Mikrohullámú aluláteresztő szűrők tápvonalas megvalósítása Nagy Lajos BME-HVT Szélessávú Hírközlés és Villamosságtan Tanszék (kutatási jelentés) 5 Pro Progressio Alapítvány
Mikrohullámú aluláteresztő szűrők tápvonalas megvalósítása Bevezetés A továbbiakban mikrohullámú, aluláteresztő szűrők vizsgálatát végezzük el. Először az elosztott paraméterű szűrő realizációnál alkalmazott átalakításokat (Richads transzformáció, uroda-levy azonosságok, impedancia és admittancia inverterek tulajdonságai) foglaljuk össze. A koncentrált paraméterű szűrőt a realizáció során ismertnek tételezzük fel és az elosztott paraméterű tápvonalas realizáció néhány lehetséges kialakítását mutatjuk be. A szűrők szelektív tulajdonságú négypólusok, melyek a működési frekvenciatartomány egyes részein, az áteresztő sávban kis csillapításúak, más részein, a zárósávban nagy csillapításúak. A szűrők általában valós (ohmos) lezárások között működnek és jellemző csillapításukat (A) a generátorból maximálisan kivehető hatásos teljesítmény (P gmax ) és a terhelésre jutó hatásos teljesítmény (P L ) viszonyával adjuk meg (). P be A log () PL ahol max g be P P Γ P g Γ a négypólusba betáplált hatásos teljesítmény a négypólus bemeneti feszültség reflexiós tényezője P gmax P be P L U g Szűrő L P refl. ábra A szűrő, mint négypólus csillapítás modellje A szűrők koncentrált paraméterű tervezésével (approximáció és koncentrált paraméterű szűrőrealizáció) nem foglalkozunk, azt feltételezzük, hogy ez a tervezési lépés reaktáns
elemekből felépített létrahálózatra vezetett. A továbbiakban a mikrohullámú szűrők realizációját vizsgáljuk meg. A koncentrált paraméterű létraelrendezésű szűrők a szűrő típusoktól (aluláteresztő, felüláteresztő, sáváteresztő és sávzáró) függően az alábbiak. jx jx 3 jx n jx jx 4 jx (n-) jb jb (n-) jb jb 3 jb n vagy. ábra Aluláteresztő szűrő realizációi jx jx 3 jx n jx jx 4 jx (n-) jb jb (n-) jb jb 3 jb n vagy 3. ábra Felüláteresztő szűrő realizációi jx jx 3 jx n jx jx 4 jx (n-) jb jb (n-) jb jb 3 vagy 4. ábra Sáváteresztő szűrő realizációi jb n jx jx 3 jx n jx jx 4 jx (n-) jb jb (n-) vagy jb jb 3 jb n 5. ábra Sávzáró szűrő realizációi. Richards transzformáció A Richards transzformáció az ω síkot az Ω síkra képezi le a következő transzformációval ω l Ω tan β () ( l) tan v p A transzformációt P. Richards vezette be az L hálózatok végén rövidzárt ill. végén szakadással lezárt tápvonalszakaszokkal történő megvalósítására. Ez alapján a tekercs reaktanciájának végén rövidzárt, l hosszúságú tápvonallal történő közelítése:
jx L jωl jl tan ( β l), (3) a kondenzátor szuszceptanciájának végén szakadással lezárt, l hosszúságú tápvonallal történő közelítése: jb jω j tan ( β l) (4) Általános esetben a tápvonal l hosszúságát úgy választjuk, hogy aluláteresztő szűrő esetén az áteresztő sáv határán Ω tan( β l) (5) teljesüljön, ekkor l λ / 8, ahol λ a hullámhossz az áteresztő sáv ω c határ-körfrekvencián. A tápvonalakkal megvalósított szűrő jellemzője, hogy az áteresztő sáv ω c határ-körfrekvenciáján a szűrő elektromos jellemzői (csillapítás, bemeneti reflexió) azonosak a koncentrált paraméterű szűrő jellemzőivel, ettől eltérő frekvencián a jellemzők eltérnek. Az áteresztő sáv ω c határkörfrekvenciájának kétszeres frekvenciáján a tápvonalak λ / 4 hosszúságúak, ami csillapítás pólusként jelentkezik. A tápvonalakkal felépített szűrők másik fontos jellemzője a 4 ω c periodicitás.. Táblázat oncentrált paraméterű elemek elosztott páraméterű helyettesítései (Richards) oncentrált paraméterű hálózat Elosztott paraméterű (tápvonal) hálózat R R Ellenállás Ellenállás (jω)jωl (ω)j tan(ωl/c) l Tekercs Végén rövidrezárt tápvonal
Y(jω)jω Y(ω)jY tan(ωl/c) Y l ondenzátor Végén szakadással lezárt tápvonal Richards nyomán a tápvonalszakaszt, mint a realizálásnál megengedett négypólust egységelemnek nevezzük. l Y UE 6. ábra A tápvonalszakasz (egységelem) A 6. ábrán látható tápvonalszakasz láncmátrixa A ω cos l vp j ω sin l vp ω j sin l vp ω cos l vp Látható, hogy az UE egységelem láncmátrixának minden eleme irracionális. A tekercs, végén rövidzárt tápvonal és a kondenzátor, végén szakadással lezárt tápvonal bemeneti impedanciáját a 7.a és 7.b ábrán hasonlítjuk össze. (6) Tekercs és tápvonal reaktanciája 9 8 Reaktancia [Ω] 7 6 5 4 3 Tekercs Tápvonal.5.5 Frekvencia [GHz] 7.a ábra Tekercs és végén rövidzárt tápvonal bemeneti impedanciája (reaktancia)
9 8 ondenzátor és tápvonal reaktanciája ondenzátor Tápvonal 7 -Reaktancia [Ω] 6 5 4 3..4.6.8..4.6.8 Frekvencia [GHz] 7.b ábra ondenzátor és végén szakadással lezárt tápvonal bemeneti impedanciája (a Reaktancia (-)-szerese) Ha a reaktanciák kapcsolatát tovább vizsgáljuk, akkor megállapíthatjuk, hogy a tápvonalak reaktanciája a frekvencia periódikus függvénye (7.c. ábra), ezért a tápvonalakkal realizált szűrők elektromos jellemzői periódikus tulajdonságúak. 3 Tekercs és tápvonal reaktanciája 5 5 Reaktancia [Ω] 5-5 - Tekercs Tápvonal -5-3 4 5 6 7 8 Frekvencia [GHz] 7.c. ábra Tekercs és végén rövidzárt tápvonal bemeneti impedanciája (reaktancia) A 7.d. ábrán megmutatjuk, hogy a tekercs és végén rövidrezárt tápvonalszakasz impedanciájának egy frekvencián előírt egyezése összetartozó tápvonal hullámimpedanciák és tápvonalhosszak mellett biztosítható.
Tekercs és tápvonal reaktanciája Reaktancia [Ω] 8 6 4 Tekercs Tápvonal Tápvonal Tápvonal3.5.5 Frekvencia [GHz] 7.d. ábra Tekercs és végén rövidzárt tápvonalak bemeneti impedanciája (reaktancia). uroda-levy azonosságok A uroda-levy féle ekvivalens kapcsolásokat elterjedten alkalmazzák gyakorlatban megvalósítható ekvivalens kétpólusok előállítására. Az ekvivalens átalakítás lényege, hogy az egységelem egyik oldalán lévő kétpólust egy értéktranszformáció után át tudjuk helyezni az egységelem (6. ábra) másik oldalára. A uroda-levy féle ekvivalens kapcsolásokat a. Táblázatban foglaljuk össze.
. Táblázat Ekvivalens kapcsolások L Elemértékek Y Y + ω e UE Y UE Y L Y Y L + ω L e UE UE L UE L L 3 UE L 3 + L L L L ( + L) ( L + ) UE Y L L Y L L Y + L LY L Y Y Y ( + L) ( + Y ) LY L UE Y
A. Táblázat alapján tápvonalakra igazoljuk az első két uroda-levy átalakítás helyességét a kétkapuk láncmátrixának összehasonlításával. L l UE UE Y Y l l l 8. ábra A uroda-levy azonosság alapján átrendezett kétkapu Az 8. ábra baloldali tápvonal áramkörének láncmátrixa: cos A j sin ( β l) j sin( β l) ( β cos( β l) j tan ( β l) cos j sin ( β l) sin( β l) tan( β l) j sin( β l) ( β l) j cos( β l) tan( β l) + cos ( β l) Az 8. Ábra jobboldali tápvonal áramkörének láncmátrixa: j tan A cos jsin ( β l) ( β l) j sin( β l) ( β cos( β l) ( β l) sin( β l) tan( β l) j cos( β l) tan( β l) + j sin( β l) ( β l) cos jsin cos ( β l) A két áramkör akkor ekvivalens, ha a láncmátrixok egyenlőek, A A, azaz a mátrixok elemei azonosak. A láncmátrixok főátlójának elemeiből a főátlón kívüli elemek két további egyenletet adnak: j sin ( β l) j cos( β l) tan( β l) + j sin( β l) jsin( β l)[ + ]
jsin ( β l) jsin( β l) j cos( β l) tan( β l) + jsin ( β l) + A két egyenlet rendezés után + + A tápvonalak hullámimpedanciái közötti kapcsolat, mely mindhárom egyenlőséget biztosítja: (7) + n (8) + + n ahol n + (9) A. Táblázat második uroda-levy átalakítása UE L l l UE l l 9. ábra A uroda-levy azonosság alapján átrendezett kétkapu Az 9. ábra baloldali tápvonal áramkörének láncmátrixa: cos A j sin cos j sin cos j sin ( β l) j sin( β l) ( β cos( β l) tan ( β l) ( β l) j sin( β l) + j cos( β l) tan( β l) ( β cos( β l) sin( β l) tan( β l) ( β l) j sin( β l)[ + ] ( β cos( β l) sin( β l) tan( β l) j
Az 9. ábra jobboldali tápvonal áramkörének láncmátrixa: A tan j jsin jsin ( β l) cos jsin ( β l) j sin( β l) ( β cos( β l) cos( β l) j sin( β l) ( β l) jsin( β l) + cos( β l) sin( β l) tan( β l) ( β l) j sin( β l) cos ( ) ( ) ( ) ( ) β l + cos β l sin β l tan β l A két áramkör akkor ekvivalens, ha a láncmátrixok egyenlőek, A A, azaz a mátrixok elemei azonosak. cos A j sin A j ( β l) j sin( β l)[ + ] ( β l) ( ) ( ) sin β l cos β l cos( β l) cos( β l) j sin( β l) ( ) ( ) ( ) sin β l sin β l + cos β l cos( β l) A láncmátrixok főátlójának elemeiből a főátlón kívüli elemek két további egyenletet adnak: + + A tápvonalak hullámimpedanciái közötti kapcsolat, mely mindhárom egyenlőséget biztosítja: + n () + + n () ahol n + () A uroda-levy átalakításokat a következőkben a (7)-() egyenletek alapján hajtjuk végre és az láncmátrixok kifejezéseivel igazoltuk, hogy az átalakítások frekvenciafüggetlenek.
3. Inverterek Az impedancia és admittancia inverterek frekvenciafüggetlen, szimmetrikus, reaktáns négypólusok, melyek a lezáró impedanciát (admittanciát) előírt módon transzformálja. Az inverterek alapértelmezésben 9 fokos fázistolást okoznak. (.ábra,.ábra) 9.ábra Impedancia inverter Y J 9 Y.ábra Admittancia inverter Az ideális impedancia inverter (egy frekvencián) megvalósítható egy negyedhullámhosszúságú tápvonalszakasszal, melyre. λ/4 9.ábra Impedancia inverter és negyedhullámhosszúságú tápvonalszakasz ekvivalenciája Az ekvivalencia bizonyítására írjuk fel az.ábra mindkét négypólusának bemenő impedanciáját L.lezárás mellett.
( π/ ) j ( π/ ) jl L L + j tan be (3) L + jl tan Az ideális invertert általában a 3.ábrán látható ekvivalens kapcsolások megvalósítására használjuk a szűrőtervezés realizálási fázisában. 9 Y 9 Y 9 9 Y / 3. ábra Inverterekkel felépített ekvivalens kapcsolások A 3. ábrán szereplő kapcsolások ekvivalenciájának igazolását a láncba kapcsolt három blokk eredő láncmátrixának felírásával végezzük el az első kapcsoláspárra. j j Y A e j j (4) Y A () egyenlet alapján a zz. ábra első kapcsoláspárja ekvivalens, ha Y (5) Az inverterek jellemző alkalmazása a 4. ábrán látható, ahol tekercs és impedancia inverterek+kondenzátor ekvivalens kapcsolását mutatjuk be.
jωl λ/4 λ/4 Yjω 4. ábra Tekercs és impedancia inverterek+kondenzátor ekvivalens kapcsolása Az inverterek egyenletei alapján az induktivitás és kapacitás közötti kapcsolat jωl L Y jω (6) 4. Aluláteresztő szűrő mikroszalagvonalas realizációi Tervezzünk áteresztő sáv határfrekvenciájú harmadfokú, maximális laposságú aluláteresztő szűrőt, és adjuk meg azonos tápvonalszakaszokból felépített mikroszalagvonalas realizációját f c GHz R R 5Ω -os lezárások közé! A frekvencia egységet válasszuk f fc GHz -re, az ellenállás egység R e R R 5Ω. e Az induktivitás és kapacitás egységek innen: Re Re Le 7. 9577nH ω πf e e e 3.83pF R ω R πf e e e e A harmadfokú, maximálisan lapos szűrő elemeinek értéke: L L 3 L L Le 7. 9577nH e 6. 366 pf L L Le 7. 9577nH 3 3
7.9577nH 7.9577nH PNUM R5Ohm IOhm 6.366pF PNUM R5Ohm IOhm 5.a ábra Aluláteresztő szűrő áramkör 5.b ábra Aluláteresztő szűrő csillapítás karakterisztika 5.c ábra Aluláteresztő szűrő bemeneti reflexió karakterisztika A koncentrált paraméterű szűrő kapcsolást a Richards transzformációval alakítjuk át tápvonal szakaszokból felépített realizációvá. (6. ábra)
ω c L ω c L 3 L L 3 ω c 6.ábra oncentrált paraméterű szűrő és tápvonalas realizációja A tápvonalas realizáció paraméterei: L L Le 7. 9577nH e 6. 3663pF L L Le 7. 9577nH 3 3 ω L L 5Ω e ω e el 5Ω ω e ω e e ω L L 5Ω 3 e 3 ω e el3 Az 6. ábrán látható tápvonalas közelítés azonban nem valósítható meg mikroszalagvonalas realizációval, ezért további átalakításokat végzünk, amihez az inverterekkel vagy a uroda-levy azonosságokat használjuk. Elsőként alkalmazzuk a uroda-levy azonosságot a jobb és baloldali soros, végén rövidrezárt tápvonalszakasz sönt tápvonallá alakítására. (7. ábra) n + ω L n ω L n c c 5Ω + 5Ω 5 Ω Ω
ω c L ω c L 3 5Ω 5Ω ω c 5Ω Ω Ω 5Ω Ω 5Ω Ω 7. ábra Mikroszalagvonalas megvalósításra alkalmas sönt tápvonalas megoldás A 7. ábrán bemutatott tápvonalas elrendezés analízisét végezzük el az Ansoft Designer. (Student Version) analízis programmal. Az áramköri modellt a 8. ábrán látjuk. P37.47463mm 5 P37.47463mm P37.47463mm Port_ PNUM3 R5Ohm P37.47463mm P37.47463mm Port_ PNUM4 R5Ohm IOhm IOhm 8. ábra Az aluláteresztő szűrő áramköri modellje
9. ábra Az aluláteresztő szűrők csillapítás karakterisztikáinak összehasonlítása A 9. ábrán a csillapítás kapakterisztikák összevetése jól mutatja, hogy a tápvonalas realizáció meredeksége jelentősen nagyobb. Ha az analízist kiterjesztjük, akkor viszont jól megfigyelhető a szűrő csillapítás karakterisztikájának periódikus viselkedése. (. ábra). ábra Az aluláteresztő szűrők csillapítás karakterisztikáinak összehasonlítása A. ábra eredményei alapján célszerű a tápvonalas realizációt rövidebb ( λ / 6 ) tápvonalszakaszokkal is megvizsgálni. Ennek eredményeként a tápvonalas megvalósítású szűrő csillapítás karakterisztikájának meredeksége közel azonos lesz a koncentrált paraméterű megvalósítással, azonban a csillapítás kapakterisztika periódus hossza kétszeresére nő, így az áteresztő tartomány 8GHz-re kerül. (3. ábra)
P37.47463mm 5 P37.47463mm P37.47463mm Port_ PNUM3 R5Ohm IOhm P37.47463mm P37.47463mm Port_ PNUM4 R5Ohm IOhm. ábra Az aluláteresztő szűrő áramköri modellje tápvonalas realizáció 7.767 P8.7373mm.355339 P8.7373mm 7.768 P8.7373mm Port PNUM5 R5Ohm IOhm 7.768 P8.7373mm 7.768 P8.7373mm Port PNUM6 R5Ohm IOhm. ábra Az aluláteresztő szűrő áramköri modellje λ/6 tápvonalas realizáció sillapítás [db] - - -3-4 Tápvonal lambda/6 Tápvonal lambda/8-5 -6..4.6.8..4.6.8 Frekvencia [GHz]. ábra Az aluláteresztő szűrő tápvonalas realizációinak csillapítás karakterisztikái
3. ábra Az aluláteresztő szűrők csillapítás karakterisztikáinak összehasonlítása övetkező lépésként induljunk ki az aluláteresztő szűrő másik prototípus alakjából. (4. ábra) L 3 4. ábra oncentrált paraméterű szűrő A harmadfokú, maximálisan lapos szűrő elemeinek értéke: L 3 e 3. 83pF L L Le 5. 954nH e 3. 83pF 3 3 5.954nH PNUM R5Ohm IOhm 3.83pF 3.83pF PNUM R5Ohm IOhm 5.a ábra Aluláteresztő szűrő áramkör
5.b ábra Aluláteresztő szűrő csillapítás karakterisztika A koncentrált paraméterű szűrő kapcsolást a Richards transzformációval alakítjuk át tápvonal szakaszokból felépített realizációvá. (6. ábra) ω c L L 3 ω c ω c 3 6.ábra oncentrált paraméterű szűrő és tápvonalas realizációja A tápvonalas realizáció paraméterei: e 3. 83pF L L Le 5. 954nH e 3. 83pF 3 3 5Ω ω e ω e e ω L L Ω e ω e el 3 5Ω ω e ω e e 3 3
A 6. ábrán látható tápvonalas közelítés azonban nem valósítható meg mikroszalagvonalas realizációval, ezért további átalakításokat végzünk, amihez a uroda-levy azonosságokat használjuk. Ω 5Ω 5Ω 5Ω 5Ω 7.ábra Aluláteresztő szűrő tápvonalas realizációja (pirossal jelölt szakasz átalakítása következik) 5Ω Ω 5Ω 5Ω 5Ω 8.ábra Aluláteresztő szűrő tápvonalas realizációja (bal oldali szakasz átalakítása után, pirossal jelölt szakasz átalakítása következik)
5Ω 75Ω 5Ω 5Ω 5Ω 5Ω 3.5Ω 9.ábra Aluláteresztő szűrő tápvonalas realizációja (bal oldali szakasz átalakítása után) A 7. és 9. ábrákon látható realizációkat összehasonlítva (3. ábra) látható, hogy az ekvivalens átalakítások eredményeként kapott realizációk csillapítás karakterisztikái azonosak (a további elektromos paraméterek is). A mikroszalagvonalas megvalósítás kiválasztása (3. ábra) a megvalósítható hullámimpedanciák, vonalvastagságok és részletes tolerancia vizsgálat alapján történik. -5 - sillapítás [db] -5 - -5 koncentrált elosztott aszimm. elosztott szimm. -3-35 -4..4.6.8..4.6.8 Frekvencia [GHz] 3. ábra A szimmetrikus (7. ábra) és aszimmetrikus (9. ábra) realizáció összehasonlítása
Port Port 3. ábra Mikroszalagvonalas realizáció (7. ábra alapján) Összefoglalás A megvalósíthatóság minősítéséhez további vizsgálatok szükségesek, melyek elektromágneses szimulációk alapján a másodlagos hatások (élkapacitás, veszteség, csatolások) figyelembe vételével az optimális szűrőstruktúra és geometria megtervezhető. Irodalomjegyzék [] onstantine A. Balanis, Advanced Engineering Electromagnetics, ISBN-: 47589485, Wiley; edition (January 4, ) [] David M. Pozar, Microwave Engineering, ISBN-: 4763554, Wiley; 4 edition (November, )