. Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését indokolja az, hogy például az x = és x + x + = 0 egyenletek megoldását számnak tekinthessük: x = = ı (imaginárius egység), illetve x = ± = ± ı Komplex számnak nevezük az a + bı szimbólummal jelölt számokat, ha a és b valós. Az a + bı komplex szám valós része a, imaginárius vagy képzetes része b. Megállapodunk abban, hogy a komplex számok között az összeadást, kivonást, szorzást, osztást ugyanolyan szabályok szerint végezzük el, mint a valós számok körében. (Bebizonyítható, hogy ez a megállapodás lehetséges, és a komplex számok halmazán ugyanazok az azonosságok érvényesek, mint a valós számokra.) Komplex szám akkor és csakis akkor 0, ha a + bi-ben a = 0 és b = 0. b = 0-ra a komplex számok részhalmaza a valós számok. a = 0-ra a komplex számok részhalmaza az imaginárius számok. Két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha a valós részei és imaginárius részei egyenlők: a + b ı = a + b ı a = a, b = b Összeadás: (a + bı) + (c + dı) = (a + c) + (b + d)ı. Szorzás: (a + bı)(c + dı) = ac + bcı + adı + bdı = (ac bd) + (bc + ad)ı. Példák: (6 + ı) + (8 ı) = ı ( + ı)(7 + ı) = + 8ı 9ı = + 9ı (5 + ı)(5 ı) = 5 + = 9 (5 + ı) = 5 + 0ı = + 0ı ı =, ı = ı, ı =, ı 5 = ı
Két komplex szám hányadosa (osztás): a + bı (a + bı)(c dı) (ac + bd) + (bc ad)ı = = c + dı (c + dı)(c dı) c + d = Példa hatványozásra: ac + bd bc ad c + + d c + d ı (5 + ı) = 5 + 5 ı + 5 ı + ı = 5 + 75ı 5 ı = 0 + 7ı. Komplex számsík A komplex számokról szemléletes képet kapunk a komplex számsík által. ) A komplex számok és a rendezett számpárok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. ) A rendezett számpárok és a koordinátasík pontjai között ugyancsak kölcsönösen egyértelmű a megfeleltetés. y bı z = a + bı z ϕ ϕ a x bı z = a bı A z = a + bı komplex számhoz tartozik az (a,b) pont és a hozá tartozó helyvektor. Ennek hossza a szám abszolútértéke: z = a + b. A komplex szám argumentuma vagy irányszöge az a szög, amellyel az x tengelyt pozitív irányban elforgatva fedi a vektort. Ez az argumentum forgásszög, tehát ϕ, ϕ ± 60, ϕ ± 60,... ugyanazt a komplex számot határozza meg. Negatív irányban forgatva a ϕ szög negatív értelmű. Jele: arg z = ϕ. Bizonyítható: ) z z = z z
) z z = z z Konjugált komplex számok: z = a + bı és z = a bı egymás konjugáltjai: z a z-nek a valós tengelyre való tükörképe: ) z = z ) arg z = arg z ) zz = z = z ugyanis (a + bı)(a bı) = a + b Konjugáltakra vonatkozó azonosságok: ) z = z z ) z + z = z + z ) z z = z z ) z z = z z Komplex számok összeadása a vektorösszeadás szabályai szerint történik, szemléltetése is ennek megfelelő. A sík minden z pontjához a b komplex számot adva a kapott z = z + b komplex számoknak megfelelő pontok a sík pontjainak b vektorral való eltolásával adódnak. y z + z z z x Komplex számok szorzása z z = z z a korábbi azonosságokból következik. Az ábrán lévő kisebb háromszög mindegyik oldalához tartozó számot z -vel szorozva a nagyobb háromszög oldalvektorait kapjuk. Innen következik,
z z z z z = (z )z y z ϕ z z ϕ ϕ x hogy arg z z = arg z arg z. A z = az leképezés arg z-vel való elforgatás és a -kel való nyújtás egymásutánja: forgatva nyújtás. Komplex számnak valós számmal való szorzása: az O pontra vonatkozó centrális hasonlóság.. Komplex számok trigonometrikus alakja y r bı O ϕ a x
z = a + bı }{{} = r(cos ϕ + ı sin ϕ) }{{} algebrai alak trigonometrikus alak ahol r = z = a + b, a = r cos ϕ, b = r sin ϕ ) Írjuk fel trigonometrikus alakban a z = + ı komplex számot! z y ı O x z r = z = + = = cos 50 = sin50 Tehát z trigonometrikus alakja: z = cos 50 + ı sin 50. z konjugáltjának trigonometrikus alakja: z = cos 0 + ı sin 0. ) Írjuk fel a z = 5(cos 60 + ı sin 60 ) trigonometrikus alakban adott komplex számot algebrai alakban! cos 60 =, sin60 =, így z = 5 + ı5 Szorzás trigonometriai alakban: Ha z = r (cos ϕ + ı sin ϕ ) és z = r (cos ϕ + ı sin ϕ ), 5
akkor z z = r r (cos ϕ + ı sin ϕ )(cos ϕ + ı sin ϕ ) = = r r (cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ + ı sin ϕ cos ϕ + ı cos ϕ sin ϕ ) = = r r ( cos (ϕ + ϕ ) + ı sin (ϕ + ϕ ) ). Hatványozás trigonometriai alakban: z n = r r... r { (cos (ϕ + ϕ +... + ϕ) + ı sin (ϕ + ϕ +... + ϕ) } = = r n (cos nϕ + ı sin nϕ) (Moivre-képlet) Osztás trigonometriai alakban: A z = r(cos ϕ+ı sin ϕ) komplex szám reciproka: z = r( cos ( ϕ) + ı sin ( ϕ) ), ugyanis így z z = r r( cos (ϕ ϕ) + ı sin (ϕ ϕ) ) =. Ha z = r (cos ϕ + ı sin ϕ ) és z = r (cos ϕ + ı sin ϕ ), akkor z = r ( cos (ϕ ϕ ) + ı sin (ϕ ϕ ) ). z r Komplex szám reciprokának geometriai tartalma: z-nek az egységkörre vonatkozó tükörképét (inverzét) tükrözzük a valós tengelyre. y z O z x Komplex számok n-edik gyöke: Ha w = t(cos φ + ı sin φ) és z = r(cos ϕ + ı sin ϕ), akkor w n = z esetén w n = t n (cos nφ + ı sin nφ) = r(cos ϕ + ı sin ϕ), 6
innen t = n r és nφ ϕ = k 60, mivel az irányszögek 60 egészszámszorosával különbözhetnek, tehát φ = ϕ + k 60, ahol k tetszőleges egész szám. Így n w = n r (cos ϕ + k 60 + ı sin ϕ + k ) 60 n n k = 0,,...,n választásával n darab különböző gyök adódik, k további értékeire ezek ismétlődnek. Tehát egy komplex számnak n darab n-edik gyöke van. Példák: ) Határozzuk meg a z = és z = komplex számok négyzetgyökét! z = = (cos 0 + ı sin 0 ) z = (cos ϕ + k 0 + ı sin ϕ + k ) 0 (cos 0 + ı sin 0 ) = z = (cos 80 + ı sin 80 ) = k = 0, tehát z = = (cos 80 + ı sin 80 ) z = (cos ϕ + k 80 + ı sin ϕ + k ) 80 (cos 90 + ı sin 90 ) = ı z = (cos 70 + ı sin 70 ) = ı k = 0, tehát ) Számítsuk ki a z = 5(cos 0 +ı sin 0 ) és z = (cos 8 +ı sin 8 ) komplex számok szorzatát és hányadosát! z z = 5 ( cos (0 + 8 ) + ı sin (0 + 8 ) ) = 5(cos 58 + ı sin 58 ) z = 5 ( cos (0 8 ) + ı sin (0 8 ) ) = 5 z (cos + ı sin ) 7
) Számítsuk ki az ı komplex szám harmadik gyökeit! i = (cos 90 + ı sin 90 ) ı = (cos 90 + k 60 + ı sin 90 + k 60 ) k = 0,, ı = cos 0 + ı sin 0 ı = cos 90 + 60 ı = cos 90 + 70 + ı sin 90 + 60 + ı sin 90 + 70 = cos 50 + ı sin 50 = cos 70 + ı sin 70 ) Számítsuk ki a z = komplex szám negyedik gyökeit! = (cos 0 + ı sin 0 ) = (cos 0 + k 60 + ı sin 0 + k 60 ) k = 0,,, = cos 0 + ı sin 0 = = cos 60 = cos 70 = cos 080 + ı sin 60 + ı sin 70 + ı sin 080 = cos 90 + ı sin 90 = ı = cos 80 + ı sin 80 = = cos 70 + ı sin 70 = ı ı ı 8
5) Határozzuk meg annak a négyzetnek a csúcsait, amelynek A és B csúcsát a z a = + ı illetve a z b = 5 + ı komplex számok jelölik ki a komplex számsíkon! AB = z b z a = + ı ı-vel való szorzás pozitív 90 -os forgatást, ı-vel való szorzás negatív 90 -os forgatást jelent. Így AD = AB ı = (+ı)(ı) = +ı, AD = AB ( ı) = (+ı)( ı) = ı Ebből: C = z b + AD 5 + ı + ı = + 6ı D = z a + AD + ı + ı = + ı C = z b + AD 5 + ı + ı = 7 + ı D = z a + AD + ı + ı = 5 C D B A C D 6) Mutassuk meg, hogy az O középpontú kör két húrjának a, a illetve b, b végpontjaira: a a = b b a a b b a a = b b a a b b Párhuzamosság esetén: a -et b -be ugyanolyan szögű forgatás viszi, mint b -t a -be. Azaz a e = b illetve a e = b. Innen b a = a b, tehát 9
a b b a a a O b O a b a a = b b. A bizonyítás megfordítható. Merőlegesség esetén: a a párhuzamos b b -vel. Innen a a = b b, azaz a a = b b. A bizonyítás megfordítható. 7) Mi a geometriai helye a következő összefüggéseket kielégítő pontoknak: a) z a = z b b) Re(z ) = 5 c) z < Rez d) Imz > 0 e) z z + = a f) z + z = a g) Rez = h) z ı < i) a) Az a és b pontokat összekötő szakasz felezőmerőlegese. b) Az x = egyenes. c) Az y = x parabola belseje. d) Az y > 0 félsík (felső félsík). z < z > e) ± fókuszú lemniszkáták. Ha a <, akkor e lemniszkáták két önálló oválisból állnak, ha a =, akkor a Bernoulli-féle lemniszkátát kapjuk, ha a >, akkor zárt görbéket kapunk. f) Lemniszkáták. g) Az x y = hiperbola. h) Az M(0,) középpontú, sugarú kör belseje. i) Az x + y = 9 és (x ) + y = körök közötti gyűrűszerű tartomány. } 0
Feladatok: ) Írja fel exponenciális alakban a z = + ı és a z = cos α + ı sin α komplex számokat. ) Számítsa ki és szerkessze meg a z z szorzatot, ha a) z = + 5ı z = ı b) z = + 5ı z = ı c) z = + 5ı z = ı ) Számítsa ki a ( ı)e ı π és a (cos 05 + ı sin 05 )(cos 5 + ı sin 5 ) szorzatokat. ) Számítsa ki a ( + ı)( 7ı) szorzatot. 5) A z = ı komplex számot mint vektort forgassa el 60 -kal és zsugorítsa felére az abszolútértékét. 6) A z = 6ı komplex számot mint vektort hány fokos szöggel kell elforgatni, hogy eredményül a ++ı( ) komplex számot kapjuk? ( 7) Számítsa ki az 5e ı π ( ı) cos π + ı sin π ) szorzatot. 8) Számítsa ki a következő hányadosokat: a) d) + ı ı b) + ı cos 75 + ı sin 75 e) 5 + ı ı e ı π 6 + ı c) f) + ı ı ( ) ı e ı π g) ı ( ı)( + ı) h) cos 05 + ı sin 05 cos 5 + ı sin 5 i) ı + ı j) 5 ı ı k) + ı 9) Számítsa ki a következő hatványokat: l) + ı ı a) ( ı) 5 b) (ı ) 6 c) ( ) 8 ı ı d) ( ) ( ı)( + ı) e) (cos 5 + ı sin 5 ) f) ı ( e ı π 6 ) 8 g) ( ) ( + ı)e ı π h) ( ) 5 i) ı ( ) + ı ı
0) A (cos ϕ+ı sin ϕ) n = cos nϕ+ı sin nϕ összefüggés felhasználásával igazolja, hogy cos 6ϕ = cos 6 ϕ 5cos ϕsin ϕ + 5cos ϕsin ϕ sin 6 ϕ, illetve sin 8ϕ = 8sin ϕcos 7 ϕ 56sin ϕcos 5 ϕ + 56sin 5 ϕcos ϕ 8sin 7 ϕcos ϕ. ) Végezze el a következő gyökvonásokat: a) d) 8 b) c) + ı e) + ı f) 5ı cos π + ı sin π g) j) ı ( + ı) h) i) 8 k) 6 8e ı π l) 5 ıe ı π ) Oldja meg a következő egyenleteket: a) x 5 = 0 b) x 6 + 6 = 0 c) 5z = 8ı d) 9z = 0 e) (6 z)6 + = 0 f) z 8ı = 0 ) Oldja meg a következő egyenletrendszereket: } z + z = + ı ( + ı)z ( ı)z = 0 a) b) z + ız = ı ( + ı)z ( ı)z = 0 }