Bevezetés 2 Aggregált terv készítése (esettanulmány) 3 Megoldás 3 Zéró raktárkészlet stratégia 4 Állandó munkaerőszint stratégia 5 Az optimális megoldás lineáris programozással 6 Aggregált termelési terv összeállítása 8 Megoldás 10 Érzékenységvizsgálat 12 Erőforrás árnyékára 12 Az E 1 erőforrás árnyékára, és annak érvényességi tartománya: 12 Az E 2 erőforrás árnyékára, és annak érvényességi tartománya: 13 A célfüggvény együtthatóinak érzékenységvizsgálata 13 Termelési program tervezése (Esettanulmány) 15 Termelési program tervezésének megoldása 17 Eredmény 18 1
Bevezetés Az aggregált (összevont) termeléstervezés fogalma azt jelenti, hogy egy adott vállalat teljes termék ill. szolgáltatás palettáját egyszerre vizsgáljuk. Ennek során megpróbáljuk a rendelkezésre álló összes erőforrást úgy elosztani a gyártandó termékek és nyújtandó szolgáltatások között, hogy a lehető legnagyobb hasznot érjük el, ugyanakkor minden igényt maradéktalanul elégítsünk ki. Ez egy ún. optimalizálási probléma, melynek során több lehetséges megoldás közül a lehető legjobbat választjuk ki. Alapfeltétel hogy a változók között lineáris kapcsolat legyen. Nem lineáris kapcsolat megléte a megoldást nem teszi ugyan lehetetlenné, de nagyon megnehezíti. További érv, hogy egy lineáris kapcsolat a függvény két ismert pontja alapján adottnak tekinthető, míg nem lineáris kapcsolat esetén magát a függvényt is igen fáradságos lehet előállítani. Így még mindig kisebb hibát követünk el, ha egy egyébként jó közelítéssel lineárisnak tekinthető összefüggést egyszerűen lineárisnak tekintünk, és gyorsan, egyszerű módszerekkel jó megoldásokat számíthatunk ki. Ellenkező esetben nagyon sok számítás eredménye egy alig pontosabb eredmény megállapításához vezet. Az itt tárgyalandó lineáris optimalizálási modell az alábbi fő elemekből épül fel: 1. Célfüggvény Ez az a lineáris függvény, aminek az elérhető legjobb értékét szeretnénk kiszámítani. Vagy a függvény lehetséges maximumát keressük (pl. árbevétel, jövedelem, stb.), vagy lehetséges minimumát (pl. költség, átfutási idő, stb.) 2. Korlátozó feltételek Ebben a tömbben gyűjtjük össze azokat a feltételeket (ált. gyártási feltételnek hívjuk a termelési feladatok során), melyek a különböző gépek kapacitását és a különböző alkatrészek ill. termékek gyártási idejét és egyéb erőforrás szükségletét fejezik ki. 3. Piaci feltételek Általában kétféle piaci feltételtípussal találkozunk a leggyakrabban. Egy ún. minimum típussal, ami azt fejezi ki, hogy egy adott termékre mennyi visszaigazolt megrendelésünk van, amit akkor is le kell gyártanunk, ha közben a termék jövedelmezőségi viszonyai esetleg drasztikusan romlottak és szívünk szerint nem gyártanánk már azokat. Ez tehát egyfajta kötelezettség. 2
Másik eset, amikor pl. a marketinges kollégáink egy értékesíthető maximumot jeleznek előre, aminél többet gyártani tiszta erőforrás-pazarlás, hiszen úgysem tudjuk értékesíteni. Az alábbi mintapélda bemutatja, ugyanazon feladat megoldását két eltérő megközelítési elv alapján. Láthatjuk, hogy ha logikusan próbáljuk is végiggondolni és megoldani ezt a feladatot, sok lehetséges megoldás közül választhatunk. Első ránézésre nem is tudjuk eldönteni, hogy melyik lenne a legjobb. Aggregált terv készítése (esettanulmány) Egy hajtóműveket összeszerelő üzem a következő év első hat hónapjára készíti el az aggregált termelési tervet. Az előre jelzett igény az alábbi táblázatban látható: HÓNAP MUNKANAPOK SZÁMA ELŐRE JELZETT IGÉNY Január 20 1280 Február 24 640 Március 18 900 Április 26 1200 Május 22 2000 Június 15 1400 Jelenleg (az év végén decemberben) 300 dolgozót alkalmaznak az üzemben és az év végi raktárkészlet 500 db. A június végi raktárkészletet az igény várható növekedése miatt 600 db ra szeretnék beállítani. Egy munkás felvétele a betanítási és egyéb adminisztrációs költségek miatt 50.000 Ft-ra becsülhető. Ugyanakkor az elbocsátás költsége 100.000 Ft egy főre. A készlettartási költség átlagosan 8.000 Ft darabonként egy hónapra. Tapasztalati érték, hogy egy 22 munkanapos hónapban, 76 munkás, 245 db. terméket szerelt össze (Kapacitás = 245/76/22 = 0,1465 db/fő/hó). Készítsünk termelési terv változatokat! Megoldás Több különböző stratégiát választhatunk, melyek közös nevezője, hogy mindegyikkel a lehető legalacsonyabb összköltséget szeretnénk elérni. Az alábbi táblázatok néhány lehetséges stratégia adatait tartalmazzák. 3
Zéró raktárkészlet stratégia A B C D E Hónap Munkanapok száma Egy munkás által összeszerelt termék Előre jelzett nettó igény A munkások minimális száma Január 20 2,931 780 267 Február 24 3,517 640 182 Március 18 2,638 900 342 Április 26 3,810 1200 315 Május 22 3,224 2000 621 Június 15 2,198 2000 910 A B C D E F G H I Hónap Munkások Felvétel Elbocsátás Elkészült Gyártott Kumulált Kumulált Készlet száma termék/fő menny. termelés igény Január 267 33 2,931 783 783 780 3 Február 182 85 3,517 640 1423 1420 3 Március 342 160 2,638 902 2325 2320 5 Április 315 27 3,810 1200 3525 3520 5 Május 621 306 3,224 2002 5527 5520 7 Június 910 289 2,198 2000 7527 7520 7 Összesen 755 145 30 A stratégia költsége: 755*50.000 + 145*100.000 + (30+600)*8.000 = 57.290.000 Ft. 4
Állandó munkaerőszint stratégia A B C D Hónap Kumulált nettó igény Egy munkás által összeszerelt kumulált Minimális munkaerő igény (B/C) mennyiség Január 780 2,931 267 Február 1420 6,448 221 Március 2320 9,086 256 Április 3520 12,896 273 Május 5520 16,120 343 Június 7520 18,318 411 A B C D E F Hónap Egy munkás által Havi gyártott Kumulatív Kumulált Készlet összeszerelt termék mennyiség termelés nettó igény Január 2,931 1205 1205 780 425 Február 3,517 1445 2650 1420 1230 Március 2,638 1084 3734 2320 1414 Április 3,810 1566 5300 3520 1780 Május 3,224 1325 6625 5520 1105 Június 2,198 903 7528 7520 8 Összesen 5962 A stratégia költsége: (411-300)*50.000 + (5962+600)*8.000 = 58.046.000 Ft. 5
Az optimális megoldás lineáris programozással A modellben az alábbi változókat használjuk: A t E t I t P t M t a t ik hónapban felvett dolgozók száma, a t ik hónapban elbocsátott dolgozók száma, a t ik hónap végi raktárkészlet, a t ik hónapban gyártott mennyiség, a munkások száma a t ik hónapban. A célfüggvény: Min 50.000* 6 t= 1 6 6 At + 100.000* Et + 8.000* It t= 1 t= 1 A létszámra vonatkozó mellékfeltételek: Létszám az 1. hónapban: M 1 M 0 = A 1 E 1 M 1 M 0 A 1 + E 1 = 0 Létszám a 2. hónapban: M 2 M 1 = A 2 E 2 M 2 M 1 A 2 + E 2 = 0 Létszám a 3. hónapban: M 3 M 2 = A 3 E 3 M 3 M 2 A 3 + E 3 = 0 Létszám a 4. hónapban: M 4 M 3 = A 4 E 4 M 4 M 3 A 4 + E 4 = 0 Létszám az 5. hónapban: M 5 M 4 = A 5 E 5 M 5 M 4 A 5 + E 5 = 0 Létszám a 6. hónapban: M 6 M 5 = A 6 E 6 M 6 M 5 A 6 + E 6 = 0 Az igényre vonatkozó mellékfeltételek: Igény az 1. hónapban: P 1 I 1 + I 0 = 1.280 Igény a 2. hónapban: P 2 I 2 + I 1 = 640 Igény a 3. hónapban: P 3 I 3 + I 2 = 900 Igény a 4. hónapban: P 4 I 4 + I 3 = 1200 Igény az 5. hónapban: P 5 I 5 + I 4 = 2000 Igény a 6. hónapban: P 6 I 6 + I 5 = 1400 A termelésre vonatkozó mellékfeltételek: Termelés az 1. hónapban: P 1 = 2,931*M 1 P 1 2,931*M 1 = 0 Termelés a 2. hónapban: P 2 = 3,517*M 2 P 2 3,517*M 2 = 0 Termelés a 3. hónapban: P 3 = 2,638*M 3 P 3 2,638*M 3 = 0 6
Termelés a 4. hónapban: P 4 = 3,810*M 4 P 4 3,810*M 4 = 0 Termelés az 5. hónapban: P 5 = 3,224*M 5 P 5 3,224*M 5 = 0 Termelés a 6. hónapban: P 6 = 2,198*M 6 P 6 2,198*M 6 = 0 Kezdeti feltételek: Induló létszám: M 0 = 300, Induló készlet: I 0 = 500, Záró készlet: I 6 = 600, A változók nem lehetnek negatívak: A 1,,A 6 0; E 1,,E 6 0; I 1,,I 6 0; P 1,,P 6 0; M 1, M 6 0 Az optimális stratégia eredménye az alábbi táblázatban látható. A B C D E F G H I Hónap Munkások Felvétel Elbocsátás Elkészült Gyártott Kumulált Kumulált Készlet száma termék/fő menny. termelés igény Január 273 27 2,931 800 800 780 20 Február 273 3,517 960 1760 1420 340 Március 273 2,638 720 2480 2320 160 Április 273 3,810 1040 3520 3520 0 Május 738 465 3,224 2379 5899 5520 379 Június 738 2,198 1622 7521 7520 1 Összesen 465 27 900 Az optimális stratégia költsége: 465*50.000+27*100.000+(900+600)*8.000 = 37.950.000 Ft. 7
Aggregált termelési terv összeállítása A termeléstervezés során felhasznált összefüggéseket lineárisnak tételezzük fel, ami jó közelítéssel igaz is. Hiszen ha kétszer annyi alkatrészt akarunk egy adott gépen megmunkálni, vagy legyártani, akkor értelemszerűen kétszer annyi gépidőt fogunk felhasználni. Ha kétszer annyi terméket értékesítünk, akkor az árbevételünk is kétszer akkora lesz. Bármely új termékösszetétel meghatározásához az alábbi információkra van szükségünk a következő csoportosításban. 1. táblázat tartalmazza a termékek vagy szolgáltatatások és az előállításukhoz szükséges, illetve felhasznált gépek, berendezések közötti mennyiségi kapcsolatot. Ez az alábbi mátrix soraiban jelenik meg. Termék 1 Termék 2 Kapacitás (gépóra/ hó) Erőforrás 1 (gépóra/db) 1 1 1200 Erőforrás 2 (gépóra/db) 1 2 1600 A táblázatból először az derül ki, hogy két termékből álló termékstruktúránk előállításához két gépre van szükségünk, mégpedig úgy, hogy mindkét terméket mindkét gépen meg kell munkálni. A sorok mindig egy adott gép és az összes termék közötti kapcsolatot jelentik. Az első sor azt jelenti, hogy az első gépen 1 órányi megmunkálási időt igényel az első termék, és szintén egy órányit a második termék. Az utolsó oszlop jelentése a rendelkezésre álló összes kapacitás, ami az első sor szerint az első gépnél 1200 gépóra. Ez a kapacitás mindig egy adott időszakra értelmezett, esetünkben pl. egy hónapra. Azaz egy hónap során az első gép 1200 gépórát (vagy üzemórát) dolgozhat, mégpedig úgy hogy egy darab Termék 1 előállításához 1 gépórányi mennyiséget használunk fel az 1200 gépórából. Ugyanígy 1 db Termék 2 gyártása során szintén egy gépórányi mennyiséget használunk fel ugyancsak az első gép összes kapacitásából. Ebből egyébként kiderül, hogy egy hónap alatt 1200 darab Termék 1 - et vagy 1200 db Termék 2 -t gyárthatunk. Amennyiben mindkettőből szeretnénk gyártani, akkor ezt az 1200 gépórát tetszésünk szerint oszthatjuk fel a két termék között. Ugyanezt a gondolatmenetet követhetjük a második sor esetén. A második gépünk, amit az egyszerűség kedvéért csak Erőforrás2 nek neveztünk el, szintén mindkét termékünk előállításához szükséges. 8
Az első termék gyártásához egy gépórányit használunk fel belőle, míg a második termékhez 2 gépórányi szükséges, és összesen 1600 gépórányi kapacitásunk van ebben a hónapban. Második adatcsoport, amire szükségünk lehet, a már említett piaci információk szintén táblázatos formában megadva. Példánkban ez a következő lesz: Termék 1 (db/hó) Termék 2 (db/hó) X min (Legalább ennyit kell gyártani) 200 100 X max (Legfeljebb ennyit érdemes gyártani) 1000 - Ebben a táblázatban az első sor (X min ) azt mutatja, hogy az adott termékből mennyi az a minimális mennyiség, amit le kell gyártani függetlenül attól, hogy megéri-e vagy nem. Ilyen eset áll elő, ha már előre lekötött vagy visszaigazolt mennyiségről van szó, de a gyártás előtt pl. az alapanyag árának emelkedése lerontja a termék jövedelmezőségét, azaz szívünk szerint nem gyártanánk többet. A második sor (X max ) azt jelenti, hogy ennél a mennyiségnél többet nem érdemes gyártani, még ha lenne is rá kapacitásunk, mert az efölötti mennyiséget nem tudjuk értékesíteni. A harmadik táblázat a termékeink illetve szolgáltatásaink jövedelmezőségi viszonyait tartalmazza. Példánkban ez a következő lesz: Termék 1 (db/hó) Termék 2 (db/hó) f (Ft/db) 180 290 A fenti táblázat milyen pénzügyi információt tartalmazzon? Legfontosabb feltétel, hogy a gyártott termékek darabszámával egyenesen arányos legyen, azaz kétszer annyi termék értékesítése kétszer annyi bevételt jelentsen. Ez, pl. az egységár alkalmazása esetén teljesül. Ugyanakkor azt is figyelembe kell venni, hogy a termék eladási ára nem egyenesen arányos a termék jövedelmezőségével. Egy drágább termék lehet kevésbé jövedelmező is, ha bonyolult és drága megmunkálási folyamatokon megy keresztül, melyek nem teszik lehetővé nagyobb haszonkulcs alkalmazását. Ezért mi a fajlagos fedezetet tekintjük a legfontosabb jövedelmezőségi mutatónak. Ezt az alábbi módon kaphatjuk meg. A termék árából levonjuk az összes változó költséget, melyek a termék gyártása során felmerültek. 9
Ezek a költségek a szükséges alapanyagok, a megmunkálási költségek egy része (pl. darabbér), csomagolóanyag költségei, és minden egyéb költség, ami közvetlenül az adott termékféleség egységnyi mennyiségéhez rendelhető. Az így kapott mennyiséget nevezzük fedezetnek, és ez szintén egyenesen arányos a termékből gyártott mennyiséggel. Miért tükrözné ez jobban a termék jövedelmezőségét? Azért, mert amely terméknél nagyobb a fedezet (= az ár változó költség) az annál jobban járul hozzá a gyártás során felmerülő egyéb költségekhez, illetve azok teljes fedezése után a nyereséghez. Mindezen információk közül feltétlenül szükségünk van az első táblázatra, amelyben az erőforrásaink és termékeink közötti kapcsolatokat gyűjtöttük össze, valamint a harmadik táblázatra, melyben a jövedelmezőséget mutató fedezeteket találjuk. A második táblázat előállítása, mely a piaci információkat tartalmazza, nem alapfeltétel. Amennyiben ilyen ismerettel nem rendelkezünk, vagy megszerzésük túl munkaigényes lenne, semmi baj. Az első és harmadik táblázat ismeretében a feladat megoldható. Számítsunk rá viszont, hogy ebben az esetben piaci információkat nem tartalmaz a modellünk, így kizárólag a termelési korlátok között kapunk egy optimális megoldást. Megoldás A kiindulási adatok újra egy csoportban: Termék 1 Termék 2 Kapacitás (gépóra/ hó) Erőforrás 1 (gépóra/db) 1 1 1200 Erőforrás 2 (gépóra/db) 1 2 1600 Termék 1 (db/hó) Termék 2 (db/hó) X min (Legalább ennyit kell gyártani) 200 100 X max (Legfeljebb ennyit érdemes gyártani) 1000 - Termék 1 (db/hó) Termék 2 (db/hó) f (Ft/db) 180 290 A probléma lineáris programozási feladatként felírva: [ 180* x1 290* x2] Max + E 1 : 1*x 1 + 1*x 2 = 1200 E 2 : 1*x 1 + 2*x 2 = 1600 10
200 x 1 1.000 200 x 2 Megoldás grafikusan: X2 E1 1200 E2 X1Min M' X1Max 800 Célfv. P1 P2 M'' 100 P0 P3 P4 X2Min 200 1000 1600 X1 A vastagon kihúzott rész az a terület, melynek pontjai az összes korlátozó feltételnek megfelelnek. Leolvasható az is, hogy az optimális megoldás a P 2 pontban van, mely az E 1 és az E 2 egyenesek metszéspontja. Ha megoldjuk a két ismeretlenes egyenletet, akkor megkapjuk az optimális termelési tervet: x 1 = 800 darab x 2 = 400 darab Visszahelyettesítve a célfüggvénybe, megkapjuk az optimális fedezet értékét: Ft. Ft. 2 = 180 *800db. + 290 *400db. 26.000Ft. db. db. FP = 11
Érzékenységvizsgálat Az érzékenységvizsgálat célja, hogy megvizsgálja, vajon az optimális megoldás során kapott adatok mennyire stabilak. Vagyis, ha megváltoznak a kezdeti feltételek, milyen szintű változás az, ami még nem rontja el az optimumot. Ezt a vizsgálatot a feladat bármelyik kiindulási adatára, mint paraméterre elvégezhetjük. Erőforrás árnyékára A termelési korlátok (erőforrás egyenesek) jobb oldala az adott időszakban rendelkezésre álló kapacitást jelenti. Amennyiben az optimumot ezen korlátok metszéspontja adja, akkor mindaddig nem tudjuk bevételünket (fedezetünket) növelni, míg ezt a szűk keresztmetszetet nem sikerül bővíteni. Az erőforrás árnyékára azt jelenti, hogy az adott erőforrás egy pótlólagos egységéért (+1 gépóráért) mennyit lennénk hajlandóak fizetni. Határesetben ez megegyezik azzal a többletbevétellel (többletfedezettel), melyet a pótlólagosan megszerezhető erőforrásegység révén elérhetünk. Az E 1 erőforrás árnyékára, és annak érvényességi tartománya: Az E 1 erőforrás a szűk keresztmetszetet alkotó, az optimális pontot a P 2 pontban kijelölő egyenes, mely a P 1 és M pontok között mozoghat ugyanazzal az árnyékárral. E pontok koordinátái a megfelelő egyenesek metszéspontjai segítségével kiszámíthatók. P 1 : (x 1 = 200; x 2 = 700), M : (x 1 = 1000; x 2 = 300), E pontokban az E 1 erőforrás értékei (kapacitások): Kap E1,P1 = 1*200+1*700=900 gépóra/időszak Kap E1,M = 1*1000+1*300=1300 gépóra/időszak Az M pontban a célfüggvény értéke: F M = 180*1000+290*300=267.000 Ft Ez azt jelenti, ha kapacitásaink annyival megnőnének, hogy a M pontban lenne az optimum, akkor 7000 Ft al nőne az elérhető fedezet. Így az E 1 árnyékára: FM " FP 2 267000 260000 yr 1 = = = 70Ft. / gépóra KapE1, M " KapE1, P 2 1300 1200 az árnyékár érvényességi tartománya: 900 y E1 1300 12
Az E 2 erőforrás árnyékára, és annak érvényességi tartománya: Az E 2 erőforrás a szűk keresztmetszetet alkotó, az optimális pontot a P 2 pontban kijelölő egyenes, mely a P 3 és M pontok között mozoghat ugyanazzal az árnyékárral. E pontok koordinátái a megfelelő egyenesek metszéspontjai segítségével kiszámíthatók. P 3 : (x 1 = 1000; x 2 = 200), M : (x 1 = 200; x 2 = 1000), E pontokban az E 2 erőforrás értékei (kapacitások): Kap E2,P3 = 1*1000+2*200=1400 gépóra/időszak Kap E2,M = 1*200+2*1000=2200 gépóra/időszak Az M pontban a célfüggvény értéke: F M = 180*200+290*1000=326.000 Ft Ez azt jelenti, ha kapacitásaink annyival megnőnének, hogy az M pontban lenne az optimum, akkor 66.000 Ft al nőne az elérhető fedezet. Így az E 2 árnyékára: FM ' FP 2 326000 260000 ye 2 = = = 110Ft. / gépóra KapE 2, M ' KapE 2, P 2 2200 1600 az árnyékár érvényességi tartománya: 1400 y E2 2200 A többi jobb oldali paraméter árnyékára zéró, mert nem alkotják a rendszer szűk keresztmetszetét. A célfüggvény együtthatóinak érzékenységvizsgálata Itt azt vizsgáljuk, hogy a célfüggvény együtthatói (példánkban a fedezetek) milyen határok között változhatnak (nőhetnek, vagy csökkenhetnek) úgy, hogy az optimális termelési program még ne változzon meg. Az együtthatók változása, a célfüggvény egyenesének meredekségét változtatja meg. Vagyis a célfüggvény a metszéspont, mint forgáspont körül elbillen, elfordul. Az ábrából látszik, hogy mindaddig, míg a célfüggvény a két erőforrás egyenese között marad, az optimumpont helye sem változik meg. Tehát a célfüggvény együtthatói csak addig változhatnak, amíg a célfüggvény egyenesének meredeksége meg nem egyezik a metszéspontot alkotó egyenesek (itt E 1, E 2 ) meredekségével. 13
E 1 : 1*x 1 + 1*x 2 F : f 1 *x 1 + f 2 *x 2 E 2 : 1*x 1 + 2*x 2 Mindezek alapján: 1 2 f f 1 2 1 1 Ezt felhasználva a célfüggvény együtthatók (fedezetek) érzékenységi tartománya: Ha f 2 = 290 akkor 145 f 1 290 Ha f 1 = 180 akkor 180 f 2 360 14
Termelési program tervezése (Esettanulmány) Egy gépipari vállalat öt különféle kötõelemet gyárt. A marketing menedzser mindegyik kötõelem típusra elõre jelezte a várható keresletet a következõ hónapra. E gyártmányszükségleteket, valamint az értékesítési egységárakat és a fajlagos változó költségeket (közvetlen költségek) az alábbi táblázat tartalmazza. Az üzem 3 műszakban dolgozik és az elkövetkezendõ hónapra 30 munkanappal számolt. A gyártóüzemben a kötõelemeket kétféle esztergagép típuson gyártják; univerzális, illetve félautomata esztergákon. Az univerzális esztergák technológiai rugalmassága nagyobb, ezért ezek alkalmasak valamennyi kötõelem típus elõállítására. A félautomata esztergákon viszont csak háromféle kötõelem típus gyártható. Összesen 38 esztergagép van a vállalat mûhelyében, ebbõl 8 univerzális és 30 félautomata. A gyártási idõk mindegyik kötõelem típusra ismertek és ugyancsak az alábbi táblázatban találhatók. Az átállási (felszerszámozási) idõk elhanyagolhatók. A vállalat szeretné a piaci igényeket maximálisan kielégíteni, vagy saját gyártású, vagy pedig alvállalkozókkal gyártott kötõelemekkel. Amennyiben kapacitáskorlátok miatt további saját gyártású kötõelemeket nem képes gyártani, akkor egy másik cégtõl készen megvásárolja azokat. Utóbbi esetre a beszerzési árat a táblázat tartalmazza. Kötõ- Kereslet Eladási Változó Megmunkálási idõk Beszerzési elem [db] ár ktg. ktg. [Ft/db] [Ft/db] [Ft/db] Univerzális Félautomata [db/óra] [db/óra] 1 16500 99 66 4.63-80 2 22000 86 55 4.63-70 3 62000 110 49 5.23 5.23 60 4 7500 124 51 5.23 5.23 70 5 62000 70 50 4.17 4.17 70 15
Készítse el a termelési feladat optimális végrehajtásának matematikai modelljét és határozza meg, hogy kötõelem típusonként milyen mennyiséget (hány darabot) kell a vállalatnak a másik cégtõl megvásárolnia a kereslet teljes kielégítése érdekében. Írjon egy rövid beszámoló jelentést, amelyben tárgyalja és elemzi az alábbiakat: 1. Az egyes gyártóberendezéseken készített kötõelemek fajtái és mennyiségei. 2. A várható profit (nyereség/fedezet) alakulása. 3. A saját gyártókapacitás bõvítésének elemzése. A vállalat egy új (a kilencedik) univerzális eszterga beszerzését fontolgatja. Mennyivel növekedne a várható profit egy hónapra vetítve, ha az új gép beszerzési költségétõl eltekintünk? 4. Elemezze a célfüggvény együtthatók érzékenységét. 16
Termelési program tervezésének megoldása A modell felállításához a következõ változókat vezetjük be: V i - az i-edik termékbõl vásárolt mennyiség U i - az i-edik termékbõl az univerzális esztergagépeken gyártott mennyiség F i - az i-edik termékbõl a félautomata esztergagépeken gyártott mennyiség Az univerzális esztergák kapacitása: 8*30 [nap/hó]*3 [műszak/nap]*8 [óra/műszak] = 5.760 [óra/nap] A félautomata esztergák kapacitása: 30*30 [nap/hó]*3 [műszak/nap]*8 [óra/műszak] = 21.600 [óra/nap] A célfüggvény: Max[19V 1 +16V 2 +50V 3 +54V 4 +0V 5 +33U 1 +31U 2 +61U 3 +73U 4 +20U 5 +61F 3 +73F 4 +20F 5 ] Termelési feltételek: U 1 U 2 U 3 U 4 U 5 Univerzális: + + + + 5.760[ gó / hó[ 4,63 4,63 5,23 5,23 4,17 F 3 F 4 F 5 Félautomata: + + 21.000[ gó / hó[ 5,23 5,23 4,17 Az igényre vonatkozó feltételek: Igény az 1. típusú csavarra: V 1 + U 1 = 16.500 [db/hó], Igény a 2. típusú csavarra: V 2 + U 2 = 22.000 [db/hó], Igény a 3. típusú csavarra: V 3 + U 3 +F 3 = 62.000 [db/hó], Igény a 4. típusú csavarra: V 4 + U 4 +F 4 = 7.500 [db/hó], Igény az 5. típusú csavarra: V 5 + U 5 +F 5 = 62.000 [db/hó], 17
Eredmény Döntési változó A változó értéke V 1 11.831,2 V 2 0 V 3 34.292,2 V 4 0 V 5 0 U 1 4.668,8 U 2 22.000 U 3 0 U 4 0 U 5 0 F 1 27.707,8 F 2 7.500 F 3 62.000 Mind a végeredmény, mind pedig az érzékenységvizsgálat eredményei számítógépes szoftver segítségével (pl. Excel) határozhatók meg. A kilencedik félautomata esztergagép vásárlása 1*30 [nap/hó]*3 [műszak/nap]*8 [óra/műszak] = 720 [gépóra/hó] val növelné meg a kapacitást. Ez beleesik az árnyékár érvényességi tartományába, így a várható haszon: 64,821 [Ft/gépóra]* 720 [gépóra/hó] = 466.721 [Ft/hó] 18