Megoldások 1. feladat: A testvérek, Anna, Klára és Sanyi édesanyjuknak ajándékra gyűjtenek. Anna ötször, Klára hatszor annyi pénzt gyűjtött, mint Sanyi. Anna az összegyűjtött pénzének 3/10 részéért, Klára a pénzének negyedéért vett ajándékot. Sanyi az összes összegyűjtött pénzén ajándékot vett. Hárman együtt 9000 Ft-ot költöttek ajándékra. a) Ki költötte a legkevesebb pénzt ajándékra? b) Hány forintot gyűjtött Sanyi? c) Hány forintot gyűjtött Klára? d) Hány forinttal költött többet ajándékra Klára, mint Anna? 9p Megoldás: Sanyinak legyen x Ft-ja Anna Klára Sanyi 5x Ft 6x Ft x Ft 3 5 x Ft 10 1 6 x Ft 4 x Ft 15 6 x x x 9000 10 4 3 3 x x x 9000 4x 9000 x 50 ( Ft) a.) Sanyi költötte a legkevesebb pénzt b.) Sanyi 50 Ft-ot gyűjtött. c.) Klára 650 13500 Ft-ot gyűjtött. d.) 0 Ft-tal, mert mind a ketten 3375 Ft-ot költött. 1
. feladat: Az ABCD téglalapot 8 négyzetre bontottuk. A szürke színű négyzetek kerülete egyenként 160 cm (lásd ábra). D C A B a) Hány centiméter a téglalap AD oldalának hossza? b) A téglalap BC oldalának hossza hányszorosa a legkisebb négyzet oldalhosszának? c) Hány centiméter a téglalap kerülete? 9p Megoldás: A szürke négyzet oldala 40 cm. Legyen a legkisebb négyzet oldala x hosszúságú. A BC oldal hossza 340 szemközti oldalai egyenlő hosszúságúak. 10 cm. Az AD oldal hossza szintén 10 cm, mert a téglalap A nagy négyzet oldala ekkor 10cm x. Másik számítás szerint ennek a nagy négyzetnek a hossza 4x 4 x 10 x 5x 10 x 4 (cm) A legnagyobb négyzet oldala 44cm 96cm A téglalap AB oldala 96 cm+40 cm=136 cm. a) Az AD oldal hossza 10 cm. b) A BC oldal hossza ötszöröse a legkisebb négyzet hosszának.10 : 4 5 c) A téglalap kerülete (10 cm 136 cm) 51cm
3. feladat: Egy dobozban háromféle színű: piros, sárga és fekete golyók vannak. Közülük 7 nem fekete, 39 pedig nem piros. A piros golyók száma fele a fekete golyók számának. Hány piros, sárga és fekete golyó van a dobozban? 9p Megoldás: A piros golyók száma p, a sárga s, a fekete f. p+s=7 f+s=39 Ebből a két egyenletből következik: f-p =1 Tudjuk, hogy f= Tehát -p=1 p=1 f=4 Ebből következik s=39-4=15 Sárgából 15, pirosból 1, fehérből 4 golyó van a dobozban 4. feladat: Az ab -vel jelölt kétjegyű számra igaz a következő egyenlőség: ba a b 145 Határozzuk meg a ab kétjegyű számot. 1 Megoldás: Az ab 10a b összefüggést beírjuk a megadott képletbe: ba 10a b 10b a a b a b 11 a11b 11 a b a b a b 11 ab 145 11 145 3
145 ab 11 ab 1 Tehát a keresett szám a 1. 5. feladat: Egy matematika szakkörön 1 cm élű kis kockákból téglatestet kellett építeni a tanulóknak. Mindenki 84 db kis kockát kapott, és mindenki különböző téglatestet tudott összerakni az összes kis kocka felhasználásával. Hányan voltak jelen a szakkörön? Peti olyan téglatestet épített, amelynek a felszíne éppen 100 cm rel kevesebb, mint a 84 db (különálló) kis kocka felszínösszegének a fele. Mekkorák a Peti által összerakott téglatest élei? 1 Megoldás: Minden téglatest 1 cm élű kis kockákból áll, tehát az élek mérőszáma pozitív egész szám, ami legalább 1 és legfeljebb 84 lehet. A kirakott téglatest térfogata 84 cm 3. Ezért a lehetséges élek meghatározásához a 84-et háromtényezős szorzattá kell alakítani. A szorzat tényezőinek előállításához pedig a 84-et prímtényezők szorzatára kell bontani. 84 3 7 Ezekből 3 tényezős szorzatot kell előállítani, de az1-et is, mint tényezőt figyelembe kell venni. A lehetőségek: 84 1184 1 4 13 8 1 4 1 1614 171 1 314 67 3 4 7 Ez azt jelenti, hogy 10 féle téglatest építhető. A matematika szakkörön tehát 10-en voltak jelen. A 84 kis kocka, ha külön-külön állnak, felszíne Peti által épített téglatest felszíne 504 5 6 84 504 cm cm 5cm 100cm 15cm A ab bc ac 15 a b b c a b 76 Ha él szorzata nagyobb, mint 76 cm, akkor az a feltételeknek nem tesz eleget. 4
Ilyen eset az 1184, 14, 138, 141, 1614, 17 1 A 7. esetben 1 1 76 szintén nem megfelelő. Tehát csak a maradék 3 esetet kell megvizsgálni. Ezek közül az a téglatest megfelelő, amelynek élei: cm, 3 cm, 14 cm. A Peti által összerakott téglatest élei cm, 3 cm, 14 cm. Amennyiben a versenyző mind a 10 esetben kiszámolja a felszínt (vagy a felszín felét) és ennek alapján dönti el, hogy melyik a megfelelő téglatest, akkor is teljes pontszámot kap. Ha nem számolja ki az összes esetet, de néhány felszín kiszámolása után ráhibázik a megfelelőre, akkor 3 ponttal kevesebbet kap. 5
Feladatok 1. feladat: A testvérek, Anna, Klára és Sanyi édesanyjuknak ajándékra gyűjtenek. Anna ötször, Klára hatszor annyi pénzt gyűjtött, mint Sanyi. Anna az összegyűjtött pénzének 3/10 részéért, Klára a pénzének negyedéért vett ajándékot. Sanyi az összes összegyűjtött pénzén ajándékot vett. Hárman együtt 9000 Ft-ot költöttek ajándékra. a) Ki költötte a legkevesebb pénzt ajándékra? b) Hány forintot gyűjtött Sanyi? c) Hány forintot gyűjtött Klára? d) Hány forinttal költött többet ajándékra Klára, mint Anna? 9p. eladat: Az ABCD téglalapot 8 négyzetre bontottuk. A kék színű négyzetek kerülete egyenként 160 cm (lásd ábra). D C A B a) Hány centiméter a téglalap AD oldalának hossza? b) A téglalap BC oldalának hossza hányszorosa a legkisebb négyzet oldalhosszának? c) Hány centiméter a téglalap kerülete? 9p 3. feladat: Egy dobozban háromféle színű: piros, sárga és fekete golyók vannak. Közülük 7 nem fekete, 39 pedig nem piros. A piros golyók száma fele a fekete golyók számának. Hány piros, sárga és fekete golyó van a dobozban? 9p 6
4. feladat: Az ab -vel jelölt kétjegyű számra igaz a következő egyenlőség: ba a b 145 Határozzuk meg a ab kétjegyű számot. 1 5. feladat: Egy matematika szakkörön 1 cm élű kis kockákból téglatestet kellett építeni a tanulóknak. Mindenki 84 db kis kockát kapott, és mindenki különböző téglatestet tudott összerakni az összes kis kocka felhasználásával. Hányan voltak jelen a szakkörön? Peti olyan téglatestet épített, amelynek a felszíne éppen 100 cm rel kevesebb, mint a 84 db (különálló) kis kocka felszínösszegének a fele. Mekkorák a Peti által összerakott téglatest élei? 1 7