Algoritmizálás, adatmodellezés 10. előadás

Hasonló dokumentumok
Adatszerkezetek I. 10. előadás

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok. (Horváth Gyula és Szlávi Péter előadásai felhasználásával)

Geometriai algoritmusok

Geometriai algoritmusok

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória

Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program

8. előadás. Kúpszeletek

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Területi primitívek: Zárt görbék által határolt területek (pl. kör, ellipszis, poligon) b) Minden belső pont kirajzolásával (kitöltött)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Középpontos hasonlóság szerkesztések

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

A 2013/2014 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló javítási-értékelési útmutató. INFORMATIKA II. (programozás) kategória

A tér lineáris leképezései síkra

Geometriai algoritmusok

Mohó stratégia. Feladat: Megoldás:

Láthatósági kérdések

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

Cohen-Sutherland vágóalgoritmus

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál

Szög. A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából:

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg


Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 2. előadás

Ellipszis átszelése. 1. ábra

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

GEOMETRIA 1, alapszint

Koordináta - geometria I.

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Analitikus térgeometria

Adatszerkezetek II. 2. előadás

(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)

Gráfok bejárása. Szlávi Péter, Zsakó László: Gráfok II :17

17. előadás: Vektorok a térben

SZE, Doktori Iskola. Számítógépes grafikai algoritmusok. Összeállította: Dr. Gáspár Csaba. Felületmegjelenítés

Adatszerkezetek II. 6. előadás

Követelmény az 5. évfolyamon félévkor matematikából

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása

Matematika (Lineáris algebra és többváltozós függvények), NGB_MA002_2, 1. zárthelyi , 1A-csoport. Név:... Neptun:... Aláírás:...

OKTV 2007/2008 Informatika II. kategória döntő forduló Feladatlap. Oktatási Hivatal

Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 7. előadás

Analitikus térgeometria


















Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Koordináta-geometria II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Izsák Imre Gyula természettudományos verseny

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Geometriai algoritmusok. pont helyzete, konvex burok, ponthalmaz legközelebbi és legtávolabbi pontpárja, metsző szakaszpárok keresése

BBTE Matek-Infó verseny mintatételsor Informatika írásbeli vizsga

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 1. előadás

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

Koordináta-geometria alapozó feladatok


Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Forgácsolási paraméterek meghatározása Mikó Balázs, E ép. II. 7.

Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 2. előadás

10. Koordinátageometria

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló

Harmadikos vizsga Név: osztály:

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 8. előadás

Gyakorlati útmutató a Tartók statikája I. tárgyhoz. Fekete Ferenc. 5. gyakorlat. Széchenyi István Egyetem, 2015.

Átírás:

Algoritmizálás, adatmodellezés 10. előadás

Belül(N,P,D): Külső pont(n,p,q) P(N+1):=P(1); Db:=0 Ciklus i=1-től N-ig Ha Metszi(P(i),P(i+1),D,Q) akkor Db:=Db+1 Ciklus vége Belül:=(Db mod 2)=1 Függvény vége. 2016.11.29. 2

Feladat: Egy látképet egyenes szakaszok sorozatával adunk meg. A látkép felett a függőleges iránnyal az óramutató járása szerint szöget bezárva, végtelen távolságban van a Nap. Add meg, hogy a Nap megvilágítja-e a teljes látképet! Ha nem, akkor add meg a megvilágítás irányából az első olyan szakasz sorszámát, amelyet a Nap nem világít meg! 2016.11.29. 3

Árnyék(N,H,Mind,E,Alfa): (DX,DY):=Alfa szögből számítva i:=1 Ciklus amíg i<n és Fordul(H(i)-(DX,DY),H(i),H(i+1))=-1 i:=i+1 Ciklus vége Mind:=i N Ha nem Mind akkor E:=i Eljárás vége 2016.11.29. 4

Feladat: Egy koordinátarendszerben az x-tengely mentén téglalap alakú házak helyezkednek el. Egy lámpa balról, fentről világítja meg a házakat. Melyek azok a házak, amelyek teljesen árnyékban vannak? Megjegyzés: Az ábra szerint elég a házak jobb felső sarkát ismerni! 2016.11.29. 5

Megoldás: Legyen L a lámpa, H(i) az i-edik ház jobb felső sarkának helye, u pedig az utoljára megvilágított ház sorszáma! Azok a házak vannak árnyékban, amelyeket az előttük levő utolsó megvilágított ház teljesen takar. Azaz a H H(u) H(i) úton nem balra kell fordulni! 2016.11.29. 6

Árnyék(L,N,H,Db,Y): Db:=0; u:=1 Ciklus i=2-től N-ig Ha Fordul(L,H(u),H(i))=-1 akkor u:=i különben Db:=Db+1; Y(Db):=i Ciklus vége Eljárás vége 2016.11.29. 7

Feladat: Egy koordinátarendszerben az x-tengely mentén téglalap alakú házak helyezkednek el. A Nap balról, fentről süt rájuk, a házakhoz párhuzamos fénysugarak érkeznek. Melyek azok a házak, amelyeknek legalább egyetlen pontjára süt a nap? Az ábra szerint elég a házak jobb felső sarkát ismerni! DY fénysugár DX 2016.11.29. 8

Megoldás: Legyen H(i) az i-edik ház jobb felső sarkának helye, u pedig az utoljára megvilágított ház! Azok a házak vannak megvilágítva, amelyeket az előttük levő utolsó megvilágított ház nem takar. Azaz a H H(u) H(i) úton balra kell fordulni! 2016.11.29. 9

Világos(DX,DY,N,H,Db,Y): Db:=1; Y(Db):=1 Ciklus i=2-től N-ig Ha irány(h(y(db))-(dx,dy),h(y(db)),h(i))=-1 akkor Db:=Db+1; Y(Db):=i Ciklus vége Eljárás vége Megjegyzés: u=y(db). 2016.11.29. 10

Feladat: Adott a síkon n darab pont, amelyek nem esnek egy egyenesre. A pontok (x,y) koordinátáikkal adottak. Kössünk össze pontpárokat egyenes szakaszokkal úgy, hogy olyan zárt poligont kapjunk, amelyben nincs metsző szakaszpár! 2016.11.29. 11

Megoldás: Húzzunk (fél) egyenest a sarokpontból minden ponthoz! Rendezzük az egyeneseket a sarokponton áthaladó, x-tengellyel párhuzamos egyenessel bezárt (előjeles) szög alapján! 2016.11.29. 12

Megoldás: Válasszuk ki a legkisebb x-koordinátájú pontot, ha több ilyen van, akkor ezek közül válasszuk a legkisebb y-koordinátájút! Ezt nevezzük (bal-alsó) sarokpontnak és cseréljük meg az első ponttal! Poligon(N,P): Sarokpont(N,P); Rendez(N,P); Fordít(N,P) Eljárás vége. 2016.11.29. 13

Sarokpont(N,P): s:=1 Ciklus i=2-től N-ig Ha P(i).x<P(s).x vagy P(i).x=P(s).x és P(i).y<P(s).y akkor s:=i Ciklus vége Csere(P(1),P(s)) Eljárás vége. 2016.11.29. 14

A sarokpont legyen az első, és p i előbb legyen mint p j akkor és csak akkor, ha a p 1 p i p j úton balra kell fordulni, vagy nem kell fordulni, de p i van közelebb a p 1 -hez! kisebb(q,a,b): ir:=fordul(q,a,b) kisebb:=ir=-1 vagy ir=0 és a.x<b.x Eljárás vége. A rendezésnél persze elveszik a pontok régi sorszáma, azaz célszerű azt megőrizni, pl. a PONT típusba egy új mezőt, a sorszám mezőt felvéve. 2016.11.29. 15

Rendez(N,P): Ciklus i=2-től N-1-ig min:=i Ciklus j=i+1-től N-ig Ha kisebb(p(1),p(j),p(i)) akkor min:=j Ciklus vége Csere(P(min),P(i)) Ciklus vége Eljárás vége. 2016.11.29. 16

Fordít(N,P): Ha N>2 és Fordul(P(1),P(N),P(N-1))=0 akkor Verembe(P(N)); Fordít(N-1,P) Veremből(P(N)) Eljárás vége. Kérdés: Mit csinált a rendezés, ha az utolsó irány a függőleges, azaz a pontok x-koordinátája megegyezik? 2016.11.29. 17

Kössük össze a pontokat a kapott sorrendben! 2016.11.29. 18

Feladat: Adott a síkon n darab pont, amelyek nem esnek egy egyenesre. A pontok (x,y) koordinátáikkal adottak. Adjuk meg a legkisebb konvex poligont, amelyben az összes pontot tartalmazza! 2016.11.29. 19

Megoldás: Első lépésként rendezzük a ponthalmazt a bal-alsó sarokpontra vett polárszög szerint, majd minden egyenesen csak a sarokponttól legtávolabbi pontot hagyjuk meg, a többit töröljük. Az így törölt pontok biztosan nem lehetnek csúcspontjai a konvex buroknak. 2016.11.29. 20

Megoldás: Második lépésként haladjunk körbe a megmaradt pontokon! Hagyjuk el a q i+1 pontot, ha a q i q i+1 q i+2 úton nem balra kell fordulni! 2016.11.29. 21

A rendezésnél persze elveszik a pontok régi sorszáma, azaz célszerű azt megőrizni, pl. a PONT típusba egy újmezőt, a sorszám mezőt felvéve. Konvex burok(n,p): Sarokpont(N,P); Rendez(N,P); Fordít(N,P) P(N+1):=P(1); Körbejár(N,P) Eljárás vége. 2016.11.29. 22

Körbejár(N,P,B): i:=3 Ciklus amíg Fordul(P(1),P(i-1),P(i))=0 i:=i+1 Ciklus vége B(1):=P(1); B(2):=P(i-1); M:=2 Ciklus amíg i N+1 Ha Fordul(P(B(M-1)),P(B(M)),P(i)) 0 akkor M:=M-1 különben M:=M+1; B(M):=I i:=i+1 Ciklus vége M:=M-1 Eljárás vége. 2016.11.29. 23

Algoritmizálás, adatmodellezés 10. előadás vége