Tetzőlege mozgáok Egy turita 5 / ebeéggel megy órát, Miel nagyon zép elyre ér lelaít é 3 / ebeéggel alad egy fél óráig. Cino fiukat/lányokat (Nem kíánt törlendő!) lát meg a táolban, ezért beleúz é 8 / ebeéggel 5 perc múla utoléri őket. Özeen mekkora utat tett meg? Az elő zakaz 5 / = 0 ozú. A máodik zakaz,5, a armadik ozú. Özeen 3,5 -t tett meg. Ez a módzer áltozóebeégű mozgáoknál i aználató. Fel kell bontani az utat olyan ki rézekre, aol a ebeég állandó, ki kell zámolni az egye útzakazok ozát, é öze kell adni. Vizgáljuk meg a ebeég-idő grafikont! A turita ebeég-idő grafikonja: t 5 0 t 3 0,5,5 3 3t 3 8 0, 5 Teát a ebeégidő grafikonon a görbe alatti terület megadta a megtett utat. Tetzőlege mozgá eetén a ebeég minden pillanatban má é má leet. Ilyenkor úgy atározatjuk meg az utat, ogy a pályát olyan ki zakazokra bontjuk, aol a ebeég állandónak eető, kizámoljuk az ezeken a zakazokon megtett utakat, é özeadjuk. = i = i t i A ebeég az elő zakazon legyen, a máodik zakazon,. Ábrázoljuk a ebeéget az idő függényében é rajzoljuk be a grafikonba az egye zakazokra álaztott állandó ebeégeket ( ; ; )! A téglalapok területének özege t + t + = i = = i t i = i Annál pontoabban kapjuk meg az utat, minél pontoabban bontjuk állandó ebeégű rézekre a mozgát. Ez azt jelenti, ogy a ebeégidő grafikonon a görbe alatti terület mindig megadja a megtett utat. Ha meg tudjuk atározni a görbe alatti területet, akkor nem kell rézekre bontani a mozgát! Ha eloztjuk az utat az időel, megkapjuk azt a ebeéget, amellyel, mint állandó ebeéggel alada, a tet ugyanazt az utat ugyanannyi idő alatt tenné meg, mint a ténylege mozgá orán. Ezt a ebeéget átlagebeégnek neezzük. Teát, azaz az átlagebeég annak az egyenlete mozgának a ebeége, amellyel töz alada a tet ugyanazt az utat ugyanannyi idő alatt tenné meg, mint a ténylege mozgá orán.
Hogyan leetne megatározni egy tetzőlegeen áltozó mozgát égző tet ebeégét? Határozzuk meg, ogy milyen ebeéggel alad egy adott elyen egy görkorcolyázó! A ebeégez azt kell tudni, ogy időegyég alatt mekkora utat tez meg a tet. Kérjük meg egyik barátunkat, ogy álljon az adott elyre, néány máikat pedig, ogy álljanak tőle, mondjuk 0 méterenként é jegyezzék meg, ogy mikor ment el mellettük a görkori. Tegyük fel. ogy az elő mérőponton 0 órakor (0 00 00 ), a máodikon 0 óra 5 máodperckor(0 00 05 ), rendre 0 00 09 ; 0 00 4 ; 0 00 0 kor aladt át. Görbe onalú pálya eetén neéz megatározni az elmozdulát, dolgozzunk inkább az utakkal. A 80m m 40m m görkorcolyázó a 80 métere utat 4, a 40 métere utat 4,44 átlagebeéggel tezi meg. A mérőpontok táolágának a röidítééel eléretnénk, ogy pl. cak a 0 9 máodik agy a armadik tizede jegy áltozzon, így tetzőlege pontoággal megatározatnánk kérdée ebeéget, A pillanatnyi ebeégen annak az egyenlete mozgának a ebeégét értjük, amely az adott pillanat ki körzetében a legjobban aonlít a ténylege mozgáoz. A ebeég az időegyégre eő elmozdulá. A rajzon látató, ogy a az adott pont körül űrűbben állítjuk fel az időmérőket, akkor az elmozdulá egyre közelebb eik az adott pontbeli érintőöz. Ezért görbe onalú mozgá eetén a ebeég minden pontban érintő irányú. Mintafeladatok:. Egy kerékpáro 0 percig egynek felfelé 5 /, utána lefelé egy negyedóráig 36 / ebeéggel aladt. Mekkora az átlagebeége? Hogyan i kell zámolni az átlagebeéget? Miel az átlagebeég = özút/özidő, ki kell zámolni az utat. t = /3 óra t = ¼ óra = 5 / = 36 / átl =? = t = t = 5 / = 5 = t =36 / = 9 4 9 5 4 68 4 töz 4 3 7 3 4
. Egy kocial óra alatt meg kell tennünk 90 -t. Ha nem érünk aza időre balé lez. 30 percig 90 / átlagebeéggel aladtunk, de 0 percre meg kellett állnunk, mert defektet kaptunk. Mekkora átlagebeéggel kell aladnunk az út átraléő rézén, a nem kéetünk? Mennyi idő maradt, ány kilométerre? Fél óra alatt megtettünk 45 -t. Hátra an még 45, amire 30 m 0 m = 0 perc maradt. 45 35 t Orzágúton ezért nagy bünti jár! 3 3. Egy gépkoci,5 óra alatt tezi meg a Budapet Szeged közötti 70 -e utat. Az út elő felében 64 / átlagebeéggel alad. Mekkora az egéz útra zámított átlagebeég? Mekkora az autó átlagebeége az út máodik felében? Mi i az átlagebeég? = 70 = 85 = = 64 / =? ö 70 68 t,5 ö 85 t,33 t,5 t,8 64 85 7,03 t,8 4. Egy gépkoci az útja elő felén 70 / ebeéggel alad. Mekkora a ebeége az út máodik felén, a az egéz utat 80 / átlagebeéggel tette meg? Még mindig nem tudod, ogy ogyan kell zámolni az átlagebeéget? = 80 / = 70/ =? A koci az út elő felét t idő alatt tezi meg. Az út máodik felét t idő alatt tezi meg. A menetidő: tö t t Az átlagebeég: ö t ö 70 80 4 70 7 70 80 80 4 7 93,33 3
5. Egy repülő a menetidő elő felében 800 /, a máodik felében 900 / ebeéggel aladt. Mekkora az egéz útra zámított átlagebeége? = 800 / = 900/ átl =? Haználjuk az átlagebeég definícióját! t t t öz t t t öz t 800 900 850 6. Egy elyi járat odafelé 40 /, izafelé 60 / átlagebeéggel aladt. Mekkora az egéz útra zámított átlagebeége? Még mindig ugyan úgy kell zámolni az átlagebeéget! A koci az oda utat t, a izautat t, az egéz utat t ö = t + t idő alatt tette meg. 40 60 ö 48 tö t t 40 60 7. Egy kerékpáro az útjának az elő felén / ebeéggel alad. Az út máodik zakazán a menetidő elő felében 4 / a máodik felében 6 / ebeéggel aladt. Mekkora az egéz útra zámított átlagebeége? Jelöljük az út elő felét -el! Képzeld el a mozgát! = / = 4 / 3 = 6 / átl =? t t 3 t3 t t t t Hogy tiztábban láunk, elyetteítük be az imert mennyiégeket! öz 3 t t t t t 4 t 6 t 4 t 6 t 0 t t t 3 3 3 3 0 60 töz t t t3 t t 5 7 0 60
8. Egy onat két perc alatt gyorul fel 60 / ebeégre. 5 percig ezzel a ebeéggel alad, majd a köetkező állománál perc alatt fékez le. Özeen mekkora utat tett meg? Miel a 60 / ebeégű tet perc alatt éppen -t tez meg, zámoljunk /percben. A ebeég idő grafikonon a görbe alatti terület megadja a megtett utat, ezért ábrázoljuk a ebe - éget az idő függényében! (/perc) 7 8 t() A görbe alatti területet zámítatjuk trapézként: 8perc 5perc 6,5 perc A görbe alatti területet özerakatjuk darabokból i: perc perc A gyorítá alatt megtett út : Az állandó ebeéggel megtett út : =5 A fékezé alatt megtett út : 3 perc perc 0,5 Az öze út így i 6,5. (Ki itte olna?) Azért gyorul ilyen okáig a onat, mert iztiznek az utaok, a egymára enek. 9. A grafikon két autó ebeég idő függényét ábrázolja. 0 alatt ugyanakkora utat tettek meg. Mit tudunk mondani a t é a t területekről Mit ad meg a ebeég idő grafikonon a görbe alatti terület? Miel a ebeég idő grafikonon a görbe alatti terület megadja a megtett utat, a két görbe alatti terület megegyezik. = t + T é = t + T = t + T = t + T t = t
0. Egy onat ebeég idő grafikonja: (m/perc) Mekkora a ebeége a nyílt pályán, a az útja 0500 m? t(perc) A ebeég-idő grafikonon a görbe alatti terület megadja a megtett utat. Írjuk fel a trapéz területét! Könnyebb a zámolá, a a ebeéget m/perc-ben zámoljuk! a c 9 perc T m 0500 m / / m 000 60 perc perc 60