A közlegelı poblémájának dinamikája Lotka - Voltea egyenletek felhasználásával Bessenyei István Pécsi Tudományegyetem, Közgazdaságtudományi Ka A gazdaság világszete és különösen hazánkban tapasztalható válsága a kiútkeesés számos, koábban patikuláisnak tekintett iányáa világított á az utóbbi idıben. Ezek közül az egyik, talán a leginkább figyeleme méltó a temészeti eıfoások iacionális métékő felhasználásával töténı szakítást feltételezı technológiai váltás. Végh és szezıtásai (2008) szeint egy ilyen váltás a belátható jövıben mindenképp elkeülhetetlen. Egyes szezık e technológiai váltással együtt a moden ipai temelésen alapuló gazdaság és tásadalom átalakítását is szükségesnek tatják: pl. Dábik (2003). A jelen tanulmány célja annak vizsgálata, hogy egy véges temészeti bázison alapuló gazdasági aktivitás miként hat a temészeti könyezet állapotáa, s ez az állapot miként befolyásolja a gazdasági aktivitás ingadozását. Vizsgálódásaimat a populációdinamikából jól ismet Lotka-Voltea egyenletek felhasználásával végzem, melyek közgazdasági poblémáka töténı alkalmazása meglehetısen gyakoi. Ezzel kapcsolatban elegendı csupán Móczá (2008) könyvét, valamint Bódy és Ábel (2008) cikkét említeni. Dolgozatomban a hangsúlyt a matematikai észletek helyett a közgazdasági intepetációa helyezve a dinamikus endsze viselkedését számítógépes szimuláció segítségével illusztálom. Az elsı szakasz a modellfeltevéseket ismeteti, a másodikban egy egyszeő statikus szemléletmódot követve megmutatom, hogy a gazdasági aktivitás könyezeti állapota gyakoolt hatásával kapcsolatos különféle váakozások milyen következményekkel jának. A hamadik szakaszban keül so a endsze dinamikus vizsgálatáa. Itt azt is megmutatom, hogy a könyezet állapotának javítása édekében alkalmazott aktivitáscsökkentés idıpontjának megválasztása döntı fontosságú: egy osszko alkalmazott akció többet át, mint használ. Az eedményeket a közlegelı mikoökonómiából ismet (pl: Vaian (1991)) példáján illusztálom. Az utolsó szakaszban néhány következtetést vonok le. 1. Modellfeltevések Tekintsünk egy véges temészeti bázison folyó gazdasági tevékenységet. A legközismetebb példa a falusi közlegelı, ahol a véges temészeti bázis a közlegelı, a gazdasági tevékenység, vagy aktivitás pedig a legeltetés. Két alapvetı feltevést teszünk: A temészeti bázis biológiai állapota valamilyen skaláis mennyiséggel jellemezhetı. Legyen ez a közlegelı esetében például az ott található biomassza mennyisége. Ez az állapot a gazdasági aktivitás métékének függvényében javulhat, illetve omolhat. Jelölje x a temészeti bázis állapotát, y pedig a gazdasági aktivitás métékét, példánkban utóbbi a közlegelıe kihajtott tehenek száma. Folytonos idejő modell alkalmazása esetén mindkét változó az idı folytonos, diffeenciálható függvénye, ám ezt a tényt az egyszeőbb íásmód édekében nem jelöljük. A temészeti bázis biológiai állapotának változását ezek szeint a legegyszeőbb módon az alábbi diffeenciálegyenlet íja le: x& = a by, x ahol a és b pozitív paaméteek, a változó fölé tett pont pedig annak idı szeint vett deiváltját jelöli. A közlegelı esetében ez azt jelenti, hogy amennyiben a kihajtott tehenek száma nem túl nagy, azaz a / b > y, a közlegelı biológiai állapota javul. Ennek oka a temészeti bázis eleve
adott, növekedési képessége. Egyenletünk a valóságot temészetesen eısen leegyszeősíti, hiszen egy véges méető közlegelın a biomassza mennyisége akko sem nıhet minden hatáon túl, ha oda egyetlen tehenet sem hajtanak ki. A legeltetés miatt azonban ez az egyszeősítés nem jelenti az általánosság különösebb megszoítását. A temészeti bázis biológiai állapotának fenti mozgásegyenletébıl temészetesen az is következik, hogy túlzott gazdasági aktivitás esetén, vagyis amiko a / b < y a biológiai állapot omlik, éspedig annál gyosabban, minél nagyobb a gazdasági aktivitás. A gazdasági aktivitással kapcsolatban feltesszük, hogy a bázisául szolgáló temészeti eıfoás költségmentesen áll endelkezésée, bizonyos temelési költségek azonban ettıl függetlenül felmeülnek. Legyen a gazdasági aktivitás konstans hatáköltsége c, az ábevétellel kapcsolatban pedig tegyük fel, hogy az egyészt egyenesen aányos a temészeti bázis biológiai állapotával, másészt az aktivitás konstans hatátemékétékével, melyet jelöl. Ennek összefüggése a Dábik (2003) által eısen ostoozott kamatlábbal elemi mikoökonómiai tény. Mindezek alapján a gazdasági aktivitásból számazó pofit: Π = xy cy = y( x c). Feltesszük továbbá, hogy a gazdasági aktivitás növekedési átája egyenesen aányos az aktivitás egységnyi métékée esı pofittal, és az aányossági tényezı egy. Ekko: y& = x c. y Visszatéve a közlegelı példájához, ez azt jelenti, hogy amíg a közlegelı viszonylag jó állapotban van, azaz x > c /, addig oda egye több tehenet hajtanak ki. Foditott esetben azonban a tehéntatás hatáköltsége meghaladja a hatábevételt, ezét egye több tehenet vágnak le, vagy adnak el, így a kihajtott tehenek száma csökken. 2. Statikus szemlélet Azt vizsgáljuk, hogy egyszeő elemzési eszközök felhasználásával milyen pognózis készíthetı a gazdasági aktivitás bázisául szolgáló temészeti eıfoás állapotáól. Az elızı szakaszban mondottak szeint e bázis mozgásegyenlete: dx / dt = x( a by), a gazdasági aktivitás mozgástövénye pedig: dy / dt = y( x c). Kiküszöbölve a két egyenletbıl az idıtényezıt: dx dy x y a by = ε =, x c ahol ε a temészeti bázis biológiai állapotának gazdasági aktivitás szeint vett ugalmassága. A közlegelı esetében ez azt mutatja meg, hogy hány százalékkal változik a közlegelın található biomassza mennyisége, ha az oda kihajtott tehenek száma egy százalékkal nı. A statikus szemlélet temészetesen nem teszi fel azt a kédést, hogy ez a változás mennyi idı alatt következik be. Továbbá a jobb oldalon álló töt szeint ez a ugalmasság mind a tehenek számától, mind pedig a közlegelın aktuálisan fellelhetı biomassza mennyiségétıl függ. Mivel pedig ezek a nagyságok idıben változnak, az ε ugalmasság sem lehet változatlan. A statikus szemléletnek megfelelıen azonban most azt tesszük fel, hogy ezt az étéket a temelık konstansnak tekintik. Megmutatjuk, hogy a közlegelıe vonatkozó pognózis most attól függ, hogy a temelık mekkoának becslik a temészeti bázis biológiai állapotának gazdasági aktivitás szeint vett ugalmasságát. Vizsgálódásaink soán az ε fenti definíciójából egyszeően levezethetı
c a b x = + y ε összefüggést fogjuk felhasználni, mely a közlegelı állapotát és a kihajtott tehenek számával magyaázza. Vegyük észe azonban, hogy a közlegelı állapota az ε ugalmasság étékétıl is függ! Elsıként azt az esetet vizsgáljuk, amiko a temelık azt feltételezik, hogy ez a ugalmasság megközelítıleg végtelen, azaz a tehenek számának egy százalékos növelése a közlegelı állapotának hatátalanul nagy métékő omlását eedményezi. Ekko a jobb oldalon álló kifejezés második tagjában a nevezı tat végtelenbe, így a közlegelın található biomassza mennyisége alulól az c x = étéket közelíti. A temelıknek ez a hatátalan óvatossága temészetesen nem jelenti a gazdasági aktivitás teljes megszüntetését. A temészeti bázis állapotának fenti, konstans étéken tatása az ide vonatkozó mozgásegyenlet szeint a tehenek számának a y = b métékő, szintén konstans szinten való tatását teszi szükségessé. Könnyő látni, hogy ezek az étékek képezik az elızı szakaszban felít dinamikus endsze fixpontját, így ezt, a hatátalanul óvatos temelık feltételezésével kapott szituációt a továbbiakban egyensúlyinak fogjuk nevezni. Megvizsgáljuk azt az esetet is, amiko a temelık kolátozottan óvatos becslést alkalmaznak. Ekko: < ε < 0. Rögtön látszik, hogy ekko a temészeti bázis osszabb állapotba keül, mint hatátalan óvatosság esetén: c a b x = + y < ε Az is látszik, hogy minél kevésbé óvatosak a temelık, azaz abszolút étékben minél kisebb ugalmasságot becsülnek, annál osszabb a temészeti bázis biológiai állapota. Ugyanakko minden így becsült étékhez létezik a gazdasági aktivitásnak egy olyan météke, mely a temészeti eıfoás biológiai állapotát még elfogadható szinten tatja. Legyen ez a még elfogadható szint: x < c /, ekko a gazdasági aktivitás lehetséges maximuma: c y = ε c b a x Látható, hogy a gazdasági aktivitás annál nagyobb, minél magasabb a temelık által anticipált ε ugalmasság, és annál kisebb, minél jobb könyezeti állapotot tekintünk még elfogadhatónak. Végül megvizsgáljuk a könyezet állapota iánt felelıtlen temelık esetét is. Feltesszük, hogy a temelık ekko is úgy vélik, hogy a gazdasági aktivitás növelése káosan befolyásolja a temészeti könyezet állapotát, ezt a hatást azonban elhanyagolhatónak tekintik, azaz: 0 > ε 0. A c a b x = + y ε összefüggésbıl jól látszik, hogy ebben az esetben a gazdasági aktivitás bámely szignifikánsan pozitív météke esetén: x, amit az iodalom a közlegelı tagédiájaként isme.
3. Dinamikus szemlélet Az 1. szakaszban bemutatott dinamikus endsze pályagöbéinek meghatáozása az iodalomból ismet, pl: Hatvani-Kisztin-Makay (2001), vagy Gandolfo (1997). Az analitikus megoldás helyett az 1. ábán mutatok be néhány tajektóiát. Mint látható, ezek zát göbéket alkotnak a endsze elızı szakaszban meghatáozott fixpontja köül. Az ába alapján jól nyomon követhetı az elızı szakaszban központi szeepet játszó ε ugalmasság tényleges métékének alakulása. Ez a ugalmasság y& = 0 nyugalmi vonal mentén, azaz változatlan gazdasági aktivitás mellett, amiko x = c /, végtelen. Az x& = 0 nyugalmi vonal mentén pedig, ahol a temészeti bázis állapota y = a / b következtében változatlan, ez a ugalmasság zéus. Amiko a gazdasági aktivitás és a temészeti könyezet állapota azonos iányban változik, pozitív, ellentétes iányú változás esetén pedig negatív. 1. ába 1 : A endsze pályagöbéi Fontos megjegyezni továbbá, hogy a modell nem tatalmaz hatáciklust: ha valamely exogén sokkhatás azt bámely pályagöbéıl kitéíti, nincs olyan mechanizmus, mely a endszet visszavezetné az elhagyott tajektóiáa. Ehelyett egy másik zát göbe mentén folyik tovább a gazdasági aktivitás és könyezeti állapot ciklikus ingadozása. Ez a tény felhasználható az 1 Valamennyi ába saját fejlesztéső szimulációs pogammal készült.
ingadozások amplitúdójának méséklésée, ami különösen abban az esetben fontos, ha feltesszük, hogy egy x > 0 küszöbéték alatt a temészeti könyezet elveszti egeneációs képességét. Dinamikus szemléletben x < x bekövetkezése jelenti a közlegelı tagédiáját. Megmutatjuk azonban, hogy nem mindegy, hogy miko éi egy ilyen, a gazdasági aktivitás métékét csökkentı beavatkozás a endszet. Tekintsük a 2. ábát, és téjünk vissza a közlegelı példájához. A gazdasági aktivitás méséklését célzó beavatkozás most tehenek levágását, illetve eladását jelenti, aminek az ábán egy vízszintesen bala töténı elmozdulás felel meg. Az ábával kapcsolatban feltehetı, hogy ezt a beavatkozást a temészeti könyezet biológiai állapotjavulásának lassulása váltotta ki. Mint látható, mivel ez a beavatkozás a közlegelı minıségének javulása idején tötént, az eedmény az ingadozások amplitúdóinak növekedése. 2. ába: A gazdasági aktivitás osszko alkalmazott méséklése A gazdasági aktivitás jóko alkalmazott csökkentését mutatja be a 3. ába. Itt a tehenek számát a közlegelı minıségének omlása idején csökkentettük, ami a ciklikus ingadozások csillapodását eedményezte. Amint az ábán látható, a temészeti könyezet pusztulása a gazdasági aktivitás csökkentése után is folytatódik. Ennek ellenée a könyezeti állapot alsó fodulópontja magasabban van, mint a gazdasági aktivitás csökkentése elıtt. Édemes továbbá megjegyezni, hogy a gazdasági aktivitás növelése is csökkentheti a temészeti könyezet állapotában bekövetkezı ingadozásokat, ha egy ilyen beavatkozása a temészeti könyezet biológiai állapotának javulása idején keül so. Ez a paadoxnak tőnı állítás a 2. ába segítségével könnyen ellenıizhetı.
3. ába: A gazdasági aktivitás jóko alkalmazott méséklése 4. Következtetések Hová vezet a temészeti könyezet pusztulása? Teszi fel a kédést számos, a jövıét aggódó gondolkodó. Tanulmányunkban ee a kédése a választ az 1. ába adja meg, melybıl két fontos következtetés adódik: Elıszö is: a temészeti könyezet pusztulása a gazdasági aktivitás csökkenéséhez vezet. Ennek következtében a temészeti könyezet állapota elıbb-utóbb javulni kezd, de ezt a javulást még hosszú idın át a gazdasági aktivitás további visszaesése kíséi. Lehet-e mésékelni a gazdasági aktivitás visszaesését? Igen, de ehhez a növekedés méséklése szükséges, ami a endsze fixpontjához közelebb esı pályagöbée töténı áttéést jelent. Hol tatunk most? Mit tehetünk a jelenlegi helyzetben? Nem állítható egyételmően, hogy napjaink világgazdasági válságát a temészeti könyezet biológiai állapotának omlása váltotta ki, de valószínőleg nem vagyunk távol ettıl a helyzettıl, ami az 1. ábán valamely pályagöbe jobb szélsı pontjának felel meg. Ebben a helyzetben a 3. ába tanulsága szeint gazdasági aktivitás jelenlegi exogén csökkentése egy a fixponthoz közelebb esı pályagöbée állítaná át a világgazdaság endszeét, így hosszabb távon a visszaesés alacsonyabb métékével kellene számolni. Csakhogy a temelés mélypontjától még endkívül messze vagyunk, a több évszázadon
át tató növekedést aká egy több évszázadon át tató hanyatlás is követhet. A jelenbeni növekedési áldozat gyümölcsét tehát elsısoban nem a soon következı néhány geneáció fogja élvezni, hanem a késıbbiek. A áfodítások és hozamok esedékessége közti ilyen métékő idıeltéés azonban olyan etikai kédéseket vet föl, melyek megválaszolása nemcsak e dolgozat, de a közgazdaságtudomány hatáain is túlmutat. Iodalomjegyzék Bódi, A. és Ábel, I. (2008) A Goodwin modell szimmetiái, Közgazdasági Szemle, LV, 333-343. Dábik, J. (2003) Uzsoacivilizáció - II. Gold Book. Gandolfo, G. (1997) Economic Dynamics, Spinge Hatvani, L., Kisztin, T. és Makay, G. (2001) Dinamikus modellek a közgazdaságtanban, Polygon, Szeged Móczá, J. (2008) Fejezetek a moden közgazdaságtudományból, Akadémiai Kiadó Vaian, H. R. (1991) Mikoökonómia középfokon, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó Végh, L., Szám, D., Hetesi, Zs. (2008) Utolsó kísélet, Kaiosz Kiadó