Hét, páronként érintkező végtelen henger

Hét, páronként érintkező végtelen henger Bozóki Sándor 1,2, Rónyai Lajos 1,3, Tsung-Lin Lee 4 1 MTA SZTAKI 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 4 National Sun Yat-sen University, Tajvan 2015. március 30. p. 1/43

Páronként érintkező érmék forrás: Dudeney: Amusements in mathematics (1917), 143. o. p. 2/43

Páronként érintkező érmék forrás: Dudeney: Amusements in mathematics (1917), 248. o. p. 3/43

Páronként érintkező cigaretták forrás: Grätzer József: Rébusz (1935), 115. o. p. 4/43

Páronként érintkező cigaretták forrás: Grätzer József: Rébusz (1935), 233. o. p. 5/43

Páronként érintkező cigaretták Martin Gardner az 50-es évek végén a Scientific American hasábjain tűzte ki a feladatot. Meglepetésére nemcsak 6, de 7 cigarettás megoldás is beérkezett. p. 6/43

Páronként érintkező cigaretták Martin Gardner az 50-es évek végén a Scientific American hasábjain tűzte ki a feladatot. Meglepetésére nemcsak 6, de 7 cigarettás megoldás is beérkezett. forrás: Gardner (1959), 115. o. (feltétel: hossz/átmérő 7 3/2 6.06.) p. 7/43

Littlewood sejtése El lehet-e helyezni a térben hét, azonos sugarú, páronként érintkező, végtelen hosszú hengert? Is it possible in 3-space for seven infinite circular cylinders of unit radius each to touch all the others? Seven is the number suggested by constants. (Littlewood, 1968, 20. o.) A páronként érintkező végtelen hosszú hengerek maximális száma megegyezik azon egyenesek maximális számával, amelyek páronként azonos pozitív távolságra vannak egymástól. Littlewood sejtésének ekvivalens átfogalmazása: Létezik-e hét, egymástól azonos pozitív távolságra lévő térbeli egyenes? p. 8/43

Littlewood sejtése El lehet-e helyezni a térben hét, azonos sugarú, páronként érintkező, végtelen hosszú hengert? Is it possible in 3-space for seven infinite circular cylinders of unit radius each to touch all the others? Seven is the number suggested by constants. (Littlewood, 1968, 20. o.) Az eddig talált források közül Ogilvy (1962) könyve a legkorábbi, amelyben szerepel Littlewood sejtése: How many lines can be drawn in 3-space, each a unit distant from every one of the others? It is conjectured that seven is the maximum number, but no proof is available. Seven might be too high or too low. (61. o.) The question on skew lines in 3-space was suggested by Littlewood. (153. o.) p. 9/43

6 végtelen henger forrás: Brass, Moser, Pach (2005), 98. o. p. 10/43

Kuperberg javaslata 8 végtelen hengerre forrás: Bezdek, Ambrus (2008), 1804. o. Bezdek András és Ambrus Gergely 2008-ban bebizonyította, hogy Kuperberg ezen konstrukciója nem jó, azaz legalább egy hengerpár nem érintkezik. p. 11/43

Az eddig ismert legjobb korlátok Tétel (Bezdek, 2005): A páronként érintkező, végtelen hosszú, azonos sugarú hengerek maximális száma legfeljebb 24. A páronként érintkező, végtelen hosszú, azonos sugarú hengerek maximális száma legalább 6, de legfeljebb 24. p. 12/43

Az előadás további részében a Bozóki, S., Lee, T.L., Rónyai, L. (2015): Seven mutually touching infinite cylinders, Computational Geometry: Theory and Applications, 48(2):87 93. cikk eredményeit foglaljuk össze: Megmutatjuk, hogy az alsó korlát 7-re javítható, mivel sikerült találni 7 hengeres elrendezés(eke)t. p. 13/43

A modell Rögzítsük a hengerek sugarát 1-re, vagyis az egyenesek távolságát 2-re. A P i ponton áthaladó w i irányvektorú egyenes paraméteres egyenlete: l i (s) = P i + sw i, s R. Ha l i és l j kitérő, akkor a távolságuk felírható alakban. d(l i,l j ) = ( P i P j ) (w i w j ) w i w j p. 14/43

A modell d = 2-vel és átrendezés után kapjuk: ( P i P j ) (w i w j ) 2 4 w i w j 2 = 0. Legyen P i = (x i,y i,z i ), w i = (t i,u i,v i ). A vegyesszorzat determinánsos alakját felírva adódik: det x j x i y j y i z j z i t i u i v i t j u j v j 2 4 [ (u i v j v i u j ) 2 + + (v i t j t i v j ) 2 + (t i u j u i t j ) 2] = 0. Az egyenlet bal oldalát kifejtve egy 12 változós, 6-od fokú polinomot kapunk, amely 84 monóm lineáris kombinációja. p. 15/43

A változók számának csökkentése Feltehetjük, hogy az l 1 egyenes átmegy a P 1 (0, 0, 1) ponton és az irányvektora w 1 = (1, 0, 0). Szintén rögzíthetjük az első két henger érintési pontját vagyis az első két egyenes távolságát realizáló szakasz felezőpontját, legyen ez az origó. Ebből adódik P 2 (0, 0, 1), l 2 irányát pedig már egyetlen változóval jellemezni tudjuk. Az első két egyenest eredetileg leíró 12 változó helyett elegendő 1. Az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy az l i (i = 3,...,7) egyenesek egyike sem vízszintes, ezért metszik a z = 0 síkot: z i = 0 (i = 3,...,7). p. 16/43

A változók számának csökkentése Végül az egyenesek irányvektorának hosszára a t i + u i + v i = 1 (i = 3,...,7) feltétellel élünk. Ez ugyan kizárja a t i + u i + v i = 0 egyenletet teljesítő irányvektorokat, de mivel egyelőre nem az összes megoldást keressük, hanem legalább egy megoldást, látni fogjuk, hogy az ily módon szűkített keresési térben is találunk gyököt. A redukció eredménye: 1 + 5 4 = 21 változónk és 5 + 5 + ( 5 2) = 20 egyenletünk maradt. Önkényesen hozzáadunk egy plusz feltételt: rögzítsük az első két egyenes (henger) szögét, legyenek egymásra merőlegesek. p. 17/43

A kapott többváltozós polinomrendszer Az l 1 és l j (3 j 7) egyenesek távolsága: yjt 2 2 j + 2yjt 2 j u j 2yjt 2 j + yju 2 2 j 2yju 2 j + yj 2 + 2y j t j u j + 2y j u 2 j 2y j u j 4t 2 j 8t ju j + 8t j 7u 2 j + 8u j 4 = 0, j = 3,...,7. Az l 2 és l j (3 j 7) egyenesek távolsága: x 2 jt 2 j + 2x 2 jt j u j 2x 2 jt j + x 2 ju 2 j 2x 2 ju j + x 2 j 2x j t j u j 2x j t 2 j + +2x j t j 4u 2 j 8t j u j + 8t j 7t 2 j + 8u j 4 = 0, j = 3,...,7. p. 18/43

A kapott többváltozós polinomrendszer Az l i és l j (3 i < j 7) egyenesek távolsága: 4x i y i t i u i t j u j +4x i x j t i u i t j u j +4x i y j t i u i t j u j +4y i x j t i u i t j u j +4y i y j t i u i t j u j 4x j y j t i u i t j u j 2x 2 i t iu i t j u j 2y 2 i t iu i t j u j 2x 2 j t iu i t j u j 2y 2 j t iu i t j u j 4x i x j t i u i u j +4x i x j t i u 2 j +4x ix j u 2 i t j 4x i x j u i t j u j +4y i y j t 2 i u j 4y i y j t i u i t j 4y i y j t i t j u j +4y i y j u i t 2 j +4x ix j u i u j +4y i y j t i t j +x 2 i t2 i u2 j +x2 i u2 i t2 j +y2 i t2 i u2 j +y2 i u2 i t2 j +x2 j t2 i u2 j +x 2 j u2 i t2 j +y2 j t2 i u2 j +y2 j u2 i t2 j +2x iy i t 2 i u2 j +2x iy i u 2 i t2 j 2x ix j t 2 i u2 j 2x ix j u 2 i t2 j 2x iy j t 2 i u2 j 2x i y j u 2 i t2 j 2y ix j t 2 i u2 j 2y ix j u 2 i t2 j 2y iy j t 2 i u2 j 2y iy j u 2 i t2 j +2x jy j t 2 i u2 j +2x jy j u 2 i t2 j 2x i y i t 2 i u j 2x i y i t i u 2 j +2x iy j t 2 i u j +2x i y j t i u 2 j +2x iy j u 2 i t j +2x i y j u i t 2 j 2x iy i u 2 i t j 2x i y i u i t 2 j +2y ix j t 2 i u j +2y i x j t i u 2 j +2y ix j u 2 i t j +2y i x j u i t 2 j 2x jy j t 2 i u j 2x j y j t i u 2 j 2x j y j u 2 i t j 2x j y j u i t 2 j 2x2 i t iu 2 j 2x2 i u2 i t j 2y 2 i t2 i u j 2y 2 i u it 2 j 2x2 j t iu 2 j 2x2 j u2 i t j 2y 2 j t2 i u j 2y 2 j u it 2 j +2x2 i t iu i u j +2x 2 i u it j u j +2y 2 i t iu i t j +2y 2 i t it j u j +2x 2 j t iu i u j +2x 2 j u it j u j +2y 2 j t iu i t j +2y 2 j t it j u j +2x i y i t i u i t j +2x i y i t i u i u j +2x i y i t i t j u j +2x i y i u i t j u j 2x i y j t i u i t j 2x i y j t i u i u j 2x i y j t i t j u j 2x i y j u i t j u j 2y i x j t i u i t j 2y i x j t i u i u j 2y i x j t i t j u j 2y i x j u i t j u j +2x j y j t i u i t j +2x j y j t i u i u j +2x j y j t i t j u j +2x j y j u i t j u j 2x 2 i u iu j 2y 2 i t it j 2x 2 j u iu j 2y 2 j t it j 2x i y i t i u i +2x i y i t i u j +2x i y i u i t j 2x i y i t j u j +2x i y j t i u i 2x i y j t i u j 2x i y j u i t j +2x i y j t j u j +2y i x j t i u i 2y i x j t i u j 2y i x j u i t j +2y i x j t j u j 2x j y j t i u i +2x j y j t i u j +2x j y j u i t j 2x j y j t j u j 2x i x j u 2 i 2x ix j u 2 j 2y iy j t 2 j 2y iy j t 2 i +24t iu i t j u j +x 2 i u2 i +x2 i u2 j +y2 i t2 i +y2 i t2 j +x2 j u2 i +x 2 j u2 j +y2 j t2 i +y2 j t2 j 12t2 i u2 j 12u2 i t2 j 4t2 i 4u2 i 4t2 j 4u2 j 8t iu i t j 8t i u i u j 8t i t j u j +8t i u 2 j +8t2 i u j +8u 2 i t j +8u i t 2 j 8u it j u j +8t i t j +8u i u j = 0, i = 3,..., 6, j = i + 1,..., 7. p. 19/43

Többváltozós polinomrendszerek megoldása Néhány, a többváltozós polinomrendszerek megoldására ismert módszercsalád: Gröbner-bázisok Rezultáns módszer Általánosított rezultáns módszer Homotópiás módszer Newton-iteráció (lokális) p. 20/43

A homotópiás módszer Drexler (1977) Garcia és Zangwill (1979) Morgan és Sommese (1987) Huber és Sturmfels (1995) Li (1997) Lee, Li és Tsai (2008) Chen, Lee és Li (2013) p. 21/43

A homotópiás módszer H(x,t) = (1 t)q(x) + tp(x) = 0 p. 22/43

Két valós megoldás A polinomrendszerünknek 121 milliárd megoldásjelöltje van, ezeket egyenként meg kell vizsgálni és kiválogatni a valósakat. Tsung-Lin Lee társszerzőnk közreműködésével egy 12 magos Intel Xeon X5650 2.66 GHz gépen havonta 20 millió gyökjelölt vizsgálata történt meg. Az összes gyökjelölt vizsgálata így 6050 hónapig (504 évig) tartana. Szerencsére már 3 hónap után meglett az első valós gyök, majd még egy hónap múlva a második. p. 23/43

x 3 11.675771704477 2.075088491891 y 3 4.124414157636 2.036516392124 t 3 0.704116159640 0.030209763440 u 3 0.235129952793 0.599691085438 x 4 3.802878122730 2.688893665930 y 4 2.910611127075 4.070505903499 t 4 0.895623427074 0.184499043058 u 4 0.149726023342 0.426965115851 x 5 8.311818491659 4.033142850644 y 5 1.732276613733 2.655943449984 t 5 2.515897624878 0.251380280590 u 5 0.566129665502 0.516678258430 x 6 6.487945444917 6.311134419772 y 6 8.537495065091 5.229892181735 t 6 0.785632006191 0.474742889365 u 6 0.338461562103 1.230302197822 x 7 3.168475045360 3.914613907006 y 7 2.459640638529 7.881492743224 t 7 0.192767499267 1.698198197367 u 7 0.536724141124 1.164062857743 p. 24/43

A gyökök tesztelése Meg kell vizsgálni, hogy nemcsak egy jó közelítő megoldást kaptunk, hanem a polinomrendszernek valóban létezik izolált valós gyöke a kapott érték kis sugarú környezetében. Két gyöktesztelő algoritmust alkalmaztunk: alphacertified, Smale α-elméletére építve p. 25/43

A gyökök tesztelése Meg kell vizsgálni, hogy nemcsak egy jó közelítő megoldást kaptunk, hanem a polinomrendszernek valóban létezik izolált valós gyöke a kapott érték kis sugarú környezetében. Két gyöktesztelő algoritmust alkalmaztunk: alphacertified, Smale α-elméletére építve Krawczyk intervallumos módszere p. 26/43

A gyökök tesztelése Mindkét eljárás megerősítette, hogy mindkét gyök valódi. Beláttuk tehát: Tétel: A páronként érintkező, végtelen hosszú, azonos sugarú hengerek maximális száma legalább 7. p. 27/43

Az első megoldás p. 28/43

A második megoldás p. 29/43

p. 30/43

Nyitott kérdések: páronként érintkező, azonos (véges) hosszú hengerek Lehet-e találni 5-nél több érmét? Lehet-e találni 7-nél több cigarettát? Mit lehet mondani a köztes hossz/átmérő arányok esetében? p. 31/43

Nyitott kérdések: páronként érintkező, végtelen hosszú hengerek Mi történik, ha változni engedjük az első két henger szögét, ami eddig derékszöget zárt be? A korábban kizárt irányvektorok (t i + u i + v i = 0) megengedése és a t i + u i + v i 0 irányvektorok kizárása ad-e új megoldásokat? Lehet-e találni nyolcat? A bemutatott módszerrel felírt egyenletrendszerben 25 változó és 27 egyenlet szerepel. Meglepő lenne, ha megoldható lenne, de a megoldhatatlanság bizonyítása sem tűnik egyszerűnek. p. 32/43

Nyitott kérdések: páronként érintkező, végtelen hosszú hengerek Mi történik, ha nem ragaszkodunk ahhoz, hogy a hengerek azonos sugarúak legyenek? Mi az R n -beli (n > 3), páronként azonos (pozitív) távolságra lévő egyenesek maximális száma? p. 33/43

Főbb hivatkozások a páronként érintkező érmék témájában Dudeney, H.E. (1917): Amusements in mathematics, Thomas Nelson and Sons, London, Edingburgh, New York, p. 143., p. 248. https://archive.org/details/amusementsinmath00dude https://openlibrary.org/books/ol178183m/amusements_in_mathematics Gardner, M. (1959): The Scientific American book of mathematical puzzles and diversions, Simon and Schuster, New York, pp. 110 115. p. 34/43

Főbb hivatkozások a páronként érintkező cigaretták témájában Gardner, M. (1959): The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, Simon and Schuster, New York, pp. 110 115. Grätzer, J. (1935): Rébusz, Singer és Wolfner Irodalmi Intézet, Budapest, 115. o., 233. o. Mérő, L. (1997): Észjárások - A racionális gondolkodás korlátai és a mesterséges intelligencia, Tericum Kiadó, R8 rejtvény, 17 18. o., 183 184. o. p. 35/43

Főbb hivatkozások a páronként érintkező, végtelen hosszú hengerek témájában Ambrus, G., Bezdek, A. (2008): On the number of mutually touching cylinders. Is it 8?, European Journal of Combinatorics 29(8):1803 1807. Bezdek, A. (2005): On the number of mutually touching cylinders, Combinatorial and Computational Geometry, MSRI Publication, 52:121 127. Brass, P., Moser, W., Pach, J. (2005): Research problems in discrete geometry, Springer. Littlewood, J.E. (1968): Some problems in real and complex analysis, Heath Mathematical Monographs, Raytheon Education, Lexington, Massachusetts. Ogilvy, C.S. (1962): Tomorrow s math: unsolved problems for the amateur, Oxford Univesity Press, New York. p. 36/43

Főbb hivatkozások a páronként érintkező, végtelen hosszú hengerek témájában Pikhitsa, P.V. (2004): Regular network of contacting cylinders with implications for materials with negative Poisson ratios, Physical Review Letters 93(1) Article 015505. Pikhitsa, P.V. (2007): Architecture of cylinders with implications for materials with negative Poisson ratio, Physica Status Solidi B 244(3):1004 1007. Pikhitsa, P.V., Choi, M., Kim, H-J., Ahn, S-H. (2009): Auxetic lattice of multipods, Physica Status Solidi B 246(9):2098 2101. Pikhitsa, P.V., Choi, M. (2014): Seven, eight, and nine mutually touching infinitely long straight round cylinders: Entanglement in Euclidean space, manuscript, arxiv:1312.6207 p. 37/43

Főbb hivatkozások a homotópiás módszer témájában Chen, T., Lee, T.L., Li, T.Y. (2014): Mixed volume computation in parallel, Taiwanese Journal of Mathematics, 18(1):93 114. Drexler, F.J. (1977): Eine Methode zur Berechnung sämtlicher Lösungen von Polynomgleichungssystemen, Numerische Mathematik 29(1):45 58. Garcia, C.B., Zangwill, W.I. (1979): Finding all solutions to polynomial systems and other systems of equations, Mathematical Programming 16(1):159 176. Huber, B., Sturmfels, B. (1995): A polyhedral method for solving sparse polynomial systems, Mathematics of Computation 64(212):1541 1555. p. 38/43

Főbb hivatkozások a homotópiás módszer témájában Lee, T.L., Li, T.Y., Tsai, C.H. (2008): HOM4PS-2.0, A software package for solving polynomial systems by the polyhedral homotopy continuation method, Computing 83(2-3):109 133. Li, T.Y. (1997): Numerical solution of multivariate polynomial systems by homotopy continuation methods, Acta Numerica 6:399 436. p. 39/43

Főbb hivatkozások a gyöktesztek témájában Blum, L., Cucker, F., Shub, M., Smale, S. (1997): Complexity and real computation, Springer-Verlag, New York. Hauenstein, J.D., Sottile, F. (2012): Algorithm 921: alphacertified: certifying solutions to polynomial systems, ACM Transactions on Mathematical Software 38(4): Article 28. DOI 10.1145/2331130.2331136 Krawczyk, R. (1969): Newton-Algorithmen zur Bestimmung von Nullstellen mit Fehlerschranken, Computing 4(3):187 201. p. 40/43

Főbb hivatkozások a gyöktesztek témájában Rump, S.M. (1999): INTLAB INTerval LABoratory, in: Csendes, T., editor, Developments in reliable computing, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp. 77 104. Rump, S.M.: INTLAB INTerval LABoratory. http://www.ti3.tu-harburg.de/rump/intlab/ Smale, S. (1986): Newton s method estimates from data at one point, in Ewing, R.E., Gross, K.I., Martin, C.F. (editors): The merging of disciplines: new directions in pure, applied, and computational mathematics, Springer, New York, pp. 185 196. p. 41/43

p. 42/43

Köszönöm a figyelmet. bozoki.sandor@sztaki.mta.hu http://www.sztaki.mta.hu/ bozoki p. 43/43