MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 8. EMELT SZINT I. ) Kinga 0. születésnapja óta kap havi zsebpénzt a szüleitől. Az első összeget a 0. születésnapján adták a szülők, és minden hónapban 50 Fttal többet adnak, mint az azt megelőző hónapban. Egy bizonyos hónapban, amikor éppen 850 Ft volt a havi zsebpénze, összeadta az addig kapott összes zsebpénzét. Az összeg 3500 Ft lett. Mennyi volt Kinga induló zsebpénze, és hány hónap telt el a 0. születésnapja óta? ( pont) A havi zsebpénzek értékei egy számtani sorozat tagja ahol d 50, a 850, S 3500 850 a n 50 azaz a 900 50n n a an 900 50n 850 Sn 3500 n n 7000 3750n 50n rendezve: Megoldva: n=36 vagy 39 n 75n 404 0 n 39 nem megoldás mert akkor n 36, akkor n a 900 50 36 00 ( pont) ( pont) a negatív Ha Kinga induló zsebpénze 00 Ft volt, és a 0. születésnapja óta 35 hónap telt el Összesen: pont
) Az ENSZ 996-ban megjelent táblázatának egy részlete a nyolc legnagyobb népességszámú ország népességi adatait tartalmazza 988- ban és egy népességdinamikai előrejelzés szerint 050-ben. Feltételezzük, hogy Pakisztán lakossága 988 és 050 között minden évben ugyanannyi százalékkal nő, mint amennyivel az előző évben növekedett. a) Ezzel a feltételezéssel élve millió főre kerekítve hány lakosa lesz Pakisztánnak 00-ban? (Az évi százalékos növekedés két tizedesjegyre kerekített értékével számoljon!) (7 pont) b) A tábláztat mindkét oszlopában szereplő országok népességi adataira vonatkozóan mennyivel változik az átlagos lakosságszám és a medián 988 és 050 között? (Válaszát millió főben, két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (5 pont) a) Pakisztán lakosságszáma az előrejelzés alapján 47 millióról 357 millióra nő 6 év alatt Így ha az évi növekedés p százalékos, akkor ahonnan 00 357 p 6 47 p 357 47 00 6 Kiszámolva a kért kerekítéssel p,44% A vizsgált növekedési időszak 3 év így a feltételezés és előrejelzés alapján 00-ban Pakisztán lakossága 47,044 3 3 (millió fő) b) Hat ország szerepel minden oszlopban: Kína, India, Egyesült Államok, Indonézia, Pakisztán, Brazília Erre a hat országra nézve a népesség átlaga (millió főben) 988- ban: 55 976 74 07 65 47 504 6 és 050-ben : 533 57 357 348 38 43 79,33 6 Az átlagos népességszám közelítőleg 5,33 (millió fő)-vel nő
Mivel a minta 6 elemű, ezért a medián a rendezett adatsokaság két középső 74 07 elemének számtani átlaga. Így a medián 988-ban 40,5, 050- ben pedig 357 348 35,5 A medián is nő, (millió fő)-vel Összesen: pont 3) Egy 3 fős érettségiző osztály tanulói három különböző táncot mutatnak be a szalagavató bálon. AZ alábbi táblázat az egyes táncokban fellépő diákok számát mutatja nemenkénti bontásban. Van olyan lány, aki mindhárom táncban fellép, ugyanakkor nincs olyan fiú az osztályban, aki egynél több produkcióban részt venne. a) A lányok közül kettőt véletlenszerűen kiválasztva, mennyi annak a valószínűsége, hogy mindketten táncolnak a kán-kánban? (5 pont) b) Az osztály tanulói közül egyet véletlenszerűen kiválasztva, mennyi a valószínűsége annak, hogy az illető pontosan két táncban szerepel? (9 pont) a) Mivel minden fiú legfeljebb egy táncban lépett fel, ezért a fiúk száma a táblázat alapján 5 a lányok száma pedig 7 A 7 lányból kettőt 7 36 6 lány táncolt kán-kánt, közülük kettőt A keresett valószínűség -féleképp lehet kiválasztani 6 5 -féleképp lehet kiválasztani 5 P 0, 36 b) A pontosan két táncban fellépő diák csak lány lehet Mivel két lány egyik táncban sem lépett fel, ezért 5 lány között kell keresnünk a pontosan kétszer táncolókat Ha a pontosan kétszer táncolók közül a keringőző és kán-kánozó, y a kánkánozó és hip-hopozó, z pedig a keringőző és hip-hopozó lányok száma, akkor a csak keringőző lányok száma 9--z- A csak kán-kánozó lányok száma 6--y- A csak hip-hopozó lányok száma 0-y-z- A logikai szita formula alapján: 9 z 6 y 0 y z y z 5 ahonnan +y+z=6 Az osztály tanulói közül egy diák kiválasztására 3 lehetőség van 6 így a keresett valószínűség P 0,875 3
Összesen: 4 pont
4) Oldja meg a következő egyenletrendszert, ha és y valós számok, továbbá és 0, y 0, y. log y log y sin 3y sin 4 y Áttérve azonos alapú logaritmusra: log y log y (3 pont) ( pont) Mivel egy pozitív számnak és a szám reciprokának összege pontosan akkor, ha a szám ezért log azaz y y Behelyettesítve a második egyenletbe:sin5, azaz Innen 5 vagy sin5 k 6 5 5 l 6 ahol k és l A megoldások így: y k k 30 5 és y l l 6 5 A kapott értékek kielégítik az egyenletet Összesen: 3 pont
5) Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyik illeszkedik a pontra, valamint az és egyeneseket olyan pontokban metszi, amelyek első koordinátájának különbsége 3. (6 pont) y 4 II. y 6 P ;5 A feltételek és az adatok alapján a keresett egyenes nem lehet párhuzamos az y tengellyel, ezért egyenletét kereshetjük az y m b alakban Mivel a ;5 P pont illeszkedik az egyenesre, ezért 5 m b ahonnan és az így keresett egyenes egyenlete Az adott egyenletű egyenesek és a keresett egyenes metszéspontjának első koordinátáját a megfelelő egyenletekből álló paraméteres egyenletrendszerekből határozhatjuk meg. y 4 b 5m y m 5 m y-t az első egyenletbe behelyettesítve és rendezve: Mivel ezért és Az hogy y m 5 m m m m esetén a két adott egyenessel párhuzamos egyenest kapunk, m m m y 6 y m 5 m m m A feltétel szerint vagy 3 Az első esetben a második esetben egyenletrendszerből az előzőhöz hasonló módon kapjuk, 3 m 5 3 m A kapott értékeket behelyettesítve kapjuk, hogy 3 b 5 3, illetve b 7 3 A feltételeknek eleget tevő egyenesnek egyenlete: 5 5 y 3 3 5 3y 5 7 y 3 3 3y 7 Összesen: 6 pont
6) a) Két szabályos dobókockát egyszerre feldobunk. Számítsa ki a következő két esemény valószínűségét: A: a dobott számok összege prím B: a dobott számok összege osztható 3-mal (6 pont) b) Az,,3,4,5,6 számjegyekből véletlenszerűen kiválasztunk három különbözőt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával 4-gyel osztható háromjegyű számot tudunk képezni? (5 pont) c) Az ABCD négyzet csúcsai: A 0;0, B ;0, C ;, D 0;. Véletlenszerűen kiválasztjuk a négyzet egy belső pontját. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott pont a koordinátatengelyek és az f : 0;, f cos függvény grafikonja által határolt tartomány egyik pontja? (5 pont) a) A dobott számok összege a következő esetekben lesz prím:, Az A eseményt 5 elemi esemény valósítja meg 3, 6, 5 3 4,,, 4, 5 6. eset kivételével mindegyik összeg kétféleképpen valósulhat meg, így az Az összes elemi esemény 6 6 36, ezért 5 P A 36, A dobott számok összege a következő esetekben lesz 3-mal osztható:, A 4, 3 3 és a 5 így P B 3 3, 3 6, 4 5, 6 6. 6 6 esetek egyféleképpen, a többi kétféleképpen valósulhat meg, 36 b) A hat számjegyből hármat 6 0 3 különböző módon tudunk kiválasztani A 4-gyel oszthatóság szabálya alapján kedvező esetet kapunk, ha a kiválasztott három számjegy között van kettő, amelyekből 4-gyel osztható kétjegyű szám képezhető Ezek között négy olyan hármas van, amely nem tartalmaz két megfelelő számjegyet: (, 3, 5); (, 3, 4); (, 4, 5); (3, 4, 5). ( pont) Így a keresett valószínűség 0 4 6 P 0 0 4 5
c) A négyzet és az f függvény grafikonjának felvétele közelítő pontossággal A négyzet területe 4 A koordinátatengelyek és az f függvény grafikonja által határolt tartomány területe: 0 cos d sin 0 sin sin 0 A valószínűség kiszámításának geometriai modelljét alkalmazva, a keresett valószínűség: 4 P 0,405 4 Összesen: 6 pont
7) Egy pillepalack alakja olyan forgáshenger, amelynek alapköre 8 cm átmérőjű. A palack fedőkörén található a folyadék kiöntésére szolgáló szintén forgáshenger alakú nyílás. A két hengernek közös a tengelye. A kiöntő nyílás alapkörének átmérője cm. A palack magassága a kiöntő nyílás nélkül 30 cm. A palack vízszintesen fekszik úgy, hogy annyi folyadék van benne, amennyi még éppen nem folyik ki a nyitott kiöntő nyíláson keresztül. a) Hány deciliter folyadék van a palackban? (Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (9 pont) A palack tartalmát kiöntve, a palackot összenyomva, annak eredeti térfogata p százalékkal csökken. Egy hulladékot újrahasznosító cég (speciális gép segítségével) az ilyen módon tömörített palack térfogatát annak további p százalékával tudja csökkenteni. Az összenyomással, majd az azt követő gépi tömörítéssel azt érik el, hogy a palackot eredeti térfogatának 9,5 százalékára nyomják össze. b) Határozza meg p értékét! (7 pont) a) A fedőkör tengelyre merőleges síkmetszete, jó ábra. ( pont) cos 4, amiből 75,5 (Így a kérdéses terület az O középpontú ODC háromszög különbségeként adódik. T körcikk 60 4,09 (cm ) középponti szögű körcikk és az 4 sin T ODC 3,87 (cm ) (cm ) Amiből a folyadék térfogata: Vfolyadék Tkörszelet mpalack 7, 30 56,6 (cm ) Azaz 5, dl folyadék van a palackban ( pont) T T T ODC körszelet körcikk 7,
b) A feltételek szerint 8) p p 0,95 00 00 Rendezve: melynek gyökei Utóbbi nem megoldása a feladatnak ( Tehát p p 35 50p 405 0 p 35, p 5 (ahol p 50) ( pont) ( pont) p 50) Összesen: 6 pont a) Ábrázolja a derékszögű koordinátarendszerben az f : 0;5, f 4 3 függvényt! (5 pont) b) Tekintsük az k paraméteres egyenletet, ahol k valós paraméter. Vizsgálja a megoldások számát a k paraméter függvényében! (7 pont) c) Ábrázolja a megoldások számát megadó függvényt a k 6;6 intervallumon! ( pont) d) Adja meg a c)-beli függvény értékkészletét! ( pont) a) f Az 4 3 y parabola tengelypontja (;-) az tengelyt az (;0) és (3;0) pontokban metszi intervallumra 0;5 Jó ábrázolás, leszűkítés a Az abszolút érték figyelembe vétele Helyes ábra:
b) A megoldások számát az f teljes grafikonja és az y k egyenes közös pontjainak száma adja ( pont) Ha, akkor két közös pontja van Ha, akkor három közös pontja van Ha, akkor négy közös pontja van Ha k 0, akkor két közös pontja van Ha, akkor nincs közös pont c) Helyes ábra k k 0 k k 0 d) Értékkészlete: R f 0;;3;4 ( pont) ( pont) Összesen: 6 pont
9) Öt egymástól távol eső tanya között kábeleket feszítenek ki, bármely két tanya között legfeljebb egyet. a) Elvileg összesen hány különböző hálózatot lehetséges létrehozni a tanyák között? (A hálózatban a kifeszített kábelek száma 0-tól 0-ig bármennyi lehet. Két hálózatot akkor tekintünk különbözőnek, ha van olyan összeköttetés, amely az egyikben létezik, a másikban nem.) (4 pont) b) Takarékossági okokból csak 4 kábelt feszítenek ki úgy, hogy a hálózat azért összefüggőben legyen. (Összefüggőnek tekintünk egy hálózatot, ha a kábelek mentén bármely tanyáról bármely másikba el lehet jutni, esetleg más tanyák közbeiktatásával.) Hány különböző módon tehetik ezt meg, ha az egyes tanyákat megkülönböztetjük egymástól? ( pont) a) Az öt tanyát tekintsük egy gráf csúcsainak. Két csúcsot éllel kötünk össze, ha van az általuk reprezentált tanyák között kábel-összeköttetés Egy ötpontú egyszerű gráfban legfeljebb 0 él húzható, ezek mindegyike vagy szerepel a gráfban, vagy nem Így minden élhez két értéket rendelhetünk A különböző hálózatok száma ezért b) A csúcsokat nem megkülönböztetve három eset lehetséges I. Egy csúcsot összekötünk négy másikkal II. A csúcsokat egymás után sorba kötjük III. Egy csúcsot három másikkal, ez utóbbiak közül pedig egyet az ötödikkel kötünk össze Ha a csúcsokat megkülönböztetjük egymástól, akkor az I. esetben azt 5- féleképpen tehetjük meg. A II. esetben 5! 0 -féleképpen rakhatjuk az 5 tanyát sorba de így minden lehetőséget kétszer számolunk, azaz csak 60 különböző összeköttetés lehetséges A III. esetben a 3 fokszámú csúcsot az 5, a fokszámú csúcsot 4-féleképpen, az ehhez kapcsolódó fokszámú csúcsot 3-féleképpen választhatjuk ki. ( pont) így a lehetőségek száma 5 4 3 60 ( pont) Ez összesen 5 60 60 Összesen: 6 pont 0 04 5 különböző hálózatot jelent