MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat

Bemutatjuk a NAT 01 és a hozzá kapcsolódó új kerettantervek alapján készült MATEMATIKA tankönyvcsaládunkat 9 10 1

MATEMATIKA A KÖTETEKBEN FELLELHETŐ DIDAKTIKAI ESZKÖZTÁR A SOROZAT KÖTETEI A KÖVETKEZŐ KERETTANTERVEK ALAPJÁN KÉSZÜLNEK 4-osztályos gimnáziumi alap (304) szakközépiskolai alap (603) KIEGÉSZÍTŐ TANANYAG 9 9 10 1 LT SZINT 11 1 11 áhangolásként minden lecke igyelemfelkelt fotóval illusztrált, hétköznapi problémával indul I HALMAZOK 4 MŰVELETEK RACIONÁLIS SZÁMOKKAL Egy játék győztese két jutalom közül választhat: a) 5000 euró 5 részének 3 4 részét vagy b) 1000 euró 5 részének 10 százalékát 4 Segítsünk neki a választásban! A SOROZAT KONCEPCIÓJA j szemlélet és tananyag-feldolgozású kiadványainkban azt szeretnénk megmutatni, hogy a matematika ezer szállal szövi át a természettudományokat és ezáltal a mindennapjainkat E kötetekben a hétköznapi jelenségek úgy kerülnek középpontba, hogy a hozzájuk kapcsolható matematikai tartalom nemcsak szigorú logikai rendben kifejtett tudományos magyarázatként, hanem lehetség szerint a gyakorlati alkalmazásokon keresztül is megmutatkozik Elssorban a matematika iránt kevésbé érdekld, átlagos képesség diákok számára készültek a kötetek, melyek mellé a kiadó 9 évfolyamra ingyenes digitális kiegészít anyagot kínál A kiegészítés használatával a tankönyv magasabb óraszám mellett a tantárgy iránt érdekld diákok számára is megfelel 11 osztálytól kezdden a tankönyvcsalád a tanítási gyakorlatnak megfelelen kettéválik, és alternatívát kínál a középszinten, illetve az emelt szinten érettségizk számára Emelt szint, 11-1 évfolyamos könyvünk az t a tudáshoz tankönyvcsalád Matematika 11-1 emelt szint tankönyvének (M- 350) átdolgozása EGYÉB FONTOS INFORMÁCIÓK A 9-es tankönyv M-737 kiadói kóddal elérhet a tankönyvjegyzéken Folytatása, a 10-es (M-739) tankönyv teljes terjedelmében elkészült Az t a tudáshoz sorozatba tartozó 10-es (M-65), a 11-es (M-67), a 1-es (M-69) és a 11-1-es emelt szint (M-350) tankönyveink változatlan formában elérhetek a tankönyvjegyzéken A KÖTETEK ELKÉSZÍTÉSÉNEK FONTOSABB ALAPELVEI 1 Elssorban a matematika iránt nem érdekld tanulókat készíti fel a középszint érettségire A tudományos ismeretek hétköznapi jelenségekbl és a gyakorlati alkalmazásokból kiindulva jelennek meg 3 A komplex gondolkodást a többi tantárgyhoz való kapcsolódás segítségével fejleszti 4 A mindennapokban jól alkalmazható gyakorlati ismereteket tartalmaz 5 Fokozatosan nehezed feladatok teszik lehetvé a differenciált foglalkoztatást DIGITÁLIS TANANYAGOK A tankönyvcsaládhoz digitális tananyagot fejlesztünk Ezekben a hagyományos tanári kézikönyv elemein túl olyan animációkat, videókat és interaktív feladatokat kínálunk, amelyekkel akár a teljes tanítási órát is ki lehet tölteni 3 4 A jelentésteremtéshez fokozatosan nehezed, kidolgozott példákon keresztül vezet az út 3 A deiníciókat és tételeket jól megkülönböztethet módon jelöljük 4 A többi tantárgyhoz való kapcsolódást érdekességeken, életrajzi momentumokon és Járj utána! feladatokon keresztül mutatjuk be 55 A leckék végén található feladatok nehézségi szintjét is megadjuk A feladatokat általában rejtvények, fejtörk vagy találós kérdések zárják Gyôr Pécs Budapest Székesfehérvár r Szeged Miskolc Nyíregyháza Debrecen lvassuk ki az alábbi jelöléseket! a) B Budapest; Debrecen; yr; Miskolc; Nyíregyháza; Pécs; Szeged; Székesfehérvár, b) C hélium; neon; argon; kripton; xenon; radon, c) D 3; 6; 9; 1; ; 99 a) B Budapest, Debrecen, yr, Miskolc, Nyíregyháza, Pécs, Szeged, Székesfehérvár a B halmaz a Budapest, Debrecen, yr, Miskolc, Nyíregyháza, Pécs, Szeged, Székesfehérvár városok halmaza 1 Végezzük el a kijelölt mveleteket! 1 3 9 3 4 4 4 a) 5 3 3 7 30 : 15 0 9 ; b) 5 0 4 ; c) 3 1 1 1 3 5 4 5 : 3 1 1 4 1 4 4 5 5 11 Találós kérdés: Egy tört számlálója kisebb, mint a nevezje Egyenl lehet-e egy olyan törttel, melynek a nevezje kisebb a számlálójánál? FORMAI JELLEMZŐK B5-ös méret 00-76 oldal Szöveg és kép szerves egységben Puhatáblás és tartós, keménytáblás kivitelek 3

MATEMATIKA 9 - TARTALOM MATEMATIKA 9 - TARTALOM I HALMAZOK 14 Két tag összegének, illetve különbségének a négyzete 59 15 Ugyanazon két tag összegének és különbségének a szorzata 6 16 Két tag összegének, illetve különbségének a köbe 64 17 Polinomok szorzattá alakítása kiemeléssel 66 18 Szorzattá alakítás azonosságok használatával 68 19 Szorzattá alakítás teljes négyzetté kiegészítéssel 70 0 Algebrai törtek egyszersítése, helyettesítési értékének kiszámítása 7 IV GEOMETRIA 5 Az egyenlet fogalma 18 53 Egyenletek megoldása graikus úton 1 54 Az egyenletek megoldása algebrai úton I 5 55 Az egyenletek megoldása algebrai úton II 31 56 Egyenltlenségek, egyenltlenségrendszerek 34 57 Abszolút értéket tartalmazó egyenletek 39 58 Szöveges feladatok I 4 59 Szöveges feladatok II 49 60 Elsfokú egyenletrendszerek 53 61 Egyenletrendszerrel megoldható feladatok 60 1 A halmazokkal kapcsolatos fogalmak, jelölések 8 A halmaz elemszáma 1 3 Számhalmazok 15 4 Mveletek racionális számokkal 0 5 A részhalmaz fogalma, jelölések, elnevezések 4 6 Mveletek halmazok között 8 7 Ponthalmazok 33 8 Logikai szita, egyszer összeszámlálások 35 1 Algebrai törtek szorzása, osztása, összevonása 74 szthatóság 77 3 szthatósági szabályok, prímszám, összetett szám, a számelmélet alaptétele 80 4 Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös 84 5 Számrendszerek 88 III FÜGGVÉNYEK 35 Térelemek kölcsönös helyzete, szöge 136 36 Sokszögek I (Konvex, konkáv sokszögek, átlók száma) 141 37 Sokszögek II (Sokszögek szögei) 144 38 Térelemek távolsága 147 39 Speciális sokszögek 151 40 A kör és részei 157 41 A háromszög köré írható kör 16 4 A háromszögbe írható kör 165 43 A Pitagorasz-tétel I 168 VI STATISZTIKA II ALGEBRA, SZÁMELMÉLET 44 A Pitagorasz-tétel II 174 45 eometriai transzformációk (bevezetés) 180 K E I L R Á T B D A 46 eometriai transzformációkkal kapcsolatos szerkesztések 187 47 eometriai transzformációkkal kapcsolatos bizonyítások 190 6 Adatok megadása, szemléltetése 66 63 Középértékek 7 48 Thalész tétele 195 49 Körív hossza, körcikk területe, ívmérték 01 50 Vektorok, mveletek vektorokkal 07 51 Síkidomok egybevágósága 14 6 A függvény fogalma, jelölések, elnevezések 90 7 A koordináta-rendszer I 95 V EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 8 Valós függvények szemléltetése 99 9 Lineáris függvények, egyenes arányosság 103 30 A másodfokú függvény 109 9 Bets kifejezések a matematikában 38 10 Pozitív egész kitevj hatvány 43 11 Egész kitevj hatványok 49 1 Számok normálalakja 5 31 A négyzetgyök fogalma, négyzetgyökfüggvény 116 3 Az abszolútérték-függvény 11 33 Fordított arányosság, lineáris törtfüggvény 16 34 A koordináta-rendszer II 133 13 Algebrai egész kifejezések (polinomok) 56 4 5

II ALGEBRA, SZÁMELMÉLET Kidolgozott példák 17 Kiemelés POLINOMOK SZORZATTÁ ALAKÍTÁSA KIEMELÉSSEL - 4 1-0 =0-3 3 Válasszuk ki az ábrán látható számok közül azokat, amelyeknél a x 4x kifejezés helyettesítési értéke 0! A polinomok helyettesítési értékének deiníciója alapján olyan alaphalmazbeli számokat keresünk, melyeket az x helyébe helyettesítve a kifejezés értéke nulla lesz, azaz x 4x 0 Az ilyen számokat a polinom gyökeinek nevezzük A magasabb fokú polinomok gyökeinek keresésében az egyik leghasznosabb módszer a szorzattá alakítás, mert egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezje nulla Tanultuk, hogy a szorzás disztributív az összeadásra nézve, azaz ca bca cb Ha az egyenlség jobb oldalából indulunk ki, akkor a ca cb ca b összefüggés azt fejezi ki, hogy a c-t kiemeltük azokból a tagokból, amelyekben szorzótényezként szerepelt, és ezzel a ca cb kifejezést szorzattá alakítottuk magyarázatok Ez alapján alakítsuk szorzattá a x 4x polinomot! A kifejezés mindkét tagjában szerepel x Alakítsuk át a polinomot úgy, hogy a tagokban megjelenjen szorzótényezőként a x! Ezzel kaptunk egy háromtényezős szorzatot x 4x x x x x x x x 0 Mindkét tag együtthatója páros Emeljük ki a x-et! ráhangoló probléma A feladat szerint azt keressük, hogy ez a szorzat mikor lesz nulla PÉLDA Alakítsuk szorzattá kéttagú kifejezések kiemelésével a következket! a) ax ybx y; b) xz yrz y; c) ay 1by1; d) 3xy 33y; e) xy 131 y a) ax ybx yx yab; b) xz yrz yz yxr; c) ay 1by1y1ab; d) 3xy 33y3xy3y3y33x; e) xy 131 yxy13y1y1x3 Ha az elz feladat a) részében szerepl ax ybx y kifejezésben felbontjuk a zárójeleket, akkor az ax ay bx by kifejezéshez jutunk Ha ebben egymás mellé tesszük az x-et tartalmazó tagokat és az y-t tartalmazó tagokat, akkor a kifejezést az következ módon is szorzattá alakíthatjuk: ax ybx yax ay bx by ax bx ay by xa b ya ba bx y 3 PÉLDA Alakítsuk szorzattá csoportosítással és kiemeléssel! a) ax az bx bz; b) 4ax 3bx 4ay 3by; c) 1ab 18ac b 3c ; 3 d) 10x 1dc14xd 15xc; e) a 3a 3a 9 a) ax az bx bz ax zbx zx za b; b) 4ax 3bx 4ay 3by x4a 3b y4a 3b4a 3bx y; c) 1ab 18ac b 3c 6ab 3c 1b 3c b 3c 6a 1; d) 10x 1dc 14xd 15xc 10x 14xd 1dc 15xc x5x 7d 3c 7d 5x x5x7d3c5x7d5x7dx3c ; 3 e) a 3a 3a9a a33a3a3a 3 Használjuk fel, hogy egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezje 0, így x 0, vagy x 0, azaz x! Tehát az egyenlet gyökei a 0, illetve a Akkor lesz a kifejezés értéke 0, ha x 0 vagy x Feladatok Alakítsuk szorzattá kiemeléssel az alábbi polinomokat! 4 a) 15ax 0ay; b) 8x y 1x y; c) 5x y 15xy 10xy a) 15ax 0ay 5a 3x 5a 4 y 5a3x 4 y b) 8x 4 y1x y4x yx 4x y34x yx 3; c) 5x y 15xy 10xy 5xy 5x 5xy 3 5xy y 5xy5x 3 y A nehézségi szintet a színes vonalak száma jelzi 1 3 Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket! a) 3ax 9a; b) 14a 3 1a ; c) 18x 6 4x 4 3 4 4 3 3 4 ; d) ab a b ; e) 5ab 15ab 35ab Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket a kéttagú kifejezések kiemelésével! ; b) ; c) c c y a) x y a x y b x y a x y b 4 ; d) 1 y z y 1 ; e) 3 ca c 3 4; f) y x 3c x y b Alakítsuk szorzattá csoportosítással és kiemeléssel az alábbi kifejezéseket! a) 4ax 4bx 3ay 3by; b) x xa4x 4a; c) 1a 0bc8ab 15ac; 3 d) 4xa 1xy 5yb 10ab; e) y y y y 4 66 megoldandó feladatok 67 6 7

I HALMAZOK 5 A RÉSZHALMAZ FOGALMA, JELÖLÉSEK, ELNEVEZÉSEK Mi a közös az alábbiakban? a) Egy futballcsapat csatársora b) Egy állatkert csimpánzai c) Egy zenekar vonós szekciója Természetesen teljesül az is, hogy az A minden eleme eleme a B-nek is, azaz A B, és az is, hogy a B minden eleme eleme az A-nak is, azaz A B Be lehet bizonyítani az alábbi tételt A TÉTEL: Ha A és B tetszleges halmazokra teljesül, hogy A B, akkor A B és B A Igaz a megfordítása is TÉTEL: Ha A és B tetszleges halmazokra teljesül, hogy A B és B A, akkor A B Az elzek alapján bevezetjük a valódi részhalmaz fogalmát a) A csatársor minden futballistája tagja a csapatnak b) Az összes csimpánz az állatkert állata c) A vonós szekció minden zenésze a zenekar muzsikusa A számhalmazokról tanultak alapján nyilvánvaló, hogy a természetes számok halmazának bármely eleme az egész számok halmazának is eleme, de az egész számok halmazának nem minden eleme van benne a természetes számok halmazában Ez alapján egy olyan kép alakulhat ki bennünk, hogy a természetes számok halmaza része az egész számok halmazának Ennek kapcsán bevezetünk egy új fogalmat, a részhalmaz fogalmát DEFINÍCIÓ: Adott az A és a B halmaz Ha az A halmaz minden eleme a B halmaznak is eleme, akkor az A halmazt a B halmaz részhalmazának nevezzük Jelölés: A B (Kiolvasás: A halmaz részhalmaza B halmaznak) Jelölésekkel: Ha minden x A esetén x B, akkor A B DEFINÍCIÓ: Az A halmaz a B halmaz valódi részhalmaza, ha az A részhalmaza B-nek, de nem egyenl vele Jelölés: A B (Kiolvasás: A halmaz valódi részhalmaza B halmaznak) A deiníció jelekkel: Ha AB de ABakkor AB Ebbl a deinícióból következik, hogy bármely halmaz önmagának nem valódi részhalmaza Ez alapján: A részhalmaz deiníciójából következik, hogy bármely halmaz részhalmaza önmagának A A, valamint az üres halmaz bármely halmaznak részhalmaza A Mivel a természetes számok halmazának minden eleme beletartozik az egész számok halmazába, és az egész számok halmazának minden eleme beletartozik a racionális számok halmazába is, ezért a részhalmaz deiníciója alapján a természetes számok halmaza részhalmaza a racionális számok halmazának is Ez az összefüggés a részhalmazfogalom egy fontos tulajdonsága, amit általánosan az alábbi módon fogalmazhatunk meg jelölésekkel TÉTEL: Legyen az A, B, C halmaz olyan, hogy A B és B C, ekkor A C Az új jelölés segítségével a számhalmazok között a következ kapcsolatot írhatjuk fel: Ezt szemléltethetjük halmazábrák, úgynevezett Venn-diagramok segítségével A halmazokat egy-egy kör, ellipszis, téglalap vagy valamilyen síkbeli ponthalmaz szimbolizálja, és ezek segítségével jelenítjük meg a halmazok közötti kapcsolatot Legyen az A k 4k 10 és k és B 10 x x 0; ; 4; 6; 8! Adjuk meg a két halmaz elemeit! Ábrázoljuk mindkét halmazt Venn-diagramon! Milyen kapcsolat áll fenn az A és B halmaz között? Az A ugyanazok az elemei, azaz A B 10; 1; 14; 16; 18 és B 10; 1; 14; 16; 18 ; tehát a két halmaznak Az állítás bizonyítható PÉLDA Legyen az A a három testô r! Határozzuk meg az A halmaz összes részhalmazát! Elször adjuk meg a halmaz elemeit: A AthosAt ; PorthosPo ; AramisAr Ha olyan problémát oldunk meg, akár a hétköznapi életben is, ahol fel kell sorolnunk adott tulajdonsággal rendelkez objektumokat, célszer olyan módszert követni, amely alapján könnyen tudjuk ellenrizni, hogy kihagytunk-e valamit a felsorolásból vagy sem Most célszer az elemszámok alapján számba venni a részhalmazokat A korábbiak alapján az üres halmaz részhalmaza A-nak A Az egyelem részhalmazok: At, Po, Ar Kételem részhalmazok: At ; Po, At ; Ar, Po ; Ar Háromelem részhalmazból csak egy van, az A halmaz Így az A halmaz összes részhalmazának a száma: 8 4 5 8 9

I HALMAZOK 3 PÉLDA Legyen B a négy testô r! Határozzuk meg a B halmaz öszszes részhalmazát! Keressünk kapcsolatot egy halmaz elemszáma és részhalmazainak a száma között! A B halmaz: B AthosAt ; PorthosPo ; AramisAr ; D'Artagnan D Az nyilvánvaló, hogy A B, ezért a korábbiak alapján A öszszes részhalmaza részhalmaza B-nek is Ez eddig 8 részhalmaz, melyeket az elz feladatban már felsoroltunk Vegyük észre, hogy ezek és csak ezek a részhalmazok nem tartalmazzák D-t! Most határozzuk meg azon részhalmazokat, amelyeknek eleme D! Kövessük az elz feladatbeli logikát! Egyelem halmaz: D Kételem halmaz: D; At, D; Po, D; Ar, amelyeket megkaphatunk az elz feladatbeli egyelem részhalmazokból, ha mindegyiket kételemvé egészítjük ki D hozzávételével Háromelem halmazok: At; Po; D, At; Ar; D, Ar; Po; D, amelyeket az elzhöz hasonló módon kapunk a példabeli kételem részhalmazokból Négyelem halmaz: At; Po; Ar; D, amelyet az A halmazból kapunk D hozzávételével Ez újabb 8 részhalmaz, tehát a B halmaznak összesen 88 16részhalmaza van B azon részhalmazai, melyek nem tartalmazzák D-t At D ÉRDEKESSÉG A három testőr című regény Alexandre Dumas (180-1870) francia író romantikus kalandregénye, amely a XVII század elején, XIII Lajos uralkodása idején játszódik A három testőr: Athos, Porthos és Aramis, akikhez negyedikként csatlakozik D Artagnan A későbbiekben őt is testőrré avatják B azon részhalmazai, melyek tartalmazzák D-t D; At Po Ar D; Po D; Ar At; Po At; Ar D; At; Po D; At; Ar Ar; Po At; Po; Ar D; Ar; Po D; At; Po; Ar 1 3 4 5 6 Feladatok Legyen K = a negyvenötnél kisebb, húsznál nagyobb egész számok, L10x y x y1 és y1,, 3! Adjuk meg a két halmaz elemeit! Ábrázoljuk a két halmazt Venn-diagramon! Milyen kapcsolat van a két halmaz között? Az alábbi halmazok között vannak olyanok, amelyek közül az egyik részhalmaza a másiknak Írjuk fel ezeket a kapcsolatokat! a) A páros számok, B 1 pozitív többszörösei, C 0 ; b) T trapézok, D deltoidok, R rombuszok ; c) T trapézok, P paralelogrammák, Q téglalapok, N négyzetek ; d) C növények országa i, M zárvatermk törzse i, N= magyar nszirom, L nsziromfélék családja i Legyen H egyjegy û pozitív páratlan számok! Hány olyan részhalmaza van, amelynek a 3 és az 5 közül legalább az egyik eleme? Legyen A 5k k 8 és k! Fogalmazzuk meg szavakkal az A halmaz megadási utasítását! Adjuk meg az A halmaz három-, illetve kételem részhalmazait! Az alábbi intervallumok között találunk-e olyat, amely valamelyik másik itt szerepl intervallumnak a részhalmaza? Ha igen, írjuk fel azokat részhalmaz jelöléssel! a) 1; 3; b) 1; 4; c) 06, ; 3, ; d) ; 3; e) 0; 008 JÁRJ UTÁNA! Hol találkozhatunk a mindennapokban leggyakrabban magyar nőszirommal? Két halmaz elemszámának különbsége 4 Adjuk meg a részhalmazaik számának arányát! Vegyük észre, hogy a 8 is, és a 16 is ketthatvány: 8 3 és 16 4 Láttuk, hogy egy háromelem halmaznak 3, egy négyelem halmaznak 4 darab részhalmaza van Így arra gondolhatunk, hogy egy n elem halmaz részhalmazainak a száma n Tehát az új elem hozzávételével megkétszerezdött a részhalmazok száma A kétszerezdés ténye független attól, hogy hány elem halmazhoz vettük hozzá az új elemet Felhasználva ezt a tényt és azt, hogy az üres halmaznak egy részhalmaza van önmaga, be lehet bizonyítani az alábbi állítást TÉTEL: Az n elem halmaz részhalmazainak a száma n, ahol n 6 7 8 Melyik nagyobb? Egy öt elem halmaz három elem vagy kételem részhalmazainak száma Melyik nagyobb? Egy hatelem halmaz két elem vagy három elem részhalmazainak száma ÉLETRAJZI MOMENTUMOK Georg Cantor (1845 1918) Német matematikus, a halmazelmélet megteremtésével a matematika egyik igen termékeny ágát nyitotta meg 7 10 11

IV GEOMETRIA 4 A HÁROMSZÖGBE ÍRHATÓ KÖR Az Altrinomi vándorcirkusz járja az országot, minden héten más településen vernek sátrat Mivel a geometriához nem értenek, segítsünk nekik a sátor középpontját megkeresni! Természetesen egy konvex szög két szárától egyenl távolságra lév pontok halmaza a szögtartományban a szögfelez félegyenes Azt már tudjuk, hogy azok a pontok, amelyek két oldalegyenestl vannak egyenl távolságra, a két oldalegyenes által bezárt szög szögfelezjén helyezkednek el Így az O pontnak rajta kell lennie az szög szögfelezjén f is, és a szög szögfelezjén f is A két szögfelez metszi egymást, csak ez a pont lehet az O s ez valóban jó is, hiszen az O pont egyenl távol van a b és a c oldalegyenestl, valamint a c és az a oldalegyenestl, vagyis a háromszög mindhárom oldalegyenesétl A gondolatmenetbl az is kiderül, hogy az O ponton kívül nincs más pont, amely mindhárom oldalegyenestl egyenl távolságra lenne A cirkuszi sátor alapjának középpontját tehát úgy határozhatjuk meg a háromszög alakú telken, hogy megkeressük a háromszög valamelyik két szöge szögfelezjének a metszéspontját Milyen szöget zár be egymással két metsz egyenes két szögfelez egyenese? A probléma a következ: a sátor méreteit bizonyos keretek között tudják változtatni, de az alap minden esetben kör alakú A fellépésük helyszínén egy kicsi, háromszög alakú telek áll rendelkezésre, és úgy kell felállítaniuk a sátrat, hogy az mindhárom oldalon a telek széléig érjen! ajzoljunk, majd fogalmazzuk meg a problémát matematikai nyelven! Adott egy háromszög (ABC), és olyan kör középpontját keressük (O), amely a háromszög minden oldalát érinti Ha van ilyen kör, akkor a középpontja sugárnyi távolságra van a háromszög mindhárom oldalától, hiszen korábban megállapítottuk, hogy az érintési ponthoz tartozó sugár merleges az érintre lyan pontot keresünk tehát, amely egyenl távol van az ABC háromszög minden oldalától A halmazelméleti tanulmányaink során már láttuk, hogy két metsz egyenestl egyenl távolságra lév pontok halmaza a síkjukban a két egyenes által meghatározott szögek szögfelez egyenesei Itt is két állítást fogalmaztunk meg egyszerre: a) Ha egy pont rajta van a két egyenes által meghatározott szögek két szögfelezje közül valamelyiken, akkor a pont egyenl távolságra van a két metsz egyenestl b) Ha egy pont egyenl távolságra van két metsz egyenestl, akkor rajta van a két egyenes által meghatározott szögek valamelyik szögfelezjén (Hasonló megállapítást kerülgettünk a 40 leckében, amikor a garázsbejáró ívét próbáltuk elkészíteni) Az ábrán is szépen látszik, de néhány további rajzzal megersíthetjük a sejtésünket, hogy a két szögfelez egyenes merleges egymásra Valóban, hiszen az egyenesek által bezárt szomszédos szögek egyenesszögre egészítik ki egymást, vagyis 180, így a szögek felének összege: 90, ami éppen a szögfelezk hajlásszöge A bevezet példában találtunk egy olyan kört, amely érinti egy háromszög oldalait DEFINÍCIÓ: Az olyan kört, amely érinti a háromszög mindhárom oldalát, a háromszög beírt körének (vagy a háromszögbe írható körnek) nevezünk Foglalkoztunk még a háromszög bels szögeinek szögfelezjével is, ezeket röviden a háromszög szögfelezinek is mondjuk Vegyük észre, hogy mivel az O pont egyenl távol van az a és a b oldaltól is, ezért rajta van a C csúcsból induló szögfelezn ( )-n is! f Az eddigiek alapján kimondhatjuk a következ tételt: TÉTEL: A háromszög szögfelezi egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög beírt körének középpontja Az elz példában leírtakból az is kiderül, hogy minden háromszögnek pontosan egy beírt köre van 165 166 1 13

IV GEOMETRIA Feladatok 43 A PITAGORASZ-TÉTEL I 1 3 Szerkesszük meg az ABC háromszög AB oldalának azt a pontját, amelyik a másik két oldalegyenestl egyenl távolságra van! Szerkesszük meg egy háromszög beírt körét! Szerkesszünk olyan félkört, amely érinti egy háromszög két oldalát, átmérje pedig a háromszög harmadik oldalára illeszkedik! Számítsuk ki, milyen hosszúak az átfogói az ábrán látható derékszögű háromszögeknek? 4 5 6 7 8 9 10 11 Hány olyan kör van a síkon, amelyik egyszerre érint két párhuzamos egyenest és egy azokat metsz harmadik egyenest? Válaszunkat indokoljuk! Hány olyan kör van a síkban, amelyik egyszerre érint három, egymást három különböz pontban metsz egyenest? A válaszunkat indokoljuk! Szerkesszük meg az ABC háromszög körülírt körének azokat a pontjait, amelyek egyenl távolságra vannak az AB és a BC oldal egyenesétl! Szerkesszük meg a körülírt kör azon pontjait is, amelyek egyenl távolságra vannak az A és a C ponttól! Mit igyelhetünk meg? A Hegeds család a költözés után virágoskertet tervez Ehhez egy paralelogramma alakú földterület áll rendelkezésükre, amelynek az átlója mentén egy kis átkelutat meg akarnak hagyni Az átkel két oldalán pedig egy-egy kör alakú ágyást szeretnének, melyekbe árvácskát fognak ültetni Segítsünk nekik megtervezni az árvácskák helyét! (A lehet legnagyobb ágyást képzelték el, amely az egyes részekben elfér) Mutassuk meg, hogy egy paralelogramma szögfelezi vagy egy pontban metszik egymást, vagy metszéspontjaik téglalapot határoznak meg! Egy háromszög egyik szöge 38-os Mekkora szöget zárnak be egymással a másik két csúcsra illeszked bels szögfelez egyenesek? Egy háromszög két szögének nagysága: 74 és 4 Mekkora szöget zárnak be egymással a háromszög szögfelezi? Egy háromszög szögeit jelölje, és! Mekkora szöget zárnak be egymással a háromszög szögfelezi? A korábbi tanulmányainkból már ismert Pitagorasz-tételt alkalmazhatjuk mindkét esetben Jelöljük a befogókat a-val és b-vel, a keresett átfogót pedig c-vel! Ekkor a tétel szerint tudjuk, hogy a b c Ebbe az összefüggésbe helyettesítsük be az adatokat! 8 15 c 64 5 c 89 c Két olyan számot is találnánk, amelynek 89 a négyzete: a 17-et és a 17-et De mivel a c hoszszúságot jelöl, így csak a pozitív szám jöhet szóba: c 17 Tehát az a) kérdésre a válasz: a derékszög háromszög átfogója 17 cm hosszú Ugyanezt kell végigcsinálnunk a b) kérdésnél is, csak itt végül nem kapunk egész számot 10 6 c 100 36 c 136 c 136 c A négyzetgyök segítségével könnyen tudjuk jelölni ilyenkor is a keresett számot Közelít értékét pedig számológéppel vagy függvénytáblázat segítségével meghatározhatjuk c 136 11, 66 Válasz a b) kérdésre: az átfogó hossza 136, vagyis kb 11,66 cm A következ példát egy kb 4000 évvel ezeltti babiloni agyagtáblán találták Egy gerenda 0;30 hosszú Felül 0;6-tal lecsúszott Lentrl mennyivel távolodott el? A szöveg igen szkszavú (bár még így is némiképpen ki van egészítve ahhoz képest, ami az agyagtáblán fönnmaradt) Ma valahogy így fogalmaznánk meg ugyanezt a feladatot: Egy 30 egység hosszú gerenda fels széle 6 egységnyit csúszott le a fal mellett Milyen messzire csúszott el így a gerenda alja a faltól? 167 168 14 15