= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

Hasonló dokumentumok
Az egyenes és a sík analitikus geometriája

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)

Analitikus térgeometria

Koordináta-geometria II.

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I márc.11. A csoport

3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge os! α =. 4cos 2

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

Analitikus térgeometria

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

Koordinátageometria Megoldások

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

Geometriai példatár 2.

1. FELADAT. Írjuk fel az adott P ponton átmenő és az adott iránnyal párhuzamos egyenes explicit paraméteres és implicit egyenletrendszerét!

Vektorok és koordinátageometria

Koordináta geometria III.

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

10. Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

Minimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Egyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

Lineáris algebra mérnököknek

Számítógépes Grafika mintafeladatok

, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

15. Koordinátageometria

KOORDINÁTA-GEOMETRIA

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

15. Koordinátageometria

KIDOLGOZÁSA - MATEMATIKA SZAK - 1. Analitikus mértan térben 2

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Geometria II gyakorlatok

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],

A kör. A kör egyenlete

Hajder Levente 2018/2019. II. félév

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Hajder Levente 2014/2015. tavaszi félév

Geometriai példatár 1.

Geometria II gyakorlatok

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

V. Koordinátageometria

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Lineáris algebra mérnököknek

GEOMETRIA 1, alapszint

Függvények Megoldások

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

A kör. A kör egyenlete

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: június 8.

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Gyakorló feladatok I.

A vektor fogalma (egyszer

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

2014/2015. tavaszi félév

Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Hajder Levente 2017/2018. II. félév

BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK TENGELYES TÜKRÖZÉS

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Analitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)

Geometriai példatár 1.

1. zárthelyi,

Átírás:

Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P (x 0, y 0, z 0 ) egy pont az egyenesről Az u vektor nem a nullvektor Az egyenes egyenlete: X x 0 u 1 u u A P (x 1, y 1, z 1 ) és a Q(x, y, z ) pontokon átmenő egyenes egyenlete: A sík egyenlete: X x 1 x x 1 = Y y 1 y y 1 = Z z 1 z z 1 ax + by + cz + d = 0, ahol a, b, c, d együtthatók és X, Y, Z ismeretlenek Az n = (a, b, c) vektor a sík normálvektora és a + b + c 0 A P (x 0, y 0, z 0 ) pont távolsága a ax + by + cz + d = 0 síktól: ax 0 + by 0 cz 0 + d a + b + c A síkok különböző megadásai: A v = (v 1, v, v ) irányra merőleges és a P (x 0, y 0, z 0 ) ponton átmenő sík egyenlete: v 1 (x x 0 ) + v (y y 0 ) + v (z z 0 ) = 0 Az u = (u 1, u, u ) és v = (v 1, v, v ) ( u és v lineárisan függetlenek) irányokkal párhuzamos és a P (x 0, y 0, z 0 ) ponton átmenő sík egyenlete: w 1 (X x 0 ) + w (Y y 0 ) + w (Z z 0 ) = 0, ahol w = (w 1, w, w ) = u v A P (x 1, y 1, z 1 ), Q(x, y, z ) és R(x, y, z ) nem kollineáris pontokon átmenő sík egyenlete: w 1 (X x 1 ) + w (Y y 1 ) + w (Z z 1 ) = 0, ahol w = (w 1, w, w ) = (x 1 x, y 1 y, z 1 z ) (x x, y y, z 1 z ) 1

Az X x 0 egyenes és az ax + by + cz + d = 0 u 1 u u síkok párhuzamosak, pontosan akkor ha az (u 1, u, u ) és (a, b, c) vektorok merőleges egymásra, azaz au 1 + bu + cu = 0 Ha a fenti egyenes és sík nem párhuzamosak, akkor metszik egymást és a metszéspontjuk: X 0 = u 1 λ 0 + x 0 Y 0 = u λ 0 + y 0, Z 0 = u λ 0 + z 0 ahol λ 0 = ax 0 + by 0 + cz 0 + d au 1 + bu + cu Két egyenes párhuzamos pontosan akkor, ha az irányvektoraik párhuzamosak, azaz az irányvektorok lineárisan függőek Két egyenes merőleges egymásra pontosan akkor, ha az irányvektoraik merőlegesek egymásra, azaz az irányvektoraik skalárszorzata nulla Két sík párhuzamos pontosan akkor, ha a normálvektoraik párhuzamosak, illetve két sík merőleges egymásra pontosan akkor, ha a normálvektoraik merőlegesek egymásra Tegyük fel, hogy az ax + by + cz + d = 0 és a a X + b Y + c Z + d = 0 síkok nem párhuzamosak és legyen (x 0, y 0, z 0 ) a { ax + by + cz + d = 0 a X + b Y + c Z + d = 0 egyenletrendszernek egy megoldása Ha u = (u 1, u, u )-mal jelöljük az (a, b, c) (a, b, c ) vektori szorzatot, akkor a fenti síkok metszete az egyenes X x 0 u 1 u u Gyakorlatok 1 Írjuk fel a P ponton átmenő v irányvektorú egyenes egyenletrendszerét: a) P ( 1,, 7), v(,, 6), b) P (0, 1, ), v(1, 7, 9), c) P (9, 8, ), v(6, 0, ), d) P ( 11, 9, 1), v(1, 8, ) Egy egyenes egyenletrendszeréről hogy lehet azonnal leolvasni, hogy az egyenes párhuzamos az xoz koordinátasíkkal? Döntsük el, rajta van-e a P (,, 5) pont az alábbi egyeneseken: a) x 6 = y 0 = z 9, 5;

b) x = 15 t, y = + 5t, z = + t Adjuk meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, amely a) átmegy a P 0 (, 1, 5) ponton és párhuzamos az Oy tengellyel; b) átmegy az origón és a koordinátatengelyek pozitív irányával egyenlő szögeket zár be; c) írjuk fel az Ox tengely egyenletét 5 Írjuk fel a következő pontpárok által meghatározott egyenes egyenletrendszerét: a) P (, 5, 6), Q(7, 1, ); b) P (5, 1, ), Q( 5, 1, ); c) P (0, 0, 0), Q(9, 11, 1); d) P (1, 1, ), Q(, 1, 0) 6 Adjuk meg a P ( 6,, 5) és Q(10, 5, ) pontokon átmenő egyenes metszéspontjait a koordinátasíkokkal 7 Tükrözzük az x = t, y = 5 + t, z = t egyenest a C(, 1, 7) pontra Mi a tükörkép egyenletrendszere? 8 Bizonyítsuk be, hogy az alábbi egyenesek párhuzamosak egy síkkal: x 8 = y + = z, x 5 = y 5 = z + 7, x + 8 = y 7 = z + 9 9 Vizsgáljuk meg az alábbi egyenespárok kölcsönös helyzetét (párhuzamosság, metszés, merőlegesség, kitérés): a) x + = y 1 = z 1 és x = 5 + 6t, y = t, z = 7 + t; b) x = t, y = 1 + 5t, z = 1 7t és x = + t, y = t, z = + t; c) x = t, y = 1 + t, z = 1 + t és x = 5 + t, y = t, z = t; d) x = y 8 = z és x = y 9 = z 9 5 metsző egye- x + 9 10 Írjuk fel az 5 = y + = z és x = y 5 nesek szögfelezőinek az egyenletredndszerét = z + 11 Adjuk meg az m paraméter értékét úgy, hogy a x + = y = z 1 és x m = y 1 = z 7 egyenesek merőlegesek legyenek egymásra 1 Mutassuk meg a metszéspont kiszámítása nélkül, hogy az x = 1 + t, y = t, z = + t és x = 1 + t, y = 7 t, z = t egyenesek metszők 1 Írjuk fel az M(,, 16) pontból az x = + t, y = + t, z = + t egyenletrendszerű egyenesre állított merőleges egyenletrendszerét 1 Az A(1,, ), B(5, 1, 7), C(, 1, ) egy háromszög csúcsai Írjuk fel a C-n átmenő magasságvonal egyenletrendszerét

15 Számítsuk ki a P (,, 6) pontnak az x = y + 1 6 9 távolságát = z egyenestől mért 16 Határozzuk meg a P ( 1,, ) pont x + 1 = y = z egyenesre vonatkozó tükörképét 17 Írjuk fel a koordinátasíkok egyenleteit 18 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely merőleges az xoy koordinátasíkra és azt az x + y 1 = 0 egyenletű egyenesben metszi 19 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, mely átmegy a P (, 5, ) ponton és tartalmazza az Oz tengelyt 0 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy a Q(,, 5) ponton és párhuzamos az a(, 1, 1) és b(1,, 1) vektorokkal 1 Írjuk fel az A(, 1, ), B(, 1, ) pontokon átmenő és az u(, 1, ) vektorral párhuzamos sík egyenletét Írjuk fel az A(8, 5, 1), B(,, 5), C(0, 1, 1) pontok síkjának az egyenletét Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az Ox, Oy, Oz tengelyeket rendre a 9, 1, 7 pontokban metszi Írjuk fel azon egyenesek egyenletét, amelyekben metszi az így kapott sík és a koordináta síkokat Válasszuk ki az alábbi síkpárok közül a párhuzamosokat: a) x y + 5z 7 = 0 és x y + 5z + = 0; b) x + y z + 5 = 0 és x + y + z 1 = 0; c) x z + = 0 és x 6y 7 = 0 5 Írjuk fel az M(, 8, 0) ponton átmenő a x + y 7 = 0 síkkal párhuzamos sík egyenletét x 6 Írjuk fel a P (7,, 1) ponton átmenő, az merőleges sík egyenletét = y + 1 = z + 11 7 egyenesre 7 Írjuk fel azoknak az egyeneseknek az egyenleteit, amelyekben a x 17y + 1z = 0 sík metszi a koordináta síkokat 8 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely merőleges az x y + 5z = 0 síkra, párhuzamos az x = y = z + 1 egyenessel és átmegy a P (,, 1) ponton 9 Írjuk fel annak a síkban az egyenletét, amely átmegy az origón és merőleges a x y + z 1 = 0 és x + y + z = 0 síkokra Határozzuk meg azokat az egyeneseket, amelyekben metszi a kapott sík az előbbi síkokat

0 és x + 5 x 1 Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely az = y = z + 1 Számítsuk ki a két egyenes távolságát = y + 1 = z 7 egyenesekkel párhuzamos és egyenlő távol van tőlük 1 Tükrözzük az x 8y +z 6 = 0 és x 8y +z +1 = 0 síkokat egymásra és írjuk fel a tükörképek egyenletét Az m paraméter milyen értékére lesz párhuzamos az x + 1 egyenes az x y + 6z + 7 = 0 síkkal? = y m = z + Bizonyítsuk be, hogy az x y + z 7 = 0, x + y z + = 0 és x y + z 11 = 0 síkoknak egy közös pontja van Számítsuk ki ennek a pontnak a koordinátáit Adjunk meg egy olyan egyenest, amely az x 8y + z 9 = 0 síktól egységnyire, a x + 0y 5z = 0 síktól pedig egységnyire van 5