1. Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11.
A transzportfolyamatokról általában 1 A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül meg tudja fogalmazni a megoldás főbb kritériumait, hogy mely diszciplinához tartozik eredendően. Példák (/köz/ismert transzportok): hővezetés; diffúzió, elektromos vezetés; folyadékok és gázok konvektív áramlása; konvektív termikus energia-, anyag- és töltéstranszport. kereszteffektusok (együttesen jelenlévő transzportok) relativisztikus és kvantumos folyamatok
Egy egyszerű példa: a hőmérő tehetetlensége (1) 2 A hőmérő kezdeti hőmérséklete: T 2 A hőmérő hőmérséklete: T(t) A mérendő közeg hőmérséklete: T 1 A hőmérő belső energiája csak a hőmérséklettől függ, így állapotegyenlete: U=f(T). A hőtágulástól eltekintünk, így a munkavégzés zérus: W=0. A termodinamika I. főtétele szerint: du=dq. dq=cdt /C: hőkapacitás/ A hőmérő falán az időegységenként átadott hő: I= αa(t- T 1 ) α : hőátadási tényező; A: felület
Egy egyszerű példa: a hőmérő tehetetlensége (2) 3 A kiegyenlítődési folyamatot leíró transzportegyenlet: A kezdeti feltételek figyelembe vételéve az egyenlet megoldása: Itt a a hőmérő időállandója. De a térbeliséget is figyelembe kell venni!
Matematikai eszközök (1) 4 A térmennyiségek (pontfüggvények) helytől és időtől függenek a, skalárterek: hőmérséklet: nyomás: b, vektorterek: sebességtér: térerősség: koncentráció:
Matematikai eszközök (2) 5 Az iránymenti derivált és a gradiens: Skalártér: amelynek, szintfelületei (nívófelületei) pl. izoterm, izobár, ekvipotenciális felületek. A tér irányú iránymenti deriváltja az pontban:
Matematikai eszközök (3) 6 Keressük azt az vektort, amelyhez tartozó iránymenti derivált a legnagyobb. Merőleges a szintfelületeire. tér
Matematikai eszközök (4) 7 Vonalintegrál: irányított görbe vektortér Felületi integrál: irányított felület normálvektora vektortér Fluxus
Matematikai eszközök (5) 8 A divergencia: A,, oldalélű kockára történő felületi integrálás után: az vektortér forráserőssége
Matematikai eszközök (6) 9 A rotáció:
Matematikai eszközök (7) 10 A cirkuláció: A rotáció kiszámolása:
Matematikai eszközök (8) 11 Gauss-tétel: Stokes-tétel:
Matematikai eszközök (9) 12 Nevezetes összefüggések: Laplace-operátor
Matematikai eszközök (10) 13 A gradiens operátor henger és gömbi koordinátákban henger: ívelem négyzet: gömbi:
Matematikai eszközök (11) 14 A divergencia operátor henger és gömbi koordinátákban henger: gömbi:
Matematikai eszközök (12) 15 A Laplace-operátor henger és gömbi koordinátákban henger: gömbi:
Időderiváltak (1) 16 A lagrange-i és euleri leírás A tömegponttal együtt mozgó ezt jelenti a lagrange-i leírás rendszerbeli hőmérő által mért hőmérséklet változás a szubsztanciális időderiválttal fejezhető ki. A nyugvó rendszerből nézve a tér egy adott pontján más és más tömegpontok mennek át. Az pontbeli hőmérséklet időbeli változása:
Időderiváltak (2) 17 Mi a kapcsolat a két időderivált között? Osztályozás, elnevezések: a, azokban a pontokban, ahol : stagnációs pont b, ha a sebesség csak a hely függvénye, : állandó mozgás (steady state) c, ha, akkor szubsztanciális állandó d, ha, akkor lokálisan állandó e,, akkor konvektíve állandó
Mérlegegyenletek (1) 18 Extenzív mennyiségek (additív halmazfüggvények) A és tartományokon értelmezett extenzív mennyiségre: Ilyenek például: V: térfogat m: tömeg n: részecskeszám e: elektromos töltés Továbbá: U: belső energia p: impulzus L: impulzusmomentum S: spin
Mérlegegyenletek (2) 19 Extenzív mennyiségek (térfogati) sűrűsége: jobb: Extenzív mennyiségek fajlagos sűrűsége: Ekkor: Ha akkor
Mérlegegyenletek (3) 20 Az extenzív mennyiség időbeli változása: Két okból történhet: 1. A határoló felületen történő ki- és beáramlással 2. A térfogaton belüli keletkezéssel/eltűnéssel
Mérlegegyenletek (4) 21 Az áramerősség a határoló felületen időegységenként áthaladó extenzív mennyiség: Az áramsűrűség a határoló felület egy egységnyi tartományán időegységenként áthaladó extenzív mennyiség: Az áramsűrűség vektor bevezetésével határoló felület irányítása figyelembe vehető: Az áramlás lehet: a, konduktív b, konvektív
Mérlegegyenletek (5) 22 A forráserősség a térfogatban időegységenként keletkező vagy eltűnő extenzív mennyiség: A forrássűrűség az egységnyi térfogatban időegységenként keletkező vagy eltűnő extenzív mennyiség: Ezzel már formálisan kész vagyunk az extenzív mennyiségre vonatkozó mérlegegyenlet felírásával:
Lokális mérlegegyenletek (1) 23 Tekintsünk egy a térben rögzített térfogatot, és az azt körülvevő felületet. E térfogatban az extenzív mennyiség változása: Bevezetve az A extenzív mennyiség áramsűrűség vektorát, valamint forrássűrűséget a következő globális/integrális mérlegegyenlet írható fel:
Lokális mérlegegyenletek (2) 24 A Gauss-tétel segítségével a felületi integrál térfogati integrál alakra írható át: Ezt követően egy térfogati integrál mögé írható minden tag: Innen a lokális mérlegegyenletek differenciális alakja:
Lokális mérlegegyenletek (3) 25 Ha a áramsűrűség konvektív folyamathoz tartozik: Tömegáram (a=1) esetén a (lokális leírásbeli) tömegáramsűrűség: Így a tömegre vonatkozó annak megmaradását kifejező mérlegegyenlet: Az ilyen alakú egyenleteket kontinuitási egyenleteknek is szokás nevezni.
Szubsztanciális mérlegegyenletek (1) 26 Az anyagi leíráskor ez együttmozgó tömegelem nagysága állandó, így az extenzív mennyiség időbeli változása: Itt az a fajlagos mennyiség szubsztanciális deriváltja. Ha az áramsűrűség vektor, a forrássűrűség, akkor a szubsztanciális mérlegegyenlet integrális alakja:
Szubsztanciális mérlegegyenletek (2) 27 A Gauss-tétel segítségével a felületi integrál térfogati integrál alakra írható át: Innen a szubsztanciális mérlegegyenlet differenciális alakja: Mi a kapcsolat a és a áramsűrűségek között? Ha a tömegelem sebességgel mozog az álló rendszerben, akkor
Szubsztanciális mérlegegyenletek (3) 28 Ha az extenzív mennyiség konvektív módon áramlik, akkor Ha a=1, akkor a szubsztanciális tömegáram Az egyszerű helyettesítéssel származtatható szubsztanciális tömegmérleg egyenlet mindkét tagja azonosan zérus! Hm!?
Szubsztanciális tömegmérleg 29 Korábbról: lokális tömegmérleg továbbá Ekkor e kettőből a szubsztanciális tömegmérleg: Ha, azaz a sűrűség nem változik, akkor a az összenyomhatatlanság feltétele.
Egy egyszerű példa: impulzusmérleg ideális folyadékokban (1) 30 A folyadék egy tartományára ható erő a nyomás tenzorral Kifejezve, amely a Gauss-tétellel Mivel, így Mivel folyadék egységnyi térfogatának -ja, így az ideális folyadék mozgásegyenlete
Egy egyszerű példa: impulzusmérleg ideális folyadékokban (2) 31 Figyelembe véve, hogy alakban írható a mozgásegyenlet. A folyadék dv térfogatelemének impulzusa: Az egységnyi térfogatbeli folyadék impulzusának változása:
Egy egyszerű példa: impulzusmérleg ideális folyadékokban (3) 32 Innen: Továbbá egyrészt a lokális tömegmérlegből: Másrészt a mozgásegyenletből: Behelyettesítés után adódik:
Egy egyszerű példa: impulzusmérleg ideális folyadékokban (4) 33 Felhasználva a: valamint a: összefüggéseket a tenzor vezethető be (a a diadikus szorzatot jelenti), amellyel az impulzus változás (mérleg) kifejezhető A az impulzusáramsűrűség tenzor.
Fourier-féle hővezetés (1) 34 A belső energia mérlegegyenlete Az m tömegű test belső energiájának változása a dt hőmérsékletváltozás során (c a fajhő): A fajlagos belső energia változás: vagy A szubsztanciális belső energia mérleg: hőáram sűrűség forrás: Joule-hő, kémiai reakció, magreakció
Fourier-féle hővezetés (2) 35 Ha a konvekciótól eltekintünk, akkor A hőáramsűrűség Tekintsünk két, egymástól távolságban lévő sík falat, amely egyike, a másik hőmérsékletű. A két fal közötti hőáram arányos a felülettel a hőmérsékletkülönbséggel a két felület közti távolság reciprokával
Fourier-féle hővezetés (3) 36 A hőáram: Itt a Fourier-féle hővezetési együttható, amely általában erősen függ a hőmérséklettől. Így a Fourier-féle hővezetési egyenlet :
Fourier-féle hővezetés (4) 37 Másképp: Ha konstans, akkor az ismert alakú Fourier-egyenlet: Sok esetben fémekre konstansnak vehető, de pl. kis hőmérsékleten
A differenciálegyenlet 38 A és helyettesítés után a hővezetési egyenlet a alakra hozható, amely egy parabolikus differenciálegyenlet, és a diffúzió folyamatára is hasonló. A paraméter neve hődiffúzívitás. A Laplace-operátor szemléletes jelentése: a konvexitás mértéke a környezeti átlaghőmérséklet és a vizsgált pontbeli hőmérséklete közötti különbség.
Peremfeltételek 39 Lehetőségek: a, előírt hőmérséklet a határoló felületen b, előírt hőáram a felületen: (a normális irányú komponense) c, általános lineáris peremfeltétel (lehet persze nemlineáris is) Összefoglalva: Itt függvénye. a, eset: b, eset: c, eset: mindkettő
Kezdeti feltételek 40 A kezdeti időpontban fennálló hőmérséklet eloszlást a teljes térfogatra meg kell adni: A kialakuló hőmérséklet eloszlást az forrás, a kezdeti feltétel és a peremfeltétel együtt határozza meg. Forrásmentes esetben : a hőmérséklet időben nő minden olyan helyen, ahol
Maximum és szimmetria elvek 41 Maximum-elv: a hőmérséklet a maximumát/minimumát a kezdetben vagy a peremen éri el. Erős maximum-elv: ha a hőmérséklet eloszlásnak egy belső pontban maximuma / minimuma van ott Szimmetria-elv: ha a feladat / ok szimmetrikus ugyanolyan értelemben szimmetrikus. Pl.: eltolás, tükrözés, forgásszimmetria a megoldás