Geometriai példatár 1.

Átírás

1 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 1 GEM1 modul Koordináta-geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

2 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

3 Tartalom 1 Koordináta-geometria 1 11 Bevezet Összefüggek tételek képletek 1 12 Koordináta-geometria FELADATOK Mátrixok determinánsok Vektorok Koordináta-rendszerek transzformációi A pont analitikus geometriája Az egyenes analitikus geometriája A sík analitikus geometriája Kúpszeletek Felületek Összefoglaló feladatsorok Megoldások Mátrixok determinánsok (Megoldások) Vektorok (Megoldások) Koordináta-rendszerek transzformációi (Megoldások) A pont analitikus geometriája (Megoldások) Az egyenes analitikus geometriája (Megoldások) A sík analitikus geometriája (Megoldások) Kúpszeletek (Megoldások) Felületek (Megoldások) Összefoglaló feladatsorok (Megoldások) 27

4

5 1 fejezet - Koordináta-geometria 11 Bevezet Ebben a modulban az analitikus geometria feladatait gyűjtöttük egybe A feladatgyűjtemény igazodik a Geometria I jegyzet tematikájához A kitűzött feladatok önálló feldolgozásához segítségül összegyűjtöttük a legfontosabb fogalmakat tételeket képleteket 111 Összefüggek tételek képletek Vektor hossza (síkbeli koordinátákkal): Vektor hossza ( térbeli koordinátákkal): Az végpontú szakasz illetve vektor hossza: Két vektor skaláris szorzata: Két vektor skaláris szorzata síkbeli koordinátákkal: Két vektor skaláris szorzata térbeli koordinátákkal: Az vektorok vektoriális szorzatán azt a vektort értjük amelyik merőleges mindkét adott vektorra az hossza: vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak a Két vektor vektoriális szorzata koordinátákkal: Paralelogramma területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Háromszög területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Három vektor vegyes szorzatán a következő műveletet értjük: Paralelepipedon térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük:

6 Geometriai példatár Tetraéder térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: Az csúcsú háromszög súlypontjának koordinátái: A pontra illeszkedő egyenes egyenletei (síkban): - gel: Az irányvektorral: normálvektorral: - meredekség- (Az egyenes meredeksége az irányszögének a tangense) egyenes normálegyenlete: Ha az egyenest általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyerjük: A pont egy adott egyenes távolsága: egyenes egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört számlálója az A koordináta-síkon adott két egyenes ( ahol mazható) ) hajlásszögének meghatározása: a két egyenes normálvektora (Ugyanez az összefügg az irányvektorokkal is alkal- Két egyenes hajlásszöge meredekségekkel: Két metsző egyenes szögfelezőinek egyenletét az adott egyenesek normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A kör általános egyenlete: sugara A kör ahol pontjában húzható a kör középpontja érintőjének az pedig a egyenlete: A külső pontból az általános egyenletével adott körhöz húzható érintők érinti pontjain áthaladó szelő egyenletét úgy kapjuk hogy a koordinátáit az érintő általános egyenletébe behelyettesítjük Ekkor tehát az egyenlet az előbb említett szelő egyenletét adja Ez az eljárás a továbbiakban előkerülő kúpszeletek mindegyikére alkalmazható GEM1-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

7 Koordináta-geometria Az ellipszis általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol tengely pedig az az ellipszis középpontja tengellyel párhuzamos fél- tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg az ellipszis féltengelyeire: Az az ellipszis ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol féltengely pedig az a hiperbola középpontja tengellyel párhuzamos tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg a hiperbola féltengelyeire: A az hiperbola ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola aszimptotáinak egyenletei: a hiperbola hossza ahol tengellyel párhuzamos féltengelye pedig az tengellyel párhuzamos féltengely A parabola általános egyenletei (elhelyezkedtől függően: - az tengely pozitív irányába nyitott tengelye párhuzamos az ja tengellyel: ahol a parabola tengelyponttengely negatív irányába pedig a fókuszpont a vezéregyenes távolsága (paraméter) - az nyitott tengelye párhuzamos az tengellyel: irányába nyitott tengelye párhuzamos az a hiperbola középpontja - az tengellyel: tengellyel: Az szimmetriatengelyű párhuzamos tív irányába nyitott parabola tengely ne- - az gatív irányába nyitott tengelye párhuzamos az koordináta-tengellyel tengely pozitív az tengely pozi- pontjában húzható érintőjének az egyenlete: Az irányába koordináta-tengellyel nyitott párhuzamos parabola szimmetriatengelyű pontjában húzható az érintőjének tengely az pozitív egyenlete: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-3

8 Geometriai példatár A pontra illeszkedő sík egyenlete normálvektorával felírva: A sík normálegyenlete: Ha a síkot általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyer- jük: illetve ugyanez tömörebb formában: A pont egy adott sík távolsága: számlálója a sík egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört Két metsző sík szögfelező síkjainak egyenletét az adott síkok normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere: az egyenes irányvektora valamint 0) ahol (tehát az irányvektor egyik koordinátája sem pedig az egyenes egy adott pontja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere ha pedig az egyenes egy adott pontja: az egyenes irányvektora ahol valós paraméter Itt is lehet azaz ezt az egyenletrendszert akkor is használhatjuk ha az irányvektor valamelyik koordinátája 0 Két egyenes párhuzamos ha irányvektoraik párhuzamosak azaz: Egy egyenes egy sík párhuzamos ha az egyenes irányvektora merőleges a sík normálvektorára azaz: Két sík ( GEM1-4 Két egyenes merőleges ha irányvektoraik merőlegesek egymásra azaz: Egy egyenes merőleges az azaz: ) párhuzamos ha normálvektoraik párhuzamosak azaz: Két sík ( síkra ha az egyenes irányvektora párhuzamos a sík normálvektorával ) merőleges ha normálvektoraik merőlegesek azaz: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

9 Koordináta-geometria Két általános helyzetű egyenes hajlásszögének meghatározása: a két egyenes irányvektora ahol Általános helyzetű egyenes sík hajlásszögének meghatározása: egyenes irányvektora ahol az pedig a sík normálvektora Két általános helyzetű sík ( ) hajlásszögének meghatározása: a két sík normálvektora A gömb egyenlete: pedig a sugara A ahol ahol gömb pontjában a gömb középpontja húzható érintősík egyenlete: Az ellipszoid egyenlete: pontja az Az ahol az ellipszoid közép- a három féltengelye ellipszoid pontjában húzható érintősík egyenlete: 12 Koordináta-geometria FELADATOK 121 Mátrixok determinánsok 1 Adott két mátrix: elemeit! b) Határozzuk meg az a a) Adjuk meg az mátrix elemeit! c) Számítsuk ki a mátrix mátrix elemeit! d) Adjuk meg transzponáltjának elemeit! e) Összeszorozható e ez a két mátrix? 2 Adott két mátrix: mátrix elemeit! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 Határozzuk meg az szorzat GEM1-5

10 Geometriai példatár Határozzuk meg a következő harmadrendű determinánsok értékét a) Sarrus szabállyal b) valamely sor (vagy oszlop) szerinti kifejtsel c) valamely sor (vagy oszlop) kinullázásával! 4 Határozzuk 5 Számológép meg a használata következő nélkül determinánsok határozza meg értékét! az alábbi determinánsok értékét! 122 Vektorok Legyen Határozzuk meg a a két vektor merőleges legyen egymásra! Legyen Határozzuk meg az két vektor által bezárt szög 60o-os legyen! Mekkora a hajlásszöge a következő vektoroknak: Adott két vektor: koztatott tükörkép vektorát! GEM1-6 vektor applikátáját (harmadik koordinátáját) úgy hogy vektor abszcisszáját (első koordinátáját) úgy hogy a Határozzuk meg az? vektornak a vektor egyenesére vonat- Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

11 Koordináta-geometria 5 Bizonyítsuk be hogy a szabályos tetraéder szemközti élei merőlegesek egymásra! 6 7 Határozzuk meg az Egy háromszög csúcsai: csúcsok által megadott háromszög területét! Határozzuk meg a (második koordináta) úgy hogy a háromszög területe csúcs ordinátáját területegység legyen! 8 Egy trapézt átlói négy háromszögre bontják Igazoljuk hogy a) a szárakon nyugvó háromszögek területe egyenlő b) a szárakon nyugvó háromszögek területének szorzata egyenlő az alapon fekvő háromszögek területének szorzatával! 9 10 Egy tetraéder négy csúcsának koordinátái a térfogata? 12 Egy tetraéder térfogata 3 térfogategység Csúcsai Határozzuk meg a 11 Mekkora csúcs applikátáját úgy hogy a térfogata a megadott érték legyen! Az alábbi pontok esetén határozzuk meg a pont ordinátáját úgy hogy a négy pont egy síkban legyen (komplanárisak legyenek)! A pontok: Mekkora a térfogata annak a paralelepipedonnak amelynek élei párhuzamosak az vektorokkal testátló vektora pedig a? 123 Koordináta-rendszerek transzformációi 1 Adott az exponenciális függvény grafikonja Forgassuk el a grafikont az origó körül szöggel majd toljuk el 2 Adott az vektorral Adjuk meg az elmozgatott görbe egyenletét! függvény grafikonja Toljuk el a grafikont eltolt origó körül forgassuk el -os vektorral majd az azonos vektorral -kal Adjuk meg az elmozgatott görbe egyenletét! 3 Adott az függvény grafikonja Az origó körül forgassuk el elforgatott görbe egyenletét! 4 Adott az -kal majd adjuk meg az függvény grafikus képe Forgassuk el az origó körül a koordináta- rendszert -kal majd az elforgatott koordináta-rendszert toljuk el az ebben az új ( vesszős ) koordináta-rendszerben! vektorral Adjuk meg a görbe egyenletét 5 Adott az függvény grafikus képe Forgassuk el az origó körül a koordináta-rendszert majd az elforgatott koordináta-rendszert toljuk el az ebben az új (csillagos) koordináta-rendszerben! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar kal vektorral Adjuk meg a grafikon egyenletét GEM1-7

12 Geometriai példatár A pont analitikus geometriája 1 Adott az pontok által meghatározott szakasz Határozzuk meg azon pont koordinátáit amelyik az 2 Adott az szakaszt 2:5 arányban ( pontpár Hosszabbítsuk meg az szakaszt a szakasz felének háromszorosával Határozzuk meg az így nyert 3 4 ) osztja! pont koordinátáit! Ismerjük egy tetraéder négy csúcsát: meg a tetraéder súlypontját! Határozzuk meg a tetraéder negyedik csúcsát ( -t) ha ismerjük három csúcsát: súlypontját ponton túl az Határozzuk! 125 Az egyenes analitikus geometriája 1 Adjuk meg azon egyenesek egyenletét amelyek párhuzamosak az e: ettől mért távolságuk 3 koordináta egység! 2 Adott két pont: a) Határozzuk meg az Mekkora annak a háromszögnek a területe amelyet az 3 egyenletű egyenessel egyenes origótól való távolságát! b) egyenes a koordináta tengelyekkel alkot? Melyek azok az egyenesek amelyek átmennek a ponton a koordináta tengelyekkel olyan háromszöget alkotnak amelyeknek a területe 6 területegység 4 Létezik-e s ha igen mekkora a következő két egyenes távolsága: e: 5 Melyek azok az egyenesek amelyek átmennek a nessel 30o-os szöget zárnak be? f: ponton az e:? egyenletű egye- 6 Adott két párhuzamos egyenes: e: f: két pont Határozzuk meg azt a pontot amelyik egyrzt a két egyenestől egyenlő távolságra van másrzt a két adott ponttól is egyenlő távolságra van (de ez utóbb említett távolság nem azonos az előbbivel)! Adott két pont egy e: egyenes Melyek azok a pontok amelyek a két ponttól egyenlő távolságra az e egyenestől 3 egységre vannak? Határozzuk meg pontnak a t: Egy beeső fénysugár átmegy a egyenesre vonatkozó tengelyes tükörképét! ponton visszaverődik a t: egyenletű egyenesről A visszaverődő fénysugár átmegy a ponton Adjuk meg a visszavert fénysugár egyenesének egyenletét! (Előbb oldjuk meg az előző feladatot!) GEM1-8 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

13 Koordináta-geometria Adott három egyenes: e: f: g: azon pontjait amelyek az e f egyenesektől egyenlő távolságra vannak! Határozzuk meg a g egyenes Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét amelyik az köti össze! pontokat 12 Határozzuk meg a következő f: két egyenes kölcsönös helyzetét! e: 13 Milyen a kölcsönös helyzete h: az alábbi egyeneseknek? g: 14 Állapítsuk meg a következő c: két egyenes kölcsönös helyzetét! b: egyenesnek? k: 15 Milyen a kölcsönös l: helyzete a következő két 126 A sík analitikus geometriája Határozzuk meg az kapott sík origótól való távolságát! Adjuk meg az S: pontok közös síkjának egyenletét! Adjuk meg a síknak a koordináta-rendszer tengelyeivel alkotott metszpontjait! Határozzuk meg a következő két sík metszvonalát! A: B: Adott két sík: A: B: egy olyan egyenest amely illeszkedik a pontra mind a két síkkal párhuzamos! pont Adjunk meg egy 5 Határozzuk meg az S: metszpontját! 6 Határozzuk meg a síknak az e: pontnak az S: egyenessel alkotott síkra vonatkozó tükörképét! 7 Adott egy e egyenes egy S sík: e: egyenesnek az S síkra vonatkozó e* tükörképét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 S: Határozzuk meg az e GEM1-9

14 Geometriai példatár Határozzuk meg az egyenletrendszerrel megadott egyenesnek a koordináta síkokkal alkotott metszpontjait! (Ezeket a pontokat az ábrázoló geometriában nyompontoknak nevezzük) 9 Határozzuk meg a 10 pontnak az e: Tükrözzük az lete? egyenesre vonatkozó tükörképét! egyenletű síkot Mi lesz az S* tükörkép sík egyen- pontra az S: 11 Adott a pont egy e: egyenes Adjuk meg az egyenletrendszerét annak az f egyenesnek amelyik illeszkedik a 12 Adott egy párhuzamos F síkot! pontra az e egyenest metszi merőleges az e-re! pont egy S: sík Adjuk meg a pontra illeszkedő S síkkal 13 Határozzuk meg az f: pontoktól egyenlő távolságra van! egyenes azon pontját amelyik az 14 Az e: egyenesnek melyek azok a pontjai amelyek az S: koordináta egységre vannak? síktól 2 Adott két sík A: B: Az e: határozzuk meg azt a pontját amelyik mind a két síktól egyenlő távolságra van! egyenesnek Adott két sík egy e egyenes A: ; B: e: Határozzuk meg az e egyenes azon pontjait amelyek mind a két síktól egyenlő távolságra vannak! 17Adott két egyenes Határozzuk meg a két egyenes síkjában lévő szimmetriatengelyét! (Az a tükörképe b) Az egyenesek: a: b: 18Adott két egyenes e f Határozzuk meg a két egyenes síkjában lévő szimmetriatengelyét! Az egyenesek: e: f: 19 Adott két párhuzamos egyenes: e: egyenes közös síkjának egyenletét! 20 ; f: Határozzuk meg a két Illesszünk egy adott e egyenesre olyan S síkot amely egyenlő távolságra van két adott ( Adatok: e: GEM1-10 ) ponttól! Adjuk meg az S sík egyenletét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

15 Koordináta-geometria 21Határozzuk meg a koordináta-rendszer applikáta (z) tengelyének azon pontjait amelyek az A: ; B: síkoktól egyenlő távolságra vannak! 22Adjuk meg az y tengely azon pontjait amelyek az S síktól 2 koordináta egységre vannak! S: 127 Kúpszeletek 1271 Ellipszis 1 Határozzuk meg annak az ellipszisnek a fókuszpontjait amelyiknek egyenlete: 2 Adjuk meg az egyenletét annak az origó középpontú ellipszisnek amelyiknek az x tengelyre eső tengelye 10 koordináta egység egyik pontja! Határozzuk meg a görbe fókuszpontjainak koordinátáit! 3 Határozzuk meg az egyenletét fókuszpontjainak koordinátáit annak az origó középpontú ellipszisnek amelyiknek az abszcissza tengelyre eső tengelye 5 koordináta egység egyik pontja 4 5! Adjuk meg annak az ellipszisnek az egyenletét amelyiknek a középpontja nagytengelye 10 egység fókusztávolsága 6 egység a nagytengelye az x tengellyel párhuzamos! Adjuk meg a fókuszpontjait is! Határozzuk meg a egyenletű ellipszis K középpontját fókuszpontjait! 6 Egy ellipszis nagytengelye az x tengelynek kistengelye az y tengelynek egy-egy szakasza két pontja Mi az egyenlete? A egyenletű ellipszisbe írjunk szabályos háromszöget úgy hogy egyik csúcsa a görbe jobb szélső pontja legyen Adjuk meg e háromszög másik két csúcsát! (Megj: Ellipszisbe írt sokszögön olyan síkidom értendő amelynek csúcsai az ellipszisre illeszkednek) Adjuk meg az egyenletű ellipszis 3 abszcisszájú pontjaira illeszkedő érintőit! Határozzuk meg a g: tőit! Adjuk meg a egyenletű görbének az f: egyenletű ellipszisnek az f: Vizsgáljuk meg hogy a g: a görbe érintőit a kapott metszpontokban! egyenessel párhuzamos érin- egyenesre merőleges érintőit! egyenletű görbe hol metszi az ordináta tengelyt Adjuk meg Forgassuk el az origó körül 90o-kal a egyenlete? egyenletű ellipszist! Mi lesz az elforgatott görbe Forgassuk el az origó körül 60o-kal a g: görbét! Adjuk meg az elforgatott görbe egyenletét! Határozzuk meg a egyenletű ellipszisnek a Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 pontra illeszkedő érintőit! GEM1-11

16 Geometriai példatár Adjuk meg a egyenletű ellipszisnek a pontra illeszkedő érintőit! 16 Határozzuk meg a 17 Határozzuk meg a g: f: egyenletű görbének a pontra illeszkedő érintőit! egyenletű görbe azon pontját amely a legtávolabb van az egyenestől! Adjuk meg azon egyenes egyenletét amely a egyenletű ellipszist a pontjában merőlegesen metszi! (Megj: Egy egyenes egy görbe metszpontjában keletkezett szögön azt a szöget értjük amelyet az egyenes a metszpontra illeszkedő érintővel zár be) Határozzuk meg azon téglalap csúcsait amelyik a szédos oldalainak aránya 1:2! egyenletű ellipszisbe írható szom- A egyenletű ellipszishez a pontokat összekötő h húr egyenesének egyenletét! pontból érintőket húzunk Adjuk meg az érinti 1272 Hiperbola 1 Adjuk meg a pontját! egyenletű hiperbola fókuszpontjait! Szerkesszük meg a hiperbola néhány 2 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelyiknek valós tengelye az x tengelynek képzetes tengelye pedig az y tengelynek egy szakasza fókuszpontjainak távolsága 10 egység a hiperbola áthalad a P( ) ponton! Írjuk fel az aszimptoták egyenletét is! 3 Mi az egyenlete annak az origó középpontú hiperbolának melynek valós tengelye az x tengelynek képzetes tengelye pedig az y tengelynek egy szakasza két pontja! 4 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelynek 8 egységnyi valós tengelye párhuzamos az x tengellyel középpontja 5 6 Egy hiperbola egyenlete: egyik pontja! Adjuk meg a középpontját fókuszpontjait! Egy egyenes átmegy a egyenletű hiperbola jobboldali fókuszpontján képzetes tengelyének egyik végpontján Milyen hosszú az a húr amelynek végpontjai ennek az egyenesnek a hiperbolával alkotott metszpontjai? 7 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelynek valós tengelye 10 egység egyik aszimptotájának irányszöge 60o (ezért a másik aszimptota irányszöge 120o-os)! 8 Az egyenletű hiperbolának melyik az a pontja amelyik az egyik aszimptotától háromszor akkora távolságra van mint a másiktól? GEM1-12 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

17 Koordináta-geometria Adjuk meg az egyenletű hiperbola azon pontjait amelyeknek az abszcisszája 5! Határozzuk meg a görbe érintőit az így nyert pontokban! Határozzuk meg a érintőit! egyenletű hiperbolának az f: Adjuk meg a egyenessel párhuzamos egyenletű hiperbolának az f: A hiperbolához a összekötő húr egyenletét! egyenesre merőleges érintőit! pontból két érintő húzható Adjuk meg az érinti pontokat 13 Határozzuk meg a egyenletű hiperbola pontra illeszkedő érintőit! 14 Adjuk meg a g: egyenletű görbe pontra illeszkedő érintőit! A egyenletű hiperbolának melyik az az érintője amelytől egyenlő távolságra van a görbe középpontja baloldali fókuszpontja? Egy hiperbola amelynek tengelyei a koordináta tengelyekre illeszkednek az e: egyenest az pontjában érinti Adjuk meg a görbe egyenletét! 17 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelyiknek az e: aszimptotái: egyenes az egyik érintője! 1273 Parabola 1 Adjuk meg az egyenletét annak a parabolának amelynek tengelypontja az origó a) egyik pontja szimmetriatengelye az x tengely b) egyik pontja szimmetriatengelye az y tengely c) egyik pontja szimmetriatengelye az x tengely! 2 Határozzuk meg az egyenletét annak a parabolának amelynek tengelypontja az y tengelyen van szimmetriatengelye párhuzamos az x tengellyel két pontja: 3! Egy parabola szimmetriatengelye párhuzamos az y tengellyel három pontja: Adjuk meg a görbe egyenletét! 4 Egy parabola ívű híd hossza 120m középső legmagasabb pontja 12m-re emelkedik a vízszintes út fölé Függőleges tartóvasait 6 méterenként helyezik el Mekkora az 5 tartóvas hossza? 5 6 Az egyenletű parabolának adjuk meg azon pontjait amelyeknek az abszcisszája 2 majd határozzuk meg ezen pontokhoz tartozó érintők egyenletét! Az egyenletű parabolának a 6 abszcisszájú pontjában adjuk meg az érintőjét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-13

18 Geometriai példatár Az egyenletű parabolának határozzuk meg a 4 abszcisszájú pontját majd írjuk fel a görbe ezen pontjára illeszkedő érintőjének egyenletét! Határozzuk meg az a görbe ezen pontjára illeszkedő érintőjét! Adjuk meg az 17 egyenletű parabolának a 6 ordinátájú pontját majd adjuk meg egyenletű parabola f: Határozzuk meg az érintőjét! Az egyenessel párhuzamos érintőjét! egyenletű parabola f: Adott a pont az illeszkedő érintőit! egyenessel párhuzamos egyenletű görbe Határozzuk meg a görbe egyenletű parabolának határozzuk meg a Adjuk meg az tőjét! pontra pontra illeszkedő érintőit! egyenletű parabolának az f: egyenesre merőleges érin- Adjuk meg az x tengelynek azt a pontját amelyből az parabolához húzott érintők a csúcsérintővel egyenlő oldalú háromszöget alkotnak Határozzuk meg a háromszög másik két csúcsát területét is! Határozzuk meg az eső szakasza parabolának azon érintőit amelyeknek az érinti pont az x tengely közé egység Számítsuk ki a következő két parabola metszpontjait: g: h: Adott az egyenletű parabola Határozzuk meg az egyenletét annak a parabolának amelynek csúcspontja az adott parabola fókusza fókuszpontja pedig az adott parabola csúcsa Határozzuk meg a két parabola metszpontjait! 1274 Kúpszeletek a másodfokú kétismeretlenes egyenletek kapcsolata 1 Minek az egyenlete hogyan helyezkedik el a koordináta-rendszerben a következő egyenlettel megadott görbe? g: 2 Ábrázoljuk az alábbi egyenlettel megadott függvényt! 3 Minek az egyenlete hogyan helyezkedik el a koordináta-rendszerben a következő egyenlettel megadott görbe? g: 4 Mi lesz a grafikus képe az dott függvénynek? GEM1-14 egyenlettel mega- Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

19 Koordináta-geometria 128 Felületek 1 Határozzuk meg az pont ordinátáját úgy hogy az egyenletű gömb felületére! Adjuk meg a gömb pont illeszkedjen az pontjára illeszkedő érintősíkját is! 2 Határozzuk meg az e: tel alkotott metszpontjait! 3 4 egyenesnek az egyenletű gömbfelület- Adott egy S: sík egy gömbfelület g: az S síkkal párhuzamos érintősíkjait! Határozzuk meg az pont applikátáját Határozzuk meg a gömbnek úgy hogy az E pont egyenletű ellipszoid felületére! Adjuk meg a felületnek az illeszkedjen a pontjára illesz- kedő érintősíkját is! 5 6 Adjuk meg az e: szpontjait! egyenesnek az ellipszoiddal alkotott met- Adott egy S: sík egy ellipszoid: lipszoidnak az S síkkal párhuzamos érintősíkjait! Határozzuk meg az el- 129 Összefoglaló feladatsorok Ezek a feladatsorok azt a célt szolgálják hogy a hallgatók a zárthelyi dolgozatok előtt mérni tudják önmaguk felkzültségét Elsődlegesen azt érdemes ezekkel a feladatsorokkal gyakorolni hogy a hallgató képes legyen adott idő alatt eredményesen megoldani a kitűzött példákat 1 feladatsor 1 2 Az háromszög csúcsai a következők: lévő szöge? Egy paralelepipedon alaplapja alaplap egyik élvektora: az paralelogramma oldalélei ; az alaplap csúcsból induló testátló-vektor: Mekkora az csúcsnál Adott az csúcsából induló lapátló-vektora: Mekkora a térfogata? 3 Adott az egyenletű egyenes Toljuk el origó körül forgassuk el vektorral majd az azonos vektorral eltolt -kal Mi lesz az új (transzformált) egyenes egyenlete? 4 Adott az e: egyenes Adja meg annak az f egyenesnek az egyenletét amelyre teljesül hogy az e f egyenesek egyik szögfelezője illeszkedik a 5 a pontokra Adott egy téglalap három csúcsa: Határozzuk meg a téglalap középpontján áthaladó a téglalap síkjára merőleges egyenes egyenletrendszerét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-15

20 Geometriai példatár feladatsor 1 Egy paralelogramma három csúcsa átlója az távolságát! 2 szakasz Határozzuk meg a Adott az e: egyenletű egyenes a 30o-os szöget bezáró egyenesek egyenletét! Adott az illetve oldalegyenesek Legyen a kocka középpontja Határozzuk pont Határozzuk meg a -n áthaladó e egyenessel függvény grafikonja Toljuk el a koordináta-rendszert az majd forgassuk el az új origó körül szerben! 5 a paralelogramma egyik csúcsaival: meg az alábbi két sík hajlásszögét: 4 csúcs koordinátáit az Adott az alábbi kocka 3 vektorral -kal Adjuk meg a görbe egyenletét az új koordináta-rend- Egy tetraéder csúcsai Írjuk fel a csúcson át húzható magasságvonal egyenletrendszerét határozzuk meg a magasság talppontjának koordinátáit! 3 feladatsor 1 2 Adott három pont a) Határozzuk meg a három pont síkjának az origótól való távolságát! b) Határozzuk meg a síknak a koordináta-tengelyekkel vett metszpontjait! c) Határozzuk meg a háromszög síkja a koordináta-síkok által bezárt tetraéder térfogatát! Írja fel a pontból a k: egyenletű körhöz húzott érintők egyenletét! 3 Az ábrán látható hídszerkezet íve egy parabola tengelyesen szimmetrikus darabja A híd adatai: hossza 80m magassága (a 4 tartó hossza) 20m Határozza meg hogy mekkora szöget zár be a 6 tartóelem az ívvel! 1 ábra 1 Adja meg a g: érintősíkjait! gömbnek az S: egyenletű síkkal párhuzamos 2 Határozza meg az egyenletű ellipszoid az egyenes döfpontjait! GEM1-16 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

21 Koordináta-geometria 13 Megoldások 131 Mátrixok determinánsok (Megoldások) 1 a) b) c) e) Nem mert a d) mátrix sorainak száma nem egyezik meg az mátrix oszlopainak számával Vektorok (Megoldások) 1 A merőlegesség feltétele az hogy a skaláris szorzat értéke 0 legyen Az így kapott egyenlet megoldása: 2 A két vektor skaláris szorzatát felírjuk a definíció illetve a koordinátákkal történő kiszámítási mód alapján Az így kapott kifejezeket egyenlővé téve olyan egyenletet nyerünk amelyiknek a megoldása: x=5 egység 3 4 A megoldás lépei: a) Előbb meghatározzuk az (av=6 egység) b) Ezzel szorozva a -nak a vektor egyenesén lévő merőleges vetületét irányába mutató egységvektort olyan egyenesével párhuzamos összetevője Ezt vektoregyenletből megkapjuk azt a az vektornak a -val jelölve: vektort amely merőleges a vektoregyenlet segítségével nyerjük a keresett Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 vektorhoz jutunk amely az c) Az egyenesére: d) Végül vektort GEM1-17

22 Geometriai példatár Legyen ; ; ahol der csúcsait jelöltük Ekkor az az háromszögben a -vel a szabályos tetraé Az említett jelöl esetén élek szemben lévők (kitérő élpár) Vizsgáljuk meg ezen élek vektorainak skaláris szorzatát! Mivel a tetraéder szabályos ezért minden éle azo- nos hosszúságú azaz Ezt a jelölt alkalmazva: Tehát: Tudjuk hogy két vektor merőlegességének szükséges elégséges feltétele hogy skaláris szorzatuk nulla legyen ezért 6 Az A csúcsból induló vektorok vektoriális szorzata: ahol A háromszög te- rülete: 7 A feladat megoldásának elve az előző feladatéval azonos Itt is felírható az oldalvektorok vektoriális szorzata melyben ismeretlenként szerepel y (C ordinátája) Felhasználva hogy most ismerjük a háromszög területét felírhatjuk az erre vonatkozó egyenletet ebből az y-ra két értéket kapunk: 8 Jelöljük a metszpontból induló vektorokat az ábrán látható módon 2 ábra Ezt a jelölt azért alkalmazhatjuk mert a trapéz alapjain nyugvó háromszögek szögeik egyenlősége miatt hasonlóak a) Ezek tehát egyenlők b) Tehát Megjegyz: A fenti átalakításoknál felhasználtuk hogy két vektor vektoriális szorzata a skalárral (λ) való szorzásra nézve asszociatív 1 V=3 térfogategység 2 Két megoldás van: Megjegyz: Érdemes megfontolni hogy miért adódik két megoldás Ez annak köszönhető hogy az lap síkjához képest a csúcs a z koordináta-tengellyel párhuzamosan mozoghat hiszen ezt jelenti hogy a harmadik koordinátája ismeretlen A mozgás során kétszer kerül olyan GEM1-18 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

23 Koordináta-geometria helyzetbe (egyszer az meg az 3 síkja alatt egyszer pedig felette ) hogy egyenlő térfogatú gúlákat határoz oldallappal A pont második koordinátája: A feladat megoldása azon alapul hogy a négy pont úgynevezett elfajuló tetraédert határoz meg amelynek térfogata nulla Alkalmazható tehát a tetraéder térfogatára vonatkozó képlet 4 Mivel a paralelepipedon élei párhuzamosak az adott vektorokkal ezért felírhatók ezen vektorok számszorosaiként Így a testátló vektor az alábbi módon nyerhető: Tudjuk hogy ha a vektorokra fennáll ez az összefügg akkor fennáll a vektorok koordinátáira is Ekkor a következő egyenletrendszert kapjuk: szer megoldása: ; Az egyenletrend; Végül a térfogat: V=84 térfogategység 133 Koordináta-rendszerek transzformációi (Megoldások) azaz A pont analitikus geometriája (Megoldások) 1 Az szakaszt a koordinátákra alkalmazva: 2 arányban osztó pontra vonatkozó összefügg: ; ; Ezt 3 A tetraéder súlypontvektora: Ezt az összefüggt a csúcsok koordinátáira alkalmazva: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-19

24 Geometriai példatár A súlypontvektorra vonatkozó vektoregyenletet ve: Innen: re (a csúcs helyvektorára) átrendez- 135 Az egyenes analitikus geometriája (Megoldások) 1 2 a) Az egyenesnek az origótól való távolsága koordinátaegység b) T=16 területegység 3 4 A távolság létezik mert párhuzamosak mivel meredekségük egyenlő ( esik ezért távolságuk az origótól mért távolságuk összege: ) Az origó a két egyenes közé koordinátaegység 5 Az adott egyenes irányszöge valamint az adott a keresett egyenes egymással bezárt szöge segítségével meghatározható a keresett egyenes irányszöge majd ebből a meredeksége Az alábbi megoldások adódnak: f1: f2: 6 A keresett pontot a két adott egyenes középpárhuzamosának a két adott pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegesének metszpontja adja: 7 8 A feladat egyik lehetséges megoldása: Felírjuk a letét (f) meghatározzuk t f metszpontját ( vektort A kapott tükörkép: ponton áthaladó t egyenesre merőleges egyenes egyen) majd hez ( helyvektorához) hozzáadjuk a 9 A fizika törvényei szerint a beesi visszaverődi szög megegyezik Ezért a visszavert fénysugár egyenese átmegy az előbbi feladat melynek egyenlete: (tükörkép) pontján a ponton E két pontot összekötő egyenes a megoldás 10A sík két egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontjainak mértani helyét a szögfelező egyenesek pontjai adják Ezek egyenlete: f1: f2: egyenes metszpontjaként nyerjük: A megoldást az előbbi szögfelezők a g 11Az egyenes egyenletrendszere abban az esetben ha tartópontként az A pontot választjuk: Ha a B pontot választjuk tartópontnak: Megjegyz: Bár a két egyenletrendszer formailag különbözik ennek ellenére mind a kettőhöz ugyanaz a térbeli egyenes tartozik (Azt is szoktuk mondani hogy a két egyenletrendszerhez tartozó egyenesek egybeesnek) GEM1-20 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

25 Koordináta-geometria 12A két egyenes egybeeső 13A g h egyenes párhuzamos 14 A két egyenes metsző a metszpont 15A két egyenes kitérő 136 A sík analitikus geometriája (Megoldások) 1 2 A sík egyenlete: origótól való távolsága 2 egység A sík az abszcissza tengelyt az az ordináta tengelyt az az applikáta tengelyt a pontokban metszi 3 A két sík metszvonalának egyenletrendszere: m: Megjegyz: Ha a megoldás során formailag más egyenletrendszer jön ki attól még lehet az jó ha az előbbivel egybeeső egyenest határoz meg Ezt kell leellenőrizni 4 Ha egy egyenes két síkkal párhuzamos akkor a két sík metszvonalával is párhuzamos A keresett egyenes egyenletrendszere: f: ekvivalens egyenletrendszer jön ki Megjegyz: Itt is előfordulhat hogy formailag más f-fel 5 M(1;2;1) 6 A feladat egyik lehetséges megoldása: Felírjuk a ponton áthaladó S síkra merőleges egyenes egyenlet- rendszerét (f) meghatározzuk S f metszpontját ( a vektort A kapott tükörkép: ) majd hez ( helyvektorához) hozzáadjuk 7 e*: 8 Az Megjegyz: Lásd a 3 feladatot síkkal alkotott metszpont: (második nyompont) Az 9 10 (első nyompont) Az síkkal alkotott metszpont: síkkal alkotott metszpont: (harmadik nyompont) S*: 11 f: F: Megjegyz: Lásd a 3 feladatot Azon pontok mértani helye a térben amelyek két ponttól egyenlő távolságra vannak az zőmerőleges síkja Ebből metszi ki az f egyenes a keresett Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 pontot szakasz fele- GEM1-21

26 Geometriai példatár Az S síktól 2 koordinátaegységre lévő pontok mértani helye két olyan az S síkkal párhuzamos sík amelyeket az S normálegyenletének segítségével könnyen megkaphatunk Az e egyenesnek ezen síkokkal alkotott döfpontjai adják a megoldást: 15 Mivel a síkok párhuzamosak csak egy ilyen pont van: 16Mind a két síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a két szögfelező sík (Mivel az adott síkok nem párhuzamosak) Megoldások: 17 Az egyenesek párhuzamosak keressük tehát a középpárhuzamost: t: Lásd a 3 feladatot 18 Vizsgáljuk meg a két egyenes kölcsönös helyzetét Mivel metszőek metriatengely Vegyük zre hogy a két egyenes tartópontja az (3 egység) t1: Megjegyz: S: t2: ezért létezik kettő szim- metszponttól egyenlő távolságra van Megjegyz: Lásd a 3 feladatot S: Az S síkot az e egyenes a két pont által meghatározott szakasz határozza meg 21Két nem párhuzamos síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a szögfelező síkok Ezeknek a z tengellyel való metszpontjai a megoldások: M( 22 ) N( ) 137 Kúpszeletek (Megoldások) 1371 Ellipszis (Megoldások) GEM1-22 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

27 Koordináta-geometria 7 Mivel mind a két síkidom több szimmetriatengellyel rendelkezik ezért szükséges hogy egy-egy szimmetriatengely egybeessen Ebből következik hogy a másik két csúcs az abszcissza tengelyre szimmetrikusan fog elhelyezkedni Megoldások: e1: e2: e1: e2: e1: e2: 11 e1: 12 e2: Az ismeretlen érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: A keresett érintők: e1: 15 e2: e2: Érinti pontok Érinti pontok Az ismeretlen érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: Érintők: e1: Érinti pontok Az ismeretlen érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: Érintők: e1: e2: 17Az ellipszisnek két olyan érintője van amelyek párhuzamosak az f egyenessel Az ezekhez tartozó érinti pontok egyike legközelebb a másik pedig legtávolabb van az f egyenestől Megoldás: 18 19A téglalap az ellipszis szimmetriatengelyeinek egybe kell esniük Ezt alapul véve a következő megoldást kapjuk: 20 h: 1372 Hiperbola (Megoldások) 1 2 aszimptoták: 3 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-23

28 Geometriai példatár koordinátaegység 7 8 A két szimmetriatengely miatt a feladatnak mind a négy síknegyedben van egy-egy megoldása Az első negyedben lévő megoldás: e1: e1: e2: e2: e1: e2: h: Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: érinti pontokat Az érintők: e1: 14 Ez a szelő a görbéből kimetszi az e2: Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: érintők: e1: e2: Az érinti pontok: az 15Mivel a keresett érintő egyenlő távolságra van két ponttól ezért átmegy a két pont által meghatározott szakasz felezi pontján Tehát a feladat ennek ismeretében az hogy adjuk meg a görbe azon érintőit amelyek illeszkednek az Megoldások: e1: fókuszpont az e2: középpont szakaszának felezőpontjára Nem ismerjük a hiperbola féltengelyeit (az a-t b-t) továbbá az érinti pont koordinátáit A fel- sorolt négy ismeretlen meghatározásához négy egyenletre van szükség Ezek a következők: a) mert az illeszkedik a görbére b) egyenletet az adott aszimptotából kapjuk d) GEM1-24 mert az pont rajta van az adott érintőn c) mert a görbe egyenletéből nyerhető érin- Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

29 Koordináta-geometria tő meredeksége azonos az adott érintő meredekségével A felsorolt négy egyenletből álló egyenletrendszer megoldása: Végül a hiperbola egyenlete: 1373 Parabola (Megoldások) 1 a) b) c) 2 vagy 3 4 Ha a parabolát úgy helyezzük el a koordináta-rendszerben hogy a tengelypontja az y tengelyre esik az út szintje az x tengely akkor a görbe egyenlete: e1: e: Az ötödik tartóvas hossza 9m e2: e: e: 9 e: e: Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: érintők: e1: e2: Az érinti pontok Az 12 Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: Az érintők: e1: e2: e: Az érinti pontok Az érinti pontok: T= területegység Az érintők: e1: e2: 16Nincs közös pontjuk 17 ; M1( ) M2( Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 ) GEM1-25

30 Geometriai példatár Kúpszeletek a másodfokú kétismeretlenes egyenletek kapcsolata (Megoldások) 1 A görbe csak hiperbola lehet Mivel az egyenletben szerepel az úgynevezett vegyesszorzat ( ) ezért elforgatott helyzetű a hiperbola Ha a koordináta-rendszert -kal elforgatjuk akkor ebben az új koordináta-rendszerben a görbe szimmetriatengelyei párhuzamosak lesznek az új koordináta-rendszer tengelyeivel A hiperbola valós tengelye 6 képzetes tengelye 4 koordinátaegység 2 A grafikon egy elforgatott parabola lesz A koordináta-rendszert -kal elforgatva olyan új koordináta-rendszert kapunk amelyben a görbe szimmetriatengelye párhuzamos lesz az új koordinátarendszer valamelyik tengelyével A görbe tengelypontja az origóban lesz paramétere 3 4 A függvény grafikus képe egy elforgatott ellipszis lehet A koordináta-rendszert -kal kell elforgatni ahhoz hogy megszűnjön a grafikon csavart helyzete Az ellipszis középpontja az origóban lesz Az elforgatott x tengelyre eső tengely (nagytengely) 6 egység a kistengely 524 egység lesz A grafikus kép egy ferde tengelyű parabola lehet A koordináta-rendszert -kal elforgatva a görbe tengelyei párhuzamosak lesznek az elforgatott koordináta-rendszer tengelyeivel Az új koordinátarendszerben a parabola tengelypontja: pont lesz paramétere pedig 138 Felületek (Megoldások) 1 Az pontra illeszkedő érintősík: kedő érintősík: 2 Az pontra illesz- 3 Az érinti pontokat egy olyan f egyenes metszi ki a gömb felületéből amely illeszkedik a gömb középpontjára (origóra) merőleges az S síkra Ennek az egyenletrendszere: si pontok: Az érinté- az ezekre illeszkedő érintősíkok: S1: illetve S2: Megjegyz: Az E1 E2 pontok a gömbfelület azon pontjai amelyek az S síkhoz a legközelebb illetve a legtávolabb vannak Továbbá vegyük zre hogy a két érinti pont a felület középpontjára (ami az origó) szimmetrikusan helyezkedik el (mivel a felület centrálisan szimmetrikus) 4 Az pontra illeszkedő érintősík: leszkedő érintősík: 5 6 Az érinti pont Az ismeretlen koordinátáinak meghatározásához fel kell használni az adott S síknak a felület egyenletéből nyerhető Sé: GEM1-26 pontra il- érintősíknak a Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

31 Koordináta-geometria párhuzamosságát Így az érinti pontok: tősíkok: S1: valamint az ezekre illeszkedő érin- S2: 139 Összefoglaló feladatsorok (Megoldások) 1 feladatsor (Megoldás) 1 Tulajdonképpen az A csúcsból induló oldalvektorok hajlásszöge a kérd: 2 V=33 térfogategység 3 Az elmozgatott egyenes egyenlete: 4 A metsző egyenesek tengelyes tükörképek a szögfelezőkre nézve Ebből adódóan az egyik lehetséges megoldás ha az e egyik irányvektorát leolvassuk tükrözzük a mivel vektor egyenesére (alapfeladat) s illeszkedik az e egyenesre ezen keresztül a kapott tükörkép-vektorral mint irányvektorral fel- írhatjuk a keresett egyenes egyenletét: 5 A három csúcs által meghatározott szakaszok hossza: téglalap középpontja tehát a BC oldal felezi pontja F( ) A keresett egyenes irányvektora A Az egyenes egyenletrendszere: 2 feladatsor (Megoldás) 1 Kiszámítjuk az átló felezi pontjának koordinátáit: csot határozzuk meg: Meghatározzuk Innen a csú- oldalvektorokat: Ezekből a paralelogramma területét határozzuk meg mert a két oldal egyenesének távolsága nem más mint a két oldalhoz tartozó magasság értéke A paralelogramma területe: területegység Az egység Innen a keresett távolság: 2 egység A koordinátákból megállapítható hogy a kocka az [xy] koordinátasíkon áll alaplapja az fedőlapja lezi pontjaként: négyzet négyzet A kocka középpontját meghatározhatjuk az egyik testátlójának (pl: Meghatározzuk az ebből Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 sík normálvektorát: Meghatározzuk az ) fe- sík normálvektorát: GEM1-27

32 Geometriai példatár ebből hajlásszöge: A két normálvektor Így a két sík hajlásszöge is 60o innen 3 A feladathoz érdemes olyan ábrát kzíteni amely feltünteti a keresett egyenes lehetséges helyzetét így az alább közölt megoldás is érthetőbb lesz (Az ábra alapján az is kiderül hogy a feladatnak két megoldása van) Az adott egyenes irányszöge a meredekség alapján Tekintsük azt a háromszöget amelyet az alábbi metszpontok határoznak meg: - a keresett egyenes az adott egyenes metszpontja - az adott egyenes x tengellyel vett metszpontja - a keresett egyenes x tengellyel vett metszpontja Ennek a háromszögnek a belső a külső szögeire vonatkozó tételek alapján meghatározhatjuk a keresett egyenes irányszögét Az első esetben: innen az egyenes egyenlete: e1: A másik esetben egyenlete: e2: innen az egyenes 4 A koordináta-rendszer transzformációinak törvényeit felhasználva kapjuk az új rendszerbeli egyenletet: Ezt átalakítva (2-es alapra emelve) kapjuk: ahonnan a középiskolából ismert alak is előállítható: 5 A megoldás menete: Meghatározzuk az háromszög síkjának egyenletét valamint a ponton átha- ladó a síkra merőleges egyenes (magasságvonal) egyenletrendszerét Ezek metszpontja adja a tot A sík normálvektora ennek a vektornak a huszad rze is megfelel a sík egyenletének felírásához A sík egyenlete:s: A magasságvonal irányvektora megegyezik a sík nornálvektorával felírhatjuk tehát az egyenletrendszert: m: egyenes döfpontja: talppon- A sík az 3 feladatsor (Megoldás) 1 Meghatározzuk a háromszög síkjának normálvektorát: Ennek tizenhatod rze is megfelel a sík felírásához A sík egyenlete S: tengellyel alkotott metszpont alkotott metszpont 2 A keresett érintők egyenletei: e1: Az origó távolsága Az y tengellyel alkotott metszpont A tetraéder térfogata: egység Az x A z tengellyel térfogategység e2: 3 Helyezzük a hidat a koordináta-rendszerbe úgy hogy az origó a 4 tartóelem talppontja legyen a híd alapja pedig illeszkedjen az x tengelyre A koordináta rendszerben 1egység=20m legyen Ekkor a parabolaív egyenlete három pontjának elhelyezkedének ismeretében felírható: GEM1-28 Ebből kiszámolhatók Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

33 Koordináta-geometria a 6 tartóelem felső pontjának koordinátái A keresett szög a parabola pontbeli érintőjének a tartóelem függőleges egyenesének a hajlásszöge lesz A -beli érintő egyenlete: A meredekségből meghatározható az érintő irányszöge α=-266o Ezen szög abszolút értékének pótszöge azaz 634o a megoldás 4 Először meghatározzuk a keresett síkok leendő érinti pontjait: A keresett síkok normálvektora megegyezik az S sík normálvektorával mivel ezen síkok párhuzamosak Ezekből már felírható a keresett síkok egyenlete: S1: 5 S2: Az alakzatokból nyert egyenletrendszert kell megoldani A keresett döfpontok: Irodalomjegyzék Baboss Csaba : Geometria I Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar Székesfehérvár 2007 Coxeter H S M: A geometriák alapjai Műszaki Könyvkiadó Budapest 1973 Hajós György : Bevezet a geometriába Tankönyvkiadó Budapest 1966 Kárteszi Ferenc : Bevezet a véges geometriákba Akadémia Kiadó Budapest 1972 Kárteszi Ferenc : Lineáris transzformációk Tankönyvkiadó Budapest 1974 Reiman István : A geometria határterületei Gondolat Könyvkiadó 1986 Pelle Béla : Geometria Tankönyvkiadó Budapest 1974 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-29

34

35 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

36 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

37 Tartalom 2 Metrikus feladatok 1 21 Bevezet Alapvető fogalmak Összefüggek tételek képletek 2 22 Metrikus feladatok Szögekkel kapcsolatos feladatok Távolsági feladatok 8 23 Metrikus feladatok - MEGOLDÁSOK Szögekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) Távolsági feladatok (Megoldások) 14

38

39 2 fejezet - Metrikus feladatok 21 Bevezet Ez a modul az analitikus geometria azon feladatait gyűjtötte egybe amelyek az egyes térelemek távolságának hajlásszögének a meghatározását igénylik A feladatok előtt rövid elméleti összefoglalást adunk az egyes fogalmakról tételekről 211 Alapvető fogalmak Két pont távolsága: alapfogalom Szakasz hosszán a két végpontjának távolságát értjük Két ponthalmaz távolsága: A két ponthalmaz pontjai között behúzható összes szakasz hosszának infimuma (alsó határa) Zárt alakzatok esetén ez a legrövidebb szakasz Két ponthalmaz távolsága nulla ha van közös pontjuk vagy közös határuk Tehát metsző illetve illeszkedő térelemek távolsága nulla Pont egyenes távolsága: A pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza Pont sík távolsága: A pontból a síkra állított merőleges egyenes döfpontjának az adott pontnak a távolsága Két párhuzamos egyenes távolsága: Az egyik egyenes tetszőleges pontjának a másik egyenestől vett távolsága Kitérő egyenesek normáltranszverzálisa: Bizonyítható hogy két kitérő egyenes esetében pontosan egy olyan egyenes létezik amelyik mindkettőt metszi mindkét egyenesre merőleges Ez az egyenes a két kitérő egyenes normáltranszverzálisa Két kitérő egyenes távolsága: A normáltranszverzálisnak a kitérő egyenesekkel alkotott metszpontjai közé eső szakasza Egyenes vele párhuzamos sík távolsága: Az egyenes tetszőleges pontjának a síktól vett távolsága Két párhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett távolságát értjük Két metsző egyenes hajlásszöge: A metszpont körül keletkezett szögtartományok (2-2 egybevágó szög) közül a kisebbik Két kitérő egyenes hajlásszöge: Az a szög melyet úgy kapunk hogy az egyik egyenest önmagával párhuzamosan eltolva a másikkal metsző helyzetbe hozzuk az így keletkező immáron metsző egyenesek hajlásszöge lesz a két kitérő egyenes hajlásszöge Egyenes sík merőleges helyzete: Egy egyenes akkor merőleges egy síkra ha merőleges a sík összes egyenesére Bizonyítható hogy ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére akkor merőleges az összes egyenesére azaz merőleges a síkra Egyenes sík hajlásszögén az egyenesnek az adott síkra eső merőleges vetületének az adott egyenesnek a hajlásszögét értjük Két metsző sík hajlásszöge: A két sík metszvonalának egy pontjában a metszvonalra merőleges egyeneseket állítunk mindkét síkban az így nyert egyenesek hajlásszöge lesz a síkok hajlásszöge Ez a szög pótszöge az egyenes a sík normálisa által bezárt szögnek

40 Geometriai példatár Párhuzamos illetve egybeeső térelemek (sík egyenes) hajlásszöge nulla 212 Összefüggek tételek képletek Vektor hossza (síkbeli koordinátákkal): Vektor hossza (térbeli koordinátákkal): Az végpontú szakasz illetve vektor hossza: Két vektor skaláris szorzata: Két vektor skaláris szorzata síkbeli koordinátákkal: Két vektor skaláris szorzata térbeli koordinátákkal: Az vektorok vektoriális szorzatán azt a vektort értjük amelyik merőleges mindkét adott vektorra az hossza: vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak a Két vektor vektoriális szorzata koordinátákkal: Paralelogramma területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Háromszög területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Három vektor vegyes szorzatán a következő műveletet értjük: Paralelepipedon térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: Tetraéder térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: GEM2-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

41 Metrikus feladatok Az csúcsú háromszög súlypontjának koordinátái: A pontra illeszkedő egyenes egyenletei (síkban): - gel: Az irányvektorral: normálvektorral: - meredekség- (Az egyenes meredeksége az irányszögének a tangense) egyenes normálegyenlete: Ha az egyenest általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyerjük: A pont egy adott egyenes távolsága: egyenes egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört számlálója az A koordináta-síkon adott két egyenes ( ahol mazható) ) hajlásszögének meghatározása: a két egyenes normálvektora (Ugyanez az összefügg az irányvektorokkal is alkal- Két egyenes hajlásszöge meredekségekkel: Két metsző egyenes szögfelezőinek egyenletét az adott egyenesek normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A kör általános egyenlete: sugara A kör ahol pontjában húzható a kör középpontja érintőjének az pedig a egyenlete: A külső pontból az általános egyenletével adott körhöz húzható érintők érinti pontjain áthaladó szelő egyenletét úgy kapjuk hogy a koordinátáit az érintő általános egyenletébe behelyettesítjük Ekkor tehát az egyenlet az előbb említett szelő egyenletét adja Ez az eljárás a továbbiakban előkerülő kúpszeletek mindegyikére alkalmazható Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-3

42 Geometriai példatár Az ellipszis általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol tengely pedig az az ellipszis középpontja tengellyel párhuzamos fél- tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg az ellipszis féltengelyeire: Az az ellipszis ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol féltengely pedig az a hiperbola középpontja tengellyel párhuzamos tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg a hiperbola féltengelyeire: A az hiperbola ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola aszimptotáinak egyenletei: a hiperbola hossza ahol tengellyel párhuzamos féltengelye a hiperbola középpontja pedig az tengellyel párhuzamos féltengely A parabola általános egyenletei (elhelyezkedtől függően: - az tengely pozitív irányába nyitott tengelye párhuzamos az ja tengellyel: ahol tengely negatív irányába pedig a fókuszpont a vezéregyenes távolsága (paraméter) - az nyitott tengelye párhuzamos az tengellyel: irányába nyitott tengelye párhuzamos az a parabola tengelypont- - az tengellyel: tengellyel: Az szimmetriatengelyű párhuzamos tív irányába nyitott parabola tengely ne- - az gatív irányába nyitott tengelye párhuzamos az koordináta-tengellyel tengely pozitív az tengely pozi- pontjában húzható érintőjének az egyenlete: Az irányába koordináta-tengellyel nyitott párhuzamos parabola szimmetriatengelyű pontjában húzható az érintőjének tengely az pozitív egyenlete: GEM2-4 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

43 Metrikus feladatok A pontra illeszkedő sík egyenlete normálvektorával felírva: A sík normálegyenlete: Ha a síkot általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyer- jük: illetve ugyanez tömörebb formában: A pont egy adott sík távolsága: számlálója a sík egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört Két metsző sík szögfelező síkjainak egyenletét az adott síkok normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere: az egyenes irányvektora valamint 0) ahol (tehát az irányvektor egyik koordinátája sem pedig az egyenes egy adott pontja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere ha pedig az egyenes egy adott pontja: az egyenes irányvektora ahol valós paraméter Itt is lehet azaz ezt az egyenletrendszert akkor is használhatjuk ha az irányvektor valamelyik koordinátája 0 Két egyenes párhuzamos ha irányvektoraik párhuzamosak azaz: Egy egyenes egy sík párhuzamos ha az egyenes irányvektora merőleges a sík normálvektorára azaz: Két sík ( Két egyenes merőleges ha irányvektoraik merőlegesek egymásra azaz: Egy egyenes merőleges az azaz: ) párhuzamos ha normálvektoraik párhuzamosak azaz: Két sík ( síkra ha az egyenes irányvektora párhuzamos a sík normálvektorával ) merőleges ha normálvektoraik merőlegesek azaz: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-5

44 Geometriai példatár Két általános helyzetű egyenes hajlásszögének meghatározása: a két egyenes irányvektora ahol Általános helyzetű egyenes sík hajlásszögének meghatározása: egyenes irányvektora ahol az pedig a sík normálvektora Két általános helyzetű sík ( ) hajlásszögének meghatározása: a két sík normálvektora A gömb egyenlete: pedig a sugara A ahol ahol gömb pontjában a gömb középpontja húzható érintősík egyenlete: Az ellipszoid egyenlete: pontja az Az ahol az ellipszoid közép- a három féltengelye ellipszoid pontjában húzható érintősík egyenlete: 22 Metrikus feladatok 221 Szögekkel kapcsolatos feladatok 1 Adott két vektor Határozzuk meg az általuk bezárt c) 2 Legyen zárjon be egymással! szöget! a) b) Határozzuk meg az abszcisszáját úgy hogy a két vektor 60o-os szöget 3 Határozzuk meg a következő két-két egyenes által bezárt GEM2-6 c) e) szöget! a) b) d) Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

45 Metrikus feladatok 4 Adjuk meg azon egyenes egyenletét amelyik áthalad a ponton a harmadik síknegyedben a koordinátatengelyekkel olyan háromszöget alkot amelyiknek a területe területegység 5 Két egyenes egyenlete: e: f: Határozzuk meg az f egyenes m meredekségét úgy hogy a két egyenes által bezárt szög 6 Legyen e: f: legyen! Határozzuk meg az f egyenes egyenletében szereplő úgy hogy a két egyenes által bezárt szög értékét legyen 7 Határozzuk meg a f: következő két egyenes hajlásszögét! e: 8 Számítsuk ki az alábbi térelemek által bezárt szöget! e: S: 9 10 Mekkora a hajlásszögük a következő síkoknak? S: Adjuk meg az alábbi síkok hajlásszögét! S: R: R: 11 Adott egy egyenes egy S: 12 sík Mekkora az egymással bezárt szögük? e: Milyen szög alatt látjuk a pontból a g: ellipszist? 13 Milyen szög alatt látjuk a pontból a g: egyenletű görbét? 14 Határozzuk meg a g: egyenletű görbének a pontból való látószögét! 15 Milyen szög alatt látható a 16 pontból a egyenletű ellipszis? Adjuk meg annak az origó középpontú hiperbolának az egyenletét amelyiknek egyik pontja a aszimptotái 60o-os szöget zárnak be egymással! 17 Hány fokos szögben látható a pontból a Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 egyenletű hiperbola jobb oldali ága? GEM2-7

46 Geometriai példatár Milyen szög alatt látható a g: parabola a Hány fokos szögben látható a pontból a g: pontból? egyenletű görbe? Adott egy f: egyenes egy g: egyenletű ellipszis Az egyenes két pontban metszi a görbét Határozzuk meg mind a két metszpontban az egyenes a görbe által bezárt hajlásszöget! Megjegyz: Egymást metsző görbe egyenes hajlásszögén azt a szöget értjük melyet a metszpontban húzható érintő az adott egyenessel zár be Adott egy g: egyenletű hiperbola egy f: görbe egyenes által bezárt hajlásszöget mind a két metszpontban! Adott egy g: egyenletű parabola egy f: az egyenes által bezárt hajlásszöget mind a két metszpontban! Adott az origó középpontú hiperbola h: meg a metszpontjaikban keletkezett hajlásszögeket! Adott két parabola:g: letkezett hajlásszögeket! egyenes Határozzuk meg a egyenes Határozzuk meg a görbe g: h: ellipszis Határozzuk Határozzuk meg a metszpontjaikban ke- 222 Távolsági feladatok 1 Határozzuk meg azon háromszögek területét amelynek csúcsai: a) 2 3 c) Adott két pont továbbá három pont egy egyenesen legyen! b) Határozzuk meg a Adott két pont továbbá koordinátáját úgy hogy a három pont egy egyenesen legyen! pont ordinátáját úgy hogy a Határozzuk meg a pont ismeretlen 4 Egy háromszög csúcsai: területe T= ordinátáját úgy hogy a háromszög területe a megadott érték legyen! 5 Határozzuk meg azon gúlák térfogatait amelyeknek csúcsai: a) b) 6 Egy gúla csúcsai: Határozzuk meg a 7 8 Határozzuk meg a csúcs térfogata térfogategység csúcs applikátáját úgy hogy a térfogat a megadott érték legyen! Legyen hogy a négy pont egy síkban legyen Határozzuk meg a C pont abszcisszáját úgy Adott az háromszög Határozzuk meg: a) a C csúcsra illeszkedő magasságvonal egyenletét b) az mc magasság hosszát! GEM2-8 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

47 Metrikus feladatok 9 Adott egy e: hogy a 10 pont Határozzuk meg a pont ordinátáját úgy pont távolsága az adott egyenestől 5 egység legyen! Adott az e: egyenes egy egyenes az pontpár Melyek azok a pontok amelyek az pontoktól egyenlő távolságra az e egyenestől pedig 5 egységre vannak? 11 Határozzuk meg a 12 Számítsuk ki a pontnak az e: egyenestől való távolságát! pontnak az S: síktól való távolságát! 13 Adott S sík egy e egyenes S: e: a) Állapítsuk meg kölcsönös helyzetüket! b) Ha metszőek határozzuk meg a metszpont koordinátáit! Ha párhuzamosak számítsuk ki a távolságukat! Adott két párhuzamos sík: S: ; R: Adott egy S: sík Határozzuk meg a való távolsága 3 koordináta egység legyen! Határozzuk meg a távolságukat! pont ordinátáját úgy hogy a pont síktól 16 Létezik-e s ha igen mekkora a következő két egyenes távolsága? e: f: 17 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! b) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! c) Számítsuk ki távolságukat! 18 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 19 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 20 Határozzuk meg az egyenes egyenletében az ordináta-szelet ( ) értékét úgy hogy az egyenes az origótól 5 koordináta egységre legyen! Mekkora területű háromszöget alkot a koordináta-rendszer tengelyeivel a kapott egyenes? 21 Határozzuk meg az egyenes egyenletében a meredekség ( az origótól való távolsága 2 koordináta egység legyen! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 ) értékét úgy hogy az egyenesnek GEM2-9

48 Geometriai példatár Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 23 Adott két kitérő egyenes: e: f: a) Adjuk meg legközelebb lévő pontjaikat! b) Határozzuk meg normáltranszverzálisuk egyenletrendszerét! c) Számítsuk ki távolságukat! 24 Adott az A B sík egy e egyenes A: B: e: Határozzuk meg az e egyenes azon pontját amely mind a két síktól egyenlő távolságra van! Adott három sík: A: B: C: Határozzuk meg mindazon pontokat amelyek egyrzt az A B síkoktól egyenlő távolságra másrzt a C síktól 1 koordináta egységre vannak! Adott két pont egy S: sík Határozzuk meg azon pontokat amelyek az adott pontoktól egyenlő távolságra az S síktól pedig 2 egységre vannak! Határozzuk meg az S: távolságát! síknak az Határozzuk meg az S: egyenletű gömbfelülettől való síknak a távolságát a következő gömbfelülettől: Adjuk meg az S: síknak az ellipszoidtól való távolságát! Határozzuk meg az távolságát! egyenletű görbének az f: egyenestől való Határozzuk meg a g: egyenes távolságát! egyenletű hiperbola jobb oldali ága 31 az f: 32 Adott az Adjuk meg az f: Határozzuk meg az egyenes távolságát! egyenletű ellipszis egy f: egyenesnek a g: egyenes Határozzuk meg távolságukat! egyenletű görbétől való távolágát! egyenletű hiperbola jobb oldali ága az egyenletű Adott az egyenletű hiperbola Mekkora annak a háromszögnek a területe amelyet az pontjára illeszkedő érintő az I III síknegyedben lévő aszimptota az x tengely zár be? Határozzuk meg az GEM2-10 parabola az egyenes távolságát! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

49 Metrikus feladatok Adjuk meg a g: görbe az f: Határozzuk meg az egyenes távolságát! ellipszisnek a egyenestől való távolságát! 39Az e egyenes mentén beeső fénysugár a tükör S síkjáról visszaverődve az e* egyenes mentén halad tovább Adjuk meg a visszavert fénysugár (e*) egyenletrendszerét ha: e: 40 Tükrözzük az S: S: pontra Adjuk meg a sík tükörképének (S*) egyenletét! síkot a 41 Tükrözzük az e: (e*) az egyenletrendszerét! egyenest a pontra! Adjuk meg az egyenes tükörképének 42 Tükrözzük a ( pontot a t: egyenesre! Adjuk meg a pont tükörképének ) koordinátáit! Adott két párhuzamos egyenes: e: f: az adott egyenesekre illeszkednek Az egyik szára az van Határozzuk meg a trapéz területét! koordináta-síkon a másik pedig az Egy gúla egyik csúcsa az origó további három csúcsát az S: tengelyekkel alkotott metszpontjaiban nyerjük Mekkora a gúla térfogata? Egy trapéz csúcsai síkon síknak a koordináta- 45Egy háromszög két oldala az alább adott e f - egyeneseknek szakaszai a harmadik oldala párhuzamos az koordináta-síkkal fölötte egységnyi távolságra van Mekkora a háromszög kerülete? e: f: 46 Az e: egyenletrendszereit! 47 egyenest tükrözzük mind a három koordináta-síkra Adjuk meg a tükörképek Létezik-e s ha igen mekkora a térfogata annak a tetraédernek amelynek alaplapja S: síkon van három éle az alábbi (e; f; g) egyenesek szakaszai? e: f: g: 48 Adott két metsző egyenes: e: f: Határozzuk meg azon egyenlőszárú háromszög csúcsait amelynek szárai az adott egyenesek szakaszai a szárak hossza 7 koordináta egység Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-11

50 Geometriai példatár Metrikus feladatok - MEGOLDÁSOK 231 Szögekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) 1 a) b) c) 2 3 a) b) e) c) d) A hajlásszöget az egyenesek irányvektorai által bezárt szög segítségével állapítjuk meg (figyelembe véve hogy két térelem nem zárhat be 90o-nál nagyobb szöget viszont két vektor szöge lehet 90o-nál nagyobb) Megjegyz: Két térbeli egyenes által bezárt szöget attól függetlenül meg tudjuk állapítani hogy tudnánk hogy metszők avagy kitérők (ugyanis a párhuzamosság az irányvektorok ismeretében kizárt) A keresett látószöget a P pontra illeszkedő két érintő zárja be Az érintők e1: A keresett szög: GEM2-12 e2: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

51 Metrikus feladatok 13 A P pontra illeszkedő érintők: e1: e2: A keresett látószög: 14 A P pontra illeszkedő érintők: e1: 15 e2: A keresett látószög: A P pontra illeszkedő érintők: e1: e2: A keresett látószög: 16 Két ilyen hiperbola van: 17 A P pontra illeszkedő érintők: e1: 18 e2: A keresett látószög: e 2: A keresett látószög: A P pontra illeszkedő érintők: e1: 19 A P pontra illeszkedő érintők: e1: e2: A keresett látószög: 20 A görbe egyenes metszpontjai: Az metszpontnál létrejövő hajlásszög: e2: 21 A Az metszpontnál létrejövő hajlásszög: 22 A metszpontnál létrejövő hajlásszög: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 Az pontra illeszkedő érintő: pontra illeszkedő érintő: e1: Az A metszpontnál létrejövő hajlásszög: A görbe egyenes metszpontjai: Az A metszpontnál létrejövő hajlásszög: A görbe egyenes metszpontjai: e2: pontra illeszkedő érintő: e1: Az pontra illeszkedő érintő: pontra illeszkedő érintő: e1: A pontra illesz- GEM2-13

52 Geometriai példatár kedő érintő: e2: A metszpontnál létrejövő hajlásszög: 23A két görbe 4 (különböző síknegyedbe eső) pontban metszi egymást Ezen metszpontok koordinátái a közös szimmetriatengelyek miatt csak előjelben különböznek A keresett hajlásszögek ezért egyenlők tehát elegendő csak az I síknegyedben vizsgálódni A görbék metszpontja az I síknegyedben: M(4;2) Az ellipszis érintője az M pontban: e1: A hiperbola érintője az M pontban: e2: hajlásszöge az M pontban: A görbék 24Az y tengely a két parabola közös szimmetriatengelye ezért a két metszpont csupán az első koordinátáik előjelében térnek el egymástól Másrzt a két metszpontban keletkezett hajlásszögek megegyeznek A görbék metszpontja az I síknegyedben: Az egyik érintő: e1: A keresett hajlásszög: A másik érintő: e2: 232 Távolsági feladatok (Megoldások) 1 a) területegység b) területegység c) Megjegyz: Hogy a c) feladat háromszögének 0 a területe már abból is feltűnhet hogy az meghatározásával 2 vektorok koordinátáinak adódik ami csak úgy lehet ha a három pont egy egyenesre illeszkedik Ha a három pont egy egyenesen van három féle módon is megoldhatjuk a feladatot: a) Az területe 0 alkalmazzuk a terület-képletet b) háromszög Mivel a C egyik koordinátája ismert ezért eb- ből meghatározható majd az ismeretlen koordináta is számolható c) A C illeszkedik az AB egyenesre ezért annak egyenletét felírva majd a C koordinátáit behelyettesítve kiszámítható az ismeretlen koordináta Megoldás: 3 A feladat szövege azonos az előző feladatéval A különbség az hogy most három dimenzióban vagyunk Térben az előbbi megoldás a) variációja nem használható mert itt a T=0 egyenlet két ismeretlent tartalmaz A b) c) megoldást itt is alkalmazhatjuk Eredmények: 4 vagy 5 a) V=3 térfogategység b) 6 vagy térfogategység 7 Ha a négy pont egy síkban van akkor az általuk meghatározott gúla térfogata 0 Másik megoldás: Írjuk fel az A B D pontok közös síkjának egyenletét majd mivel a C pont ezen sík eleme a kapott egyenletbe helyettesítsük be a C pont koordinátáit Megoldás: GEM2-14 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

53 Metrikus feladatok 8 a) b) mc=5 egység 9 Két megoldás van: az egyik az egyenes fölött : 10 a másik az egyenes alatt : Az A B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye az f: szakaszfelező merőleges Az e egyenestől 5 egységre lévő pontok mértani helye két egymással az e egyenessel is párhuzamos h g egyenes h: g: Megoldás: az említett mértani helyek metszpontjai: 11Célszerű előbb meghatározni az egyenesnek azt a pontját amelyik a legközelebb van az adott ponthoz Ezt a pontot a P pontra illeszkedő az e egyenesre merőleges S: nesből: sík metszi ki az adott egye- Ezzel a feladatot visszavezettük két pont távolságának kiszámítására ami azonos a vektor hosszával: d=pm=7 egység 12A távolság: d=3 egység 13 a) Mivel ezért a két vektor merőleges az S sík az e egyenes párhuzamos egymással b) A távolságot az egyenes egy tetszőleges pontjának pl tartópontjának a síktól való távolságával mérjük: d=1 egység 14A távolság: d=3 egység 15 Az S síktól 3 egységre lévő pontok mértani helye a következő két sík: A: A P pont illeszkedik ezen síkokra: 16 A két egyenes párhuzamos mert van közös irányvektoruk: vagy B: Így létezik a távolságuk: d=7 egység 17a) Két kitérő egyenes normáltranszverzálisát a Geometria I jegyzet oldalain leírt megoldási elv alapján számíthatjuk lásd az ott kidolgozott feladatot A kapott normáltranszverzális egyenletrendszere: Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás b) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre c) d=7 egység 18 a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik az f egyenesre b) Megjegyz: Lásd 17/a megjegyzét c) d=3 egység 19 a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre b) Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás c) d=7 egység 20 A keresett érték: A meredekség: területegység 21 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-15

54 Geometriai példatár a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre b) Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás c) ség egy- 23 a) illeszkedik az e egyenesre illeszkedik f egyenesre b) Megjegyz:Bármely ezzel ekvivalens egyenletrendszer is termzetesen helyes megoldás c) ség 24 egy- Két párhuzamos síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye az az F: egyenletű sík amelynek az origótól való távolsága számtani közepe az adott síkok origótól való távolságának Megoldás: az e egyenesnek az F síkkal való metszpontja: 25Az A B síkoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye SZ F szögfelező síkok SZ: S: F: A C síktól egy egységre lévő pontok mértani helye az R: síkok A megoldás 4 olyan egyenes (e; f; g; h) amelye- ket az előbb említett síkok metszvonalaiként az alábbiak szerint nyerünk: e: az S F síkok metszvonala f: az S SZ síkok metszvonala g: az R F síkok metszvonala h: az R SZ síkok metszvonala Megjegyz:Bármely ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is termzetesen helyes megoldások 26Az A B pontoktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye az AB szakasz felezőmerőleges síkja: F: L: Az S síktól 2 egységre lévő pontok mértani helye a H: síkok A megoldás: h: az F H síkok metszvonala l: az F L síkok metszvonala Megjegyz:Bármely ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is termzetesen helyes megoldások 27Két megoldási módot is adunk: a) Az S sík normálegyenletéből leolvassuk a síknak a gömb középpontjától jelen esetben az origótól való távolságát (9 egység) Ebből levonva a gömb sugarát (r=3 egység) kapjuk a sík a gömbfelület távolságát: d=6 egység b) Megadjuk az egyenletrendszerét annak az f egyenesnek amelyik illeszkedik a gömb középpontjára merőleges az S síkra: f: f egyenesnek a gömbfelülettel alkotott metszpontjait: Meghatározzuk az Megvizsgáljuk hogy a két pont közül melyik van a síkhoz közelebb ( ) illetve távolabb ( ) a közelebbinek az S síktól való távolsága lesz a síknak a gömbfelülettől való távolsága: d=6 egység 28Két megoldási módot adunk: a) Megadjuk a gömb középpontjára illeszkedő S síkkal párhuzamos R síkot R: Meghatározzuk a két sík egymástól való távolságát (origótól való távolságuk különbségét 18-6=12 egység) Ebből a gömb sugarát (r=3 egység) levonva kapjuk az S síknak a gömbfelülettől való távolságát d=9 egység b) Megadjuk az egyenletrendszerét annak az f egyenesnek amelyik illeszkedik GEM2-16 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

55 Metrikus feladatok a gömb középpontjára merőleges az S síkra: f: a gömbfelülettel alkotott metszpontjait: Meghatározzuk az f egyenesnek Megvizsgáljuk hogy a két pont közül melyik van a síkhoz közelebb ( ) illetve távolabb ( ) a közelebbinek az S síktól való távolsága lesz a síknak a gömbfelülettől való távolsága: d=9 egység Megjegyz: Az előző feladat a) megoldási módszerét is alkalmazhattuk volna 29 Legyen egyenletéből (az az a felületi pont amelyhez tartozó érintősík párhuzamos az S síkkal A felület pont koordinátáinak segítségével) felírható egy E: említett párhuzamos síkok normálvektoraira: érintősík Az vektoregyenletnek kell teljesülnie A megfelelő koordinátákra hasonló egyenletek nyerhetők továbbá az pont rajta van a felületen ezért koordinátái kielégítik a felület egyenletét Az említett egyenletekből álló egyenletrendszer megoldásaként két felületi pontot kapunk (mert az S síkkal párhuzamos érintősíkból 2 van): Ezek közül az egyik a felület legközelebbi a másik a legtávolabbi pont A keresett távolság: 30Előbb próbáljuk meghatározni a görbének az f egyenessel párhuzamos érintőit Így megkapjuk a görbe egyeneshez legközelebbi illetve legtávolabbi pontját A legközelebbi pont: d=3 egység 31 A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység 32 A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység 35 Az érintő egyenlete: e: Az aszimptota egyenlete: A háromszög területe: területegység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység A görbének az egyeneshez legközelebbi pontja egység 39 A megoldás: e*: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-17

56 Geometriai példatár A megoldás: S*: 41 A megoldás: e*: 42 A megoldás: 43 A trapéz csúcsai: ; 44 ; A gúla csúcsai A trapéz oldalai: ; egység A trapéz kerülete az előbbi oldalak összege A gúla térfogata V=20 térfogategység 45 A háromszög csúcsai ; A háromszög oldalai: egység A háromszög kerülete: ; egység 46 Az e egyenes tükörképe az koordináta síkra: koordináta síkra: Az e egyenes tükörképe az Az e egyenes tükörképe az koordináta síkra: Megjegyz:Bármely ezekkel ekvivalens egyenletrendszerek is termzetesen helyes megoldások 47A tetraéder létezének feltétele hogy az adott három egyenesnek legyen egy közös pontja E közös ponthoz ha létezik úgy jutunk hogy meghatározzuk két-két egyenes metszpontját (tetraéder léteze esetén) ennek azonosnak kell lennie Most ettől megkíméljük a feladat megoldóját ugyanis vegyük zre hogy az egyenesek közös tartópontúak Tehát létezik a tetraéder s annak egy csúcsa az előbbi M pont A tetraéder alaplapjának nyerjük: 48 csúcsit az adott egyeneseknek az S síkkal alkotott döfpontjaiként A gúla térfogata: V=7 térfogategység A háromszög alapjával szemben lévő csúcsát a két egyenes metszpontjában nyerjük: a szárak hossza 7 egység ezért a Mivel csúcsokat az adott egyenesek az A középpontú 7 egység sugarú gömb felületéből metszik ki A feladatnak négy megoldása van Egyik megoldás: További megoldásokat az előbbi csúcsoknak az pontra való tükrözével nyerünk Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria I Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar Székesfehérvár 2007 Coxeter H S M: A geometriák alapjai Műszaki Könyvkiadó Budapest 1973 Hajós György: Bevezet a geometriába Tankönyvkiadó Budapest 1966 GEM2-18 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

57 Metrikus feladatok Kárteszi Ferenc: Bevezet a véges geometriákba Akadémia Kiadó Budapest 1972 Kárteszi Ferenc: Lineáris transzformációk Tankönyvkiadó Budapest 1974 Reiman István: A geometria határterületei Gondolat Könyvkiadó 1986 Pelle Béla: Geometria Tankönyvkiadó Budapest 1974 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-19

58

59 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 3 GEM3 modul Projektív geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

60 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

61 Tartalom 3 Projektív geometria 1 31 Bevezet Alapvető fogalmak ismeretek tételek Alapszerkesztek 4 32 Projektív geometria FELADATOK Elsőfajú alapalakzatok perspektív helyzete Osztóviszony kettősviszony Elsőfajú alapalakzatok projektív vonatkozása (jele: ) Másodfajú alapalakzatok Axiális (tengelyes) affinitás Centrális kollineáció Projektív geometria MEGOLDÁSOK Elsőfajú alapalakzatok perspektív helyzete (Megoldások) Osztóviszony kettősviszony (Megoldások) Elsőfajú alapalakzatok projektív vonatkozása (Megoldások) Másodfajú alapalakzatok (Megoldások) Axiális (tengelyes) affinitás (Megoldások) Centrális kollineáció (Megoldások) 15

62

63 3 fejezet - Projektív geometria 31 Bevezet A Projektív geometria olyan teljesen új szemléletű geometriai ismereteket tartalmaz melyek az euklideszi geometriától eltérő sajátosságokra vezetnek Ebből fakadóan a projektív geometriai feladatokat csak úgy lehet eredményesen megoldani ha az alapvető fogalmakat ismerjük biztonságosan kezeljük Ennek elősegíte céljából elméleti összefoglalást adunk az alapvető fogalmakról összefüggekről tételekről Az elméleti összefoglalással az a célunk hogy a feladatok megoldása során esetlegesen felmerülő az elméleti ismeretek hiányából fakadó problémákat gyorsan kezelni tudja az olvasó Termzetesen ez a kivonatolt elméleti anyag nem helyettesíti nem pótolja a Geometria I jegyzetben megtalálható átfogó ismereteket 311 Alapvető fogalmak ismeretek tételek Vetítre nem változó (projektív) tulajdonságok: - Pont vetülete (képe megfelelője) pont - Egyenes vetülete általában egyenes vagy annak valamilyen rzhalmaza (pont) - Illeszkedtartó (Ha egy pont illeszkedik egy egyenesre akkor a képe is illeszkedik az egyenes képére) Végtelen távoli pont: Minden egyeneshez hozzárendelünk egy ideális pontot (nem valós) melyre úgy gondolunk hogy az egyenes bármely valós pontjától végtelen távol van illeszkedik az egyenesre Az egyenes egy valós pontjából bármelyik irányba indulva ugyanahhoz a végtelen távoli ponthoz jutunk Elsőfajú alapalakzatok: - pontsor: adott e tartóegyenesre illeszkedő pontok összessége jele: (e) vagy e(p 1 P 2 ) ahol P 1 P 2 a pontsort meghatározó pontok - sugársor: adott P tartópontra illeszkedő egyenesek összessége jele: P vagy P a 1 ;b 1 ;c 1 ahol a 1 b 1 c 1 A sugársort meghatározó egyenesek - síksor: adott t egyenesre illeszkedő síkok összessége jele:[t] A perspektivitás kölcsönösen egyértelmű leképez két elsőfajú alapalakzat között Egy elsőfajú alapalakzat egy másik típusú elsőfajú alapalakzattal akkor van perspektív helyzetben ha a megfelelő elemek kölcsönösen illeszkednek egymásra Két pontsor akkor van perspektív helyzetben ha a megfelelő pontok egy sugársor ugyanazon egyenesére illeszkednek Két sugársor akkor van perspektív helyzetben ha a megfelelő egyenesek egy pontsor ugyanazon pontjára illeszkednek Két síksor akkor van perspektív helyzetben ha a megfelelő síkok egy sugársor ugyanazon egyenesére illeszkednek Desargues tétele: Ha két háromszög olyan helyzetű hogy a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át akkor a megfelelő oldalak egyenesinek metszpontjai egy egyenesre illeszkednek Desargues tételének megfordítása: Ha két háromszög olyan helyzetű hogy a megfelelő oldalak egyenesinek metszpontjai egy egyenesre illeszkednek akkor a megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át Osztóviszony: Az egy egyenesre illeszkedő A B C pontok osztóviszonyán az alábbi kifejezt értjük: ahol AC CB előjeles szakaszhosszakat jelentenek (Megjegyz: A szakirodalomban használatos az definíció is Feladatgyűjteményünkben csak az első definíciót alkalmazzuk igazodva a Geometria I jegyzetben megtalálható definícióhoz)

64 Geometriai példatár Az osztóviszony tulajdonságai: - Az osztóviszony értéke független az egyenes irányításától - Az osztóviszony értéke egy dimenzió nélküli valós szám - Az osztóviszony értéke párhuzamos vetítre nem változik (invariáns) - Az osztóviszony értéke bármilyen aránytartó geometriai transzformációra nézve invariáns Sugársor osztóviszonya: A Psugársor a b c egyenesére vonatkozó osztóviszony általános esetben: ahol a trigonometrikus értékek az egyes egyenesek által bezárt szögek szinuszai (Megjegyz: A szakirodalomban használatos az definíció is Feladatgyűjteményünkben csak az első definíciót alkalmazzuk igazodva a Geometria I jegyzetben megtalálható definícióhoz) Párhuzamos egyenesek esetében (azaz közös végtelen távoli pontra illeszkedő sugársor esetén) az osztóviszony: jelenti ahol Δ a számlálóban is a nevezőben is az egyes egyenesek távolságát Síksor osztóviszonya: A [t] síksor A B C síkjaira vonatkozó osztóviszony általános esetben: ahol a trigonometrikus értékek az egyes síkok által bezárt szögek szinuszai (Megjegyz: A szakirodalomban használatos az definíció is Feladatgyűjteményünkben csak az első definíciót alkalmazzuk igazodva a Geometria I jegyzetben megtalálható definícióhoz) Párhuzamos síkok esetében (azaz közös végtelen távoli egyenesre illeszkedő síksor esetén) az osztóviszony: ahol Δ a számlálóban is a nevezőben is az egyes síkok távolságát jelenti Pontsor kettősviszonya: Egy egyenesre illeszkedő négy pont A B C D esetén a pontok kettősviszonyán az alábbi kifejezt értjük: A kettősviszony dimenzió nélküli szám Projektív koordináták: Ha egy tetszőleges pontsor három pontját (A B C) rögzítjük (fix pontok) akkor az egyenes tetszőleges D pontjához kölcsönösen egyértelmű módon hozzárendelhető az (ABCD) kettősviszony értéke Ezt nevezzük a D pont projektív koordinátájának A kettősviszony tulajdonságai: Sugársor kettősviszonya: Egy tartópontra illeszkedő négy egyenes a b c d esetén a pontok kettősviszonyán az alábbi kifejezt értjük: GEM3-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

65 Projektív geometria Síksor kettősviszonya: Egy tartóegyenesre illeszkedő négy sík A B C D esetén a síkok kettősviszonyán az alábbi kifejezt értjük: Papposz tétele: Perspektív helyzetben lévő elsőfajú alapalakzatok megfelelő négy-négy elemének kettősviszonya egyenlő A kettősviszony bármely vetítre nézve invariáns Két elsőfajú alapalakzat projektivitásának három egyenértékű definíciója: I def: Ha két elsőfajú alapalakzat elemeit kölcsönösen egyértelmű módon úgy rendeljük egymáshoz hogy bármely négy elem kettősviszonya egyenlő a megfelelő négy elem kettősviszonyával akkor ezt a hozzárendelt projektív transzformációnak nevezzük II def: Két elsőfajú alapalakzat akkor projektív ha egybevágósági (vagy affin) transzformávióval perspektív helyzetbe hozhatók III def: A projektív transzformáció perspektivitások egymásutánjaként (szorzataként) áll elő Perspektív helyzetű síkrendszerek: Két különböző síkrendszer perspektív helyzetű ha a megfelelő elemeiket egy O pontból való vetítsel nyerjük (O lehet ideális pont is) Az O a perspektivitás centruma Perspektív helyzetű síkrendszerek tulajdonságai: - A megfelelő pontokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át - A megfelelő egyenesek metszpontjai egy egyenesre illeszkednek Két síkrendszer affin perspektív helyzetű ha a vetít O centruma egyik síkra sem illeszkedő végtelen távoli pont Ekkor azt mondjuk hogy az egyik sík a másikba térbeli axiális affin transzformációval vihető Az térbeli axiális affinitás tulajdonságai: - A megfelelő pontokat összekötő egyenesek egy ponton mennek át - A megfelelő egyenesek metszpontjai egy egyenesre illeszkednek - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedtartó - kettősviszonytartó - térelemtartó - párhuzamosságtartó - osztóviszonytartó Két síkrendszer hasonlóan perspektív helyzetű ha a két tartósík párhuzamos a vetít O centruma a végesben van Ekkor azt mondjuk hogy az egyik síkot a másikba térbeli középpontos hasonlóság viszi A térbeli középpontos hasonlóság tulajdonságai: - egyenes képe párhuzamos - pont képének egyenese illeszkedik az O cenrumra - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedtartó - kettősviszonytartó - térelemtartó - párhuzamosságtartó - osztóviszonytartó - szögtartó - aránytartó Két sík egyenlően perspektív helyzetű ha a két tartósík párhuzamos a vetít O centruma a végtelenben van Ekkor azt mondjuk hogy az egyik síkot a másikba eltolás viszi Az eltolás tulajdonságai: - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedtartó - kettősviszonytartó - térelemtartó - párhuzamosságtartó - osztóviszonytartó - szögtartó - aránytartó - távolságtartó Projektív síkrendszerek: Két síkrendszer akkor projektív vonatkozású (a két síkot projektív transzformáció viszi egymásba) ha megfelelő elemeit úgy rendeljük egymáshoz hogy a megfeleltet: - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedtartó - kettősviszonytartó legyen Projektív transzformációk két nagy csoportja: - Korreláció (egyeneshez pontot ponthoz egyenest rendelünk) - Kollineáció (pont képe pont egyenes képe egyenes) A kollineáció tulajdonságai: - kölcsönösen egyértelmű - illeszkedtartó - kettősviszonytartó - térelemtartó Ha két sík kollineár vonatkozású (egyik síkot a másikba kollineáció viszi) akkor perspektív helyzetbe hozhatók A kollineáció alaptétele: Ha az S síkban lévő A B C D az S síkban lévő A B C D pontnégyesek általános helyzetűek (négyszöget alkotnak) akkor mindig van az S síknak az S síkra egy csakis egy olyan kollineár leképeze amelynél az A B C D pontoknak rendre az A B C D pontok felelnek meg ( viszont) Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM3-3

66 Geometriai példatár Az alaptételből következik hogy a két sík közötti kollineációt egyértelműen meghatározza a síkokban felvett általános helyzetű egymásnak megfelelő négy-négy pont illetve négy-négy egyenes 312 Alapszerkesztek Egy pontsor rögzített A B alappontpárja adott (ABC) osztóviszony esetén az osztóviszonyhoz tartozó C pont megszerkeszte (Geometria I 87 oldal) Egy pontsor rögzített A B C alappontjai adott (ABCD) kettősviszony esetén a kettősviszonyhoz tartozó D pont megszerkeszte (Geometria I 90 oldal) Két projektív pontsor negyedik megfelelőjének szerkeszte perspektív helyzetbe hozással (Geometria I 97 oldal) Két projektív pontsor negyedik megfelelőjének szerkeszte perspektív tengellyel (Geometria I 98 oldal) Két projektív pontsor negyedik megfelelőjének szerkeszte perspektív főtengellyel (Geometria I 99 oldal) Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkeszte perspektív helyzetbe hozással (Geometria I 102 oldal) Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkeszte perspektív centrummal (Geometria I 103 oldal) Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkeszte perspektív főcentrummal (Geometria I 104 oldal) Két projektív sugársor negyedik megfelelőjének szerkeszte papírcsíkos eljárással (Geometria I 105 oldal) Steiner-féle szerkeszt Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer 4-4 megfelelő pontpárjával Szerkesztendő az egyik sík tetszőleges (ötödik) pontjának a másik síkon lévő képe (Geometria I 119 oldal) Adott két affin vonatkozású síkrendszer 3-3 megfelelő pontpárjával Szerkesztendő az egyik sík tetszőleges (negyedik) pontjának a másik síkon lévő képe (Geometria I 120 oldal) Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer 4-4 megfelelő pontpárjával Szerkesztendők az ellentengelyek képeik (Geometria I oldal) 32 Projektív geometria FELADATOK 321 Elsőfajú alapalakzatok perspektív helyzete 1 Ha egy (e) pontsort egy külső pontból egy síkra vetítünk milyen alapalakzatot nyerünk? 2 Ha egy (e) pontsort egy külső pontból egy a egyenesre vetítünk milyen alapalakzatot nyerünk? (a illeszkedik e P síkjára) 3 Ha egy P sugársort egy külső C pontból egy síkra vetítünk milyen alapalakzatot nyerünk? 4 Ha egy sugársort egy a tartósíkjára illeszkedő de a tartópontján nem áthaladó egyenessel elmetszünk akkor milyen alapalakzatot nyerünk? 5 Ha egy síksort egy tetszőleges - de a t tartójára nem illeszkedő síkkal elmetszünk akkor milyen alapalakzatot nyerünk? GEM3-4 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

67 Projektív geometria 6 Ha egy tetszőleges elsőfajú alapalakzatot metszünk vagy vetítünk akkor milyen alapalakzatot nyerünk? 7 Adott két egyenes Milyen kölcsönös helyzet esetén létesíthető perspektív helyzet a két egyenes pontjai között hogyan? Perspektív helyzet esetén melyek lesznek az önmaguknak megfelelő pontpárok? 8 Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) az e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) pontsor három-három megfelelő elemével Hozzuk a két pontsort perspektív helyzetbe majd szerkesszük meg az ellenpontokat! 9 Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) az e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) pontsor három-három megfelelő elemével Hozzuk a két pontsort perspektív helyzetbe majd szerkesszünk negyedik ötödik megfelelő elempárt! 10Adott a P 1 a 1 ;b 1 ;c 1 a P 2 a 2 ;b 2 ;c 2 sugársor három-három megfelelő elemével Hozzuk a két sugársort perspektív helyzetbe majd szerkesszünk negyedik ötödik megfelelő sugárpárt! 11Adott a P 1 a 1 ;b 1 ;c 1 a P 2 a 2 ;b 2 ;c 2 sugársor három-három megfelelő elemével Szerkesszük meg a közös n 1 =m 2 P 1 P 2 sugarak n 2 illetve m 1 megfelelőit perspektív helyzetbe hozással! 12Adott az e(a; B; C) pontsor a P a;b;c sugársor három-három megfelelő elemével Szerkesszük meg (perspektív helyzetbe hozással): a) az AB szakasz F felezőpontjának megfelelő f sugarat b) a BC szakasz H harmadoló pontjának megfelelő h sugarat c) az a b sugarak által bezárt szög s szögfelezőjének megfelelő S pontot d) a b c sugarak által bezárt szög t szögfelezőjének megfelelő T pontot! 13Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) az e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) pontsor három-három megfelelő elemével Hozzuk a két pontsort perspektív helyzetbe majd szerkesszük meg: a) az (e 1 ) pontsoron az A 1 ponttól 2 cm-re lévő pontoknak az (e 2 ) pontsoron lévő megfelelőit b) a B 1 C 1 szakasz F 1 felezőpontjának az (e 2 ) pontsoron lévő megfelelőjét c) az A 2 B 2 szakasz egyik H 2 harmadoló pontjának H 1 megfelelőjét d) az (e 2 ) pontsoron a C 2 ponttól 1 cm-re pontoknak az (e 1 ) pontsoron lévő megfelelőit! 322 Osztóviszony kettősviszony 1 Számítsuk ki az alábbi ábrán adott (e) pontsor P i (i= ) pontjaihoz tartozó osztóviszony értékét az A B alappontokra vonatkoztatva: 2 Adott az (e) pontsor azon a rögzített A B alappontok Szerkesszük meg a pontsor azon C D E N pontjait amelyeknek az A B alappontokhoz tartozó osztóviszonyaik: a) f) b) g) c) h) d) i) e) j) k) 3 Adott egy e egyenes azon az A B C pontok úgy hogy (ABC)=3 Az egyenest egy tetszőleges irányból párhuzamos vetítt alkalmazva egy S síkra vetítjük Az egyenes képe e a pontoké A B C Határozzuk meg az (A B C ) osztóviszony értékét! 4 Adott egy e egyenes azon az A B C pontok úgy hogy (ABC)=7 Az e egyenest egy tetszőleges P pontból egy S síkra vetítjük Az egyenes képe e a pontoké A B C Határozzuk meg az (A B C ) osztóviszony értékét az alábbi esetekben: a) e párhuzamos S-sel b) e metszi az S síkot! 5 Tekintsük azt a sugársort amelyiknek P tartópontja egybeesik egy óra számlapjának középpontjával a sugársor azon elemeit pedig amelyek egz számmal jelzett pontot kötnek össze a megfelelő számmal jelöljük (Például (138) azon sugarakhoz tartozó osztóviszonyt jelenti amelyek a középpontot az 1-es 3-as 8-as számmal jelzett pontot kötik össze az óra számlapján) Határozzuk meg az alábbi sugárhármasokhoz Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM3-5

68 Geometriai példatár tartozó osztóviszonyok értékét: a) (8412)= g) (846)= b) (841)= h) (847)= c) (842)= i) (848)= d) (843)= j) (849)= e) (844)= k) (8410)= f) (845)= l) (8411)= 6 Számítsuk ki az alábbi ábrán adott (e) pontsor P i (i= ) pontjaihoz tartozó kettősviszony értékét! (Az A B C pontok a pontsor rögzített pontjai) 7 Adott az (e) pontsor azon a rögzített A B C pontok Az alábbi szakaszok előjeles hossza: AB=10 cm BC=-2 cm Szerkesszük meg a pontsor azon D E pontjait amelyeknek az A B C adott pontokkal alkotott kettősviszonyaik: a) i) b) j) c) k) d) l) e) m) f) n) g) o) h) p) 8 Adott egy e egyenes azon az A B C D pontok úgy hogy (ABCD)=2 Az egyenest egy tetszőleges irányból párhuzamos vetítt alkalmazva egy S síkra vetítjük Az egyenes képe e a pontoké A B C D Határozzuk meg az (A B C D ) kettősviszony értékét az alábbi esetekben: a) e párhuzamos S-sel b) e metszi az S síkot! 9 Adott egy e egyenes azon az A B C D pontok úgy hogy (ABCD)=5 Az egyenest egy tetszőleges P pontból egy S síkra vetítjük Az egyenes képe e a pontoké A B C D Határozzuk meg az (A B C D ) kettősviszony értékét az alábbi esetekben: a) e párhuzamos S-sel b) e metszi az S síkot! 10 Tekintsük azt a sugársort amelyiknek P tartópontja egybeesik egy óra számlapjának középpontjával a sugársor azon elemeit pedig amelyek egz számmal jelzett pontot kötnek össze a megfelelő számmal jelöljük (Például (1752) azon sugarakhoz tartozó kettősviszonyt jelenti amelyek a középpontot az 1-es 7-es 5- ös 2-es számmal jelzett pontot kötik össze az óra számlapján) Határozzuk meg az alábbi sugárnégyesekhez tartozó kettősviszonyok értéket: a) (8451)= e) (8455)= i) (8459)= b) (8452)= f) (8456)= j) (84510)= c) (8453)= g) (8457)= k) (84511)= d) (8454)= h) (8458)= l) (84512)= 11 Legyen az egy egyenesre illeszkedő A B C D pontnégyes kettősviszonyának értéke egy k szám A kettősviszony tulajdonságait felhasználva határozzuk meg ugyanazon négy pont alábbi elrendezeihez tartozó kettősviszonyok értékét: a) (BADC)= j) (CADB)= b) (CDAB)= k) (DBCA)= c) (DACB)= l) (ADCB)= d) (DC- BA)= m) (BCDA)= e) (CBDA)= n) (CDBA)= f) (ACBD)= o) (DABC)= g) (ADBC)= p) (DBAC)= h) (BDAC)= r) (ACDB)= i) (BCAD)= s) (CBAD)= 12 Jelöljük egy téglalap csúcsait A B C D betűkkel a szimmetria-középpontját pedig O-val A téglalap rövidebbik oldala 3 cm hosszabbik oldala 4 cm Határozzuk meg az alábbi pontnégyesekhez tartozó kettősviszony értékét: a) (ABOC)= b) (BOCD)= c) (DABO)= 13 Egy sugársor sorozópontja P sorozósíkja S E sugársor azon a b c d elemnégyesét amelyre (abcd)=-4 fennáll elmetsszük egy tetszőleges P-re nem illeszkedő de az S síkban lévő e egyenessel A megfelelő sugarakkal alkotott metszpontokat jelöljük rendre: A B C D betűvel Határozzuk meg az (ABCD) kettősviszony értékét! 14 Egy síksor tetszőleges A B C D elemnégyeséhez tartozó kettősviszony értéke (ABCD)=2 Messük el a síksor elemeit egy tetszőleges de a t tartóegyenesre nem illeszkedő S síkkal Az S sík a síksor elemeit a sugársort alkotó a b c d sugárnégyesben metszi Határozzuk meg az (abcd) kettősviszony értékét! GEM3-6 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

69 Projektív geometria 15 Egy síksor tetszőleges A B C D elemnégyeséhez tartozó kettősviszony értéke (ABCD)=-5 Messük el a síksor elemeit egy tetszőleges de a t tartóegyenesre nem illeszkedő e egyenessel Az e egyenes a síksor elemeit a pontsort alkotó A B C D pontnégyesben metszi Határozzuk meg az (ABCD) kettősviszony értékét! 323 Elsőfajú alapalakzatok projektív vonatkozása (jele: ) 1 Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) az (e 1 ) pontsor adott A 1 B 1 pontjai által meghatározott szakasz F 1 felezőpontja továbbá az (e 2 ) pontsor C 2 pontjától 2 cm-re lévő G 2 H 2 pontok Szerkesszük meg az adott pontok megfelelőit (F 2 G 1 H 1 pontokat) perspektív tengely segítségével! 2 Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) Szerkesszük meg az ellenpontokat perspektív tengely segítségével! 3 Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) Szerkesszük meg a tartóegyenesek közös M 1 =N 2 pontjának M 2 N 1 megfelelőit perspektív tengely közbeiktatásával! 4 Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) az (e 1 ) pontsor B 1 C 1 szakaszának H 1 K 1 harmadoló pontjai Szerkesszük meg az adott pontok H 2 K 2 megfelelőit perspektív főtengely közbeiktatásával! 5 Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) Szerkesszük meg az ellenpontokat perspektív főtengely segítségével! Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) Szerkesszük meg a tartóegyenesek közös pontjának megfelelőit perspektív főtengely közbeiktatásával! Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) Szerkesszünk tetszőleges negyedik megfelelő elempárt: a) perspektív helyzetbe hozással b) papírszalagos eljárás alkalmazásával! Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) Szerkesszük meg az ellenpontokat: a) perspektív helyzetbe hozással b) papírszalagos eljárás alkalmazásával! 9 Adott az e 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) Szerkesszük meg a tartóegyenesek közös pontjának megfelelőit: a) perspektív helyzetbe hozással b) papírszalagos eljárás alkalmazásával! 10 Adott az e1 (A 1 ;B 1 ;Q 1 ) e 2 (A 2 ;B 2 ; Q 2 ) Szerkesszük meg az A 1 B 1 szakasz harmadoló pontjainak megfelelőit: a) perspektív tengellyel b) perspektív főtengellyel c) perspektív helyzetbe hozással d) papírszalagos eljárás alkalmazásával! 11 Adott a P1 a 1 ;b 1 ;c 1 P 2 a 2 ;b 2 ;c 2 Szerkesszük meg az (a 1 ;b 1 ) f 1 szögfelezőjének a (b 2 ;c 2 ) h 2 szögfelezőjének f 2 illetve h 1 megfelelőit: a) perspektív centrummal b) perspektív főcentrummal c) perspektív helyzetbe hozással d) papírszalagos eljárással! 12 Adott a P1 a 1 ;b 1 ;c 1 P 2 a 2 ;b 2 ;c 2 Szerkesszük meg a tartópontok közös m 1 =n 2 egyenesének m 2 n 1 megfelelőit: a) perspektív centrummal b) perspektív főcentrummal c) perspektív helyzetbe hozással d) papírszalagos eljárással! 13 Adott az e1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ) e 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ) ahol e 1 e 2 (tehát két közös tartóegyenesen lévő projektív pontsor) Steiner féle kör közbeiktatásával szerkesszünk: a) tetszőleges negyedik megfelelő elempárt b) ellenpontokat c) kettős pontokat majd határozzuk meg hogy milyen a pontsorok projektivitása! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM3-7

70 Geometriai példatár Adott két közös tartón lévő projektív pontsor három-három megfelelő elemével Szerkesszünk tetszőleges negyedik megfelelő elempárt: a) perspektív helyzetbe hozással b) papírszalagos eljárás alkalmazásával 15Adott két közös tartón lévő projektív pontsor három-három megfelelő elemével Szerkesszük meg az ellenpontokat: a) perspektív helyzetbe hozással b) papírszalagos eljárás alkalmazásával c) kettőspontokat majd határozzuk meg hogy milyen a pontsorok projektivitása! 16 Adott két közös tartón lévő projektív sugársor három-három megfelelő elemével Steiner féle kör közbeiktatásával szerkesszünk: a) tetszőleges negyedik megfelelő elempárt b) kettős sugarakat! 17 Az alábbi ábrákon két közös tartón lévő pontsort vettünk fel a korábbi esetektől eltérően négy-négy megfelelő elemével Bizonyítsuk be hogy a két pontsor (e 1 e 2 ) projektív kapcsolatban áll egymással! 18 Adott két kongruens (egybevágó) pontsor négy-négy megfelelő elemével Szerkesszük meg: a) ellenpontokat b) tetszőleges ötödik megfelelő elempárt! 19 Egy autópálya egyenes szakaszán az alábbi objektumok vannak: vasúti aluljáró (A) közúti felüljáró (F) alagút bejárata (B) Az A F B objektumok térképünkön fel vannak tüntetve Az említett autópályán egy parkolót (P) létesítenek Hogyan tudjuk ezt feltérképezni egyetlen légi fénykép alapján? (Állapítsuk előbb meg hogy a térkép a légi fénykép között milyen projektív geometriai kapcsolat van majd végezzük el a szerkesztt!) 324 Másodfajú alapalakzatok 1 Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer négy-négy megfelelő pontjával továbbá az S 2 síkrendszernek egy tetszőleges P 2 pontja Szerkesszük meg a P 2 pont S 1 síkrendszerbeli megfelelőjét A szerkesztt hányféleképpen lehet elvégezni? 2 Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer négy-négy megfelelő pontjával továbbá az S 1 síkrendszernek egy tetszőleges e 1 egyenese Szerkesszük meg az egyenesnek a másik síkrendszerben lévő megfelelőjét! 3 Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer négy-négy megfelelő egyenesével továbbá az S 1 síkrendszernek egy tetszőleges X 1 pontja Szerkesszük meg az adott pont X 2 megfelelőjét! 4 Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer négy-négy megfelelő egyenesével továbbá az S 2 síkrendszernek egy olyan e 2 egyenese amely illeszkedik az a 2 b 2 egyenesek A 2 metszpontjára Szerkesszük meg az e 2 egyenes e 1 megfelelőjét! 5 Egy sík terepen az alábbi objektumok úgy helyezkednek el hogy kettőnél több nem esik egy egyenesre: templom (T) toronyház (A) szálloda (H) emlékmű (E) Térképünkön az említett objektumok szerepelnek (A ; T H E ) Az említett terepen egy új objektumot (U) létesítenek Hogyan tudjuk ezt feltérképezni egyetlen légi fénykép alapján? (Állapítsuk előbb meg hogy a térkép a légi fénykép között milyen projektív geometriai kapcsolat van!) 6 Egy S sík terepen az A B C D objektumok úgy helyezkednek el hogy kettőnél több nem illeszkedik egy egyenesre erről egy F 1 filmfelvételünk van A terepen egy újabb (E) objektum létesült Ezután a terepről egy újabb F 2 filmfelvételt kzítünk Ennek segítségével szerkesszük meg az F 1 légi fénykép felvételén az E objektum F 1 képét (Állapítsuk előbb meg hogy az F 1 F 2 felvételek síkrendszerei között milyen projektív geometriai kapcsolat van!) 7 Adott két kollineár vonatkozású síkrendszer négy-négy megfelelő egyenesével Szerkesszük meg az ellentengelyeket! GEM3-8 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

71 Projektív geometria 8 A középiskolában megismert középpontos hasonlóság milyen projektív geometriai fogalommal hozható kapcsolatba? 9 A középiskolában megismert hasonlóság milyen projektív geometriai fogalommal hozható kapcsolatba? 10 A középiskolában megismert egybevágósági transzformációk (tengelyes tükröz pontra való tükröz forgatás eltolás) milyen projektív geometriai fogalommal hozható kapcsolatba? 11Adott az e egyenes az arra illeszkedő A B C D pontok Az ugyancsak adott e * egyenesen három pont - A * B * C * - adott Szerkesszük meg az e * egyenes azon D * pontját amelyre (ABCD)=(A * B * C * D * ) teljesül! 325 Axiális (tengelyes) affinitás 1 Adott az ortogonális affinitás tengelyével megfelelő pontpárjával továbbá egy négyzet egyik rendszerbeli képe Szerkesszük meg a négyzet másik rendszerbeli megfelelőjét! 2 Adott a klinogonális affinitás tengelyével megfelelő pontpárjával továbbá egy téglalap Szerkesszük meg a téglalap másik rendszerbeli megfelelőjét! 3 Adott egy affinitás tengelye iránya Határozzuk meg megfelelő pontpárját úgy hogy egy adott paralelogramma megfelelője rombusz legyen! 4 Adott egy affinitás tengelye iránya Határozzuk meg megfelelő pontpárját úgy hogy egy adott paralelogramma megfelelője téglalap legyen! 5 Adott az ortogonális affinitás tengelyével P P megfelelő pontpárjával továbbá egy egyenes egyik (például a vesszős ) rendszerbeli képe Szerkesszük meg az egyenes másik rendszerbeli megfelelőjét! 6 Adott az affinitás tengelyével P P megfelelő pontpárjával Határozzuk meg a P-re illeszkedő a b egyeneseket a P -re illeszkedő a b képeiket úgy hogy a b az a b teljesüljön! 7 Adott az affinitás tengelye iránya továbbá az ABC háromszög melynek A B csúcsai a tengelyre illeszkednek Határozzuk meg az affinitást úgy hogy az ABC háromszög A B C képe egyenlőszárú háromszög legyen! 8 Adott az ortogonális affinitás tengelye egy ABC háromszög Határozzuk meg az ortogonális affinitást úgy hogy az ABC háromszög A B C képe derékszögű háromszög legyen a derékszög az A csúcsnál legyen! 9 Adott a klinogonális affinitás tengelyével egy megfelelő pontpárjával továbbá egy trapéz egyik rendszerbeli képe úgy hogy párhuzamos oldalai párhuzamosak a tengellyel Szerkesszük meg a trapéz másik rendszerbeli megfelelőjét! 10 Adott az affinitás tengelye egy paralelogramma Határozzuk meg az affinitást úgy hogy a paralelogramma megfelelője négyzet legyen 11 Kis- nagytengelyével adott egy ellipszis Az affinitás alkalmazásával szerkesszünk további ellipszis pontokat majd görbe vonalzó segítségével rajzoljuk meg a görbét! 12 Tengelypárjával adott egy ellipszis továbbá egy olyan egyenes amelyik illeszkedik a kistengely egyik végpontjára s a nagytengellyel 60 o -os szöget zár be Szerkesszük meg az egyenesnek az ellipszissel alkotott metszpontjait! 13 Tengelypárjával adott egy ellipszis továbbá egy olyan P pont amelyik két szomszédos tengelyvégponttól 8-8 cm-re van Szerkesszünk e külső pontból az ellipszishez érintőket! 14 Adott egy ellipszis kis- nagytengelyével Szerkesztendő az ellipszisnek egy tetszőleges pontja továbbá a görbének e pontbeli érintője 15 Adott egy ellipszis kis- nagytengelyével Szerkesztendők az alábbi egyeneseknek az ellipszissel alkotott metszpontjai: a) az e egyenes merőleges a kistengelyre b) az f egyenes merőleges a nagytengelyre Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM3-9

72 Geometriai példatár Adott egy ellipszis kis- nagytengelyével továbbá egy egyenes Szerkesztendők az ellipszis azon érintői amelyek az adott egyenessel párhuzamosak 17Adott az ellipszis nagytengelye egy érintője Szerkesztendő az E érinti pont az ellipszis kistengelye 18Adott az ellipszis nagytengelye egy P pontja Szerkesztendő a kistengely 19 Adott az ellipszis két tengelyének egyenese egy érintője az E érinti ponttal Szerkesztendők az ellipszis tengelyei 20Adott az ellipszis két tengelyének egyenese két pontja A B Szerkesztendők az ellipszis tengelyei 326 Centrális kollineáció 1 Adott a centrális kollineáció t tengelye két megfelelő pontpárja Szerkesztendő a kollineáció centruma 2 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma P P megfelelő pontpárja továbbá egy a egyenes amely nem illeszkedik a P pontra Szerkesztendő az a egyenes másik rendszerbeli megfelelője 3 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma r ellentengelye továbbá egy A pont Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője 4 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma r ellentengelye továbbá egy A pont Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője 5 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma q ellentengelye továbbá egy A pont Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője 6 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma q ellentengelye továbbá egy A pont Szerkesztendő az adott pont másik rendszerbeli megfelelője 7 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma P P megfelelő pontpárja továbbá az a b párhuzamos egyenespár Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői Az a b egyenesek M metszpontjáról mit állíthatunk? 8 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma q ellentengelye továbbá az a b párhuzamos egyenespár Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői 9 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma r ellentengelye továbbá az a b párhuzamos egyenespár a) Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői b) Az a b egyenesek M metszpontjáról mit állíthatunk? 10Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma r ellentengelye Szerkesztendő a q ellentengely 11Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma q ellentengelye Szerkesztendő az r ellentengely 12 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma P P megfelelő pontpárja Szerkesztendő az r ellentengely 13 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma P P megfelelő pontpárja Szerkesztendő az q ellentengely 14 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma q ellentengelye továbbá az a b párhuzamos egyenespár Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői 15 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma r ellentengelye továbbá az a b párhuzamos egyenespár Szerkesztendők az adott egyenesek másik rendszerbeli megfelelői 16Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma q ellentengelye továbbá egy tengellyel párhuzamos e egyenes Szerkesztendő az adott egyenes másik rendszerbeli e megfelelője GEM3-10 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

73 Projektív geometria 17Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma r ellentengelye továbbá egy tengellyel párhuzamos e egyenes Szerkesztendő az adott egyenes másik rendszerbeli e megfelelője 18 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma q ellentengelye továbbá egy A B C háromszög Szerkesztendő a síkidom másik rendszerbeli megfelelője 19 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma r ellentengelye továbbá egy A B C D paralelogramma Szerkesztendő a síkidom másik rendszerbeli megfelelője 20Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma r ellentengelye továbbá egy ABCD trapéz Szerkesztendő a síkidom másik rendszerbeli megfelelője 21 Adott a centrális kollineáció t tengelye C centruma P P megfelelő pontpárja Szerkesszük meg a P P pontokon átmenő a) e egyenes végtelen távoli pontjának a másik rendszerben lévő megfelelőjét b) e egyenes végtelen távoli pontjának a másik rendszerben lévő megfelelőjét 22 Adott a centrális kollineáció t tengelye r ellentengelye továbbá egy a b metsző egyenespár Szerkesztendő a C centrum úgy hogy az egyenesek a b megfelelői merőlegesek legyenek egymásra 23 Adott a centrális kollineáció t tengelye q ellentengelye továbbá egy a b metsző egyenespár Szerkesztendő a C centrum úgy hogy az egyenesek a b megfelelői adott szöget zárjanak be 24 Adott az ABCD általános négyszög az A pontnak megfelelő A pont továbbá a centrális kollineáció t tengelyének egy T pontja Határozzuk meg a centrális kollineációt úgy hogy az általános négyszög másik rendszerbeli megfelelője téglalap legyen! 25 Adott az ABCD általános négyszög az A pontnak megfelelő A pont továbbá a centrális kollineáció t tengelyének egy T pontja Határozzuk meg a centrális kollineációt úgy hogy az általános négyszög másik rendszerben lévő megfelelője rombusz legyen! 26Adott egy általános négyszög továbbá a centrális kollineáció t tengelyének egy T pontja Határozzuk meg a centrális kollineációt úgy hogy az általános négyszög másik rendszerben lévő megfelelője négyzet legyen! 27 Adott a centrális kollineáció C centrumával három megfelelő pontpárjával Szerkesszük meg a kollineáció tengelyét! 33 Projektív geometria MEGOLDÁSOK 331 Elsőfajú alapalakzatok perspektív helyzete (Megoldások) 1 Ha a vetület pontsort (e )-vel jelöljük akkor (e) pespektív (e )-vel 2 (e) pespektív (e )-vel 3 Ha a sugársor vetületét P -vel jelöljük akkor P perspektív P -vel 4 Ha az elmetszett sugársort P -vel jelöljük a sugársorból a sík által kimetszett pontsort (m)-mel jelöljük akkor (m) perspektív P -vel 5 Ha a [t] síksorból kimetszett sugársort P -vel jelöljük akkor P perspektív [t]-vel 6 Ha egy tetszőleges elsőfajú alapalakzatot metszünk vagy vetítünk eredményül mindig az eredetivel perspektív helyzetű alapalakzatot nyerünk 7 Ha a két egyenes metsző akkor egy P külső pontból való vetítsel perspektív helyzetet hozhatunk létre Ha a P pont a végtelenben van akkor hasonlóan perspektív helyzet jön létre Az önmaguknak megfelelő pontpárok (fixpontok) a két egyenes közös pontjai (metszpontjai) lesznek Ha a két egyenes párhuzamos akkor egy külső P pontból való vetítsel létesített perspektivitás hasonlóan perspektív helyzet lesz Ha a két egyenes Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM3-11

74 Geometriai példatár párhuzamos egy végtelen távoli P pontból vetítünk akkor a két pontsor perspektivitása (a legspeciálisabb) egyenlően perspektív helyzetet eredményez A 8-13 feladatok alapszerkesztek melyeket a jegyzetben található szerkeszti leírás alapján hajthatunk végre 332 Osztóviszony kettősviszony (Megoldások) 1 2 A feladat alapszerkeszt melyet a jegyzetben található szerkeszti leírás alapján hajthatunk végre 3 Az (A B C )=3 mert a párhuzamos vetít osztóviszonytartó geometriai transzformáció 4 a) (A B C )=7 b) Az osztóviszony centrális vetít esetén megváltozik! Tehát az (A B C ) ismeretlen! 5 6 A feladat megoldásai: a) (8412)=1 g) (846)=1 b) (841)= h) (847)= c) (842)=0 i) (848)=0 d) (843)=-1 j) (849)=-1 e) (844)= k (8410)= f) (845)=2 l (8411)=2 Megjegyz: Vegyük zre hogy az a)-f) feladatok osztóviszonyainak számértéke páronként megegyezik a g)-l) feladatok eredményeivel Ez csupán látszat ellentmondás mert pl az a) g) feladatoknál a 12-es illetve 6-os mutatóállás (mint óramutató) különbözik de mint sugársor elem ugyanazt az egyenest jelenti! 7 A feladat alapszerkeszt melyet a jegyzetben található szerkeszti leírás alapján hajthatunk végre 8 a) (A B C D )=2 de itt a megfelelő szakaszok is egyenlők (A C =AC C B =CB A D =AD D B =DB) b) (A B C D )=2 de itt (A B C )=(ABC) (A B D )=(ABD) is fennáll 9 a) (A B C D )=5 de itt (A B C )=(ABC) (A B D )=(ABD) is fennáll b) (A B C D )=5 10 A feladat megoldásai: a) (8451)=4 e) (8455)=1 i) (8459)=-2 b) (8452)= f) (8456)=2 j) (84510)=0 c) (8453)=-2 g) (8457)=4 k) (84511)=1 d) (8454)=0 h)(8458)= l) (84512)=2 Megjegyz: Vegyük zre hogy az a)-f) feladatok kettősviszonyainak számértéke páronként megegyezik a g)-l) feladatok eredményeivel Ez csupán látszat ellentmondás mert pl az a) g) feladatoknál az 1-es illetve 7-es mutatóállás (mint óramutató) különbözik de mint sugársor elem ugyanazt az egyenest jelenti! 11 Megoldások: a) (BADC)=k j) (CADB)=1-k b) (CDAB)=k k) (DBCA)=1-k c) (DACB)= l) (ADCB)= d) (DCBA)=k m) (BCDA)= e) (CBDA)= n) (CDBA)= f) (ACBD)=1-k o) (DABC)= g) (ADBC)= p) (DBAC)=k h) (BDAC)=1-k r) (ACDB)= i) (BCAD)= s) (CBAD)= 12Csak olyan pontnégyesekre értelmeztük a kettősviszonyt amelyek egy pontsor pontjai (azaz egy egyenesre esnek) Ez a feltétel az a); b); c) rzek egyikében sem teljesül tehát nem értelmezhető a kettősviszony a feladatban szereplő pontnégyesekre 13(ABCD)=-4 mert (e) P perspektív helyzetű ezért teljesül a Papposz tétele 14(abcd)=2 mert [t] P perspektív helyzetű ezért teljesül a Papposz tétele GEM3-12 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

75 Projektív geometria 15(ABCD)=-5 mert [t] (e) perspektív helyzetű ezért teljesül a Papposz tétele 333 Elsőfajú alapalakzatok projektív vonatkozása (Megoldások) 1 Alapszerkeszt lásd jegyzet 2 Alapszerkeszt lásd jegyzet 3 Alapszerkeszt lásd jegyzet 4 Alapszerkeszt lásd jegyzet 5 Alapszerkeszt lásd jegyzet 6 Alapszerkeszt lásd jegyzet 7 A feladat a) rze alapszerkeszt A feladat b) rze: A papírszalagos eljárást (lásd jegyzet) projektív sugársorokkal kapcsolatban alkalmaztuk Projektív pontsorok esetén akkor használhatjuk ha előbb felveszünk tetszőlegesen egy-egy sugársort úgy hogy azok perspektív helyzetűek legyenek a feladatban szereplő egy-egy pontsorral 8 A feladat a) rze: alapszerkeszt (lásd jegyzet) A feladat b) rze: A 7 feladat b) rzével azonos eljárás 9 A feladat a) rze: alapszerkeszt (lásd jegyzet) A feladat b) rze: A 7 feladat b) rzével azonos eljárás 10 A feladat a); b); c) rze: alapszerkeszt (lásd jegyzet) A feladat d) rze: A 7 feladat b) rzével azonos eljárás 11Alapszerkeszt lásd jegyzet 12Alapszerkeszt lásd jegyzet 13Alapszerkeszt lásd jegyzet 14Alapszerkeszt lásd jegyzet 15Alapszerkeszt lásd jegyzet 16Alapszerkeszt lásd jegyzet 17 A feladat a) rze: A pontsorok projektivitása akkor áll fenn ha tudjuk bizonyítani hogy (A 1 B 1 C 1 D 1 )=(A 2 B 2 C 2 D 2 ) Az egyes pontok egybeesei miatt (A 1 B 1 C 1 D 1 )=(C 2 D 2 A 2 B 2 ) A kettősviszonyra vonatkozó tulajdonságokat (lásd jegyzet) alkalmazva: (C 2 D 2 A 2 B 2 )=(B 2 A 2 D 2 C 2 )=(A 2 B 2 C 2 D 2 ) A feladat b) rzének megoldása során az előbbihez hasonlóan kell eljárni 18Lásd a Geometria I jegyzet 84 oldal 50 ábráit 19 A térkép a légifelvétel között projektív vonatkozás áll fenn Feladat a negyedik megfelelő pontpár szerkeszte 334 Másodfajú alapalakzatok (Megoldások) 1 A feladatot az alapszerkesztek bármelyikével el lehet végezni tehát: Perspektív centrum felhasználásával Perspektív főcentrum felhasználásával Perspektív helyzetbe hozással Papírszalagos eljárással Megjegyz: A feladat számítással is megoldható így a kapott eredmény alapján a keresett képpontok kijelölhetők Ez termzetesen nem szerkeszt 2 Alapszerkeszt (Lásd pl a papírcsíkos eljárást) 3 Alapszerkeszt Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM3-13

76 Geometriai példatár Alapszerkeszt 5 A légi fénykép a térkép két kollineár vonatkozású síkrendszer tehát a keresett pont az alapszerkesztek egyikével megszerkeszthető 6 A két légi fénykép (F 1 F 2 ) kollineár vonatkozású síkrendszert alkot tehát a keresett pont az alapszerkesztek egyikével megszerkeszthető 7 Alapszerkeszt 8 Alapfeladat 9 Alapfeladat 10 Alapfeladat 11 Alapszerkeszt 335 Axiális (tengelyes) affinitás (Megoldások) 1 Alapszerkeszt a négyzet csúcsaira alkalmazva az illeszkedtartás azon tulajdonság felhasználásával hogy egyenes képe a tengelyen metszik egymást 2 Alapszerkeszt (Lásd az előző feladatot) 3 A szerkeszt menete: a) A paralelogramma átlóit hosszabítsuk meg a tengelyig b) A tengelyen lévő metszpontok szakaszára Thalesz kört emelünk c) A paralelogramma átlóinak metszpontjából húzzunk párhuzamost az adott affinitás irányával d) Az előbbi egyenes a Thalesz körből kimetszi a rombusz átlóinak metszpontját Ezzel megfelelő pontpárhoz jutottunk (meghatároztuk az axiális affinitást) a szerkeszt innen már illeszkedsel végrehajtható 4 Mivel a téglalapnak nem az átlói (mint az előbbi feladatban) hanem a szomszédos oldalai merőlegesek egymásra ezért itt a paralelogramma két szomszédos oldalának egyenesét kell a tengelyig meghosszabbítani A b) c) d) szerkeszti lépek azonosak az előbbivel 5 A pont képének szerkesztét alkalmazzuk az egyenes két pontjára melyek közül egyik a tengellyel való metszpont legyen hiszen ennek képe önmaga 6 A megfelelő egyenesek tengelypontjait egy olyan kör metszi ki az adott tengelyből amelynek a középpontja illeszkedik a tengelyre Ezen kör (Thalesz kör) középpontját a PP szakaszt merőlegesen felező egyenese metszi ki az affinitás tengelyéből 7 Legyen A B =A C ekkor a B C oldal az egyenlőszárú háromszög alapja Legyen F az ABC háromszög BC oldalának felezőpontja Az affinitást meghatározó F pontot az affinitás irányával párhuzamos az F pontra illeszkedő egyenes metszi ki az A B szakaszra emelt Thalesz körből Az A B =B C eset a feladat másik megoldását adja 8 Az A pontot az AB AC egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakaszra emelt Thalesz körből metszi ki az A csúcsra illeszkedő tengelyre merőleges egyenes 9 Alapszerkeszt (Az illeszked megtartásával) 10 Legyen a paralelogramma átlóinak metszpontja M Az M pont M megfelelőjét két Thalesz kör metszpontjaként nyerjük Az egyik kör átmérővégpontjait a paralelogramma átlóinak tengelypontjai adják a másik kör átmérővégpontjait pedig paralelogramma középvonalainak tengelypontjai adják 11A szerkesztben felhasználjuk a következő tételt: Minden ellipszis ortogonális axiális affin képe a nagytengelye mint átmérő köré rajzolt körnek Ennek az affinitásnak a tengelye a nagytengely egyenese A kistengely egyik végpontjának a kör rendszerében lévő megfelelőjét (képét) a kistengely egyenesének a körrel való metszpontjában nyerjük GEM3-14 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

77 Projektív geometria 12 Előbb megszerkesztjük az egyenesnek a kör rendszerében lévő képét majd meghatározzuk ennek a körrel vett metszpontjait végül e pontoknak megszerkesztjük az ellipszis rendszerében lévő megfelelőit 13 A szerkeszt menete: a) Meghatározzuk a P pontnak a ( körrendszerbeli ) P megfelelőjét b) Megszerkesztjük a körnek a P pontra illeszkedő érintőit c) Az előbb nyert érintőknek megadjuk az affin képét amelyek a keresett ellipszis érintők lesznek 14 A szerkeszt menete: a) Az ellipszissel kapcsolatos problémát áttranszformáljuk a kör rendszerébe b) A kör rendszerében elvégezzük a szerkesztt c) Az eredményt visszatranszformáljuk az ellipszis rendszerébe 15A megoldás menete megegyezik az előző feladat megoldási tervével 16 A szerkeszt menete: a) Az ellipszissel kapcsolatos problémát áttranszformáljuk a kör rendszerébe b) A kör rendszerében elvégezzük a szerkesztt c) Az eredményt visszatranszformáljuk az ellipszis rendszerébe 17Előbb az E ismeretlen érinti pont E ( körrendszerbeli ) képét határozzuk meg Mivel a kör érintője merőleges az érinti pontban a kör sugarára ezért E rajta van az érintő tengelypontja az ellipszis középpontja által meghatározott szakasz Thalesz körén Az E tehát az előbbi Thalesz körnek a nagytengelyre emelt körnek a metszpontjában lesz A keresett E érinti pontot az E merőleges vetületeként nyerjük az adott érintőn Ezzel az adott E E megfelelő pontpárral meghatároztuk az affinitást így a kistengely végpontjai már rekonstruálhatók 18 A P pont körrendszerbeli képét (P pontot) az adott nagytengelyre emelt körön merőleges affinitásról lévén szó közvetlenül kijelölhetjük Ezzel megfelelő pontpárhoz jutottunk azaz meghatároztuk az affinitást Innentől a szerkeszt már egyszerűen befejezhető 19 Az adott E pont körrendszerbeli E képe rajta van azon a Thalesz körön amelyik átmérőjének egyik végpontját az adott érintő tengelypontja másik végpontját pedig az ellipszis középpontja (itt az adott tengelyek egyeneseinek O metszpontja) adja Továbbá az E illeszkedik arra az egyenesre is amelyik átmegy az E ponton merőleges a nagytengely egyenesére (a merőleges affinitás miatt) Ezek alapján E szerkeszthető A nagytengely végpontjait az OE sugarú kör a nagytengely egyeneséből metszi ki A kistengely végpontjait affinitással nyerjük 20 Jelöljük az AB szakasz felezi pontját F-fel Az F pont körrendszerbeli F képe rajta van az adott pontok egyenesének tengelypontja az ellipszis középpontja által meghatározott szakasz Thalesz körén mert a kör bármely húrjának felezőmerőlegese átmegy a kör középpontján Továbbá az F illeszkedik arra az egyenesre is amelyik átmegy az F ponton merőleges a nagytengely egyenesére (a merőleges affinitás miatt) Innen F szerkeszthető ennek ismeretében a tengelypontot ezzel összekötve az AB egyenes körrendszerbeli képét kapjuk majd ezen az A B pontokat kijelölhetjük A nagytengely végpontjait az OA sugarú kör metszi ki a nagytengely egyeneséből A kistengely végpontjait affinitással nyerjük 336 Centrális kollineáció (Megoldások) 1 Alapszerkeszt 2 Alapszerkeszt 3 Ha egy centrális kollineációt felhasználó feladatban a megfelelő pontpár helyett ellentengely van megadva akkor előbb megfelelő pontpárt keresünk Mivel az ellentengely egy végtelen távoli egyenes megfelelője (képe) ezért bármely pontjának képét úgy nyerjük hogy vesszük az említett pontot a centrummal összekötő egyenesnek a végtelen távoli pontját 4 Lásd az előző feladat megoldását 5 Lásd a 3 feladat megoldását 6 Lásd a 3 feladat megoldását 7 Az M lényegében a két adott párhuzamos egyenes közös végtelen távoli pontjának a képe Ezért erre illeszkedve a t tengellyel párhuzamosan megadhatnánk a q ellentengelyt Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM3-15

78 Geometriai példatár A C centrumból a párhuzamosok közös M végtelen távoli pontját a q ellentengelyre vetítve kapjuk annak M képét Az M pontot az adott egyenesek tengelypontjaival összekötve kapjuk a keresett a b képeket 9 Az a) rz megoldása: Az adott egyenesek az r ellentengelyt az A illetve B pontokban metszik (mivel az ellentengellyel azonos síkrendszerben vannak) Ezen A illetve B pontoknak a (jelzett) másik síkrendszerben lévő képeik a végtelenben vannak Az A B pontokat a CA illetve CB egyenesek végtelen távoli pontjával adjuk meg Megoldások: a (Az a egyenes tengelypontjából párhuzamost húzunk a CA iránnyal) b (A b egyenes tengelypontjából párhuzamost húzunk a CB iránnyal) A b) rz megoldása: Az a b egyenesek M metszpontján át a t tengellyel párhuzamosan felvehető a q ellentengely 10Lásd az előző feladat b) rzének megoldását 11 Az r ellentengely a vesszős síkrendszer végtelen távoli pontjainak (amelyek egy végtelen távoli egyenesen helyezkednek el) a képe Ezt figyelembe véve a megoldás lépei a következők: a) Felveszünk egy végtelen távoli pontot a vesszős rendszerben (P ) b) Megszerkesztjük ennek a másik rendszerben lévő képét (P) c) A P ponton át a t tengellyel párhuzamosan felvesszük a keresett r ellentengelyt 12Lásd az előző feladat megoldását 13Lásd a 11 feladat megoldását 14A feladat megoldása lényegében megegyezik a 9 feladat a) rzével A két feladatban az a közös hogy a két párhuzamos egyenes az ellentengellyel azonos síkrendszerben van 15A feladat megoldása lényegében megegyezik a 8 feladat megoldásával A két feladatban az a közös hogy a két párhuzamos egyenes az ellentengellyel nincs azonos síkrendszerben 16 Az e egyenest egyetlen tetszőleges pontjával transzformálhatjuk (a tengelypont a végtelenben van azaz e párhuzamos t tengellyel 17Lásd az előző feladat megoldását 18 A megoldás lépei: a) Transzformáljuk az egyik csúcsot (pl A-t) b) Felvesszük az AB AC egyenesek képét (az A pontot összekötjük a az említett egyenesek tengelypontjával) c) Az előbb nyert kép-egyenesekre a C centrumból (úgynevezett centrális rendezőkkel) rávetítjük a hiányzó B illetve C képeket 19 A szerkeszt elve azonos az előbbi feladat megoldásával a lépeket itt a paralelogramma csúcsaira hajtjuk végre 20A szerkeszt elve azonos a 18 feladat megoldásával 21Az a) a b) rzben is csupán egy-egy pont transzformációjáról van szó 22 A szerkeszt menete: a) Az adott egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakaszra Thalesz kört emelünk Ezen a körön tetszőlegesen kijelölhető (végtelen sok megoldás!) az a b egyenesek M metszpontja b) Meghatározzuk az adott a b egyeneseknek az ellentengellyel alkotott A B metszpontjait majd az AB szakaszra Thalesz kört emelünk c) Ez utóbbi Thalesz körből az MM centrális rendező kimetszi a keresett C centrumot 23A szerkeszt menete: a) Az adott a b egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakaszra szögű látókört emelünk (Megjegyz: Tudjuk hogy azon pontok mértani helye a síkon ahonnan egy szakasz végpontjai adott szögben láthatók körívet (2 db egybevágó a szakasz egyenesére tengelyesen szimmetrikusan elhelyezkedő) alkotnak Ezt látókörívnek nevezzük) Ezen a köríven tetszőlegesen kijelölhető az a b egyenesek M metszpontja b) Meghatározzuk az adott a b egyenesek q ellentengellyel alkotott A B metszpontjait majd az A B szakaszra szögű látókört emelünk c) Ez utóbbi látókörből az MM centrális rendező kimetszi a keresett C centrumot 24 A szerkeszt menete: a) Az adott ABCD négyszög szemben lévő oldalainak metszpontjait összekötve kapjuk az r ellentengelyt (Megjegyz: A keresett A B C D négyszög téglalap ennek a szemközti oldalai párhuzamosak ezért közös végtelen távoli pontjaik képét az ABCD négyszög szemben lévő oldalainak met- GEM3-16 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

79 Projektív geometria szpontjaként nyerjük) b) Megrajzoljuk a t tengelyt amely átmegy a T ponton párhuzamos az előbb nyert ellentengellyel c) Megszerkesztjük a D pontot amely rajta van a DA DC egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz körén (mivel a téglalap szögei derékszögek) másrzt a DA egyenes képén amelyet tengelypontja A pontja ismeretében megadhatunk d) Végül a DD AA centrális rendezők metszpontjában megkapjuk a kollineáció C centrumát 25 A szerkeszt menetének a) b) d) lépei azonosak az előbbi feladat megoldási lépeivel A c) pontban nem egy csúcsnak hanem az átlók M metszpontjának M képét kell megszerkeszteni mivel a rombusz átlói merőlegesen felezik egymást 26 A szerkeszt menetének elve az a) b) szerkeszti lépek esetében megegyezik a 24 feladat a) b) szerkeszti lépeivel c) Az ABCD négyszög átlói M metszpontjának M képét két Thalesz kör metszpontjában nyerjük Az egyik Thalesz kör az átlók tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz köre (mivel négyzet lesz a négyszög képe a négyzet átlói átlói merőlegesek egymásra) A másik Thalesz kör pedig a középvonalak tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz köre (mert a négyzet középvonalai is merőlegesek egymásra) A négyzet középvonalainak képét az ABCD általános négyszögben úgy nyerjük hogy az M metszpontot összekötjük a szemben lévő oldalegyenesek metszpontjával (mert a négyzet szemben lévő oldalai a köztük lévő középvonallal párhuzamosak ezért egyeneseiknek közös a végtelen távoli pontjuk) d) Megszerkesztjük az A csúcs képét az A pontot Az A pontot az AD AB egyenesek tengelypontjai által meghatározott szakasz Thalesz köréből az AM egyenes képe metszi ki amely pedig a tengelypontja M ismeretében megrajzolható e) Végül az MM AA centrális rendezők metszpontjában megkapjuk a kollineáció C centrumát 27 Mivel a kollineáció C centruma adott ezért a két háromszög megfelelő csúcsait összekötő egyeneseknek a centrumon kell átmenniük Desargues tétele miatt a megfelelő oldalak egyeneseinek metszpontjai egy egyenesre kell hogy essenek Ezért elegendő két-két megfelelő egyenes metszpontját meghatározni Ezek összekötő egyenese lesz a kollineáció tengelye Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria I Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar Székesfehérvár 2007 Coxeter H S M: A geometriák alapjai Műszaki Könyvkiadó Budapest 1973 Hajós György: Bevezet a geometriába Tankönyvkiadó Budapest 1966 Kárteszi Ferenc: Bevezet a véges geometriákba Akadémia Kiadó Budapest 1972 Kárteszi Ferenc: Lineáris transzformációk Tankönyvkiadó Budapest 1974 Reiman István: A geometria határterületei Gondolat Könyvkiadó 1986 Pelle Béla: Geometria Tankönyvkiadó Budapest 1974 Szász Gábor: Projektív geometria Tankönyvkiadó Budapest 1977 Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztek elmélete Akadémia Kiadó Budapest 1968 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM3-17

80

81 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 4 GEM4 modul Szférikus geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

82 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

83 Tartalom 4 Szférikus geometria 1 41 Bevezet Alapfogalmak Összefüggek tételek A gömbháromszögek tulajdonságai 3 42 Szférikus geometria FELADATOK Gömbkétszögek Gömbháromszögek Földrajzi helyek távolsága Vegyes összefoglaló feladatok 5 43 Szférikus geometria MEGOLDÁSOK Gömbkétszögek (Megoldások) Gömbháromszögek (Megoldások) Földrajzi helyek távolsága (Megoldások) Vegyes összefoglaló feladatok (Megoldások) 8

84

85 4 fejezet - Szférikus geometria 41 Bevezet A következő fejezetben összegyűjtött feladatok átfogják a jegyzetben tárgyalt témakörök valamennyi feladattípusát Az egyes feladatok megoldásához illetve megoldási rzben leírtak könnyebb megértéhez a fejezet elején rövid elméleti összefoglalást adunk 411 Alapfogalmak Gömbi főkör: A gömbfelület azon köreit nevezzük főkörnek melyeket a gömb középpontjára illeszkedő síkok metszenek ki a gömbfelületből Mellékkör: A gömb felületéből bármely a középpontra nem illeszkedő - sík által kimetszett kör Átellenes pontok: A gömbfelület P P * pontpárját átellenes pontoknak nevezzük ha a gömb középpontjára szimmetrikusan helyezkednek el Tehát a PP * szakasz a gömb egy átmérője Pólus: Minden főkörhöz (illetve az ezzel párhuzamos síkú mellékkörökhöz) két pólust rendelünk ezeket a gömb O középpontjára illeszkedő a főkör síkjára merőleges egyenes metsz ki a gömb felületéből Két pont gömbi távolsága: Az A B felületi pontok távolságán a két pontra illeszkedő főkör két pont közé eső rövidebbik ívét értjük 1 ábra Gömbi távolság mére: Két módon mérhetjük Az egyik módszer az hogy a megfelelő főkör-ívhosszt hosszúság egységben megadva jellemezzük a távolságot A másik módon pedig úgy jellemezhetjük (mérhetjük) a távolságot hogy megadjuk annak a középponti szögnek a nagyságát (fokokban vagy ívmértékben) amelyik kimetszi az adott ívet a gömbfelületből Gömbkétszög: A gömbfelület azon tartománya melyet egy átellenes pontpárra illeszkedő két félfőkörív határol (A gömbkétszög szögei egyenlők kisebbek 180 o -nál) Gömbháromszög: A gömbfelületnek három (fél-főkörívnél kisebb!!!) főköríve által határolt tartományát gömbháromszögnek nevezzük Mellékgömbháromszög: Ha két gömbháromszög egy gömbkétszöggé egyesíthető akkor egyik a másiknak mellékgömbháromszöge (Például a 2 ábrán az ABC gömbháromszög mellékgömbháromszögei: ABC AB C A BC gömbháromszögek) Csúcsgömbháromszögek: Ha két gömbháromszögnek egy közös csúcsa van a másik két-két csúcs pedig átellenes pontpárt alkot akkor ezeket csúcsgömbháromszögeknek nevezzük (Például a 2 ábrán az ABC gömbháromszög csúcsgömbháromszögei: A B C A BC AB C gömbháromszögek)

86 Geometriai példatár Szimmetrikus (átellenes) gömbháromszögek: Ha két gömbháromszög csúcsai páronként átellenes pontok akkor ezeket szimmetrikus (átellenes) gömbháromszögeknek nevezzük (Pl: ABC A B C háromszögek) 2 ábra Egybevágó gömbháromszögek: Két gömbháromszög akkor egybevágó ha a gömb felületén elmozgatva fedbe hozhatók Polárgömbháromszögek: Az ABC gömbháromszög polárgömbháromszögének csúcsai azon A P B P C P pontok melyeket az ABC gömbháromszögnek oldalaira illeszkedő főkörök (a megfelelő csúcshoz közelebbi) pólusaiként kapunk 412 Összefüggek tételek Az R sugarú gömbfelületen lévő A B pontok távolsága (c): Az R sugarú gömbre illeszkedő α szögű gömbkétszög területe: Az R sugarú gömbre illeszkedő gömbháromszög területe: α β γ a gömbháromszög szögei ahol Gömbháromszögek szinusz-tétele: Bármely két oldalra a velük szemközti szögekre teljesül: szögei ahol az a o b o az oldalak fokokban mért értéke az α a β pedig a gömbháromszög Gömbháromszögek koszinusz-tétele oldalakra: A gömbháromszög bármely oldala meghatározható a másik két oldal az általuk közbe zárt szög segítségével az alábbi összefügg szerint: ahol a o b o c o a gömbháromszög oldalainak fokokban mért értékei az α pedig az a o oldallal szemközti szög Gömbháromszögek koszinusz-tétele szögekre: A gömbháromszög bármely szöge meghatározható a másik két szög a keresett szöggel szemközti oldal segítségével az alábbi összefügg szerint: GEM4-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

87 Szférikus geometria ahol α β γ a gömbháromszög szögei az a o pedig a gömbháromszög α szögével szemközti oldalának fokokban mért értéke Két földrajzi hely távolságának meghatározása: A(λ 1 ;ϕ 1 ) B(λ 2 ;ϕ 2 ) földrajzi helyek esetén: ahol d a gömbi távolság a λ a földrajzi hosszúság ϕ pedig a földrajzi szélesség Innen km 413 A gömbháromszögek tulajdonságai A gömbháromszögek legfontosabb tulajdonságainak összegyűjtét azért tartottuk szükségesnek mert a számolásaink során kapott bármilyen eredményt csak akkor fogadhatunk el ha azok nem mondanak ellent az alábbiakban leírtaknak Különösen a szinusz-tételt alkalmazó feladatok eredményét kell feltétlenül megvizsgálni 1 0 o < α β γ <180 o ahol α β γ a gömbháromszög szögeit jelölik 2 0 o < a o b o c o <180 o ahol a o b o c o az oldalakhoz tartozó (gömb) középponti szögeket jelöli o < α+β+γ <540 o 4 Bármely két oldal összege nagyobb mint a harmadik oldal 5 Nagyobb oldallal szemben nagyobb szög kisebb oldallal szemben kisebb szög van továbbá egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek találhatók viszont 6 0 o < a o +b o +c o <360 o 7 Bármely két szög összege ugyanolyan relációban van a 180 o -kal mint a velük szemben lévő oldalak középponti szögeinek összege azaz: a) ha α+β>180 o akkor a o +b o >180 o b) ha α+β=180 o akkor a o +b o =180 o c) ha α+β<180 o akkor a o +b o <180 o viszont 42 Szférikus geometria FELADATOK 421 Gömbkétszögek 1 Egy 10 m sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszögnek határozzuk meg a területét (t) kerületét (k) abban az esetben amikor: a) α=18 o b) α=36 o c) α=72 o! 2 Határozzuk meg a 12 m sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszög szögeit úgy hogy a gömbkétszög területe: a) t=16π m 2 b) t=32π m 2 c) t=64π m 2 legyen! 3 Egy R sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszögek szögei 10 o -osak Mekkora területük ha az R értéke: a) R=12 m b) R=24 m c) R=36 m? 4 Egy R sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszögek szögei 30 o -osak Határozzuk meg a sugár nagyságát ha a terület: a) t=3π m 2 b) t=12π m 2 c) t=27π m 2! 5 Egy R sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszög területe 144π m 2 Mekkora a gömb sugara ha a gömbkétszög szögei: a) α=90 o b) α=10 o c) α=225 o? 6 Egy R sugarú gömb felszínén lévő gömbkétszög területe 36π m 2 Mekkora a gömbkétszög szöge ha sugara: a) R=18 m b) R=9 m c) R=6 m? Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM4-3

88 Geometriai példatár Gömbháromszögek 1 Egy 10 m sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög szögei α=60 o β=120 o γ=30 o a) Mekkora az ABC gömbháromszög területe? b) Adjuk meg az AB * C mellékgömbháromszög területét (B * a B csúcs átellenes pontja)! c) Határozzuk meg az A * B * C csúcsgömbháromszög területét! 2 Egy 12 m sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög szögei α=150 o β=120 o γ=60 o a) Mekkora az ABC gömbháromszög területe? b) Határozzuk meg az A * BC mellékgömbháromszög területét! c) Adjuk meg az A * BC * csúcsgömbháromszög területét! 3 Egy 937 m sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög szögei α=90 o β=60 o γ=30 o Mekkora a gömbháromszög területe? 4 Egy R sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög területe a gömb sugara? m 2 szögei α=65 o β=112 o γ=33 o Mekkora 5 Egy R sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög szögei α=120 o β=63 o γ=57 o Az A * BC mellékgömbháromszög területe 144π m 2 Mekkora a gömb sugara? 6 A 18m sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög területe 90π m 2 Két szöge α=72 o γ=101 o Mekkora a β szöge? 7 A 15 m sugarú gömb felszínén lévő ABC gömbháromszög két szöge α=83 o β=117 o az A * B * C csúcsgömbháromszög területe 50π m 2 Mekkora a γ szöge? 8 Egy 12 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög adatai: α=120 o β=60 o a o =150 o Mekkora a b oldala? 9 Egy gömbháromszög adatai: b o =120 o c o =90 o γ=150 o Határozzuk meg a β szögét! 10A 10m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög adatai: a o =100 o b o =80 o γ=70 o Határozzuk meg a c oldal hosszát! 11Egy gömbháromszög oldalai: a o =120 o b o =65 o c o =98 o Mekkora az α szöge? 12Egy 52 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög adatai: a o =123 o b o =87 o γ=96 o Mekkora a c oldal? 13Határozzuk meg a γ szögét annak a gömbháromszögnek amelyiknek másik két szöge α=85 o β=120 o c oldala 107 o! 14A 10m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög szögei α=42 o β=86 o γ=112 o Határozzuk meg az a oldal hosszát! 15A 18 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög oldalai a=6π m b=12π m c=15π m Mekkorák a szögei a területe? 16Egy 12 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög két oldala b=8π m c=2π m a két oldal által bezárt szög α=60 o Mekkora a gömbháromszög területe? 17A 15 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög egyik oldala a=314 m az adott oldalon lévő két szöge β=100 o γ=70 o Mekkora a gömbháromszög területe kerülete? 18Egy 20 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög két oldala a=25 m b=16 m Egyik szöge α=100 o Mekkora a gömbháromszög területe? 19Egy 18 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög egyik oldala a=12π m két szöge α=110 o β=70 o Mekkora a gömbháromszög kerülete ha területe t=108π m 2? 20Egy 12 m sugarú gömb felszínén lévő gömbháromszög két oldala a=2262 m b=201 m A harmadik oldallal szemben lévő szöge γ=60 o Mekkora a területe kerülete? GEM4-4 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

89 Szférikus geometria 423 Földrajzi helyek távolsága 1 Számítsuk ki milyen messze van Makó Jeruzsálemtől! (Földünk alakját 6366km sugarú gömbnek vegyük) A két város (nem egzen pontos) koordinátái: M(205 o ; 465 o ) J(35 o ; 32 o ) 2 Határozzuk meg Budapestnek Londontól való távolságát! Koordináták: BP(19 o ; 475 o ) L(0 o ; 515 o ) 3 Milyen messze van Moszkva Lisszabontól? Koordináták: M(375 o ; 56 o ) L(-95 o ; 389 o ) 4 Határozzuk meg Tokiónak Washingtontól való távolságát! Koordináták: T(140 o ; 36 o ) W(-77 o ; 39 o ) 5 Határozzuk meg fővárosunknak a Dél-afrikai Köztársaság fővárosától (Pretoriától) való távolságát! Koordináták: BP(19 o ; 475 o ) P(28 o ; -26 o ) 6 Mekkora a légvonalbeli távolság Budapest Rio de Janeiro között? Koordináták: BP(19 o ; 475 o ) R(-44 o ; -23 o ) 7 Adjuk meg a Budapest Melbourne távolságot! Koordináták: BP(19 o ; 475 o ) M(145 o ; -38 o ) 8 Számoljuk ki a Budapest Moszkva távolságot! Koordináták: BP(19 o ; 475 o ) M(375 o ; 56 o ) 9 Két földrajzi hely azonos hosszúsági körön helyezkedik el Mekkora a távolságuk ha a koordináták: A(1 o ; 20 o ) B(λ o ; -40 o ) -180 o λ 180 o? 10Határozzuk meg Budapestnek az Északi pólustól való távolságát! Koordináták: BP(19 o ; 475 o ) É(0 o ; 90 o ) 11Két földrajzi hely azonos szélességi körön helyezkedik el Mekkora a távolságuk ha a koordináták: A(100 o ; 60 o ) B(70 o ; 60 o )? 12Határozzuk meg az Egyenlítőn lévő két objektum távolságát ha koordinátáik: A(52 o ; 0 o ) B(-8 o ; 0 o )! 13Két azonos szélességi körön épült város koordinátái: A(73 o ; 30 o ) B(13 o ; 30 o ) Határozzuk meg hogy a két város között közlekedő repülőgép hány km-rel tesz meg több utat mint a két város távolsága! (Nem számítva a fel- leszálláshoz szükséges többlet távolságot) A gép repüli magasságát 10000m-nek vegyük 14Milyen messze van Washington Melbourne-től? Koordináták: W(-77 o ; 39 o ) M(145 o ; -38 o ) 424 Vegyes összefoglaló feladatok 1 Tekintsünk egy origó középpontú egység sugarú gömböt A középpontból kiinduló vektorok kidöfik egy gömbháromszög csúcsait Határozza meg a gömbháromszög oldalait szögeit a területét! 2 Tekintsünk egy 2 m oldalélű kockát az ebbe írható érintőgömböt Jelöljük a kocka középpontját O-val egyik oldallapjának középpontját C-vel ezen oldallap két szomszédos csúcsát A-val illetve B-vel Határozzuk meg annak a gömbháromszögnek a kerületét területét amelynek csúcsait az vektorok döfik ki a gömbfelületből! 3 Határozzuk meg egy R=20 m sugarú gömb felületén lévő m egyenlő oldalú (minden oldala egyenlő hosszúságú ív) gömbháromszög szögeinek nagyságát! Határozzuk meg az ugyanilyen oldalhosszúságú síkbeli háromszög ezen gömbháromszög területének arányát! 4 Határozzuk meg a Bermuda-háromszög kerületét területét a Föld sugarát 6366 km-nek válasszuk! (Használjuk a műholdas felvételekről leolvasható koordinátákat!) 5 A műhold felvételeket az onnan nyert koordinátákat felhasználva határozzuk meg Magyarország két legtávolabbi pontjának hozzávetőleges távolságát! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM4-5

90 Geometriai példatár Szférikus geometria MEGOLDÁSOK 431 Gömbkétszögek (Megoldások) 1 a) t=20π m 2 k=20π m b) t=40π m 2 k=20π m c) t=80π m 2 k=20π m 2 a) α=10 o b) α=20 o c) α=40 o 3 a) t=16π m 2 b) t=64π m 2 c) t=144π m 2 4 a) R=3 m b) R=6 m c) R=9 m 5 a) R=12 m b) R=36 m c) R=24 m 6 a) α=10 o b) α=40 o c) α=90 o 432 Gömbháromszögek (Megoldások) 1 a) m 2 b) A BB * gömbkétszög területéből ( m 2 ) vonjuk ki az ABC gömbháromszög területét eredményül m 2 értéket kapjuk c) Az A * B * C gömbháromszög területe azonos a vele szimmetrikus ABC * gömbháromszög területével (Az ABC * gömbháromszög az ABC gömbháromszögnek szintén mellékgömbháromszöge) A kapott terület: m 2 2 a) t=120π m 2 b) t=120π m 2 c) t=72π m 2 3 Az adott szögekkel rendelkező gömbháromszög nem létezik mert a gömbháromszögek belső szögeinek összege nagyobb 180 o -nál 4 R=15 m 5 Az AA * gömbkétszög területe 192π m 2 Ebből kivonva az A * BC mellékgömbháromszög területét megkapjuk az ABC gömbháromszög területét: t=48π m 2 ahonnan R=12 m adódik 6 β=57 o 7 γ=60 o 8 Szinusz-tétellel megállapíthatjuk a b o értékét: b o 1=30 o b o o (ez utóbbi nem megoldás) A középponti szög a sugár segítségével kiszámítjuk a b oldalt: b=2π m 9 β 1 =15434 o β o 10c o =7245 o c=1265 m 11α=119 o 12c o =9666 o c=8773 m 13γ=102 o 14a o =482 o a=84 m GEM4-6 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

91 Szférikus geometria 15Előbb a méterekben megadott oldalakhoz kiszámítjuk a megfelelő (gömb) középponti szögeket: a o =60 o b o =120 o c o =150 o A fokokban mért oldalak ismeretében koszinusz- illetve szinusz tételek felhasználásával meghatározzuk a gömbháromszög szögeit: α=811 o β=989 o γ=1452 o Végül meghatározzuk a területet: t=821 m 2 16A méterekben megadott oldalak középponti szögekkel mérve b o =120 o c o =30 o Az a oldal értékének meghatározása koszinusz-tétellel a o =1025 o A β γ szögek értékének meghatározása szinusz-tétellel: β=1298 o γ=263 o A terület értéke: t=907m 2 17A méterekben megadott a oldal középponti szöggel mérve: a o =120 o Szögekre vonatkozó koszinusz-tétellel meghatározzuk az adott oldallal szemben lévő szöget: α=1138 o A szinusz-tételt felhasználva kapjuk a másik két oldalt: =688 o =1112 o =628 o 1172 o Meghatározzuk az előbb nyert oldalakat méterben: =175 m =291 m =164 m Kiszámítjuk a kapott háromszögek területét kerületét: T 1 =2568 m 2 T 2 =4233 m 2 k 1 =653 m k 2 =769 m 18A megoldás lépei: a) A méterben megadott oldalak középponti szöggel mérve: a o =716 o b o =458 o b) Szinusz-tétellel meghatározzuk a β szöget: β=48 o c) Az a oldalra felírt koszinusz tételből algebrai átalakításokkal trigonometrikus összefüggek felhasználásával a következő másodfokú egyenlet nyerhető: Az előbbi egyenlet gyökei: =534 o =736 o d) Szinusz-tétellel meghatározzuk a c oldallal szemben lévő szöget: γ 1 =564 o γ 2 =846 o Végül meghatározzuk a gömbháromszög területét: T 1 =1703 m 2 T 2 =3672 m 2 19A megoldás lépei: a) A terület segítségével meghatározzuk a harmadik szöget: γ=60 o b) Az a oldal hosszából kiszámítjuk a hozzátartozó középponti szöget: a o =120 o c) Szinusz-tétellel meghatározzuk a b c oldalhoz tartozó középponti szöget: b o =60 o c o =53 o d) Kiszámítjuk a b c oldalak hosszát: b=6π m c=53π m e) Meghatározzuk a gömbháromszög kerületét: k=233π=732 m 20A megoldás lépei: a) Meghatározzuk az adott oldalakhoz tartozó középponti szögeket a o =108 o b o =96 o b) Koszinusz-tétellel meghatározzuk a harmadik oldalt: c o =596 o c) Koszinusz-tétellel határozzuk meg az α β szögeket: α=1073 o β=864 o d) Meghatározzuk a gömbháromszög területét: T=1852 m 2 e) Kiszámítjuk a c oldal hosszát: c=125 m f) Meghatározzuk a kerület hosszát: k=552 m Megjegyz: A c) pontban az α β szögeket az egyszerűbb szinusz-tétellel is meghatározhattuk volna de az ebből nyert két megoldás helyességének vizsgálata több időbe kerül mint a koszinusz-tétel alkalmazása 433 Földrajzi helyek távolsága (Megoldások) 1 A Geometria I jegyzet 5 mintafeladata (140 oldal) alapján oldható meg Az eredmény: d o = o d=20307 km 2 d o = o d=1436 km 3 d o = o d=3908 km 4 d o = o d=10844 km Megjegyz: Ez a feladat megoldását illetően nagyon tanulságos mivel a két város távolsága két különböző módon (útvonalon) állapítható meg: a) Az Atlanti-óceán (Európa-Ázsia) fölött mérve b) A Csendes-óceán fölött mérve Az a) esetben az első koordináták különbsége míg a b) esetben ugyanez az érték: A problémát tovább bonyolítja az a tény hogy a képlettel számolva mind a két esetben azonos eredményt (d o =97 o ) kapunk A matematikában azon ritka esettel állunk szemben hogy a két azonos eredmény egyike hibás Miért lesz azonos a végeredmény? Ez azért állhat elő mert a képlet utolsó tényezője egyenlő számot ad ( ) mivel Az a) esetben a tényleges távolság nyilvánvalóan: km km=29156 km mivel egy főkör kerülete km Két Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM4-7

92 Geometriai példatár földrajzi hely meghatározásánál ezzel a jelenséggel mindig találkozhatunk mert a két helység főkörén minden esetben két irányba indulhatunk el (Az persze más kérd hogy távolságon mindig a legkisebb hossz értendő) Végül mi a matematikai magyarázata a furcsa jelenségnek? Vizsgáljuk meg hogyan nyertük az előbbi távolság-képletet A jegyzet alapján tudjuk hogy a képlet a gömbháromszögek oldalaira vonatkozó koszinusz-tételnek egy gyakorlati alkalmazása Tehát gömbháromszögekre érvényes Olyan gömbháromszög pedig nem létezik amelyiknek egyik szöge 217 o (mivel bármely szöge 180 o -nál kisebb kell hogy legyen) Ezért az a) esetben a képlet nem használható 5 d o = o d=8216 km 6 d o = o d=10691 km 7 d o = o d=18326 km 8 d o = o d=15765 km 9 Ebben az esetben a d o meghatározásához a képlet alkalmazására nincs szükség (bár használható) A feladatnak két megoldása van: I: esetén d o =60 o ( ) d=66667 km II: esetén d o =160 o azaz d= km 10 Az előbbi feladat speciális esete mivel most is tekinthető a két földrajzi hely azonos hosszúsági körön lévőnek így: d o =425 o ( ) d=4722 km 11 A d o értékét számítással kell meghatározni mivel általában d o = o d=1652 km 12 Ebben a speciális esetben viszont így: d o =60 o d=6666 km 13A megoldás lépei: a) A két földrajzi hely távolsága: d o = o d=5702 km b) Mivel a repülőgép a loxodróma mentén közlekedik (itt az útirányszög 90 o ) ezért ki kell számolnunk annak a szélességi körnek a sugarát amely fölött halad a gép Ez r=5513 km c) A megtett úthoz tartozó középponti szög (a középpontja a szélességi kör középpontja): d) A gép által megtett út (figyelembe véve a m repüli magasságot): s=5784 km e) A többlet út hossza: s-d=82 km 14d o = o d=16378 km 434 Vegyes összefoglaló feladatok (Megoldások) 1 Alkalmazzuk a két vektor hajlásszögére vonatkozó képletet: Ez alapján az hajlásszöge 468 o a vektorok hajlásszöge 8191 o valamint az hajlásszöge 4577 o Ezek a szögek adják a gömbháromszög oldalainak fokokban mért értékét Ebből az egyes oldalak: 0817 egység (468 o ) 143 egység (8191 o ) 0799 egység (4577 o ) hosszúak A koszinusz-tétel segítségével a háromszög szögei meghatározhatók ezek az alábbiak: α=1301 o β=3359 o γ=4577 o A kapott szögeket felhasználva T=03131 területegység 2 A feladatot kétféle megközelítsel is megoldhatjuk I megoldás: A kockát a térbeli koordináta-rendszerben alkalmasan elhelyezve (például a kocka középpontja kerüljön az origóba a lapok síkjai pedig legyenek párhuzamosak a koordináta-síkokkal) az vektorok koordinátáit meghatározhatjuk majd az előbbi feladat megoldási tervét követve kiszámolhatjuk a területet a kerületet II megoldás: Ábrázoljuk (vázlatosan) a kockát valamint a kijelölt A B C O pontokat a keletkező döfpontokat: GEM4-8 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

93 Szférikus geometria 3 ábra 1 Elemi geometriai úton belátható hogy a D 1 D 2 D 3 döfpont-gömbháromszög szögei: D 1 =D 2 =60 o D 3 =90 o A megfontolás a következő: Először is a gömbháromszög sík-szimmetrikus az elrendez térbeli szimmetriája miatt A szimmetriasík az AB szakaszfelező merőleges síkja Tehát a gömbháromszög két szögének nagysága megegyezik Tekintettel arra hogy a D 3 gömbi szöget az OAC az OBC háromszögek síkjai metszik ki a gömbfelületből ezért a síkok derékszögű elhelyezkede miatt triviálisan 90 o -os ez a keletkező gömbi szög A másik két szög nagyságát pedig abból az ismeretből következtethetjük ki hogy bármely kockát a testálójára merőleges síkra merőlegesen vetítve a kapott vetület szabályos hatszög A fenti kockát az AO testátló irányából vetítve a következő ábrát kapjuk: 4 ábra A vetít miatt az AOC sík az AOB sík is élben látszik tehát hajlásszögük valódi méretét (60 o ) leolvashatjuk Emiatt a síkok által kimetszett gömbi szögek is 60 o -osak lesznek A D 1 D 2 D 3 gömbháromszög területe: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM4-9

94 Geometriai példatár m 2 a kerülete m Megjegyz: A terület rövidebben is meghatározható ha figyelembe vesszük hogy az OABC tetraéderből laponként 4db egybevágó keletkezik tehát összesen 6x4=24db egybevágó tetraéder hézagmentesen kitölti a kockát tehát 24db egybevágó gömbháromszög keletkezik Ezek egyenkénti területe a gömb felszínének 24-ed rze Mivel R=1m így a felszín m 2 tehát 24-ed rze éppen a fentebb kapott eredményt adja 1 Az a oldal hosszából a sugár értékéből kiszámítjuk az a o értékét: a o =18 o A koszinusz-tételt alkalmazva α=6083 o adódik A gömbháromszög területe: T 1 =1738 m 2 Az m oldalú síkbeli szabályos háromszög területe: T 2 =1709 m 2 A két terület aránya: 2 A Bermuda-háromszög csúcsait Florida dél-keleti partvidéke (válasszuk Miami városát) a Bermuda szigetcsoport Puerto Rico szigete (itt válasszuk San Juan városát) határozza meg A koordináták: Miami: ϕ=25 o 47 (zaki szélesség) λ=80 o 07 (nyugati hosszúság) San Juan: ϕ=18 o 28 (zaki szélesség) λ=66 o 06 (nyugati hosszúság) Bermuda szigetek: ϕ=32 o 18 (zaki szélesség) λ=64 o 06 (nyugati hosszúság) Az egyes távolságok meghatározására a összefüggt használjuk a szögeket pedig az oldalak ismeretében a cosinus-tétel alkalmazásával határozzuk meg Az egyes oldalak: Miami-San Juan=a o =1488 o innen α=627 o illetve a=1654 km Miami-Bermuda=b o =1491 o innen β=629 o illetve b=1657 km San Juan-Bermuda=c o =1388 o ahonnan γ=561 o illetve c=1543 km adódik A Bermuda-háromszög kerülete K=a+b+c=4854 km A háromszög területe (a terület-képlet alapján): T= km 2 Magyarország területének mintegy 13-szorosa 3 Magyarország két legtávolabbi pontja: Keleten Tiszabecs körzetében: A(22 o 49 ; 48 o 03 ) Nyugaton Felsőszölnök körzetében: B(16 o 06 ; 46 o 52 ) A távolságképlet alapján: d o =47 o amiből d hozzávetőleges értékére 522 km adódik Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria I Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar Székesfehérvár 2007 Coxeter H S M: A geometriák alapjai Műszaki Könyvkiadó Budapest 1973 Hajós György: Bevezet a geometriába Tankönyvkiadó Budapest 1966 Reiman István: A geometria határterületei Gondolat Könyvkiadó 1986 Pelle Béla: Geometria Tankönyvkiadó Budapest 1974 GEM4-10 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

95 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 5 GEM5 modul Kótás projekció SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

96 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

97 Tartalom 5 Kótás projekció 1 51 Bevezet Alapismeretek alapszerkesztek: 1 52 Kótás projekció FELADATOK Alapfeladatok Vetítősík szintsíkba forgatásával megoldható feladatok Helyzetgeometriai feladatok Metrikus feladatok Görbe vonalak Terep rézsűfelületek Vegyes gyakorló feladatok 8 53 Kótás projekció MEGOLDÁSOK Alapfeladatok (Megoldások) Vetítősík szintsíkba forgatásával megoldható feladatok (Megoldások) Helyzetgeometriai feladatok (Megoldások) Metrikus feladatok (Megoldások) 12

98

99 5 fejezet - Kótás projekció 51 Bevezet Az egyszerűbb feladatok megoldásával nem foglalkozunk ezek a jegyzet alapfeladatai megoldásukkal ellenőrizhetjük elméleti felkzültségünket Önellenőrz céljából a feladatgyűjtemény végén olyan vegyes feladatok találhatók melyeket 2-3 alapszerkeszti lépsel meg tudunk oldani Egy-egy ilyen feladat sikeres megoldása (jó felkzültség esetén) 5-10 percet vesz igénybe A nehezebb feladatok rajzi megoldása (ábra) helyett olyan megoldási tervet ismertetünk amelyek lépei egyegy úgynevezett alapszerkeszt ismeretét igénylik Ezek az alapszerkesztek a Geometria II jegyzetben megtalálhatóak Az alapszerkesztek ismerete nélkül a feladatok megoldása elképzelhetetlen Az olyan feladatoknál ahol nincs megadva a méretarány erre a szerkeszt során szükség lenne- egységesen M=1:100 méretarányt használjunk Bár a feladatok szövege erre külön nem tér ki minden szerkeszt után állapítsuk meg a láthatóságot 511 Alapismeretek alapszerkesztek: 1 Méretarány lépték fogalma kapcsolata 2 Térelemek ábrázolása 3 Osztóköz lejtő rézsű képsíkszög fogalma kapcsolata 4 Illeszkedő térelemek ábrázolása 5 Metsző térelemek ábrázolása 6 Párhuzamos térelemek ábrázolása 7 Merőleges térelemek ábrázolása 8 Vetítősík általános helyzetű sík szintsíkba forgatása 9 Dőlkúp fogalma alkalmazása 10Rézsűfelületek fogalma ábrázolása 11Terepszelvény fogalma ábrázolása 12A terep különleges pontjai esvonalai 13Semleges vonal fogalma ábrázolása 52 Kótás projekció FELADATOK 521 Alapfeladatok 1 Két épület térképi távolsága 4 cm M=1:200 Mekkora a távolságuk ha a) az épületek tengerszint feletti magassága azonos? b) az épületek szintkülönbsége 6 m? 2 Egy vízszintes utca két épülete egymástól 100 m távolságra van Mekkora a térképi távolság ha M=1:500? 3 Mekkora egy egyenes osztóköze ha a képsíkszöge α=30 o M=1:400? 4 Határozzuk meg annak az egyenesnek az osztóközét amelyiknek a lejtője M=1:500!

100 Geometriai példatár Számítsuk ki annak az egyenesnek az osztóközét amelynek rézsűje M=1:50! 6 Egy egyenes osztóköze 3 cm Határozzuk meg a méretarányt ha az egyenes lejtője! 7 Mekkora annak az egyenesnek a képsíkszöge amelyiknek az osztóköze mm M=1:2000? 8 Ábrázoljunk egy képsíkban levő egyenest! 9 Ábrázoljunk egy képsíkkal párhuzamos a képsík alatt a képsíktól 2 m-re levő egyenest! 10Ábrázoljunk egy képsíkra merőleges egyenest! 11Graduáljuk az A -2 B 5 pontjaival adott általános helyzetű egyenest! 12Keressük meg a nyompontját ábrázoljuk P 34 pontját az alábbi - pontjaikkal adott egyeneseknek: a) e= A -5 B 2 b) f= A 4 B 85 c) g= A 0 B 42 d) h= A -4 B 26! Megjegyz: Nyompontnak nevezzük az egyenesnek a képsíkon lévő pontját melynek kótája 0 13Adott lépték esetén határozzuk meg a M méretarány értékét! 14 Kzítsünk léptéket az alábbi méretarányokhoz: a) M=1:500 b) M=1:5000 c) M=1:10000 d) M=1: e) M=1: f) M=1: ! 15Ábrázoljunk egy képsíkkal párhuzamos a képsíktól 3 m-re levő síkot! 16Ábrázoljunk egy képsíkra merőleges (vetítő) síkot! 17Metsző tartóegyeneseivel adott síknak határozzuk meg egy graduált esvonalát! 18 Adott két párhuzamos egyenes Adjuk meg a két párhuzamos egyenes közös síkjának egy graduált esvonalát! 19Adott egy sík három pontjával Adjuk meg a pontok közös síkjának egy graduált esvonalát! 522 Vetítősík szintsíkba forgatásával megoldható feladatok 1 Adott egy egyenes két pontjával e= A 3 B 7 Adjuk meg az egyenes képsíkszögének valódi nagyságát! 2 Graduált képével adott egyenesnek határozzuk meg a lejtadatait! 3 Adott egy e egyenes képe A 4 pontja α=30 o képsíkszöge Vegyük fel az egyenes képén egy tetszőleges B pontjának a képét Határozzuk meg a B pont kótáját! 4 Határozzuk meg a következő (tetszőlegesen felvehető) pontok távolságának valódi nagyságát! a) A 10 B 16 b) A -4 B 3 c) A 0 B 5 d) A 43 B 67 e) A 26 B 7 f) A 3 B 82 5 A következő két pontjukkal adott általános helyzetű egyeneseken ábrázoljuk azon C D pontokat amelyek az A ponttól 2 m-re vannak! a) e= A 3 B 8 b) f= A -2 B 5 c) g= A 23 B -4 d) h= A 0 B 4 6 Adott az e egyenes képe A 3 pontja Graduáljuk az egyenest ha lejtője: a) b) c) l=064 d) l=30%! GEM5-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

101 Kótás projekció 7 Adott az f egyenes képe P 24 pontja Graduáljuk az egyenest ha rézsűje: a) b) c) r=14 d) r=80%! 8 Adott egy V vetítősík e síkban lévő három pont (A B C) Ábrázoljuk az ABC háromszög S súlypontját! 9 Vetítősíkban lévő ABC háromszögnek ábrázoljuk az M magasságpontját! 10Vetítősíkban lévő ABC háromszögnek ábrázoljuk a háromszög köré írható körének K középpontját! 11Adott V vetítősíkban lévő ABC háromszögnek ábrázoljuk a háromszögbe írható körének O középpontját! 12Adott két pont (A B) Ábrázoljuk az ABCD négyzetet úgy hogy a négyzet síkja vetítősík legyen! 13Adott az A B pontpár Ábrázoljuk azt az ABC szabályos háromszöget amely vetítősíkú! 14Adott egy V vetítősík egy arra illeszkedő e egyenes egy A pont Ábrázoljuk azt az ABC háromszöget amelynek B C csúcsai az adott egyenesre illeszkednek! 15Adott egy V vetítősík egy arra illeszkedő A pont e egyenes Ábrázoljuk azt az ABCD négyzetet a) amelyiknek B C csúcsai az adott egyenesre illeszkednek b) amelyiknek BD átlója az adott egyenesnek szakasza! 16Adott V vetítősíkban ábrázoljunk egy 3 m-es oldalélű négyzetet! 17Adott V vetítősíkban ábrázoljunk egy 4 m-es oldalélű szabályos háromszöget! 18 Adott két metsző fedőegyenes Ábrázoljuk azt az egyenlőszárú háromszöget amelyiknek szárai az adott egyenesek szakaszai alapja pedig 3 m! Adjuk meg a metsző egyenesek hajlásszögének valódi nagyságát! 19 Adott két párhuzamos fedőegyenes Ábrázoljunk egy olyan négyzetet amelyiknek két-két csúcsa egy-egy adott egyenesre illeszkedik! Határozzuk meg az adott egyenesek távolságának valódi nagyságát is! 20 Adott egy V vetítősíkban lévő e egyenes egy P pont Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő adott egyenessel párhuzamos f egyenest! 21 Adott egy V vetítősíkban lévő e egyenes egy P pont Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő az adott egyenessel 60 o -os szöget bezáró egyeneseket! 523 Helyzetgeometriai feladatok Ezen feladatokban az a közös hogy lépték (illetve méretarány) használata nélkül megoldhatóak 1 Graduált esvonalával adott egy S sík a) Ábrázoljunk egy az adott síkban lévő e egyenest! b) Ábrázoljuk e síknak egy P 34 pontját! 2 Graduált esvonalával adott egy S sík alatta egy P pont! Ábrázoljunk egy az adott S síkkal párhuzamos az adott P pontra illeszkedő a) e egyenest b) R síkot! 3 Adott az e f kitérő egyenespár Adjuk meg graduált esvonalával azt az S síkot amelyikre illeszkedik az e egyenes párhuzamos az f egyenessel! 4 Graduált esvonalával adott egy S sík metsző tartóegyeneseivel egy M sík Szerkesszük meg a két sík metszvonalát! 5 Tetszőleges módon (metsző tartóegyeneseivel három pontjával stb) adott egy általános helyzetű S sík egy V vetítősík Szerkesszük meg a két sík metszvonalát! 6 Tetszőleges módon adott egy általános helyzetű S sík egy képsíkkal párhuzamos a képsíktól 2 m-re lévő sík Szerkesszük meg a két sík metszvonalát! 7 Adott két olyan sík amelyeknek esvonalaik képe párhuzamos Szerkesszük meg a két sík metszvonalát! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM5-3

102 Geometriai példatár Adott két vetítősík Adjuk meg a két sík metszvonalát! 9 Három pontjával (A B C) adott egy általános helyzetű H sík egy e egyenes Szerkesszük meg a döfpontot! Ha a döfpont az ABC háromszögön belülre esik akkor ezt figyelembe véve állapítsuk meg a láthatóságot! 10Adott egy V vetítősík egy e egyenes Szerkesszük meg a döfpontot! 11 Adott egy képsíkkal párhuzamos helyzetű sík a képsík alatt egy e egyenes Szerkesszük meg a döfpontot! 12Adott egy általános helyzetű S sík egy v vetítősugár Szerkesszük meg a döfpontot! 13 Határozzuk meg egy graduált esvonalával adott S síknak egy képsíkkal párhuzamos egyenesnek a döfpontját! 14 Adott egy S sík egy vele párhuzamos e egyenes Ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát amelyiknek két csúcsa az adott síkra másik két csúcsa az e egyenesre illeszkedik! 15 Adott két párhuzamos sík Ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát amelyiknek két-két csúcsa egy-egy adott síkra illeszkedik! 16Adott az A 5 B 8 C 7 háromszög a P 100 pont Adjuk meg a graduált esvonalát annak az S síknak amelyik illeszkedik a P pontra párhuzamos az ABC háromszög síkjával! 17Adott az A B sík továbbá egy P pont Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő mindkét adott síkkal párhuzamos e egyenest! 18Adottak az e f kitérő egyenesek egy P pont Ábrázoljuk azt az S síkot amelyik a P pontra illeszkedik mind a két adott egyenessel párhuzamos! 19Adott egy S sík egy e egyenes egy P pont Ábrázoljuk azt az f egyenest amely illeszkedik a P pontra metszi az e egyenest párhuzamos az adott S síkkal! 20Adottak az e f kitérő egyenesek egy P pont Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő mind a két adott egyenest metsző t egyenest (adott pontra illeszkedő transzverzálist)! 21 Adott az e f g páronként kitérő helyzetű három egyenes Ábrázoljunk egy olyan t egyenest amelyik mind a három adott egyenest metszi! 22Adott egy S sík egy e egyenes egy A pont Ábrázoljuk azt a paralelogrammát amelyiknek egyik csúcsa az A pont egyik átlója az adott e egyenesnek szakasza egyik oldala az S síkon van! 524 Metrikus feladatok A következő feladatok megoldásához méretarányra (illetve léptékre) szükség van Mivel a feladatok után általában ennek feltüntete hiányzik használjunk egységesen M=1:100-as méretarányt! 1 Adott egy S sík egy e egyenes Határozzuk meg e két térelem hajlásszögét! 2 Adott egy S sík egy v vetítősugár Határozzuk meg e két térelem hajlásszögét! 3 Adott az a b párhuzamos egyenespár egy képsíkkal párhuzamos e egyenes Határozzuk meg az e egyenesnek az [a b] síkkal bezárt hajlásszögét! 4 Adott egy V vetítősík egy e egyenes Határozzuk meg e két térelem hajlásszögét! 5 Adott egy képsíkkal párhuzamos sík egy e egyenes Határozzuk meg e két térelem hajlásszögét! 6 Vegyünk fel két síkot úgy hogy szintvonalaik párhuzamosak legyenek (de a síkok egymással nem párhuzamosak!) Határozzuk meg a két sík hajlásszögét! 7 Adott egy S sík egy V vetítősík Határozzuk meg a két sík hajlásszögét! GEM5-4 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

103 Kótás projekció 8 Adott S síknak határozzuk meg valamely képsíkkal párhuzamos síkkal bezárt hajlásszögét! A kapott szög az S sík képsíkszöge milyen relációban vannak egymással? 9 Adott két vetítősík Határozzuk meg a hajlásszögük valódi nagyságát! 10Vegyünk fel négy pontot úgy hogy azok egy síknégyszöget alkossanak Határozzuk meg a négyszög szögeinek valódi nagyságát! 11 Adott egy általános helyzetű S sík Ábrázoljunk egy 3 m-es oldalélű S síkban lévő a) szabályos háromszöget b) szabályos hatszöget c) négyzetet d) szabályos ötszöget! 12 Adott két párhuzamos egyenes Ábrázoljunk egy olyan téglalapot amelynek 2-2 csúcsa az adott egyenesekre illeszkedik szomszédos oldalaik aránya 1:2! 13 Adott két metsző egyenes Ábrázoljunk egy olyan egyenlőszárú háromszöget amelyiknek szárai az adott egyenesek szakaszai alapja 3 m! 14Adott egy A pont egy e egyenes Ábrázoljuk az ABCD négyzetet úgy hogy B C csúcsai az adott egyenesre illeszkedjenek! 15Adott egy A pont egy e egyenes Ábrázoljuk az ABC szabályos háromszöget úgy hogy B C csúcsai az adott egyenesre illeszkedjenek! 16Adott egy A pont egy e egyenes Ábrázoljuk az ABCD négyzetet úgy hogy a négyzet BD átlója az adott egyenesnek szakasza legyen! 17Adott egy S sík egy arra illeszkedő O pont Ábrázoljunk az S síkban egy olyan húrnégyszöget amelyik köré írt 3 m sugarú kör középpontja az O pont! 18 Adott egy S sík egy arra illeszkedő O pont Ábrázoljunk az S síkban egy olyan érintőnégyszöget amelyikbe írható 2 m sugarú kör középpontja az O pont! 19Adott egy S sík egy A pont Ábrázoljuk azt az ABC háromszöget amelyiknek a síkja merőleges az S síkra! 20 Adott két párhuzamos sík S R Ábrázoljunk egy olyan négyzetet amelyiknek két-két csúcsa az adott síkokra illeszkedik a négyzet síkja merőleges az adott síkokra az egyik oldalpár lejtője! 21Adott egy t egyenes annak egy O pontja Ábrázoljuk azt a 2 m-es oldalélű szabályos hatszöget amelynek O a középpontja a hatszög H síkja merőleges a t egyenesre! 22Adott az e f kitérő egyenespár az f egyenesen egy S pont Ábrázoljuk azt a szabályos háromszöget amelyiknek a síkja merőleges az f egyenesre súlypontja az S pont egyik csúcsa az e egyenesre illeszkedik! 23Adott egy S sík egy e egyenes Illesszünk az e egyenesre egy olyan R síkot amelyik merőleges az S síkra! 24Adott az A B sík egy olyan e egyenes amelyik mind a két síkkal párhuzamos Ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát amelyiknek a P síkja merőleges az adott síkokra (mind a kettőre) egyik (A) csúcsa az e egyenesen van két-két csúcsa pedig egy-egy adott síkra illeszkedik! 25Adott egy rombusz AC átlója továbbá egy S sík Határozzuk meg a rombusz másik két csúcsát úgy hogy az egyik az S síkra illeszkedjen! 26Adott egy S sík egy ABC háromszög Határozzuk meg a síkidomnak az adott S síktól való távolságát! 27Adott egy P pont az S sík Ábrázoljuk a P pontnak az S síkra vonatkoztatott P * tükörképét! 28 Adott egy P pont egy e egyenes Ábrázoljuk a P pontnak az e egyenesre vonatkoztatott tengelyes tükörképét (P * )! 29Adott egy e egyenes egy S sík Ábrázoljuk az egyenesnek az S síkra vonatkozó e * tükörképét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM5-5

104 Geometriai példatár Adott egy e egyenes egy S sík Ábrázoljuk az egyenesnek az S síktól 2 m-re lévő pontjait! 31Adott két kitérő egyenes e f Határozzuk meg a két egyenes távolságát abban az esetben amikor az e egyenes általános helyzetű az f pedig: a) képsíkkal párhuzamos b) képsíkra merőleges (vetítősugár) c) szintén általános helyzetű! 32Adott két kitérő egyenes e f Határozzuk meg a két egyenes hajlásszögét abban az esetben amikor az e egyenes általános helyzetű az f pedig: a) képsíkkal párhuzamos b) képsíkra merőleges (vetítősugár) c) szintén általános helyzetű! 33 Adott két kitérő egyenes e f Ábrázoljuk a két egyenes normáltranszverzálisát abban az esetben amikor az e egyenes általános helyzetű az f pedig: a) képsíkkal párhuzamos b) képsíkra merőleges (vetítősugár) c) szintén általános helyzetű! 34Adott két párhuzamos egyenes e f Ábrázoljuk a két egyenes t szimmetriatengelyét! (A t akkor szimmetriatengely ha az e tükörképe az f egyenes) 35Adott két metsző egyenes e f Ábrázoljuk a két egyenes t szimmetriatengelyét! 36 Adott két párhuzamos sík S R Ábrázoljuk a két sík szimmetriasíkját! Megjegyz: Szimmetriasíknak (vagy tükörsíknak) nevezzük azt a T síkot amelyikre tükrözve az egyik síkot a tükörkép egybeesik a másik síkkal A T szimmetriasík az adott S R síkok távolságát merőlegesen felezi 37Határozzuk meg a T szimmetriasíkját az adott S R metsző S síkoknak! 38Adott egy S sík egy A pont Ábrázoljuk azt az ABC háromszöget amely - szabályos - síkja merőleges az S síkra - B C csúcsai az S síkon vannak - BC oldalának lejtője! 39Adott egy S sík Vegyünk fel egy olyan e egyenest amely az adott S síkkal a képsíkkal is párhuzamos Ábrázoljunk egy olyan négyzetet amelyiknek a síkja merőleges az adott S síkra két-két csúcsa az e egyenesre illetve az S síkra illeszkedik! 40Adott egy S sík egy P pont Adjuk meg azt az R síkot amely - illeszkedik a P pontra - az adott S síkkal 60 o -os szöget zár be - az R S síkok szintvonalai párhuzamosak! 41Adott két sík A B Ábrázoljuk a két sík m metszvonalát! Határozzuk meg a képsíkszögét az adott síkoknak az m metszvonalnak! Melyik szög lesz a legkisebb miért? 42 Adott általános helyzetű S síkban ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát amelyiknek 4 m-es oldalai párhuzamosak a képsíkkal a másik oldalpárja a síknak 30 o -os képsíkszögű egyenesei magassága pedig 3 m! Oldjuk meg a feladatot: a) Az S sík szintsíkba forgatásával b) Az S sík szintsíkba forgatása nélkül! 43 Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan trapézt amelyiknek 4 m-es 6 m-es alapjai párhuzamosak a képsíkkal! A trapéz egyik szárának lejtője a másik szár rézsűje 44 Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan trapézt amelyiknek 5 m-es alapja párhuzamos a képsíkkal egyik szárának képsíkszöge 30 o -os a másik szár lejtője a trapéz magassága 3 m! 45Adott az S sík annak egy A pontja Ábrázoljuk a síkban azt az ABC háromszöget amelyiknek BC oldala párhuzamos a képsíkkal az AB oldal lejtője az AC oldal rézsűje magassága pedig 3 m! 46Ábrázoljunk egy adott P pontra illeszkedő 60 o -os képsíkszögű síkot! a) Hány megoldása van a feladatnak? b) A feltételeknek eleget tevő síkok P pontra illeszkedő esvonalai mit alkotnak? 47Illesszünk egy adott e egyenesre egy 45 o -os képsíkszögű síkot! GEM5-6 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

105 Kótás projekció 48Adott az A 3 C 7 pontpár Ábrázoljunk egy olyan rombuszt amelyiknek két szemben lévő csúcsa az adott két pont a B csúcsa az 5-ös főszintsíkra illeszkedik a rombusz síkjának rézsűje! 49 Adott két pont A B Ábrázoljunk egy olyan négyzetet amelyiknek két szomszédos csúcsa az adott két pont a négyzet síkjának rézsűje! 50 Adott két pont A B Ábrázoljuk az ABC szabályos háromszöget úgy hogy a háromszög síkjának rézsűje legyen! 51Adott egy e egyenes Ábrázoljunk egy olyan f egyenest amely - párhuzamos az e egyenessel - az e egyenestől való távolsága 3 m - az e egyenessel olyan síkot alkot amelynek képsíkszöge 60 o -os! 52Adott egy S sík fölötte egy A pont Ábrázoljuk az ABCD szabályos tetraédert úgy hogy a BCD alapja az S síkon legyen! 53Adott két párhuzamos sík S R Ábrázoljunk egy olyan kockát amelynek négy-négy csúcsa egy-egy adott síkra illeszkedik! 525 Görbe vonalak 1 Adott egy 3-as szintsíkban lévő görbe e görbén lévő A B pontok a) Határozzuk meg az AB ív valódi hosszát! b) Ábrázoljuk a görbét a B pontjában érintő egyenest! c) Ábrázoljuk a görbe AB ívének F felezőpontját! 2 Főszintsíkokra illeszkedő pontjaival adott egy vetítősíkban lévő görbe a) Ábrázoljuk a görbe 45-es kótájú pontjait! b) A görbe képén tetszőlegesen vegyünk fel egy P pontot majd határozzuk meg a pont kótáját ábrázoljuk a görbe ezen pontjához tartozó érintőjét! c) Ábrázoljuk a görbe maximum- minimum inflexiós pontjait! Határozzuk meg a görbe inflexiós pontjában a lejtadatokat! d) Határozzuk meg a görbe két tetszőleges pontja közé eső ívszakasz valódi nagyságát! 3 Adott egy S általános helyzetű síkban lévő g görbe (képével főszintsíkokra illeszkedő pontjaival) a) Ábrázoljuk a görbe 38-es kótájú pontjait! b) A görbe képén tetszőlegesen felvett P pontnak határozzuk meg a kótáját majd ábrázoljuk a görbe ezen pontjához tartozó érintőjét! c) Ábrázoljuk a görbe maximum minimum pontjait! d) Határozzuk meg a görbe E 6 pontjában a lejtadatait! e) Határozzuk meg a görbe A 4 B 5 pontjai közé eső ívszakasz valódi nagyságát! 4 Adott egy g térgörbe (képével főszintsíkokra illeszkedő pontjaival) a) Kzítsük el a görbe hossz-szelvényét! b) Ábrázoljuk a görbe 84-es kótájú A pontját majd ábrázoljuk a görbe ezen pontjához tartozó érintőjét! c) Határozzuk meg a görbe A pontjában a lejtadatait! d) Ábrázoljuk a görbe maximum- minimum inflexiós pontjait! e) Határozzuk meg a görbe képén tetszőlegesen felvett P R pontok kótáját! f) Határozzuk meg a görbe PR ívének valódi nagyságát! 526 Terep rézsűfelületek 1 Főszintvonalaival adott terepfelületnek adott A pontjára illeszkedő esvonalát szerkesszük meg! 2 Tíz méterenkénti nívódifferenciához tartozó főszintvonalaival adott terepfelületnek szerkesszük meg a két méteres nívódifferenciához tartozó főszintvonalait! 3 Adott egy terep tíz méterenkénti főszintvonalaival valamint egy P pont képe Határozzuk meg a P pont kótáját úgy hogy az illeszkedjen az adott terepfelületre! 4 Főszintvonalaival adott terepfelületről kzítsünk terepszelvényt! (Messük el egy vetítősíkkal!) 5 Főszintvonalaival adott terepfelületet messük el egy általános helyzetű S síkkal! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM5-7

106 Geometriai példatár Főszintvonalaival adott terepfelületet messük el 136-os kótájú képsíkkal párhuzamos síkkal! 7 Főszintvonalaival adott egy terepfelület egy általános helyzetű egyenes Szerkesszük meg az egyenesnek a felülettel alkotott metszpontjait! 8 Főszintvonalaival adott egy terepfelület annak egy E 20 pontja Ábrázoljuk a felület adott E pontjához tartozó érintősíkját! a) Ábrázoljuk a terepfelület E pontjára illeszkedő általános felületi érintőjét! b) Ábrázoljuk a terepfelület E pontjára illeszkedő felületi normálisát! 9 Főszintvonalaival adott egy terepfelület annak egy A pontja a) Ábrázoljuk a felület adott A pontjára illeszkedő -os lejtű semleges vonalát! b) Ábrázoljuk a felület adott A pontjára illeszkedő 10%-os lejtű semleges vonalát! 10Főszintvonalaival adott egy terepfelület annak az A 40 B 90 felületi pontja Ábrázoljuk a felület két adott pontjára illeszkedő semleges vonalát! 11Főszintvonalaival adott egy terepfelület Szerkesztendő azon 60x100 m 2 -es plató a 200-as főszintsíkban ahol a bevágások rézsűje a töltek rézsűje pedig! A 18 főszintsíkra illeszkedő egyenesnek ábrázoljuk a rézsűfelületeit! ( M=1:500) Graduált képével adott általános helyzetű egyenesnek ábrázoljuk a rézsűfelületeit! ( ) A 7-es főszintsíkra illeszkedő körnek ábrázoljuk a rézsűfelületeit! ( M=1:400) Képével főszintsíkokra illeszkedő pontjaival adott térgörbének ábrázoljuk a rézsűfelületeit! ( ) 527 Vegyes gyakorló feladatok Az alábbi szerkesztek 2-3 alapszerkeszti lépsel megoldhatók Önellenőrz céljából kerültek a feladatgyűjtemény végére Ezek megoldását nem közöljük Megoldásukhoz szükséges időtartam (jó felkzültség esetén) 5-10 perc 1 Határozza meg az A 3 a B 65 pontokra illeszkedő egyenes képsíkszögét lejtőjét rézsűjét! 2 Adott az A 5 B 11 pontpár Ezen pontok által meghatározott egyenesre lejtő irányban mérjen fel 25 m hosszú szakaszt az egyenes P 9 pontjából indítva! 3 Az A 2 B 4 C 7 háromszöget vetítősíkban adtuk meg A 4-es szintsíkba való forgatással határozza meg a háromszögbe írható kör középpontját olvassa le annak kótáját! (A középpontot a szögfelezők metszpontja adja) 4 Adott a V vetítősíkban egy P 3 pont Szerkessze meg a vetítősík azon egyenesét mely illeszkedik a P pontra a lejtője! 5 Adott az S általános helyzetű sík b egyenesével P pontjával valamint az a általános helyzetű egyenes Szerkessze meg az S sík az a egyenes döfpontját! Olvassa le a döfpont kótáját jelölje a láthatóságot! GEM5-8 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

107 Kótás projekció 6 Adott az A 4 B 6 C 5 általános helyzetű háromszög síkja az a egyenes Szerkessze meg a háromszög síkjának az a egyenesnek a döfpontját! Olvassa le a döfpont kótáját jelölje a láthatóságot! 7 Szerkessze meg az ABCD általános helyzetű paralelogramma-lap (a paralelogramma által határolt véges síkrz) az S ugyancsak általános helyzetű sík áthatását! Adott az A 3 B 1 C 2 D 4 paralelogramma az S sík e graduált esvonala Jelölje a láthatóságot! 8 Szerkessze meg az ABC általános helyzetű háromszöglap (a háromszög vonal által határolt véges síkrz) az S általános sík áthatását! Adott az A 5 B 6 C 2 általános helyzetű háromszöglap az S sík e graduált esvonala 9 Legyen az A 1 B 2 C 5 általános helyzetű háromszög síkja S Határozza meg az S sík esvonalának rézsűjét! 10Adott az S síkban A 5 B 3 C 1 általános helyzetű háromszög Határozza meg a kerületét! 11Adott az a általános helyzetű egyenes a P 4 pont (P nem illeszkedik az egyenesre) Szerkesszen négyzetet melynek egyik átlója az egyenesre illeszkedik P az egyik csúcsa! 12Adott az S általános helyzetű sík graduált esvonalával ebben a síkban az A 5 B 1 szakasz Szerkesszen szabályos háromszöget melynek oldala az AB szakasz! 13Adott az a általános helyzetű egyenes a P 4 pont (P nem illeszkedik az egyenesre) Szerkesszen rombuszt melynek egyik átlója az egyenesre illeszkedik P az egyik csúcsa a P-t tartalmazó átló hossza kétszerese a másik átlónak! 14Adott a V vetítősíkban ABC szabályos háromszög A 1 B 6 oldala! A 4-es szintsíkba való forgatással szerkessze meg a háromszög C csúcsának képét határozza meg annak kótáját! 15Határozza meg az A 5 B 6 C 8 D 7 a P 7 Q 8 R 10 S 9 általános helyzetű paralelogrammák síkjainak távolságát! 16Határozza meg a P 10 pont az A 5 B 5 C 8 általános helyzetű háromszög síkjának távolságát! (P nem illeszkedik a háromszög síkjára) 17Adott az A 5 B 5 C 8 általános helyzetű háromszög síkja Határozza meg a P pontot úgy hogy PC szakasz merőleges legyen a háromszög síkjára PC hossza 4 m legyen! 18Határozza meg az A 5 B 6 C 8 D 7 általános helyzetű paralelogramma síkjának a P 10 pontra illeszkedő normálisának döfpontját! (P nem illeszkedik a paralelogramma síkjára) 19Adott az A 8 B 9 C 6 általános helyzetű háromszög síkja Ábrázoljon ebben a síkban egy olyan egyenest amely illeszkedik a háromszög súlypontjára a dőlszöge 30 o -os! (Megj:súlypont = súlyvonalak metszpontja) 20Adottak az ABC általános helyzetű háromszög A 1 B 4 csúcsai a C csúcs vetülete Határozza meg a C csúcs kótáját úgy hogy a háromszög síkjának rézsűje legyen! Egy sík megadása elegendő 21Adott az A 3 B 3 C 5 általános helyzetű háromszög Az AC oldalhoz tartozó magasságvonalra illesszen olyan síkot melynek a rézsűje! (Megjegyz: Az AC oldalhoz tartozó magasságvonal illeszkedik a B csúcsra merőleges az AC oldal egyenesére) 22Adott az A 2 B 2 C 6 általános helyzetű háromszög síkja Ábrázoljon ebben a síkban egy olyan egyenest amely illeszkedik a háromszög magasságpontjára a dőlszöge 30 o -os! (Megjegyz: A háromszög magasságpontja a magasságvonalaink metszpontja) 53 Kótás projekció MEGOLDÁSOK 531 Alapfeladatok (Megoldások) 1 a) d=8 m b) d=10 m Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM5-9

108 Geometriai példatár d=20 cm 3 k= mm 4 k= mm 5 k=8 mm 6 M=1: Alapfeladat lásd jegyzet 9 Alapfeladat lásd jegyzet 10Alapfeladat lásd jegyzet 11Alapfeladat lásd jegyzet 12Alapfeladat lásd jegyzet 13Alapfeladat lásd jegyzet 14Alapfeladat lásd jegyzet 15A feladatnak két megoldása van a) a képsík alatt b) a képsík felett 16Alapfeladat lásd jegyzet 17Alapfeladat lásd jegyzet 18Alapfeladat lásd jegyzet 19Alapfeladat lásd jegyzet 532 Vetítősík szintsíkba forgatásával megoldható feladatok (Megoldások) 1 Az adott egyenesre egy vetítősíkot illesztünk A vetítősíkot (s benne az egyenest) valamelyik szintsíkba forgatjuk A keresett szög nagyságát a leforgatottban nyerjük 2 A megoldás lépei: a) Az egyenesre vetítősíkot illesztünk b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk c) A forgatottban megállapítható az egyenes α képsíkszögének valódi nagysága d) 3 Megoldási lépek: a) Az egyenes képére egy V vetítősíkot illesztünk b) Az A pontja segítségével a vetítősíkot szintsíkba forgatjuk c) A forgatottban felvesszük az (A) pontra illeszkedő 30 o -os képsíkszögű egyenes forgatottját d) Meghatározzuk a B pont forgatottját amely illeszkedik az egyenes forgatottjára e) Lépték segítségével meghatározzuk a (B) leforgatottnak a tengelytől való távolságát végül ennek segítségével megállapítjuk a B kótáját 4 Az a) b) c) d) e) f) pontok mindegyikének azonos az elve: Az adott pontok egyenesére vetítősíkot illesztve azt szintsíkba forgatva a kérdes szakaszhossz a méretarányt figyelembe véve valódi méretében látszik 5 A megoldás lépei: a) Az egyenesre vetítősíkot illesztünk b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk c) A forgatottban felvesszük a keresett pontok forgatottjait d) Végül ezeket visszaforgatjuk GEM5-10 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

109 Kótás projekció 6 A feladat vetítősík szintsíkba forgatása nélkül is megoldható: a) A lejtő ismeretében megszerkesztjük az osztóközt majd ezekkel graduálunk (Két megoldás lesz különböző lejtiránnyal) b) A lejtő ismeretében kiszámítjuk az osztóközt majd ezzel graduálunk 7 Lásd az előbbi feladatot 8 Megoldási lépek: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszög súlypontját c) A kapott eredményt visszaforgatjuk Emlékeztető: A háromszög súlypontja a súlyvonalak metszpontja A háromszög súlyvonala pedig az az egyenes (illetve szakasz) amely a háromszög adott csúcsát köti össze a szemközti oldal felezi pontjával 9 Megoldási lépek: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszög magasságpontját c) A kapott eredményt visszaforgatjuk Emlékeztető: A háromszög magasságpontja a magasságvonalak metszpontja A háromszög magasságvonala az az egyenes melyet a háromszög adott csúcsából a szemközti oldal egyenesére állítunk 10 Megoldási lépek: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszög köré írható körének K középpontját! c) A kapott eredményt visszaforgatjuk Emlékeztető: A háromszög köré írható körének középpontját az oldalfelező merőlegesek metszpontja adja 11 Megoldási lépek: a) A vetítősíkot (pontjaival) valamely szintsíkba forgatjuk b) Forgatottban megszerkesztjük a háromszögbe írható körnek a középpontját! c) A kapott eredményt visszaforgatjuk Emlékeztető: A háromszögbe írható kör középpontját a szögfelezők metszpontja adja 12 A megoldás lépei: a) A két pont egyenesére vetítősíkot illesztünk b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk c) Forgatottban megszerkesztjük az AB oldalú négyzetet d) A kapott négyzetet visszaforgatjuk 13 A megoldás lépei: a) A két pont egyenesére vetítősíkot illesztünk b) A vetítősíkot szintsíkba forgatjuk c) Forgatottban megszerkesztjük az ABC szabályos háromszöget d) A kapott szabályos háromszöget visszaforgatjuk 14 A megoldás lépei: a) Az adott vetítősíkot szintsíkba forgatjuk b) Forgatottban megoldjuk a feladatot c) Visszaforgatunk 15Lásd az előző feladatot 16Lásd a 14 feladatot 17Lásd a 14 feladatot 18Lásd a 14 feladatot 19Lásd a 14 feladatot 20Lásd a 14 feladatot 21Lásd a 14 feladatot 533 Helyzetgeometriai feladatok (Megoldások) 1 Alapszerkeszt lásd jegyzet 2 Alapszerkeszt 3 Alapszerkeszt 4 Alapszerkeszt 5 Alapszerkeszt 6 Alapszerkeszt Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM5-11

110 Geometriai példatár Alapszerkeszt 8 Alapszerkeszt 9 Alapszerkeszt 10 Alapszerkeszt 11 Alapszerkeszt 12 Alapszerkeszt 13 Alapszerkeszt 14 Alapszerkeszt 15 Alapszerkeszt 16 Megszerkesztjük ABC háromszög síkjának graduált esvonalát majd ezzel párhuzamos esvonalat szerkesztünk az adott P ponton át Ezzel meghatároztuk a keresett síkot 17 Az az egyenes amelyik két (általános helyzetű) adott síkkal párhuzamos az párhuzamos a két sík metszvonalával is Tehát a P pontra illeszkedő a metszvonallal párhuzamos egyenest kell szerkeszteni 18 Egy sík akkor párhuzamos egy egyenessel ha a síknak van az egyenessel párhuzamos egyenese Ezt figyelembe véve a szerkeszt menete a következő: a) Ábrázolunk egy P pontra illeszkedő az adott e egyenessel párhuzamos a egyenest b) Felveszünk egy P pontra illeszkedő f egyenessel párhuzamos b egyenest Meghatározzuk az [ab]=s sík graduált esvonalát (ez lesz a megoldás) 19 Megoldási lépek: a) Felveszünk egy P pontra illeszkedő S síkkal párhuzamos R síkot (Ennek minden egyenese párhuzamos az S síkkal tehát e síkban van az f egyenes b) Meghatározzuk az e egyenesnek az R síkkal alkotott D döfpontját c) A PD egyenes lesz a mindhárom feltételt kielégítő f egyenes 20 Mivel a keresett t egyenes mind a két egyenest metszi ezért mindkettővel külön-külön közös síkot alkot azaz e két sík közös egyenese lesz Ezért a t egyenes az említett síkok metszvonala Mivel [et]=[ep] [ft]=[fp] ezért a megoldás a következő: a) Az [ep] síknak felvesszük két szintvonalát b) Az [fp] síknak meghatározzuk az előbbi szintvonalakkal azonos szintsíkban lévő szintvonalait c) Az azonos kótájú szintvonalak metszpontjait összekötve nyerjük a keresett t transzverzálist 21 A három páronként kitérő helyzetű egyenes transzverzálisának szerkesztét visszavezetjük az előbbi feladatra oly módon hogy mondjuk a g egyenesen kitűzünk egy P pontot majd megszerkesztjük a P pontra illeszkedő e f kitérő egyeneseket egyaránt metsző transzverzálist (lásd az előbbi feladat megoldását) Ez már a feladatnak egy megoldása lesz hiszen az így nyert t egyenes a g-t is metszi a P pontban Mivel a P pont a g egyenesen tetszőlegesen vehető fel ezért a feladatnak végtelen sok megoldása van 22A megoldás lépei: a) A keresett paralelogramma P síkját az A pont az e egyenes határozza meg Vegyük fel ezen síknak legalább két szintvonalát b) Határozzuk meg a P S síkok m metszvonalát Ennek segítségével megkapjuk az e egyenesnek az S síkkal alkotott D döfpontját amely a paralelogramma második csúcsa lesz c) Vegyünk fel az m egyenessel párhuzamos A pontra illeszkedő f egyenest Ez az e egyenesből kimetszi a paralelogramma harmadik (B) csúcsát d) A hiányzó C csúcsot az m metszvonalon AD-vel párhuzamos egyenes segítségével nyerjük 534 Metrikus feladatok (Megoldások) 1 Alapszerkeszt lásd jegyzet 2 Alapszerkeszt 3 Alapszerkeszt 4 Alapszerkeszt GEM5-12 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

111 Kótás projekció 5 Alapszerkeszt 6 Alapszerkeszt 7 Alapszerkeszt 8 Alapszerkeszt 9 Alapszerkeszt 10 Alapszerkeszt 11 Ez a feladat a következő hét ugyanannak a feladattípusnak a tagjai Ezen feladattípus az általános helyzetű síkban megoldandó metrikus feladatok csoportja Megoldási tervük tehát azonos A megoldás lépei: a) Az adott általános helyzetű síkot szintsíkba forgatjuk A forgatottban nincs vetíti torzulás de van méretarány szerinti kicsinyít b) A forgatottban megoldjuk a feladatot (jelen esetben az a; b; c; d rzeket) majd c) a kapott eredményt visszaforgatjuk Megjegyz: A kótás projekcióban is teljesül hogy a leforgatott sík pontjai a képpontok között ortogonális axiális affinitás áll fenn Ezért a visszaforgatás során ennek tulajdonságait (például illeszked-tartás egyenes képe a tengelyen metszi egymást stb) használhatjuk 12A két párhuzamos egyenes síkjára végrehajtjuk az előző feladat szerkeszti lépeit 13Lásd a 11 feladat megoldását 14Lásd a 11 feladat megoldását 15Lásd a 11 feladat megoldását 16Lásd a 11 feladat megoldását 17Lásd a 11 feladat megoldását 18Lásd a 11 feladat megoldását 19 Megoldási lépek: a) Az A pontból normálist állítunk az S síkra (alapszerkeszt) b) Meghatározzuk a normálisnak az S síkkal alkotott M metszpontját c) Az S síkban az M ponton át tetszőleges s egyenest veszünk fel d) Az s egyenesen tetszőlegesen kijelölhetjük a B C csúcsokat melyeket A-val összekötve kapjuk az ABC háromszöget 20 A megoldás lépei: a) Az S síkban tetszőlegesen kijelöljük az A csúcsot s ebből normálist állítunk az R síkra b) Megszerkesztjük a normálisnak az R síkkal alkotott D döfpontját (Ez lesz a négyzet második csúcsa) c) Meghatározzuk az AD távolságot (amely a két sík távolsága egyben a négyzet oldalának hossza) d) Felveszünk az S síkban egy A pontra illeszkedő lejtőjű f egyenest e) Felveszünk az R síkban egy D pontra illeszkedő lejtőjű az f egyenessel párhuzamos g egyenest f) az f illetve a g egyenesekre az A illetve a D pontokból felmérjük a c) pontban meghatározott távolságot Így kapjuk a négyzet hiányzó B C csúcsát 21Megoldási lépek: a) Felvesszük az O pontra illeszkedő t egyenesre merőleges H síkot b) A H síkot ( az O pontjával) szintsíkba forgatjuk A forgatottban felvesszük az adott méretű hatszög forgatottját c) A kapott hatszöget visszaforgatjuk 22 A megoldás lépei: a) Felvesszük az S pontra illeszkedő f egyenesre merőleges H síkot (Ez lesz a keresett háromszög síkja) b) Meghatározzuk az e egyenesnek a H síkkal alkotott döfpontját Ez lesz a háromszög A csúcsa c) A H síkot (S A pontjait) szintsíkba forgatjuk majd a forgatottban megszerkesztjük azt az ABC szabályos háromszöget amelyiknek (S) a súlypontja d) A B C csúcsokat visszaforgatjuk 23 Szerkeszti lépek: a) Az e egyenes tetszőleges M pontjából normálist (f) állítunk az S síkra b) Meghatározzuk az [ef]=r sík graduált esvonalát Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM5-13

112 Geometriai példatár Megoldási lépek: a) Megszerkesztjük az adott síkok m metszvonalát Ezzel kell az e egyenesnek párhuzamosnak lennie (ekkor lesz párhuzamos mind a két síkkal) b) Az e egyenesen tetszőlegesen kijelöljük a paralelogramma A csúcsát c) Felvesszük az A pontra illeszkedő e m egyenesekre merőleges P síkot Ez lesz a paralelogramma P síkja d) Meghatározzuk az m egyenesnek a P síkkal alkotott döfpontját Ez lesz a paralelogramma C csúcsa amely mind a két síkra illeszkedik e) Meghatározzuk a P síknak az A illetve a B síkokkal alkotott a b metszvonalait Ezeknek szakaszai a paralelogramma C csúcsra illeszkedő oldalai f) Az előbb nyert egyeneseken párhuzamosok felvételével nyerjük a hiányzó B D csúcsokat 25 A megoldás lépei: a) Az AC szakaszra az O felezőpontjában merőleges M síkot veszünk fel b) Meghatározzuk az M síknak az adott S síkkal alkotott m metszvonalát c) Az m metszvonalon tetszőlegesen kijelöljük a B csúcsot (végtelen sok megoldás) d) A B csúcsot az O pontra tükrözve nyerjük a hiányzó D csúcsot 26 Meghatározzuk mind a három csúcsnak az S síktól való távolságát A legkisebb távolság lesz az ABC síkidomnak az S síktól való távolsága 27 Szerkeszti lépek: a) A P pontból az S síkra n merőleges egyenest állítunk b) Meghatározzuk az n normálisnak az S síkkal alkotott F metszpontját c) A P pont képét tükrözve az F pont képére nyerjük a keresett P * pont képét A tükrözt azért végezhetjük el a képen mert a valóságban egyenlő (PF= P * F) szakaszok azonos mértékben rövidülnek a képen a közös képsíkszög miatt d) A P * kótájának meghatározásánál felhasználhatjuk azt az analitikus geometriából ismert tételt hogy szakasz felezőpontjának koordinátáit a végpontok koordinátáinak számtani közepeként nyerjük (mivel a kóta amolyan harmadik koordinátának is tekinthető) 28 Megoldási lépek: a) Meghatározzuk a [Pe] síknak egy szintvonalát b) Az előbbi szintvonal (mint tengely) körül a síkot szintsíkba forgatjuk c) Forgatottban elvégezzük a tükrözt d) A forgatottban nyert megoldást visszaforgatjuk 29Az egyenest két tetszőleges pontjával tükrözzük (lásd a 27 feladatot) Egyszerűbben elvégezhető a szerkeszt ha az egyik pontként az e egyenesnek az S síkkal alkotott M metszpontját választjuk mivel ennek a tükörképe önmaga 30A megoldás lépei: a) Az S síkra tetszőleges P pontjában n normálist állítunk b) Ábrázoljuk az n egyenes P pontjától 2 m-re levő A B pontjait c) Az előbb nyert A B pontokra illesztünk egy-egy olyan A A B B síkot amelyek párhuzamosak az adott S síkkal d) Meghatározzuk az e egyenesnek az előbbi síkokkal alkotott metszpontjait M N - amelyek a feladat megoldásai 31 Az a) c) eset szerkesztének menete a jegyzetben megtalálható A b) esetben nem szükséges követni az általános szerkeszti elvet mivel a vetítősugárra merőleges egyenes (transzverzális) szükségszerűen párhuzamos a képsíkkal ezért a képen nincs vetíti torzulás (csak méretarány szerinti kicsinyít) A fentieket figyelembe véve a megoldás a következő: A vetítősugár pontban látszó képéből merőlegest állítunk az e egyenes képére (ez lesz a normáltranszverzális képe kótája megegyezik a metszpont kótájával) A metszpontok közé eső távolság képét a léptékre visszük ahol a távolság valódi nagysága leolvasható 32 A megoldás lépei (mindhárom esetben): a) Az egyik egyenes tetszőleges pontjába a másik egyenest önmagával párhuzamosan eltoljuk b) Az így nyert metsző egyenesek síkját szintsíkba forgatva a keresett hajlásszög valódi nagyságát kapjuk 33Lásd a 31 feladat megoldásánál leírtakat 34 Megoldás: (1 megoldási mód) Az egyenesek síkját szintsíkba forgatjuk a forgatottban felvesszük a t egyenest majd visszaforgatjuk (2 megoldási mód) A feladat forgatás nélkül is megoldható: a) A szimmetriatengely képe az egyenesek képeinek is szimmetriatengelye lesz b) Mivel a szimmetriatengely benne van az adott egyenesek síkjában ezért az [ef] sík főszintvonalai graduálják a t egyenes képét 35Az előbbi feladat (34) megoldásánál leírt mind a két megoldás itt is alkalmazható 36 Szerkeszti lépek: a) Felveszünk tetszőlegesen az S síkon egy A az R síkon egy B pontot b) Ábrázoljuk az AB szakasz F felezőpontját c) Megadjuk az F pontra illeszkedő adott síkokkal párhuzamos sík graduált esvonalát Ez lesz a keresett T szimmetriasík Megjegyz: A feladat lépték (illetve méretarány) nélkül oldható meg GEM5-14 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

113 Kótás projekció 37 Megoldási lépek: a) Megszerkesztjük az adott síkok m metszvonalát b) Felveszünk egy olyan M síkot amely merőleges az m egyenesre c) Megszerkesztjük az M síknak az S síkkal alkotott s metszvonalát d) Meghatározzuk az M síknak az R síkkal alkotott r metszvonalát e) Ábrázoljuk az s r egyenesek t szimmetriatengelyét (A 35 feladatnál leírtak szerint) f) Meghatározzuk a t m metsző egyenesek közös síkjának graduált esvonalát Ez a sík lesz a keresett T szimmetriasík 38A megoldás lépei: a) Az A pontból az S síkra n normálist állítunk b) Meghatározzuk az n normálisnak az S síkkal alkotott M metszpontját c) Ábrázoljuk az S sík M pontjára illeszkedő lejtőjű a egyenesét d) A keresett háromszög síkját az [na] síkot szintsíkba forgatjuk a forgatottban megszerkesztjük a háromszög forgatottját majd ezt visszaforgatjuk 39 Szerkeszti lépek: a) Az e egyenest úgy kell felvenni hogy párhuzamos legyen az S síknak egy szintvonalával b) Az e egyenes tetszőleges A pontjából n normálist állítunk az S síkra c) Meghatározzuk az n egyenes S síkkal alkotott D döfpontját (ez lesz a négyzet egyik csúcsa) d) Meghatározzuk az A D pontok távolságát Ez lesz a négyzet oldalának hossza e) Az előbb nyert távolságot felmérjük az A csúcsból az e egyenes képére így nyerjük a B csúcsot f) Felvesszük az S sík D pontjára illeszkedő szintvonalát majd erre is felmérve a négyzet oldalát kapjuk a hiányzó C csúcsot Megjegyz: A B C csúcsokat azért lehet a képen ( nem forgatottban) felrakni mert a szóban forgó egyenesek képsíkkal párhuzamosak ezért nincs vetíti rövidül 40Megoldási lépek: a) Vegyük fel azt a V vetítősíkot amelyik illeszkedik a P pontra merőleges az S sík szintvonalaira b) Szerkesszük meg a V S síkok s metszvonalát c) Forgassuk be a V síkot valamely szintsíkba ( ábrázoljuk a (P) (s) térelemeket) d) A forgatottban felvesszük azt az (r) egyenest amely illeszkedik a (P) pontra 60 o -os szöget zár be az (s) egyenessel e) Visszaforgatjuk az r egyenest Ez lesz a keresett R síknak az egyik esvonala f) Megadjuk az R síkot graduált esvonalával 41 Az m metszvonal képsíkszöge lesz a legkisebb mivel a metszvonal mind a két síkra illeszkedik márpedig adott síkban lévő egyenes képsíkszöge nem lehet nagyobb mint a sík képsíkszöge! (Mikor lehet egyenlő?) 42 Megoldások: (1 megoldás) a) Az S sík egyik szintvonalára (a léptékről) felmérünk 4 m-t így kapjuk a paralelogramma A B csúcsait b) Megszerkesztjük a képsíkszög ismeretében a szomszédos oldalak k osztóközét majd ennek segítségével ábrázoljuk az A B csúcsra illeszkedő 30 o -os képsíkszögű egyenesek képét c) Leforgatjuk az S síkot A forgatottban felvesszük az adott magasságú paralelogrammát majd ezt visszaforgatjuk (2 megoldás) a)-b) Megegyezik az 1 megoldás a) b) pontjában leírtakkal c) Felvesszük az S sík A pontra illeszkedő esvonalát majd erre felmérjük (az A ponttól) az adott magasságot az esvonalra illeszkedő vetítősík szintsíkba forgatásával d) Az előbb nyert magasság végpontjából húzott szintvonal a b) pontban nyert 30 o -os képsíkszögű egyenesekből kimetszi a hiányzó C D csúcsokat 43Az előbbi feladat első megoldását alkalmazzuk 44A 42 feladatnál leírt mindkét megoldás alkalmazható 45A 42 feladatnál leírt mindkét megoldás alkalmazható 46 a) A feladatnak végtelen sok megoldása van b) A P pontra illeszkedő esvonalak egy olyan forgáskúp alkotói amelynek csúcsa az adott P pont forgástengelye merőleges a képsíkra félnyílásszöge 30 o 47A szerkesztben alkalmazzuk a dőlkúpot 48A megoldás lépei: a) Az AC egyenesre dőlkúp segítségével illesszünk egy olyan S síkot amelyiknek a rézsűje az adott érték Ez lesz a rombusz síkja b) Forgassuk le az S síkot valamely szintsíkba A két adott pont forgatottján kívül adjuk meg az S sík 5-ös főszintvonalának forgatottját is c) Az (A)(B) szakaszfelező merőlegese az 5-ös főszintvonal forgatottjából kimetszi a (C) pontot (A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást!) d) A hiányzó D csúcsot akár a forgatottban de a képen is megszerkeszthetjük felhasználva az oldalak azon tulajdonságát hogy a szemben lévők párhuzamosak 49 Szerkeszti lépek: a) Az AB egyenesre dőlkúp segítségével illesszünk egy olyan S síkot amelyiknek a rézsűje az adott érték Ez lesz a négyzet síkja b) Forgassuk le az S síkot valamely szintsíkba c) A forgatottban szerkesszük meg a négyzetet d) Az előbb szerkesztett négyzetet visszaforgatjuk Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM5-15

114 Geometriai példatár A szerkeszt menete megegyezik az előbbi feladatnál közöltekkel 51A szerkeszt menete megegyezik a 49 feladatnál közöltekkel 52Megoldási lépek: a) Az A pontból az S síkra n normálist állítunk b) Megszerkesztjük az n egyenesnek az S síkkal alkotott O döfpontját Ez lesz a BCD alapháromszög köré írható kör középpontja c) Meghatározzuk az AO távolságot amely az A pontnak az S síktól való távolsága egyben a keresett szabályos tetraéder testmagassága d) A testmagasság ismeretében (külön ábrán) megszerkesztjük a BCD alapháromszög köré írható körének r sugarát Ez a szerkeszt két geometriai törvényt használ fel: 1 A szabályos tetraéder testmagasságai (egyben súlyvonalai) egy pontban metszik egymást ez a súlypont 1:3 arányban osztja a testmagasságokat 2 Az alapháromszög (lévén szabályos) köré írható kör sugara egyenlő a magasságvonalai (amelyek egyben súlyvonalak) rzével e) Az S síkot (O pontjával ) szintsíkba forgatjuk f) Az (O) körül a d) pontban megszerkesztett r sugárral kört rajzolunk majd ezen a körön felvesszük a (B)(C)(D) háromszög csúcsait úgy hogy szabályos háromszöget alkossanak g) Az előbbi háromszöget visszaforgatjuk majd az A ponttal összekötve nyerjük a szabályos tetraéder hiányzó éleit 53Szerkeszti lépek: a) Az S síkon tetszőlegesen kijelöljük az A csúcsot b) Az A csúcsból az R síkra n normálist állítunk c) Meghatározzuk az n egyenesnek az R síkkal alkotott E döfpontját d) Meghatározzuk az A E pontok távolságát Ez a síkok távolsága is egyben a kocka élének hossza e) Az R síkot szintsíkba forgatjuk az E pontjával f) A forgatottban felvesszük az (E)(F)(G)(H) négyzetet úgy hogy az élek hossza a d) pontban kapott távolság legyen g) Az előbbi négyzetet visszaforgatjuk h) Az E F G H pontokból az n egyenessel párhuzamosokat húzunk ezekre felmérjük az A E pontok képi távolságát (Mivel a párhuzamos élek azonos képsíkszög miatt egyformán rövidülnek a vetít során) i) A kapott B C D csúcsokat az R síkon lévőkkel összekötve nyerjük a kocka hiányzó éleit Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria II Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar Székesfehérvár 2007 A geometriák alapjai Műszaki Könyvkiadó Budapest 1973 Hajós György: Bevezet a geometriába Tankönyvkiadó Budapest 1966 Kárteszi Ferenc: Bevezet a véges geometriákba Akadémia Kiadó Budapest 1972 Szász Gábor: Projektív geometria Tankönyvkiadó Budapest 1977 Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztek elmélete Akadémia Kiadó Budapest 1968 Zigány Ferenc: Ábrázoló geometria Tankönyvkiadó Budapest 1962 GEM5-16 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

115 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 6 GEM6 modul Centrális projekció SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

116 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

117 Tartalom 6 Centrális projekció 1 61 Bevezet Alapismeretek alapszerkesztek: 1 62 Centrális projekció FELADATOK Térelemek ábrázolása Helyzetgeometriai feladatok A sík leforgatása nélkül megoldható metrikus feladatok Térelemek képsíkszögével kapcsolatos feladatok Merőleges térelemekkel kapcsolatos feladatok Sík képsíkba forgatása Metrikus feladatok Perspektíva A képsíkrendezők törvényeinek alkalmazása Önellenőrző feladatok 8 63 Centrális projekció MEGOLDÁSOK Térelemek ábrázolása (Megoldások) Helyzetgeometriai feladatok (Megoldások) A sík leforgatása nélkül megoldható metrikus feladatok (Megoldások) Térelemek képsíkszögével kapcsolatos feladatok (Megoldások) Merőleges térelemekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) Sík képsíkba forgatása (Megoldások) Metrikus feladatok (Megoldások) Perspektíva (Megoldások) A képsíkrendezők törvényeinek alkalmazása (Megoldások) 27

118

119 6 fejezet - Centrális projekció 61 Bevezet A feladatgyűjteményben szereplő szerkeszti feladatok lényegében két csoportba sorolhatók egyik csoport az alapszerkesztek (illetve egyszerűbb feladatok) a másik az összetettebb feladatok csoportja Az egyszerű feladatok megoldását nem közöljük ilyenkor utalunk a jegyzet használatára Önellenőrz céljából a feladatgyűjtemény végén olyan vegyes feladatok találhatók melyeket 2-3 alapszerkeszti lépsel meg tudunk oldani Egy-egy ilyen feladat sikeres megoldása (jó felkzültség esetén) 5-10 percet vesz igénybe A nehezebb feladatok rajzi megoldása (ábra) helyett olyan megoldási terveket ismertetünk amelyek lépei egy-egy úgynevezett alapszerkeszt ismeretét igénylik Ezek az alapszerkesztek a Geometria II jegyzetben megtalálhatóak Az alapszerkesztek ismerete nélkül a feladatok megoldása elképzelhetetlen Bár a feladat szövege erre külön nem tér ki minden szerkeszt után állapítsuk meg a láthatóságot 611 Alapismeretek alapszerkesztek: 1 Térelemek ábrázolása 2 Illeszkedő térelemek ábrázolása 3 Metsző térelemek ábrázolása 4 Párhuzamos térelemek ábrázolása 5 Merőleges térelemek ábrázolása 6 A sík speciális egyenesei 7 A centrális kollineáció fogalma megadása megfelelő elempár szerkeszte 8 A sík képsíkba forgatása 9 Az egyenes képsíkszögének meghatározása 10Dőlkúp fogalma alkalmazása 11Osztópont szerkeszte felhasználása 12A képsíkrendezők törvényei a képsíktól adott távolságra lévő pont ábrázolása 13Sztereoszkópikus képpárok fogalma 62 Centrális projekció FELADATOK 621 Térelemek ábrázolása 1 Ábrázoljunk egy képsíkra merőleges egyenest! 2 Ábrázoljunk egy centrális vetítősugarat! 3 Ábrázoljunk egy képsíkkal párhuzamos egyenest! 4 Ábrázoljunk egy képsíkra illeszkedő egyenest! 5 Adott egy e egyenes Ábrázoljuk a következő pontjait: a) Az A pont legyen a képsík mögött b) A B pont legyen a képsík az eltűni sík között c) A C pont legyen az eltűni síkon d) A D pont legyen az eltűni sík mögött 6 Ábrázoljunk egy képsíkra merőleges síkot!

120 Geometriai példatár Ábrázoljunk egy centrális vetítősíkot! 8 Ábrázoljunk egy képsíkkal párhuzamos síkot! 9 Ábrázoljunk egy képsíkra illeszkedő ABC háromszöget! 622 Helyzetgeometriai feladatok 1 Ábrázoljunk egy adott centrális vetítősíkban egy általános helyzetű egyenest! 2 Adott egy képsíkra merőleges M sík Ábrázoljunk e síkban: a) egy képsíkra merőleges e egyenest b) egy általános helyzetű f egyenest c) egy képsíkkal párhuzamos g egyenest! 3 Adott egy S sík Ábrázoljuk e sík következő pontjait: a) az A pont a képsík mögött (azaz a képsík által határolt a vetít centrumát nem tartalmazó féltérben) van b) a B pont a képsíkon van c) a C pont a képsík az eltűni sík között van d) a D pont az eltűni síkon van e) az E pont az eltűni sík mögött (azaz az eltűni sík által határolt a képsíkot nem tartalmazó féltérben) van f) az F pont a végtelenben van! 4 Adott egy P pont Ábrázoljuk az adott P pontra illeszkedő egyenest amelyik: a) merőleges a képsíkra b) párhuzamos a képsíkkal c) vetítősugár d) általános helyzetű! 5 Adott egy P pont Ábrázoljunk egy olyan P pontra illeszkedő síkot amelyik: a) merőleges a képsíkra b) párhuzamos a képsíkkal c) centrális vetítősík d) általános helyzetű! 6 Adott egy e egyenes Ábrázoljuk azt az f egyenest amelyik az adott egyenest az eltűni pontjában metszi! 7 Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan ABC háromszöget amelyiknek az: - A csúcsa a képsík mögött - B csúcsa a képsík az eltűni sík között - C csúcsa az eltűni sík mögött van! 8 Adott egy e egyenes egy P pont Ábrázoljuk az adott egyenessel párhuzamos adott P pontra illeszkedő: a) f egyenest b) S síkot! 9 Adott egy S sík egy P pont Ábrázoljuk az adott síkkal párhuzamos adott P pontra illeszkedő: a) f egyenest b) R síkot! 10Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan ABC háromszöget amelyiknek az: - A csúcsa a képsík mögött - B csúcsa a képsíkon - C csúcsa az eltűni síkon van! 11Adott síkban ábrázoljunk egy paralelogrammát! 12 Adott síkban ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát amelyiknek az egyik oldalpárja párhuzamos a képsíkkal! 13Adott síknak ábrázoljuk azt a két fővonalát amelyek közül az e a képsík mögött az f a képsík az eltűni sík között helyezkedik el! 14Adott egy általános helyzetű S sík egy alábbiak szerint leírt R sík Szerkesszük meg a két sík metszvonalát ha az R sík: a) képsíkra merőleges b) képsíkkal párhuzamos (Megj: a képsíkrendezők törvényének ismerete után próbáljuk megoldani!) c) centrális vetítősík d) általános helyzetű! 15Adott két párhuzamos nyomvonalú de nem párhuzamos elhelyezkedű sík A B Szerkesszük meg a két sík metszvonalát! 16Adott egy A sík egy B sík nyomvonala úgy hogy a két sík nyomvonala párhuzamos egymással továbbá a két sík m metszvonalának képe (ahol m n A miért?) Határozzuk meg a B sík irányvonalát úgy hogy a két sík metszvonala az adott m egyenes legyen! 17Adott egy A sík egy B sík nyomvonala úgy hogy az párhuzamos legyen az A sík nyomvonalával Határozzuk meg a B sík irányvonalát úgy hogy a két sík metszvonala illeszkedjen az eltűni síkra! 18Adott egy A sík egy e alábbiak szerint leírt egyenes Szerkesszük meg a döfpontot ha az e egyenes: a) merőleges a képsíkra b) párhuzamos a képsíkkal c) vetítősugár d) általános helyzetű! GEM6-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

121 Centrális projekció 19Adott egy alábbi helyzetű S sík egy e egyenes Szerkesszük meg a döfpontot ha az S sík: a) képsíkra merőleges b) képsíkkal párhuzamos (Megj: a képsíkrendezők törvényének felhasználásával) c) vetítősík d) általános helyzetű! 20Adott egy V vetítősík egy e egyenes Szerkesszük meg a döfpontot ha az e egyenes: a) képsíkra merőleges b) képsíkkal párhuzamos c) általános helyzetű! 21Adott két pont Határozzuk meg a két pont összekötő egyenesének nyom- iránypontját abban az esetben amikor a két tartóegyenes: a) metsző b) párhuzamos c) kitérő! 22Adott egy A sík egy e egyenes egy A pont Ábrázoljuk azt a paralelogrammát amelyiknek egyik csúcsa az A pont egyik oldala az adott egyenesnek szakasza egy másik oldala az adott síkra illeszkedik! 23Adott egy S sík egy e egyenes egy A pont Ábrázoljuk azt a paralelogrammát amelyiknek egyik csúcsa az A pont egyik átlója az adott egyenesnek szakasza egyik oldala az S síkra illeszkedik! 24Adott három pont Ábrázoljuk a három pont közös síkjának nyomvonalát irányvonalát! 25 Adott az e f kitérő egyenespár egy P pont Ábrázoljuk az egyenesek P pontra illeszkedő transzverzálisát! 26Adott két sík (A B) egy P pont Ábrázoljuk azt a P pontra illeszkedő e egyenest amelyik mind a két adott síkkal párhuzamos! 27Adott három sík Ábrázoljunk egy olyan pontot amelyik mind a három síkra illeszkedik! 28Adott két kitérő egyenes (e f) Illesszünk az e egyenesre egy olyan S síkot amelyik párhuzamos az f egyenessel! 29Adott két kitérő egyenes (e f) egy P pont Ábrázoljuk azt az S síkot amelyik illeszkedik a P pontra párhuzamos mind a két adott egyenessel! 30Adott egy S sík egy e egyenes egy P pont Ábrázoljuk azt az f egyenest amelyik illeszkedik a P pontra metszi az e egyenest párhuzamos az S síkkal! 31 Adott az e f g páronként kitérő helyzetű három egyenes Ábrázoljunk egy olyan t egyenest (transzverzálist) amelyik mind a három adott egyenest metszi! 623 A sík leforgatása nélkül megoldható metrikus feladatok 1 Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan téglalapot amelyiknek egyik oldalpárja párhuzamos a képsíkkal (az S sík képsíkba forgatása nélkül)! 2 Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan téglalapot amelyiknek 3 cm-es oldalai párhuzamosak a képsíkkal a másik két oldalának hossza 2 cm (az S sík képsíkba forgatása nélkül)! 3 Adott egy S sík annak két fővonala e f Ábrázoljunk egy olyan négyzetet amelyiknek két-két csúcsa egy-egy adott egyenesre illeszkedik (az S sík képsíkba forgatása nélkül)! 4 Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan derékszögű háromszöget amelyiknek 3 cm-es befogója a képsíkkal párhuzamos átfogója 5 cm (az S sík képsíkba forgatása nélkül)! 5 Adott két pont A B Ábrázoljuk azt a P R pontot amelyek az AB szakaszt három egyenlő rzre osztják! 6 Adott két pont A B Ábrázoljuk azt a P pontot amelyik az AB szakaszt 2:3 arányban osztja (AP:PB=2:3)! 7 Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan szimmetrikus trapézt amelyiknek 3 illetve 6 cm-es alapjai a síknak fővonalai magassága pedig 4 cm (az S sík képsíkba forgatása nélkül)! 8 Kitérő tartóegyeneseikkel adott két pont Határozzuk meg a két pont közös egyenesének a képsíkszögét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-3

122 Geometriai példatár Térelemek képsíkszögével kapcsolatos feladatok 1 Adott két sík Szerkesszük meg a két sík metszvonalát! Határozzuk meg a metszvonalnak az adott két síknak a képsíkszögét! Melyik szög lesz a legkisebb miért? 2 Adott egy e egyenes egy P pont egy t tartóegyenessel Határozzuk meg a két térelem közös síkjának képsíkszögét abban az esetben amikor: a) t e metsző b) t e párhuzamos c) t e kitérő! 3 Három pontjával adott síknak ahol a tartóegyenesek páronként kitérőek határozzuk meg a képsíkszögét! 4 Adott egy képsíkra merőleges sík annak egy P pontja Ábrázoljuk a síknak a P pontjára illeszkedő 30 o - os képsíkszögű egyeneseit! 5 Adott egy centrális vetítősík annak egy P pontja Ábrázoljuk a síknak a P pontjára illeszkedő adott α képsíkszögű egyeneseit! 6 Adott egy S sík annak egy P pontja Ábrázoljuk a sík P pontjára illeszkedő 45 o -os képsíkszögű egyeneseit! 7 Adott S síkban ábrázoljunk egy olyan trapézt amelyiknek 3 illetve 5 cm-es alapjai párhuzamosak a képsíkkal az egyik szárnak 30 o -os a másiknak 45 o -os a képsíkszöge! 8 Adott síkban ábrázoljunk egy olyan trapézt amelyiknek 5 cm-es alapja párhuzamos a képsíkkal magassága 3 cm szárai 30 o illetve 45 o -os képsíkszögűek! 9 Adott síkban ábrázoljunk egy olyan paralelogrammát amelyiknek 4 cm-es oldalai párhuzamosak a képsíkkal a másik oldalpárja 30 o -os képsíkszögű magassága pedig 3 cm! 10 Adott síkban ábrázoljunk egy olyan háromszöget amelyiknek 5 cm-es alapja párhuzamos a képsíkkal a másik oldala 30 o -os képsíkszögű ennek az oldalnak a hossza 4 cm! 11Adott centrális vetítősugárra illesszünk egy 60 o -os képsíkszögű síkot! 12Adott egy sík nyomvonala Vegyük fel az irányvonalát úgy hogy a sík képsíkszöge adott szög legyen! 13Adott egy képsíkkal párhuzamos egyenes Illesszünk erre egy 30 o -os képsíkszögű síkot! 14Adott e egyenesre illesszünk egy 45 o -os képsíkszögű síkot! 15Adott egy e egyenes az erre illeszkedő A B pontok Ábrázoljuk az ABCD rombuszt úgy hogy a C csúcsa a képsíkon legyen a rombusz síkjának képsíkszöge 45 o -os legyen! 16Adott egy tetszőleges helyzetű e egyenes annak két pontja A B Ábrázoljuk azt az ABCD négyzetet amelyiknek a síkja 60 o -os képsíkszögű! 17Adott egy e egyenes Ábrázoljuk azt az f egyenest amely párhuzamos az e egyenessel távolsága az e egyenestől 3 cm a két egyenes közös síkja 45 o -os képsíkszögű! 18Adott egy P pont egy A sík Ábrázoljuk azt az f egyenest amelyik: - illeszkedik a P pontra - párhuzamos az A síkkal - képsíkszöge egy adott szög! 625 Merőleges térelemekkel kapcsolatos feladatok 1 Adott egy A sík egy P pont a képsíkon Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő az A síkra merőleges n egyenest! 2 Adott egy képsíkra merőleges M sík egy P pont Ábrázoljuk a P pontra illeszkedő adott M síkra merőleges n egyenest! 3 Adott egy S sík egy A pont Ábrázoljunk egy olyan ABC háromszöget amelyiknek a síkja merőleges az S síkra B C csúcsai az S síkra illeszkednek! 4 Adott egy S sík egy P pont Ábrázoljuk a P pontnak az S síkra vonatkozó P * tükörképét! GEM6-4 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

123 Centrális projekció 5 Adott egy S sík egy e egyenes Ábrázoljuk az e egyenesnek az S síkra vonatkozó e * tükörképét! 6 Adott egy S sík egy A pont Ábrázoljuk azt az ABC háromszöget amelyik: - szabályos - síkja merőleges az adott síkra - B C csúcsai a síkra illeszkednek! 7 Adott két párhuzamos sík S R Ábrázoljunk egy olyan négyzetet amelyiknek: - a síkja merőleges az adott síkokra - két-két csúcsa egy-egy adott síkra illeszkedik! 8 Adott két párhuzamos sík Ábrázoljunk egy olyan négyzetet amelyiknek: - a síkja merőleges az adott síkokra - két-két csúcsa egy-egy adott síkra illeszkedik - az egyik oldalpárja 30 o -os képsíkszögű! 9 Adott egy t egyenes annak egy S pontja Ábrázoljunk egy olyan szabályos háromszöget amelyiknek: - síkja merőleges az adott t egyenesre - súlypontja az adott S pont - az oldalai 4 cm hosszúak! 10Adott két kitérő egyenes e f egy f egyenesre illeszkedő O pont Ábrázoljuk azt a szabályos hatszöget amelyiknek: - a síkja merőleges az f egyenesre - szimmetriaközéppontja az O pont - az A csúcsa az e egyenesre illeszkedik! 11Adott egy e egyenes egy A pont Ábrázoljuk azt a szabályos hatszöget amelyiknek: - egyik csúcsa az A pont - középpontja az e egyenesre illeszkedik - síkja merőleges az e egyenesre! 626 Sík képsíkba forgatása 1 Adott egy S sík egy arra illeszkedő ABC háromszög Ábrázoljuk a háromszög a) súlypontját b) magasságpontját c) köré írható körének középpontját d) a háromszögbe írható körének középpontját e) az egyik középvonalát! 2 Adott S síkban adott egy K pont Ábrázoljunk egy olyan húrnégyszöget amelyik köré írható 4 cm sugarú körének középpontja az adott K pont! 3 Adott egy S sík annak egy háromszöge Ábrázoljuk a háromszög egyik középvonalát! (Hogyan tudnánk a feladatot a sík leforgatása nélkül megoldani?) 4 Adott két párhuzamos egyenes Ábrázoljunk egy olyan téglalapot amelyiknek két-két csúcsa egy-egy adott egyenesre illeszkedik a téglalap szomszédos oldalainak aránya 1:2! 5 Adott egy A pont egy e egyenes Ábrázoljuk azt az ABC szabályos háromszöget amelyiknek a B C csúcsai az adott egyenesre illeszkednek! 6 Adott egy A pont egy e egyenes Ábrázoljuk azt az ABCD négyzetet amelyiknek a B C csúcsai az adott egyenesre illeszkednek! 7 Adott egy A pont egy e egyenes Ábrázoljuk azt az ABCD négyzetet amelyiknek a BD átlója az adott e egyenesnek szakasza! 8 Adott egy képsíkra merőleges M sík Ábrázoljunk az M síkban egy 3 cm-es oldalélű szabályos háromszöget! 9 Adott egy képsíkra merőleges M sík annak egy O pontja Ábrázoljunk egy olyan érintőnégyszöget amelyikbe írható 2 cm sugarú körének a középpontja az adott O pont! 10Adott két fedőegyenes Ábrázoljuk a két egyenes metszpontját! 11 Adott két párhuzamos fedőegyenes Ábrázoljunk egy olyan négyzetet amelyiknek két-két csúcsa egy-egy adott egyenesre illeszkedik! 12 Adott egy vetítősík arra illeszkedő e egyenes egy A pont Ábrázoljuk az ABC háromszöget amelyiknek a B C csúcsai az adott e egyenesre illeszkednek! 13 Adott egy A pont egy képsíkkal párhuzamos e egyenes Ábrázoljuk azt az ABC szabályos háromszöget amelyiknek a B C csúcsa az adott egyenesre illeszkedik! 14 Adott egy A pont egy képsíkkal párhuzamos e egyenes Ábrázoljuk azt az ABCD négyzetet amelyiknek a B C csúcsa az adott egyenesre illeszkedik! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-5

124 Geometriai példatár Metrikus feladatok 6271 Térelemek hajlásszögével kapcsolatos feladatok 1 Szerkesszük meg két kitérő egyenes hajlásszögének valódi nagyságát abban az esetben amikor az egyik egyenes általános helyzetű a másik pedig a) a képsíkra merőleges b) a képsíkkal párhuzamos c) centrális vetítősugár d) szintén általános helyzetű! 2 Adott egy általános helyzetű sík egy egyenes Szerkesszük meg a két térelem hajlásszögének valódi nagyságát abban az esetben amikor az egyenes: a) a képsíkra merőleges b) a képsíkkal párhuzamos c) centrális vetítősugár d) szintén általános helyzetű! 3 Adott egy képsíkra merőleges sík egy egyenes Szerkesszük meg a két térelem hajlásszögének valódi nagyságát abban az esetben amikor az egyenes: a) a képsíkkal párhuzamos b) centrális vetítősugár c) általános helyzetű! 4 Szerkesszük meg két sík hajlásszögének valódi nagyságát abban az esetben amikor az egyik sík általános helyzetű a másik sík pedig: a) a képsíkra merőleges b) a képsíkkal párhuzamos c) centrális vetítősík d) szintén általános helyzetű! 5 Határozzuk meg két képsíkra merőleges sík hajlásszögének valódi nagyságát! 6 Adott két A B párhuzamos nyomvonalú sík Szerkesszük meg a két sík hajlásszögének valódi nagyságát! 7 Adott egy A sík egy B sík nyomvonala amely párhuzamos az A sík nyomvonalával Határozzuk meg a B sík irányvonalát úgy hogy a két sík hajlásszöge a) 60 o -os legyen b) 45 o -os legyen c) 90 o -os legyen! 8 Adott egy A sík egy P pont Határozzuk meg azt a B síkot amelyik - illeszkedik a P pontra - az A síkkal adott α szöget zár be a két sík nyomvonala párhuzamos! 6272 B) Térelemek távolságával kapcsolatos feladatok 1 Adott egy A pont a képsík mögött egy B pont Határozzuk meg távolságukat abban az esetben amikor a B pont: a) az eltűni sík mögött van b) az eltűni síkon van c) a képsík az eltűni sík között van d) a képsíkon van e) a képsík mögött van! 2 Adott egy e egyenes egy P pont Határozzuk meg távolságukat abban az esetben amikor a P pont: a) az eltűni sík mögött van b) az eltűni síkon van c) a képsík az eltűni sík között van d) a képsíkon van e) a képsík mögött van! 3 Adott egy P pont egy e egyenes Határozzuk meg távolságukat abban az esetben amikor az e egyenes: a) a képsíkra merőleges b) a képsíkkal párhuzamos c) vetítősugár d) általános helyzetű! 4 Adott két párhuzamos egyenes Határozzuk meg távolságukat abban az esetben amikor a két egyenesnek a képsíkhoz viszonyított helyzete: a) merőleges b) párhuzamos c) általános helyzetű! 5 Adott két párhuzamos sík Határozzuk meg távolságukat abban az esetben amikor a két síknak a képsíkhoz viszonyított helyzete: a) merőleges b) párhuzamos c) általános helyzetű! 6 Szerkesszük meg két kitérő egyenes távolságát abban az esetben amikor az egyik egyenes általános helyzetű a másik pedig: a) a képsíkra merőleges b) a képsíkkal párhuzamos c) centrális vetítősugár d) általános helyzetű! 7 Adott egy S sík egy vele párhuzamos e egyenes Szerkesszük meg távolságukat abban az esetben amikor az S sík: a) a képsíkra merőleges b) a képsíkkal párhuzamos c) centrális vetítősík d) általános helyzetű! 8 Adott egy S sík egy P pont Szerkesszük meg távolságukat abban az esetben amikor a P pont: a) a képsík mögött van b) a képsík az eltűni sík között van c) az eltűni sík mögött van! 9 Adott egy S sík egy H síkban levő ABC háromszög (Az S H síkok metszőek) Határozzuk meg a háromszögnek az S síktól való távolságát! GEM6-6 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

125 Centrális projekció 628 Perspektíva 1 Kzítsük el a perspektív képét egy alapsíkon álló 4 cm-es oldalélű kockának! 2 Kzítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló szabályos hatszög alapú oszlopnak amelyiknek az alapéle 3 cm magassága 10 cm! 3 Kzítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló téglatestnek amelyiknek az egy csúcsra illeszkedő három oldala cm! 4 Kzítsük el a perspektív képét annak az 5 cm oldalélű kockának amelyiknek az alaplapja párhuzamos az alapsíkkal az alaplapnak az alapsíktól való távolsága 2 cm! 5 Kzítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló szabályos négyoldalú csonkagúlának amelyiknek méretei: alapnégyzet éle 8 cm a fedő négyzet éle 4 cm magassága 5 cm! 6 Kzítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló szabályos négyoldalú gúlának amelyiknek méretei: alapnégyzet éle 4 cm magassága 8 cm! 7 Kzítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló szabályos tetraédernek amelyiknek minden éle 7 cm! 8 Kzítsük el a perspektív képét annak az alapsíkon álló szabályos háromoldalú gúlának amelyiknek méretei: alapháromszögének éle 5cm magassága 8 cm! 9 Kzítsük el a perspektív képét annak a testcsoportnak amely áll egy alapsíkon álló 4 cm-es oldalélű kockából egy kockán álló 5 cm magas szabályos négyoldalú gúlából (a gúla alaplapja egybeesik a kocka fedőlapjával)! 629 A képsíkrendezők törvényeinek alkalmazása 1 Adott e egyenesnek ábrázoljuk azon P pontját amelyiknek képsíkrendezője: a) -3cm b) 0cm c) 2<d cm d) d cm e) 6>d cm legyen (a d a distanc értékét jelöli)! 2 Adott egy e egyenes képe iránypontja egy egyenesre illeszkedő P pontjának képe Határozzuk meg az egyenes nyompontját úgy hogy a P pont képsíkrendezője: a) -2 cm b) 0 cm c) 3<d cm d) d cm e) 5>d cm legyen (a d a distanc értékét jelöli)! 3 Adott egy e egyenes képe nyompontja egy rá illeszkedő P pont képe Szerkesszük meg az egyenes iránypontját úgy hogy a P pont képsíkrendezője: a) -4 cm b) 0 cm c) 2<d cm d) d cm e) 4>d cm legyen (a d a distanc értékét jelöli)! 4 Adott egy e egyenes az arra illeszkedő A B C különböző térrzekben lévő pontok Határozzuk meg a pontok képsíktól való távolságát (képsíkrendezőjét)! 5 Adott egy A sík annak három (e f g) különböző térrzekben lévő fővonala Határozzuk meg a fővonalak képsíktól való távolságát! 6 Ábrázoljuk egy adott S sík azon fővonalát amelyik: a) a képsík mögött van a képsíktól 4 cm-re b) a képsík előtt van a képsíktól 3 cm-re (d=4 cm) c) az eltűni sík mögött van 5 cm-re a képsíktól (d=4 cm)! 7 Adott két képsíkkal párhuzamos (egymással kitérő helyzetű) egyenes Határozzuk meg a két egyenes távolságát abban az esetben amikor: a) mind a két egyenes a képsík mögött van b) mind a két egyenes a képsík előtt van c) egyik egyenes a képsík mögött a másik a képsík előtt van! 8 Adott egy képsíkkal párhuzamos e egyenes egy képsíkkal párhuzamos f egyenes képe Határozzuk meg az f egyenes tartópontját úgy hogy a két egyenes távolsága 3 cm legyen! 9 Adott egy P pont képsíkon lévő merőleges vetülete (P 1 ) Szerkesszük meg centrális vetületét adjunk meg egy tartóegyenesét abban az esetben amikor a pont képsíkrendezője: a) -3 cm b) 0 cm c) 2<d cm d) d cm e) 5>d cm legyen (a d a distanc értékét jelöli)! 10Adott egy P pont képsíkon lévő merőleges vetülete (P 1 ) perspektív képe (P ) Határozzuk meg képsíkrendezőjét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-7

126 Geometriai példatár Adott egy P pont képsíkon lévő merőleges vetülete (P 1 ) centrális vetülete (P ) A pont képsíkrendezője 3 cm a distanc nagysága 5 cm Szerkesztendő a főpont (C 1 )! 12 Adott egy P pont centrális képe (P ) lépsíkrendezője Szerkesszük meg a képsíkon lévő merőleges vetületét ha képsíkrendezője: a) -4 cm b) 5 cm! 13 A képsíkrendezők második törvényének alkalmazásával ábrázoljunk egy képsíkon álló 4 cm oldalélű kockát! 14 A képsíkrendezők második törvényének felhasználásával ábrázoljuk azt a 3x4x5 cm méretű téglatestet amelyiknek 4x5 cm-es lapja a képsíkra illeszkedik a téglatest: a) a képsík előtt van b) a képsík mögött helyezkedik el! 15 A képsíkrendezők második törvényének alkalmazásával ábrázoljuk azt az adott méretű szabályos négyoldalú gúlát amelyiknek alaplapja 2 cm távolságra van a képsíktól az alapnégyzet éle 4 cm magassága 3 cm! 16 Adott egy képsíkkal párhuzamos S sík egy e egyenes Szerkesszük meg a döfpontot abban az esetben amikor az egyenes: a) képsíkra merőleges b) centrális vetítősugár c) általános helyzetű! 17Adott egy képsíkkal párhuzamos S sík egy A sík Szerkesszük meg a két sík metszvonalát abban az esetben amikor az A sík: a) képsíkra merőleges b) centrális vetítősík c) általános helyzetű! 18 Monge- féle képeivel adott egy első képsíkon álló kocka a vetít C centruma Kzítsük el a perspektív képet abban az esetben amikor: a) a perspektíva K képsíkja azonos a felülnézet K 1 képsíkjával b) a perspektíva K képsíkja azonos az elölnézet K 2 képsíkjával! 19 Monge- féle képeivel adott egy első képsíkon álló szabályos négyoldalú gúla a vetít C centruma Kzítsük el a perspektív képet abban az esetben amikor: a) a perspektíva K képsíkja azonos a felülnézet K 1 képsíkjával b) a perspektíva K képsíkja azonos az elölnézet K 2 képsíkjával! 20 Monge- féle képeivel adott a vetít C centruma egy második képsíkon álló adott méretű szabályos négyoldalú csonkagúla (alapéle 6 cm fedőéle 4 cm magassága 5 cm) A képsíkrendezők második törvényének alkalmazásával kzítsük el a perspektív képet abban az esetben amikor: a) a perspektíva K képsíkja azonos a felülnézet K 1 képsíkjával b) a perspektíva K képsíkja azonos az elölnézet K 2 képsíkjával! 6210 Önellenőrző feladatok Ezeket a feladatokat azért tűztük ki ebben az ábrás formában mert gyakran találkozunk azzal a problémával hogy szerkeszti gyakorlattal még nem rendelkező hallgatók által felvett alapadatok olyan megoldásra vezetnek melynek szerkeszte nem fér ki a lapra A feladatsorból az ábrákat digitálisan kimásolva kb 15-szeres méretre felnagyítva egy A4-es lap közepére kinyomtathatunk olyan feladatokat melyeknek megoldása (helyes szerkeszt esetén) biztosan kifér a papírra Ügyeljünk arra hogy a nyomtatás torzításmentes legyen mert csak így garantálható a fentebb említett gyakorlati probléma elkerüle A feladatok 2-3 alapszerkesztsel megoldhatók ezért megoldásukat nem közöljük 1 Adjon meg egy olyan f egyenest amelyik az adott e egyenest az R pontban metszi! 1 ábra GEM6-8 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

127 Centrális projekció 1 A megadott adatokból szerkesszen az adott az S síkra illeszkedő ABCD paralelogrammát! 2 ábra 1 Adott az S sík egy rá nem illeszkedő C pont Illesszen a C pontra két olyan egyenest amelyek párhuzamosak az adott síkkal! 3 ábra 1 Adott az S síkon egy f egyenes egy C pont (C nem illeszkedik f egyenese) Illesszen a C pontra egy S 2 síkot úgy hogy az párhuzamos legyen az f egyenessel nyomvonala az N 2 nyompontra illeszkedjen! 4 ábra Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-9

128 Geometriai példatár Adjon meg egy olyan f egyenest amelyik az adott e egyenest az R pontban metszi párhuzamos a g egyenessel! 5 ábra 1 Adott az S sík egy rá nem illeszkedő C pont Illesszen a C pontra S-sel párhuzamos S 2 síkot! 6 ábra 1 Adott az ABCD paralelogramma Az alábbi adatokból rekonstruálja a paralelogrammát majd szerkessze meg az ABCD paralelogramma síkjának az S síknak a metszvonalát! 7 ábra 1 Adottak a P R pontok a tartóegyeneseikkel Szerkessze meg a két pontot összekötő egyenest! GEM6-10 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

129 Centrális projekció 8 ábra 1 Adott az alábbi centrális axiális kollineáció Szerkessze meg az ABC háromszög képét! 9 ábra 1 Az alábbi adatokból rekonstruálja az ABC háromszög hiányzó oldalegyenesét majd szerkessze meg a háromszög síkjának az f egyenessel alkotott döfpontját! Jelölje az f egyenes láthatóságát! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-11

130 Geometriai példatár ábra 1 Adott az ABC háromszög AB oldalegyenese valamint a C csúcs Szerkessze meg a BC oldalegyenest! 11 ábra 1 Adott az alábbi centrális axiális kollineáció Szerkessze meg az ABCD paralelogramma képét! GEM6-12 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

131 Centrális projekció 12 ábra 1 Adott az e egyenes rajta P pont Határozza meg azt az S síkot amelyik illeszkedik a P pontra merőleges az e egyenesre! 13 ábra 1 Adott az S síkra illeszkedő ABC háromszög Képsíkba forgatással határozza meg a magasságpontját! 14 ábra 1 Adott az S sík rajta P pont Határozza meg azt az e egyenest amelyik illeszkedik a P pontra merőleges az S síkra! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-13

132 Geometriai példatár ábra 1 Adott az S síkon az AB szakasz Szerkesszen ebben a síkban AB oldalú szabályos háromszöget! Elegendő egy megoldás szerkeszte 1 Határozza meg a két kitérő egyenes távolságát! 16 ábra 17 ábra 1 Szerkesszen az adott AB szakasz egyenesére illeszkedő 30 o -os képsíkszögű síkot (egy megoldás elég) majd határozza meg az AB szakasz valódi hosszát! GEM6-14 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

133 Centrális projekció 1 Határozza meg a P pont az [e;f] sík távolságát! 18 ábra 19 ábra 1 Adott S sík rajta egy P pont Szerkesszen az adott síkban a P pontra illeszkedő 30 o -os képsíkszögű egyenest (elég egy megoldás) majd mérjen fel erre az egyenesre egy 2 cm hosszúságú szakaszt (itt is elég egy megoldás)! 20 ábra Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-15

134 Geometriai példatár Adott az S síkon az e egyenes a P pont (P illeszkedik a síkra de nem illeszkedik az egyenesre) Szerkessze meg a síkon azokat az egyeneseket amelyek illeszkednek a P pontra az e egyenessel 60 o -os szöget zárnak be! 21 ábra 1 Határozza meg az e egyenesre illeszkedő 45 o -os képsíkszögű S 2 sík az adott S sík hajlásszögét! (Elég egy megoldást megszerkeszteni!) 22 ábra 1 Adott az S síkon az e egyenes a P pont (P illeszkedik a síkra de nem illeszkedik az egyenesre) Szerkesszen egy olyan derékszögű háromszöget melynek átfogója az e egyenesen van egyik csúcsa a P hegyesszögei 30 o illetve 60 o -osak! (Elég egy megoldást megszerkeszteni!) GEM6-16 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

135 Centrális projekció 23 ábra 1 Adott az S az U sík valamint az U síkban egy P pont Vegyen fel az U síkban egy olyan egyenest mely 30 o -os képsíkszögű áthalad a P ponton Határozza meg az így kapott egyenesnek az adott S síkkal bezárt szögét! (Elég egy megoldást megszerkeszteni!) 24 ábra 63 Centrális projekció MEGOLDÁSOK 631 Térelemek ábrázolása (Megoldások) Az ebben a rzben kitűzött feladatok alapszerkesztek melyeket a jegyzet tartalmaz Gyakorlás a szerkeszti rutin megszerze céljából fontos hogy ezeket a feladatokat nagy biztonsággal tudjuk megoldani 632 Helyzetgeometriai feladatok (Megoldások) 1 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 2 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 3 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 4 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 5 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 6 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 7 A három síkbeli pont felvétele nem lehet gond (alapfeladat) a háromszög képének megrajzolása viszont már nem olyan egyszerű mint minden más ábrázolási eljárás esetén láttuk A képet vizsgálva megállapíthatjuk hogy az A C B C szakaszok metszik a sík irányvonalát ezért ezen képi metszpontokhoz a valóságban végtelen távoli pontok tartoznának ami lehetetlen hiszen a háromszög oldalai véges szakaszok Ha a térben vizsgálódunk megállapíthatjuk hogy a térbeli AC BC szakaszok metszik az eltűni síkot egy R illetve S pontban Ezen pontok képe a végtelenbe kerül Tehát az ABC térbeli háromszöget az eltűni sík egy nem látható RSC háromszögre egy látható RSBA négyszögre bontja Az előbb említett (végtelenbe nyúló) képi idomok között helyezkedik el az A B C véges háromszög amely nem tartozik a térbeli ABC háromszög képéhez Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-17

136 Geometriai példatár ábra 1 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 2 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 3 A 7 feladat megoldásánál ismertetett okok miatt a háromszög képének nem lehet pontja a sík irányvonalán GEM6-18 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

137 Centrális projekció 26 ábra 1 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 2 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 3 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 4 A b) rz megoldását közöljük: Az R sík egy pontjának meghatározzuk a képsíkrendezőjét amely azonos a képsíktól való távolságával A metszvonal az S síknak egy olyan fővonala lesz amelynek a képsíktól való távolsága megegyezik az R síknak a képsíktól való távolságával 5 A párhuzamos nyomvonalú síkok metszvonala a két síknak egy közös fővonala lesz A metszvonal egy pontját úgy nyerjük hogy egy tetszőleges S síkkal elmetsszük az adott A B síkot A kapott a b metszvonalak M metszpontja mind a két adott síknak eleme ezért a keresett metszvonalnak ( ami fővonal) egy pontja lesz 6 Előbb oldjuk meg az előbbi (15) feladatot! 7 Az A sík nyomvonalának az irányvonalától való távolsága megegyezik a B sík nyomvonalának az irányvonalától való távolságával A két nyomvonal ( ezért a két irányvonal) nem lehet egymás mellett A metszvonal bár létezik - a képe eltűnik! 8 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 9 A b) rz megoldását közöljük: Előbb meghatározzuk az S síknak a képsíktól való távolságát Ez megegyezik valamely pontjának a képsíkrendezőjével Meghatározzuk az e egyenesnek azt a D pontját amelynek a képsíkrendezője azonos az előbb nyert értékkel (Az így nyert D pont lesz a döfpont) 10Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 11Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 12 Szerkeszti lépek: a) Felvesszük az A pontra illeszkedő e egyenessel párhuzamos f egyenest b) Meghatározzuk az f egyenesnek az A síkkal alkotott D döfpontját amely a paralelogramma D csúcsa lesz Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-19

138 Geometriai példatár c) Megszerkesztjük az e egyenesnek az A síkkal alkotott C döfpontját (C csúcsa lesz a paralelogrammának) d) Felvesszük az A pontra illeszkedő AC egyenessel párhuzamos g egyenest Ez kimetszi az e egyenesből a hiányzó B csúcsot 13A megoldás lépei: a) Meghatározzuk a P=[Ae] sík nyomvonalát irányvonalát b) Megszerkesztjük az A P síkok m metszvonalát c) Felvesszük az A pontra illeszkedő m egyenessel párhuzamos f egyenest d) Kijelöljük a paralelogramma B csúcsát az f e egyenesek metszpontjában e) A D csúcsot az e m egyenesek metszpontjában nyerjük f) Felvesszük a B csúcsra illeszkedő AD egyenessel párhuzamos g egyenest g) Kijelöljük a hiányzó C csúcsot a g m egyenesek metszpontjában 14 Megoldási lépek: a) Előbb az A B pontok összekötő e egyenesének meghatározzuk a nyompontját iránypontját b) Meghatározzuk a C pontra illeszkedő AB egyenessel párhuzamos f egyenes nevezetes pontjait c) Az [ef] sík lesz a három pont közös síkja 15 Szerkeszti lépek: a) Megszerkesztjük a [Pe] sík nevezetes vonalait b) Meghatározzuk az f egyenesnek a [Pe] síkkal alkotott F metszpontját c) A PF egyenes metszi az e egyenest mert mindkettő illeszkedik a [Pe] síkra d) A PF egyenesnek ábrázoljuk a nevezetes pontjait Ez az egyenes a keresett transzverzális 16 A megoldás lépei: a) Meghatározzuk az adott síkok m metszvonalát b) Felvesszük a P pontra illeszkedő m egyenessel párhuzamos e egyenest 17 Megoldási lépek: a) Megszerkesztjük bármely két síknak az m metszvonalát b) Meghatározzuk az m egyenesnek a harmadik síkkal alkotott M metszpontját amely a megoldás lesz 18 Szerkeszti lépek: a) Mivel az f egyenes párhuzamos a keresett E síkkal ezért az E sík irányvonala átmegy a Q f irányponton Tehát az E sík irányvonala e két egyenes iránypontját összekötő egyenes lesz b) Az E sík nyomvonalát az e egyenes nyompontjára illeszkedő az előbb nyert irányvonallal párhuzamosan vesszük fel 19A megoldás lépei: a) A keresett S sík párhuzamos lesz azzal a két párhuzamos síkkal amelyek az adott egyenesekre illeszthetők (a kitérő egyenesek láthatóságát ezek segítségével állapítjuk meg) Az S sík irányvonala ezért a két egyenes iránypontját összekötő egyenes lesz b) Megadjuk az S sík nyomvonalát figyelembe véve hogy a sík tartalmazza a P pontot 20 Megoldási lépek: a) Felvesszük a P pontra illeszkedő S síkkal párhuzamos R síkot b) Megszerkesztjük az e egyenesnek az R síkkal alkotott M metszpontját c) Meghatározzuk a PM=f egyenes nevezetes pontjait 21 Szerkeszti lépek: a) Az egyik egyenesen legyen ez a g egyenes tetszőlegesen felveszünk egy P pontot b) Megszerkesztjük a [Pe] [Pf] síkok nyomvonalát irányvonalát c) Meghatározzuk az előbbi síkok metszvonalát amely a keresett t egyenes lesz Megjegyz: Mivel a P pontot a g egyenesen tetszőlegesen vettük fel ezért a feladatnak végtelen sok megoldása van 633 A sík leforgatása nélkül megoldható metrikus feladatok (Megoldások) 1 Szerkeszti lépek: a) Felvesszük az S síknak két fővonalát az egyiken tetszőlegesen kijelöljük a téglalap A B csúcspontját b) Megszerkesztjük az S sík esvonalainak közös iránypontját c) Felvesszük a sík A B pontjaira illeszkedő esvonalait amelyek a másik fővonalból kimetszik a téglalap C D csúcsait 2 Lásd az előbbi feladatot A képsíkkal párhuzamos oldalak hosszát a Geometria II jegyzet 51 ábrája alapján az esvonalakra illeszkedő 2 cm-es oldalak hosszát osztópont segítségével ábrázoljuk 3 A megoldás lépei: a) Felvesszük az S síknak egy tetszőleges h esvonalát b) A h esvonal az e f fővonalakból kimetszi a négyzet A B csúcsát c) Osztóponttal meghatározzuk az A B pontok távolságát amely az adott két fővonal távolsága egyben a keresett négyzet oldalának valódi nagysága d) Az előbbi távolságot (a Geometria II jegyzet 51 ábrája alapján) a fővonalakra felrakva nyerjük a négyzet C D csúcsait 4 Megoldási lépek: a) Az S síknak egy tetszőleges fővonalára 3 cm-t felrakva nyerjük a háromszög C B csúcsait b) Ábrázoljuk a sík C pontjára illeszkedő e esvonalát c) Az esvonalra a C pontból osztóponttal felrakjuk az A csúcsot úgy hogy a valóságban a CA szakasz hossza 4 cm legyen GEM6-20 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

139 Centrális projekció 5 Szerkeszt: a) Meghatározzuk a két pont közös egyenesét b) Megszerkesztjük osztóponttal az AB szakasz valódi nagyságát c) Az előbb nyert valódi nagyságot a P 0 R 0 pontokkal három egyenlő rzre osztjuk d) Az osztópontból a P 0 R 0 pontokat a képre vetítve nyerjük az említett pontok képeit 6 Az első két lép megegyezik az előbbi feladat a) b) pontjában közöltekkel c) Az AB szakasz valódi nagyságát 5 egyenlő rzre osztjuk majd itt P 0 -laljelöljük azt a pontot amelyre A 0 P 0 :P 0 B 0 =2:3 arány teljesül d) Megegyezik az előbbi feladat d) pontjával 7 Megoldási lépek: a) Előbb a 2 feladatban ismertetett módon az S síkban ábrázolunk egy olyan TRDC téglalapot amelyiknek TR=DC oldalai 3 cm-esek párhuzamosak a képsíkkal A TC=RD oldalai pedig 4 cmesek b) A TR pontokon áthaladó fővonalra (a téglalapon kívül) cm-t felrakva kapjuk a szimmetrikus trapéz A B csúcsait 8 A két pont közös egyenesének meghatározása (alapszerkeszt) majd a képsíkszög meghatározása (szintén alapszerkeszt) szükséges 634 Térelemek képsíkszögével kapcsolatos feladatok (Megoldások) 1 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 2 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 3 Alapszerkesztek egyszerű alkalmazása 4 A feladat a dőlkúp alkalmazásával oldható meg 5 A feladat a dőlkúp alkalmazásával oldható meg 6 A feladat a dőlkúp alkalmazásával oldható meg 7 Megoldási lépek: a) Az S sík tetszőleges fővonalára felrakunk egy 5 cm-es szakaszt Így nyerjük a trapéz alapjának A B csúcsait b) Dőlkúpok alkalmazásával felvesszük a sík A illetve B pontjára illeszkedő 30 o illetve 45 o -os képsíkszögű egyeneseit c) Az S síkot képsíkba forgatjuk (az előbb említett elemeivel) forgatottban megoldjuk a feladatot (megszerkesztjük a trapézt) majd a kapott eredményt (C D csúcsokat) visszaforgatjuk 8 Az előbbi feladat a) b) c) pontjaiban ismertetett szerkeszti lépek itt is eredményesen alkalmazhatóak A c) pontban leírt forgatást itt mellőzhetjük Ebben az esetben egy tetszőleges esvonalra osztóponttal felrakjuk a magasságot majd az ilyen távolságra lévő fővonalat felvéve a b) pontban nyert szárak egyeneséből metszpontként nyerjük a trapéz C D csúcsait 9 Lásd az előbbi két feladatot 10Szerkeszt: a) Az adott sík egy tetszőleges fővonalára felrakjuk az 5 cm-t Így nyerjük az alap A B csúcsait b) Dőlkúp felhasználásával ábrázoljuk a sík A pontjára illeszkedő 30 o -os képsíkszögű f egyenesét c) Az előbb nyert f egyenesre osztópont segítségével felrakjuk a 4 cm-t Így nyerjük a háromszög hiányzó C csúcsát 11A feladat a dőlkúp alkalmazásával oldható meg 12A feladat a dőlkúp alkalmazásával oldható meg 13A feladat a dőlkúp alkalmazásával oldható meg 14A feladat a dőlkúp alkalmazásával oldható meg 15A megoldás lépei: a) Az e egyenesre illesztünk egy 45 o -os képsíkszögű R síkot b) Az R síkot képsíkba forgatjuk Az adott két pont forgatottja megadja a rombusz oldalainak valódi nagyságát (d AB ) c) A forgatott- Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-21

140 Geometriai példatár ban felvesszük a rombuszt úgy hogy a C csúcs az R sík nyomvonalára illeszkedjen d) A kapott eredményt visszaforgatjuk 16Szerkeszti lépek: a) Az e egyenesre illesztünk egy 60 o -os képsíkszögű N síkot b) Az N síkot képsíkba forgatjuk c) Forgatottban felvesszük a négyzetet d) Az előbbi négyzetet visszaforgatjuk 17Lásd az előbbi feladatot 18 Lépek: a) Megadjuk az képsíkszögű egyenesek iránypontjainak mértani helyét (dőlkúp) b) Mivel f párhuzamos az A síkkal ezért az f egyenes iránypontja illeszkedik az A sík irányvonalára (végtelen sok megoldás!) c) Az f egyenes nyompontjának meghatározásakor biztosítani kell hogy a P ponton átmenjen az f egyenes 635 Merőleges térelemekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) 1 A P pont az n egyenes nyompontja lesz 2 Az n egyenes párhuzamos lesz a képsíkkal ezért iránypontja ( egyben nyompontja) az M sík irányvonalára merőleges egyenes végtelen távoli pontja 3 A megoldás lépei: a) Felvesszük az A pontra illeszkedő S síkra merőleges n egyenest Ez lesz a háromszög A csúcsára illeszkedő magasságvonalának egyenese b) Meghatározzuk az n egyenesnek az S síkkal alkotott T döfpontját Ez lesz az előbbi magasságvonal talppontja c) Felveszünk az S síkban egy T pontra illeszkedő a egyenest (végtelen sok megoldás) d) Az a egyenesen tetszőlegesen kijelöljük a B C csúcsait 4 Szerkeszti lépek: a) A P pontból az S síkra merőleges n egyenest állítunk b) Meghatározzuk az n egyenesnek az S síkkal alkotott D döfpontját c) Az n egyenesre a D pontból felmérjük osztóponttal a PD távolságot Így nyerjük a P pont P * tükörképét 5 A megoldás lépei: a) Az e egyenesnek felvesszük egy tetszőleges P pontját majd ezt az előbbi feladatban leírtak szerint tükrözzük az S síkra A tükörkép legyen P * b) Meghatározzuk az e egyenesnek az S síkkal alkotott M metszpontját Ennek tükörképe önmaga azaz M=M * c) Az egyenes tükörképe e * =P * M * egyenes lesz 6 Megoldási lépek: a) Felvesszük az A pontra illeszkedő S síkra merőleges n egyenest b) Meghatározzuk az n egyenesnek az S síkkal alkotott T metszpontját c) Osztóponttal meghatározzuk az A T pontok távolságát Ez lesz a keresett szabályos háromszög magassága d) A magasság ismeretében (külön ábrán) megszerkesztjük a háromszög oldalának valódi nagyságát (esetleg számítással is meghatározhatjuk: ) e) Az S síkban felveszünk egy T pontra illeszkedő a egyenest f) Az a egyenesre (osztóponttal) a T pontból mind a két irányba felmérjük a háromszög oldalának a felét Így nyerjük a hiányzó B C csúcsokat 7 A szerkeszt lépei: a) Az S sík tetszőleges A pontjából merőlegest állítunk a síkokra majd ennek megszerkesztjük az R síkkal alkotott D döfpontját b) Osztóponttal meghatározzuk az AD távolságot Ez lesz a négyzet oldala c) Felvesszük az S sík A pontjára illeszkedő e az R sík D pontjára illeszkedő f egyenesét úgy hogy ezek párhuzamosak legyenek d) Az e f egyenesre (osztóponttal) az A illetve a D pontból felmérjük a b) pontban megszerkesztett távolságot Így nyerjük a négyzet hiányzó B illetve C csúcsait 8 Ez a feladat az előbbi feladatnak eggyel több feltételt előíró változata Ezért a megoldás a) b) d) lépei megegyeznek az ott leírtakkal A c) lép annyiban módosul hogy a párhuzamos egyenesek közös iránypontját nem tetszőlegesen jelöljük ki a síkok közös irányvonalán hanem dőlkúp alkalmazásával biztosítjuk a 30 o - os képsíkszöget 9 Megoldási lépek: a) Felveszünk egy olyan H síkot amely illeszkedik az S pontra merőleges az adott t egyenesre b) A H síkot képsíkba forgatjuk Forgatottban felvesszük a 4 cm-es oldalélű szabályos háromszöget úgy hogy súlypontja az (S) legyen majd ezt visszaforgatjuk GEM6-22 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

141 Centrális projekció 10 Szerkeszt: a) Felveszünk egy O pontra illeszkedő f egyenesre merőleges H síkot b) Meghatározzuk az e egyenesnek a H hatszög síkjával alkotott A metszpontját Ez lesz a hatszög egyik csúcsa c) A H síkot képsíkba forgatjuk (Az O A pontokat szintén) Forgatottban felvesszük a hatszög hiányzó csúcsait majd a kapott eredményt visszaforgatjuk 11 A megoldás lépei: a) Felveszünk egy A pontra illeszkedő e egyenesre merőleges H síkot b) Megszerkesztjük az e egyenesnek a H síkkal alkotott O metszpontját Ez lesz a hatszög középpontja c) A H síkot képsíkba forgatjuk (Az O A pontokat szintén) Forgatottban felvesszük a hatszög hiányzó csúcsait majd a kapott eredményt visszaforgatjuk 636 Sík képsíkba forgatása (Megoldások) 1 A feladatban szereplő síkot képsíkba kell forgatni A forgatottban megoldjuk a kitűzött szerkesztt majd a kapott eredményt visszaforgatjuk 2 Lásd az előbbi feladatot 3 Lásd az első feladatot 4 Lásd az első feladatot 5 Megoldási lépek: a) Meghatározzuk az [Ae] sík nyomvonalát irányvonalát úgy hogy előbb leváltjuk az A pont tartóegyenesét egy olyan f egyenessel amely párhuzamos az e-vel A párhuzamos egyenesek nyompontjait összekötve kapjuk a közös sík nyomvonalátstb b) Az előbb meghatározott közös síkot képsíkba forgatjuk c) Forgatottban megoldjuk a feladatot majd visszaforgatjuk 6 Lásd az előző feladat megoldását 7 Lásd az 5 feladat megoldását 8 Ez a feladat csak annyiban különbözik az előbbiektől hogy itt a forgatáshoz szükséges centrális kollineáció C 0 centruma rá kell hogy essen a distanc körre! (Mivel a C 0 a térbeli centrum q irányvonal körüli képsíkba forgatottja!) 9 Lásd az előző feladat megoldását 10 Ez a feladat vetítősík képsíkba forgatásával oldható meg Ez abban különbözik az előbbiektől hogy a forgatásnál használatos centrális kollineációnak itt azon speciális esete áll fenn amikor a centrális kollineáció tengelye ellentengelye egybeesik A szerkeszt menete a 11 feladat megoldását tartalmazó következő ábrából leolvasható: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-23

142 Geometriai példatár Lásd a 10 feladat megoldásának elvét (27 ábra) 2 Lásd az előző feladatok megoldásának elvét 27 ábra 3 Legyen E az adott e képsíkkal párhuzamos egyenes tartópontja A szerkeszt menete a következő: a) Megszerkesztjük az A E pontok közös f egyenesének N f nyompontját Q f iránypontját b) Az [Ae] sík nyomvonala illeszkedik az N f pontra irányvonala pedig a Q f iránypontra továbbá az [Ae] sík nyomvonala irányvonala párhuzamos az adott e egyenes képével mivel az e egyenes (lévén képsíkkal párhuzamos) fővonala az [Ae] síknak c) Leforgatjuk az [Ae] síkot a képsíkba forgatottban megoldjuk a feladatot majd visszaforgatjuk 4 A feladat megoldásának lépei megegyeznek az előbbi feladatnál közöltekkel 637 Metrikus feladatok (Megoldások) 6371 A) Térelemek hajlásszögével kapcsolatos feladatok (Megoldások) 1 A feladat megoldása lényegében a 9 alapszerkeszt alkalmazásával megoldható 2 A feladat megoldása a 9 alapszerkeszten alapul 3 Lásd az előbbi két feladat megoldását 4 Lásd az 1 feladat megoldását 5 A keresett szög azonos a nyomvonalak által bezárt szöggel 6 Szerkeszti lépek: a) Felveszünk egy mind a két síkra merőleges V centrális vezérsíkot b) Meghatározzuk a vezérsíknak az adott síkokkal alkotott metszvonalait A vezérsík az A síkból egy a a B síkból egy b GEM6-24 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

143 Centrális projekció esvonalat metsz ki c) A vezérsík képsíkba forgatásával meghatározzuk a két esvonal által bezárt szöget (C 0 = ) amely azonos a két sík hajlásszögével (lásd a következő ábrát) 28 ábra 1 A feladat megoldása az előbbi szerkeszt (28 ábra) alapján a következő: a) Felveszünk egy olyan V centrális vezérsíkot amely merőleges az A síkra b) Meghatározzuk a V síknak az A síkkal alkotott metszvonalának Q a iránypontját c) A V vezérsíkot képsíkba forgatjuk d) Az előbbi ábrán -val jelölt szög helyébe az adott (60 o 45 o 30 o ) szöget másoljuk a C 0 pontban e) Az előbbi szög szára a vezérsík irányvonalából kimetszi a Q b iránypontot f) A Q b pontból a q V irányvonalra merőlegesen felvesszük a keresett B sík irányvonalát 2 Mielőtt e feladat megoldásába kezdünk oldjuk meg az előbbi két feladatot A megoldás lépei az előbbi feladatok illetve ábra alapján a következők: a) Felveszünk egy olyan V centrális vezérsíkot amely merőleges az A síkra b) Meghatározzuk a V síknak az A síkkal alkotott metszvonalának Q a iránypontját c) A V vezérsíkot képsíkba forgatjuk d) Az előbbi ábrán -val jelölt szög helyébe az ezen feladatban megadott szöget másoljuk a C 0 pontban e) Az előbbi szög szára a vezérsík irányvonalából kimetszi a Q b iránypontot f) A Q b pontból a q V irányvonalra merőlegesen felvesszük a B sík irányvonalát a q B egyenest g) A P pont tartóegyenesét leváltjuk egy olyan g egyenessel amelyiknek az iránypontja az előbb nyert q B irányvonalon van h) A g egyenes N a nyompontján át a q B irányvonallal párhuzamosan felvesszük a keresett B sík n B nyomvonalát 6372 B) Térelemek távolságával kapcsolatos feladatok 1 Először határozzuk meg a két pont közös egyenesét majd egy ehhez tartozó osztóponttal szerkesszük meg a két pont távolságát 2 Előbb határozzuk meg a [Pe] sík nyomvonalát irányvonalát majd e síkot képsíkba forgatva a forgatottban megkapjuk a távolság valódi nagyságát 3 Lásd az előző feladat megoldását 4 a) A nyompontok távolsága megegyezik a két egyenes távolságával b)-c) Előbb meghatározzuk a párhuzamos egyenesek közös síkját majd e síkot képsíkba forgatva a forgatottban a távolság valódi nagyságát nyerjük 5 a) A nyomvonalak távolsága megegyezik a síkok távolságával b) Meghatározzuk a tartópontok képsíktól való távolságát (a képsíkrendezők második törvényét felhasználva) majd vesszük a rendezők különbségét c) Lásd a Geometria II jegyzetet Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-25

144 Geometriai példatár Két kitérő egyenes (e f) távolsága megegyezik azon két párhuzamos sík (E F) távolságával amelyek egy-egy adott egyenesre illeszthetők E síkok közös irányvonala az iránypontok összekötő egyenese lesz nyomvonalaik pedig az egyenesek megfelelő nyompontjára illeszkednek A párhuzamos síkok távolságának egyszerű szerkeszte a Geometria II jegyzetben megtalálható 7 Előbb az e egyenesre illesszünk egy adott S síkkal párhuzamos R síkot Ezzel a feladatot visszavezettük párhuzamos síkok távolságára amely szerkeszt a Geometria II jegyzetben megtalálható 8 Előbb a P pontra illesszünk egy adott S síkkal párhuzamos R síkot E két párhuzamos sík távolsága megegyezik a keresett pont-sík távolsággal A párhuzamos síkok távolságára vonatkozó szerkeszt megtalálható a Geometria II jegyzetben Megjegyz: A távolság visszavezethető két pont távolságára is ha előbb az adott P pontból normálist állítunk a síkra majd megszerkesztjük a normálisnak az S síkkal alkotott D döfpontját (Ez utóbbi szerkeszt munkaigényesebb) 9 Szerkeszti lépek: a) Megszerkesztjük a két sík m metszvonalát b) A H síkot ( az arra illeszkedő ABC háromszöget az m metszvonalat) képsíkba forgatjuk c) A forgatottban megvizsgáljuk hogy a háromszögnek melyik csúcsa van a metszvonalhoz a legközelebb (Ha a metszvonal metszi a háromszöget akkor a távolság 0!) Amelyik csúcs legközelebb van a metszvonalhoz az van legközelebb az S síkhoz is d) Meghatározzuk a metszvonalhoz legközelebb lévő pontnak az S síktól való távolságát Ez lesz a háromszögnek az S síktól mért távolsága 638 Perspektíva (Megoldások) 1 Ez a feladat a Geometria II jegyzet 67 ábrája alapján (mivel itt csupán a test méretei változtak) megoldható 2 Lásd az előbbi feladat megoldását 3 Lásd az 1 feladat megoldását 4 Az eredeti alapsíkot 2 cm-rel megemelve új alapsíkot állítunk be Az új a * alapvonal az eredeti a alapvonal fölött lesz 2 cm-rel Ezt felhasználva végezzük el a szerkesztt 5 A szerkeszt menete: a) Előbb kzítsük el a perspektív képét egy alapsíkon álló olyan négyzetes hasábnak amelyik alapnégyzetének éle 4 cm magassága 5 cm b) Ábrázolunk egy olyan alapsíkra illeszkedő 8 cm-es oldalélű négyzetet amelyiknek a belsejében helyezkedik el az előbbi négyzetes hasáb alaplapja úgy hogy a két négyzet minden szimmetriatengelye közös c) Az előbbi négyzet csúcsait összekötve a négyzetes hasáb fedőlapjával az adott méretű csonkagúla perspektív képét nyerjük 6 A megoldás lépei: a) Ábrázolunk egy alapsíkra illeszkedő 4 cm oldalélű négyzetet b) A négyzet O középpontján át (az O pont képét az átlók képének metszpontjában nyerjük) az alapvonalra merőlegesen felvesszük a testmagasság egyenesét amely egy képsíkkal párhuzamos egyenes lesz (nyompont iránypont a végtelenben tartópont az O pont) c) Felvesszük egy olyan S sík nyomvonalát amelyiknek az előbbi egyenes egy fővonala Ezt a nyomvonalat a képsíkból egy olyan sík metszi ki amelyik a gúla alapnégyzetét vagy átlósan vagy középvonalban metszi d) A magasságvonal egyenesére (képsíkkal párhuzamos egyenesre) az O pontból felrakjuk a tőle (valóságban) 8 cm-re lévő M pontot e) Az M pontot az alaplap csúcsival összekötve a gúla perspektív képét kapjuk 7 A szerkeszt menete: a) Ábrázolunk egy alapsíkra illeszkedő 7 cm oldalélű szabályos háromszöget b) Az alapháromszög középpontját jelöljük O-val Ennek a képét is határozzuk meg c) Ábrázoljuk az O pontra illeszkedő alapvonalra merőleges m egyenest Ez lesz a testmagasság egyenese d) Külön ábrán megszerkesztjük (vagy számolással meghatározzuk) a 7 cm-es oldalélű szabályos tetraéder testmagasságát majd ezt az m egyenesre felrakva nyerjük a tetraéder hiányzó 4 csúcsának perspektív képét 8 Ez a feladat szerkeszt szempontjából megegyezik az előbbivel Ez annyival egyszerűbb hogy itt a testmagasság adott 9 Ez a feladat az 1 a 6 feladat megoldása alapján egy kis plusz ötlet hozzáadásával megoldható A szerkesztt az olvasóra bízzuk GEM6-26 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

145 Centrális projekció 639 A képsíkrendezők törvényeinek alkalmazása (Megoldások) 1 A feladat a képsíkrendezők törvényeit felhasználó egyszerű alapszerkesztek ismeretében megoldható 2 A feladat a képsíkrendezők törvényeit felhasználó egyszerű alapszerkesztek ismeretében megoldható 3 A képsíkrendezők törvényeinek (alapszerkesztek) egyszerű alkalmazása 4 A képsíkrendezők törvényeinek (alapszerkesztek) egyszerű alkalmazása 5 A képsíkrendezők törvényeinek (alapszerkesztek) egyszerű alkalmazása 6 A képsíkrendezők törvényeinek (alapszerkesztek) egyszerű alkalmazása 7 Meghatározzuk a két egyenes tartópontjának képsíkrendezőjét majd vesszük a képsíkrendezők különbségének abszolút értékét 8 A megoldás lépei: a) Megszerkesztjük az e egyenes képsíktól való távolságát (tartópontjának képsíkrendezőjét) Legyen ez x e b) Meghatározunk az f egyenes képén egy olyan F pontot (általános helyzetű tartóegyenesével) amelyiknek a képsíkrendezője x e +3 illetve x e -3 cm legyen Ez az F pont lesz az f egyenes tartópontja 9 A feladat a képsíkrendezők II törvényét felhasználó egyszerű alapszerkesztek alkalmazásával megoldható 10Lásd az előbbi feladatot 11Lásd a 9 feladatot 12A képsíkrendezők II törvényét alkalmazzuk 13A képsíkrendezők II törvényét alkalmazzuk 14A képsíkrendezők II törvényét alkalmazzuk 15A képsíkrendezők II törvényét alkalmazva a szerkeszti lépek a 29 ábra alapján a következők a) A C 1 főpontból indítva a d (distanc) hosszát felmérjük így kapjuk az R segédpntot b) A képsíkra eső D 1 E 1 F 1 G 1 (a DEFG alapnégyzet csúcsainak a képsíkra eső merőleges vetületei) pontokból párhuzamosokat húzunk d-vel rámérjük a 2 cm távolságot (így kapjuk például D 1 -ből a D R segédpontot) c) A képpontokat D csúcsra megmutatva a következő módon nyerjük A C 1 főpontot D 1 ponttal összekötő egyenes kimetszi a D képpontot abból az egyenesből melyet az R a D R segédpontok határoznak meg d) Az előbbi szerkeszti lépt alkalmazzuk az összes csúcspontra azzal a megjegyzsel hogy az M szerkesztekor M 1 -ből egy 5 cmes szakaszt mérünk fel a d-vel párhuzamosan így kapjuk az M R segédpontot Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-27

146 Geometriai példatár ábra 1 a) Előbb meghatározzuk az S sík képsíktól való távolságát (ez azonos a tartópontjának x S képsíkrendezőjével) majd megszerkesztjük az e egyenes azon D pontját amelyiknek a képsíkrendezője megegyezik az x S értékével Ez a D pont lesz a döfpont b) A centrális vetítősugár pontban látszó képe egyben a döfpont képe lesz c) Előbb meghatározzuk az S sík képsíktól való távolságát (ez azonos a tartópontjának x S képsíkrendezőjével) majd megszerkesztjük az e egyenes azon D pontját amelyiknek a képsíkrendezője megegyezik az x S értékével Ez a D pont lesz a döfpont 2 a) Meghatározzuk az S sík képsíktól való távolságát (a tartópontjának x S képsíkrendezőjét) majd az A síknak ábrázoljuk egy olyan m fővonalát amelyiknek a képsíktól való távolsága x S Ez az m egyenes lesz a metszvonal c) Lásd az a) feladat megoldását 3 a) Ha a perspektíva síkja a felülnézet síkjával (első képsíkkal) azonos akkor: C 1 =C (a főpont a C centrum felülnézeti képével azonos) P 1 =P (a pontok ortogonális vetülete szintén a felülnézetükkel egyezik meg) d= a C második rendezője x P = a P pont második rendezője (Lásd a Geometria II jegyzet 73 ábráját) b) Ha a perspektíva síkja az elölnézet síkjával (második képsíkkal) azonos akkor: C 1 =C (a főpont a C centrum elölnézeti képével azonos) P 1 =P (a pontok ortogonális vetülete szintén az elölnézetükkel egyezik meg) d= a C első rendezője x P = a P pont első rendezője (Lásd a Geometria II jegyzet 72 ábráját) 4 A szerkeszt elve megegyezik az előző feladatban leírtakkal 5 A szerkeszt elve megegyezik a 18 feladatban leírtakkal Irodalomjegyzék Baboss Csaba: Geometria II Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar Székesfehérvár 2007 A geometriák alapjai Műszaki Könyvkiadó Budapest 1973 Hajós György: Bevezet a geometriába Tankönyvkiadó Budapest 1966 Kárteszi Ferenc: Bevezet a véges geometriákba Akadémia Kiadó Budapest 1972 Szász Gábor: Projektív geometria Tankönyvkiadó Budapest 1977 GEM6-28 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

147 Centrális projekció Szőkefalvi Nagy Gyula: A geometriai szerkesztek elmélete Akadémia Kiadó Budapest 1968 Zigány Ferenc: Ábrázoló geometria Tankönyvkiadó Budapest 1962 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM6-29

148