Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Geometriai Tanszék AZ EVOLUTÁK VILÁGA BSc szakdolgozat Készítette: Somlói Zsófia matematika BSc tanári szakirány Témavezető: Dr. Moussong Gábor adjunktus Budapest, 013.
Tartalomjegyzék 1. Bevezető 3. Görbeseregek, burkológörbék 5.1. Néhány differenciálgeometriai alapfogalom................. 5.1.1. Síkgörbék megadása......................... 5.1.. Síkgörbék érintői, ívhossza...................... 5.. Görbeseregek................................. 6.3. Burkológörbék................................ 7.3.1. Kúpszeletek mint burkológörbék................... 8 Parabola................................ 8 Ellipszis és hiperbola......................... 9.3.. Néhány ciklois mint burkológörbe.................. 10 Asztrois................................ 11 Kardioid............................... 1 Pascal-csigák............................. 14 Nefroid................................ 15.4. Görbék kausztikája - mit rejt a kávéscsésze?................. 16 3. Evoluták 19 3.1. A görbületi középpontok pályája....................... 19 3.1.1. "A hasonlóság megmarad"...................... 0 Közönséges ciklois.......................... 0 A szív görbéje............................ 1 Nefroid................................ Asztrois................................ 3 3.1.. További szemléletes evoluták..................... 5 Ellipszis................................ 5 Parabola................................ 6 3.. Az evoluták mint burkológörbék....................... 7 4. Az evoluta "testvére": az evolvens 30 4.1. A lefejtési görbe................................ 30 4.1.1. Néhány ismert evolvens....................... 31 4.. Néhány szó az ortogonális trajektóriákról.................. 33 4..1. Az ortogonális trajektória fogalma, néhány szép példa....... 33 4... Az evolvensek, mint ortogonális trajektóriák............ 36 5. Összegzés 37 1
Ábrák jegyzéke.1. Egyparaméteres körseregek.......................... 7.. Parabola mint szakaszfelező merőlegesek burkolója............. 8.3. Parabola érintői................................ 8.4. Ellipszis mint egyenessereg burkolója.................... 10.5. Hiperbola mint egyenessereg burkolója.................... 10.6. Egység hosszú létra csúszása......................... 11.7. Kardioid mint körök burkolója........................ 1.8. Kardioid és inverz parabolája......................... 13.9. Ciklois érintőjének forgása.......................... 13.10. Kardioid mint egyenessereg burkolója.................... 14.11. Pascal-csigák mint körseregek burkolói................... 15.1. Nefroid mint egyenessereg, illetve körsereg burkolója............ 15.13. Nefroid mint körsereg burkolója....................... 16.14. Ciklois kausztikája az alapra merőleges megvilágítás esetén......... 17.15. Kör kausztikája a kör kerületi pontjából megvilágítva............ 17.16. Kör kausztikája az optikai tengellyel párhuzamos fénysugarak esetén.... 18 3.1. Közönséges ciklois (piros) és evolutája (kék)................ 0 3.. Kardioid (piros) és evolutája (kék)...................... 3.3. Nefroid (piros) és evolutája (kék)....................... 3 3.4. Asztrois (piros) és evolutája (kék)...................... 4 3.5. Ellipszis (piros) és evolutája (kék)...................... 6 3.6. Parabola (piros) és evolutája (kék)...................... 6 3.7. Közönséges ciklois evolutája mint a normálisok burkolója......... 8 3.8. Kardioid evolutája mint a normálisok burkolója............... 8 3.9. Nefroid evolutája mint a normálisok burkolója................ 8 3.10. Asztrois evolutája mint a normálisok burkolója............... 9 3.11. Ellipszis evolutája mint a normálisok burkolója............... 9 3.1. Parabola evolutája mint a normálisok burkolója............... 9 4.1. Görbe evolvensének származtatása...................... 30 4.. Körevolvens.................................. 31 4.3. Koncentrikus körsereg ortogonális trajektóriái................ 33 4.4. Körsereg ortogonális körserege........................ 34 4.5. Elliptikus és hiperbolikus körsor mint ortogonális görbeseregek....... 34 4.6. Közös fókuszú ellipszisek és hiperbolák ortogonális görbeserege...... 35 4.7. Közös fókuszú parabolák ortogonális görbeserege.............. 35
1. fejezet Bevezető A geometria, és ezen belül a differenciálgeometria a matematika azon ága, mellyel alapszinten már kisgyermek korában megismerkedhet az ember, minden matematikai tudás nélkül akár művészként vagy mérnökként is alkalmazhatja tapasztalatait. Dolgozatom témájául e tetszőleges szinten művelhető geometriai terület egy vékony szeletének elemi bemutatását választottam. Különböző szintű iskolai tanulmányaink során megismerkedhetünk néhány alapvető görbével - az egyenestől a kúpszeleteken át néhány függvény grafikonjáig - és érintőik tulajdonságaival. A görbék végtelen világa azonban még számos titkot rejteget, amelyek egy része akár középiskolai keretek közt is tanítható lenne. Természetesen nem gondolom, hogy e szakdolgozat anyaga teljes mértékben tárgyalható lenne gimnáziumi keretek közt, de bizonyos részei akár egy informatikai órán felbukkanhatnának rajzoló programok alkalmazásával vagy a fizika körébe tartozó fényjelenségek vizsgálatakor. A dolgozatban található számtalan példa részletes bemutatása lehetőséget teremt a téma alaposabb megismerésére, valamint egy-egy villanás erejéig a középiskolába való felbukkanásra. A könnyen tárgyalhatóság érdekében dolgozatomban maradok a síkgörbék körében, hiszen már a síkon is számos gyönyörű példa található. Bár a tárgyalt fogalmak a térben is teljesen hasonlóan felépíthetők, szakdolgozatomban a szemléletesség, "elképzelhetőség" érdekében ettől eltekintettem. Törekszem az elemi geometriai eszközök használatára, ezáltal is bemutatva, hogy a görbék világa számos geometriai területhez szorosan kapcsolódik. A teljes tárgyalás érdekében természetesen a téma differenciálgeometriai oldalát is feltárom. Témámul az evoluták bemutatását választottam, némi kitekintéssel. Az evoluta differenciálgeometriai származtatásán túl bizonyítom burkológörbeként való előállását is. Később az evolutával szoros kapcsolatban álló evolvens görbéket is bemutatom. Szakdolgozatom néhány alapvető differenciálgeometriai fogalom bevezetése után a burkológörbék fogalmának szemléletes bevezetésével folytatódik, számos gyönyörű példával a kúpszeletek, valamint a ciklois-félék köréből, illetve a geometriai optika területéről. Az evolutát mint a görbületi középpontok pályáját tekintem, és ismertetem néhány speciális görbe evolutáját. Igazolom, hogy az evoluták a görbe normálisainak burkolói, ezáltal megteremtve a kapcsolatot a korábban tárgyalt burkológörbékkel. Az evoluták ismertetését követi az evolvens fogalmának bevezetése, melyet első körben lefejtési görbeként definiálok, majd bizonyítom, hogy a görbe érintőinek ortogonális trajektóriája. 3
1. Bevezető Mindvégig törekedtem a szemléletesség megőrzésére, így dolgozatomban számos illusztráció található a különböző jelenségek, fogalmak, görbék ábrázolására. Az ábrák egyetlen kivételtől eltekintve a GeoGebra nevű program segítségével készültek - remélve, hogy segítik a dolgozat követhetőségét, érthetőségét. A téma iránti érdeklődésemet elsősorban témavezetőm, Dr. Moussong Gábor élvezetes differenciálgeometriai előadásaink köszönhetem. A felvillantott evoluta fogalmát rendkívül izgalmasnak találtam, számos gyönyörű evoluta bukkant fel a már megismert görbék körében. Lenyűgözött, hogy egy "látszólag" önkényesen származtatt pont pályája szintén könnyen leírható. Ezért döntöttem úgy, hogy a görbületi középpontok pályájával szeretnék részletesebben foglalkozni. Az alapvető származtatáson túl ezért vizsgáltam másfajta megközelítést, valamint az evoluta testvérének tekinthető evolvenseket is. Ezúton is szeretném köszönetemet kifejezetni Moussong Gábornak, aki több éves geometria előadásaival megszeretette velem a matematika ezen ágát. Témavezetőmként mindvégig hasznos tanácsokkal látott el, ötletek adott a különböző részek példáihoz. Köszönöm kitartását, türelmét, és lankadatlan éberségét a hibák megtalálásában! 4
. fejezet Görbeseregek, burkológörbék.1. Néhány differenciálgeometriai alapfogalom A differenciálgeometria a matematika egy olyan területe, amely többek között a differenciálés integrálszámítás felhasználásával kutat geometriai problémákat. Kialakulásakor a XVIII. században elsősorban sík- illetve térgörbék, valamint a háromdimenziós euklideszi térbe ágyazott felületek vizsgálatához használták. Bár mára erősen kötődik a topológiához, dolgozatomban a "klasszikus" differenciálgeometriai eszközöket fogom alkalmazni..1.1. Síkgörbék megadása A középiskolában megismert görbéket explicit (y = x ), illetve implicit ((x u) + (y v) r = 0) módon definiáltuk. Vizsgálódásaink során nagy hasznát fogjuk venni a görbéknek egy ezektől eltérő megadási módjának, az ún. paraméteres megadásnak. Ennek során olyan egyenletrendszert adunk meg, amely a görbe tetszőleges pontjának koordinátáit segédváltozók segítségével fejezi ki. A legelterjedtebb alkalmazási mód, amikor egy síkgörbe vonalát valamilyen menetrend szerint bejárjuk. Ekkor paraméterül az időt választjuk (szokásos jelölés: t), majd a görbe minden egyes pontjára megadjuk az eléréshez szükséges időt a kiindulási ponttól számítva. Már a leírásból látható, hogy egy görbét sokféle módon lehet paraméterezni, elsősorban feladatfüggő, hogy mikor melyik paraméterezést célszerű választani. 1. Definíció. Adott egy I R intervallum. Egy r : I R függvény paraméteres síkgörbe, ha r kellő mértékben differenciálható..1.. Síkgörbék érintői, ívhossza Ha adott egy r : I R paraméteres síkgörbe, és egy t 0 I belső pont, akkor kíváncsiak lehetünk r(t 0 ) ponton áthaladó szelők határhelyzetére. Ha tekintjük ezeknek a szelőknek egy önkényesen választott irányvektorát: r(t) r(t 0) t t 0 -t, akkor adódik, hogy a határhelyzet irányvektora ezen irányvektoroknak a határértéke lesz.. Definíció. Az r : I R paraméteres síkgörbe sebességvektora a t 0 I pontban r (t 0 ). Sebessége ebben a pontban: v(t 0 ) = r (t 0 ). 3. Definíció. Az r paraméteres síkgörbe reguláris a t 0 I pontban, ha r (t 0 ) 0. 5
. Görbeseregek, burkológörbék.. Görbeseregek 4. Definíció. Tegyük fel, hogy az r paraméteres síkgörbe reguláris a t 0 I pontban. A görbe t 0 -hoz tartozó érintőjén azt az egyenest értjük, amely áthalad az r(t 0 ) ponton, és amelynek irányvektora az r (t 0 ) sebességvektor. A görbék érintőin túl érdekelhet minket a görbe hossza két pontja közt, például, ha a bejárt útra vagyunk kíváncsiak. Ennek mérésére szolgál a görbe úgynevezett ívhossza. 5. Definíció. Az r paraméteres síkgörbe a és b paraméterértékek közti ívhosszán az b a v(t)dt számot értjük. 1. Megjegyzés. Mint már megállapítottuk, egy-egy görbe többféle módon is paraméterezhető. Belátható, hogy az érintő, valamint az ívhossz is a görbék geometriai tulajdonságai közé tartoznak, azaz függetlenek a paraméterezés választásától. A görbék jól jellemezhetők azzal, hogy mennyire térnek el az egyenestől, azaz mennyire görbülnek. Egy autóút építésekor fontos szempont lehet olyan kanyarok építése, amelyek az adott úttípuson megengedett sebességgel bevehetők. Ennek mérésére szolgál a görbület. A görbület szemléletesen származtatható körök segítségével. Legyen P egy rögzített pont a görbén, vegyünk további három pontot a görbén, és tekintsük a rájuk illeszkedő kört (esetleg egyenest). Vegyük ezeknek a köröknek a határhelyzetét, amikor mindhárom pont P -hez tart a görbe mentén. Ezt nevezik a görbe P pontbeli simulókörének. A görbület 0, ha P -beli simulókör nem létezik, egyébként pedig a simulókör sugarának reciproka. A görbület másik származtatási módja adja kezünkbe a számoláshoz szükséges eszközöket, ez ugyanis a görbületet az érintő irányának megváltozásaként tekinti. 6. Definíció. Ha r : I R síkgörbe, akkor r görbületén a κ(t) = det(r (t),r (t)) v(t) 3 értjük. függvényt 7. Definíció. A t 0 -beli főnormális vektor az érintőirányú egységvektor +90 -os elforgatottja. Jele: n(t 0 ) 8. Definíció. Tegyük fel, hogy κ(t) 0, ekkor a síkgörbe simulókörén az r(t 0 ) + 1 κ(t ) n(t 0 ) 1 középpontú, κ(t 0 sugarú kört értjük. ) 9. Definíció. A simulókör középpontja ((r(t 0 ) + 1 κ(t 0 ) n(t 0))) a t 0 -hoz tartozó görbületi középpont. Az alapfogalmak tisztázása után megkezdhetjük vizsgálódásainkat a görbék csodálatos világában. Bár már egyetlen görbe is rendkívül izgalmas, szakdolgozatom következő fejezetében végtelen sok görbe együttesét fogjuk tekinteni. Bizonyos görbeseregek mintha egy másik görbét határolnának, ezekkel a határ vonalakkal fogunk részletesebben és precízebben megismerkedni... Görbeseregek Ebben a fejezetben görbeseregekről lesz szó, és az általuk létrehozott érdekes határokról. Egy óvodás rajzát is tekinthetjük görbeseregnek, de vizsgálódásaink során elsősorban olyan görbeegyüttesek kerülnek szóba, amelyek valamilyen módon megragadhatók, valamilyen közös tulajdonság segítségével leírhatók. A paraméteres megadás segítségével egyszerűen 6
. Görbeseregek, burkológörbék.3. Burkológörbék származtathatunk görbeseregeket, például ha az r(t) görbét egy a görbe paraméterétől független p paramétertől is függővé tesszük. A szokásos jelölésnek megfelelően ekkor r(t, p) írja le a görbét, ahol t a futó paraméter (jellemzően idő), míg p a seregparaméter. Ilyen görbesereg keletkezik például akkor, ha egy görbét egy rögzített pontjánál fogva egy másik görbe mentén mozgatunk, vagy ha a görbe valamely definiáló adatát például a kör sugarát - változtatjuk. 1. Példa. Legyen adott egy origó középpontú, ρ sugarú kör: r(t) = (ρ cos(t), ρ sin(t)). Egyparaméteres görbesereget kapunk, ha ezen kör középpontját az x tengely mentén mozgatjuk egyenletesen. Ekkor a görbesereg egyenlete: r 1 (t, p) = (ρ cos(t)+p, ρ sin(t)). Ehhez hasonlóan egy egyparaméteres körsereget kapunk, ha a kiindulási kör sugarát változtatjuk, például a paraméter függvényeként: r (t, p) = ((ρ+p) cos(t), (ρ+p) sin(t)). A két változás összeköthető, azaz a kör középpontja az x tengelyen mozog, míg sugara a paraméter lineáris függvényeként változik: r 3 (t, p) = ((ρ + p) cos(t) + p, (ρ + p) sin(t)). Az így keletkező körseregek néhány eleme látható a következő ábrákon..1. ábra. Egyparaméteres körseregek.3. Burkológörbék Bár lényegében bármilyen görbesereg elképzelhető, a könnyű kezelhetőség érdekében elsősorban egyenesseregekkel, illetve körseregekkel fogunk foglalkozni. Lássunk is egy példát olyan egyenesseregre, amely valamilyen szép görbét határol. Ezt a határgörbét a szakirodalomban burkológörbének nevezik. 10. Definíció. Az ɛ egyenessereg burkolója a síkon egy g görbe, ha a g minden pontjában érinti ɛ valamely egyenesét. A definíció analóg módon kiterjeszthető más görbeseregekre is. 11. Definíció. Egy görbesereg burkolója a síkon a g görbe, ha g érinti a sereg minden egyedét, és g minden pontjához tartozik a görbeseregnek olyan tagja, amely ott érint. A burkoló létezésének és egyértelműségének vizsgálatához az analízis széles fegyvertára áll rendelkezésünkre (elsősorban differenciálegyenletek szükségesek), de jelen dolgozatnak ez nem képezi tárgyát. Visszaemlékezve a görbeseregek bevezetésénél mutatott egyszerű körseregekre, könnyen megállapíthatjuk, hogy az r 1 (t) seregnek létezik burkolója: két párhuzamos egyenes y = ±ρ egyenlettel. A bevezető példában emlegetett r, illetve r 3 alkotta körseregek viszont nem rendelkeznek burkoló görbével. 7
. Görbeseregek, burkológörbék.3. Burkológörbék.3.1. Kúpszeletek mint burkológörbék Parabola Tekintsünk a síkon egy rögzített egyenest (v), valamint egy rá nem illeszkedő pontot (F ). Ekkor az egyenes pontjai és a rögzített F pont által meghatározott szakaszok felező merőlegeseinek egyenesei sereget alkotnak, a.. ábrának megfelelően... ábra. Parabola mint szakaszfelező merőlegesek burkolója Az így kapott egyenesek mintha egy parabolát határolnának. A fenti példában szemléletesen adódik, hogy az egyenesek burkolója olyan parabola, melynek vezéregyenese a rögzített v egyenes, fókusza pedig a rögzített F pont. Ennek belátásához a sereg egyeneseinek érintő tulajdonságát kell megmutatnunk..3. ábra. Parabola érintői A parabola érintőinek szakaszfelező merőleges tulajdonságát belátva nyilvánvaló, hogy akkor a szakaszfelező merőlegesek a parabola érntői. Tekintsünk egy tetszőleges parabolát (v vezéregyenessel és F fókuszponttal), és egy tetszőleges érintőjét (e) az érintési ponttal (E). Mivel E a parabola egy pontja, így a fókuszponttól és a vezéregyenestől mért távolsága megegyezik (parabola definíció), azaz EF = EV a.3. ábra jelöléseit használva. V F 8
. Görbeseregek, burkológörbék.3. Burkológörbék egyenes és e metszéspontja legyen T. Kúpszeletek érintőinek szögfelező tulajdonsága miatt V ET = T EF, így V ET háromszög egybevágó F ET háromszöggel, így V T = T F. Az érintő tehát valóban az F V szakasz felezőmerőlegese. Tehát az egyenessereg szakaszfelező merőlegesei valóban a parabola érintői, így a sereg burkolója olyan parabola, melynek a rögzített pont a fókuszpontja, a rögzített egyenes pedig vezéregyenese. A sereg egyedeinek érintőtulajdonságát koordináta geometriai eszközök és némi számolás segítségével is könnyen beláthatjuk. Legyenek F pont koordinátái (u, v + p ), v pedig az y = v p egyenlettel adott. A parabola egyenlete: (x u) = p (y v). Ekkor Q v pont koordinátái a következőképpen alakulnak: (q, v p ). Az F Q szakasz felezőmerőlegesének egyenletének felírásához felhasználjuk a szakaszfelezőpont (M), valamint F Q-t, ami a szakaszfelező merőleges egyenesének normálvektora. M = F + Q = ( q + u, v) n = F Q = (q u, p) Az egyenes egyenlete: (q u) x p y = (q u) (q + u) v p A parabolával való közös pont(ok) vizsgálatakor a következő egyenlet adódik: ( q + u + p y v p q u u) = p (y v). Algebrai átalakítások során y koordinátára a következő másodfokú egyenletet kapjuk: p y ( p v + (q u) (q u)4 p) y + + p v + p v (q u) = 0 4 [ ] (q u) D = ( p v + p(q u) ) 4 p 4 + p v + p v (q u) 4 D = 4p 4 v + (q u) 4 p + 4p 3 v(q u) p (q u) 4 4p 4 v 4p 3 v(q u) = 0 A diszkrimináns éppen 0, így az egyenessereg egy egyedének és a vizsgált parabolának egyetlen közös pontja van. Ennek megfelelően a sereg egyedei érintik a parabolát, így a parabola valóban burkolója ennek az egyenesseregnek. Ellipszis és hiperbola A kúpszeletek családjába tartozó ellipszis, illetve hiperbola a parabolához hasonlóan előállítható bizonyos egyenesseregek burkolójaként.. Példa. Vegyünk egy a (a R, 0 < a) sugarú kört F 1 középponttal, és egy rögzített belső pontját F. Ekkor a kör pontjai és a rögzített pont által meghatározott szakaszok felezőmerőlegeseinek burkolója éppen egy F 1, F fókuszú, a nagytengelyű ellipszis. Kihasználva, hogy a kúpszelet fókuszának a kúpszelet tetszőleges érintőjére való tükörképe 9
. Görbeseregek, burkológörbék.3. Burkológörbék rajta van a másik fókusz körüli vezéralakzaton, az egyenessereg burkolója azonnal adódik, hiszen F -nek a szakaszfelezo mero legesekre vonatkozó tükörképe nyilván rajta van az F1 középpontú, a sugarú vezérkörön, azaz a szakaszfelezo mero legesek egyben érinto k is..4. ábra. Ellipszis mint egyenessereg burkolója 3. Példa. A hiperbola burkolóként való megjelenése csupán annyiban különbözo ik az ellipsziséto l, hogy a rögzített F pont a kör külsején található, a bizonyítás teljesen analóg..5. ábra. Hiperbola mint egyenessereg burkolója.3.. Néhány ciklois mint burkológörbe A kúpszeleteken kívül is számos különleges görbe létezik, de ezekkel középiskolai keretek közt már ritkábban találkozhatunk. Például a görbék egyik szép csoportja az ún. cikloisok családja. A cikloisok olyan görbék, amelyeket egy irányított görbén csúszás nélkül gördülo kör egy meghatározott pontja ír le. A gyakorlatban azoknak a cikloisoknak van nagy jelento sége, melyeknél az irányított görbe egyenes vagy kör. Egyenesen csúszásmentesen gördülo kör esetében közönséges ciklois keletkezik, míg körön való gördüléskor epi-, illetve hipociklois, attól függo en, hogy a gördülo kör a rögzített kör külsején vagy belsejében gördül-e. 10
. Görbeseregek, burkológörbék.3. Burkológörbék Asztrois A cikloisok családjába tartoznak az asztroidok (más néven asztroisok) is. Ezek olyan síkgörbék, melyeket egy rögzített körön belül csúszás nélkül gördülő négyszer kisebb sugarú kör egy rögzített pontja ír le, így speciális hipocikloisoknak tekinthetők. Az asztrois a kúpszeletekhez hasonlóan előállítható szakaszok burkológörbéjeként. Állítás: Az r(t) = (cos 3 (t), sin 3 (t)) egyenletű asztrois bármely érintőegyenesének a koordinátatengelyek közé eső szakasza egységnyi. Bizonyítás: Az r(t) = (cos 3 (t), sin 3 (t)) egyenletű asztrois érintőjének irányvektora: r (t) = (3 cos (t) ( sin(t)), 3 sin (t) cos(t)) Ebből az érintő egyenesének normálvektora: r (t) n = ( 3 sin (t) cos(t), 3 cos (t) sin(t)) Az egyenes egyenlete egy pontjának és normálvektorának segítségével: 3 cos(t) sin (t) (x cos 3 (t)) 3 sin(t) cos (t) (y sin 3 (t)) = 0 3 cos(t) sin (t) x 3 sin(t) cos (t) y + 3 cos 4 (t) sin (t) + 3 cos (t) sin 4 (t) = 0 3 cos(t) sin (t) x 3 sin(t) cos (t) y + 3 sin (t) cos (t) (cos (t) + sin (t)) = 0 Osztva 3 cos (t) sin (t)-vel (ez a szorzat éppen az asztrois csúcspontjaiban lenne 0, ott pedig az érintő valamelyik koordináta-tengely, tehát valóban egységnyi hosszú érintőszakaszokról beszélhetünk): x cos(t) + y sin(t) 1 = 0 A koordináta-tengelyekkel vett metszéspontok: x-tengellyel (y = 0) : x = cos(t), azaz a metszéspont koordinátái (cos(t), 0). y-tengellyel (x = 0): y = sin(t), azaz a metszéspont koordinátái (0, sin(t)). A két pont távolsága éppen cos (t) + sin (t) = 1, azaz az érintő koordináta-tengelyek közti szakasza valóban egységnyi hosszú. Tehát ha képzeletben egy egységnyi hosszú létrát támasztunk a falnak függőlegesen, majd a létra alja fokozatosan csúszik a talajon, akkor a létrák (azaz szakaszok) burkolója éppen egy asztrois lesz..6. ábra. Egység hosszú létra csúszása 11
. Görbeseregek, burkológörbék.3. Burkológörbék Kardioid Szintén a cikloisok családjába tartozik a kardioid, mely nevét az alakjáról kapta 1. Kardioid keletkezik, ha egy R sugarú körön kívül csúszásmentesen gördülő ugyanakkora sugarú kör egy rögzített pontjának pályáját nézzük. A kardioid - az asztroissal szemben - az epicikloisok családjába tartozik, hiszen a gördülő kör az alapkör külsején helyezkedik el. Rögzítsünk a síkon egy kört és ennek egy pontját. Tekintsük azokat a köröket, amelyeknek középpontja a rögzített körön van, és átmennek a rögzített ponton..7. ábra. Kardioid mint körök burkolója Állítás: Ezen körök burkolója éppen egy kardioid. Bizonyítás: Első lépésként lássuk be, hogy ha a kardioidot invertáljuk a csúcspontjára, akkor parabolát kapunk, melynek fókusza az inverzió pólusa. Származtassuk a kardioidot mint az alapkör egy rögzített C pontjának az alapkör összes érintőjére vonatkozó tükörképét. Ezek a pontok nyilván a C csúcsú kardioid pontjai, hiszen a kardioid generálásakor az alap- és a gördülőkör azonos sugarú, így a generáló ábrán BC és BP ívek egyenlőek, ráadásul a közös B-beli érintőre tükrösek. Inverzió során a póluson áthaladó kör képe egyenes, amely párhuzamos a kör pólusbeli érintőjével. A kör K középpontjának inverze K pedig a pólus tükörképe a kör inverzegyenesére. Az ábrának megfelelően legyen k póluson áthaladó kör inverze a k egyenes, T inverze T k. Az inverzió definíciója miatt CK CK = r = CT CT Mivel CT = CK, így CK = CT, azaz K inverze valóban a pólus egyenesre vett tükörképe. Eme tudás birtokában invertálva a kardioid előző származtatási elrendezését, kapjuk, hogy az alapkör (ami nyilván átmegy a C póluson) inverze az e i egyenes. Az e érintő inverze olyan póluson áthaladó kör, mely érinti e i -t, hiszen az inverzió érintkezéstartó. A kardioid P pontja éppen tükörképe a C pólusnak az érintőre vonatkozóan, így őse az e egyenes inverz-körének középpontjának, a fentebb belátott tulajdonság alapján (póluson áthaladó kör középpontjának inverze, a pólusnak a kör inverz-egyenesére vonatkozó tükörképe). Tehát a kardioid pontjainak inverzei olyan körök középpontjai, melyek érintik az e i egyenest, és átmennek a C póluson. Ismert tény, hogy az ilyen körök középpontjai éppen a C fókuszú, e i vezéregyenesű parabola pontjai. Tehát a kardioid csúcspontra vonatkozó inverze valóban parabola, melynek fókusza a csúcspont, ezzel beláttuk az első lépést. Ezek után invertáljuk a vizsgálandó körsereget a kardioid csúcspontjára, azaz arra a rögzített 1 latinul a szív cordis 1
. Görbeseregek, burkológörbék.3. Burkológörbék pontra, amelyen minden kör átmegy. Minden kör egy egyenesbe megy át, továbbá a K körközéppontok K képei az alapkör e i képére kell, hogy essenek, végül pedig a K és C = C pontoknak tükrösnek kell lenniük a képegyenesre. A képegyesekre megkövetelt tulajdonságok éppen a parabola érintőit jellemzik, a parabola pedig valóban az érintő egyeneseinek burkolója (mint minden görbe), így a kardioid is burkolója a fentebb leírt köröknek..8. ábra. Kardioid és inverz parabolája A kardioid azonban nemcsak körök burkolójaként állítható elő, hanem egyenessereg burkológörbéjenként is. A ciklois érintőire vonatkozó általános tétel segítségével a kardioid egyenessereg burkolójaként való származtatása könnyen adódik. Állítás: A cikloisok érintője fele akkora sebességel forog, mint a generálókör. Bizonyítás: Legyen az érintő elfordulása a függőlegeshez képest α. Kihasználva, hogy a P - beli érintő mindenkor átmegy a gördülőkör tetőpontján, A-n (érintkezési ponttal átellenes pont), a P -beli normális - azaz az érintőre merőleges egyenes - pedig a gördülőkör és a rögzített görbe (amin a gördülőkör gördül) B érintkezési pontján, kapjuk, hogy a P B normálisra merőlegest bocsátjva O-ból a T OB váltószöge α-nak. Ugyanakkor T OB éppen fele a P OB szögnek, hiszen P OB háromszög egyenlőszárú, és OT az alapra bocsátott merőleges, ami egyben a szárszög szögfelezője is. Felhasználva ezt a tudást, induljunk ki az egyenletes sebességel mozgó A pontból, és forgassunk körülötte egy egyenest, de csak fele akkora szögsebességgel, mint ami az A haladó mozgásához tartozó tiszta gördülésé lenne (előző tételből származtatva). Ekkor az egyenes minden pillanatban érinteni fog egy cikloist..9. ábra. Ciklois érintőjének forgása 13
. Görbeseregek, burkológörbék.3. Burkológörbék A fentieket a kardioid esetére alkalmazva tehát egy 3 R sugarú körpályán keringő A pont körül 3 -szeres sebeséggel forgó egyenes érinti a kardioidot, tehát ennek az egyenesseregnek a burkolója éppen egy kardioid. Ez az egyenes könnyen előállítható ha az alapkörön csúszásmentesen gördülő, kétszer akkora sugarú kör egy rögzített átmérőjét követjük nyomon. Ezen átmérők burkolója egy kardioid, ez látható a.10. ábrán. Pascal-csigák.10. ábra. Kardioid mint egyenessereg burkolója A cikloisok családjának egy másik szép példánya is előllítható körök burkolójaként. A Pascal-csigák lényegében nyújtott, illetve hurkolt egycsúcsú epicikloisok. A kardioidhoz nagyon hasonlóak, csupán annyiban térnek el tőle, hogy nem a gördülőkör egy kerületi pontja, hanem egy a belsejében, illetve a külsején lévő pont írja le őket. Ennek megfelelően a kardioid számos tulajdonsága érvényes a Pascal-csigákra is, ezek közül az egyik az, hogy körsereg burkológörbéjenként is előállítható. Tekintsük azokat a köröket, melyek középpontjai egy rögzített alapkörre esnek, és átmennek a kör belsejében, illetve külsején elhelyezkedő rögzített ponton. Az ábráknak megfelelően hurkolt-, illetve nyújtott Pascal-csigát kapunk burkolóként. Érdemes megemlítenünk, hogy ha az említett körseregeket invertáljuk a csúcspontra (amelyen minden kör áthalad), akkor éppen a 3., illetve 4. példában említett egyenesseregeket nyerjük. A póluson át nem haladó kör képe (rögzített alapkör) póluson át nem haladó kör, k. Mivel a körsereg egyedei a póluson áthaladnak, így ezek képei egyenesek, melyekre nézve a körök K i középpontjai éppen a pólus tükörképei. Tehát az inverzió olyan egyenessereget származtat, amelynek egyedei felezőmerőlegesei egy rögzített kör pontjainak és egy rögzített pontnak. Attól függően, hogy a rögzített pont a kör belsejében, illetve külsején található kapunk ellipszist, illetve hiperbolát. Megállapíthatjuk, hogy Pascal-csigák inverzei ellipszisek, illetve hiperbolák bizonyos speciális pólusok esetén. Ez bizonyítja azt is, hogy a példában írt körseregek burkolója valóban Pascal-csiga, hiszen az inverz elrendezés esetén már bizonyítottuk, hogy a megfelelő egyenesseregek burkolója ellipszis, illetve hiperbola, az inverzió pedig érintkezéstartó. 14
. Görbeseregek, burkológörbék.3. Burkológörbék Nefroid.11. ábra. Pascal-csigák mint körseregek burkolói A cikloisok családjának következő képviselője a nefroid, mely nevét veseszerű alakjáról kapta. Nefroidot akkor kapunk, ha a gördülőkör sugara fele az alapkör sugarának, így ennek a görbének két csúcsa van. A ciklois érintőinek forgási tulajdonságából adódóan a nefroid is könnyen származtatható mint egyenessereg burkoló görbéje. Egy R sugarú alapkörön gördülő ugyanakkora sugarú kör átmérői éppen az érintők seregét generálják, hiszen feleakkora sebességgel forognak, mint a tiszta gördülés szögsebessége..1. ábra. Nefroid mint egyenessereg, illetve körsereg burkolója A nefroid az eddigi cikloisfélékhez hasonlóan nemcsak egyenessereg, hanem körsereg burkológörbéjeként is származtatható. Tekintsünk a síkon egy rögzített kört (alapkört), és vizsgáljuk azoknak a köröknek a seregét, amelyek középpontja az alapkörre esik, és érintik az alapkör egy rögzített átmérőjét. Ezen körök burkolója éppen egy nefroid, mint az a fenti ábrán látható. Ennek igazolásához azt kell belátnunk, hogy a nefroid minden, a fentieknek megfelelő kört pontosan egy pontban érint. Ez a generálást bemutató ábra segítségével könnyen bizonyítható. A P -beli nefroidérintőt (így a nefroidot is) érinti az a kör, melynek középpontja B-ben, a P -beli normálison van. COB = ϕ esetén a csúszásmentes gördülés miatt CB és BP ívek egyenlők, így BGP = ϕ. Ekkor B távolsága az átmérőtől: BT = R sin ϕ. BP távolságra a koszinusz-tételt alkalmazva BGP -ben: BP = ( R ) + ( R ) R R cos(ϕ) 15
. Görbeseregek, burkológörbék.4. Görbék kausztikája - mit rejt a kávéscsésze? Ezt átalakítva adódik, hogy BP = R sin ϕ. Azaz a vizsgált kör valóban érinti a nefroidot is, és az átmérőt is..13. ábra. Nefroid mint körsereg burkolója.4. Görbék kausztikája - mit rejt a kávéscsésze? A burkolók fogalmának áttekintése után számos szép példát láttunk különböző görbeseregre (egyenes- és körseregekre), melyek ismert burkológörbével rendelkeznek. A burkoló görbék azonban nem csak "elméletben" létező fogalmak, hanem a mindennapokban is felbukkannak. A geometriai optika egyik legfontosabb kérdése, hogy valamilyen görbéről vagy felületről hogyan verődnek vissza (vagy törnek meg) a ráeső fénysugarak. A visszavert (vagy megtört) fénysugarak bizonyos speciális elrendeződések esetén egyetlen pontba fókuszálódnak (péládul ezen az elven működnek a gyűjtőlencsék), általában azonban "csak" egy görbét burkolnak, amit kausztikának vagy fókuszvonalnak szokás nevezni. A burkológörbék fogalma tehát korántsem annyira elvont, mint elsőre gondolnánk, hiszen a reggeli teás- vagy kávéscsészénkben is felbukkanhatnak megfelelő megvilágítás mellett. A következőkben két nevezetes görbe kausztikáját fogom röviden áttekinteni. 4. Példa. Állítás: Ha az alapra merőleges irányból világítunk meg egy közönséges cikloist, akkor a kausztikája két feleakkora ciklois lesz. Bizonyítás: Ennek igazolásához azt kell belátnunk, hogy a visszavert fénysugár érinti valamelyik kis cikloist. Merőleges visszaverődés esetén ez akkor teljesül, ha a beeső sugár és a kis ciklois érintője által bezárt szög szögfelezője éppen a megvilágított ciklois normálisa. Emlékezzünk vissza a ciklois egyik származtatási módjára, az együtt gördülő R illetve R sugarú körpárra. A kisebbik kör P pontja leírja a kis cikloisokat, a nagy kör P pontja pedig a 16
. Görbeseregek, burkológörbék.4. Görbék kausztikája - mit rejt a kávéscsésze? nagy cikloist. Közben P P mindvégig érinti a kis cikloist P -ben, hiszen P P a nagy kör egy átmérője. A kis kör A tetőpontja (amelyen áthalad a P P érintő) egyben a nagy kör középpontja. A nagy ciklois P -beli normálisa áthalad a körök közös B talppontján (mivel minden pillanatban a csúszásmentes gördülés éppen egy, az érintkezési pont körüli forgatásnak tekinthető, így P elmozdulási iránya merőleges BP -re). A keletkező BAP egyenlőszárú (AB = AP = R), így AP B = ABP, de ABP éppen váltószöge a normális által kettéosztott P -nél lévő másik félszögnek, így a normális valóban szögfelező..14. ábra. Ciklois kausztikája az alapra merőleges megvilágítás esetén 5. Példa. A következő gyönyörű példa a körhöz kapcsolódik. Egy kör kerületére helyezett pontszerű fényforrásból kiinduló sugarak a körön visszaverődve egy kardioidot súrolnak. Ez jól megfigyelhető fényes kausztika görbét eredményez például egy pohár sötétebb folyadék felszínén. Ezt a jelenséget akár a saját bögrénkben is megfigyelhetjük egy napfényes reggelen (vagy a lámpa alatt). A csészében megjelenő kardioid - és a következő példában emlegetett nefroid - esetében fontos szerepet játszik a csésze kúpos kialakítása, hiszen a térben a kúp egy alkotójának irányából beeső fény úgy verődik vissza a kúpfelületről a térben, hogy a kávé síkjában kardioidnak látszik (sajnos az illusztráció nem pontszerű fényforrással készült, ugyanakkor a jelenséget szépen illusztrálja)..15. ábra. Kör kausztikája a kör kerületi pontjából megvilágítva 17
. Görbeseregek, burkológörbék.4. Görbék kausztikája - mit rejt a kávéscsésze? 6. Példa. Kör kausztikájaként azonban nemcsak kardioid állhat elő, hanem nefroid is. Ha a körre az optikai tengellyel párhuzamos sugárnyaláb esik, akkor a kör kausztikája nefroid lesz. Az előző, valamint ez az állítás is könnyen származtatható a következő epicikloist rajzoló módszerből. Egy kör kerületén kössünk össze minden pontot - ϕ középponti szöggel - a k ϕ szögűvel, ahol k alkalmas racionális szám. Ekkor a húrok egy epicikloist érintenek, k = illetve k = 3 esetén kardioidot, illetve nefroidot kapunk. Bár az állítás különösebb nehézségek nélkül igazolható, jelen dolgozatban ettől eltekintek. Ennek felhasználásval azonban a kardioid kausztikaként való előállításának bizonyítása csupán annyi, hogy ha egy fénysugár a ϕ szögben érkezik a pohár falára, akkor visszaverődés után éppen a ϕ irányú kerületi pont felé fog továbbhaladni, így a belső falról visszaverődő sugarak kardioidot érintenek. A nefroid kausztikaként való előállításához tekintsük a következő ábrát. OD legyen az optikai tengely, a vizsgált optikai tengellyel párhuzamos fénysugár messe a kört P -ben, tükröződjön M-ben, és haladjon tovább a körön fekvő P pont irányába. Ekkor α = DGP = GP M = P MG = GMP = MP G. Így DGM = 180 α és DGP = DGM + MGP = 360 3α. Tekinthetjük tehát úgy, hogy a 180 α szögnél lévő M pontot köti össze a visszeverődő sugár a háromszor akkora szögnél lévő P ponttal, az ilyen húrokról pedig már megállapítottuk (bizonyítás nélkül), hogy nefroid a burkolójuk..16. ábra. Kör kausztikája az optikai tengellyel párhuzamos fénysugarak esetén Még számos példát találhatunk a burkolók felbukkanására a mindennapi életben, akár kausztikaként, akár másmilyen formában, de ezek vizsgálata már nem tartozik a dolgozat témájához. Itt csupán a szemléletesség kedvéért mutattam be néhány izgalmas példát, a teljesség igénye nélkül. A burkológörbék definícióján túl számos konkrét egyenes-, illetve körsereg burkológörbéjét vizsgáltam, amelyek ismert görbéket eredményeztek. A következőkben megismerkedünk majd egy adott görbe segítségével származtható legegyszerűbb görbékkel, amelyek ismét kapcsolatba kerülnek az eddig részletesen bemutatott burkoló fogalmával. 18
3. fejezet Evoluták 3.1. A görbületi középpontok pályája Mint azt a differenciálgeometriai alapfogalmak bevezetésénél láthattuk, a görbék jellemezhetők az ún. görbülettel, ami azt méri, hogy a görbe mennyire tér el az egyenestől, azaz mennyire görbül. Ennek gyakorlati jelentősége is igen nagy, de ezen túl is számos érdekes dolog származtatható a görbület segítségével. Ebben a fejezetben olyan görbékről lesz szó, amelyek az eredeti görbéből származtathatók. A korábban már áttekintett differenciálgeometriai fogalmakra a következőkben nagy szükségünk lesz, ezért a legfontosabb fogalmakat és szokásos jelölésüket gyorsan áttekintem. Regulárisnak tekintettünk egy görbét a t 0 pontban, ha r (t 0 ) 0. Ekkor a görbe t 0 -beli érintője az az egyenes, amely áthalad az r(t 0 ) ponton, és irányvektora r (t 0 ). Az érintőirányú egységvektor (e(t 0 )) r (t 0 ) normalizáltja, a főnormális egységvektor (n(t 0 )) pedig az érintőirányú egységvektor +90 -os elforgatottja. A görbületet a r (t 0 ) r (t 0 ) képlet segítségével v(t) 3 számolhatjuk ki. A simulókör az adott pontban a görbét legjobban közelítő kör, középpontja az adott pontbeli normálison fekszik, sugara pedig a görbület reciproka. Nyilván a simulókör létezésének feltétele, hogy a görbe reguláris legyen az adott pontban, azaz létezzen érintője, valamint, hogy a görbület ne legyen nulla (κ(t) 0). A simulókör középpontját görbületi középpontnak nevezzük. Egy-egy síkgörbe vizsgálatakor érdekes kérdés lehet, hogy a görbületi középpontok milyen pályát írnak le. Számos ismert görbe esetén a görbületi középpontok is nagyon "szép" pályán mozognak, a következőkben ezekkel fogunk részletesebben megismerkedni. 1. Definíció. Egy síkgörbe evolutája görbületi középpontjainak a halmaza. A definícióból könnyen származtatható az evoluta paraméterezése, hiszen a görbületi középpont helye felírható az eddigi fogalmak segítségével: r e (t) = r(t) + 1 κ(t) n(t) Az eddig megismert görbék közül számos görbe rendelkezik nevezetes evolutával, azaz az evolutája is valamilyen ismert görbe. A következőkben néhány látványos példát tekintek át - az evolutát a differenciálgeometriai eszközök segítségével származtatva. Nyilván a görbületi középpont létezésének feltételei azonosak a simulókör létezésének feltételeivel (hiszen annak a középpontja). Vizsgálódásaink során azonban érdemes enyhíteni ezeken a feltételeken, hiszen nem csak minden pontjukban reguláris görbékkel foglalkozunk (gondoljunk a 19
3. Evoluták 3.1. A görbületi középpontok pályája cikloisokra). Célszerű úgy tekintetünk, hogy valahányszor az eredeti görbének olyan szinguláris pontja van, ahol a görbület végtelenhez tart, -t 0-nak tekintjük, és az evolutához 1 κ(t) ezt a pontot is hozzáértjük. Ez az "engedmény" logikusan illeszkedik az evoluta származtatásába, ugyanakkor sokkal kényelmesebbé teszi a vizsgálódást. A következőkben ismert görbe-evoluta párosokat tekintek át, melyek közül az első néhány esetében a két görbe egybevágó vagy hasonló, azaz az evoluta ugyanolyan típusú görbe, mint a kiindulási. 3.1.1. "A hasonlóság megmarad" Közönséges ciklois Talán az egyik leglátványosabb példa a már sokat emlegetett közönséges ciklois, amelynek evolutája eltoltja az eredeti cikloisnak, így egybevágó azzal. r(t) = (t sin(t), 1 cos(t)) r (t) = (1 cos(t), sin(t)) r (t) = (sin(t), cos(t)) v(t) = r (t) = (1 cos(t)) + sin (t) = cos(t) n(t) = 1 cos(t) ( sin(t), 1 cos(t)) κ(t) = det(r (t), r (t)) cos(t) = (1 cos(t)) cos(t) sin (t) cos(t) = = cos(t) (cos (t) + sin (t)) cos(t) = cos(t) 1 cos(t) r e (t) = r(t)+ 1 κ(t) n(t) = (t sin(t), 1 cos(t))+ ( cos(t)) 3 (cos(t) 1) ( sin(t), 1 cos(t)) cos(t) r e (t) = (t + sin(t), cos(t) 1) Az eredeti görbe t + π helyen vett (π, )-vel való eltoltja: r(t+π)+(π, ) = (t+π sin(t+π), 1 cos(t+π))+(π, ) = (t+π+sin(t), 1+cos(t))+(π, ) r(t) = (t + sin(t), cos(t) 1) Ez éppen a fenti evoluta egyenlete, így beláttuk, hogy a közönséges ciklois evolutája eltoltja az eredeti görbének, amelyet a 3.1. ábrán láthatunk. 3.1. ábra. Közönséges ciklois (piros) és evolutája (kék) 0
3. Evoluták 3.1. A görbületi középpontok pályája A szív görbéje A cikloisok családjának következő, már emlegetett képviselője a kardioid vagy más néven "szív-görbe". A kardioid evolutája szintén kardioid, az eredeti görbéhez képest fordított állású, és 1 -ára kicsinyített. Ennek igazolása differenciálgeometriai eszközök felhasználásával könnyen lehetséges. 3 A kardioid egy lehetséges paraméterezése: r(t) = R( cos(t) cos(t), sin(t) sin(t)) r (t) = R( sin(t) sin(t), cos(t) cos(t)) v(t) = R 4 sin (t) + 4 sin (t) 8 sin(t) sin(t) + 4 cos (t) + 4 cos (t) 8 cos(t) cos(t) = = R 8 8(cos(t) cos(t) + sin(t) sin(t) = R 8 8 cos(t t) = R 8(1 cos(t)) n(t) = R( cos(t) cos(t), sin(t) sin(t)) R 8(1 cos(t) r (t) = R(4 cos(t) cos(t), 4 sin(t) sin(t)) det(r (t), r (t)) = R (8 sin (t) 4 sin(t) sin(t) 8 sin(t) sin(t) + 4 sin (t) 8 cos(t) cos(t) + 8 cos (t) + 4 cos (t) 4 cos(t) cos(t)) = = R (1 1 sin(t) sin(t) 1 cos(t) cos(t)) = 1R (1 cos(t)) κ(t) = 1R (1 cos(t) (R 8(1 cos(t))) 3 = 3 R 8(1 cos(t)) r e (t) = R( cos(t) cos(t), sin(t) sin(t)) + R 8(1 cos(t)) 3 1 8(1 cos(t) ( cos(t) cos(t), sin(t) sin(t)) = 1 R( cos(t) + cos(t), sin(t) + sin(t) 3 Az eredeti görbe π-vel elforgatva (fordított állás miatt), és 1 -ára kicsinyítve: 3 1 3 R( cos(t) cos(t), sin(t) sin(t)) = 1 R(cos(t) cos(t), sin(t) sin(t)) 3 Az evoluta a t + π helyen pedig: r e (t + π) = 1 R( cos(t) + cos(t), sin(t) + sin(t)) 3 Ezzel beláttuk, hogy a kardioid evolutája egy fordított állású, 1 -ára kicsinyített kardioid, és 3 ezt láthatjuk a 3.. ábrán. 1
3. Evoluták 3.1. A görbületi középpontok pályája 3.. ábra. Kardioid (piros) és evolutája (kék) Nefroid A kardioidhoz hasonlóan a nefroid evolutája is hasonló a kiindulási nefroidhoz. Állítás: A nefroid evolutája egy 90 -kal elforgatott, feleakkora nefroid. Bizonyítás: Az eddigiekhez hasonló módon, az evoluta paraméteres egyenlete segítségével könnyen beláthatjuk a fenti állítást. A nefroid egy paraméterezése: A t-beli érintő irányvektora, azaz a derivált: r(t) = R(3 cos(t) cos(3t), 3 sin(t) sin(3t)) r (t) = R(3 sin(3t) 3 sin(t), 3 cos(t) 3 cos(3t)) v(t) = R 9 sin (t) + 9 sin (3t) 18 sin(t) sin(3t) + 9 cos (t) + 9 cos (3t) 18 cos(t) cos(3t) = = R 18 18 cos(3t t)) = R 18(1 cos(t)) n(t) = κ(t) = R(3 cos(3t) 3 cos(t), 3 sin(3t) 3 sin(t)) R 18(1 cos(t)) r (t) r (t) = 36R (1 cos(t)) 36R (1 cos(t)) (R 18(1 cos(t))) = R 18(1 cos(t)) r e (t) = R(3 cos(t) cos(3t), 3 sin(t) sin(3t)) + R 18(1 cos(t)) 1 18(1 cos(t)) (3 cos(3t) 3 cos(t), 3 sin(3t) 3 sin(t) = 1 R(3 cos(t) + cos(3t), 3 sin(t) + sin(3t)) Ennek következtében az evoluta a t π helyen: r e (t π ) = 1 R(3 cos(t π ) + cos(3t 3π ), 3 sin(t π ) + sin(3t 3π )) = = 1 R(3 sin(t) sin(3t), cos(3t) 3 cos(t))
3. Evoluták 3.1. A görbületi középpontok pályája Az eredeti nefroid 1-szeresére kicsinyítve, illetve π -vel forgatva: [ 1 0 1 R 1 0 ] (3 cos(t) cos(3t), 3 sin(t) sin(3t)) = 1 R(3 sin(t) sin(3t), cos(3t) 3 cos(t)) Ez éppen az evoluta a t π helyen, így a nefroid evolutája valóban egy felére kicsinyített, -vel elforgatott nefroid, ahogy az a következő ábrán látható is. π 3.3. ábra. Nefroid (piros) és evolutája (kék) Asztrois Az asztrois (asztroid) evolutája szintén hasonló az eredeti görbéhez. Állítás: Az asztroid evoluája egy 45 -kal elforgatott, kétszer akkora asztroid. Bizonyítás: Az asztroid szokásos paraméterezése: r(t) = R(cos 3 (t), sin 3 (t)) Ekkor a t-beli érintő irányvektora, azaz a derivált: r (t) = R(3 cos (t)( sin(t)), 3 sin (t) cos(t)) v(t) = r (t) = R 9 cos 4 (t) sin (t) + 9 sin 4 (t) cos (t) = = R 9 sin (t) cos (t)(cos (t) + sin (t)) = 3 R sin(t) cos(t) n(t) = ( 3 sin (t) cos(t), 3 sin(t) cos (t)) 3 sin(t) cos(t) r (t) = R(6 sin (t) cos(t) 3 cos 3 (t), 6 sin(t) cos (t) 3 sin 3 (t)) det(r (t), r (t)) = 9R sin (t) cos (t) 3
3. Evoluták 3.1. A görbületi középpontok pályája κ(t) = 9R sin (t) cos (t) 1 = (3R sin(t) cos(t)) 3 3R sin(t) cos(t) r e (t) = R(cos 3 (t), sin 3 (t)) 3R sin(t) cos(t) ( 3R sin (t) cos(t), 3R sin(t) cos (t)) 3R sin(t) cos(t) A fentiek fényében az evoluta a t π 4 helyen: = R(3 cos(t) cos 3 (t), 3 sin(t) sin 3 (t)) r e (t π 4 ) = R(3 cos(t π 4 ) cos3 (t π 4 ), 3 sin(t π 4 ) sin3 (t π 4 )) = = R = R [ = R 3( cos(t) + sin(t)) ( cos(t) + sin(t))3 3( sin(t) cos(t)) ( sin(t) cos(t))3 [ = R = R 3 (cos(t) + sin(t)) ( )3 (cos(t) + sin(t)) 3 3 (sin(t) cos(t)) ( )3 (sin(t) cos(t)) 3 [ ] T = ] T = ] T (cos(t) + sin(t))(3 (cos(t) + sin(t)) ) (sin(t) cos(t))(3 (sin(t) = cos(t)) ) ] T (cos(t) + sin(t))((1 cos(t) sin(t))) = (sin(t) cos(t))((1 + sin(t) cos(t))) [ [ (cos(t) cos (t) sin(t) + sin(t) sin (t) cos(t)) (sin(t) + sin (t) cos(t) cos(t) sin(t) cos (t))) [ (sin(t)(1 cos = R (t)) + cos(t)(1 sin (t))) (sin(t)(1 cos (t)) cos(t)(1 sin (t)))) = R( (cos 3 (t) + sin 3 (t)), (sin 3 (t) cos 3 (t))) ] T = ] T = Az eredeti asztroidot 45 -kal elforgatva, és kétszeresére nyújtva pedig ugyanez a képlet adódik: ] R [ (cos 3 (t), sin 3 (t)) = R (cos 3 (t) + sin 3 (t), sin 3 (t) cos 3 (t)) Ez pontosan az evoluta a t π helyen vett pontjával egyezik meg, így valóban az asztroid 4 evolutája is hasonló az eredeti görbéhez, annak 45 -os elforgatottja, kétszeres nagyítása, mint az ábrán is látható. 3.4. ábra. Asztrois (piros) és evolutája (kék) 4
3. Evoluták 3.1. A görbületi középpontok pályája 3.1.. További szemléletes evoluták Az eddigiek során olyan görbéket mutattam be, melyek evolutája hasonló az eredeti görbéhez, attól csak méretezésben és orientációban tér el, azaz másmilyen állású. A legszebb példa a közönséges ciklois, melynek evolutája egy vele egybevágó, eltolt közönséges ciklois. A cikloisok családjába tartozó kardioid esetén a görbületi középpontok pályája egy fordított állású, 1-ára kicsinyített kardioid, míg nefroid esetén egy π -vel elforgatott, feleakkora nefroid. Az asztrois evolutája egy π -gyel elforgatott, kétszer akkora asztrois. Ezen állításokat 3 4 differenciálgeometriai eszközök segítségével igazoltam, ábrával szemléltettem. A következőkben olyan görbéket és evolutáikat ismertetem, melyek nem hasonlóak egymáshoz, de mindkét görbe "ismert". Ellipszis A kúpszeletek családjáról már a burkológörbék körében is sok szó esett, és az evolutákkal kapcsolatban is érdemes pár szót ejtenünk róluk, elsőként az ellipszisről. Állítás: Az ellipszis evolutája egy asztrois affin képe. Bizonyítás: Az ellipszis szokásos paraméterezése (a, b R nagy-, illetve kistengely paraméteretek) r(t) = (a cos(t), b sin(t)) r (t) = ( a sin(t), b cos(t)) v(t) = a sin (t) + b cos (t) n(t) = ( b cos(t), a sin(t)) a sin (t) + b cos (t) r (t) = ( a cos(t), b sin(t)) r (t) r (t) = ab sin (t) + ab cos (t) = ab ab κ(t) = ( a sin (t) + b cos (t)) 3 a sin (t) + b r e (t) = (a cos(t), b sin(t)) + cos (t)) 3 ab ( b cos(t), a sin(t)) = a sin (t) + b cos (t) = (a cos(t), b sin(t)) + a sin (t) + b cos (t) ( b cos(t), a sin(t)) = ab = (a cos(t), b sin(t)) + ( a sin (t) cos(t) b cos 3 (t) a = ( a cos(t) a sin (t) cos(t) b cos 3 (t) a = ( a cos(t)(1 sin (t)) b cos 3 (t) a, a sin 3 (t) b cos (t) sin(t) ) = b, b sin(t) a sin 3 (t) b cos (t) sin(t) ) = b, b sin(t)(1 cos (t)) a sin 3 (t) ) = b = ( a b cos 3 (t), b a sin 3 (t)) a b Az ellipszis evolutájának egyenlete tehát valóban egy asztrois affin képe, ahogy az a következő ábrákon is látható. 5
3. Evoluták 3.1. A görbületi középpontok pályája 3.5. ábra. Ellipszis (piros) és evolutája (kék) Parabola A kúpszeletek közé tartozó parabola evolutája egy kitevőjű hatványgörbe affin képe, 3 amelynek paraméteres egyenlete az előzőekhez hasonló módon levezethető. ( r e (t) = ((t, t p ) + r(t) = (t, t p ), r (t) = (1, t p ), r (t) = (0, 1 p ) v(t) = r (t) = n(t) = ( t p, 1) 1 + t p 1 + t p r (t) r (t) = 1 1 p 0 t p = 1 p κ(t) = 1 + t p ) 3 1 p 1 p 1 + t p 1 ( 1 + t p t, 1)) = ( t3 p p, p + 3t p ) 3.6. ábra. Parabola (piros) és evolutája (kék) 6
3. Evoluták 3.. Az evoluták mint burkológörbék 3.. Az evoluták mint burkológörbék Mint az az eddig felvonultatott példákból is látható, a görbületi középpontok pályája, azaz az evoluta néhány görbe esetén ismert görbét ad. Bár még számos példa található "szép" görbe-evoluta kapcsolatra, szakdolgozatom elsődleges célja nem ezen kapcsolatok feltárása. A következőkben rátérek egy fontos tételre, amely a korábban bemutatott burkológörbék fogalmát összekapcsolja az evolutáéval. 7. Tétel. Ha az eredeti r(t) görbének sem a görbülete, sem annak deriváltja nem tűnik el, akkor az r e (t) evoluta a görbe normálisaiból álló egyenessereg burkolója. 1. Bizonyítás. Az evoluta a görbületi középpontok pályája, melyek a görbe normálisain találhatók, így nyilvánvalóan az evolutának és a normálisoknak létezik közös pontja. A burkoló tulajdonság igazolásához azt kell belátnunk, hogy a közös pontban a normális és az evoluta érintője közös. Az egyenesek érintőjének iránya a görbe normálisa: n(t), az evolutáé pedig a paraméterezés segítségével: r e(t) = (r(t) + 1 κ(t) n(t)) = r (t) + ( 1 κ(t) ) n(t) + 1 κ(t) n (t) Az előző lépésben csupán az összeg, illetve szorzat deriválására vonatkozó szabályokat alkalmaztam. A következő lépés a második Frenet-formula (n (t) = κ(t)v(t)e(t)) felhasználásával adódik: r e(t) = e(t)v(t) + ( 1 κ(t) ) n(t) + 1 κ(t) κ(t)v(t)e(t) = ( 1 κ(t) ) n(t) Ez pedig csupán skalárszorosa n(t)-nek, így az egyenesek érintőjének, valamint az evoluta érintőinek irányvektora nyilván azonos, közös ponttal is rendelkeznek, tehát az evoluta valóban burkolója az eredeti görbe normálisainak - amennyiben az evoluta reguláris. A fenti tétel újabb megközelítést kínál az evoluta fogalmára, hiszen az evolutát akár a normálisok burkolójaként is definiálhattuk volna. Dolgozatomban azonban a hagyományosabbnak tekinthető megközelítést választottam (az evoluta mint görbületi középpontok pályája). Az evoluta tehát kétféleképpen is származtatható az eredeti görbéből, a fejezet végén található ábrák szemléltetik a kétféle származtatás ekvivalenciáját a korábban már bemutatott példákon keresztül. Dolgozatomban az evolutát mint a görbületi középpontok pályáját definiáltuk. A gördülékenyebb tárgyalás érdekében az eredeti görbe olyan szingularitási pontjaiban, ahol a görbület végtelennek adódik, a görbületi sugarat ( 1 -t) 0-nak tekintettük, így a pont az evoluta egy κ(t) pontja is. Erre azért volt szükség, mert általánosságban a görbék nem minden pontjukban regulárisak (például ciklois vagy asztrois csúcsai). A cikloisok, illetve kúpszeletek közül számos példa segítségével illusztráltuk az evoluta "differenciálgeometriai"származtatását. Az evoluta azonban nem csak a görbületi középpontok pályája, hanem egyben a normálisok burkoló görbéje is - az általános tétel bizonyítása után a korábbi görbe-evoluta párosokat tekintettük át. Az evoluta azonban nem az egyetlen görbékhez rendelhető speciális görbe, a következőkben még egy ilyen görbefajtával ismerkedhetünk meg. 7
3. Evoluták 3.. Az evoluták mint burkológörbék 3.7. ábra. Közönséges ciklois evolutája mint a normálisok burkolója 3.8. ábra. Kardioid evolutája mint a normálisok burkolója 3.9. ábra. Nefroid evolutája mint a normálisok burkolója 8
3. Evoluták 3.. Az evoluták mint burkológörbék 3.10. ábra. Asztrois evolutája mint a normálisok burkolója 3.11. ábra. Ellipszis evolutája mint a normálisok burkolója 3.1. ábra. Parabola evolutája mint a normálisok burkolója 9
4. fejezet Az evoluta "testvére": az evolvens 4.1. A lefejtési görbe Az evoluták mellett számos különböző görbét rendelhetünk egy-egy konkrét görbéhez. Ezek közül az egyik az evolvens, vagy más néven lefejtési görbe, amely szoros kapcsolatban áll az evolutával. 13. Definíció. Adott egy differenciálható görbe a síkon, melynek deriváltja sehol sem 0 (azaz reguláris). Fejtsük le egy rögzített Q pontjától kezdve a görbét, azaz minden P pontjában a P -beli érintőre mérjük fel a görbe Q-tól P -ig terjedő ívhosszát. A kapott Q pontok alkotta görbét a Q ponthoz tartozó evolvensnek, vagy lefejtési görbének nevezzük.. Megjegyzés. A regularitás azért szükséges, hogy a görbén ne legyenek törések, azaz minden pontjában létezzen érintője. Egy görbének sokféle evolvense van, attól függően, hogy melyik pontjából kezdjük a lefejtést. Az evolvensek azonban szoros kapcsolatban állnak egymással: az egyik evolvens normálisai az összes többinek is normálisai, az egy normálison lévő pontok távolsága pedig mindig ugyanannyi, nevezetesen a kezdőpontok ívhosszban mért távolsága a kiindulási görbe mentén. Szemléletesen úgy tekinthetjük, hogy a különböző evolvensek "párhuzamosak". 4.1. ábra. Görbe evolvensének származtatása Az evolvens definíciójából adódik a paraméterezése az eddigi jelölések segítségével, ahol e(t) az érintő irányú egységvektor: p(t) = r(t) ( t t 0 v(s)ds)e(t) 30