Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig

Hasonló dokumentumok
Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

I. A négyzetgyökvonás

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 10. KÖZÉP SZINT I.

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Hatvány, gyök, normálalak

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.

MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÉRETTSÉGI SZÓBELI TÉMAKÖRÖK

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

10. Koordinátageometria

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2017/2018-as tanév

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Gyakorló feladatsor a matematika érettségire

Függvények Megoldások

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Matematika Intézet. A Bevezető matematika tárgy gyakorlati anyaga

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 19. KÖZÉPSZINT

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

Számelmélet Megoldások

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT

Elméleti kérdés minták (3 x 5 pont) 1. Definiálja két halmaz unióját! Készítsen hozzá Venn-diagramot!

Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

Koordinátageometria Megoldások

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

I. rész. 4. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2 4x függvény szélsőértékét és annak helyét! Válaszát indokolja!

IV. Felkészítő feladatsor

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP és AP )

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

12. Trigonometria I.

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Kisérettségi feladatgyűjtemény

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. KÖZÉPSZINT

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

3 2 x 1 = 5. (9 pont) 2. Mekkora a szabályos kilencszög kerülete és területe, ha a legrövidebb átlója 85? (11 pont)

Szóbeli érettségi gyakorló feladatok

VI. Felkészítő feladatsor

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

5. feladatsor megoldása

1. Feladatsor. I. rész

(1 pont) (1 pont) Az összevont alak: x függvény. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? (2 pont)

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

Próbaérettségi feladatsor_b NÉV: osztály Elért pont:

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI február 21. KÖZÉPSZINT I.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

Átírás:

Totál alap példák érettségire - megoldás Számelmélet, algebra Osztható-e a 80 a következő számokkal? a) - j) -vel; -mal; -el; -tel; 6-tal; 8-cal; 9-cel; 0-el; -vel; -tel? I I I I I I N I I I (oszthatósági szabályok szerint) Add meg a 6-nak és a 8-nak a) a legnagyobb közös osztóját! (6; 8) = b) a legkisebb közös többszörösét! [6; 8] = 6 8 9 6 = 8 6 8 = LNKO (6; 8) = = LKKT [6; 8] = = Írd fel a következő számokat római számjegyekkel! a) - d) 0 89 XX IV C II D XX III MM DCCC XC III Válts át a számrendszerek között - írd fel a a) 97-et -es számrendszerbe! 97: = 8 m: 8: = m: 0 : = m: 0 : = 6 m: 0 6: = m: 0 : = m: : = 0 m: 97 = 0000 b) 000 kettes számrendszerbeli számot tízes számrendszerbe! 0 6 8 0 0 0 + 0 6 + 0 8 + + + 0 = 8 000 = 8

c) 0 hármas számrendszerbeli számot -ös számrendszerbe! (először a köztes 0-es számrendszerbe váltunk, majd az -ösbe) 0 9 0 9 + 0 + = 0 = : = m: : = 0 m: = 0 = 0 = Add meg a következő számok normálalakját! a) - d) 0 000 000 0 080 000 0, 000 007 0, 000 000 0, 0 8,08 0 8 7 0 6,0 0 7 Váltsd át az adott mértékeket! a) - b) 9,8 m = 98 cm 000 mm = 0 dm c) - d) dm = 00 cm 780 000 000 mm = 780 m e) - f), cm = 0 mm 99 000 000 dm = 99 000 m g) - h) dkg = 0 g 000 g = kg i) - j) 7 l = 700 cl 80 000 ml = 8 00 dl a) 6, liter,8%-os zsírtartalmú tej mennyi zsírt tartalmaz? Tehát mennyi a 6,-nek a,%-a %-a: 6,: 00 = 0,06,8%-a: 0,06,8 = 0,8 Tehát 0,8 liter zsírt tartalmaz. b) Egy pulóver árát 0%-al csökkentették, így most 00 Ft-ba kerül. Mennyi volt eredetileg? Tehát 00 0 = 80% -al egyenő az 00, tehát az % = 00: 80 = 6, Eredetileg pedig 00% = 6, 00 = 6 Ft c) Hány %-al lépem túl a sebességhatárt, ha 90 helyett 0-el hajtok? Itt a 90 = 00%, tehát % = 0,9. 0: 0,9 =, így %-al lépem túl a 00%-ot (90 km/h-t) Alakítsd át teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a) - c) x + x + 6 x x + 0 x + x x + x + 6 = (x + ) + (x + ) = x + x + x x + 0 = (x,) +,7 (x,) = x x + 6, x + x = (x + 6x) x + 6x = (x + ) 9 [(x + ) 9] = (x + ) 8 = (x + )

Végezd el a következő műveleteket! a) - d) + 6 7 6 8 : 6 + 6 + = 0+ = 6 = 7 0 = 7 = = = 6 6 8 : = 8 6 = 8 = 6 6 + = + = 8 = 6 6 6 Add meg a következő kifejezések értékét! a) + (8 ( 6) ) 9 = + (8 ( ) ) 9 = + ( ) 9 = + ( 8) = 8 9 = b) : ( + ) = : (8+) = : = = = = Egyenletek Oldd meg a következő elsőfokú egyenleteket! 8 a) x + 8 = x / + x 7x = / : 7 x = 7 b) x+ = 0x 6 / 6 (x + ) = (0x 6) 6x + = 0x / + 6x = x / : x = = 7 c) (x )( + x)(x + ) = 0 egy szorzat akkor lesz 0, ha valamely tényezője 0 x = 0 x = x = + x = 0 x = x + = 0 x = x = Oldd meg a következő másodfokú egyenleteket! Megoldóképlet: x ; = b± b ac a) x + x 8 = 0 x ; = ± ( 8) = ± +68 = ±9,6 x =,6 x =,66 a b) x + 6x + = 0 x ; = 6± 6 ( ) ( ) = 6± 6+ 6 = 6±6,96 6 x = 0,6 x =,6

Hatvány, gyök, log, exp Add meg a következő hatványok értékét! a) - e) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) ( ) ( ) = = 9 6 ( ) = ( ) = 6 = ( ) = = = 9 ( 8 ) = ( ) = 8 ( ) 8 = = = 6 () ( )6 = 6 = 6 = ( 8 ) = = Bontsd fel a zárójeleket! a) - d) (x + y) ( b + ) (8 z) (h p) (x + y) = 9x + x y + y = 9x + 0xy + y ( b + ) = 9 b + 0 b + (8 z) = 6 8z + 9z (h p) = h hp + 6 p Egyszerűsítsd a következő kifejezéseket! a) ( x6 y ) ( xy ) b) x (x ) x 7 ( x6 y ) ( xy ) = 8 x7 y 6 = 8x7 y 6 x (x ) x 7 = x x = x, = x 7 x 7 x, 7 = x 8, = x 7 y 6 Gyöktelenítsd a nevezőket! a) - d) 7 + 7 a a+ = 7 = 7 = 7 7 7 7 7 7 7 = = = = 6 = 7 = ( 7) + 7 + 7 7 ( ) ( 7) = ( 7) = 99 7 8 7 a = a a = ( a ) ( a ) a+ a+ a ( a) = a a 6 a+ = a 0 a+ =.. () a 6 a 6

Végezd el a következő műveleteket! a) + b) + + 6 + + + 6 = = ( +)+ (6 ) = = ( ) = = = = 0+ +6 0 0 = 7 0+ 0 Add meg a logaritmusok értékeit! a) - e) log 7 log 6 log 6 log 6 log 8 = = 6 = = 6 =, mert 6 = 6 Oldd meg a következő log és exp egyenleteket! a) lg(x 6) + lg(x ) = lg kikötés: x 6 > 0 x > 6 x > 0 x > 7 lg[(x 6)(x )] = lg 000 mert = lg 000 lg(x x x + 8) = lg 0 log. fgv. szig. mon. x 6x + 8 = 0 x 6x = 0 x =, kikötés miatt elelentmondás x =, b) x + x x = 69 x x x / x + 0 x x = 09 / x a a + 0a a = 09 a + 9a 09 = 0 a =,76 x =,76 ellentmondás, az minden hatványa pozitív a = 0,97 x = 0,97 x = 0,97 lg x = lg 0,97 x lg = lg 0,97 x = lg 0,97 lg =,88 Halmazok Add meg A B, A B, A \ B és A halmazokat a H alaphalmazon! A = {egyjegyű páratlan számok} = {; ; ; 7; 9} B = {egyjegyű prímek} = {; ; ; 7} H = {0 nél kisebb pozitív egészek} = {; ; ; 8; 9} A B = {; ; ; ; 7; 9} A B = {; ; 7} A \ B = {; 9} A = {; ; 6; 8}

Egy 0 fős osztályban mindenki sportol, vagy focizhatnak vagy kosarazhatnak. Tudjuk, hogy -en fociznak és 6-an kosaraznak. Hányan űzik mindkét sportot egyszerre? 0-an sportolnak, focista és 6 kosaras van ebből + 6 = 8 8-al több, mint a 0, így 8-an játszák egyszerre a két játékot. Logika Töltsd ki az igazságtáblát! ( igaz; 0 hamis) A B A B A B A B A B A (A B) (A B) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tagadd a következő mondatokat! a) Minden gyerek szereti a fagyit. Van olyan gyerek, aki nem szereti a fagyit. b) Van olyan autó, aminek csak kereke van. Semelyik autónak nincs kereke. (Minden autónak nem kereke van.) Függvények Ábrázold a következő függvényeket! a) f(x): y = x + b) f(x): y = (x + ) ezt jellemezd is! c) f(x): y = x + d) f(x): y = x + e) f(x): y = x Sorban a függvények képei: y = (x + ) (parabola) jellemzése: ÉT: ÉK: x ϵ R y ϵ R zh: (x + ) = 0 x + x + = 0 x + x + = 0 x ; = ± 6 monotonitás: szélsőérték: = ± szig.mon.cs a ] ; ] -on szig.mon.nő a [ ; [ -on max nincs min hely: x = min érték: y = x = x = 6

Gráfok Adj meg egy olyan pontú gráfot, melynek fokszámai: ; ; ; ;. pl.: Sorozatok Add meg a következő számtani sorozat hiányzó elemeit! a = 8 d =, a 7 S a n = a + (n ) d a 7 = 8 + (7 ), = S n = n (a + (n ) d) S = ( 8 + ( ),) =, Add meg a következő mértani sorozat hiányzó elemeit! a = q =, a S 9 a n = a q n a =, = 8, S n = a (q n ) q S 9 = (,9 ), = 8, Kombinatorika db különböző könyvet hányféleképpen tehetünk sorba?! = 79 00 600 db ezrest, db ötszázast, illetve - húszezrest, tízezrest, ötezrest és kétezrest hányféleképpen tehetünk sorba?!!! = 77 00 Egy fős osztályból hányféleképpen választhatunk ki véletlenszerűen embert? ( ) = 0 76 Valszám Egy szabályos 6 oldalú dobókockával dobálunk. a) Mekkora eséllyel dobok -est? p ( es) = 6 b) Egymás után kétszer dobva mekkora eséllyel dobok db -öst? p (db ös) = 6 6 = 6 7

Egy lapos magyar kártyapakliból húzok kártyákat. a) Mekkora eséllyel húzhatom ki a piros ászt? p (piros ász) = b) Mekkora eséllyel nem lesz a húzásom zöld? p (zöld) = 8 p (nem zöld) = 8 = Stat 00. január első 0 napján végig havazott, a következő mennyiségű hó hullott: cm; cm; cm; cm; cm; cm; cm; cm; 6 cm; cm a) Mekkora az adatsorunk átlaga, módusza, mediánja, terjedelme és szórása? átlag: medián: módusz: ++++++++6+ 0 =, adatok sorban: ; ; ; ; ; ; ; ; ; 6 terjedelem: 6 = (középső érték) (leggyakoribb érték) szórás: (, ) + (, ) + (, ) + (, ) + (, ) + (, 6) 0 =, b) Ábrázold az adatokat oszlopdiagramon, illetve kördiagramon! mm 6 db összesen 0 adat van, tehát adatonként a kördiagramon 60 0 = 6 mm db 6 = 6 mm db 6 = 7 mm db 6 = 6 mm db 6 = mm db 6 = 6 6mm db 6 = 6 8

Síkgeo Egy háromszög szögeinek aránya : : 6. Mekkorák a háromszög szögei? A Δ szögeinek összege 80, így az arányokat átírva: x + x + 6x = x = 80 x = x = 8 x = 60 6x = 7 Egy négyszög oldalai a =,; b =,8; c =, és d =, cm hosszúak. Kicsinytett képén d =, cm. Mekkora a kicsinyített kép többi oldala? Az új négyszög a régiből lett kicsinyítve, így hasonlóak, tehát oldalaik aránya megegyezik. Az eredeti, cm, cm lett, azaz, -al szoroztunk. A többi oldalt is beszorozva ezzel: a =,, = 0,8 cm, b =,8, =, cm, c =,, =,6 cm, Mekkora szöget zár be egymással az óra kis- és nagymutatója 0: 0 -kor?, Mint az ábrán is látszik: 0 + = 0 -ot zár be Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 0, a mellette lévő befogó 0 cm. Mekkora az átfogó? Szögfüggvényt használunk: cos = szöggel szomszédos befogó átfogó cos 0 = 0 átfogó átfogó = 0 =, cm cos 0 Egy egyenlő szárú háromszög oldalai 0, 0 és 7 cm hosszúak. Mekkora a területe? Az egyenlő szárú Δ felbontható derékszögű Δ-re, melyből így Pitagoras-tétellel számolható a magasság:, + m = 0 m = 00, = 87,7 m = 9, cm T Δ = a m a = 7 9, =,9 cm Egy háromszög egyik szöge 0, a mellette lévő oldalak pedig 6 és 8 dm hosszúak. Mekkora a területe? Cos-tétellel oldható meg: c = a + b ab cos de egyszerűbb, ha Trigonometrikus területképletet alkalmazzuk: T Δ = a b sin 6 8 sin 0 = =, dm 9

Egy kör átmérője m. a) Mekkora a kör területe és kerülete? T o = r = = 9 m K o = r = = 6 m b) Ebből a körből egy 0 -os középponti szögű körcikket vágunk ki. Mekkora a területe? T cikk = r = 60 0 = 0,7 m 60 ív = r = 0 = 0, m 60 60 K cikk = ív + r = 0, + 6 m Egy négyzet átlója 7 cm, mekkora a kerülete és a területe? Pitagoras-tétellel egyszerűen számolhatóak az oldalak, majd abból a terület a + a = 7 a = 9 a =, T = a =, cm Egy trapéz oldalai sorban,, 6 és cm hosszúak. Mekkora a területe? Mivel az oldalak sorban vannak megadva, két megoldás létezik: A párhuzamos oldalak vagy a és 6 cm hosszúságúak, vagy a és cm-esek. T trapéz = (a+c) m Tehát csak az m -et kel lkiszámolnunk és alkalmazható is a képlet Pitagoras-tételek felírása a két derékszögű Δ-re: I. x + m = m = 9 x II. ( x) + m = 6 ( x) + m = 6 T trapéz = (a+c) m II. ( x) + [9 x ] = 6 x + x + 9 x = 6 0 x = 6 6 = x x = I. m = 9 x m = 9 ( ) m = 9 69 ellentmondás nincs ilyen trapéz Másik trapézzal számolva: I. x + m = m = x II. ( x) + m = ( x) + m = 6 II. ( x) + [ x ] = 6 9 6x + x + x = 6 6x = 6 8 = 6x x = I. m = x = = 6 = (6+) m = (ügye a nincs értelmezve) = 8 cm Mekkora az cm oldalhosszúságú szabályos háromszög beírható körének területe? Szabályos Δ-re, illetve beírható körre is van Δ T-képlet, elég azokat alkalmazni: T szabályos Δ = a = = 0,8 cm r = beírható kör sugara; s = K = = 7, T Δ = r s 0,8 = r 7, r =, cm T o = r =, =, cm 0

Térgeo Vegyünk egy ; és 6 cm élhosszúságú téglatestet? a) Mekkora a lapátlója és testátlója? A téglatest lapátlói páronként egyezőek, illetve a testátlója egyforma hosszú. Az ábráról leolvasva Pitagoras-tétellel mindegyik számolható. e = b + c = + 6 = + 6 = 6 e = 7,8 cm f = a + b = + = 6 + = f = 6, cm g = a + c = + 6 = 6 + 6 = g = 7, cm h = a + e = + 6 = 77 8, cm b) Mekkora a felszíne és térfogata? V téglatest = a b c = 6 = 0 cm A téglatest = ab + ac + bc = + 6 + 6 = 0 + 8 + 60 = 8 cm Egy háromszög alapú hasáb magassága 0 m, alapjának oldalai ; és m hosszúak. Mekkora a felszíne és térfogata? V hasáb = T alap m A hasáb = T alap + T oldallapok Az alap Δ területét sokféleképpen kiszámíthatjuk. (pl. Héron képlet, alap T-képletek, cos-tétel segítségével, stb.) T alap = 6 m Az oldallapok ügye mind téglalapok: T téglalap = a b T.téglalap = = m T.téglalap = = 0 m T.téglalap = = m T oldallapok = T.téglalap + T.téglalap + T.téglalap = + 0 + = 7 m A hasáb = T alap + T oldallapok = 6 + 7 = m V hasáb = T alap m = 6 0 = 60 m Mekkora a magassága és felszíne annak a hengernek, melynek térfogata 86 m, alapsugara pedig m? T alap(kör) = r = = m V henger = T alap M 86 = M M = m A henger = T alap + palást A palást ügye egy (feltekert) téglalap, melynek egyik oldala a henger magassága (M), másik az alapkör kerülete. K alapkör = r = 0 palást = M K alapkör = 0 =,6 m A henger = T alap + palást = +,6 = 0,7 m

Egy négyzet alapú gúla magassága 6 dm, alapterülete 6 dm. Mekkora a felszíne és térfogata? Az alapterületből (négyzetből) kiszámítható az oldalak hossza T alap = a = 6 a = dm V gúla = T alap M = 6 6 = dm A négyzetes gúla = T alap + T ABPΔ T ABPΔ kiszámításához szükséges m a m a -t Pitagoras-tétellel számolhatjuk TFPΔ ből m a = ( a ) + M = ( ) + 6 m a = 6, dm T ABPΔ = a m a =,6 dm A négyzetes gúla = T alap + T ABPΔ = 6 +,6 = 66, dm = 6, Egy kúp alapsugara 0 mm, magassága az alapkerületének a negyede. Mekkora a felszíne és térfogata? r = 0 mm K alap = r = 7 mm m = K = 7 = 88, mm a = r + m a = r + m =, mm V kúp = T alap m = r m = 8, mm A kúp = T alap + palást = r + ar = 9 96 mm Egy 60 cm átmérőjű labdába hány dl levegő fér? d = 60 cm R = 0 cm V gömb = R = 0 = 0 097 cm 0 dm = 0 l = 00 dl a) Mekkora a 79 m térfogatú kockába írható gömb sugara? V kocka = a 79 = a a = 9 m Be- és köréírható testeknél érdemes síkba vetíteni r = a = 9 =, m b) Mekkora a köréírható gömbjének felszíne? Itt ismét érdemes levetíteni a síkra Látszik, hogy a kör (gömb) átmérője a négyzet átlója, tehát a sugara a négyzet átlójának a fele. Pitagosas-tétellel számolva: (R) = a + a R = a R = a A gömb = R = 6, =,7 m = 9 = 0, R = 6, m Trigo Add meg x értékét! a) sin x = b) cos x = x = 0 + k x = 0 + l x = 0 + k x = 0 + l k; l Z

Oldd meg az egyenleteket! a) cos x = sin x ( sin x) = sin x (cos x + sin x = cos x = sin x) sin x a ( a ) = a a + a = 0 megoldóképlettel megoldani a = a = a második megoldás nem jó, hisz a sin és cos csak a [ ; ]-on van értelmezve a = = sin x előző feladatban ezt a példát már megoldottuk x = 0 + k x = 0 + l k; l Z b) sin (x ) = (x ) a 6 6 sin a = sin a = előző feladatban ezt a példát már megoldottuk a = 0 + k a = 0 + l a = (x ) 0 = (x ) = x 0 x = 60 6 6 x = 60 + k a = (x ) 0 = (x ) = x 0 x = 80 6 6 x = 80 + l k; l Z Az szög kiszámítása nélkül add meg a kért szögfüggvényeket, ha tudjuk, hogy sin = 0,6! cos tg ctg Azonosságokat használjuk fel: cos x + sin x = cos x + 0,6 = cos x = 0,6 = 0,6 cos x = 0,8 sin x = 0,6 cos x tg x = = = 0,7 0,8 cos x ctg x = ( ) = = =, sin x tg x 0,7 Egy derékszögű Δ-ben az egyik hegyesszög 0, a vele szemben lévő befogó 6 cm. Mekkora a kerülete? Megkeressük a megfelelő szögfüggvényt sin 0 = szemközti befogó átfogó = 6 átfogó átfogó = 7,8 cm Másik befogó Pitagoras-tétellel: 7,8 6 = befogó másik befogó =,8 = cm (Számolhattunk volna itt is szögfüggvénnyel: cos 0 = Adottak az oldalak K = + 6 + 7,8 = 8,8 cm szomszédos befogó átfogó = szomszédos befogó 7,8 ) Adott két egybevágó négyzet, az egyik csúcsai ABCD, a másiké CDEF (CD él közös). EF oldal felezőpontja az M pont. Adott még p = BA és q = AD vektorok; ezek segítségével fejezd ki AM vektort! AM = q p a q vektor duplája a q vektor a p vektor fele a p vektor a p vektor ellentettje pedig a p vektor

Korgeo Egy egyenes irányvektora i(; ). a) Add meg az egyenes egyik normálvektorát! Tudjuk, hogy az irányvektor és a normálvektor egymásra merőleges, így csak el kell forgatnunk a vektort 90 -al (koordináták felcserélése, majd az első ellentettje) i(; ) n( ; ) b) Az egyenes y tengelyt + -ben metszi. Add meg az egyenletét! Az irányvektor megadja az egyenes meredekségét, így csak fel kell írnunk az egyenletét y = m x + b ( m: meredekség; b: y tengely metszete ) y = x + i(; ) meredeksége: a) Add meg a A( ; ) és B(; ) pontokon átmenő egyenes egyenletét! (A függvénytáblában szerepel képlet a két ponton átmenő egyenesre.) Most leolvasható az ábráról a meredekség is és az y tengelymetszet is y = m x + b m = = b = y = x + b) Add meg az egyenes zérushelyét! Ez is leolvasható egyértelműen: x = c) Add meg AB szakasz hosszát! Ha nem látszana, akkor az egyenes egyenletét egyenlővé téve 0-val és megoldva az egyenletet, a megoldás megadja a zérushelyet: x + = 0 x = (A függvénytáblában szerepel képlet két pont távolságára.) Észrevehető az ábrán egy derékszögű Δ, abból Pitagoras-tétellel számolható a távolság: + = AB 0 = AB AB = 7, Adott egyenes, melyek meghatároznak egy Δ -et. f(x): y = x + g(x): y = x h(x): y = x a) Add meg a Δ csúcsainak koordinátáit! Az ábráról csak az A(; ) olvasható le egyértelműen A másik két csúcsnál az egyenesek metszéspontja segítségével számoljuk ki a koordinátákat, egyenletrendszerként kezeljük az egyenleteiket. B g és h metszéspontja I. y = x II. y = x y = y x = x x = B ( ; 7 ) C g és f metszéspontja I. y = x II. y = x + y = x = = 7 C ( 8 ; ) y = y x = x + x = 8 y = x = ( 8 ) =

b) Add meg a Δ legkisebb szögének nagyságát! A legkisebb szög mindig a legkisebb oldallal szemközti szög kiszámoljuk az oldalakat, majd cos-tétellel a legkisebbel szemközti szöget. Az oldalakat vagy képlettel, vagy a c) példában látott módon Pitagoras-tételekkel számoljuk A három oldal így: ; ;,7 cos-tételt felírva a kisebbik oldalra megkapjuk a szöget c = a + b ab cos = +,7,7 cos =,6 (A szögei így:,6 ;,6 ; 90,88 Az f(x) és g(x) egyenesek meredekségei egymás negatív reciprokai, így a két egyenes egymásra merőleges, azaz a háromszögünk valójában derékszögű.) Egy kör átmérője az AB szakasz. A( ; ) és B(; ). A kör középpontja az AB szakasz felezőpontja (O) Felezőpont számítása: a koordináták számtani közepe. O ( + ; + ) = O ( ; ) A kör sugara az AB távolság fele (mint korábban is számoltunk ilyet) AB = 7,8 r =,9 a) Add meg a kör egyenletét! Képlet szerint: (x u) + (y v) = r (x + ) + (y ) =,9 b) Hol metszi a kört az y = x + egyenes? Metszéspontszámítás: az egyenleteiket egyenletrendszerként kezeljük és kiszámítjuk I. (x + ) + (y ) =,9 II. y = x + I. (x + ) + ([ x + ] ) =,9 x + x + + ( x) =, x + x + + + x + x =, x + x + =, x + x,96 = 0 x =, x =, y = x + = 0, y = x + =,0 M (,; 0,) M (,;,0) c) Rajta van a körön a P(; 0) pont? Egy pont rajta van a körön, ha a P(x 0 ; y 0 ) pont x 0 és y 0 koordinátáit beírva x és y helyére, az egyenlet azonosságot ad (azaz nincs ellentmondás). (x + ) + (y ) =,9 egyenletbe írva a P(; 0) pont ( + ) + (0 ) =,9 6,, éppen, de nincs rajta Amennyiben hibát találtál, kérlek írj az info@matematikam.hu e-mail címre, köszönöm! Sok sikert az érettségihez!