{Euklideszi geometria} 1. A Hilbert féle axiómarendszer Az axiómarendszer alapfogalmai: pont, egyenes, sík, illeszkedés (pont egyenesre, pont síkra, egyenes síkra), közte van reláció, egybevágóság (szögeké, szakaszoké). Illeszkedési axiómák. 1. Két ponthoz mindig tartozik egy egyenes, amelyre mindkettő pont illeszkedik. 2. Bármely két ponthoz legfeljebb egy egyenes tartozik, amely mindkét pontra illeszkedik. 3. Minden egyenesre legalább 2 pont illeszkedik; s létezik 3 olyan pont, amelyek nem illeszkednek egyetlen egyenesre sem. 4. Bármely 3 nem egy egyenesre illeszkedő ponthoz tartozik olyan sík, amely mindhárom pontra illeszkedik; minden síknak legalább 3 pontja van. 5. Bármely három, nem egy egyenesen lévő ponthoz legfeljebb egy olyan sík tartozik, amelyre mindhárom pont illeszkedik. 6. Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes minden pontja illeszkedik a síkhoz. 7. Ha két síknak van közös pontja, akkor legalább még egy van. 8. Van legalább 4 olyan pont, amely nem illeszkedik egy síkhoz. Rendezési axiómák 1. Ha B az A és C pontok között van (A B C), akkor A, B, C egy egyenesre illeszkedik, és B a C és A pont között van. 2. Két ponthoz, A-hoz és C-hez létezik az AC egyenesnek legalább egy olyan B pontja, hogy C az A és B pont között van. 3. Egy egyenes három pontja közül legfeljebb egy van a másik kettő között. 4. (Pasch axióma) Legyen A, B, C három nem egy egyenesen lévő pont, s e az ABC síkjának olyan egyenese, amely nem megy át az A, B, C pontokon; ha az e egyenes tartalmazza az AB szakasz egy pontját, akkor tartalmazza vagy a BC szakasznak vagy az AC szakasznak egy pontját is. Egybevágósági axiómák 1. Ha A és B az e egyenes két pontja, és A az e egyenesnek, vagy egy másik e egyenesnek egy pontja, akkor az A -nak egyik megjelölt oldalán van olyan B pont, hogy az AB és A B szakaszok egybevágóak. (Jelölés: AB A B ) 2. Ha két szakasz egybevágó egy harmadikkal, akkor a két szakasz egymással is egybevágó. 4
3. Ha AB és BC egy e egyenes közös belső pont nélküli szakaszai, továbbá A B, B C pedig e-nek vagy egy másik e egyenesnek közös belső pont nélküli szakaszai és AB A B, BC B C, akkor AC A C. 4. Legyen (h, k) az α sík egy szöge, a az α sík egy egyenese, h az egyenes O kezdőpontú adott félegyenese. Ebben az esetben az a egyenes megjelölt oldalán egy és csakis egy olyan k félegyenes létezik, amelyre a (h, k) egybevágó a (h, k ) -val. Minden szög egybevágó önmagával. 5. Ha az ABC és A B C háromszögekben akkor ABC = A B C. Folytonossági axiómák AB A B, AC A C és BAC = B A C, 1. Archimedeszi axióma. Ha AB és CD két adott szakasz, akkor van olyan n pozitív egész szám, hogy a CD szakaszt A-ból kiindulva B irányába n-szer fölmérve, túljutunk B-n. 2. Cantor féle axióma. Ha az egyenesen adott az egymásba skatulyázott intervallumok egy sorozata, akkor van olyan pont, amelyet minden intervallum tartalmaz. Párhuzamossági axióma Legyen e egy egyenes és A egy rajta nem fekvő pont. Ekkor a pont és az egyenes által meghatározott síkban legfeljebb egy olyan egyenes van A-n keresztül, amely nem metszi e-t. 2. Az euklideszi sík analitikus modellje Egy axiómarendszer modelljének leírásakor megadjuk az alapfogalmak reprezentációját a fölhasznált matematikai elmélet keretében, és ellenőrizzük, hogy az egyes axiómák minde-gyike teljesül-e. A most ismertetett modell esetén a fölhasználjuk a valós számok aritmetikájának tulajdonságait és ismert eszközeit. Nem a teljes Hilbert féle axiómarendszerre adunk modellt, hanem csak a sík esetére, tehát a fenti, az illeszkedési axiómák közül nem jön szóba 4-5-6-7-8. Az alapfogalmak reprezentációja a modellben: Alaphalmaz: R 2 Pont: (x 1, x 2 ) R 2 Egyenes: [(n 1, n 2, n 3 )], ahol (n 1, n 2 ) (0, 0), és két számhármas ekvivalens, ha egymás skalárszorosai. Illeszkedés: A (x 1, x 2 ) pont illeszkedik a [(n 1, n 2, n 3 )] egyenesre, ha n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0. 5
Között van reláció: (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) (c 1, c 2 ) reláció teljesül, ha van olyan λ (0, 1), hogy (b 1, b 2 ) = λ(a 1, a 2 ) + (1 λ)(c 1, c 2 ). Szakaszok egybevágósága: két szakasz egybevágó, ha euklideszi hosszuk megegyezik. Szögek egybevágósága: két szög egybevágó, ha valamely ortogonális transzformáció egyiket a másikba képzi. Megjegyzés: R 2 ortogonális transzformációi megadhatók x Ax + b, A O(2), b R 2 alakban. Ezzel a szakaszok egybevágósága is jellemezhető: két szakasz pontosan akkor egybevágó, ha van olyan ortogonális transzformáció, amely az egyiket a másikba viszi át. Az axiómák ellenőrzése Nem mindegyik axiómát ellenőrizzük, a kimaradókat az olvasóra bízzuk. Folyamatosan használjuk az analitikus geometria ismert eszközeit. I. Illeszkedési axiómák: 1. Amennyiben A(a 1, a 2 ) és B(b 1, b 2 ) két pont, akkor a rájuk illeszkedő egyenes egyenlete nyilván: (a 2 b 2 )x 1 + (b 1 a 1 )x 2 [(a 2 b 2 )a 1 + (b 1 a 1 )a 2 ] = 0. 2. Ha n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0 olyan egyenes, melyre A és B illeszkedik, akkor n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 = 0 n 1 b 1 + n 2 b 2 + n 3 = 0 ahonnan kivonással n 1 (a 1 b 1 ) + n 2 (a 2 b 2 ) = 0 adódik, s emiatt (n 1, n 2 ) merőleges (a 1 b 1, a 2 b 2 )-re, azaz (n 1, n 2 ) párhuzamos (a 2 b 2, b 1 a 1 )-vel: (n 1, n 2 ) = λ(a 2 b 2, b 1 a 1 ). Ezt az első egyenletbe helyettesítve n 3 -re az adódik, hogy n 3 = λ[(a 2 b 2 )a 1 +(b 1 a 1 )a 2 ]. Így (n 1, n 2, n 3 ) = λ(a 2 b 2, b 1 a 1, [(a 2 b 2 )a 1 + (b 1 a 1 )a 2 ]) ami azt jelenti, hogy az 1-ben konstruált egyenes és a 2-ben tekintett azonos. II. Rendezési axiómák. 1. Jelölje az A, B, C pontok koordinátáit (a 1, a 2 ), (b 1, b 2 ), (c 1, c 2 ). Ha A B C, akkor van olyan λ (0, 1), hogy (b 1, b 2 ) = λ(a 1, a 2 ) + (1 λ)(c 1, c 2 ), ezért ha AC egyenlete n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0, akkor n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 = 0 n 1 c 1 + n 2 c 2 + n 3 = 0 teljesül, s ha az első egyenlet λ-szorosához a második (1 λ)-szorosát adjuk, akkor összevonások után n 1 (λa 1 + (1 λ)c 1 ) + n 2 (λa 2 + (1 λ)c 2 ) + n 3 (λ + (1 λ)) = n 1 b 1 + n 2 b 2 + n 3 = 0 6
adódik. Így C az AC egyenesen van. A szimmetria λ és 1 λ felcserélésével adódik. 4. A Pasch axióma ellenőrzéséhez először azt figyeljük meg, hogy az AB szakasz pontosan akkor metszi az n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0 egyenletű egyenest a szakasz egy belső pontjában, ha az n 1 a 1 +n 2 a 2 +n 3 és n 1 b 1 +n 2 b 2 +n 3 értékek különböző előjelűek. Ugyanis, a metszés azt jelenti, hogy van egy olyan X az egyenesen, melyre A X B, azaz (x 1, x 2 ) = λ(a 1, a 2 ) + (1 λ)(b 1, b 2 ), és n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0. Előbbit az utóbbiba helyettesítve és átrendezve kapjuk, hogy λ(n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 ) = (1 λ)(n 1 b 1 + n 2 b 2 + n 3 ), s innen már adódik az összefüggés. Mostmár ha az n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0 egyenletű e egyenes metszi az AB szakaszt, akkor a n 1 c 1 + n 2 c 2 + n 3 érték először is nulla nem lehet, mivel C nincs rajta az egyenesen. Ezért értéke vagy n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 vagy n 1 b 1 + n 2 b 2 + n 3 értékével azonos előjelű. Ha pl. n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 -tól különböző előjelű, akkor az előbbiek szerint az e egyenes metszi az AC szakaszt. III. Kongruenciaaxiómák ellenőrzése 1. Az A kezdőpontú v irányú félegyenes analitikus leírása x = a +tv,, t 0 alakban lehetséges. Feltehetjük, hogy v = b a. Ekkor van olyan A O(2) ortogonális mátrix, hogy v = A(b a). Ekkor a sík x A(x a)+a ortogonális transzformációja a B pontot egy B -be képzi, s így nyilvánvalóan AB A B. A szakaszok egybevágóságának szimmetriája abból következik, hogy a felezőpontra vonatkozó tükrözés ortogonális transzformáció. 2. A tranzitivitási tulajdonság az ortogonális transzformációk csoport-tulajdonságából következik. 4. A (h, k) szög közös O kezdőpontú félegyeneseket jelent: h : o + tv, k : o + tw. Gram-Schmidt ortogonalizálással olyan ṽ, w ortonormált vektorrendszert kaphatunk, mely ugyanannak az α síknak az irányvektorai, ráadásul w ugyanabban a félsíkban van, mint w. Az α síkot meghatározó v, w irányvektorokról feltehetjük, hogy ortonormált rendszert alkotnak úgy, hogy w a kijelölt félsíkban van. Ekkor van olyan A ortogonális mátrix, hogy A(ṽ) = v és A( w) = w teljesül. Ekkor a sík x A(x o) + o ortogonális transzformációja megfelelő (h, k ) szögbe képzi le a megadott (h, k) szöget. Az egyértelműség az alkalmazott konstrukciók egyértelműségéből következik. 5. Az előzőekből világos, hogy van a síknak olyan ortogonális transzformációja, mely az AB szakaszt az A B -be képzi, a BC szakaszt B C szakaszba képzi, és az ABC szöget pedig az A B C szögbe. Ekkor nyilván A képe A, B képe, B és C képe C. Ezért CAB szög a C A B szögbe képződik, ezért kongruensek. IV. A folytonossági axiómák tulajdonképpen a valós számok analóg axiómáiból következnek. 7
V. A párhuzamossági axióma ellenőrzése Legyen az e egyenes egyenletével adott: n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 = 0, s az A pont (a 1, a 2 ). Mivel A nincs az egyenesen: n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 0. Amennyiben az n 1x 1 + n 2x 2 + n 3 = 0 egyenletű e egyenes olyan egyenes A keresztül, melynek nincs közös pontja a e-vel, akkor az egyenletrendszerek elméletéből következik, hogy a két egyenes normálvektora lineárisan függő: n 1 = λn 1, n 2 = λn 2. Mivel A illeszkedik a második egyenesre: n 1a 1 +n 2a 2 +n 3 = 0, s ebből n 3 = (n 1a 1 + n 2a 2 ) = λ(n 1 a 1 + n 2 a 2 ). Innen adódik, hogy e egyértelműen meghatározott, ugyanis n 1 : n 2 : n 3 = n 1 : n 2 : (n 1 a 1 + n 2 a 2 ). 8