MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 0. október 5. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) b) ( )( ) I. ( pont) (7 pont) a) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete miatt: ;0 Négyzetre emelés után: Az egyenlet gyökei: és. Közülük csak a intervallumon ekvivalensek), ezért ez az egyetlen megoldás. (A grafikus módszerrel való megoldásért szintén maimális pontszám jár) b) Közös alapra hozva a két oldalt: 0 ( )( ) eleme a fenti intervallumnak (és az átalakítások ezen az. Az eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt az alapok elhagyhatóak: Ebből vagy ( pont). Ebből vagy 5. Ellenőrzés. Összesen: pont
) Egy 5 -os emelkedési szögű hegyoldalon álló függőleges fa egy adott időpontban a hegyoldal emelkedésének irányában méter hosszú árnyékot vet. Ugyanebben az időpontban a közeli vízszintes fennsíkon álló turista árnyékának hossza éppen fele a turista magasságának. Hány méter magas a fa? Válaszát egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! ( pont) A szövegnek megfelelő, az adatokat helyesen feltüntető ábra. ( pont) Az ACB és DFE szögek egyenlők, mivel mindkettő a napsugarak és a függőleges által bezárt szög. A DEF derékszögű háromszögben: a tg a ( pont) 6,57 BAC szög Így 90 5 75 78,. (Szinusztétel az ABC háromszögben:) sin 78, sin 6,57 ( pont) 6,57 A fa tehát körülbelül 6,6 méter magas. Összesen: pont
) Egy 50 adatból álló adatsokaság minden adata eleme a 0; ; halmaznak. a) Legfeljebb hány -es lehet az adatsokaságban, ha az adatok átlaga 0,? ( pont) b) Lehet-e az 50 adat mediánja 0, ha az átlaguk,0? (7 pont) c) Lehet-e az 50 adat egyetlen módusza az, ha az átlaguk 0,6? ( pont) a) Ha az 50 adat átlaga 0,, akkor összegük. ( pont) Mivel az adatsokaság minden adata nemnegatív, legfeljebb 8 darab -es lehet az 50 adat között. (8 darab -es és darab 0 esetén valóban 0, az átlag) ( pont) b) Indirekt módon tegyük fel, hogy a medián lehet 0, azaz a nemcsökkenő sorozatba rendezett sokaságban a 5. és 6. szám (és így az első szám is) 0. Ekkor összesen legfeljebb szám lehet vagy. Az 50 szám összege tehát legfeljebb 8 lehet, az elérhető legnagyobb átlag pedig 0,96. Mivel ez kisebb, mint,0 - ellentmondásra jutottunk, azaz nem lehet a medián 0. c) Például darab és 9 darab 0 esetén 0,6 az átlag, valamint a módusz, ( pont) tehát lehet az 50 adat módusza. Összesen: pont 50 0, 6
) Aranyékszerek készítésekor az aranyat mindig ötvözik valamilyen másik fémmel. A karát az aranyötvözet finomságát jelöli. Egy aranyötvözet karátos, ha az ötvözet teljes tömegének aranyötvözet tömegének k része arany. része arany, a k karátos Kata örökölt a nagymamájától egy 7 grammos, 8 karátos aranyláncot. Ebből két darab karátos karikagyűrűt szeretne csináltatni. a) Legfeljebb hány gramm lehet a két gyűrű együttes tömege, ha aranytartalmuk összesen sem több mint az aranylánc aranytartalma? ( pont) b) Kata végül két olyan gyűrűt készíttetett, amelyek együttes tömege 6 gramm. (A megmaradó karátos aranyötvözetet törtaranyként visszakapta.) Az elkészült két karikagyűrű tekinthető két lyukas hengernek, amelyek szélessége (a lyukas hengerek magassága) megegyezik. Az egyik gyűrű belső átmérője 7 mm, és mindenhol,5 mm vastag, a másik gyűrű belső átmérője 9,8 mm, vastagsága pedig mindenhol,6 mm. Hány mm a gyűrűk szélessége, ha a készítésükhöz használt karátos aranyötvözet sűrűsége g 5 cm Válaszait egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! a) A 7 gramm 8 karátos ékszer aranytartalma gramm karátos ékszer aranytartalma: Ebből? (0 pont) 8 7,75,75 (gramm).( pont) (gramm).,86, így a két gyűrű együttes tömege legfeljebb,9 gramm. b) A két gyűrű térfogatának összege m 6 V,0667 cm 066,7 mm 5 ( pont) Egy gyűrű térfogata két henger térfogatának különbsége. Az egyik gyűrű belső sugara 8,5 mm, külső sugara 0 mm, és ha a keresett szélesség, akkor V 0 8,5 87, (mm ). ( pont) A másik gyűrű belső sugara 9,9 mm, külső sugara,5 mm, így V,5 9,9 07,6 (mm ) ( pont), azaz 066,7 87, 07,6. Ebből A gyűrűk szélessége 5,5 mm. Összesen: pont V V V 5,8 mm..
II. 5) Egy iskola alapítványi bálján a korábban szokásos tombolahúzás helyett egy egyszerű lottóhúzást szerveznek. A szelvényt vásárolóknak az első tíz pozitív egész szám közül kellett ötöt megjelölniük. Húzáskor öt számot sorsolnak ki (az egyszer már kihúzott számokat nem teszik vissza). Egy lottószelvény 00 Ft-ba kerül. Egy telitalálatos szelvénnyel 5000 Ft értékű, egy négytalálatos szelvénnyel 000 Ft értékű, az alapítvány által vásárolt könyvutalványt lehet nyerni. Négynél kevesebb találatot elérő szelvénnyel nem lehet nyerni semmit. a) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a legkisebb kihúzott szám. ( pont) b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a számokat növekvő sorrendben húzzák ki? ( pont) Az a) és b) kérdésekre adott válaszait három tizedesjegyre kerekítve adja meg! c) Számolással igazolja, hogy (három tizedesjegyre kerekítve) a telitalálat valószínűsége 0,00, a négyes találat valószínűsége 0,099. ( pont) d) Ha a húzás előtt 0 szelvényt adtak el, akkor mekkora az alapítvány lottóhúzásból származó hasznának várható értéke? (5 pont) a) Az összes eset száma 5 a kedvező esetek száma így a kérdéses valószínűség: 0 5, 7 5, p 7 0 5 0,9 (A,9% is elfogadható válaszként) b) Bármelyik öt szám húzása esetén bármelyik húzási sorrend egyenlően valószínű. 5! 0. Adott öt szám esetén ezek száma Ezek közül egy húzási sorrend növekvő. A keresett valószínűség p 0,008. 5! c) A telitalálat valószínűsége: p5 0,00 0 5 5 Négy találat esetén a kedvező esetek száma: 5 5 5, ( pont)
így a négy találat valószínűsége: 5 5 p 0 5 5 0,099 d) A szelvények eladásából származó bevétel: 0 00 8000 (Ft) Egy szelvényre vonatkozóan a kiadás várható értéke: p55000 p000 0,00 5000 0,099 000 9 (Ft) ( pont) Az eladott összes szelvényre a kiadás várható értéke: 0 9 8560 (Ft) Így az alapítvány hasznának várható értéke: 8000 8560 90 Ft Összesen: 6 pont
6) Egy teherszállító taikat üzemeltető társaság egyik, elsősorban városi forgalomban alkalmazott kocsijának teljes működtetési költsége két részből tevődik össze: az üzemeltetési költség km h átlagsebesség esetén 00 0,8 kilométerenként; a gépkocsivezető alkalmazása 00 Ft óránként. a) Mekkora átlagsebesség esetén minimális a kocsi kilométerenkénti működtetési költsége? Válaszát km h Ft -ban, egészre kerekítve adja meg! (8 pont) b) A társaság emblémájának alaprajzát az f és függvények grafikonjai által közrezárt síkidommal modellezhetjük, ahol f f : 0; 6, 6 ha ; 6 ha 0; Számítsa ki az embléma modelljének területét! f (8 pont) a) A tehertai működtetésének kilométerenkénti teljes költsége az üzemeltetésből származó munkadíjából tevődik össze 00 0,8 km h (Ft) költségből, és a vezető átlagsebesség esetén. 00 (Ft) A teljes költséget kilométerre forintban az 00 f :, f 00 0,8 függvény adja meg. Az f-nek csak ott lehet szélsőértéke, ahol az első deriváltja 0. 00 f 0,8 f 0 Ebből Mivel pontosan akkor teljesül, ha 750 5, 00 f" 0 0,8 00.. 0, tehát a függvény második deriváltja mindenhol, így 5,-ben is pozitív, ezért f-nek itt valóban minimuma van. Tehát (egészre kerekítve) 5 km/h átlagsebességgel esetén minimális a kocsi kilométerenkénti működtetési költsége.
b) Jó ábra. A kérdéses terület: 6 6 T d d 0 ( pont) A zárójelben szereplő első tag primitív függvénye: a második tagé pedig: 6, 8 Alkalmazva a Newton-Leibniz tételt: 6 T 8 0 6 6 0 6 0 0 6 területe 0 területegység., tehát az embléma modelljének ( pont) Összesen: 6 pont
7) Az ABCDEF szabályos hatszögben a rövidebb átló hossza 5. a) Számolja ki a hatszög területének pontos értékét! (6 pont) b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje, a területű hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét képezve ezzel a t sorozatot. Számítsa ki a n határértékét! (Pontos értékkel számoljon!) t t t, és így tovább, lim t t... tn n (0 pont) a) Ha a hatszög oldalának hossza a, a rövidebb átló az a oldalú szabályos háromszög magasságának kétszerese, így, a ahonnan 5 5 5 6 a. A szabályos hatszög területe 6 darab a oldalú szabályos háromszög területének összege, így a T 6 5 ( pont) b) A területű szabályos hatszög oldala az ABC háromszög AC oldalához (mely az eredeti hatszög rövidebb átlója) tartozó középvonala, t hossza a 5 a 75 t 6 A következő szabályos hatszög t, t területét megkaphatjuk például úgy, hogy a területű hatszög szomszédos oldalfelező pontjait összekötő szakaszok által a hatszögből levágott háromszögek területének összegét levonjuk t a sin0 t -ből. t 75 5 6. 6 6 ( pont) t sorozat mértani sorozat, A n t amelynek hányadosa q. t A kérdéses határérték annak a mértani sornak az összege, amelynek első tagja t 75, hányadosa pedig t lim t t... tn n q Így q. 75. Összesen: 6 pont
8) Melyek azok a tízes számrendszerben kétjegyű természetes számok, amelyekben a számjegyek számtani és harmonikus közepének a különbsége? (6 pont) (Ha a keresett szám 0a b, akkor mivel két szám számtani közepe nem kisebb a számok harmonikus közepénél a feladat szövege szerint) a b a b Ezt átalakítva: (ahol a és b nullától különböző számjegyek) a b a b Mivel a és b számjegyek, ezért Mivel a b páros, ezért a b a b a b 6 ( pont) ( pont) is, tehát vagy mindkét számjegy páros vagy mindkettő páratlan. Pozitív páros négyzetszám 6-ig három van:, 6 és 6, azaz vagy vagy vagy 6 a két számjegy különbsége. I) a b Ekkor a b a b a, b lehetne, (Mivel mindkettő 0-nál nagyobb egész, ezért) csak ekkor viszont a számtani és harmonikus közép egyenlő, tehát ezen az ágon nincs megfelelő szám. II) Ha, akkor a b a b 8 Az egyenletrendszert megoldva kapjuk: a 6 és vagy III) a b 6 Ekkor b a és b 6. 6 a b 8 a b (Mivel mindkettő 0-nél kisebb egész, ezért) csak b lehetne, ekkor viszont a számtani és harmonikus közép egyenlő, tehát ezen az ágon sincs megfelelő szám. Mivel csak a II) esetben kaptunk megoldást, ezért a megfelelő számok a 6 és a 6. Ellenőrzés: a és a 6 számtani közepe, harmonikus közepe, tehát megfelelnek a feladat feltételeinek. Összesen: 6 pont a 9, 9
9) Egy körvonalon felvettünk öt pontot, és behúztuk az általuk meghatározott 0 húrt. Jelölje a pontokat pozitív körüljárási irányban rendre A, B, C, D és E. a) Véletlenszerűen kiválasztunk húrt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ezek a húrok egy konve négyszöget alkotnak? ( pont) b) Hányféleképpen juthatunk el a húrok mentén A-ból C-be, ha a B, D, és E pontok mindegyikén legfeljebb egyszer haladhatunk át? (Az A pontot csak az út kezdetén, a C pontot csak az út végén érinthetjük.) ( pont) c) A 0 húr mindegyikét kiszínezzük egy-egy színnel, pirosra vagy sárgára, vagy zöldre. Hány olyan színezés van, amelyben mindhárom szín előfordul? (8 pont) a) Akkor kapunk négy megfelelő húrt, ha a végpontjaik között az ötből pontosan négy különböző szerepel. A körüljárási iránynak megfelelően minden kiválasztott pontnégyeshez pontosan egy konve négyszög tartozik. Öt pontból négyet ötféleképpen lehet kiválasztani, ezért a kedvező esetek száma 5. Az összes eset száma: A keresett valószínűség: 0. 5 p 0, 0 0. b) Ha mindhárom pontot érintjük, akkor 6 lehetőség van. Ha csak két ponton megyünk át, akkor a lehetőségek száma 6. Ha csak egy ponton megyünk át, akkor lehetőség van, de közvetlenül is átmehetünk A-ból C-be, ez még eset. Az összes lehetséges útvonalak száma tehát: 6 6 c) Az összes lehetséges esetből kivonjuk azokat, amikor csak vagy szín szerepel. Mindegyik húrt háromféle színre festhetjük, ezért az összes lehetőség száma 0 5909. 6. Ha két színt használunk a háromból, akkor az adott két szín segítségével mindegyik húrt kétféleképpen színezhetjük ki, a tíz húrt pedig 0 -féleképpen. De ebbe beleszámoltuk azt az esetet is, amikor csak egyetlen színt 0 használunk, ezért a fenti értéket -vel csökkenteni kell:. A megadott színből kettőt -féleképpen választhatunk ki, így a pontosan két színt használó színezések száma. 0 066 Pontosan egy színnel -féleképpen színezhetjük ki a húrokat. Tehát a lehetséges színezések száma: 0 0 55980 ( pont) (Szintén jó megoldás, hogyha összeszámoljuk az eseteket aszerint, hogy az egyes színekkel hány húrt színezünk ki.) Összesen: 6 pont