Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai módszerekkel a hibaokok alakulását figyelük. Abból indulunk ki, hogy hibátlan termék vagy tökéletes folyamat nincs. A minıségi ellemzıket (amiket mérünk, regisztrálunk,) sok hatás alakíta. (Például egy alkatrész méretének pontosságát befolyásola a beállítás pontossága; a gép ellemzıi, mozgó elemei; a megvezetés pontossága, a szerszám állapota; az alapanyag állapota, ellemzıi; stb. A bevonat egyenletessége pedig az alkatrész síkhibáitól, a lakk viszkozitásától, az elıtolás nagyságától, a hengernyomástól, esetleg az öntıfe-rés szélességétıl és folyadéknyomástól függ.) Ezért a minıségi ellemzık konkrét értékei ingadoznak, vagyis valószínőségi változók. A cél az, hogy ez az ingadozás olyan elfogadható határok között maradon, amelyek között a termék vagy elem kifogástalanul betölti szerepét. A minıség ellemzı ingadozását a statisztikai minıség-szabályozás felfogása szerint zavarok (hibaokok) okozzák. A hibaokok lehetnek: - nemkívánatos tényezı/hatás fellépte (pl.: gép elállítódása, felületkezelésnél légáram, por, rossz beavatkozás) - tényezık nemkívánatos középértéke (pl.: helytelenül beállított elıtolás, nyomás stb.) - tényezık nemkívánatos ingadozása (pl.: elıtolás, nyomás stb. ingadozása, légparaméterek ingadozása) Ezeket a zavarokat a szabályozás szempontából két nagy csoportba sorolhatuk be: - véletlen (közönséges), illetve - veszélyes (rendkívüli). A termék minıségét befolyásoló sok-sok tényezı elentıs részét az ellemzi, hogy egyedi hatásuk a minıségre csekély, annak lényegtelen ingadozását okozzák. Ezek a zavarok minden gyártási rendszerben léteznek; számuk nagy, kiküszöbölésük, vagy hatásuk mérséklése mind mőszaki, mind gazdasági oldalról tekintve megoldhatatlan, vagy túl nagy erıfeszítéseket igényel. Ilyen tényezık például: - nyersanyagok (idegenáruk) természetes kisebb eltérései - alkatrészek 1

- gépek, szerszámok mőszaki állapotának kisebb változásai - környezeti tényezık kisebb ingadozásai - dolgozók figyelme, begyakorlottsága Ezeket a véletlen (közönséges) zavarokat tehát a rendszer veleáróinak tartuk, azaz olyanoknak, amelyek a minıségellemzık szokásos ingadozását okozzák. Úgy tekintük, hogy a szabályozás során (nagy számuk és befolyásolhatatlanságuk miatt) nem tudunk velük foglalkozni. A másik csoport a veszélyes (rendkívüli) zavarok csoporta; azok a kivételek, melyeket szabályozni kell. Azonnali felismerésük és gyors elhárításuk azért szükséges, mert ezekre a hibaokokra az ellemzı, hogy egyedi hatásuk nagy a minıségi ellemzıkre, és erıs minıségrontó szerepük van. A számuk ugyan óval kisebb, mint a véletlen zavaroké, de a elentıs egyedi hatás miatt azonnal felismerhetık. A minıségszabályozásban ez az elkülönítés (véletlen/veszélyes) matematikai statisztikai megközelítéssel történik. A minıségszabályozás két, egymással kapcsolódó fogalma tartozik ide: - a szabályozottság (stabilitás), valamint - a minıségképesség. Ha csak a véletlen hibaokok hatnak, stabil folyamatról beszélünk. A közönséges zavarok határozzák meg a folyamat/termék minıségellemzıinek normális (stabil) állapotát. Amennyiben csak ezek hatnak, a minıségi ellemzık ingadozásai matematikai statisztikai törvényszerőségekkel leírhatók, azaz a minıségi ellemzık határozott eloszlásokat követnek. Ez azt is elenti, hogy a folyamat elıre elezhetı, tehát mindaddig tuduk, mekkora a minıségi ellemzık középértéke, ingadozása, míg a folyamat stabil, normális állapotában marad. Amikor viszont rendkívüli zavarok lépnek fel, kivételek elennek meg (tehát a folyamat már nem stabil). Ilyenkor ez az elıreelzés nem érvényes, nem lehet megmondani, hogy fog alakulni az állapota. A véletlen zavarcsoport által okozott ingadozások sávával, intervallumával ellemezhetı a normális állapot, az ingadozási sáv határaival megadható folyamat minıségképessége. Szabályozottság-vizsgálattal állapítható meg egy folyamatról, hogy stabilitása és szabályozottsága megfelelı-e. A szabályozandó ellemzı (minıségellemzı) lehet - méréses (pl.: megmunkálási méret, ragasztási szilárdság, lakkvastagság) vagy - minısítéses (pl.: lakkbevonaton foltok számossága, felületi megmunkálási hibák vannak/nincsenek).

Stabil folyamatok esetén a minıségellemzı eloszlás típusa méréses ellemzıknél általában normális (sok kis hatás összegzıdésérıl van szó), vagy legtöbbször közelíthetı normálissal, minısítéses ellemzıknél más eloszlástípusokkal találkozunk. A legtöbb gyakorlati esetnél mivel igyekszünk méréses ellemzıvel szabályozni a normális eloszlás ellemzı. Ekkor, ha a figyelt ellemzı normális eloszlású, akkor szabályozott a folyamat. A normális eloszlást két paraméter íra le: a várható érték ( µ ) és a variancia ( σ ). (Emlékeztetıül:) A normális eloszlás sőrőségfüggvénye: A függvény görbée: f ( x) = σ 1 e π 1 x µ σ Eloszlásfüggvénye pedig: A függvény görbée: F( x ) = i x i x 1 x µ i 1 σ f ( x) dx = σ e π dx 3

Annak megállapítására, hogy szabályozott-e a folyamat, normális eloszlásról van-e szó, többféle módszer létezik, de nem mindig a legegzaktabb módszerek alkalmazása a cél; lehet a kevésbé szigorú is elfogadható (hasznos). Bármelyik módszer alkalmazása esetén elızetes adatfelvételt kell végezni, vagyis a sokaságból mintát kell venni. A sokaság a vizsgált ellemzı azon egyedi értékeinek összessége, melyeket az összes, vizsgálatban szereplı elemen (alkatrészen, terméken) figyelhetnénk meg (pl.: egy gyártási sorozat valamennyi darabának egy adott, ellemzı mérete profilméret stb.). A mintának legalább 5 elembıl kell állnia, de obb, ha ennél több. (Célszerőbb azonban, ha a minta nagysága 1-3 elem, ennél több általában nem szükséges). A normális eloszlást az ellemzi, hogy a középérték körüli, adott szélességő sávokba az összes elem meghatározott %-a esik. Egyszerőbb, kevésbé szigorú módszerként a gyakoriságeloszlás hisztogrammal történı ábrázolása teredt el. Ha valóban normális eloszlásról van szó, akkor ehhez közelálló eloszlást kell tükrözniük az adatoknak (v. ábra). v. ábra A hisztogram leggyakrabban ránézésre is elzést ad arról, hogy az eloszlás normális-e, vagy sem. Például az eloszlás nem lehet normális, ha - a burkológörbée nagyon aszimmetrikus, - a határokhoz közel is viszonylag nagy gyakorisággal találunk elemeket, - több módusza van, - túl csúcsos (leptokurtikus), vagy - lapos (platikurtikus) stb. (x. ábra) x. ábra 4

A normális eloszlás feltételezésének elfogadásához vagy elvetéséhez közelítı becslést ad, ha megszámoluk, hogy a minta elemeibıl mennyi esik a ± σ, a ± σ, a ± 3 σ értékközbe. Célszerően már az elızetes adatfelvétel adatait grafikonon szokták ábrázolni. A további vizsgálatokhoz, következtetésekhez fontos, hogy ezeket idırendben tüntessék fel. A minden adatot megelenítı grafikon a dinamikus ábra. Itt a vizsgált ellemzı értékét a függıleges tengelyre mérük. Az ábrázolást és értékelést megkönnyíti különbözı programok (például Quality ) használata. Az elıfordulási értékeket ábrázolva elkészíthetı a hisztogram, de most 9 -kal elfordítva (és tükrözve) elenik meg: A stabilitás vizsgálatánál egy hisztogramban összesítük a minta valamennyi elemét, de a folyamat részeit is vizsgálhatuk; a részeloszlásokra is fenn kell állni, hogy normálisak, mégpedig ugyanazzal a várható értékkel és szórással. (De Vor1/a,b,c ábra) (A felsı talán nem kell.) 5

a) A folyamat statisztikailag nem szabályozott: a sokaság idırıl idıre változik b) A folyamat statisztikailag kézben tartott: csak közönséges hibaokok hatnak c) A folyamat átmeneti állapotú: rendkívüli hibaok megelenése állapítható meg Pontosabb módszer az adatok Gauss-hálón való ábrázolása. A függıleges tengelyen a lépték olyan, hogy az eloszlásgörbe egyenessé válik, meredeksége 1 lesz. Még egzaktabb módszerként alkalmazzák a matematikából ismert statisztikai próbákat (illeszkedésvizsgálat): A χ (Chi-négyzet) próba, gyakoriságok sorozatának összehasonlítására: k * ( n n ) * χ =, n = 1 ahol: k összevont osztályok száma 6

* * n h n osztályközép; n = ϕ( u ) s u x = x s DF szabadságfok; DF = k b 1 Bár a Gauss-papír és a χ -próbás illeszkedésvizsgálat pontosabb, az eltérés ellegérıl nem ad felvilágosítást. A hisztogram ezekkel szemben szemléletes képet nyút. Ha az eloszlás normálisnak tekinthetı, akkor vizsgálható a minıségképesség. (Ha nem feltételezhetı normális eloszlás, akkor a folyamatokat elıbb részeiben kell elemezni a stabilitás hiányát kiváltó okok felderítésére, mad stabillá kell tenni.) Minıségképesség A véletlen zavarok okozta ingadozások sávával ellemezzük a normális állapotot, és ez ada a minıségképességet. A sáv határait a szokásos ingadozások határainak is nevezik. Ezek úgy tekinthetık, mint természetes folyamathatárok. Mik is pontosabban ezek a természetes folyamathatárok? Normális eloszlásnál a középérték körüli ± 3 σ széles intervallum magába foglala az összes egyedi érték 99,73 %- át, tehát igen kicsi (elhanyagolható) annak a valószínősége, hogy ezen a sávon kívüli érték fellép. Vagyis az x ± 3 σ lefedi a teles ingadozást. Ezért ezt a (természetes folyamathatárok közti) intervallumot a folyamat természetes tőrésének nevezzük. A természetes tőrés nagysága a felsı illetve az alsó tőréshatár különbsége ( FTH ATH ) már önmagában ellemezhetné a minıségképességet. Praktikusabb azonban valami elváráshoz viszonyítani. Ez az elvárás pedig az elıírt (mőszaki és/vagy gazdasági megfontoláson alapuló) tőrés. A folyamat (vagy gép) minıségképessége a természetes tőrés és a termék elıírt FTH ATH tőrésmezıének a hányadosa, vagyis az elıírt C = hányadosról van szó. A 6 σ gyakorlatban bevált képességi mutatóknál azonban további megkülönböztetéseket is tesznek. Egy gépen (berendezésen) homogén megmunkálási körülmények között (például: azonos szerszámállítás, alapanyag tétel, gépkezelı, élezéssel kapcsolatos szerszámcsere nincs stb.), 7

viszonylag rövid távon végzett vizsgálatok során megállapítható a gép minıségképessége, vagyis a gépképesség. Hosszabb távú és nem homogén körülmények között folytatott vizsgálattal a folyamatképesség határozható meg. Nem csak az elnevezésben van különbség; eltér a meghatározásmetodika és számítási mód is. Gépképesség: C M = FTH ATH 6 s, ahol s a nagy minta korrigált szórásával becsült folyamatszórás. (Amennyiben σ ismert, természetesen azt helyettesítük be.) A gépképesség akkor megfelelı, ha C >1, 33 M FTH ATH Folyamatképesség: C P =, ahol s * a folyamat részeloszlásaiból, vagyis a * 6 s folyamatból idıben elhúzódóan vett sok kisebb mintának a szóródásából számított átlagos szórás. A folyamatképesség akkor megfelelı, ha C >1, P Szemléltetve a gép- illetve folyamatképességet a tőréshatárokhoz viszonyítva (itt csak a sávszélességek egymásra helyezésével): A három eset: I: A képesség éppen elfogadható (középre beállítva) II: Más tőrés? Más gép? Válogatás? Elfogadom? (Gazdasági következményekkel számolva kell dönteni: szükség van-e más tőrésre, esetleg másik gépre; válogatni kell-e a darabokat vagy elfogadható a minıség ilyen gépképesség mellett.) III: A képesség túl ó, a beállítás látszólag mozoghat 8

A minıségképességgel kapcsolatos eddigi mérıszámok nem vizsgálák azt, hogy a beállítás mennyire pontos. (Például egy csap vastagsági megmunkálása esetén a képességek függetlenek attól, hogy egy 1 mm névleges méret esetén 9,7- re vagy 1,5- re sikerült beállítani az átlagos vastagságot. (Sıt, még attól is függetlenek, hogy 1, vagy mm-es csapot kell-e készíteni.) A megmunkálásnak illetve alkatrésznek azonban fontos ellemzıe az is, hogy a folyamat középértéke mennyire tér el a célértéktıl, illetve mennyire közelíti meg az alsó vagy felsı tőréshatárt. Ezért olyan mutatókat is használnak, melyek a beállítottságot elzik (Az MSZ ISO 9: szerint a szabályozottság mutatóa): C FTH x x ATH = min ; Mk 3 s 3 s C Pk FTH x x ATH min ; * 3 s 3 s = * A stabilitás/képesség /szabályozottság vizsgálata valamennyire elméleti ellegő kérdés maradhatott. Nem érzékelhetı eléggé, mire vonatkoznak a képletek, hisztogramok, sőrőségfüggvények: általában a termék valamelyik, minıség szempontából fontos paraméterére, de akár a késztermék valamilyen fontos minıségösszetevıére, minıségellemzıére. Ez leggyakrabban a megmunkálás folyamatában elentkezı valamilyen ellemzı. Így például egy szék minısége szempontából az egyik kritikus paraméter a váz csapos kötéseinek szilárdsága, tartóssága. A szabályozottságot és képességet erre a kritikus paraméterre vizsgálva a szilárdságot kellene mérni, megfelelı mintanagysággal. Ez nem csupán költséges és idıigényes módszer, hanem roncsolással is ár, így nem alkalmazható. (A szilárdság túl alacsony értéke idıben sokkal késıbb elentkezik, mint ahol eldıl.) Viszont ismert, hogy a kötésszilárdságban meghatározó a mechanikai megmunkálás pontossága. Ezért azt szükséges szabályozottá és képessé tenni. Egy másik példa lehet a szálfelhúzás elentkezése a késztermék lakkozott felületein. Itt a felület-elıkészítı csiszolás a meghatározó. Ennek kell szabályozottnak és képesnek lennie. A figyelt ellemzı a szálfelhúzódás; azt kell tudni, van-e érzékelhetı mértékő, vagy nincs. Ez nem méréses, hanem minısítéses ellemzı, azaz egy munkadarab megfelelı vagy nem megfelelı, és a nem megfelelık elıfordulásának a gyakoriságát vizsgáluk. Minısítéses ellemzıre példa a furnérillesztés is: a kész felület vizuális megelenésébıl megállapítható, hogy szabályozott-e, képes-e a folyamat. A hibaelemzı módszereket (elsısorban az ABC- vagy Pareto-elemzés), és a szabályozottság-/képesség-vizsgálat viszonyait összehasonlítva látható, hogy mindkettı alapvetıen a helyzetelemzést szolgála. Továbbá azt is megmutaták, hogy a minıségszabályozáshoz a avító, a minıségtartó vagy a felesztı stratégiát kell-e választani: 9

Mire irányul? Mit mutat meg? Mit mond? (Következtetések, intézkedések) Helyzetelemzés ABC- (Pareto-) elemzés A termékfata ellemzıire közvetlenül. A terméknek kritikus hibái vannak-e vagy nincsenek. Javítási tartalék van-e vagy nincs; ha van, mely hibáknál, hibaokoknál. Amennyiben egy-két hiba fordul elı minıségavítás kell (ezek gyakoriságát letörni); nincs kiugró hiba minıségtartás a feladat (statisztikai szabályozási módszerek); nincs kiugró hiba, mert sok hiba magas %-ú (átfogó) felesztésre van szükség. Stabilitás-/képesség-vizsgálat A termékellemzıket meghatározó paraméterekre (közvetett termékellemzıkre). Ezek a rendszerint a gyártás folyamán megfigyelhetı ellemzık valamennyi termékfatára vonatkozhatnak. Van-e olyan megmunkálási fázis/folyamat, ami nem stabil vagy nem képes. Nem stabil fázisoknál minıségavítást, nem képes fázisoknál alku/megalkuvás, átfogó felesztést kell végezni. Hogyha a folyamat (fázis) Stabil/és képes statisztikai szabályozási módszereket kell alkalmazni. Nem stabil pontok esetén hibaelemzı módszer (pl.:abc) segíthet a veszélyes zavarok kiszőrésében. Stabil, nem képes pontok esetén szintén más módszer segítségével megállapítható, hogy van-e avítási tartalék. A minıségszabályozás kialakult gyakorlatában alkalmazott elemzési elárások A képességelemzés A ól megtervezett minıségképesség elemzés együtt vizsgála a szabályozottságot és a képességet. Abból indul ki, hogy a folyamat akkor tekinthetı szabályozottnak, ha a folyamat valamennyi elemének eloszlása is, és az egyes idıszakokban keletkezett részeloszlások is normális eloszlásúak, mégpedig azonos ellemzıkkel ( µ és σ ). 1

Tekintsük a következı vizsgálatot. Folyamatos termelésbıl öt alkalommal 15 elemő mintákat vesznek. Példaképpen az utolsó részeloszlás dinamikus ábráa: Az öt részeloszlás (az öt idırendben vett minta) és a minták egyesítésével kapott minta eloszlása hisztogramokkal szemléltetve: 1 Becsülve a szórást az = ( x x) számíthatunk C P, s i képlettel, vagy a részeloszlások szórásából n 1 C M képesség-értéket. Ez azonban lehet (itt biztos), hogy nem stabil folyamatot ellemez. Az így számított érték: statikus minıségképesség (nem igazi képesség). Azonban ebbıl következtethetünk a stabil állapot képességére, ha a részeloszlásokat is vizsgáluk. Kétféle veszélyes zavar van elen: - helyzeti értéket változtató - szórást (ingadozást) változtató Anélkül, hogy ezek okait valóban kizárnánk, megvizsgálhatuk a kiküszöbölésük hatását (azaz a minıség tartalékait határozhatuk meg). Elsı lépésben a statikus szórásból elméletileg kiküszöbölük a helyzeti értékre ható zavarokat, a középérték-ingadozást okozó tényezıket (középsı ábrasor): 11

Ekkor az ingadozásra ható veszélyes zavarok még elen vannak! Erre az állapotra is meghatározható a szórás, az úgynevezett dinamikus szórás ( s d ), melynek kiszámításához lényegében a részeloszlásokon belüli ingadozások eltérés-négyzetösszegeit használuk, melyek megegyeznek a szabadságfokokkal súlyozott szórásnégyzetekkel: SS n = ( xi x ) = ( n 1) s i= 1 s m 1 = n A dinamikus szórás: d ( ) m = 1 n m = 1 1 s, n -edik minta elemszáma, m részminták (részeloszlások) száma (5), s -edik minta szórása. Az ennek segítségével meghatározható C mutató a dinamikus minıségképesség. P Most küszöbölük ki ebben a szórásváltoztató veszélyes zavarokat, így a korrigált (stabil) dinamikus szóráshoz ( s dk ) utunk. Ezt úgy kapuk, hogy az elıbbi képletben csak azokat a részeloszlásokat vesszük figyelembe, amelyek azonos szórású sokaságból származnak, vagyis szórásazonosság feltételezhetı. Ennek eldöntésére statisztikai próba (Bartlett-próba) szolgál. Nullhipotézis: H : σ ξ1 = σ ξ = σ ξ 3 =... = σ ξm 1

A próbastatisztika (K ) a nullhipotézis fennállása esetén χ eloszlást követ, m-1 paraméterrel. K m,36 = df lg sd df c = 1 lg s, ahol: m 1 1 1 c = 1 +, 3( m 1) = 1 df df df szabadságfok, df n 1 = df = m = 1 df A K értékét összehasonlítuk a χ -táblázat kritikus értékével, m-1 szabadsági fok, és a választott valószínőségi szint (pl. 99%) mellett. Ha χ < K, akkor nem áll fenn a szórások homogenitása. Kivesszük a legeltérıbb részeloszlást, és úra megismételük a próbát. Így utunk a legalsó ábrasor állapotához. Az így meghatározható s dk alapán a stabilizált dinamikus minıségképesség számítható, ami a valóságban is stabilizált folyamat képességével azonos. Megmutata, hogy mennyi tartalékot tudunk mozgósítani, ha elvégezzük a stabilizálást és szabályozást. Példa (a Quality program felhasználásával): Elektronikai elemek ellenállásértékét vizsgáluk. A képességelemzés rávilágít egy-két további fontos momentumra. 75 adat áll rendelkezésre, ezek idırendben feltüntetve a dinamikus ábrán láthatók (X. ábra): 13

X. ábra A vizsgált elemek ellenállás-értékei Y. ábra A részeloszlások kielölése (szőrés tisztítás után) 14

Z. ábra A vizsgált részeloszlások 15

Megállapítható: (Felsorolás számozás sem kell) 1. A 177. elem egyedi hiba, valószínőleg hibás mérés törlendı. A tisztítás elvégzését a program segítségével grafikusan, vagy táblázat alapán is megtehetük:. Minden adat vizsgálata hisztogrammal grafikusan (Gauss-papíron) χ próbával A Gauss-papíros ábrázolásnál ól látható, hogy az eloszlás görbée egyenessé vált, vagyis a minta feltételezhetıen normál eloszlású sokaságból származik: normális eloszlás feltételezésével 16

Ha csak a teles folyamat összesített eloszlását vizsgáluk, lehet, hogy elfogadhatónak találuk a normális eloszlás feltételezését. Erre utal a gyakorisági táblázat alapán készült illeszkedésvizsgálat eredménye is (-k. ábrák??kell?). 3. Azonban ha a dinamikus ábra egyes részeit nézzük, vannak kisebb és nagyobb ingadozású szakaszok, tehát két alternatív állapot létezik. A kis ingadozású szakaszok ellemzik a rendszer stabil és szabályozott állapotát. A stabil folyamatra ellemzı szakaszok (58 68; 99 137; 154 163) egyesítésével kapuk az 1. 17

részeloszlást. A nagy ingadozású szakaszok a teles minta kiválasztott részeloszláson kívüli elemei a 15. részeloszlást alkoták (Y. Z. ábrák). A minták szórásának, illetve átlagának összehasonlításához F- és t-próbát alkalmazunk: Látható, hogy a szórások alapán a két állapot (részeloszlás) különbözik. Ha azt feltételezzük, hogy a szórások mégis megegyeznek, a t-próba eredményei az eloszlások átlagának azonosságára utalnak (bár a számított és elméleti t-értékek közti különbség igen kicsi). A képesség-elemzés során kiszámíthatók a különbözı minıségképességi mutatók, amelybıl a folyamat képességére, tartalékaira következtethetünk. 18

Minıségtartó szabályozás Amennyiben a stabilitás- és képességelemzés stabilnak, képesnek és szabályozottnak mutata a folyamatot, akkor a további feladat a minıségtartás (matematikai statisztikai eszközökkel). Ekkor is szükség van szabályozásra, mert szabályozott folyamatban is felléphetnek zavarok, illetve gazdaságosan stabil minıséget csak szabályozott folyamattal lehetséges produkálni. A cél ebben az állapotban a veszélyes zavarok fellépésének azonnali elzése, azaz a stabilitás és szabályozottság megsértésének a elzése. Ez olyan eszközt igényel, amivel azonnal felismerhetık a veszélyes hibaokok valamint alkalmas a véletlen és veszélyes zavarok elkülönítésére. Szabályozáskor a vizsgált minıségi ellemzıt szabályozott ellemzınek nevezzük. A minıségtartás során a szabályozott ellemzı eloszlásellemzıiben ( µ,σ ) fellépı szignifikáns változások felismerése a feladat. Ehhez matematikai statisztikai oldalról statisztikai próba szükséges. A nullhipotézis az, hogy a szabályozott ellemzı (a folyamatból vett mintákon) a már korábban megismert eloszlást követi. H : µ = µ σ N( µ, σ A hipotézisvizsgálat t- (vagy Student-) próba, illetve, ha a szórás ismert, akkor u-próba segítségével történik. Ez utóbbinál használt próbastatisztika u i = σ i ) N( µ, σ x µ = σ / n i i ) A standard normális eloszlás ellemzı értéke kétoldali próba esetén a választott valószínőségi szint függvényében u α /. Ez a táblázatból kikereshetı érték azt mutata, hogy a 19

várható értéktıl felfelé és lefelé hány szórásnyi távolságra esnek a megbízhatósági intervallum határai a választott α szignifikancia-szinten. Ha a nullhipotézis igaz, a próbastatisztika értéke ε = 1 α valószínőséggel a megbízhatósági intervallumba, azaz ( ) és ( ) u közé esik: α / Az ( ) és ( ) u α / x µ P uα / uα / = α σ 1 / n α / u α / u által határolt értékközt elfogadási tartománynak is nevezzük Ha a számított u próbastatisztika abszolút értéke nem nagyobb, mint a táblázati kritikus érték, azaz u uα /, akkor a vizsgált minta nagy valószínőséggel a ( µ, σ ) paraméterő, normális eloszlású sokasághoz tartozik rövid elölése: N( µ, σ ) ; egyébként más eloszlást követ. A gyakorlatban a transzformálatlan mintaellemzıkre alkalmazzuk a próbát; azokat a ellemzıket (például x mintaátlagokat) fogaduk el az ismert alapsokaságba tartozóknak, amelyekre telesül, hogy µ uα / σ x µ + u σ x α /, x ahol σ = σ / n a mintaátlagok szórása, x Elteredt az u 3 konvenció használata a határok számításához, vagyis ebben az esetben a α / = valószínőségi változó 99,73% valószínőséggel az elfogadási tartományba esı értékeket vesz fel. Beavatkozás a folyamatba akkor szükséges, ha a mintaellemzık kívül esnek a határokon, amik egyúttal az ellenırzıhatárok (beavatkozási határok). Az elutasítási tartományba kerülı értékek azt elzik, hogy a folyamat nem szabályozott (nem stabil). A gyakorlat a elentıs változások felismerésére nagyobb minták vétele és elemzése nélküli egyszerő módszert igényel. Ezek közül az ellenırzı kártyák módszere teredt el. Ennek során kis elemszámú ( n = 1 9 db) mintákat vesznek a vizsgált folyamatból, meghatározott idıközönként. A minták ellemzıit idırendben ábrázolák grafikonon: - a vízszintes tengelyen a mintavételi esemény sorszáma található növekvı sorrendben (idı is rendelhetı hozzá), - a függıleges tengelyen a minta ellemzı értékét elölik. A grafikon rendszerint tartalmazza a középvonalat (a szabályozott ellemzı várható értékét) valamint az ellenırzési (beavatkozási) határokat.

Az ellenırzı kártya segítségével a statisztikai próbákat folyamatosan, számítás helyett grafikusan úton végezzük el. A megbízhatósági intervallum határait most ellenırzési, vagy beavatkozási határoknak nevezzük, ezeket kell megállapítani és feltüntetni a grafikonon: FEH s 1s átlag 1s s AEH Átlagkártya 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 17 18 19 µ + 3 σ µ µ 3 σ / / n n Minta száma ÁBRA, PÉLDA A kártya azonban nem csupán annak kimutatására szolgál, hogy a folyamat statisztikai ellege megváltozott-e, hanem a gyártásközi ellenırzéshez szükséges paraméterek meghatározásához is használák az elızetes adatfelvétel során. A gyakorlatban kialakult, szokásos, de nem kizárólagos vizsgálati feltételek: - megbízhatósági szint: ε = 99,73%, - ellenırzési határok: µ ± 3 σ, és x - a kisminta elemszáma: n = 4 (vagy n = 5 ) Az ellenırzı kártyák alapán hozott statisztikai döntés természetesen a hiba lehetıségét is hordozza magában. A döntési helyzet négy esete: A termék (alkatrész) megfelelı minıségő nem megfelelı minıségő A folyamat szabályozott A döntés: beavatkozás nem szükséges Helyes döntés ε = 1 α megbízhatósági szinten Hibás döntés β /másodfaú hiba/ 1

Hibás döntés szabályozatlan A döntés: beavatkozás szükséges α tévedési valószínőség /elsıfaú hiba/ Helyes döntés e = 1 β a döntés erıssége A beavatkozási döntés függ a megválasztott α (illetve ε = 1 α megbízhatósági) szinttıl, de α értéke a másodfaú hiba nagyságát is befolyásola; α, β és n (a minta elemszáma) kölcsönösen függnek egymástól, és ha az elsıfaú hibát szeretnénk obban elkerülni, nı a másodfaú hiba valószínősége. Példa: lapalkatrészek esetében a termék szempontából lényeges ellemzı (a szabályozás kritikus ponta) az alkatrész pontos méretre munkálása utáni szélesség. Ezt a méréses ellemzıt szeretnénk vizsgálni n = 1, illetve n = 4 elemszámú minták felhasználásával. A vizsgált minták a N(9;1), illetve N(9;1) eloszlással írhatók le:

Hasonlítsuk össze n = 1 és n = 4 elemő mintákra, hogyan alakul α különbözı értékei mellett a másodfaú hiba valószínősége, β. Látható, hogy az egy elemő minta egyedi értékek figyelése nagy valószínőségő másodfaú hibával ár, ami rohamosan csökken az elemszám növelésével. Az ábrán különbözı α értékkel. β i indexe különbözı ellenırzési határokat ( ± i σ ) határoz meg µ x Így, ha a határokat a ± 3 σ konvenció alapán vesszük fel, vagyis α / =, 13, a vizsgált x alternatív állapotra ( =mm): n = 1; β = 84,13% n = 4 ; β = 15,87% A másodfaú hiba valószínősége ( β ) akkor is csökken, ha α növekszik, ezzel együtt a megbízhatósági szint csökken ( ε = 1 α ), ami szintén nem kívánatos. A gyártási és szabályozási folyamatba való beavatkozás szükségessége a vállalat érzékenységétıl függ, hiszen β közvetlenül a minıséggel kapcsolatos, α és n gazdasági kérdés is. A vezetıknek ezt mérlegelve kell meghozniuk a döntést. Az ellenırzı kártya, mint grafikus módszer segítséget nyút annak megállapításához, hogy a terméket elıállító folyamat statisztikailag szabályozott, azaz ellenırzött állapotban van-e. A termék/alkatrész minıségi ellemzıinek idırendbeli (grafikus) ábrázolása lehetıvé teszi a gyártóképességet tükrözı határokkal való összehasonlítást. A cél: ellenırzött állapotban tartani a termék minıségi ellemzıit azon keresztül, hogy az elıállító folyamat ellenırzött állapotban marad. A feladat ennek megfelelıen az ellenırzendı ellemzık kiválasztása után: 1. A szabályozás kritikus pontainak meghatározása (ha szükséges, pl. ABC, Ishikawa stb. módszerrel). 3

. Statisztikus felmérése (szabályozottság- és/vagy képességelemzés). 3. Ellenırzı kártya típusának meghatározása, megtervezése (ellenırzıhatárok, szükséges mintanagyság, idıköz megállapítása) 4. Ellenırzı kártya felhasználása a folyamatokat érintı döntésekben. 5. Ellenırzıhatárok úraszámítása (nagyobb idıszakonként). A szabályozott ellemzık közül megkülönböztethetünk méréses és minısítéses ellemzıket. Jellegük szerint ezek lehetnek folytonosak, illetve diszkrétek. Eloszlástípusuk ennek megfelelıen többféle lehet, így különféle típusúak lesznek az ellenırzı kártyák is. A gyakorlatban alkalmazott kártyatípusok: Szabályozott ellemzı Ellenırzı kártya Fata Példa Jelleg Eloszlás Megnevezés Megegyzés 1. ó/nem ó arány felülethibás 1.1 n konstans darabok folytonos aránya 1. n = konstans diszkrét felülethibás ó/nem ó szám. n = konstans hiba elıfordulási 3. számossága termékegységen n = konstans hiba elıfordulása 4. összehasonlító egységre darabok diszkrét aránya száma élkiszakadások száma, vagy a kráterek diszkrét száma egy alkatrészen 4.1 n konstans folytonos 4. n = konstans diszkrét Poisson seletaránykártya közel normális ( p - kártya) binomiális hipergeometrikus seletszámkártya (binomiális), közelíthetı ( np - kártya) normálissal Poisson, hibaszámközelíthetı kártya normálissal (c- kártya) hibaaránykártya közel (u - kártya) normális gyengén szelektív gyengén szelektív gyengén szelektív 4

5. geometriai, mért egyedi mechanikai ellemzık ellemzık folytonos normális elızıek leszármazott ellemzıi 6. ( m >1minta) 6.1 mintabeli átlag folytonos normális 6. minta mediána folytonos normális ellenırzı kártya egyedi értékekre ( x - kártya) átlag-kártya ( x - kártya) medián-kártya ( ~ x - kártya) gyengén szelektív Általában párosítva: - helyzeti - ingadozás 6.3 mintabeli szórás folytonos χ eloszlássá alakítható szórás-kártya (s- kártya) ó szelektív képességő 6.4 mintabeli szórásnégyzet folytonos χ szórásnégyzetkártya (s - kártya) 6.4 minta teredelme folytonos speciális teredelem-kártya ( R - kártya) A kártyák megszerkesztésének és használatának elve a méréses ellemzık (5., 6. sor) ellenırzı kártyáinak segítségével ól megismerhetı. 5

6