Pythagoraszi hangközök

1. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Pythagoraszi hangközök A zene gyönyörködtet bennünket, habár szépsége csakis a számok megfelelőségében áll és a hangzó testek ütéseinek és rezgéseinek öntudatlan, de mégis eszközölt számításában, melyek bizonyos közökben találkoznak. Az az élvezet, melyet a látás az arányokban talál, ugyanily természetű, és a többi érzékek által nyújtott élvezetek valószínűleg hasonlóra vezethetők vissza, ha nem bírjuk is világosan megmagyarázni. LEIBNIZ: Pri(n)cipes de la nature et de la grace,fondé en raison (Az észre alapozott elvek a természeről és a kegyelemről) Magyarul: Leibniz: Értekezések ford.: dr.bauer Simon és dr.vida Sándor, Budapest 1907,195

2. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Pythagoraszi hangközök rendszere A pythagoraszi, diatonikus skálának számos érdekes tulajdonsága van. Például az egész rendszert fel lehet építeni mondössze két hangközt használva: 1. Alap hangköz: 2:1 OKTÁV 2. Alkotó hangköz: 3:2 KVINT Ezek után a pythagoraszi KVART létrehozható az OKTÁV és a KVINT hányadosaként. 2/1 osztva 3/2 = 2/1 * 2/3 = 4/3 A pythagoraszi EGÉSZ HANG a KVINT és KVART hányadosaként jön létre. 3/2 osztva 4/3 = 3/2 * 3/4 = 9/8 A pythagoraszi FÉLHANG ( görögül LIMMA) a KVART(4/3) és kettő EGÉSZ HANG (9/8 * 9/8) hányadosa. 4/3 osztva (9/8 * 9/8) = 4/3 osztva 81/64 = 4/3 * 64/81 = 256/243 = 90 cent Megfigyelhető, hogy a fenti EGÉSZ és FÉLHANG közök a lentebbi 3:2 KVINTek sorozatából létrehozott skálán * az egymás melletti hangok közeinek méretével egyenlőek Végül pedig megjegyzendő és fontos aritmetikai sajátosság, hogy a Pythagoraszi hangrendszer bármely tagja kifejezhető a 3:2 hatványaként. Érdekes sajátosság, hogy két pythagoraszi FÉLHANG (256/243 * 256/243) nem egyenlő egy EGÉSZ HANGgal (9/8). A görögök az EGÉSZ HANG (9/8) és a FÉLHANG (256/243) közötti különbséget aptome néven ismerték, ami fordításban kivágást jelent és a kalkulált mérete: 9/8 osztva 256/243 = 9/8 * 243/256 = 2187/2048 = 114 cent Tehát a pythagoraszi skálában összesen két fajta hangköz létezik: Az EGÉSZ HANG : 9/8 és a FÉLHANG : 256/243

3. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Ráadásul az összes arányszám kitevője és hányadosa kizárólag a 2 és 3 számból és azok hatványaiból származtathatóak ( 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, valamint 3, 9, 27, 81, 243, 729, ) HANG NEVE Frekvencia arány Do-ból indulva ( C4 fölött ) CENTEK száma C4 fölött HANGKÖZ nagysága (arányként) HANGKÖZ mérete CENTBEN C4 D4 E4 F4 G4 A4 B4 (C5) 1:1 9:8 81:64 4:3 3:2 27: 16 243: 128 0 204 408 498 702 906 1110 1200 9:8 9:8 256:243 9:8 9:8 9:8 256:243 204 204 90 204 204 204 90 Lila színnel: EGÉSZHANG = 9:8 vagy 204 cen; narancs színű: FÉLHANG = 256:243 vagy 90 cent Fig. 1.: PYTHAGORASZI SKÁLA HANGKÖZEI diatonikus hangolásban C4-ből kiindulva 2:1 * a számítás módja: Jelöljük a kiinduló C4 alaphangot X-el. (440 Hz-es kamarahangú 12 hangú rendszerben, X=261.62 Hz.) C4-ről felfelé egy kvinttel G4 található. G4 frekvenciája: G4 = X * 3/2 = 3/2 X G4-ről felfelé egy kvinttel D5 található. D5 frekvenciája: D5 = X * 3/2 * 3/2 = 9/4 X Mivel D5, már a következő oktávba esik, leszállítjuk egy oktávnyit és D4 lesz belőle: D4 = 9/4 X osztva 2/1 = 9/4 X * 1/2 = 9/8 X Ezt a módszert követve az összes hátralévő hang frekvenciája kalkulálható, kivéve az F hangot. Az F hang F4 számításához a C4 alaphangból lefelé kell indulni egy tiszta kvinttel X* 2/3 = 2/3 X, majd F3-ról visszajönni egy oktávnyit. F4 = 2/3 X * 2/1 = 4/3 x

4. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Az F hang több szempontból is kilóg a sorból és különleges pozícióban van a skálán belül, ezért a helyzetét külön is vizsgálom a 31. oldalon. HANG NEVE C Db D Eb E F F# G Ab A Bb H C Frekvencia arány Doból indulva ( C4 fölött ) CENTEK száma C4 fölött HANGKÖZ nagysága (arányként) HANGKÖZ mérete CENTBEN (FÖLÖTTE LÉVŐHÖZ) 1:1 256: 243 9:8 32: 27 81:64 4:3 729: 512 3:2 128: 81 27:16 16:9 243: 128 0 191 204 382 408 498 666 702 848 906 1039 1110 1200 9:8 9:8 256: 243 9:8 9:8 9:8 191 26 178 26 90 168 36 146 58 133 71 90 Lila színnel: EGÉSZHANG = 9:8 vagy 204 cen; narancs színű: FÉLHANG = 256:243 vagy 90 cent Fig.2.: PYTHAGORASZI SKÁLA HANGKÖZEI CENTBEN 12 fokú KROMATIKUS skálán 256: 243 2:1 A fenti táblázat skálájának eredete a következő C4-G4 szimmetriaközéppontú 12 tiszta KVINT egy oktávra történő származtatása révén jött létre. Db 1 Ab 1 Eb 2 Bb 2 F 3 C 4 G 4 D 5 A 5 E 6 B 6 F# 7 Fig.3. 12 kvint szimmetrikusan a C 4 - G 4 hangok körül

5. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. D hanghoz viszonyított skála hangközeinek arányszámai Ha a kamarai D hangot határozzuk meg kiindulási pontnak, a skála hangközei lefelé és felfelé a következők lesznek: Arány HANG hangköz Hangköz méret centben távolság különbség 1024 :729 A Szűkített KVINT 588.27-1173 256 :243 E Kis SZEKUND 90.22-978 128 :81 B Kis SZEXT 792.18-782 32 :27 F Kis TERC 294.13-587 16 :9 C Kis SZEPTIM 996.09-391 4 :3 G Tiszta KVART 498.04-196 1 :1 D unison 0.00 0.00 3 :2 A Tiszta KVINT 701.96 196 9 :8 E Nagy SZEKUND 203.91 391 27 :16 B Nagy SZEXT 905.87 587 81 :64 F Nagy TERC 407.82 782 243 :128 C Nagy SZEPTIM 1109.78 978 729 :512 G Bővített KVART 611.73 1173 Fig.4. D hanghoz viszonyított skála hangközeinek arányszámai A pythagoraszi hangrendszerben az összes arányszám kitevője és hányadosa a 2 és 3 számból és azok hatványaiból származtathatóak: 2 n = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 3 n = 3, 9, 27, 81, 243, 729, ( Ide kapcsolódik a pythagoraszi LAMBDA, melynek egyik szára mentén állnak, lefelé haladva az 1,2,4,8 számok, tehát a kettő hatványai, mint női princípium és a másik szára mentén a 3 hatványai, a 3,9,27, mint férfi minőség.)

6. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Bolyai és Baumgartner féle hangsor Bolyai Farkas és fia, János módosítottak a pythagoraszi természetes hangsoron ( változott a terc, a szekt és a szeptim arányszáma). Bolyai Farkas a hétfokú, míg János a tizenkétfokú hangsort tekintette alaphangsornak. Az új hangsorban két fajta EGÉSZHANG található: KIS EGÉSZHANG: 9/8 és NAGY EGÉSZHANG : 10/9 arányú A kettő együtt nagy tercet (4:5) ad, hiszen (8:9) (9:10) = 72:90 = 4:5. A FÉLHANG mindig 16/15 arányú. A kétféle egész hang közötti eltérés a 9/8 : 10/9 = 9/8 x 9/10= 81/80 dydimoszi vagy szintonikus komma. Diatonikus dúrskála skála hangjai: c1 d1 e1 f1 g1 a1 h1 c2kiegészített diatonikus skála : (a c-cisz, d-desz stb. megjelenik a kis félhangköz 25/24 A Bolyai-Baumgartner féle diatonikus hangrendszerben az összes arányszám kitevője és hányadosa a 2, 3, 5 számok hatványaiból ÉS szorzataiból származtathatóak: 2 n = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 3 n = 3, 9, 27, 81, 243, 729, 5 n = 25, 125, 625 2*3= 6, 3*5=15 2*2*2* 3=24 5*5=25 3*3*5= 45 3*3*3*5=135 Tehát a pythagoraszi természetes hangsorhoz képest a diatonikus rendszerben matematikailag megjelent az 5-ös szám és a szorzás művelete. Egyébként a 3, 4 (2 2 ) és 5 ún. pythagoraszi szent mágikus számhármas, mivel 3 2 +4 2 =5 2 ( összesen még 3 ilyen hármast ismerünk: (7,24,25) (8,15,17) és (17, 144, 145) ( Lásd Fig.9. számú ábrát)

7. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. HANG Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz Hz PYTH. DIAT. PYTH. DIAT. PYTH. DIAT. PYTH. DIAT. C = Do 128 132 256 264 512 528 1024 1056 Cisz 1331/3 266 2/3 533 1/3 1066 2/3 Desz 136 8/15 273 546 2/15 1092 D = Re 144 148,5 288 297 576 594 1152 1188 Disz 153 3/5 307 614 2/5 1228 E = Mi 160 165 320 330 640 660 1280 1320 F = Fa 170 2/3 Fisz 177 6/9 176 341 1/3 352 682 2/3 704 355 5/9 711 1/9 1365 1/3 1408 1422 2/9 G=Sol 192 198 384 396 768 792 1536 1584 Gisz 200 400 800 1600 A=La 214 1/6 Aisz=B 227 5/9 220 428 1/3 440 856 2/3 880 455 1/9 910 2/9 1713 1/3 1760 1820 3/9 H=Ti 240 247,5 480 495 960 990 1920 1980 Fig. 5. Összehasonlító táblázat Hangok frekvenciája 4 oktávban a Pythagoraszi természetes skála (Do= 32 Hz-ből kiindulva A= 428 1/3 Hz ) és kiegyenlített diatonikus dúrskála (C=33 Hz-ről indítva, hogy A=440 Hz es kamarang legyen)

8. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. HANG Diatonikus Temperált C = Do 264,0 261,5 Cisz 278,3 279,7 D = Re 297,0 296,3 Disz 316,8 314,0 E = Mi 330,0 332,6 F = Fa 352,0 352,4 Fisz 375,5 373,3 G=Sol 396,0 395,5 Gisz 422,4 419,0 A=La 440,0 440,0 Aisz=B 469,3 470,3 H=Ti 495,0 498,3 C =Do 528,0 523,0 Fig. 6. Temperált és diatonikus (kiegyenlített) dúrskála alap- és színező hangjainak összehasonlító táblázata A=440 Hz-es kamarahang esetén A harmonikus funkciók témaköre az öszhangzattan keretei közé tartozik, és szükségessé teszi a harmónia (vagy akkord) fogalmának ismeretét is. Itt csak arra térünk ki, hogy minden diatonikus hangnemben van három kitüntetett hangzat melyek alaphangjai a következők: tonika: maga az alaphang (legyen F a frekvenciája) szubdomináns: az alaphang alatt egy tiszta kvinttel lévő hang ( F / (3/2) ) domináns: az alaphang felett egy tiszta kvinttel lévő hang ( F * (3/2) ) Tehát minden diatonikus hangnemben van három különösen fontos hang. Hogy a tonika mellett miért az attól alsó- és felső tiszta kvintre eső hang lett kitüntetett szerepű, zenetörténeti okai vannak. Vegyük a három hangot és első négy felhangjukat, ezek tökéletesen meghatározzák a dúr skálát: Fig. 7. A diatonikus dúr skála akusztikai származtatása Az alaphang a tonika sorában lévő, 1-es számmal jelzett hang. Az alsó számok az alattuk legközelebb lévő dó hanghoz viszonyított hangközt írják le. Látható, hogy a felhangok lefedik az összes hangot: 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

9. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. A közöttük lévő távolságok pedig (szomszédos elemek hányadosai): 9/8 10/9 16/15 9/8 10/9 9/8 16/15 C D e F G a h C 1 Nagy egész hang 8 : 9 Kis egész hang 4: 5 Fél hang 3: 4 Nagy egész hang 2 : 3 kis egész hang 3:5 8:15 2 Nagy egész hang 8 : 9 9 : 10 15 : 16 8 : 9 9 : 10 8 : 9 204 C 182 C 112 C 204 C 182 C 204 C 112 C Fig. 8. A félkövéren szedett nevek kvint-rokonságban vannak, míg a többi terc-viszonyban áll egymással. A tiszta hangolás a felhangsor hangközeit használja: oktáv(1:2), kvint (2:3), kvart(3:4), nagyterc(4:5), kisterc(5:6), nagy egészhang(8:9), kis egészhang(9:10) és diatonikus félhang(15:16). (A 7, 11 és 13 részhangokat nem használják fel.) Ezen hangolást alkalmazva a hangszer abszolút tisztán szól (sokak számára talán túlzottan is) ugyanakkor csak egyetlen hangnemben. Ráadásul ebben az egyben sem tiszta minden frekvenciaviszony (például a D-A farkaskvint, de ez a C-F-G-C kadenciában nem fordul elő). Más hangnemekben az ilyen módon hangolt instrumentumon gyakorlatilag nem lehet játszani. Fél hang 15 : 16 Név Frekvencia az előző hanghoz Frekvenciaviszony az alaphanghoz Hányados Centérték Hely a kvintkörön C 15 : 16 1 : 1 1 0,000 C desz 15 : 16 15 : 16 1,0666 111,731 C nagy terccel F alatt D 128 : 135 8 : 9 1,125 203,910 C esz 15 : 16 5 : 6 1,2 315,641 C nagy terccel G alatt e 24 : 25 4 : 5 1,25 386,314 C nagy terccel C fölött F 15 : 16 3 : 4 1,333 498,045 C fisz 128 : 135 32 : 45 1,40625 590,224 C nagy terccel D fölött G 15 : 16 2 : 3 1,5 701,955 C asz 15 : 16 5 : 8 1,6 813,686 C nagy terccel C alatt a 24 : 25 3 : 5 1,666 884,359 C nagy terccel F fölött B 15 : 16 9 : 16 1,777 996,090 C h 128 : 135 8 : 15 1,825 1088,26 C nagy terccel G fölött C 15 : 16 1 : 2 2 1200,00 C Fig. 9. Diatonikus skála hangközei és távolságok értéke centben 2 n = 2, 4, 8, 16, 32, 64,128 3 n = 3, 9, 27, 5 n = 25, 125, 2*3= 6 3*5=15 2*2*2* 3=24 5*5=25 3*3*5= 45 3*3*3*5=135

10. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. PYTHAGORASZ zenei hang alapú kozmikus modellje : Mivel minden mindennel arányos, szükségképpen az égitestek mozgásának is arányosnak kell lennie. Püthagorasz világának közepén a gömb alakú Föld lebeg, és körülötte keringenek egy-egy kerékre, azaz szférára erősítve a bolygók, valamint a Nap és a Hold. A szférák forgása suhogó neszt, egyfajta zenei hangzást kelt: ez volt a szférák harmóniája (amit magyarul, eltorzítva a szférák zenéjeként szoktunk emlegetni). Ezt a világon egyedüliként Püthagorasz állítólag hallotta is. A mai korban különböző űrtávcsövek (pl. Hubble) és a bolygók közelében elhaladó űrszondák rögzítették is ezeket a neszeket. Pythagorasz rendszerében a Naprendszer afféle hatalmas lant, aminek a húrjai körkörösek, az egyes égitestek távolságai pedig arányosak: a Föld és a Hold zenei hangköze egy nagyszekund, a Merkúr és a Hold, illetve a Merkúr és a Vénusz között pedig egy-egy kis szekund van. A Vénusz és a Nap között kis terc, a Mars és a Jupiter között kis szekund, a Jupiter és a Szaturnusz között úgyszintén kis szekund, végül a Szaturnusz és az állócsillagok szférája között ismét egy kis terc távolságot tételezett fel. A XXI. Század tudományában időről időre felbukkan a Pythagorasz által megsejtett kézenfekvően egyszerű rendszer, úgy univerzális rendezőelvként, mint modellként. Például megjelent a századfordulón egy teljesen jól működő periódusos rendszerként. ( Walter Russell: The Universal One, 1926, melyben megfeletette zenei hangoknak az elemeket és a 9 oktávos rendszert az univerzum modelljévé emelte. Argon = Do, Potassium = Re, Calcium = Mi, Scandium = Fa, Cobalt = Sol, Arsenic = Fa, Selenium =Mi, Bromine = Ra, Kripton = Do.) Fig. 10. Russell 9 oktáv alapú periódusos rendszerének oldalnézete és felülnézete

11. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. ASZTROFIZIKA Titius- Bode szabály 1772-1778 között került véglegesítésre J.D. Titius és J. Bode német csillagészmatematikusok által Christian von Wolff megfigyelése, miszerint a naprendszerünk bolygóinak távolságai között felírható egy szabályszerűség. Bolygó Merkúr - n T-B szerinti távolság (CsE) Valódi távolság (CsE) Hiba 0,4 0,39 + 2,56% Vénusz 0 0,7 0,72-2,78% Föld 1 1,0 1,00 0,00% Mars 2 1,6 1,52 + 5,26% Kisbolygóöv 4 2,8 2,77 (+ 1,08%) Jupiter 8 5,2 5,20 0,00% Szaturnusz 16 10,0 9,54 + 4,82% Uránusz 32 19,6 19,2 + 2,14% Neptunusz - - 30,06 - Plútó 64 38,8 39,44 Eris 128 77,2 (67,7) (- 1,72%) (+ 14,0%) Fig. 11. Titius Bode szabály szerinti számított és a valós bolygótávolságok (forrás SZTAKI) A képlet Titius Bode szabály szerint vált ismertté és segítségével több égitest létezését ( pl. Uránusz, Ceres) is megjósoltak, majd a nagyteljesítményű távcsövek megjelenésével más naprendszerek bolygóinak helyét is előre tudták jelezni. A tudomány még mindig nem ismeri el, mert még nem tudták 100%-osan elméletileg megmagyarázni eme univerzális szabályszerűség gyakorlatban bizonyítottan működő elvét. Valószínűsítik, hogy az égitestek több naprendszerben is tapasztalt napjuktól való harmonikus távolságai a pályarezonancia és szabadságfokok hiányával magyarázható. Belső bolygó Rezonancia Pontos érték Külső bolygó Merkúr 2 : 5 (2 : 5,11) Vénusz Vénusz 8 : 13 (8 : 13,004) Föld Föld 1 : 2 (1 : 1,88) Mars Mars 2 : 5 (2 : 4,89) (Ceresz) (Ceresz) 2 : 5 (2 : 5,15) Jupiter Jupiter 2 : 5 (2 : 4,97) Szaturnusz Szaturnusz 1 : 3 (1 : 2,85) Uránusz Uránusz 1 : 2 (1 : 1,96) Neptunusz Neptunusz 2 : 3 (2 : 3,01) Plútó Fig. 12. Titius Bode szabályt alátámasztó naprendszerünk bolygóinak orbitális rezonanciája. Megfigyelhető, hogy az arányszámok a Fibonacci sor elemei.

12. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Ugyanígy foglalkozott Kepler is a bolygók egymástól való harmonikus távolságával, amit ő platoni testek egymásba illesztése által tudott modellezni. Fig. 13. Aranymetszés és pythagoraszi hangközök kapcsolata szerkesztéssel A bolygótávolságokkal arányos sugarú koncentrikus körök metszve egy-egy aranymetszéssel szerkesztett spirállal. A metszési pontok sugárirányú kivetítése a befoglaló kör kerületére létrehoz egy helyes hangközű pythagoraszi skálát.(ismeretlen eredetű szerkesztés, jelenleg ellenőrzés alatt) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A Pythagoraszi rendszer TEMPERÁLÁSA: A XV. század után szinte teljesen elvetették a pythagoraszi hangrendszer alkalmazását. Megszűntettek a hangközök eltérő méretű hangközeit és áttértek az oktávnak a 12 egyenlő félhangra történő, ún. temperált felosztására. Ezáltal eltűntek a kristálytiszta arányrenddel együtt az akusztikailag hibátlan hangok is. Ennek az okát érintőlegesen érdemes megértenünk és jelen dolgozatomban meg kell vizsgálnom, hogy kizárólag zenetörténetileg, a használhatóság szempontjai szerint magyarázható meg ez az aránytanilag nem ésszerű minőségrontás vagy valamilyen aránytani összefüggések is indokolták. A hangot láthatóvá tévő fizikai kísérletek közé tartozik a frekvenciáknak elektromágneses oszcilloszkóp képernyőjén való megjelenítése. Az ún Lissajous ábrákat létre lehet hozni galvanométerrel vezérelt lézerrel is. A következő képeken látható az akusztikailag teljesen tiszta pythagoraszi hangközöknek oszcilloszkóp képernyőjéről fotózott ún Lissajous alaki ábrájának geometriai tisztasága és ugyanazon hangköz temperált frekvenciájának a zajosabb, zavarosabb diagramjai közötti különbség:

13. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. NAGYTERC PYTHAGORASZI: NAGYTERC TEMPERÁLT: Fig. 14. Látható, hogy a Pythagoraszi TERC rajza tiszta és szabályosan geometrikus ZÁRT HUROK, ellenben a temperált TERC ( amint a megjelenítéséről készült 2 fázisfotón látható) zavaros. (Ami a fotókon nem látható, csak a kísérletről rögzített videofelvételen érzékelhető, az a tény, hogy a temperált hangköz NEM STABIL, hanem folyamatosan ugrál, pattog és változik a hang TÉRBELI GÖRBÉJE). KVINT PYTHAGORASZI: KVINT TEMPERÁLT: Fig. 15. Látható, hogy a Pythagoraszi KVINT ábrája szabályos és stabil TÉRBELI HUROK, ellenben a temperált KVINT ábrája ( 3 fázisfotón bemutatva) folyamatosan átpördül,instabil, mozgásban van. Érdekes tény, hogy a matematika egyik vadonatúj ága, a hurok elmélet (knot theory) legújabb felfedezései közé tartoznak az ún. topológiák, melyek mátrixokkal meghatározott térbeli hurkok. Általuk új aspektusból vizsgálható a dinamika, és a számoknak!! (Pythagorasz) a 3. és magasabb dimenziókban való mozgása. A mozgásban lévő számok pedig a fenti (Fig.15.) ábrán látható oszcilloszkóppal vizsgált hangközökhöz nagyon hasonló topológiákat, térbeli hurkokat rajzolnak. A matematika legújabb felfedezéseihez tartozik a Riemann hipotézist és Gausshoz köthető számelméleti alapú moduláris áramlást (modular flow), a horociklikus áramlást és a Lorenz hurkokat egy elméletbe egyesítő francia matematikus, Etienne Ghys 2006- ban publikált elmélete. http://www.ams.org/ams/press/ghys-leys-feature-column.html

14. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. (render :Jos Leys) Fig. 16. Térbeli topológia,magasabb dimenziószámú matematikai rendszer képe Fig. 17. Fibonacci számokból alkotott mátrixok térbeli topológiái, melyeket 2-2 egymásba kapcsolódó hurok alkot. Képek forrása:: http://www.dimensions-math.org/dim_reg_e.htm Dimensions Part II. A hasonlóság a tiszta hangolás hangjainak és hangközeinek oszcilloszkópos ábráival nagyon nagy és több lehet mint véletlen. DÚR PYTHAGORASZI: HANGOK:

15. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. A kísérletről készített video elérhető: http://www.youtube.com/watch?v=bhzpvgspx6w&feature=related A temperálás folyamatának zenetörténeti leírása: A középkoron át gyakorlatilag a pythagoraszi rendszer uralkodott. A tercre vonatkozó pythagoraszi arányszámot azonban Franko módosította a XIII. század folyamán, 5/4-re, s így a korábbi konszonanciák (prím, kvart, kvint, oktáv) mellé a terc is felsorakozott 133. Amíg a zenei életben az oktáv terjedelmet meg nem haladó dallamokon volt a hangsúly, apüthagoraszi hangsor, illetve hangrendszer nem került szembe a zenei gyakorlattal. A zenei élet, azenei gyakorlat fejlődése ( hangszeres zene, többszólamúság, zárlatok összecsengése stb.) aztán szükségessé tette újabb hangok bevonását a püthagoraszi hangrendszerbe 134. A XV.-XVI. Században jelentkeztek az első tudósok, akik e hangrendszer bővítését, módosítását, kiigazítását hangoztatták. Ezeket a törekvéseket, általában temperencia vagy temperálás néven szoktuk összefoglalni, az így keletkező hangrendszereket pedig temperált hangrendszerekként említjük. Az egyenlőtlen lebegésű temperált rendszerekben egy hangnemben kielégítően s harmonikusan lehet játszani, a rokon hangnemekben pedig nem hangzik túl hamisan a zene. Az egyenletesen temperált hangsorban a püthagoraszi komma egyformán oszlik meg az oktáv 12 hangközén. Az így képzett félhangok oktávonként 12 teljesen egyforma nagyságúak és a püthagoraszi

16. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. hangrendszerben nem szereplő hangok is alkalmazhatóak. Marsenne francia matematikus 1636-ban közzétett Harmonie Universelle című munkájában javasolta az egyenletes temperálást.az egyenletes temperálás következetes kivitelezője 1691-ben Andreas Werckmeister 136. Az 1680-as évek elején még kivételszámba ment, hogy Pachelbel szvitgyűjteményében 17 hangnemet alkalmazott, Johann Caspar ferdinand Fischer viszont 1715-ben Ariadne musica című sorozatában már éppen Werckmeister temperálásnak igazolására írt 20 különböző hangnemű prelúdiumot és fúgát. 137 Ez a gyűjtemény hangnemi elrendezésével s témáíval serkentőleg hatott az egyenletes temperálás alkalmazásában Johann Sebastian Bach-ra, aki először 1722-ben, majd 1744-ben foglalt állást kétkötetes munkájával, a Wohltemperiertes Klavierral az új hangrendszer mellett. 138 Az egyenletes lebegésű temperálás szükséges voltára vonatkozóan két mozzanatot említünk még meg: ugyanannak a hangnak változását a püthagoraszi rendszerben és a kommák sokféleségét. Hogy mennyire változik vagy kell változnia püthagoraszi alapon egy és ugyanazon hang frekvenciájának, szemléltesse a következő példa. Tételezzük fel, hogy a zenésznek az egyvonalas G-t kell intonálnia. Más-más alapot választva, változni fog a püthagoraszi arány, ennek megfellelően másmás magasságú G-t kell megszólaltatnia az előadónak. Íme a példa számokkal: 139 A G1 hang viszonya az alaphoz Alaphang Alaphang frekvenciája hangköz arány frekvencia C 512 t 5 3:2 768 cisz 533 1/3 sz 5 36:25 768 desz 546 2/15 b 4 25:18 758 14/27 D 576 t 4 4:3 768 esz n n 3 5:4 768 E 640 k 3 6:5 768 F 682 2/3 n 2 9:8 768 F 682 2/3 n 2 10:9 758 14/27 fisz 711 1/9 k 2 16:15 758 14/27 fisz 711 1/9 k 2 25:24 740 20/27 gisz 400 sz 8 15:8 755 asz 409 3/5 n 7 15:8 768 A 428 1/3 k 7 16:9 755 15/27 b 455 1/9 n 6 5:3 758 14/27 H 480 k 6 8:5 768 tízféle kommát ismer. 140 Amint látható, ötféle frekvenciájú G hang fordul elő a jelzett alapokkal, de alapul lehetne venni minden egyes kromatikus félhangot. Frekvencia Előfordulás 755 1 755 15/27 1 755 20/27 1 758 14/27 4 768 8 Az egyenlőtlen lebegés szerint temperált hangrendszerekben további bonyodalmat okoz a kommák többféle fajtájának elütő mérete. A zenetudomány nem kevesebb mint Az egyenlőtlen lebegésű temperált hangrendszer megtartja néhány hangköz fizikai tisztaságát, a többit pedig ehhez alkalmazkodva módosítja. Az egyenletes lebegésű temperált hangrendszer megoldja az előbbi hangrendszerekben lévő különbségeket, az azokból származó, sokszor bonyolult viszonyokat leegyszerűsíti. Melyek az egyenletes lebegésű temperálás előnyei? a) Kiesnek a gyakorlatból a különböző méretű kommák. b) Mivel a félhangok egyenlőek, ez a fajta temperálás nem ismer kétféle félhangot, de ismeretlen benne a kis és nagy egészhang is. Csak egyforma fél-, illetőleg egészhangokat használ. c) Az enharmónia révén az oktáv hangjai 12-re redukálódnak. d) nagy előnye, hogy a nagytercek, nagyszextek és nagyszeptimek nagyobbak az akusztikai hangközöknél. e) Az enharmónia révén a modulációk igen gazdag lehetőségeit tárja fel. Minden hangnemben

17. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. egyformán írhat a zeneszerző, játszhat az előadó a módosítások, kiigazítások a megszokás révén nem zavaróak. f) Fokozza a disszonancia-keresés iránti törkvéseket, utat nyit az atonális zene felé a kromatika nagyobb méretű és következetes alkalmazási lehetőségei révén. g) A püthagoraszi hangrendszerben csak a 2-es és 3-as szám alkotja az arányokat, hatványaival (2 2 = 4, 2 3 = 8, 3 2 = 9 stb.); nem fordul elő 5,7,11. Helmholz elmélete bizonyítja, hogy egy adott hang frekvencia-arányait és felhangjait a 2,3,4,5,6,7 14 alkotja, s a jól hangzók, konszonánsak, a felhangok, nem a püthagoraszi hangsor hangjai. Rameau annak idején éppen a felhangokra alapította nagy jelentőségű harmónia-elméletét, mely hosszú időn át kizárólagos jellegű s jelentőségű volt, s részben napkjainkig is érvényes. h) Messzemenően biztosítja a transzponálás lehetőségeinek kiaknázását. Hátrányai közül megemlítjük, hogy a) az oktáv kivételével nincs abszolút tiszta hangköze, viszont az ún. tiszta kvartnak és tiszta kvintnek a rendszerben a fizikai tisztaságtól való eltérése sokkal csekélyebb, hogysem bármilyen zavart is okozhatna. b) nem kárpótol a dúr hangzatok ideális tisztaságának elvesztéséért. (Helmholz) 141 Benkő András A Bolyaiak zeneelmélete Kriterion könyvkiadó Bukarest 1975 http://vmek.oszk.hu/04800/04814/04814.pdf ------------ Tehát a zenetörténeti nagy hangrendszer váltás (az áttérés a pythagoraszi és diatonikus skála aritmetikailag tiszta és rekurzív arányairól az oktávnak 12 egyenlő részre való felosztására) pusztán zenei alapokon nyugszik és könnyebb használhatósági, gyakorlati érvekre, szempontokra vezethető vissza. Mivel azonban a temperált hangrendszer megjelenése merőben új korszakot nyitott és jelen dolgozat alapvető tematikája az építészethez kötődő aránytan, érdemes röviden áttekinteni a temperált hangrendszer hatását a zene matematikai osztályozási módjaira, különös tekintettel a késő XX. század végi és XXI. századi modern matematika bizonyos diszcíplináira, úgy mint: diszkrét matematika, számelmélet, gráfelmélet, halmazelmélet, hurok teóriák. A felsorolt matematikai ágazatok lehetőségei különösen alkalmasak a zenei összefüggések, hangrendszerek, hangközök multidimenzionális alapon történő ábrázolására, osztályozására és számszerűsítésre, ami egy aránytani vizsgálat során nem elhanyagolható tény. MATEMATIKA A kromatikus kör tulajdonképpen egy olyan geometrikus tér, melyben a kromatikus skálát alkotó12 egyenlő hangközű(temperált) félhang közötti kapcsolatokat lehet modellezni. Bármelyik félhangról indulva félhangonként haladva el lehet jutni egy ugyanolyan (magasabb vagy alacsonyabb) zenei hangig. A kromatikus kör nagyon szemléletesen érzékelteti a félhangos osztásaival a melodikus távolságokat, melyek

18. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. gyakran egyenes arányban vannak a hangszerek húrjainak fizikai távolságaival. Például ha egy zongorán a C hangról a legközelebbi E hangra billentünk, 4 félhangot haladunk, akárcsak a kromatikus körön, óramutató járásával megegyező irányban. Nagyobb hangköz távolságok esetén a körön többször is körbe-körbe lehet haladni. Fig. 19. kromatikus kör és kvintkör A kvintkör kromatikus körbe szerkesztve egy 10-ágú csillagot alkot. Matematikailag a szabályos 10-ágú csillag (dodekagon) matematikailag ún. Petrie polygonja 7 darab magasabb dimenzionális polytopnak, amint a következő ortogonális vetületekből látható: 24-Cell (4D) 6-orthoplex (6D) 6-Hyperkocka (6D) E6 polytop (6D) 1 22 (6D) 7-demikocka (7D)

19. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Kulcsfontosságú eltérés a kromatikus kör és a kvintkör között, hogy az előbbi valójában egy folytonos tér: minden pont a körön megfelel egy elképzelhető hangmagasság és minden elképzelhető hangmagasságnak megfeleltehető egy pont. Ezzel ellentétben a kvintkör alapvetően matematikailag ún. diszkrét struktúra, melyben nem létezik nyilvánvaló lehetőség bármely pontjához hangmagasság osztályt megfeleltetni. Matematikailag: a kromatikus kör és a kvintkör nem homeomorfikusak. Viszont ábrázolni lehet a 12 egyenlően temperált hangközt egy 12-ed rangú ciklikus csoportként vagy ezzel ekivalens módon Z/12Z( modulo12 maradvány) osztályokként. A Z 12 négy darab alkotóval rendelkezik, melyek meghatározhatóak a félhangok és a tiszta kvintek között fel-le mozogva. A félhangok, mint generátorok hozzák létre a kromatikus kört míg a tiszta kvintek a kvintkört. A poszttonális zeneelmélet egyik geometriai alapja a Kűrschák József magyar matematikus által 1898-ban definiált négyzetbe írt 10 ágú csillag elegáns bizonyítása, amire napjainkban is sokan hivatkoznak Kűrschák s Tile néven. A diatonikus csoport elmélet tulajdonképpen egy alosztálya vagy inkább alkalmazása a zenei csoport elméletnek, mely a diszkrét matematika módszerei és megérzései szerint alkalmazza a diatonikus gyűjtemény (diatonic collection) olyan matematikailag definiált tulajdonságait mint a maximális szabályosság ( max. evenness), Myhill tulajdonság, jólformáltság (well formedness), mély skála tulajdonság, szerkezeti többszörösség ( structure implies multiplicity ) és tőváltozékonyság ( cardinality equals variety ). Zeneelmélettel foglalkozó mai tudósok, akik a diatonikus csoport elmélet úttörői Eytan Agmon, Gerald J. Balzano, Norman Carey, David Clampitt, John Clough, Jay Rahn és a matematikus Jack Douthett. A kulcsfontosságú alapelméletek megfogalmazójaként meg kell említeni David Rothenberget, aki először publikálta a Mathematical Systems Theory című munkáját és nem utolsó sorban Erv Wilsont, aki teljesen az akadémiai világon kívül dolgozik. Johnson, Timothy (2003), Foundations of Diatonic Theory: A Mathematically Based Approach to Music Fundamentals, Key College Publishing. ISBN 1-930190-80-8 Balzano, Gerald, "The Pitch Set as a Level of Description for Studying Musical Pitch Perception", Music, Mind and Brain, the Neurophysiology of Music, Manfred Clynes, ed., Plenum Press, 1982. Carey, Norman and Clampitt, David (1996), "Self-Similar Pitch Structures, Their Duals, and Rhythmic Analogues", Perspectives of New Music 34, no. 2: 62-87. Erv Wilson http://www.anaphoria.com/genus.pdf Browne, Richmond (1981). "Tonal Implications of the Diatonic Set", In Theory Only 5, nos. 1 and 2: 3-21 Stein, Deborah (2005). Engaging Music: Essays in Music Analysis. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-517010-5. Ellen Hickmann, Anne D. Kilmer and Ricardo Eichmann, (ed.) Studies in Music Archaeology III, 2001, VML Verlag Marie Leidorf GmbH., Germany ISBN 3-89646-640-2 Kilmer, Crocket, Brown: Sounds From Silence 1976, Bit Enki Publications, Berkeley, Calif. LC# 76-16729. Balzano, Gerald J. (1982). "The Pitch Set as a Level of Description for Studying Musical Pitch Perception", Music, Mind, and Brain, Manfred Clynes, ed., Plenum press. Clough, John (1979). "Aspects of Diatonic Sets", Journal of Music Theory 23: 45-61. Franklin, John C. (2002). "Diatonic Music in Greece: a Reassessment of its Antiquity", Mnemosyne 56.1, 669-702 Gould, Mark (2000). "Balzano and Zweifel: Another Look at Generalised Diatonic Scales", "Perspectives Of New Music" 38/2, 88-105 Johnson, Timothy (2003). Foundations Of Diatonic Theory: A Mathematically Based Approach to Music Fundamentals. Key College Publishing. ISBN 1-930190-80-8. Kilmer, A.D. (1971) "The Discovery of an Ancient Mesopotamian Theory of Music'". Proceedings of the American Philosophical Society 115, 131-149. David Rothenberg (1978). "A Model for Pattern Perception with Musical Applications Part I: Pitch Structures as order-preserving maps", Mathematical Systems Theory 11 199-234

20. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Brower, Candace (2000), " A Cognitive Theory of Musical Meaning, Journal of Music Theory 44 (2): 323 379, doi: 10.2307/3090681 http://www.jstor.org/pss/3090681. Kuèinskas, Darius (2005), " Symmetry in creative work of Mikalojus Konstantinas Éiurlonis, Menotyra 38 (1): 42 46, http://images.katalogas.lt/maleidykla/men51/men_042_046.pdf. HANGTEREK zeneelméleti modelljeinek történeti áttekintése DIMENZIÓSZÁM SZERINT 1 Dimenziós : Egyenes és spirális vonal modellezésű hangterek A legegyszerűbb hangtér modell a 2 dimenziós egyenes vonal. A kezdő alaphang frekvenciáját f egész számmá p lehet alakítani a következő képlettel: Ez egy 12 egyenlő részre (félhangra) osztott vonalat jelent. A zongoraklaviatúrán az egymást követő billenytűk értéke 1, a középső C a 60-as jelet kapja pl. a MIDI rendszerben. A 440 Hz-es A hang, a mai kamarahang 9 félhanggal van a közép C fölött, tehát ebben a hangtérben a taávolságok egyenes arányban megfelelnek a billentyűs hangszerek fizikai távolságaival, az orthografikus távolságokkal a nyugati zenejegyzésben, valamint a zenészeken végzett pszichológiai kísérletek során mért érzés távolságokkal. A rendszer elég rugalmas ahhoz, hogy be lehessen illeszteni microhangokat, melyek nem találhatóak pl. zongorán. ( pl. C (60) és C# (61) közötti közt 60.5 értékkel lehet jelölni. A rendszer egyetlen hibája, hogy lineáris volta miatt nem érzékelteti a speciális kapcsolatot az oktáv, kvint stb. kapcsolatban lévő távolabbi hangok között. Ez a gond vezette M. W. Drobish (1855) and Roger Shepard (1982) zenetudósokat a spirális modell létrehozására. Modelljüket egy henger palástjára tekeredő spirálként alkották meg, oly módon, hogy a henger palástján felvett egyeneseken helyezkednek el az oktáv hangközű hangok. A térbeli spirál geometriája azonban felvet újabb térbeli mérési nehézségeket, valamint olyan hangok egymástól való távolságának meghatározásának mikéntjét, melyek nincsenek rajta a spirálon. M.W. Drobisch (1855) volt az első, aki javasolta a spirál alkalmazását az oktáv ekivalencia és rekurrencia (Lerdahl, 2001) ábrázolására és ugyanakkor a hangtér ábrázolására a kvintspirál modelljével. Shepard (1982) szabályszerűsítette Drobish spirális modelljét és megduplázva azt egy kvintkör körül létrehozta saját melodikus térkép -ét. Michael Tenzer (2000) használta is ezt a modellt a szerinte nem 2:1 oktávaraányú balinéz gamelán zene leírására.

21. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 és 3 dimenziós modellű hangterek Más zeneelméleti tudósok, mint Leonhard Euler (1739), Hermann von Helmholz (1863/1885), Artur von Oettingen (1866), Hugo Riemann (nem összetévesztendő a híres matematikus Bernhard Riemann-nal), és Christopher Longuet-Higgins (1978) két dimenziós (sík) vagy magasabb dimenziós mintákat, rácsokat használtak a hangtér modellezésére. Ezeket hanghálónak, Tonnetz-nek nevezték. A Tonnetz modellben az egyik koordináta a tiszta kvinteket, míg a másik a nagyterceket jelöli. Variációk is előfordulhatnak, mikor az egyik tengely kisterceket jelöl. Harmadik dimenzió is megengedett, ami evidens módon az oktávokat jelölte. A#3 E#4 B#4 FX5 CX6 GX6 F#3 C#4 G#4 D#5 A#5 E#6 D3 A3 E4 B4 F#5 C#6 Bb2 F3 C4 G4 D5 A5 Gb2 Db3 Ab3 Eb4 Bb4 F5 Ebb2 Bbb2 Fb3 Cb4 Gb4 Db5 Fig. 20. 2 dimenziós Tonnetz modell Az összes modell fő szemléltetési célja annak a ténynek a bemutatása, hogy az akusztikailag tiszta hangközök, mint az oktáv, kvint, nagyterc érzékelés szempontjából szorosan összetartoznak, annak ellenére hogy a közelség ezekben a rendszerekben már nem arányos a hangszereken fogható fizikai távolságokkal, közökkel. Pl. egy hegedűhúron kis ujjmozdítással létrehozható szomszédos hang ebben a rendszerben nagyon távol kerülhet a húron tapasztalható szomszédjától, emiatt nehezebb elképzelni egy koherens hangrendszert.

22. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Magasabb dimenzionális modellű hangterek A matematika fejlődésével és a magasabb dimenziók definiálhatóságának megjelenésével egyidőben elkezdett fejlődni a polidimenzionális teóriákra alapozott poszttonális tudományos zeneelmélet is. Pár éve nagy mutatták be Clifton Callender ( Florida State University), Ian Quinn ( Yale University) and Dmitri Tymoczko (Princeton University) zenetudósok a Geometrical Music Theory nevű 4 dimenziós rendszerüket, melynek alapja egy 3dimenzióban rombikus dodekaéder megjelenésű Bilinski 12 típusú 4 dimenziós hyperkocka vagy 24- Cell. Fig. 21. Tymocko vetített előadásán készült fotó, a rombikus dodekaéder 3D modellje és a geometrikus zene teória másik modellje, melyben a hangok tulajdonságait színekkel is elkülönítik. Franklin, John Curtis, (2002). Diatonic Music in Ancient Greece: A Reassessment of its Antiquity, Memenosyne, 56.1 (2002), 669-702. Lerdahl, Fred (2001). Tonal Pitch Space, pp. 42 43. Oxford: Oxford University Press.. ISBN 0-19-505834-8 Mathieu, W. A. (1997). Harmonic Experience: Tonal Harmony from Its Natural Origins to Its Modern Expression. Inner Traditions Intl Ltd. ISBN 0-89281-560-4 Tenney, James (1983). John Cage and the Theory of Harmony. Tenzer, Michael (2000). Gamelan Gong Kebyar: The Art of Twentieth-Century Balinese Music. Chicago: University of Chicago Press.ISBN 0-226-79281-1 Cohn, Richard. (1997). Neo Riemannian Operations, Parsimonious Trichords, and Their "Tonnetz" representations. Journal of Music Theory, 41.1: 1-66. --------------------------------------------------------------------------------------------------------- A PYTHAGORASZI KOMMA A zenei hangolásban a pythagoraszi vagy diatonikus komma egy olyan mikrotonális hangköz, mely a pythagoraszi apotoma és a pythagoraszi limma hányadosaként definiálható A kapott hangköz 23.46 cent (kb. negyed félhang ).

23. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Kvintkör és enharmonikus változás A pythagoraszi vagy diatonikus kommát úgy is meg lehet határozni, mint az eltérést 7 darab 2:1 arányú oktáv és 12 darab tiszta kvint által alkotott kvintkör között. KVINT Hang KVINT Hangköz aránya ARÁNY tizedessel C 0 1 : 1 1 G 1 3 : 2 1.5 D 2 9 : 4 2.25 A 3 27 : 8 3.375 E 4 81 : 16 5.0625 B 5 243 : 32 7.59375 F 6 729 : 64 11.390625 C 7 2187 : 128 17.0859375 OKTÁV Hang OKTÁV Hangköz aránya C 0 1 : 1 C 1 2 : 1 C 2 4 : 1 C 3 8 : 1 C 4 16 : 1 C 5 32 : 1 C 6 64 : 1 C 7 128 : 1 G 8 6561 : 256 25.62890625 D 9 19683 : 512 38.443359375 A 10 59049 : 1024 57.6650390625 E 11 177147 : 2048 86.49755859375 B ( C) 12 531441 : 4096 129.746337890625 Fig. 22. Hét oktávban 12 kvintből alkotott kvintkör különbsége a pythagoraszi komma Érdekesség: Kínai matematikusok, mint Huainanzi (K.e. 122) és Ching Fang ( K.e.50) felfedezték, hogy ha a kvintkört 12 kvintről folytatják 53 darabig, akkor az 53. kvint egyik hangja és a neki megfelelő 1. hang közötti különbség kisebb lesz, mint a pythagoraszi komma. Ezt a sokkal kisebb hangközt Mercator kommának nevezik. A további kommák tárgyalása jelen aránytani dolgozat keretei közé nem fér be. --------------------------------------------------------------------------------------------------

24. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. A LÁTHATÓVÁ TETT HANGOK Mivel jelen DLA dolgozat tematikája egy összehasonlító kutatás, melynek mindkét pólusa, úgy az aranymetszés, mint a zenei hangok egy nevezetesen arányos rendszere, a pythagoraszi hangsor, fizikailag nem mérhető ugyanolyan közegben. Triviálisan közelítve a témához a posteriori az aranymetszés arány mérhető vonalzóval és szerkeszthető 2 dimenzióban, míg a zene nem. A zenét is meg lehet örökíteni 2 dimenzióban, azaz kottázni, ám a papírlap, rajta a hangjegyekkel még nem képes kifejteni azt a sokak által vizsgált, misztifikált és istenített hatást, ami a partitúrából hangszerekkel megszólaltatott hangok sora, azaz maga a zene fejt ki érzelmileg a zenét hallgató, halló ember tudatalattijára. Hatásmechanizmusa spirituális szinten hat és kivédhetetlen, ám a hatásának az oka a hangok rendjének arányaiban van, ahogyan a szintén harmónia érzete kiváltó univerzális arányossági szabálynak, az aranymetszésnek. A két a priori, megfoghatatlan jelenség között a matematika számszerűsége mutat kizárólag egy használható átjárót. Nagyon kevés olyan fizikai kísérlet létezik, amely a hangokat láthatóvá teszi és gyakorlatilag egyetlen egy, mely a hangokhoz valamilyen mintázatot rendel a frekvencia függvényében. Ernst Chladni XVIII. Századi zenész és fizikus 1787-ben felfedezte, hogy ha egy fémlapra finom port szór (pl. só vagy gipsz) és a szélénél vonóval rezgésbe hozza a fémlapot, a por a rezgéstől függően különleges mintákba rendeződik a lapon. Korábban már Galileo Galilei is értekezett a jelenségről 1632-ben. Napjainkban jobb felszereltségű fizika szakokon szertári kellék a Chladni jelenség tanulmányozására szolgáló felszerelés és nyilván a rezgéseket már nem vonó segítségével, hanem a lemez alá helyezett állítható frekvenciájú hanggenerátorral gerjesztik. A minták különlegessége, hogy a rezgéseknek megfelelően folyamatosan alakulnak egyik típusból a másikba. Ha a rezgés skálaszerűen és lineárisan változik, a minták rajzfilmszerűen morfolódnak egymásba. A felfedezője után Chladni mintáknak elnevezett jelenséggel az angolul cymatics -nak nevezett, a hullámelmélethez kötődő altudományág foglalkozik, mely a fizikai úton láthatóvá tett a hangok és rezgések tudománya. A megnevezést először svéd fizikus Hans Jenny svéd fizikus használta az 1967-ben megjelent Kymatik című könyvében. Napjainkban Alexander Lauterwasser fotográfus örökített meg tudományos pontossággal Chladni képeket. http://www.youtube.com/watch?v=stfijobfzyu&feature=related De meg kell említeni Randy Jones fizikus felvételeit is: http://www.vimeo.com/1845772 Mivel a minták legegyszerűbb formájukban kb. 180-200 Hz környékén kezdenek kirajzolódni és kb. 4000 Hz környékéig még értelmezhetőek egyre bonyolultabb szövetű mintázottságukban (a szemcsefinomságtól és fémlap nagyságától függően), kimondható, hogy a kísérlet frekvenciatartománya lefedi az emberi énekhang spektrumát és a lényegesen használt zenei hangtartományt. (férfihang: 192 633 Hz / női énekhang: 576-1720 Hz). A Chladni minták jellege jelentősen függ attól, hogy a kísérleti fémlemez kör formájú vagy négyzetes, valamint attól is, hogy a rezgéseket gerjesztő hangszóró a lemez melyik területe alá lett elhelyezve. Ami azonban közös az egyes kísérletek eltérő mintacsaládjai között az az a tény, hogy a minták ciklikusan változnak és egyre összetettebbekké válnak, ám nem öntörvényűen, hanem bizonyos megfigyelhető mintatípusok ismétlődése és többszöröződése révén. Az egyes mintacsaládokon belüli mintatípusokat alapvetően a következő fő csoportokba oszthatjuk:

25. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. A.) egy tengelyre szimmetrikus minta: ------------------------------------------------------------------------------------------------- 90.) függőleges tengelyre szimmetrikus 45.) 45 fokos tengelyre szimmetrikus vagy átlós mintájú B.) több tengelyre szimmetrikus minta ------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.) 2 szimmetria tengelyű

26. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. n.) több (n=3,4, 32) szimmetria tengelyű C.) aszimmetrikus (átmeneti) minta A Chladni minták átmeneteinek sorában jellemzően az A. és B. csoportba tartozó szimmetrikus minták sokkal kevesebbszer és rövidebb ideig ( szűkebb frekvenciatartományban) jelennek meg, mint a C. csoportba tartozó aszimmetrikus minták. A SZIMMETRIKUS és Aszimmetrikus minták láthatósági időtartamának eloszlása a teljes mintavétel idejére vonatkoztatva kb. 10 90 % arányú. Kutatásaim szerint a mai napig még nem készült olyan összehasonlító tanulmány vagy kísérlet, melynek során megvizsgálták volna, hogy a zenei skála kiemelt hangfrekvenciáinak (azaz egész és félhangjainak) milyen Chladni mintázata van és tapasztalható-e valamilyen törvényszerűség a zenei hangok frekvenciatartományának közelében, ezért jelen munkám keretein belül megvizsgáltam a pythagoraszi zenei skála 4 oktávjának frekvenciáit (7.oldal Fig.5.) Az állóképes mintavételezésem két fő szempontja volt a C=32 Hz-es alaphagról induló régi ( 428 1/3 Hz es A hangú) természetes hangsor hangjai környezetének vizsgálata, illetve a Chladni minták végtelen változékonyságának sorából kiemelni azokat a frekvenciákat, mikor az A. vagy B. szimmetriacsaládba tartozó alakzat megjelenik.

27. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10.

28. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Fig. 23. Chladni minták képei az első oktávon belül 128-256 Hz

29. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Fig. 24. Chladni minták képei a második oktávon belül 256-512 Hz

30. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Fig. 25. Chladni minták képei a harmadik oktávon belül 512-1024 Hz A táblázatokon látható Chladni 4,2,1 mintacsaládok három eltérő kísérlet videófelvételéből történt mintavétel képeit tartalmazza. A Chladni 4 kerek fémlemezen készült, míg a másik kettő négyzetes formájún, eltérő pozícióból gerjesztve. Ami már most is látható, hogy a természetes skála egész és félhangjainak közelében radikálisan változik a minta jellege. Vagy a mintatípus vált át A vagy B szimmetria csoportúra vagy egy egy újabb sugárirányú szimmetriatengely jelenik meg (Chladni 4). A Chladni mintázatok egyes hangokhoz kötődő értékelését és a fenti vázlatos táblázatok áttekinthetőbbé tételét a következő félévben igyekszem befejezni és a levonható következtetéseket összegezni.

31. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Fig. 26. Chladni minták képei a negyedik oktávon belül 1024-2048 Hz

32. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. Az F Hang érdekességei: 1./ Az egyetlen hang, melyet az alaphangból egy kvinttel lefelé kell származtatni. 2./ Az egyetlen hang,melynek az arányszámának kitevőjében ( 4:3) a 2 szerepel és nevezőjében a 3 hatványa. Az összes többi egész hangban a 3-as hatványai vannak a nevezőben (9:8,81:64, 3:2,27:16, 243:128). 3./ Az F hang mellé esik a skálára szerkesztett aranymetszés aránypontja. 4./ Az E-F félhang közben törik a dúrskála 2 ½ 3 ½ arányban kvint és kvartra. Erre a jelenségre (az önmagába visszaérő kvintkörre és az oktávok hosszának duplázódásra, valamint az oxigán, nitrogén, hidrogén és szén atomok számainak a zenei rendszerben való többszöröződései szabályszerűségeire építette fel Georges Ivanovich Gurdjieff ez teljesen egyedi univerzum modellt a téridő magyarázására a Negyedik t Nevű spirituális tanában, melyeket Rudolf Steiner antropozófiai kutatásainak spirituális színvonalával egyenértékűeknek aposztrofálnak. (Ouspensky: Egy titkos tanítás töredékei Püski 2006) 5./ R.G. Paddler talánya: Ha a 12 hangú skála hangjainak betűsorát ismételten egymás mögé másoljuk, egy végtelen, repetitív betű (hang)szőnyeget kapunk. Ha ebből a végtelen sorozatból kiemeljük a Fibonacci sor értékei szerinti sorszámú ( az 1., 2., 3., 5., 8., 3., 21., 34., stb.) tagokat, akkor a 24. elem után ismétlődni kezd a szekvencia, egészen a végtelenségig. A 24 hang között csak az F hang nem fordul elő. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- DISTANCIA elvű hangsorok Aranymetszés arány Bartók és Kodály zenéjében Kitüntetett figyelmet érdemel Bartók Béla és Kodály Zoltán hangrendszere, melyekben nagy szerepe volt az aranymetszés aránynak. Ismeretes, hogy sok partitúrája és több fő műve is az aranymetszés arány szerint komponáltatott (pl. Zene húrosokra, ütősökre és celesztára ). Lendvai kimutatta, hogy a Zene ún piramis fúgájának arányai a Fibonacci számsorral egyeznek. A teljes mű pl. 89 egységre osztható. A csúcspont - ahol a pianissimóból a legintenzívebb dinamikai fokra, fortissimora érkezik a zene, s a kezdő a -tól a poláris esz ig jut az 55. egységre esik. A con sordino (hangfogóval) utasítást Bartók a 34. ütemben oldja fel először, s a 69.-ben (55+13 után!) állítja ismét helyre. A további belső

33. oldal Muzsai István :Aranymetszés és pythagoraszi zenei hangközök DLA II. Építész MOME Budapest 2010. 01. 10. tagolódás is a Fibonacci számsor rendjét követi. Figyelemre méltó összefüggés az is, hogy az emelkedő tagban a hosszabb szelet áll elő (34+21), míg az aláhajló tagban a rövidebb megelőzi a hosszabbat (13+21): így a csomópontok a kulmináció felé néznek - mint Lendvai írja. A zenei alapvető építőelemek, mint például egy hangsor vagy hangkészlet származtatása sokféleképpen lehetséges. Vannak fizikai-akusztikai, matematikai módjai. Mindegyik működik, jól leírják a hangokon belül tapasztalható törvényszerűségeket, azonban ezek ismerete nem juttatja közvetlenül kifejezésre a természethez, az univerzumhoz való metafizikai kapcsolatukat. Ehhez ismét csak Bartók és Kodály járt legközelebb, amikor felismerve a természet egységében a részek és az egész analógiáját, tudatosan elkezdték alkalmazni az aranymetszés, a distancia, vagyis hangtávolságok matematikáján alapuló hangrendszerüket mint a zene kifejezési síkjának egyik pólusát. Lendvai Ernő remek könyvet írt erről Kodály és Bartók harmóniavilága címmel. Ebben fogalmazódik meg először a kromatika, a diatónia és a pentatónia mint három különböző, de egymásba tartozó hangi vonatkoztatási rendszer elnevezése. Pontosabban a zenei kifejezés tonális síkján a kromatika képezi az egyik pólust, a diatónia a másik pólust, és a kettő között találjuk a pentatóniát. Zenéjük is kifejezte ezt. A tonális és atonális világ között lebegő harmóniavilágukat a pentatónia kristályos tisztaságú tengelye fűzte egybe. Ezt a tengelyt a tiszta pentatonikus népzenében fedezték fel és innen kölcsönözték. Polaritás fedezhető fel a félhang egészhang félhang szerkezetű tengelyrendszerű hangsorok tonális feszültségszerkezetében. Ezekben vagy Tonikai és Domináns hangok, vagy Szubdomináns és Tonika, vagy pedig Szubdomináns és Domináns funkciók váltják egymást. A polaritás elve megtalálható a pentatóniában is, ahol csak Tonikai és Antitonikai hangok találhatók. A diatóniában is létezik a polaritás elve, de itt másként. Az egy oktávon belül elhelyezkedő 7 hang a kvintkörben kifejezett funkcióknak megfelelően felváltva tartalmazza a háromféle feszültségállapotot. Ez a vegyes feszültségviszony további két pólust képez a hangsoron belül. A polaritásuk ekkor a skála alsó és a skála felső felében testesül meg. Ezt a fél hangsort tetrachordnak is nevezzük. A két tetrachord kölcsönösen értelmezi egymást. A tetrachordikus analízis lehetővé teszi, hogy a különleges hangsorok mibenlétét is felfedezhessük. Vannak bizonyos hangsorok, melyek tökéletes szimmetriát valósítanak meg. A két fél hangsor gyakran tükörképe egymásnak. Ilyenek pl. a Dór, Lyd az ismertebb európai hangsorok között, vagy az indiai Bhairav a távol-keleti hangsorok között. Ezekből persze nagyon sokféle létezik. Ha visszatérünk a Bartók és Kodály által felvázolt összhangzattanra, ott pregnánsan jut érvényre a polaritás elve. Ők alkalmazták először teljes és tudatos struktúrában az úgynevezett kétrétegű akkordokat. Ezek minimum négyeshangzatok voltak, melyeket később Lendvai Ernő, megfelelő terminus technicus híján a görög abc betűinek nevei után alfa, béta, gamma stb. névvel jelölt. Ezekben a hangzatokban az alsó és a felső rétegben is két-két hang feszül egymásnak a tengelyrendszer vonzástörvényei szerint. Az Alfa harmónia szerkezete nem a tercépítkezés hagyományos összhangzattanát követi. Bartók harmóniáinak alapja Fibonacci-számsor, mely az aranymetszés matematikai elvét követi. Ebben a rendszerben a kvantum, vagyis az alapegység a kromatikus rendszer félhangtávolsága. A Fibonacci-számsor szerint alkotott hangközök és az ezeket tonálisan ütközésbe hozó elv valósítja meg a harmónia és a dallam egy teljesen új, modern rendszerét. Bartók aranymetszésű összhangzattana nem mesterségesen létrehozott elv, hanem a természeti törvényeknek engedelmeskedő rendszer, mely valójában lassanként, évszázadok alatt fejlődött, vagy talán helyesebb, ha úgy fogalmazok, évszázadok alatt jutottunk el a felismeréséhez. Bartók rendszerében a számsor alsó része alkalmas a hangközök és harmóniai struktúrák leírására, míg a nagyobb számok a zene formai felépítésére alkalmasabbak. Ez a rendszer tökéletes középút a diatónia és a dodekafónia között. Az így létrehozott harmóniában a hangok által kirajzolt feszültségminta a polaritásuk elvén fejeződik ki zenei, harmóniai érzékletben. És innentől kezdve Bartók zenéje közvetlenül is vizsgálható metafizikai vonatkoztatási rendszer alapján. Szabó Sándor: A zene metafizikája, A zenei érzékelés a poláris valóságban, 2000 ---------------------------------------------------------------------------------------------------