Általános tudnivalók Emlékeztetünk arra, hogy a válaszlapon minden feladat megoldását egész számként kell feltüntetni (0000-tól 9999-ig). Ha a kapott eredmény nem egész szám, akkor annak alsó egész részét közöljétek válaszul. Ha az eredmény negatív szám, vagy a feladatnak nincs megoldása, akkor 0000-t írjatok. Ha az eredmény nagyobb 9999-nél, vagy nem egyértelmű, akkor 9999-t írjatok. A számolás során jól jöhetnek az alábbi közelítő értékek: 2 = 1.4142 3=1.7321 7 = 2.6458 π=3.1416 Fontos időhatárok Az első 30 perc leteltével már nem lehet a szöveggel kapcsolatos kérdéseket feltenni. A kérdéseket csak a csapatkapitányok tehetik fel a kérdések asztalánál. 90 perc elteltével: a versenynek vége. 1. Játékszenvedély 10 pont Bergengócia fővárosának alvilági játékbarlangjaiban népszerű a kockázás. Egy helyi különlegesség a koppanós, amikor a két kockán kijött szám legnagyobb közös osztója 1. Írjuk a koppanós valószínűségét m/n alakban, ahol a tört nem egyszerűsíthető. Mennyi m + n? 2. Dinasztiák 10 pont Ôsi hagyomány szerint Bergengócia valamennyi uralkodójának a Manfréd nevet kell viselnie és a sorszámuk révén különböztetik meg őket. A dinasztia alapítója természetesen I. Manfréd volt, de különös végrendelete nyomán a trónralépéskor az egyes uralkodók az a n+1 = 7a n +1 szabály szerint kapják a sorszámukat elődjük sorszáma, a n alapján. Ugyancsak a végrendelet szerint azok az uralkodók, akiknek az így adódó sorszáma osztható 30-cal, a "Szerencsés" melléknevet kapják. A dinasztia hányadik uralkodója volt a legelső Szerencsés Manfréd? 3. A kínzókamra 15 pont A jelenlegi Manfréd titkos várbörtönében mindegyik helyiségnek pontosan háromjegyű száma van. A királyi főfoglár azt kapta feladatul, hogy az új matematikai kínzókamra száma legyen a legkisebb mindazon háromjegyű számok között, amelyek jegyei különbözők, maga a szám pedig egyenlő a jegyei permutálásával adódó hat szám számtani közepével. Mi legyen a kínzókamra száma? 1
4. Pénz beszél 20 pont Degesz Dagobert bergengóc kereskedő úgy állapította meg az árait, hogy mindegyikük pozitív egész legyen, osztható legyen 30-cal, továbbá pontosan 30 osztója legyen. Dagobert mester az összes ilyen pozitív egész összegének utolsó négy számjegyét akarja négyjegyű számként a cégtáblájára vésetni. Mi ez a négyjegyű szám? 5. Piactér 20 pont Bergengócia fővárosának piactere háromszög alakú, oldalai 20, 50 és 60 bergengóc öl hosszúak. A város két kereskedő céhe két részre kívánja osztani a piacteret egy egyenes vonal mentén, melynek végpontjai a háromszög egy-egy oldalán vannak, a hossza 10 bergengóc öl és a két rész közül a kisebbik területe a piactér területének a negyede. Hány ilyen felosztás lehetséges? 6. Bergengóc pénzügyek 25 pont A bergengóc valuta a tallér, az országban viszont nincs forgalomban egytalléros érme. A legkisebb címlet a 11 talléros és minden érme tallérban kifejezett értéke palindrom. Dagobert mester és a kereskedők tanácsa pénzreform bevezetését sürgetik, mondván, hogy a rendelkezésre álló címletek felhasználásával nem minden összeg fizethető ki pontosan. (37 tallérnyi összeg például nem állítható elő.) Mi az a legnagyobb összeg, amelyet nem lehet a Bergengóciában forgalomban lévő érmék felhasználásával kifizetni? 7. Megfelelő ember a megfelelő helyre 25 pont A királyi testőrség 9999 tagja parancsnokot választ. A testőrök sorszámot kapnak 1-től n 9999-ig, majd az n sorszámú testőr s n = sráfot varrat a nadrágjára. Az lesz a [ n] parancsnok, akinek a sorszáma a legnagyobb az olyan legfeljebb négyjegyű n egészek között, amelyekre s n - 1 > s n. Hányas számú testőr lesz a parancsnok? 8. Királyi igazságszolgáltatás 30 pont Bergengócia uralkodóinak különös szeszélyei vannak, jogérzékük olykor egyenesen hajmeresztő. A jelenlegi Manfréd egy alkalommal például feleltetés közben közölte két elé járuló atyafival, hogy annak a javára itélkezik majd, aki előbb megmondja, hány egész megoldása van a 4x +12y + 3z 2 = 2004 egyenletnek. Mit mondott a per nyertese? 9. A varázsige 30 pont Dödölle mester, a fekete mágia szakértője új, különösen hatásos varázsigét dolgozott ki. Ahhoz, hogy aktiválódjék, a 2004-et kell felírnia úgy, hogy ehhez csak az 1-es számjegyet és az összeadás műveletét használja fel. Hányféleképpen aktiválhatja a varázsigét Dödölle mester? (Az összeadandók sorrendjére nem vagyunk tekintettel.) 2
10. Bergengóc lottó 35 pont Hogy a megcsappant királyi kasszát feltöltse, Harács Harold kincstárnok új lottó bevezetését fontolgatja. Minden héten két számot húznának ki egy urnából visszatevés nélkül. Ha N a nagyobbik és n a kisebbik, akkor az udvari mágusok meghatároznák, hogy az,,..., számok között hány n-nel osztható van és erre az értékre 0 1 N lehetne fogadni. Mi volna a nyertes tipp, ha az 5-öt és a 37-et húzzák ki? 11. Katonadolog 35 pont VIII. Manfréd reformja racionális alapokra helyzte a bergengóc hadsereg szervezetét. A közkatonák rangfokozata R 1 = 2004, a további rangfokozatok számértékét pedig az R 1 + R 2 +...+R n = n 2 R n formula alapján állapítják meg. A bergengóc hadseregfőparancsnok rangfokozata R 2004. Írjuk ennek a rangfokozatnak a számértékét m/n alakban, ahol a tört nem egyszerűsíthető. Mennyi m + n? 12. A trónteremben 40 pont Bergengócia tróntermének megvilágítását tíz nagy ablak biztosítja. Az egyes ablakokat belülről egy-egy függöny, kívülről pedig egy-egy redőny sötétíti el. A királynő főudvarhölgye kiszámolta, hányféleképpen lehet egymástól függetlenül becsukni illetve kinyitni az egyes függönyöket illetve redőnyöket úgy, hogy végül páros sok ablakon át jöjjön be a fény. A hoppmester ugyanezeket a lehetőségeket számolta össze arra az esetre, amikor végül páratlan sok ablakon jön be a fény. Mennyi ennek a két értéknek a különbsége? 13. Kolonializáció 40 pont A bergengóc koronaherceg 13 addig lakatlan szigetet csatolt a birodalomhoz, hogy 25 városból álló kolóniát alapítson a következő módon: 1.) minden szigeten legyen legalább egy város; 2.) különböző szigeteken lévő bármely két város között legyen közvetlen hajójárat, amelyeken különböző hajók közlekednének. Legalább hány kapitányt kell szerződtetnie? 14.) Gondűző borocska mellett 45 pont Atanáz, Bórembukk, Cicere, Dugó és Edömér szívesen iszogatnak a Hattyúhoz címzett fogadóban. Egy alkalommal, miután a fogadós kihozta a boroskancsót a hagyományos 750 bergengóc gyűszűnyi borral és bort töltött a kupákba, ők öten, hogy megpecsételjék barátságukat, az első köszöntő előtt újra elosztották egymás között a bort. Atanáz a saját kupájának a tartalmát négy egyenlő részre osztva átöntötte a többiek kupáiba, ezután ugyanígy tett Bórembukk is, majd sorban a többiek. Mikor Edömér is végzett, a fogadós észrevette, hogy valamennyiük kupájába éppen annyi bor került, mint amennyi kezdetben volt. Hány gyűszű bor volt Cicere kupájában? 3
15.) A korona 45 pont A bergengóc korona egy körkörös fejpánt, amelynek homlokrészét jókora igazgyöngy ékesíti. A koronát most tovább akarják díszíteni, nyolc, egymástól egyenlő távolságra elhelyezett drágakővel. A kincstárban ehhez négyféle kő állt rendelkezésre: rubin, smaragd, topáz és ametiszt. Manfréd ragaszkodik hozzá, hogy egymás mellé ne kerüljenek azonos tipusú drágakövek. (Ez még arra a két kőre is vonatkozna, amelyek az igazgyöngyöt fogják közre. ) Hányféle díszítés lehetséges? 16.) Újra a fogadóban 50 pont Az öt jóbarát ismét a fogadóban múlatja az időt. Mindegyiküknél van egy zacskó üveggolyó: ezekkel játszanak. Megszámolják a zacskók tartalmát és ha nincs két egyenlő, akkor az, akinek a legtöbbje van, ad egyet-egyet a töbieknek. Ha van két játékos, akiknek ugyanannyi üveggolyója van, a játék véget ér. Kezdetben Atanáznál 101, Bórembukknál 70, Cicerénél 17, Dugónál 104, végül Edömérnél 113 golyó van. Hányadik lépés után lesz Cicerének több golyója, mint bárki másnak? 17.) Királyi költségvetés 50 pont A szigetek körüli háborúskodás a csőd szélére sodorta a költségvetést: a kincstár hiánya túllépte az első húsz faktoriális szorzatát, a baljós K = 1! 2! 3!... 20! értéket. Hogy csökkentse az államadósságot, Harács Harold bizonyos számok használatának a betiltását javasolja Manfréd királynak, mégpedig úgy, hogy a fenti szorzatban a meghagyott számok faktoriálisának szorzata négyzetszám legyen. Mennyi az így betiltható számok szorzatának a minimuma? 18.) Felvilágosult abszolutizmus 55 pont Az akadozó hadjárat hadseregreformok bevezetésére késztette Manfréd királyt. Az újítás lényege, hogy a rangfokozatokat ezután minden pozitív egész n-re az A n = n 3 + 3 formula alapján számolják ki. Melyik az a legnagyobb egész szám, amelyik osztója az A n sorozat valamely két szomszédos tagjának? 19.) A királyi múzeumban 60 pont Az új királyi múzeum alaprajza egyenlő oldalú háromszög, melynek oldala 150 bergengóc láb. A csarnokot 225 háromszög alakú kiállítóteremre osztották. Bármely két szomszédos termet 10 láb hosszú fal választ el, amelyen van egy ajtó. Legfeljebb hány termet lehet bejárni, ha nem megyünk át kétszer ugyanazon az ajtón? 20.) Életre-halálra 60 pont A forrófejű bergengóc lovagok nyakra-főre párbajoznak. Ilyenkor egy feladványt kell megoldaniuk, amelyet Dödölle mester tűz ki nekik pirkadatkor. A mai párbaj tárgya a következő: "a [-23; 23] intervallumbeli a 1, a 2,, a 13 valós számokra készítsük el a (a 1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 +... + a 12 a 13 + a 13 a 1 ) összeget. Mennyi ennek a maximális értéke?" 4
21.) A sötét torony 65 pont Dödölle mester varázstornyot épít. A torony magasságának meghatározásához a fekete mágiához folyamodik: választ egy legfeljebb 2004-edfokú p(x) polinomot, amelynek minden együtthatója -1, 0 vagy 1, továbbá p(2) = 6. A fóliánsok szerint a toronynak p(1) - p(-1) láb magasnak kell lennie. Dödölle mester a lehető legmagasabb tornyot szeretné, hogy zavartalanul töprenghessen sötét feladványain. Mekkora lehet a torony? 22.) Lovagi torna 70 pont A bergengóc lovagok minden évben lovagi tornán mérik össze erejüket; a piactéren már készül a tetraéder alakú sátor. A műveleteket Dödölle mester irányítja, aki először két merevítőrudat helyez el a térben egymástól 36 nagyarasz távolságra úgy, 30 -os szöget zárjanak be. Ezután egyikükön kijelöli az A és B, másikukon pedig a C és D pontokat: az ABCD tetraéder térfogata pontosan 303 bergengóc köböl kell legyen. (Az 1 bergengóc köböl térfogatú kocka éle 1 nagyarasz.) Ebben az évben sikerült úgy megválasztania a pontok helyét, hogy mind AB, mind CD mérőszáma egész. Mennyi az AB + CD összeg? 23.) A titkos rekesz 80 pont A királyné szekrénykéjének titkos rekeszében őrzi híres nyakékét. A rekeszt kombinációs zár védi. A négyjegyű kód az a legnagyobb k egész, amelyhez vannak olyan relatív prím m, n pozitív egészek, amelyekre 5 n + 7 n és 5 m + 7 m legnagyobb közös osztója k. Mi a titkos kód? 24.) A királyné nyaklánca 85 pont A feladat elolvasható Molnár András és Mánfay Máté útibeszámolójában a büfénél. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- JÓ MULATÁST! A VERSENYEN ILYESMIRE LEHET SZÁMÍTANI, ÚGYHOGY ÉRDEMES MEGSZERVEZNI A CSAPAT MUNKÁJÁT. 5