka G E O M E T R I A I K I S O K O S leírása Készítsen Geometriai Kisokost, mely tartalmazza a geometria témakör elméleti ismereteit címszavakhoz rendelve. Az ismeretekhez tartoznak a definíciók, a tételek és bizonyos tételekhez a bizonyítási eljárások. A Kisokos témakörei: háromszögek, sokszögek és nevezetes négyszögek, a kör és részei, ívmérték. A tartalom megegyezhet külső forrás(ok)ból származó szövegekkel minden szöveg forrását a megfelelő helyen pontosan kell jelölni. Olyan szövegek szerepeljenek, melyek érthetőek, tartalmilag helyesek, segítik a felkészülést az elméleti számonkérésre. Tagold fejezetekre, hogy jól kereshető legyen, illetve legyenek kiemelve a címszavak. A Kisokos címszavaihoz rendelve mindig tartozzon egy megfelelő, saját készítésű magyarázó ábra (szerkesztve, a pontok és szakaszok olyan jelölésével, mely megegyezik a leírásban szereplő jelölésekkel). A megrajzolt ábrák nem származhatnak más forrásból, de felhasználhatóak ábrák (másolhatóak) ekkor a forrást pontosan fel kell tüntetni. Az ábragyűjtemény kerülhet a Kisokosba vagy készülhet melléklet is a Kisokos mellé, ekkor megfelelő számozással kell összerendelni a címszavakat az ábrákkal. A különböző témakörökhöz használhatod az Internetet, vagy a tavalyi epochafüzetet, vagy egyéb tankönyveket. Témakörönként lehetőleg 5-10 forrás szerepeljen. Ügyelj arra, hogy a forrásod tartalmilag, matematikailag pontos legyen (a hitelesség értékelése); a tartalom teljes legyen (mennyi információ szerepel benne a témakörhöz tartozó címszavakból); érthető legyen (nem túl szakmai-e és bonyolult, nem túl óvodás -e a leírás, a magyarázat) legyen. 2

GEOMETRIA I. Projektmunka G E O M E T R I A I K I S O K O S értékelése A Kisokos folyamatosan készítsd el, hiszen használhatod a részteszteknél így, minden részteszttel együtt azt is beszedjük és értékeljük a heti munkádat. Így jön ki a 30 pont=3*10- ként. Később nem pótolhatod az előző heti anyagot. Projektmunka G E O M E T R I A I K I S O K O S tartalma I. rész: Háromszögek: betűzés, jelölések csoportosítás oldalak, ill. szögek szerint összefüggés (tételek) az általános háromszög oldalai, szögei, oldalai és szögei között A háromszög nevezetes vonalai és pontjai (definíciók és tételek is): o oldalfelező merőleges és a köréírt kör o szögfelező és a beírt kör o magasságvonal és pont o súlyvonal és pont o középvonal A derékszögű háromszög o elnevezések, összefüggések o Pitagorasz-tétel o Thalész-tétel A háromszög kerülete és területe II. rész: Négyszögek: Nevezetes négyszögek fajtái meghatározásuk, tulajdonságaik, kerület és terület o a négyzet o téglalap o deltoid o paralelogramma o rombusz o trapéz Sokszögek a sokszögek átlóira és szögeire vonatkozó összefüggések a szabályos sokszögek Kör kör és részei középponti és kerületi szög, összefüggésük látókör a kör kerülete és területe körív és körcikk ívmérték III. rész: térelemek pont, egyenes, sík, egymáshoz képesti helyzetük a térben testek testátló, lapátló, alap, magasság, alkotó, térfogat, felszín hasáb kocka henger gúla kúp o húrtrapéz o húrnégyszög o érintőnégyszög 3

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET I. Síkgeometria I.1. A háromszög 1. Döntsd el, hogy mely adathármas alapján szerkeszthető, nem szerkeszthető, illetve egyértelműen szerkeszthető háromszög! Válaszod indokold! (Lehet szerkesztéssel is.) a ) a = 13 cm, b = 7 cm, c = 9 cm b ) a = 14 cm, b = 5 cm, c = 8 cm c ) a = 6 cm, α = 25, γ = 91 d ) α = 25, β = 67, 4, γ = 87, 6 e ) α = 34, β = 72, c = 5 cm f ) a = 6 cm, α = 90, 03, γ = 89, 98 g ) a = 8 cm, b = 6 cm, β = 40 h ) b = 5 cm, c = 8 cm, β = 120 2. Egy autópálya-építésnél háromszögelést végeztek, és a három leszúrt jelzőkaró között lézeres méréssel a következő távolságokat kapták: 345,32 méter, 511,24 méter, 159,45 méter. A munkavezető megismételtette a mérést. Miért? 3. Számítsd ki az ábrák kérdezett szögeit! a) Mekkora a β szög? b) Mekkora az ábrán jelölt α szög? 20 a a a a β 65 50 α 20 4. Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szöge a szárszög 2,5-szerese. Határozd meg a háromszög szögeit! 5. Határozd meg az ábra hiányzó szögeinek nagyságát, ha tudjuk, hogy α = 32, β = 78! 6. Mekkorák a háromszög szögei, ha adott két külső szöge? a) 130 és 174 ; b) 87 és 116 ; c) 136 és 98 A vízszinteshez képest általában lefelé vagy felfelé látjuk a tárgyakat. Ha lefelé nézünk, akkor a vízszintessel bezárt (lefelé irányuló) szöget depressziószögnek hívják. Emelkedési szögnek nevezzük a vízszintessel bezárt, felfelé irányuló szöget. Tehát a terem tetejét emelkedési, alját depressziószögben látjuk. 7. Egy repülő a ház ablakából 35 -os emelkedési szög alatt látszik. Mekkora depressziószög alatt látszik a repülőből az ablak? 8. Egy torony lábától a szomszéd ház tetejét 30 -os emelkedési szögben látjuk. A torony alját és tetejét a ház tetejéről 76 -os szögben látjuk. Mekkora emelkedési szögben látjuk a torony tetejét, és mekkora depressziószögben az alját? Készíts ábrát a megoldáshoz! 4

GEOMETRIA I. 9. Rajzolj minden feladathoz egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a ) Szerkeszd meg a háromszögek köré írt köreit! b ) Szerkeszd meg a háromszögek beírt köreit! c ) Szerkeszd meg a háromszögek magasságpontjait! d ) Szerkeszd meg a háromszögek súlypontjait! 10. Egy háromszög szögfelezője a szemközti oldallal 78 -os, egy másik szögfelezővel 48 -os szöget zár be. Mekkorák a háromszög szögei? 11. Egy háromszögben az egyik szög 75. Mekkora szöget zár be egymással a másik két belső szög szögfelezője? 12. A térkép három szigetet ábrázol a tengeren. Hova tűzzék ki a világítótorony helyét, hogy mindhárom szigettől egyenlő távol legyen? Szerkeszd meg a megfelelő helyet! 13. Blankának különleges, háromszög alaprajzú kertje van. Szeretne a közepére egy nyárfát ültetni, mindhárom kerítéstől egyenlő távolságban. Szerkeszd meg a fa helyét! Szerkeszd meg a kerítésektől mért távolságát is! 14. Egy háromszög egyik csúcsánál 35 -os, másik csúcsánál 65 -os szög található. Mekkora szöget zár be egymással a szemközti csúcsból kiinduló szögfelező és magasságvonal? 15. Egy sziget térképe van a birtokunkban. A szigeten látható az egyetlen kikötésre alkalmas hely, a déli partszakaszon, egy folyótorkolatnál. Itt két folyó ömlik a tengerbe, melyek egyike északnyugat felől, a másik északkelet felől érkezik. Tudjuk, hogy a kincs a két folyótól egyenlő távolságra van. A sziget belsejében a két folyót egy egyenes ösvény köti össze. a ) Készíts térképet! b ) Jelöld meg a térképen a kincs lehetséges helyét, ha azt tudjuk, hogy a folyókat összekötő úthoz 10 m-nél közelebb van, a folyóktól egyenlő távolságra. 16. Szerkessz háromszöget, ha a szokásos jelölésekkel a = 5 cm, m a = 4,7 cm, b = 5,5 cm! 17. Szerkessz háromszöget, ha adott az a oldala (8,2 cm), valamint a b és a c oldalhoz tatozó súlyvonalak (sb = 7,3 cm, sc = 6cm). 18. Szerkessz háromszöget, ha a szokásos jelölésekkel c = 6 cm, sc = 4,7 cm, α = 35! 19. Szerkessz háromszöget, ha a szokásos jelölésekkel b = 5,3 cm, m a = 4,7 cm, sa = 5 cm! 5

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 20. Szerkessz háromszöget, ha adott a, mb és sc. 21. Szerkessz háromszöget, ha két oldala 5 cm és 8 cm, és a harmadikhoz tartozó súlyvonal 6 cm! (Emékeztető: Itt először egy paralelogrammát szerkesztettünk.) 22. Szerkessz háromszöget, ha két oldala 4,6 cm és 6 cm és a harmadikhoz tartozó magasság 3 cm. (Segítség: Gondolj a Thalész-tételre!) 23. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha adott az átfogó (8 cm) és az átfogóhoz tartozó magasság (3,5 cm)! Hány megoldás van? 24. Szerkessz háromszöget, ha adott a b oldala, a c oldalhoz tartozó m c magasság és a köré írt kör sugara (r). 25. Szerkessz háromszöget, ha adott az A csúcsából kiinduló két oldal hossza és az A csúcsból kiinduló magasság hossza! 26. Szerkessz háromszöget, ha adott egy oldala (4,6 cm), és a másik két oldalhoz tartozó magassága (3,8 cm és 4,3 cm)! 27. Mekkorák a középvonalak által meghatározott háromszög szögei? 28. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha az átfogóhoz tartozó magasság hossza 4 cm, és az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza 5,2 cm. 29. Egy egyenlőszárú háromszögben az alappal szemközti szög 80. Mekkora szöget zár be az alappal a szárhoz tartozó magasság? 30. *** Igazold, hogy nem egyenlőszárú derékszögű háromszögben a derékszöghöz tartozó szögfelező felezi az átfogóhoz tartozó magasság és súlyvonal szögét! 31. Számold ki a háromszögek hiányzó oldalát! 15 cm 5 dm 12 cm 120 cm 32. Az egerészölyv egy magas mezei juharfa tetején lesett a mezőn eszegető kis pocokra. Mikor lecsapott rá, pontosan 51 métert kellett repülnie. Ekkor a szerencsétlen jószág épp 45 méter távolságra volt a fától. Milyen magas a juharfa? 6

GEOMETRIA I. 33. Egy 2,6 m-es létrát ferdén a falnak támasztottunk. Számítsd ki az aljának és a tetejének a távolságát attól a ponttól, ahol a padló és a fal találkozik, ha tudjuk, hogy ennek a két távolságnak az aránya 3 : 4! 34. A 3-33 szám szakaszok hosszának a mérőszáma. Lehet-e e a három szakasz egy derékszögű háromszög három oldala? a ) 3; 6; 45 b ) 4; 6; 10 35. Egy kétágú létra ágának hossza 2,5 méter. Milyen magasra lehet rajta mászni, ha a két ágát egymástól 1,4 méterre tudjuk kinyitni? (Feltételezzük, hogy a létra legtetejére lehet mászni.) 36. Egy 30 méter széles úton a két szemközti ház közé kifeszített acélhuzalra középen egy lámpát függesztettek. A lámpa a vízszinteshez képest 90 cm-rel húzza le a huzalt. Milyen hosszú a huzal? 37. Egy szabályos háromszög oldala 2 dm. Mekkora a háromszög magassága? 38. Egy 6 egység sugarú félkörbe írjunk olyan derékszögű háromszöget, melynek átfogója a félkör átmérője és befogóinak aránya 3 : 4. Mekkora a háromszög területe? 39. Mekkora az oldala a 25 cm hosszú átlójú, 20 cm oldalhosszúságú téglalapnak? Mekkora a kerülete és a területe? Mekkora annak a körnek a kerülete és területe, mely áthalad a téglalap mind a négy csúcsán? 40. Milyen hosszú a koordinátarendszer origójából a ( 3; 4) pontba mutató vektor? 41. Mekkora távolságra vannak egymástól a derékszögű koordináta-rendszer A (14; 7) és B (2; 9) pontjai? Készíts ábrát, számolj, majd eredményed helyességét ellenőrizd méréssel! Számod ki annak a körnek a kerületét és területét, melynek ez a szakasz az átmérője! 42. Egy szabályos háromszög alakú asztallapot egyetlen pontban alátámasztva szeretnének felállítani. Az asztallap homogén szerkezetű (tehát a vastagsága és az anyaga egyenletes). Az asztallap egy oldala 80 cm széles. a ) Hol kell alátámasztani az asztallapot? b ) Határozd meg az alátámasztási pont csúcsoktól mért távolságát! 43. Mekkora az ábrán látható háromszög kerülete és területe, ha adott a közép vonala? 7

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 44. Mekkora az egyenlőszárú derékszögű háromszögbe írt kör sugara, ha a befogó 10cm? 45. Egy fatörzset kör alakú szeletekre vágunk, majd a széleiket levágva téglalap alakú deszkákat gyártunk. Mekkorák a deszka oldalai, ha a fatörzs átmérője 10 dm, és a téglalap oldalainak az aránya 3 : 4? 46. Határozd meg a 10 cm oldalú szabályos háromszög köré- és beleírható körének sugarát! 47. Egy derékszögű háromszög befogói 3 és 4 cm hosszúak. Határozd meg a a ) köré írt kör sugarát! b ) beírt kör sugarát! c ) *** a beírt és a köréírt kör középpontjának a távolságát! 48. Mekkora a háromszög területe, ha a) a = 5 cm; m a = 4 cm b) c = 7,4 m; m c = 6 m c) egyik oldala 7 dm, ehhez az oldalhoz tartozó magassága 41 cm? 49. Szerkeszd meg az alábbi háromszöget, és a szükséges adatok lemérése után számold ki a területét többféleképpen! a = 60 mm; b = 8 cm; c = 1 dm 50. Szerkeszd meg az alábbi háromszöget, és a szükséges adatok lemérése után számold ki a területét többféleképpen! a = 7 cm; β = 30 ; b = 5 cm. I.2. Nevezetes négyszögek 51. Írd a négyszögek betűjelét a megfelelő négyszöghöz! Deltoid: Rombusz: Trapéz: Téglalap: Paralelogramma: Négyzet: 52. Rajzolj a füzetedbe olyan négyszöget, amelynek a ) átlói merőlegesek és van derékszöge; b ) átlói merőlegesek és nincs derékszöge; c ) átlói merőlegesek és van két derékszöge; d ) átlói merőlegesek és van tompaszöge; e ) átlói merőlegesek és van homorúszöge! 8

GEOMETRIA I. 53. Rajzold be a hiányzó négyszöget, és írd be a nevét! A b) feladatban legalább 2 különböző, helyes választ keress! 54. Írd a sorok végére valamelyik négyszög nevét (lehet több megoldás is)! a ) Olyan négyszög,, amelynek van párhuzamos oldalpárja: b ) Olyan négyszög,, amelynek legalább egyik átlója szimmetriatengely: c ) Olyan trapéz,, amelynek van derékszöge: d ) Olyan trapéz,, amelynek alapokon fekvő szögei páronként egyenlők: e ) Olyan négyszög,, amelynek van oldalfelező szimmetriatengelye: f ) Olyan trapéz,, amelynek másik oldalpárja is párhuzamos: g ) Olyan négyszög,, amelynek van szimmetria-középpontja: h ) Olyan derékszögű trapéz, amelynek másik oldalpárja is párhuzamos: i ) Olyan húrtrapéz, amelynek másik oldalpárja is párhuzamos: j ) Olyan paralelogramma, amelynek van derékszöge: k ) Olyan trapéz,, amelynek legalább egyik átlója szimmetriatengely: l ) Olyan paralelogramma, amelynek szomszédos oldalai egyenlők: m ) Olyan négyszög,, amelynek oldalai egyenlők: n ) Olyan deltoid,, amelynek van párhuzamos oldalpárja: o ) Olyan derékszögű trapéz, amelynek legalább egy átlója szimmetriatengely: p ) Olyan téglalap,, amelynek szomszédos oldalai egyenlők: q ) Olyan húrtrapéz, amelynek legalább egyik átlója szimmetriatengely: r ) Olyan rombusz,, amelynek van derékszöge: s ) Olyan deltoid,, amelynek van két szomszédos derékszöge: 55. Melyik állítás igaz? Válaszod indokold! Minden olyan négyszög, amelynek 2-2 oldala egyenlő, deltoid. Van olyan derékszögű trapéz, amelyik rombusz. Minden tengelyesen tükrös négyszög középpontosan is tükrös. Minden tengelyesen tükrös négyszög köré kör szerkeszthető. Van olyan deltoid, amelyiknek négy tükörtengelye van. Van olyan húrtrapéz, amely paralelogramma. 56. Állapítsd meg, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A választ indokold! A deltoid a ) lehet rombusz b ) nem mindig konvex c ) a hosszabbik átlója mindig szimmetriatengely. 9

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 57. Határozd meg a négyszögek szögeit! húrtrapéz 58. Válaszd ki a helyes állításokat: a ) Minden paralelogramma trapéz is. b ) Minden téglalap rombusz is. c ) A rombuszok paralelogrammák is. d ) Minden rombusz deltoid. e ) Minden téglalap paralelogramma. f ) A négyzetek a téglalapok és a rombuszok halmazának metszetében helyezkednek el. g ) A négyszögben a belső szögek összege 360. h ) Minden sokszögben a belső szögek összege 360. i ) Minden sokszögben a külső szögek összege 360. j ) Van olyan trapéz, amelyik deltoid is. k ) Van olyan rombusz, amelyik nem trapéz. l ) Minden trapézba írható mind a négy oldalát érintő kör. m ) Minden négyszögbe írható mind a négy oldalát érintő kör. 59. A rombusz egyik szöge 42 -os. Mekkora szöget zárnak be az átlók az oldalakkal? 60. A téglalap oldala és az átló 21 -os szöget zárnak be. Mekkora a két átló által bezárt szög? 61. Egy téglalapban az átlók 50 -os szöget zárnak be egymással. Mekkorák az átló és az oldalak hajlásszögei? 10

GEOMETRIA I. 62. Egy deltoidban a két szemközti szög 36 és 138. Mekkora a többi szög, és mekkora szögeket zárnak be az átlók az oldalakkal? 63. Számold ki a deltoid területét, ha a) két átlója: e = 3 cm; f = 8 cm! Rajzolj ilyen deltoidot! b) két átlója: e = 4,3 dm; f = 25 cm! c) szimmetria átlója 3 m; másik átlója 4,5 m! Létezik-e ilyen deltoid? 64. Egy deltoid területe 66 m 2, az egyik átlója 11 m. Mekkora a másik átló? 65. Egy rombusz oldala 6 cm, egyik belső szöge 120. Szerkeszd meg a rombuszt, majd számold ki többféleképpen a területét! 66. Mekkora a deltoid területe, ha átlói 7 cm és 4 cm-esek? 67. Számítsd ki a rombusz kerületét és területét, ha oldala 8 cm és magassága 6 cm! 68. Egy rombusz átlói 6 cm és 8 cm-esek. Mekkora területe és a kerülete? 69. Mekkora a paralelogramma kerülete és területe, ha két oldala 3cm és 4cm, és a 3cmes oldalhoz tartozó magassága 3,5cm? 70. Szerkessz paralelogrammát, melynek oldalai 5 cm, 4 cm, és a szögük 60! 71. Mekkora a paralelogramma területe, ha a) a = 3 cm; ma = 2 cm b) b = 6 m; mb = 3,5 m c) egyik oldala 8,5 dm, a hozzá tartozó magasság 500 mm? 72. Egy paralelogramma egyik oldalának hossza 5 cm, ehhez az oldalához tartozó magassága 3,5 cm, másik oldala 4 cm. Szerkeszd meg a paralelogrammát! Mekkora a paralelogramma kerülete, területe? 73. Derékszögű koordináta-rendszerben egy paralelogramma 3 csúcsának koordinátái: ( 1; 3), ( 1; 5), (4; 5). Mi a negyedik pont koordinátája? Hány megoldás lehetséges? Minden esetben számold ki a kapott paralelogramma területét, ha a területegység a koordináta-rendszer egy egység oldalú négyzetrácsa! 74. Egy rombusz oldala 4 egység. Hány db ilyen rombuszt tudsz elképzelni? Ezek közül melyiknek a legnagyobb a területe? 75. Egy paralelogramma egyik oldala 6 cm, hozzá tartozó magassága 40 mm. Másik oldala 4,8 cm. Mekkora magasság tartozik ehhez az oldalhoz? 76. a) Szerkessz olyan paralelogrammát, amelyiknek az egyik oldala és az egyik átlója 4 cm hosszú, az egyik belső szöge 75! b) Hány fokos szögekre bontja a 4 cm-es átló a belső szöget? c) Mekkora a paralelogramma 4 cm-es oldalhoz tartozó magassága? 77. Egy húrtrapéz egyik alapja 16 cm, magassága 4 cm, szárai 5 cm-esek. Milyen hosszú a másik alap? Számítsd ki a kerületét és a területét! 11

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 78. Egy trapéz hosszabbik alapja 10 cm, egyik szára 4 cm, ez 45º-os szöget zár be az alappal, másik szára 6 cm. Mekkora a trapéz területe? 79. Egy szimmetrikus trapéz Hosszabbik alapja 12 cm, szárai 4 cm-esek. A szárak az egyik alappal 30º-os szöget zárnak be. Határozd meg a területét! 80. Szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalai 8 és 4 cm, szárai 6 cm hosszúak. Mekkora a területe? 81. Szimmetrikus trapéz hosszabbik alapja 444 cm, szára 17 cm és átlója 39 cm. Mekkora a területe? 82. Számítsd ki a húrtrapéz területét és átlójának hosszát, ha alapja 15cm és 9cm, szárai pedig 6cm hosszúak! 83. Egy 473 m 2 területű húrtrapéz keresztmetszetű gát magassága 22 méter, tetejének szélessége 11 méter. Milyen széles a gát alapja? 84. Egy könyvespolc végére egy trapéz alakú oldalzáró lapot készítünk. A méreteit az ábra mutatja. a ) Mekkora a lap területe? b ) Hány százalék a hulladék, ha az ábrán látható téglalapból vágjuk ki? 85. Egy húrnégyszög két szomszédos szöge 56 és 111. Számítsd ki a másik két szögét! 86. Mekkora az érintőnégyszög d oldala? a) a = 6cm, b =10cm, c = 8cm; c) a = 6dm, b =104cm, c = 6,2dm; b) a =1,6cm, b = 2,9cm, c = 3,2cm; d) a =16dm, b = 390cm, c = 3m. 87. Egy érintőnégyszög kerülete 60 cm. Két szomszédos oldala 20 cm és 12 cm. Számítsd ki a másik két oldalát! 88. O az ABCD érintőnégyszögbe írható kör középpontja. Az O ponton keresztülhaladó, AB oldallal párhuzamos egyenes BC oldal P, AD oldalt R pontban metszi. Határozd meg az ABCD és a CPRD négyszögek kerületeinek arányát, ha AB = 12 cm, BC = 8 cm, CD = 7 cm. 89. Válaszd ki, hogy melyik állítás igaz, melyik hamis! a ) Minden trapéz húrnégyszög. b ) Minden trapéz érintőnégyszög. c ) Minden rombusz húrnégyszög. d ) Minden rombusz érintőnégyszög. e ) Az érintőnégyszögek mindig rendelkeznek szimmetriatengellyel. f ) Csak az a téglalap húrnégyszög, amelynek rövidebbik oldala kétszerese a hosszabbik oldalnak. g ) A paralelogramma csak akkor érintőnégyszög, ha rombusz. 12

GEOMETRIA I. h ) Van olyan deltoid, amelyik húrnégyszög. i ) Minden érintőnégyszög trapéz. 90. D, Q, R és S egy kör tetszőleges pontjai. Az ábrán a PQ és SR szelők egyeneseit elmetsszük egy PS húrral párhuzamos AB egyenessel. Húrnégyszög-e a QABR négyszög? 91. Döntsd el, hogy az alábbi kijelentések közül melyik igaz, melyik hamis! Indokold is a döntésedet! a ) Minden deltoid érintőnégyszög. b ) Minden paralelogramma érintőnégyszög. c ) Minden rombusz érintőnégyszög. d ) Ha egy hegyesszögű háromszög magasságpontját tükrözzük az egyik oldalra, a tükörkép és az eredeti háromszög által meghatározott négyszög húrnégyszög. 92. Határozd meg, hogy a következő négyszögek közül melyek lehetnek húrnégyszögek, és melyek lehetnek érintőnégyszögek! a ) a = 5cm, b = 6cm, c = 3cm, d = 2cm, α= 80 b ) α = 88, β = 130, γ = 92, a = 10 cm, b = 8, d = 15 cm 13

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET I.3. Sokszögek 93. Sokszögek átlói, szögei: a) Mekkora a szabályos tizenkétszög külső szögeinek összeg? b) Mekkora a szabályos tizenkétszög egyik külső szöge? c) Mekkora a szabályos hétszög belső szögeinek összege? d) Mekkora a szabályos hétszög egyik belső szöge? e) Mekkora a szabályos ötszög egyik belső szöge? f) Hány átlója van a kilencszögnek? 94. Lehet-e e egy konvex sokszögnek pontosan a ) 3 db b ) 5db d ) 33 db e ) 3080 db 95. Állapítsd meg, hogy az állítások közül melyik igaz, melyik hamis! Indokold a választ! a) A szabályos hatszög oldalai egyenlők b) Ha egy hatszög oldalai egyenlők, akkor szabályos. c) A szabályos hatszög szögei egyenlők. d) Ha egy hatszög szögei egyenlők, akkor szabályos. e) Ha egy hatszög oldalai és szögei egyenlők, akkor szabályos. 96. Határozd meg a szabályos sokszög egy belső szögének nagyságát, ha a szögek száma: a ) 3 d ) 12 b ) 8 e ) 18 c ) 10 f ) 20 97. Lehet-e e egy sokszög belső szögeinek összege? a ) 360 b ) 1450 c ) 2140 c ) 18 db f ) 78453,5 db átlója? 98. Határozd meg a szabályos hatszög beírható körének sugarát, ha a sokszög oldala 3 dm! 99. Határozd meg a szabályos hatszög területét, ha oldala 5 cm hosszú! d ) 720 100. Hány darab szimmetria terngelye van a 4; 5; 6; 7; 8; 9; oldalú szabályos szokszögnek? Milyen nevezetetes vonalakhoz köthetőek a szimmetria tengelyek? Mi a különbség a páros illetve páratlan oldalú szabályos sokszögek szimmetria tengelyei között? 14

GEOMETRIA I. I.4. Kör és részei 101. Határozd meg a 10 cm sugarú kör a ) átmérőjét; b ) kerületét; c ) területét; d ) a kör középpontjától 3 cm-re haladó húrok hosszát! 102. Egy kör átmérője 12 cm. Mekkora a kerülete és területe? 103. Mekkora a kör területe, ha kerülete 23,4 cm? 104. Milyen hosszú a 8,5 cm sugarú körben a középponttól 7,5 cm távolságba húzott húr? Számítsd ki a kör kerületét és területét is! 105. Egy 3 cm sugarú körhöz egy külső P pontból érintőt húzunk. A P pont a középpontjától 11 cm-re van. a ) Milyen messze van a P pont a körtől? b ) Milyen hosszúak az érintési szakaszok? 106. Szerkeszd meg egy körön kívüli P pontból a körhöz húzható érintőket. Mit tudsz ezekről? 107. Két kör középpontjának távolsága 10 cm, sugaraik 3 cm és 5 cm. Szerkeszd meg a közös külső érintőket! 108. Két kör középpontjának távolsága 10 cm, sugaraik 3 cm és 5 cm. Szerkeszd meg a közös belső érintőket! 109. Mekkora az ábrákon látható színezett rész területe és kerülete, ha a körök sugara egyaránt 15 cm. 110. Egy 3 méter átmérőjű kör alakú asztallapot akarunk készíteni bútorlapból úgy, hogy a szélére élfóliát ragasztunk. A lapszabászatban csak négyzet alakú lapot tudnak levágni, a kör alakot otthon kell elkészíteni dekopírfűrésszel. a) Mennyi élfóliát kell vásárolni, ha azt csak egész méterben árulják? b) Mennyi az anyagköltség (a bútorlap és az élfólia ára együtt), ha egy m 2 bútorlap ára 2500 Ft és egy méter élfólia 50 forintba kerül? c) A levágatott bútorlap hány százaléka szemét? 111. Egy 1,2 m oldalú, szabályos háromszög alakú asztalra a lehető legnagyobb kör alakú terítőt szeretnénk tenni úgy, hogy ne lógjon le (az asztal egy részére nem jut terítő). Mekkora területű rész nincs lefedve? Hány százaléka ez a terület az egész asztal területének? 15

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 112. A képen egy futópálya vázlatos rajzát látod. Mekkora a hossza illetve a területe, ha a d-vel jelzett távolság 100 méter, az s-sel jelzett pedig 200 méter? 113. Egy kör alakú doboz medvesajtban 6 egyforma darab van. A doboz átmérője kb. 12 cm. Mekkora egy sajtszelet középponti szöge? Mekkora a hozzátartozó ívhossz? Mekkora a sajtszelet alapterülete? 114. Határozd meg az ívek hosszát és a körcikk területét, ha a kör sugara 10 cm, és középponti szöge a ) 45 º b ) 60 º c ) 90 º d ) 43,2 º 115. Számítsd ki az alábbi körcikkek íveinek hosszát, és területét. 116. Határozd meg a körszelet területét, ha húrja 8 cm, és középponti szöge a ) 120º b ) 60º c ) 90º Kerületi szögnek nevezzük azt a konvex szöget, amelynek a csúcspontja a körvonalon helyezkedik el, szárai pedig a kör húrjait tartalmazzák. A kerületi szög mindig egy adott ívhez tartozik: az ABC kerületi szöghöz az az AC ív, amelyiken nincs rajta a B pont. Egy ívhez egyetlen középponti szög, és végtelen sok kerületi szög tartozik. Speciális helyzetű az érintőszárú kerületi szög, amelynek csúcsa a körvonalon van, egyik szára tartalmazza a kör húrját, másik szára pedig a szög csúcspontjához tartozó körérintő. 16

GEOMETRIA I. 117. Jelöljük be a következő ábrákon az adott ívekhez tartozó középponti szöget és legalább három kerületi szöget (az érintőszárút is)! Mérjük meg, hogy mekkora nagyságú az egy ívhez tartozó kerületi és középponti szög! Keressünk kapcsolatot a mért adatok között! Kerületi és középponti szögek tétele: egy adott íven nyugvó kerületi szög fele ugyanazon ívhez tartozó középponti szögnek. Kerületi szögek tétele: egy adott ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. 118. Egy 6 cm sugarú körben egy körcikk területe 6π cm 2. Mekkora az ívhossz, a középponti és a kerületi szög nagysága? 119. Adott az AB szakasz. Szerkesszük meg azon pontokat a síkon, amelyekből az AB szakasz 30 -os szögben látszik! 120. Az AB szakasz a kör egy pontjából 60 -os szögben látszik. Határozzuk meg, hogy mekkora szögben látszik a másik ívéről! 121. Szerkeszd meg azokat a pontokat a síkon, amelyekből az AB szakaszt α szögben látod! a) AB = 3cm;α = 45 ; b) AB = 4,5cm;α = 90 ; c) AB = 6cm;α =120. 122. Számítsd ki az ábrán látható α szöget! a) b) C α 50º α 38 17 41 110º α A B 21 123. Egy háromszög csúcsai a köré írt kört 4:5:7 arányban osztják. Mekkora szögben látszanak az oldalak a köré írt kör pontjaiból? 124. Egy 22 méter széles folyó egyenes szakaszának egyik partján áll két fa, egymástól 38 méterre. Keressük a másik partnak azokat a pontjait, ahonnan a két fa 35 -os szögben látszik. Szerkeszd meg a pontokat! 125. Egy pontból a körhöz húzott érintők 75 -os szöget zárnak be egymással. Mekkora szögben látszódik az egyik érintő a körvonal pontjaiból? 17

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET I.5. Ívmérték Korábban láttuk, hogy egy körben az ívhossz arányos a középponti szög nagyságával. Ez azt is jelenti, hogy az ívhossz és a kerület aránya alkalmas a középponti szög meghatározására. Pl. ha tudjuk, hogy egy középponti szöghöz akkora ív tartozik, mint a kör kerületének a negyede, akkor 90 a középponti szög nagysága. 126. Határozd meg! a ) Mekkora szög tartozik a teljes kör kerületéhez? b ) Mekkora szög tartozik egy félkörhöz? c ) Mekkora szög tartozik egy tizenketted körhöz? 127. Egy kör sugara r. a ) Mekkora ív tartozik a 360 -os középponti szöghöz? b ) Mekkora ív tartozik a 180 -os középponti szöghöz? c ) Mekkora ív tartozik a 90 -os középponti szöghöz? d ) Mekkora ív tartozik a 60 -os középponti szöghöz? e ) Mekkora ív tartozik a 30 -os középponti szöghöz? 128. Pótold a szövegben a hiányzó részt! Ha a kör sugarát egységnyire választjuk, akkor a teljes kör kerülete.., az ehhez tartozó középponti szög. A félkör kerülete., az ehhez tartozó középponti szög Bevezetünk a szög mérésre egy új mértékegységet. Az egységnyi sugarú körban az adott középponti szöghöz tartozó körív hosszával mérjük a szöget. Az így mért szög nagyságát ún. ívmértékben, radiánban kapjuk meg. Pl. 360 ívmértéke 2 π radián, 180 ívmértéke π radián. Az ívmértékben megadott szögeknél a mértékegységet nem szükséges kiírni: 180 = π (rad) 129. Folytasd az átváltást! 90 = (rad) 30 = (rad) 60 = (rad) 10 = (rad) 120 = (rad) 240 = (rad) 45 = (rad) 1 = (rad) 130. Most váltsd a radiánban megadott szögeket fokokra! π 2π π π (rad) = (rad) = (rad) = (rad) = 2 3 6 5π π 3π (rad) = (rad) = (rad) = 1 (rad) = 4 10 2 131. Határozd meg a következő középponti szögek nagyságát fokban és ívmértékben! 18

GEOMETRIA I. 132. Mekkora a sugara annak a körnek, melynek 3 π rad középponti szögéhez 16 cm hosszúságú húr tartozik? 133. Egy 15 cm sugarú körben mekkora húr tartozik a 5 π rad középponti szöghöz? 134. Adott egy 23 cm sugarú kör. a ) Számold ki, hogy milyen hosszúak azok az érintők, amelyeket a kör középpontjától 30 cm távolságra levő pontból húzunk a körhöz! b ) Mekkora szög alatt látjuk a kör középpontjából két érintési pontot összekötő húrt? Fokban és ívmértékben is add meg a szöget! 135. Egy körben a 20 -os kerületi szöghöz 5 cm hosszúságú ív tartozik. a ) Mekkora ez radiánban? b ) Mekkora ugyanehhez az ívhez tartozó középponti szög? c ) Mekkora a kör sugara? d ) Mekkora az ív két végpontját összekötő húr hozzá? 136. Váltsd át a fokba a körök mellett megadott radiánt és rajzold be a szögeket és a köríveket az ábrába. 137. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Ábrázold a kerületi és a középponti szögeket is! A kör sugara 3 cm. 19

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET II. Térgeometria II.1. Térben élünk, testek vesznek körül 138. A testeket felületek határolják. Válaszd ki az ábrán látható testek közül azokat, amelyeket sík lapok, és azokat, amelyeket görbe felületek határolnak! Írd be a számukat a halmazábrába! Milyen tulajdonsággal jellemezhetnéd a közös részbe kerülőket? 139. Az itt látható testek közül melyekre igazak az alábbi állítások? (A test sorszámát írd be!) Csak sík lapok határolják:... Téglalapok és háromszögek határolják:... Csak téglalapok határolják:... Csak háromszögek határolják:... Trapézok határolják:... Sokszögek határolják:... 140. Válaszd ki az alábbi testek közül azokat, amelyeknek bármely két pontját összekötő szakasz a testen belül vagy a felületén van! Írd ide a számukat!... Az ilyen testeket konvexnek nevezzük. Példa: a kocka esetében az állítás igaz. 20

GEOMETRIA I. II.2. Mik is azok a térelemek? Mit tudunk róluk? Vágjuk szét a testek felületét! Ha a testeket határoló felületeket szétvágjuk, a felületeket vonalak határolják. Ha a vonalakat feldaraboljuk, az egyenes vonaldarabokat pontok határolják. A geometriában a pont az egyenes, a sík és maga a tér is térelemek. Nézzük, mit lehet tudni róluk! 141. Rajzolj j és válaszolj! Ha nem megy, segíts magadon papírral, ceruzával! a) Hány egyenes húzható a tér 1 pontján át... b) Hány sík fektethető a tér 1 pontjára 2 pontjára... c) Hány sík illeszthető a tér 1 egyenesére... 2 pontján át...... 2 egyenesére... 3 pontjára... 3 pontján át?... 4 pontjára? 3 egyenesére?...... 142. Ezek után válaszolj! Hány pontja határozza meg az egyenest?... Hány pontja határozza meg a síkot?... Lehetnek-e e pontok az egyenesen?... Hány egyenes határozza meg a síkot?... 21

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 143. Mit tudunk a térelemek kölcsönös helyzetéről? II.3. Mértani testek A testek formája végtelen sokféle lehet, de próbáljuk meg valamilyen rendet teremteni közöttük. Régebben foglalkoztunk az úgynevezett hengerszerű testekkel. Az alábbiak közül te melyiket érzed ilyennek? Karikázd be a számát! Ha egy síkbeli vonal pontjain át a síkkal nem, de egymással párhuzamos egyeneseket húzunk, akkor egy végtelenbe nyúló felületet hengerfelületet kapunk. A síkbeli vonal a henger vezérvonala, a párhuzamos egyenesek a henger alkotói. Ha az így kapott végtelen hengert két, a kiindulási síkkal párhuzamos síkkal elmetszünk, hengerszerű testet kapunk. Nézd meg, hogy ennek a meghatározásnak megfelelően oldottad-e meg az előző feladatot! Ha nem, akkor javítsd ki! Ha a hengerszerű test vezérvonala sokszögvonal, akkor hasábhoz jutunk. Vannak egyenes hasábok, pl.: és ferde hasábok pl.: (Egyenes hasáb: alkotói merőlegesek az alaplap síkjára.) 22

GEOMETRIA I. 144. Milyen lapok határolják a hasábokat? a) Milyen lapok határolják az egyenes hasábokat? b) Hány lapja lehet a hasábnak? c) Hengerszerű test magasságán a párhuzamos lapok távolságát értjük. d) Milyen hasáb esetén egyezik meg a lapmagasság és a testmagasság? Szabályos hasábok: alapjuk szabályos sokszög: Paralelepipedon: olyan hasáb, amelynek minden oldala paralelogramma: 145. Jó-e ez a meghatározás? A hasábok azok a testek, amelyeknek van két olyan határoló lapja, amelyek egybevágó sokszögek. 146. Milyen testeket kapunk akkor, ha egy hasábot az alaplapjával párhuzamos síkkal metszünk? 147. Figyelj meg egy kockát! Válaszd ki az egyik csúcsot, és kösd össze azzal a csúccsal, amelyikkel nincs egy oldallapon! Így a kocka egyik testátlóját kapod. Hány testátlója van a kockának? Mekkora a testátló, ha a kocka éle 8 cm? 148. Töltsd ki a táblázatot! hasáb oldalszáma lapok száma (l) élek száma (é) csúcsok száma (c) Próbálj meg összefüggést találni l, é és c között! 23

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET Ha a hengerszerű test vezérvonala kör, akkor a kapott test henger. egyenes henger (alkotói merőlegesek az alaplap síkjára) ferde henger 149. Milyen alakú a henger síkmetszete, ha a metsző sík párhuzamos az alapokkal? 150. Milyen alakú a síkmetszet, ha a metsző sík az alaplapnak és a fedőlapnak a középpontjára illeszkedik? 151. Egészítsd ki az ábrákat úgy, hogy egy kocka hálóját kapjuk! 152. Lehet-e kockát hajtogatni az alábbi síkidomokból? 153. Hány éle van annak a testnek, amelynek hálója az alábbi ábrán látható! 24

GEOMETRIA I. 154. Melyik lehet, és melyik nem lehet a tetraéder hálója? 155. Az ábrán látható testek közül melyik forgáskúp? Melyik gúla? Ezek betűjeleit megfelelő sorrendbe rakva egy-egy szót kaptok. Ha a két szót egymás mögé rakjátok, egy összetett szó keletkezik. Melyik ez az összetett szó? Nevezzétek meg egyenként a gúlákat! (Pl. háromszögalapú szabályos gúla) 156. Melyik test hálója ez? Rajzold le másféleképpen is a test hálóját! A) Téglalap alapú gúla. B) Téglalap alapú hasáb. C) Derékszögű háromszög alapú hasáb. D) Derékszögű háromszög alapú gúla. 25

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 157. Add meg a CE testátló hosszát, ha AE = 5 cm, AB = 6 cm, BC = 8 cm! 158. Mekkora a 4 cm élhosszúságú kocka a) lapátlója; b) testátlója? 159. Mekkorák a 3; 4; 12 cm élhosszúságú téglatest a) lapátlói; b) testátlója? 160. Melyik lehet ezek közül a hálók közül egy gúla hálója? Mi a közös azokban a fogalmakban, ami a gúlák hálójára van írva? 161. Milyen szimmetriákat ismersz fel az alábbi testeken? a) szabályos hatszög alapú gúla b) szabályos ötszög alapú hasáb c) szabályos ötszög alapú test 26

GEOMETRIA I. 162. Melyik test hová tartozik? Írd a megfelelő helyre a test sorszámát! Gúla: Téglatest: Egyenes hasáb: Van két éle, ami merőleges egymásra: Hasáb: Kocka: Forgáskúp: Forgástestek: Forgáshenger: Körkúp: Minden lapja sokszög: Körhenger: 27

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET II.4. Felszín és térfogat 163. Egy kocka teljes felszíne 96 cm 2. Add meg a kocka térfogatát! 164. Egy téglatest egy csúcsába futó éleinek az aránya 2 : 3 : 4, felszíne 1400 cm 2. Mekkora a térfogata? 165. A rajz egy téglatest hálóját ábrázolja. Mekkorák a téglatest élei? Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 166. *** Egy 6 cm élhosszúságú kockát hat élének felezőpontjaira fektetett síkkal kettévágunk az ábra szerint. Rajzold le a vágás után testek hálóját, és határozd meg a felszínüket is! 167. *** Egy gömb alakú fagolyóból a lehető legnagyobb kockát faragják ki. Mekkora volt a gömb sugara, ha a keletkező kocka éle 10 cm? Vágjuk fel a hasábokat illetve a hengereket megfelelő módon, és terítsük ki síkba a határoló felületeket! Ez a test hálózata. A sokszöglapokkal határolt testek felszíne a határoló lapok területének összege. Ezt a hálózat ismeretében ki tudjuk számolni. Tehát a henger felszíne: ö ő ö á 168. A palást kiterítve milyen idomot ad? a) Mekkorák az oldalai? b) Tehát a palást területe: c) Így a henger felszíne: 28

GEOMETRIA I. 169. Számold ki a képen látható hasábok, illetve henger felszínét! 170. Henger alakú vastartályokat rozsdásodás ellen mázolnak. Hány kilogramm festéket használnak fel 12 tartály festéséhez, ha a tartályok átmérője 1,2 m, a magasság ennek 120%-a és 1 m 2 festésre negyed kg festékre van szükség? (A tartályt csak kívül festik, és mindkét alapját is befestik.) 171. Egy négyzet alapú egyenes hasáb magassága 2,5-szerese az alapélnek és a felszíne 108cm 2. Mekkora a test térfogata? 172. A kockát az ábra szerint kettészeltük. A kapott téglalap oldalai 5,00 cm illetve 7,07cm. Mekkora a kocka felszíne és térfogata? 173. Hány köbméter parkettával fedhető le egy 30m 2 -es szoba, ha a parketta vastagsága 2,5 cm, és 10% hulladékra kell számítani? 174. Egy téglatest élei 3 és 4 cm hosszúak. A testet az ábra szerint kettészeltük. Az így kapott téglalap négyzet. Mekkora a test magassága, felszíne és térfogata? Bizonyítható, hogy általában is igaz, hogy a hengerszerű testek térfogata az alapterület és a testmagasság szorzata: = 175. Egy rombusz alapú egyenes hasáb magassága 10 cm. A rombusz átlói 6 cm, illetve 4 cm hosszúak. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata? 176. Mekkora az egy literes konzervdoboz átmérője, ha a magassága 12 cm? 177. Egy henger alakú tartály félig volt folyadékkal. Amikor hozzáöntöttek 350 litert, akkor részig lett tele. Milyen mély a tartály, ha az alapjának sugara 5,5 dm? 178. Egy szabályos háromszög alapú hasáb alapéle 20 cm, magassága 3 dm. Mekkora a térfogata? 29

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 179. Egy négyzetes oszlop alapéle 7 dm, magassága 0,6 m. Rajzold meg a testet és a hálóját! Mennyi a felszíne és a térfogata? 180. Egy egyenes hasáb alapja egyenlőszárú háromszög, melynek alapja 6 cm, szára 5 cm. A test magassága 0,6 dm. Rajzold meg a test hálóját, és számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 181. Egy négyzet alapú egyenes hasáb térfogata 19,845 dm 3, alapjának kerülete 84 cm. Mekkora a felszíne? 182. Egy egyenes hasáb alapja szimmetrikus trapéz, amelynek alapjai 21 cm és 16 cm, szárai pedig 9 cm hosszúságúak. Mekkora a hasáb felszíne és térfogata, ha a test magassága 10 cm? 183. Egy 6 méter magas vasúti töltés felül 8 méter széles. Keresztmetszete olyan egyenlő szárú trapéz, amelynek szárai 7,3 m hosszúak. Hány m 3 földmunkát kíván egy 50 m hosszú szakasz elkészítése? 184. Szabályos hatszög alapú egyenes hasáb testmagassága 4,5 cm. A hatszög oldala 4 cm. Rajzold le a hálóját! Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 185. Határozd meg a szabályos hatszög alapú egyenes hasáb leghosszabb testátlójának hosszát, ha minden éle 12 dm! 186. Egy egyenes körhenger alapkörének átmérője 6 dm, alkotója 50 cm. Rajzold le a testet perspektivikusan, és a hálóját is! Mennyi a felszíne és a térfogata? 187. Nagymama azt kéri a közelben lakó Péter unokájától, hogy az 5 literes fazekat vigye át neki, mert finom levest szeretne készíteni a családi ünnepre. Péter nézegeti az edényeket, de az aljukról már lekopott a jelzés, hogy hány literesek. Azt gyanítja, hogy a 20 cm átmérőjű alapkörrel rendelkező, 17 cm magas fazékra gondolt a nagyi. Megfelelő lesz-e a kiválasztott edény? 188. Mennyi bádoglemez szükséges 50 db 12 cm átmérőjű, 1 m hosszú kályhacső elkészítéséhez? 189. Egy egyenes körhenger alapkörének sugara 10 cm, térfogata 1000 cm 3. Mekkora a magassága? 190. Egy egyenes körhenger felszíne 4532,6 cm 2, tengelymetszetének területe 969,5 cm 2. Mekkora a térfogata? 191. Egy egyenes körhenger palástja kiterítve négyzet, amelynek oldala 42 cm. Egy egyenes körhenger felszíne 6418 cm 2, az alaplap sugarának és a henger magasságának az aránya 4 : 5. Mekkora az alaplap sugara és a magassága? 192. Henger alakú, felül nyitott edény készítéséhez 480 cm 2 lemezt használnak fel. Mekkora az edény térfogata, ha alapkörének sugara 6 cm? 193. Egy óránként 82 hl vizet adó forrás egy 7,5 m átmérőjű henger alakú medencébe folyik. Mennyit emelkedik a vízszent 4 óra alatt? 30

GEOMETRIA I. 194. Egy 6 cm és 8,5 cm oldalú téglalapot megforgatunk a rövidebb oldala körül. Mekkora kora az így keletkezett henger felszíne és a térfogata? II.4.1. A gúla A gúla olyan test, amelyet egy sokszöglap és annyi egy csúcsba összefutó háromszöglap határol, ahány oldala van a sokszögnek. A sokszög a gúla alapja, a háromszögek a gúla oldallapjai. Az alapokat határoló élek az alapélek. Az oldallapok az oldalélekben találkoznak. Az oldalélek egy pontban, a gúla csúcspontjában (csúcsában) futnak össze. Az oldallapokat együtt a gúla palástjának nevezzük. Oldallapmagasság: a palást egy háromszögének (oldallapjának) a magassága. Testmagasság: a csúcsból az alap síkjára bocsátott merőleges szakasz hossza. A szabályos gúla alapja szabályos sokszög, oldalélei egyenlő hosszúak, tehát oldallapjai egybevágó egyenlőszárú háromszögek, és az alappal alkotott hajlásszögük is egyenlő. szabályos tetraéder szabályos négyoldalú gúla szabályos hatoldalú gúla 195. Határozd meg a négyzet alapú szabályos gúla testmagasságát, ha minden éle 10 cm hosszú! 196. Egy hangya az A csúcsból a B csúcspontba a lehető legrövidebb úton szeretne eljutni a négyzet alapú szabályos gúla felületén, az oldallapokon haladva. A gúla minden éle 5,6 cm. Mekkora utat kell megtennie? 197. Egy négyzet alapú egyenes gúla alapéle 8 cm, a test magassága 0,3 dm. Rajzold le a testet perspektivikusan, és a hálóját is! Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 198. Egy négyzet alapú gúla palástját olyan háromszöglapok alkotják, melyek szárai épp egy méteresek, a háromszög magassága 8 dm. Rajzold le a testet, és kiterített hálóját is! Számold ki a gúla felszínét és térfogatát! 199. Egy tetraéder egyik csúcsába befutó élek páronként merőlegesek egymásra, hosszuk 12 cm, 18 cm és 32 cm. Számítsd ki a tetraéder térfogatát! 31

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET II.4.2. A kúp Az egyenes körkúp alaplapja kör. Az egyenes körkúp magassága a csúcsból az alaplap középpontjába állított merőleges szakasz. A forgáskúp alkotói i egyenlő hosszúak, a csúcsot az alaplap középpontjával összekötő szakasz merőleges az alaplap síkjára. A ϕ szöget a kúp nyílásszögének nevezzük. 200. Egy kúpot készítünk, melynek palástja egy félkör, melynek sugara 20 cm. Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 201. Forgáskúpok hálóját látod az alábbi ábrákon. a ) Számítsd ki a forgáskúpok alapkörének sugarát, ha az alkotó (palástot alkotó körcikk sugarának) hossza 24 cm. b) Számítsd ki a fenti forgáskúpokban az alkotó hosszát (palástot alkotó körcikk sugarát), ha az alapkör sugara 6 cm! 202. Egy egyenes körkúp alapkörének átmérője 16cm, magassága 6cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? 203. Mekkora annak a forgáskúpnak a felszíne, mely alapkörének sugara 6 cm, alkotója 10 cm. 204. A wigwam forgáskúp alakú indián sátor (alja nincs). a ) Mekkora bőrből készült az a wigwam, melynek alapkörének átmérője és alkotója 2 m? b ) Hány m 3 levegő fér a wigwamba, ha alapkörének átmérője és magassága 2 m. 205. Építőkockából tornyot építünk egy forgáskúp alakú és egy forgáshenger alakú építőelemből. Mekkora a térfogata, ha a henger átmérője 4 cm, magassága 8 cm, a kúp éppen ráillik, és magassága 3 cm? 206. Mekkora a kúp alakú sóderhegy térfogata, a, ha magassága 4 méter, és a talajon 2 méter sugarú kört foglal el? Hány teherautóval tudják elszállítani, ha egy kis teherautó maximális terhelhetősége 1,4 tonna? A sóder sűrűsége 1600 kg/m 3. 32

GEOMETRIA I. III. Feladatgyűjtemény 1. Szerkessz háromszöget, ha adott két oldala (a és b), és az a oldallal szemközti α szög. (Itt elég a három feladathoz egy közös vázlat.) Figyeld meg a megoldások számát! a ) a = 10 cm, b = 8 cm, α = 45 c ) a = 5 cm, b = 3 cm, α = 60 b ) a = 4 cm, b = 10 cm, α = 45 2. Adott egy háromszög egyik szöge és a másik két külső szög aránya. Számítsd ki a hiányzó szögeket! a) 70 és 2 : 3; b) 30, 8 : 13 3. Egy háromszögben a legnagyobb szög a másik két szög összegének kétszerese. A két kisebb szög aránya 2 : 3. Mekkorák a háromszög szögei? 4. Egy falu határában egy vállalkozó egy kör alakú halastavat szeretne létesíteni egy háromszög alakú telken. Ezt a telket az egyik oldalról 1,2 km hosszan a műút határolja, a másik két oldalról pedig két dűlőút, az egyik 800 m, a másik 1,5 km hosszan. Hol legyen a havastó közepe, hogy a lehető legnagyobb területű legyen? Határozd meg, hogy legfeljebb mekkora lehet a tó sugara! 5. Szerkessz egyenlőszárú háromszöget, ha adott az alapja (5 cm), és az a szög, amelyet az alap az egyik szárhoz tartozó súlyvonallal bezár: 30! 6. Egy háromszög egyik szöge a másik két szög összegének a harmada. E két másik szög aránya 1 : 2. Mekkorák a háromszög szögei? Hol van a köré írt kör középpontja: a háromszögön belül, kívül vagy a határán? 7. Három testvér egy nagy, trapéz alakú földet örökölt, melynek egyik alapja éppen kétszer akkora, mint a másik. Hogyan osszák fel igazságosan egymás között? 8. Egy egyenlő szárú háromszög szára 75 mm, alapja 90 mm. Hány cm 2 a területe? 9. Rajzold be a hiányzó négyszöget, és írd be a nevét! 10. Egy deltoid átlói 75 mm, illetve 60 mm hosszúak. A rövidebb átló harmadolja a hosszabbat. a ) Mekkora a deltoid kerülete? b ) Mekkora a deltoid területe? c ) Szerkeszd meg a deltoidot! 33

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 11. Szerkeszd meg az alábbi deltoidot! Rövidebbik oldala 4 cm, hosszabb oldala 5,5 cm, a két különböző hosszúságú oldal által közbezárt szög 120. A szükséges adatok lemérése után határozd meg mekkora a deltoid területe! 12. Egy paralelogramma területe 44 dm 2. Mekkora az oldalának hossza, ha a hozzá tartozó magasság 40 cm? Létezik-e ilyen paralelogramma? 13. Szerkessz paralelogrammát, ha két oldala 5,4 cm és 6 cm, egyik szöge pedig 30! A szükséges adatok lemérése után számold ki a területét, kerületét! 14. Szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalai 6 cm és 12 cm, a szárai 8 cm hosszúak. Mekkora a trapéz területe? 15. Az ábrán látható két szakasz ugyanazon kör két húrja. Szerkeszd meg a kört! 16. Egy motoros 90 m sugarú, félkör alakú úton halad. Mennyi idő alatt teszi meg a félkört, ha sebessége 50 km/h? 17. Mekkora az ábrán látható kék rész területe, ha a körök sugara egyaránt 5 cm? 18. Mekkora középponti szög tartozik ahhoz a körcikkhez, amely a kör területének 70%-át befedi? 19. Pompomot szeretnél készíteni, ezért egy körgyűrűt vágsz ki. A Nagykör átmérője 20 cm, a kiskör átmérője 5 cm. Mekkora a gyűrű területe? Mekkora területet tud lefedni a fonal, ha 3-szor tekered körbe a fonalat a körgyűrűn? 20. Egy b53-as csavaralátéthez két 5 mm illetve 3 mm átmérőjű lyukasztót használnak. Mennyi lesz egy alátét területe? Hány alátétet tudnak gyártani egy 30 cm-szer 5 cm-es lapból, ha a legkevesebb hulladékot állítják elő. Mennyi lesz a hulladék területe? 21. Egy körben a 40 -os középponti szöghöz 5 cm hosszúságú ív tartozik. a ) Mekkora kerületi szög tartozik a 12 cm-es ívhez? b ) Mekkora ívhossz tartozik a 70 -os kerületi szöghöz? 22. Mekkora a 24 cm átmérőjű kör középpontjának és a húrnak a távolsága, ha a húrhoz tartozó kisebbik íven nyugvó kerületi szög nagysága 34

GEOMETRIA I. 23. Töltsd ki a táblázat hiányzó részeit! Ábrázold a kerületi- és a középponti szögeket is! A kör sugara 12 cm. 24. Mekkora a színezett rész területe, ha a kisebb kör sugara 18 cm, és α = 60,β = 45? 25. Karikázd be a konvex testeket a képen! 26. Számítsd ki annak a szabályos hatszög alapú egyenes hasábnak a térfogatát, melynek alapéle 5 cm, magassága 8 cm! Számítás előtt rajzold meg a hálóját! 27. Egy egyenes hasáb alaplapja olyan húrtrapéz, melynek alapjai 10 cm és 4 cm. Rajzold meg a test hálóját! A test magassága 5 cm. Számítsd ki a felszínét és a térfogatát! 28. Egy egyenes körhenger alaplapjának területe 34 cm 2, magassága 48 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? 29. Egy egyenes körhenger alapkörének átmérője és a magassága egyenlő. Mekkora a felszíne és a térfogata, ha sugara 8 cm? 35

NEGYEDIK EPOCHAFÜZET 30. Egy egyenes körhenger alapkörének átmérője 16 cm, magassága 10 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata? 31. Tanuljunk meg testeket felismerhetően ábrázolni! 36