FELADATOK OKTV 1. Évszám: 1990 Név: Hertner András Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben minden előforduló számjegy legalább kétszer szerepel? 2. Évszám: 1993 Kategória: III. Név: Hertner András Az asztalra kiteszünk páratlan számú, de 1-nél több gyufaszálat. Ketten felváltva vesznek el ebből gyufákat azzal a megkötéssel, hogy minden egyes lépésben legalább egy gyufát el kell venni, és sohasem szabad egyszerre az eredeti gyufaszám felénél többet elvenni. Amikor elfogynak a gyufák, akkor megszámoljuk, kihez hány gyufaszál került. A játékot az nyeri, akinél ekkor páros sok gyufa van. Melyik játékosnak van nyerő stratégiája? 3. Évszám: 1996 3. Név: Hertner András 3. Adott a H={1,2,3,4,5} halmaz. Készítsük el ennek összes részhalmazát. Vegyük egyenként az így kapott halmazokat, és mindegyiknek minden részhalmazát írjuk fel külön-külön egy-egy piros cédulára. Így a piros cédulák között lehetnek olyanok, amelyekre ugyanaz a részhalmaz van felírva, de mindet megtartjuk. Vegyük most sorra egyesével a piros cédulákat, és a rajtuk levő halmaz minden részhalmazát különkülön felírjuk egy-egy fehér cédulára. Vegyük végül sorra a fehér cédulákat, és a rajtuk levő halmaz minden részhalmazát külön-külön felírjuk egy-egy zöld cédulára. Hány zöld cédulát kell így felhasználnunk? 4. Évszám: 1996. november Kategória: Név: Vas Vivien nehéz Három hajótörött mindegyike egy-egy órát tölt (egyhuzamban) egy szigeten ma délután valamikor 5 és 9 óra között (véletlenszerűen). Ha hármuk közül pontosan kettő fél óránál hosszabb ideig egyszerre tartózkodik ott, akkor viszály tör ki. Mekkora a valószínűsége annak, hogy békében telik el a mai nap?
5. Évszám: 1997 Név: Hertner András Egy 7 egység oldalú négyzetben elhelyezünk 51 pontot. Bizonyítsuk be, hogy ezek között a pontok között van 3 olyan, amely lefedhető egy egységsugarú körrel. 6. Évszám: 1998. november Kategória: Név: Vas Vivien 32 település között telefonvonalakat építenek ki. Egy telefonvonal pontosan két települést köt össze, és két település között legfeljebb egy közvetlen vonal épül. Bizonyítsuk be, hogy ha már 466 vonalat kiépítettek, akkor bármely településről bármely településre lehet telefonálni vagy közvetlen vonalon, vagy több, már kiépített vonal összekapcsolásával. 7. Évszám: 1998. november Kategória: Név: Vas Vivien nehéz Egy-egy cédulára felírtuk az 1, 2, 3, illetve 4 számokat. Anna kihúz egy cédulát a négy közül, majd visszateszi a többi közé. Ezután Zsófi húz ki egy cédulát, utána visszateszi, majd ismét Anna következik. A kihúzott számot mindig hozzáadják az addig kihúzott számok összegéhez. Az nyer, akinek a húzása után először lesz az összeg 3-mal osztható. Mennyi a valószínűsége annak, hogy Anna nyer? 8. Évszám: 1999/2000 2. Kategória: III. Név: Barbalics Dóra Legyenek k és t egynél nagyobb, relatív prím egészek. Az 1, 2,...,n számok 12...n természetes sorrendjéből kiindulva tetszőleges két olyan elemet felcserélhetünk, amelyek különbsége k vagy t. Bizonyítsuk be, hogy ilyen lépések egymásutánjával akkor és csak akkor juthatunk el minden permutációhoz, ha n>=k+t-1.
9. Évszám: 2005-2006 Név: Csikós Dániel könnyű Egy kocka életi megszámozták az 1,2,...,12 számokkal. András kiválaszt két olyan számot, amelyekhez tartozó éleknek egy közös csúcsuk van. Ugyan ezt teszi tőle függetlenül Béla is. Mekkora a valószínűsége, hogy az András által választott éleknek nincs közös pontja a Béla által választott élekkel? 10. Évszám: 2006-2007 Kategória: III. Név: Lovász Debóra Bálint 200 forintot fizet Annának, ha a (90-ből 5-os) lottón a kihúzott számok szorzatának utolsó számjegye 0 lesz (tízes számrendszerben), viszont Anna fizet Bálintnak 300 forintot, ha nem ez a helyzet. Hosszabb távon kinek előnyös ez a megállapodás? 11. Évszám: 2009-2010 2. Kategória: I. Név: Csikós Dániel nehéz Egy 12 oldalú konvex sokszög belsejében 1000 pontot helyeztünk el úgy, hogy a sokszög 12 csúcsa, valamint ezek a felvett pontok összesen 1012 pont közül semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre. Maximálisan hány olyan háromszöget készíthetünk, amelynek mindhárom csúcsa az 1012 pont közül kerül ki? 12. Évszám: 2010-2011 Kategória: III. Név: Csikós Dániel közepes Egy n-elemű H halmaznak kiválasztottuk néhány k-elemű részhalmazát (3 k n) úgy, hogy H bármely két elemét pontosan három darab, bármely három elemét pontosan két darab kiválasztott részhalmaz tartalmazza. Határozza meg n és k lehetséges értékeit.
13. Évszám: 2011-2012 Név: Lovász Debóra Egy szabályos dobókockát egymás után háromszor feldobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a három dobott szám szorzata 10-zel osztható? 14. Évszám: 2012-2013 döntő Név: Lovász Debóra Egy táncesten n lány és 4 fiú vett részt. Páros táncokat táncoltak, egy párban mindig egy fiú és egy lány volt, de a táncpartnerek cserélődhettek. Legalább mekkora n, ha a táncolás után biztosan kiválasztható vagy két lány és két fiú úgy, hogy a közülük alakítható összes lehetséges párosításban táncoltak az est folyamán, vagy úgy, hogy semelyik párosításban sem táncoltak? 15. Évszám: 2013-2014 2. Név: Padányi Ádám Maximum hány egész számot választhatunk ki a J = {n 1 < n < 121; n Z} halmazból úgy, hogy közülük bármely kettő relatív prím legyen, ha egyikük sem lehet prím? 16. Évszám: 2013-2014 2. Név: Padányi Ádám Hány darab 150 jegyű tízes számrendszerbeli pozitív egész szám van, melynek minden jegye páratlan es bármely két szomszédos számjegy eltérése 2? 17. Évszám: 2014-2015 2. Név: Padányi Ádám Legyen n 2-nél nagyobb egész szám. Egy konvex n-szög három csúcsát kiválasztva 22/35 (huszonkettő harmincötöd) annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott csúcsok által alkotott háromszögnek nincs közös oldala a sokszöggel. Határozzuk meg a sokszög oldalszámát.
18. Évszám: 2014-2015 2. Név: Padányi Ádám Egy tudományos kutatásban n tudós dolgozik együtt. Bármely két tudós előre megállapodik, hogy egymás közt milyen nyelven leveleznek a kutatás négy hivatalos nyelve közül. A levelezés odavissza ugyanazon a nyelven történik két tudós között. Egy tudóst akkor nevezünk szervezőnek, ha legalább 4 másikkal ugyanazon a nyelven levelezik. Legfeljebb mekkora lehet n, ha nincs köztük szervező? 19. Évszám: 2014-2015 Kategória: I. Név: Csikós Dániel könnyű Hányféleképpen írhatjuk be az ábrán látható négyzetekbe az 1; 2; 3; 4; 5; 6 számokat úgy, hogy a szomszédos négyzetekbe írt számok különbsége ne legyen 3? (Szomszédosnak tekintünk két négyzetet, ha van közös oldaluk.)
FELADATOK ARANY DÁNIEL 20. Évszám: 1990 Kategória: kezdők Név: Molnár Áron Egy sakkverseny hét napon át tartott. A résztvevők minden nap mindenkivel egy partit játszottak. A beszámoló írója a játékosok pontos számára nem emlékezett; csak arra, hogy huszonötnél nem voltak többen. Egyetlen játszma sem végződött döntetlenül. Nem volt olyan játékos, aki egy nap az összes mérkőzését elvesztette volna. Az egyetlen hölgy versenyző is egyre jobban belejött: minden nap több győzelmet szerzett, mint a megelőző napon. Hányszor nyert az egyes napokon, ha összesen az általa lejátszott partik ötödét nyerte meg? Hány résztvevője volt a versenynek? 21. Évszám: 1990 Név: Barbalics Dóra Hányféleképpen írhatunk a MATEMATIKA szó betűi helyére számjegyeket úgy, hogy a kapott tízjegyű szám számjegyeinek szorzata 2143750 legyen? (Azonos betűk helyére azonos számjegyeket kell írni) 22. Évszám: 1990. november Név: Hegedűs Katalin nehéz Hányféleképpen írhatunk a MATEMATIKA szó betűi helyére számjegyeket úgy, hogy a kapott tízjegyű szám számjegyeinek szorzata 2143750 legyen? (Azonos betűk helyére azonos számjegyeket kell írni.) 23. Évszám: 1991 Név: Barbalics Dóra Hányféleképpen helyezkedhetnek el öten egy ötüléses páholyban úgy, hogy legalább egy ember oda ül, ahová a jegye szól?
24. Évszám: 1991. november Név: Hegedűs Katalin Hányféleképpen helyezkedhetnek el öten egy ötüléses páholyban úgy, hogy legalább egy ember oda ül, ahová a jegye szól? 25. Évszám: 1991. november Kategória: Név: Vas Vivien Hányféleképpen helyezkedhetnek el öten egy ötüléses páholyban úgy, hogy legalább egy ember oda ül, ahová a jegye szól? 26. Évszám: 1993 döntő Név: Barbalics Dóra Egy kör alakú asztalnál három társaság tagjai ülnek. A különböző társaságba tartozó, egymás mellett ülő tagok mind kezet fognak és bemutatkoznak egymásnak. Bizonyítsuk be, hogy bármelyik két társaság tagjai összesen páros sokszor fognak kezet. 27. Évszám: 1993. november Név: Hegedűs Katalin könnyű Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben a számjegyek összege páros? 28. Évszám: 1995 2. Név: Molnár Áron Három házaspár vacsorán vesz részt. Mindenki más-más időpontban érkezik a vacsora színhelyére. Minden újonnan érkező ember érkezéskor kezet fog a már ott tartózkodókkal, kivéve a saját házastársával. Miután mindenki leült vacsorázni, az egyik ember megkérdezte az összes többitől, hogy hány emberrel fogott kezet érkezéskor. Hányadikként érkezhetett a kérdező, ha kérdésére öt különböző választ kapott?
29. Évszám: 1996 2. Név: Molnár Áron Haladók, 2 forduló 3.: Hányféleképpen helyezhető el két azonos színű (egyforma) futó a 8x8-as sakktáblán úgy, hogy ne üssék egymást (azaz ne legyenek egy átlós irányú egyenesen)? 30. Évszám: 1995-1996 Név: Hegedűs Katalin Hány olyan ötjegyű szám van, amelyben van ismétlődő számjegy (mint pl. a 73443 vagy a 21256 stb)? 31. Évszám: 1997 Név: Molnár Áron Legfeljebb hány új egyenes jöhet létre, ha n egyenes metszéspontjait összekötjük egymással? 32. Évszám: 1999-2000 Kategória: 1. (10. évfolyam) Név: Tőri Tünde Hét ember néhány napos kirándulásra készül. Mindennap egy kör alakú asztal köré ülve ebédelnek. Elhatározzák, hogy úgy ülnek le az ebédekhez, hogy ugyanaz a két ember ne kerüljön kétszer egymás mellé. Maximum hány naposra tervezhetik a kirándulást? 33. Évszám: 1999-2000 Kategória: 2. (10. évfolyam) Név: Tőri Tünde Adott egy négyzet és kilenc egyenes úgy, hogy az egyenesek mindegyike metszi a négyzet két szemben lévõ oldalát, és levágja területének negyedét. Bizonyítsuk be, hogy lesz három olyan egyenes, amelyik egy pontra illeszkedik.
34. Évszám: 1999-2000 Kategória: 3. (10. évfolyam) Név: Tőri Tünde Egy iskolába 1999 diák jár. Minden nebulónak a többi 1998 közül pontosan k szimpatikus. Mely k esetén lehetünk biztosak benne, hogy a diákok között van kettõ, akik kölcsönösen szimpatikusak egymásnak, vagy kölcsönösen nem szimpatizálnak? 35. Évszám: 1999-2000 2. Kategória: 2. (10. évfolyam) Név: Tőri Tünde Egy 1999-szer 2000-es téglalap alakú táblázat minden mezõjében a (-1) vagy az 1 szám áll. Egy-egy alkalommal bármelyik sorban vagy oszlopban megváltoztathatjuk az összes szám elõjelét. Bizonyítsuk be, hogy az adott,,mûvelet'' véges sokszori alkalmazásával elérhetõ, a) hogy a táblázatban lévõ számok összege legalább 2000 legyen; b) hogy minden sorban és minden oszlopban a számok összege nemnegatív legyen. 36. Évszám: 2011-2012 2. I. Név: Illés Barbara nehéz Hány olyan pozitív egész szám van, amelyre igaz, hogy számjegyeinek összege és szorzata is egyaránt 24? 37. Évszám: 2012-2013 2. Kategória: kezdők I-II. Név: Illés Barbara könnyű Egy 3 házaspárból álló 6 fős társaság elhatározza, hogy úgy ünneplik meg a karácsonyt, hogy mindegyikük megajándékozza a társaság egy másik tagját. Ehhez mindenki felírja a nevét egy cédulára, a cédulákat beleteszik egy kalapba majd mindenki húz egy cédulát a kalapból. A kihúzónak azt a személyt kell megajándékoznia, akinek a neve a kihúzott cédulán szerepel. A lehetséges esetek hányad részében fordul elő, hogy a 6 húzás során nem lesz olyan személy, aki önmagát vagy a házastársát húzza ki?
38. Évszám: 2013-2014 2. I. Név: Illés Barbara könnyű Soma az ötödik születésnapi bulijára 5 barátját hívhatta meg. El is készült az 5 névre szóló meghívó, és készült hozzá 5 felcímzett boríték is. Soma azonban még nem tud olvasni, és úgy rakta be a borítékokba a meghívókat, hogy végül senki sem a sajátját kapta kézhez. Hányféleképpen lehet így elrendezni a meghívókat? 39. Évszám: 2013-2014 döntő I. Név: Illés Barbara nehéz Egy n pozitív egész szám 17-edíziglen izgalmas, ha a következő feltételek teljesülnek rá: (1) nincs (az 1-en kívül) négyzetszám osztója; (2) pontosan 16 pozitív osztója van; (3) ha nagyság szerint sorbarendezem a 16 darab pozitív osztót, akkor a 10-dik, és a 7-dik osztó különbsége éppen 17. Kérdés: Hány 17-edíziglen izgalmas szám van? 40. Évszám: 2014-2015 iskolai I. Név: Lovász Debóra Hány olyan szám van 0 és 9999 között, amelyikben több 2-es van a jegyek között, mint 1-es? (Pl. 2012 ilyen, de 2014 nem.)