Geometriai példatár 1.

Átírás

1 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 1 GEM1 modul Koordináta-geometria SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

2 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

3 Tartalom 1 Koordináta-geometria 1 11 Bevezet Összefüggek tételek képletek 1 12 Koordináta-geometria FELADATOK Mátrixok determinánsok Vektorok Koordináta-rendszerek transzformációi A pont analitikus geometriája Az egyenes analitikus geometriája A sík analitikus geometriája Kúpszeletek Felületek Összefoglaló feladatsorok Megoldások Mátrixok determinánsok (Megoldások) Vektorok (Megoldások) Koordináta-rendszerek transzformációi (Megoldások) A pont analitikus geometriája (Megoldások) Az egyenes analitikus geometriája (Megoldások) A sík analitikus geometriája (Megoldások) Kúpszeletek (Megoldások) Felületek (Megoldások) Összefoglaló feladatsorok (Megoldások) 27

4

5 1 fejezet - Koordináta-geometria 11 Bevezet Ebben a modulban az analitikus geometria feladatait gyűjtöttük egybe A feladatgyűjtemény igazodik a Geometria I jegyzet tematikájához A kitűzött feladatok önálló feldolgozásához segítségül összegyűjtöttük a legfontosabb fogalmakat tételeket képleteket 111 Összefüggek tételek képletek Vektor hossza (síkbeli koordinátákkal): Vektor hossza ( térbeli koordinátákkal): Az végpontú szakasz illetve vektor hossza: Két vektor skaláris szorzata: Két vektor skaláris szorzata síkbeli koordinátákkal: Két vektor skaláris szorzata térbeli koordinátákkal: Az vektorok vektoriális szorzatán azt a vektort értjük amelyik merőleges mindkét adott vektorra az hossza: vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak a Két vektor vektoriális szorzata koordinátákkal: Paralelogramma területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Háromszög területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Három vektor vegyes szorzatán a következő műveletet értjük: Paralelepipedon térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük:

6 Geometriai példatár Tetraéder térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: Az csúcsú háromszög súlypontjának koordinátái: A pontra illeszkedő egyenes egyenletei (síkban): - gel: Az irányvektorral: normálvektorral: - meredekség- (Az egyenes meredeksége az irányszögének a tangense) egyenes normálegyenlete: Ha az egyenest általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyerjük: A pont egy adott egyenes távolsága: egyenes egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört számlálója az A koordináta-síkon adott két egyenes ( ahol mazható) ) hajlásszögének meghatározása: a két egyenes normálvektora (Ugyanez az összefügg az irányvektorokkal is alkal- Két egyenes hajlásszöge meredekségekkel: Két metsző egyenes szögfelezőinek egyenletét az adott egyenesek normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A kör általános egyenlete: sugara A kör ahol pontjában húzható a kör középpontja érintőjének az pedig a egyenlete: A külső pontból az általános egyenletével adott körhöz húzható érintők érinti pontjain áthaladó szelő egyenletét úgy kapjuk hogy a koordinátáit az érintő általános egyenletébe behelyettesítjük Ekkor tehát az egyenlet az előbb említett szelő egyenletét adja Ez az eljárás a továbbiakban előkerülő kúpszeletek mindegyikére alkalmazható GEM1-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

7 Koordináta-geometria Az ellipszis általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol tengely pedig az az ellipszis középpontja tengellyel párhuzamos fél- tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg az ellipszis féltengelyeire: Az az ellipszis ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola általános egyenlete (ha a tengelyei párhuzamosak a koordináta-tengelyekkel): ahol féltengely pedig az a hiperbola középpontja tengellyel párhuzamos tengellyel párhuzamos féltengely hossza Összefügg a hiperbola féltengelyeire: A az hiperbola ahol pontjában a fókuszpontok távolságának a fele húzható érintőjének az egyenlete: A hiperbola aszimptotáinak egyenletei: a hiperbola hossza ahol tengellyel párhuzamos féltengelye pedig az tengellyel párhuzamos féltengely A parabola általános egyenletei (elhelyezkedtől függően: - az tengely pozitív irányába nyitott tengelye párhuzamos az ja tengellyel: ahol a parabola tengelyponttengely negatív irányába pedig a fókuszpont a vezéregyenes távolsága (paraméter) - az nyitott tengelye párhuzamos az tengellyel: irányába nyitott tengelye párhuzamos az a hiperbola középpontja - az tengellyel: tengellyel: Az szimmetriatengelyű párhuzamos tív irányába nyitott parabola tengely ne- - az gatív irányába nyitott tengelye párhuzamos az koordináta-tengellyel tengely pozitív az tengely pozi- pontjában húzható érintőjének az egyenlete: Az irányába koordináta-tengellyel nyitott párhuzamos parabola szimmetriatengelyű pontjában húzható az érintőjének tengely az pozitív egyenlete: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-3

8 Geometriai példatár A pontra illeszkedő sík egyenlete normálvektorával felírva: A sík normálegyenlete: Ha a síkot általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyer- jük: illetve ugyanez tömörebb formában: A pont egy adott sík távolsága: számlálója a sík egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört Két metsző sík szögfelező síkjainak egyenletét az adott síkok normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere: az egyenes irányvektora valamint 0) ahol (tehát az irányvektor egyik koordinátája sem pedig az egyenes egy adott pontja A tér általános helyzetű egyenesének egyenletrendszere ha pedig az egyenes egy adott pontja: az egyenes irányvektora ahol valós paraméter Itt is lehet azaz ezt az egyenletrendszert akkor is használhatjuk ha az irányvektor valamelyik koordinátája 0 Két egyenes párhuzamos ha irányvektoraik párhuzamosak azaz: Egy egyenes egy sík párhuzamos ha az egyenes irányvektora merőleges a sík normálvektorára azaz: Két sík ( GEM1-4 Két egyenes merőleges ha irányvektoraik merőlegesek egymásra azaz: Egy egyenes merőleges az azaz: ) párhuzamos ha normálvektoraik párhuzamosak azaz: Két sík ( síkra ha az egyenes irányvektora párhuzamos a sík normálvektorával ) merőleges ha normálvektoraik merőlegesek azaz: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

9 Koordináta-geometria Két általános helyzetű egyenes hajlásszögének meghatározása: a két egyenes irányvektora ahol Általános helyzetű egyenes sík hajlásszögének meghatározása: egyenes irányvektora ahol az pedig a sík normálvektora Két általános helyzetű sík ( ) hajlásszögének meghatározása: a két sík normálvektora A gömb egyenlete: pedig a sugara A ahol ahol gömb pontjában a gömb középpontja húzható érintősík egyenlete: Az ellipszoid egyenlete: pontja az Az ahol az ellipszoid közép- a három féltengelye ellipszoid pontjában húzható érintősík egyenlete: 12 Koordináta-geometria FELADATOK 121 Mátrixok determinánsok 1 Adott két mátrix: elemeit! b) Határozzuk meg az a a) Adjuk meg az mátrix elemeit! c) Számítsuk ki a mátrix mátrix elemeit! d) Adjuk meg transzponáltjának elemeit! e) Összeszorozható e ez a két mátrix? 2 Adott két mátrix: mátrix elemeit! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 Határozzuk meg az szorzat GEM1-5

10 Geometriai példatár Határozzuk meg a következő harmadrendű determinánsok értékét a) Sarrus szabállyal b) valamely sor (vagy oszlop) szerinti kifejtsel c) valamely sor (vagy oszlop) kinullázásával! 4 Határozzuk 5 Számológép meg a használata következő nélkül determinánsok határozza meg értékét! az alábbi determinánsok értékét! 122 Vektorok Legyen Határozzuk meg a a két vektor merőleges legyen egymásra! Legyen Határozzuk meg az két vektor által bezárt szög 60o-os legyen! Mekkora a hajlásszöge a következő vektoroknak: Adott két vektor: koztatott tükörkép vektorát! GEM1-6 vektor applikátáját (harmadik koordinátáját) úgy hogy vektor abszcisszáját (első koordinátáját) úgy hogy a Határozzuk meg az? vektornak a vektor egyenesére vonat- Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

11 Koordináta-geometria 5 Bizonyítsuk be hogy a szabályos tetraéder szemközti élei merőlegesek egymásra! 6 7 Határozzuk meg az Egy háromszög csúcsai: csúcsok által megadott háromszög területét! Határozzuk meg a (második koordináta) úgy hogy a háromszög területe csúcs ordinátáját területegység legyen! 8 Egy trapézt átlói négy háromszögre bontják Igazoljuk hogy a) a szárakon nyugvó háromszögek területe egyenlő b) a szárakon nyugvó háromszögek területének szorzata egyenlő az alapon fekvő háromszögek területének szorzatával! 9 10 Egy tetraéder négy csúcsának koordinátái a térfogata? 12 Egy tetraéder térfogata 3 térfogategység Csúcsai Határozzuk meg a 11 Mekkora csúcs applikátáját úgy hogy a térfogata a megadott érték legyen! Az alábbi pontok esetén határozzuk meg a pont ordinátáját úgy hogy a négy pont egy síkban legyen (komplanárisak legyenek)! A pontok: Mekkora a térfogata annak a paralelepipedonnak amelynek élei párhuzamosak az vektorokkal testátló vektora pedig a? 123 Koordináta-rendszerek transzformációi 1 Adott az exponenciális függvény grafikonja Forgassuk el a grafikont az origó körül szöggel majd toljuk el 2 Adott az vektorral Adjuk meg az elmozgatott görbe egyenletét! függvény grafikonja Toljuk el a grafikont eltolt origó körül forgassuk el -os vektorral majd az azonos vektorral -kal Adjuk meg az elmozgatott görbe egyenletét! 3 Adott az függvény grafikonja Az origó körül forgassuk el elforgatott görbe egyenletét! 4 Adott az -kal majd adjuk meg az függvény grafikus képe Forgassuk el az origó körül a koordináta- rendszert -kal majd az elforgatott koordináta-rendszert toljuk el az ebben az új ( vesszős ) koordináta-rendszerben! vektorral Adjuk meg a görbe egyenletét 5 Adott az függvény grafikus képe Forgassuk el az origó körül a koordináta-rendszert majd az elforgatott koordináta-rendszert toljuk el az ebben az új (csillagos) koordináta-rendszerben! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar kal vektorral Adjuk meg a grafikon egyenletét GEM1-7

12 Geometriai példatár A pont analitikus geometriája 1 Adott az pontok által meghatározott szakasz Határozzuk meg azon pont koordinátáit amelyik az 2 Adott az szakaszt 2:5 arányban ( pontpár Hosszabbítsuk meg az szakaszt a szakasz felének háromszorosával Határozzuk meg az így nyert 3 4 ) osztja! pont koordinátáit! Ismerjük egy tetraéder négy csúcsát: meg a tetraéder súlypontját! Határozzuk meg a tetraéder negyedik csúcsát ( -t) ha ismerjük három csúcsát: súlypontját ponton túl az Határozzuk! 125 Az egyenes analitikus geometriája 1 Adjuk meg azon egyenesek egyenletét amelyek párhuzamosak az e: ettől mért távolságuk 3 koordináta egység! 2 Adott két pont: a) Határozzuk meg az Mekkora annak a háromszögnek a területe amelyet az 3 egyenletű egyenessel egyenes origótól való távolságát! b) egyenes a koordináta tengelyekkel alkot? Melyek azok az egyenesek amelyek átmennek a ponton a koordináta tengelyekkel olyan háromszöget alkotnak amelyeknek a területe 6 területegység 4 Létezik-e s ha igen mekkora a következő két egyenes távolsága: e: 5 Melyek azok az egyenesek amelyek átmennek a nessel 30o-os szöget zárnak be? f: ponton az e:? egyenletű egye- 6 Adott két párhuzamos egyenes: e: f: két pont Határozzuk meg azt a pontot amelyik egyrzt a két egyenestől egyenlő távolságra van másrzt a két adott ponttól is egyenlő távolságra van (de ez utóbb említett távolság nem azonos az előbbivel)! Adott két pont egy e: egyenes Melyek azok a pontok amelyek a két ponttól egyenlő távolságra az e egyenestől 3 egységre vannak? Határozzuk meg pontnak a t: Egy beeső fénysugár átmegy a egyenesre vonatkozó tengelyes tükörképét! ponton visszaverődik a t: egyenletű egyenesről A visszaverődő fénysugár átmegy a ponton Adjuk meg a visszavert fénysugár egyenesének egyenletét! (Előbb oldjuk meg az előző feladatot!) GEM1-8 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

13 Koordináta-geometria Adott három egyenes: e: f: g: azon pontjait amelyek az e f egyenesektől egyenlő távolságra vannak! Határozzuk meg a g egyenes Határozzuk meg annak az egyenesnek az egyenletrendszerét amelyik az köti össze! pontokat 12 Határozzuk meg a következő f: két egyenes kölcsönös helyzetét! e: 13 Milyen a kölcsönös helyzete h: az alábbi egyeneseknek? g: 14 Állapítsuk meg a következő c: két egyenes kölcsönös helyzetét! b: egyenesnek? k: 15 Milyen a kölcsönös l: helyzete a következő két 126 A sík analitikus geometriája Határozzuk meg az kapott sík origótól való távolságát! Adjuk meg az S: pontok közös síkjának egyenletét! Adjuk meg a síknak a koordináta-rendszer tengelyeivel alkotott metszpontjait! Határozzuk meg a következő két sík metszvonalát! A: B: Adott két sík: A: B: egy olyan egyenest amely illeszkedik a pontra mind a két síkkal párhuzamos! pont Adjunk meg egy 5 Határozzuk meg az S: metszpontját! 6 Határozzuk meg a síknak az e: pontnak az S: egyenessel alkotott síkra vonatkozó tükörképét! 7 Adott egy e egyenes egy S sík: e: egyenesnek az S síkra vonatkozó e* tükörképét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 S: Határozzuk meg az e GEM1-9

14 Geometriai példatár Határozzuk meg az egyenletrendszerrel megadott egyenesnek a koordináta síkokkal alkotott metszpontjait! (Ezeket a pontokat az ábrázoló geometriában nyompontoknak nevezzük) 9 Határozzuk meg a 10 pontnak az e: Tükrözzük az lete? egyenesre vonatkozó tükörképét! egyenletű síkot Mi lesz az S* tükörkép sík egyen- pontra az S: 11 Adott a pont egy e: egyenes Adjuk meg az egyenletrendszerét annak az f egyenesnek amelyik illeszkedik a 12 Adott egy párhuzamos F síkot! pontra az e egyenest metszi merőleges az e-re! pont egy S: sík Adjuk meg a pontra illeszkedő S síkkal 13 Határozzuk meg az f: pontoktól egyenlő távolságra van! egyenes azon pontját amelyik az 14 Az e: egyenesnek melyek azok a pontjai amelyek az S: koordináta egységre vannak? síktól 2 Adott két sík A: B: Az e: határozzuk meg azt a pontját amelyik mind a két síktól egyenlő távolságra van! egyenesnek Adott két sík egy e egyenes A: ; B: e: Határozzuk meg az e egyenes azon pontjait amelyek mind a két síktól egyenlő távolságra vannak! 17Adott két egyenes Határozzuk meg a két egyenes síkjában lévő szimmetriatengelyét! (Az a tükörképe b) Az egyenesek: a: b: 18Adott két egyenes e f Határozzuk meg a két egyenes síkjában lévő szimmetriatengelyét! Az egyenesek: e: f: 19 Adott két párhuzamos egyenes: e: egyenes közös síkjának egyenletét! 20 ; f: Határozzuk meg a két Illesszünk egy adott e egyenesre olyan S síkot amely egyenlő távolságra van két adott ( Adatok: e: GEM1-10 ) ponttól! Adjuk meg az S sík egyenletét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

15 Koordináta-geometria 21Határozzuk meg a koordináta-rendszer applikáta (z) tengelyének azon pontjait amelyek az A: ; B: síkoktól egyenlő távolságra vannak! 22Adjuk meg az y tengely azon pontjait amelyek az S síktól 2 koordináta egységre vannak! S: 127 Kúpszeletek 1271 Ellipszis 1 Határozzuk meg annak az ellipszisnek a fókuszpontjait amelyiknek egyenlete: 2 Adjuk meg az egyenletét annak az origó középpontú ellipszisnek amelyiknek az x tengelyre eső tengelye 10 koordináta egység egyik pontja! Határozzuk meg a görbe fókuszpontjainak koordinátáit! 3 Határozzuk meg az egyenletét fókuszpontjainak koordinátáit annak az origó középpontú ellipszisnek amelyiknek az abszcissza tengelyre eső tengelye 5 koordináta egység egyik pontja 4 5! Adjuk meg annak az ellipszisnek az egyenletét amelyiknek a középpontja nagytengelye 10 egység fókusztávolsága 6 egység a nagytengelye az x tengellyel párhuzamos! Adjuk meg a fókuszpontjait is! Határozzuk meg a egyenletű ellipszis K középpontját fókuszpontjait! 6 Egy ellipszis nagytengelye az x tengelynek kistengelye az y tengelynek egy-egy szakasza két pontja Mi az egyenlete? A egyenletű ellipszisbe írjunk szabályos háromszöget úgy hogy egyik csúcsa a görbe jobb szélső pontja legyen Adjuk meg e háromszög másik két csúcsát! (Megj: Ellipszisbe írt sokszögön olyan síkidom értendő amelynek csúcsai az ellipszisre illeszkednek) Adjuk meg az egyenletű ellipszis 3 abszcisszájú pontjaira illeszkedő érintőit! Határozzuk meg a g: tőit! Adjuk meg a egyenletű görbének az f: egyenletű ellipszisnek az f: Vizsgáljuk meg hogy a g: a görbe érintőit a kapott metszpontokban! egyenessel párhuzamos érin- egyenesre merőleges érintőit! egyenletű görbe hol metszi az ordináta tengelyt Adjuk meg Forgassuk el az origó körül 90o-kal a egyenlete? egyenletű ellipszist! Mi lesz az elforgatott görbe Forgassuk el az origó körül 60o-kal a g: görbét! Adjuk meg az elforgatott görbe egyenletét! Határozzuk meg a egyenletű ellipszisnek a Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 pontra illeszkedő érintőit! GEM1-11

16 Geometriai példatár Adjuk meg a egyenletű ellipszisnek a pontra illeszkedő érintőit! 16 Határozzuk meg a 17 Határozzuk meg a g: f: egyenletű görbének a pontra illeszkedő érintőit! egyenletű görbe azon pontját amely a legtávolabb van az egyenestől! Adjuk meg azon egyenes egyenletét amely a egyenletű ellipszist a pontjában merőlegesen metszi! (Megj: Egy egyenes egy görbe metszpontjában keletkezett szögön azt a szöget értjük amelyet az egyenes a metszpontra illeszkedő érintővel zár be) Határozzuk meg azon téglalap csúcsait amelyik a szédos oldalainak aránya 1:2! egyenletű ellipszisbe írható szom- A egyenletű ellipszishez a pontokat összekötő h húr egyenesének egyenletét! pontból érintőket húzunk Adjuk meg az érinti 1272 Hiperbola 1 Adjuk meg a pontját! egyenletű hiperbola fókuszpontjait! Szerkesszük meg a hiperbola néhány 2 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelyiknek valós tengelye az x tengelynek képzetes tengelye pedig az y tengelynek egy szakasza fókuszpontjainak távolsága 10 egység a hiperbola áthalad a P( ) ponton! Írjuk fel az aszimptoták egyenletét is! 3 Mi az egyenlete annak az origó középpontú hiperbolának melynek valós tengelye az x tengelynek képzetes tengelye pedig az y tengelynek egy szakasza két pontja! 4 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelynek 8 egységnyi valós tengelye párhuzamos az x tengellyel középpontja 5 6 Egy hiperbola egyenlete: egyik pontja! Adjuk meg a középpontját fókuszpontjait! Egy egyenes átmegy a egyenletű hiperbola jobboldali fókuszpontján képzetes tengelyének egyik végpontján Milyen hosszú az a húr amelynek végpontjai ennek az egyenesnek a hiperbolával alkotott metszpontjai? 7 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelynek valós tengelye 10 egység egyik aszimptotájának irányszöge 60o (ezért a másik aszimptota irányszöge 120o-os)! 8 Az egyenletű hiperbolának melyik az a pontja amelyik az egyik aszimptotától háromszor akkora távolságra van mint a másiktól? GEM1-12 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

17 Koordináta-geometria Adjuk meg az egyenletű hiperbola azon pontjait amelyeknek az abszcisszája 5! Határozzuk meg a görbe érintőit az így nyert pontokban! Határozzuk meg a érintőit! egyenletű hiperbolának az f: Adjuk meg a egyenessel párhuzamos egyenletű hiperbolának az f: A hiperbolához a összekötő húr egyenletét! egyenesre merőleges érintőit! pontból két érintő húzható Adjuk meg az érinti pontokat 13 Határozzuk meg a egyenletű hiperbola pontra illeszkedő érintőit! 14 Adjuk meg a g: egyenletű görbe pontra illeszkedő érintőit! A egyenletű hiperbolának melyik az az érintője amelytől egyenlő távolságra van a görbe középpontja baloldali fókuszpontja? Egy hiperbola amelynek tengelyei a koordináta tengelyekre illeszkednek az e: egyenest az pontjában érinti Adjuk meg a görbe egyenletét! 17 Adjuk meg az egyenletét annak a hiperbolának amelyiknek az e: aszimptotái: egyenes az egyik érintője! 1273 Parabola 1 Adjuk meg az egyenletét annak a parabolának amelynek tengelypontja az origó a) egyik pontja szimmetriatengelye az x tengely b) egyik pontja szimmetriatengelye az y tengely c) egyik pontja szimmetriatengelye az x tengely! 2 Határozzuk meg az egyenletét annak a parabolának amelynek tengelypontja az y tengelyen van szimmetriatengelye párhuzamos az x tengellyel két pontja: 3! Egy parabola szimmetriatengelye párhuzamos az y tengellyel három pontja: Adjuk meg a görbe egyenletét! 4 Egy parabola ívű híd hossza 120m középső legmagasabb pontja 12m-re emelkedik a vízszintes út fölé Függőleges tartóvasait 6 méterenként helyezik el Mekkora az 5 tartóvas hossza? 5 6 Az egyenletű parabolának adjuk meg azon pontjait amelyeknek az abszcisszája 2 majd határozzuk meg ezen pontokhoz tartozó érintők egyenletét! Az egyenletű parabolának a 6 abszcisszájú pontjában adjuk meg az érintőjét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-13

18 Geometriai példatár Az egyenletű parabolának határozzuk meg a 4 abszcisszájú pontját majd írjuk fel a görbe ezen pontjára illeszkedő érintőjének egyenletét! Határozzuk meg az a görbe ezen pontjára illeszkedő érintőjét! Adjuk meg az 17 egyenletű parabolának a 6 ordinátájú pontját majd adjuk meg egyenletű parabola f: Határozzuk meg az érintőjét! Az egyenessel párhuzamos érintőjét! egyenletű parabola f: Adott a pont az illeszkedő érintőit! egyenessel párhuzamos egyenletű görbe Határozzuk meg a görbe egyenletű parabolának határozzuk meg a Adjuk meg az tőjét! pontra pontra illeszkedő érintőit! egyenletű parabolának az f: egyenesre merőleges érin- Adjuk meg az x tengelynek azt a pontját amelyből az parabolához húzott érintők a csúcsérintővel egyenlő oldalú háromszöget alkotnak Határozzuk meg a háromszög másik két csúcsát területét is! Határozzuk meg az eső szakasza parabolának azon érintőit amelyeknek az érinti pont az x tengely közé egység Számítsuk ki a következő két parabola metszpontjait: g: h: Adott az egyenletű parabola Határozzuk meg az egyenletét annak a parabolának amelynek csúcspontja az adott parabola fókusza fókuszpontja pedig az adott parabola csúcsa Határozzuk meg a két parabola metszpontjait! 1274 Kúpszeletek a másodfokú kétismeretlenes egyenletek kapcsolata 1 Minek az egyenlete hogyan helyezkedik el a koordináta-rendszerben a következő egyenlettel megadott görbe? g: 2 Ábrázoljuk az alábbi egyenlettel megadott függvényt! 3 Minek az egyenlete hogyan helyezkedik el a koordináta-rendszerben a következő egyenlettel megadott görbe? g: 4 Mi lesz a grafikus képe az dott függvénynek? GEM1-14 egyenlettel mega- Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

19 Koordináta-geometria 128 Felületek 1 Határozzuk meg az pont ordinátáját úgy hogy az egyenletű gömb felületére! Adjuk meg a gömb pont illeszkedjen az pontjára illeszkedő érintősíkját is! 2 Határozzuk meg az e: tel alkotott metszpontjait! 3 4 egyenesnek az egyenletű gömbfelület- Adott egy S: sík egy gömbfelület g: az S síkkal párhuzamos érintősíkjait! Határozzuk meg az pont applikátáját Határozzuk meg a gömbnek úgy hogy az E pont egyenletű ellipszoid felületére! Adjuk meg a felületnek az illeszkedjen a pontjára illesz- kedő érintősíkját is! 5 6 Adjuk meg az e: szpontjait! egyenesnek az ellipszoiddal alkotott met- Adott egy S: sík egy ellipszoid: lipszoidnak az S síkkal párhuzamos érintősíkjait! Határozzuk meg az el- 129 Összefoglaló feladatsorok Ezek a feladatsorok azt a célt szolgálják hogy a hallgatók a zárthelyi dolgozatok előtt mérni tudják önmaguk felkzültségét Elsődlegesen azt érdemes ezekkel a feladatsorokkal gyakorolni hogy a hallgató képes legyen adott idő alatt eredményesen megoldani a kitűzött példákat 1 feladatsor 1 2 Az háromszög csúcsai a következők: lévő szöge? Egy paralelepipedon alaplapja alaplap egyik élvektora: az paralelogramma oldalélei ; az alaplap csúcsból induló testátló-vektor: Mekkora az csúcsnál Adott az csúcsából induló lapátló-vektora: Mekkora a térfogata? 3 Adott az egyenletű egyenes Toljuk el origó körül forgassuk el vektorral majd az azonos vektorral eltolt -kal Mi lesz az új (transzformált) egyenes egyenlete? 4 Adott az e: egyenes Adja meg annak az f egyenesnek az egyenletét amelyre teljesül hogy az e f egyenesek egyik szögfelezője illeszkedik a 5 a pontokra Adott egy téglalap három csúcsa: Határozzuk meg a téglalap középpontján áthaladó a téglalap síkjára merőleges egyenes egyenletrendszerét! Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-15

20 Geometriai példatár feladatsor 1 Egy paralelogramma három csúcsa átlója az távolságát! 2 szakasz Határozzuk meg a Adott az e: egyenletű egyenes a 30o-os szöget bezáró egyenesek egyenletét! Adott az illetve oldalegyenesek Legyen a kocka középpontja Határozzuk pont Határozzuk meg a -n áthaladó e egyenessel függvény grafikonja Toljuk el a koordináta-rendszert az majd forgassuk el az új origó körül szerben! 5 a paralelogramma egyik csúcsaival: meg az alábbi két sík hajlásszögét: 4 csúcs koordinátáit az Adott az alábbi kocka 3 vektorral -kal Adjuk meg a görbe egyenletét az új koordináta-rend- Egy tetraéder csúcsai Írjuk fel a csúcson át húzható magasságvonal egyenletrendszerét határozzuk meg a magasság talppontjának koordinátáit! 3 feladatsor 1 2 Adott három pont a) Határozzuk meg a három pont síkjának az origótól való távolságát! b) Határozzuk meg a síknak a koordináta-tengelyekkel vett metszpontjait! c) Határozzuk meg a háromszög síkja a koordináta-síkok által bezárt tetraéder térfogatát! Írja fel a pontból a k: egyenletű körhöz húzott érintők egyenletét! 3 Az ábrán látható hídszerkezet íve egy parabola tengelyesen szimmetrikus darabja A híd adatai: hossza 80m magassága (a 4 tartó hossza) 20m Határozza meg hogy mekkora szöget zár be a 6 tartóelem az ívvel! 1 ábra 1 Adja meg a g: érintősíkjait! gömbnek az S: egyenletű síkkal párhuzamos 2 Határozza meg az egyenletű ellipszoid az egyenes döfpontjait! GEM1-16 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

21 Koordináta-geometria 13 Megoldások 131 Mátrixok determinánsok (Megoldások) 1 a) b) c) e) Nem mert a d) mátrix sorainak száma nem egyezik meg az mátrix oszlopainak számával Vektorok (Megoldások) 1 A merőlegesség feltétele az hogy a skaláris szorzat értéke 0 legyen Az így kapott egyenlet megoldása: 2 A két vektor skaláris szorzatát felírjuk a definíció illetve a koordinátákkal történő kiszámítási mód alapján Az így kapott kifejezeket egyenlővé téve olyan egyenletet nyerünk amelyiknek a megoldása: x=5 egység 3 4 A megoldás lépei: a) Előbb meghatározzuk az (av=6 egység) b) Ezzel szorozva a -nak a vektor egyenesén lévő merőleges vetületét irányába mutató egységvektort olyan egyenesével párhuzamos összetevője Ezt vektoregyenletből megkapjuk azt a az vektornak a -val jelölve: vektort amely merőleges a vektoregyenlet segítségével nyerjük a keresett Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 vektorhoz jutunk amely az c) Az egyenesére: d) Végül vektort GEM1-17

22 Geometriai példatár Legyen ; ; ahol der csúcsait jelöltük Ekkor az az háromszögben a -vel a szabályos tetraé Az említett jelöl esetén élek szemben lévők (kitérő élpár) Vizsgáljuk meg ezen élek vektorainak skaláris szorzatát! Mivel a tetraéder szabályos ezért minden éle azo- nos hosszúságú azaz Ezt a jelölt alkalmazva: Tehát: Tudjuk hogy két vektor merőlegességének szükséges elégséges feltétele hogy skaláris szorzatuk nulla legyen ezért 6 Az A csúcsból induló vektorok vektoriális szorzata: ahol A háromszög te- rülete: 7 A feladat megoldásának elve az előző feladatéval azonos Itt is felírható az oldalvektorok vektoriális szorzata melyben ismeretlenként szerepel y (C ordinátája) Felhasználva hogy most ismerjük a háromszög területét felírhatjuk az erre vonatkozó egyenletet ebből az y-ra két értéket kapunk: 8 Jelöljük a metszpontból induló vektorokat az ábrán látható módon 2 ábra Ezt a jelölt azért alkalmazhatjuk mert a trapéz alapjain nyugvó háromszögek szögeik egyenlősége miatt hasonlóak a) Ezek tehát egyenlők b) Tehát Megjegyz: A fenti átalakításoknál felhasználtuk hogy két vektor vektoriális szorzata a skalárral (λ) való szorzásra nézve asszociatív 1 V=3 térfogategység 2 Két megoldás van: Megjegyz: Érdemes megfontolni hogy miért adódik két megoldás Ez annak köszönhető hogy az lap síkjához képest a csúcs a z koordináta-tengellyel párhuzamosan mozoghat hiszen ezt jelenti hogy a harmadik koordinátája ismeretlen A mozgás során kétszer kerül olyan GEM1-18 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

23 Koordináta-geometria helyzetbe (egyszer az meg az 3 síkja alatt egyszer pedig felette ) hogy egyenlő térfogatú gúlákat határoz oldallappal A pont második koordinátája: A feladat megoldása azon alapul hogy a négy pont úgynevezett elfajuló tetraédert határoz meg amelynek térfogata nulla Alkalmazható tehát a tetraéder térfogatára vonatkozó képlet 4 Mivel a paralelepipedon élei párhuzamosak az adott vektorokkal ezért felírhatók ezen vektorok számszorosaiként Így a testátló vektor az alábbi módon nyerhető: Tudjuk hogy ha a vektorokra fennáll ez az összefügg akkor fennáll a vektorok koordinátáira is Ekkor a következő egyenletrendszert kapjuk: szer megoldása: ; Az egyenletrend; Végül a térfogat: V=84 térfogategység 133 Koordináta-rendszerek transzformációi (Megoldások) azaz A pont analitikus geometriája (Megoldások) 1 Az szakaszt a koordinátákra alkalmazva: 2 arányban osztó pontra vonatkozó összefügg: ; ; Ezt 3 A tetraéder súlypontvektora: Ezt az összefüggt a csúcsok koordinátáira alkalmazva: Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-19

24 Geometriai példatár A súlypontvektorra vonatkozó vektoregyenletet ve: Innen: re (a csúcs helyvektorára) átrendez- 135 Az egyenes analitikus geometriája (Megoldások) 1 2 a) Az egyenesnek az origótól való távolsága koordinátaegység b) T=16 területegység 3 4 A távolság létezik mert párhuzamosak mivel meredekségük egyenlő ( esik ezért távolságuk az origótól mért távolságuk összege: ) Az origó a két egyenes közé koordinátaegység 5 Az adott egyenes irányszöge valamint az adott a keresett egyenes egymással bezárt szöge segítségével meghatározható a keresett egyenes irányszöge majd ebből a meredeksége Az alábbi megoldások adódnak: f1: f2: 6 A keresett pontot a két adott egyenes középpárhuzamosának a két adott pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegesének metszpontja adja: 7 8 A feladat egyik lehetséges megoldása: Felírjuk a letét (f) meghatározzuk t f metszpontját ( vektort A kapott tükörkép: ponton áthaladó t egyenesre merőleges egyenes egyen) majd hez ( helyvektorához) hozzáadjuk a 9 A fizika törvényei szerint a beesi visszaverődi szög megegyezik Ezért a visszavert fénysugár egyenese átmegy az előbbi feladat melynek egyenlete: (tükörkép) pontján a ponton E két pontot összekötő egyenes a megoldás 10A sík két egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontjainak mértani helyét a szögfelező egyenesek pontjai adják Ezek egyenlete: f1: f2: egyenes metszpontjaként nyerjük: A megoldást az előbbi szögfelezők a g 11Az egyenes egyenletrendszere abban az esetben ha tartópontként az A pontot választjuk: Ha a B pontot választjuk tartópontnak: Megjegyz: Bár a két egyenletrendszer formailag különbözik ennek ellenére mind a kettőhöz ugyanaz a térbeli egyenes tartozik (Azt is szoktuk mondani hogy a két egyenletrendszerhez tartozó egyenesek egybeesnek) GEM1-20 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

25 Koordináta-geometria 12A két egyenes egybeeső 13A g h egyenes párhuzamos 14 A két egyenes metsző a metszpont 15A két egyenes kitérő 136 A sík analitikus geometriája (Megoldások) 1 2 A sík egyenlete: origótól való távolsága 2 egység A sík az abszcissza tengelyt az az ordináta tengelyt az az applikáta tengelyt a pontokban metszi 3 A két sík metszvonalának egyenletrendszere: m: Megjegyz: Ha a megoldás során formailag más egyenletrendszer jön ki attól még lehet az jó ha az előbbivel egybeeső egyenest határoz meg Ezt kell leellenőrizni 4 Ha egy egyenes két síkkal párhuzamos akkor a két sík metszvonalával is párhuzamos A keresett egyenes egyenletrendszere: f: ekvivalens egyenletrendszer jön ki Megjegyz: Itt is előfordulhat hogy formailag más f-fel 5 M(1;2;1) 6 A feladat egyik lehetséges megoldása: Felírjuk a ponton áthaladó S síkra merőleges egyenes egyenlet- rendszerét (f) meghatározzuk S f metszpontját ( a vektort A kapott tükörkép: ) majd hez ( helyvektorához) hozzáadjuk 7 e*: 8 Az Megjegyz: Lásd a 3 feladatot síkkal alkotott metszpont: (második nyompont) Az 9 10 (első nyompont) Az síkkal alkotott metszpont: síkkal alkotott metszpont: (harmadik nyompont) S*: 11 f: F: Megjegyz: Lásd a 3 feladatot Azon pontok mértani helye a térben amelyek két ponttól egyenlő távolságra vannak az zőmerőleges síkja Ebből metszi ki az f egyenes a keresett Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 pontot szakasz fele- GEM1-21

26 Geometriai példatár Az S síktól 2 koordinátaegységre lévő pontok mértani helye két olyan az S síkkal párhuzamos sík amelyeket az S normálegyenletének segítségével könnyen megkaphatunk Az e egyenesnek ezen síkokkal alkotott döfpontjai adják a megoldást: 15 Mivel a síkok párhuzamosak csak egy ilyen pont van: 16Mind a két síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a két szögfelező sík (Mivel az adott síkok nem párhuzamosak) Megoldások: 17 Az egyenesek párhuzamosak keressük tehát a középpárhuzamost: t: Lásd a 3 feladatot 18 Vizsgáljuk meg a két egyenes kölcsönös helyzetét Mivel metszőek metriatengely Vegyük zre hogy a két egyenes tartópontja az (3 egység) t1: Megjegyz: S: t2: ezért létezik kettő szim- metszponttól egyenlő távolságra van Megjegyz: Lásd a 3 feladatot S: Az S síkot az e egyenes a két pont által meghatározott szakasz határozza meg 21Két nem párhuzamos síktól egyenlő távolságra lévő pontok mértani helye a szögfelező síkok Ezeknek a z tengellyel való metszpontjai a megoldások: M( 22 ) N( ) 137 Kúpszeletek (Megoldások) 1371 Ellipszis (Megoldások) GEM1-22 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

27 Koordináta-geometria 7 Mivel mind a két síkidom több szimmetriatengellyel rendelkezik ezért szükséges hogy egy-egy szimmetriatengely egybeessen Ebből következik hogy a másik két csúcs az abszcissza tengelyre szimmetrikusan fog elhelyezkedni Megoldások: e1: e2: e1: e2: e1: e2: 11 e1: 12 e2: Az ismeretlen érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: A keresett érintők: e1: 15 e2: e2: Érinti pontok Érinti pontok Az ismeretlen érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: Érintők: e1: Érinti pontok Az ismeretlen érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: Érintők: e1: e2: 17Az ellipszisnek két olyan érintője van amelyek párhuzamosak az f egyenessel Az ezekhez tartozó érinti pontok egyike legközelebb a másik pedig legtávolabb van az f egyenestől Megoldás: 18 19A téglalap az ellipszis szimmetriatengelyeinek egybe kell esniük Ezt alapul véve a következő megoldást kapjuk: 20 h: 1372 Hiperbola (Megoldások) 1 2 aszimptoták: 3 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-23

28 Geometriai példatár koordinátaegység 7 8 A két szimmetriatengely miatt a feladatnak mind a négy síknegyedben van egy-egy megoldása Az első negyedben lévő megoldás: e1: e1: e2: e2: e1: e2: h: Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: érinti pontokat Az érintők: e1: 14 Ez a szelő a görbéből kimetszi az e2: Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: érintők: e1: e2: Az érinti pontok: az 15Mivel a keresett érintő egyenlő távolságra van két ponttól ezért átmegy a két pont által meghatározott szakasz felezi pontján Tehát a feladat ennek ismeretében az hogy adjuk meg a görbe azon érintőit amelyek illeszkednek az Megoldások: e1: fókuszpont az e2: középpont szakaszának felezőpontjára Nem ismerjük a hiperbola féltengelyeit (az a-t b-t) továbbá az érinti pont koordinátáit A fel- sorolt négy ismeretlen meghatározásához négy egyenletre van szükség Ezek a következők: a) mert az illeszkedik a görbére b) egyenletet az adott aszimptotából kapjuk d) GEM1-24 mert az pont rajta van az adott érintőn c) mert a görbe egyenletéből nyerhető érin- Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

29 Koordináta-geometria tő meredeksége azonos az adott érintő meredekségével A felsorolt négy egyenletből álló egyenletrendszer megoldása: Végül a hiperbola egyenlete: 1373 Parabola (Megoldások) 1 a) b) c) 2 vagy 3 4 Ha a parabolát úgy helyezzük el a koordináta-rendszerben hogy a tengelypontja az y tengelyre esik az út szintje az x tengely akkor a görbe egyenlete: e1: e: Az ötödik tartóvas hossza 9m e2: e: e: 9 e: e: Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: érintők: e1: e2: Az érinti pontok Az 12 Az érinti pontokon átmenő szelő egyenlete: Az érintők: e1: e2: e: Az érinti pontok Az érinti pontok: T= területegység Az érintők: e1: e2: 16Nincs közös pontjuk 17 ; M1( ) M2( Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 ) GEM1-25

30 Geometriai példatár Kúpszeletek a másodfokú kétismeretlenes egyenletek kapcsolata (Megoldások) 1 A görbe csak hiperbola lehet Mivel az egyenletben szerepel az úgynevezett vegyesszorzat ( ) ezért elforgatott helyzetű a hiperbola Ha a koordináta-rendszert -kal elforgatjuk akkor ebben az új koordináta-rendszerben a görbe szimmetriatengelyei párhuzamosak lesznek az új koordináta-rendszer tengelyeivel A hiperbola valós tengelye 6 képzetes tengelye 4 koordinátaegység 2 A grafikon egy elforgatott parabola lesz A koordináta-rendszert -kal elforgatva olyan új koordináta-rendszert kapunk amelyben a görbe szimmetriatengelye párhuzamos lesz az új koordinátarendszer valamelyik tengelyével A görbe tengelypontja az origóban lesz paramétere 3 4 A függvény grafikus képe egy elforgatott ellipszis lehet A koordináta-rendszert -kal kell elforgatni ahhoz hogy megszűnjön a grafikon csavart helyzete Az ellipszis középpontja az origóban lesz Az elforgatott x tengelyre eső tengely (nagytengely) 6 egység a kistengely 524 egység lesz A grafikus kép egy ferde tengelyű parabola lehet A koordináta-rendszert -kal elforgatva a görbe tengelyei párhuzamosak lesznek az elforgatott koordináta-rendszer tengelyeivel Az új koordinátarendszerben a parabola tengelypontja: pont lesz paramétere pedig 138 Felületek (Megoldások) 1 Az pontra illeszkedő érintősík: kedő érintősík: 2 Az pontra illesz- 3 Az érinti pontokat egy olyan f egyenes metszi ki a gömb felületéből amely illeszkedik a gömb középpontjára (origóra) merőleges az S síkra Ennek az egyenletrendszere: si pontok: Az érinté- az ezekre illeszkedő érintősíkok: S1: illetve S2: Megjegyz: Az E1 E2 pontok a gömbfelület azon pontjai amelyek az S síkhoz a legközelebb illetve a legtávolabb vannak Továbbá vegyük zre hogy a két érinti pont a felület középpontjára (ami az origó) szimmetrikusan helyezkedik el (mivel a felület centrálisan szimmetrikus) 4 Az pontra illeszkedő érintősík: leszkedő érintősík: 5 6 Az érinti pont Az ismeretlen koordinátáinak meghatározásához fel kell használni az adott S síknak a felület egyenletéből nyerhető Sé: GEM1-26 pontra il- érintősíknak a Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

31 Koordináta-geometria párhuzamosságát Így az érinti pontok: tősíkok: S1: valamint az ezekre illeszkedő érin- S2: 139 Összefoglaló feladatsorok (Megoldások) 1 feladatsor (Megoldás) 1 Tulajdonképpen az A csúcsból induló oldalvektorok hajlásszöge a kérd: 2 V=33 térfogategység 3 Az elmozgatott egyenes egyenlete: 4 A metsző egyenesek tengelyes tükörképek a szögfelezőkre nézve Ebből adódóan az egyik lehetséges megoldás ha az e egyik irányvektorát leolvassuk tükrözzük a mivel vektor egyenesére (alapfeladat) s illeszkedik az e egyenesre ezen keresztül a kapott tükörkép-vektorral mint irányvektorral fel- írhatjuk a keresett egyenes egyenletét: 5 A három csúcs által meghatározott szakaszok hossza: téglalap középpontja tehát a BC oldal felezi pontja F( ) A keresett egyenes irányvektora A Az egyenes egyenletrendszere: 2 feladatsor (Megoldás) 1 Kiszámítjuk az átló felezi pontjának koordinátáit: csot határozzuk meg: Meghatározzuk Innen a csú- oldalvektorokat: Ezekből a paralelogramma területét határozzuk meg mert a két oldal egyenesének távolsága nem más mint a két oldalhoz tartozó magasság értéke A paralelogramma területe: területegység Az egység Innen a keresett távolság: 2 egység A koordinátákból megállapítható hogy a kocka az [xy] koordinátasíkon áll alaplapja az fedőlapja lezi pontjaként: négyzet négyzet A kocka középpontját meghatározhatjuk az egyik testátlójának (pl: Meghatározzuk az ebből Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 sík normálvektorát: Meghatározzuk az ) fe- sík normálvektorát: GEM1-27

32 Geometriai példatár ebből hajlásszöge: A két normálvektor Így a két sík hajlásszöge is 60o innen 3 A feladathoz érdemes olyan ábrát kzíteni amely feltünteti a keresett egyenes lehetséges helyzetét így az alább közölt megoldás is érthetőbb lesz (Az ábra alapján az is kiderül hogy a feladatnak két megoldása van) Az adott egyenes irányszöge a meredekség alapján Tekintsük azt a háromszöget amelyet az alábbi metszpontok határoznak meg: - a keresett egyenes az adott egyenes metszpontja - az adott egyenes x tengellyel vett metszpontja - a keresett egyenes x tengellyel vett metszpontja Ennek a háromszögnek a belső a külső szögeire vonatkozó tételek alapján meghatározhatjuk a keresett egyenes irányszögét Az első esetben: innen az egyenes egyenlete: e1: A másik esetben egyenlete: e2: innen az egyenes 4 A koordináta-rendszer transzformációinak törvényeit felhasználva kapjuk az új rendszerbeli egyenletet: Ezt átalakítva (2-es alapra emelve) kapjuk: ahonnan a középiskolából ismert alak is előállítható: 5 A megoldás menete: Meghatározzuk az háromszög síkjának egyenletét valamint a ponton átha- ladó a síkra merőleges egyenes (magasságvonal) egyenletrendszerét Ezek metszpontja adja a tot A sík normálvektora ennek a vektornak a huszad rze is megfelel a sík egyenletének felírásához A sík egyenlete:s: A magasságvonal irányvektora megegyezik a sík nornálvektorával felírhatjuk tehát az egyenletrendszert: m: egyenes döfpontja: talppon- A sík az 3 feladatsor (Megoldás) 1 Meghatározzuk a háromszög síkjának normálvektorát: Ennek tizenhatod rze is megfelel a sík felírásához A sík egyenlete S: tengellyel alkotott metszpont alkotott metszpont 2 A keresett érintők egyenletei: e1: Az origó távolsága Az y tengellyel alkotott metszpont A tetraéder térfogata: egység Az x A z tengellyel térfogategység e2: 3 Helyezzük a hidat a koordináta-rendszerbe úgy hogy az origó a 4 tartóelem talppontja legyen a híd alapja pedig illeszkedjen az x tengelyre A koordináta rendszerben 1egység=20m legyen Ekkor a parabolaív egyenlete három pontjának elhelyezkedének ismeretében felírható: GEM1-28 Ebből kiszámolhatók Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

33 Koordináta-geometria a 6 tartóelem felső pontjának koordinátái A keresett szög a parabola pontbeli érintőjének a tartóelem függőleges egyenesének a hajlásszöge lesz A -beli érintő egyenlete: A meredekségből meghatározható az érintő irányszöge α=-266o Ezen szög abszolút értékének pótszöge azaz 634o a megoldás 4 Először meghatározzuk a keresett síkok leendő érinti pontjait: A keresett síkok normálvektora megegyezik az S sík normálvektorával mivel ezen síkok párhuzamosak Ezekből már felírható a keresett síkok egyenlete: S1: 5 S2: Az alakzatokból nyert egyenletrendszert kell megoldani A keresett döfpontok: Irodalomjegyzék Baboss Csaba : Geometria I Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai kar Székesfehérvár 2007 Coxeter H S M: A geometriák alapjai Műszaki Könyvkiadó Budapest 1973 Hajós György : Bevezet a geometriába Tankönyvkiadó Budapest 1966 Kárteszi Ferenc : Bevezet a véges geometriákba Akadémia Kiadó Budapest 1972 Kárteszi Ferenc : Lineáris transzformációk Tankönyvkiadó Budapest 1974 Reiman István : A geometria határterületei Gondolat Könyvkiadó 1986 Pelle Béla : Geometria Tankönyvkiadó Budapest 1974 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM1-29

34

35 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Baboss Csaba Szabó Gábor Geometriai példatár 2 GEM2 modul Metrikus feladatok SZÉKESFEHÉRVÁR 2010

36 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egzének vagy rzeinek másolása felhasználás kizárólag a szerző írásos engedélyével lehetséges Ez a modul a TÁMOP /1/A Tananyagfejlesztsel a GEO-ért projekt keretében kzült A projektet az Európai Unió a Magyar Állam Ft összegben támogatta Lektor: Németh László Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szakmai vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

37 Tartalom 2 Metrikus feladatok 1 21 Bevezet Alapvető fogalmak Összefüggek tételek képletek 2 22 Metrikus feladatok Szögekkel kapcsolatos feladatok Távolsági feladatok 8 23 Metrikus feladatok - MEGOLDÁSOK Szögekkel kapcsolatos feladatok (Megoldások) Távolsági feladatok (Megoldások) 14

38

39 2 fejezet - Metrikus feladatok 21 Bevezet Ez a modul az analitikus geometria azon feladatait gyűjtötte egybe amelyek az egyes térelemek távolságának hajlásszögének a meghatározását igénylik A feladatok előtt rövid elméleti összefoglalást adunk az egyes fogalmakról tételekről 211 Alapvető fogalmak Két pont távolsága: alapfogalom Szakasz hosszán a két végpontjának távolságát értjük Két ponthalmaz távolsága: A két ponthalmaz pontjai között behúzható összes szakasz hosszának infimuma (alsó határa) Zárt alakzatok esetén ez a legrövidebb szakasz Két ponthalmaz távolsága nulla ha van közös pontjuk vagy közös határuk Tehát metsző illetve illeszkedő térelemek távolsága nulla Pont egyenes távolsága: A pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza Pont sík távolsága: A pontból a síkra állított merőleges egyenes döfpontjának az adott pontnak a távolsága Két párhuzamos egyenes távolsága: Az egyik egyenes tetszőleges pontjának a másik egyenestől vett távolsága Kitérő egyenesek normáltranszverzálisa: Bizonyítható hogy két kitérő egyenes esetében pontosan egy olyan egyenes létezik amelyik mindkettőt metszi mindkét egyenesre merőleges Ez az egyenes a két kitérő egyenes normáltranszverzálisa Két kitérő egyenes távolsága: A normáltranszverzálisnak a kitérő egyenesekkel alkotott metszpontjai közé eső szakasza Egyenes vele párhuzamos sík távolsága: Az egyenes tetszőleges pontjának a síktól vett távolsága Két párhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól vett távolságát értjük Két metsző egyenes hajlásszöge: A metszpont körül keletkezett szögtartományok (2-2 egybevágó szög) közül a kisebbik Két kitérő egyenes hajlásszöge: Az a szög melyet úgy kapunk hogy az egyik egyenest önmagával párhuzamosan eltolva a másikkal metsző helyzetbe hozzuk az így keletkező immáron metsző egyenesek hajlásszöge lesz a két kitérő egyenes hajlásszöge Egyenes sík merőleges helyzete: Egy egyenes akkor merőleges egy síkra ha merőleges a sík összes egyenesére Bizonyítható hogy ha egy egyenes merőleges a sík két egymást metsző egyenesére akkor merőleges az összes egyenesére azaz merőleges a síkra Egyenes sík hajlásszögén az egyenesnek az adott síkra eső merőleges vetületének az adott egyenesnek a hajlásszögét értjük Két metsző sík hajlásszöge: A két sík metszvonalának egy pontjában a metszvonalra merőleges egyeneseket állítunk mindkét síkban az így nyert egyenesek hajlásszöge lesz a síkok hajlásszöge Ez a szög pótszöge az egyenes a sík normálisa által bezárt szögnek

40 Geometriai példatár Párhuzamos illetve egybeeső térelemek (sík egyenes) hajlásszöge nulla 212 Összefüggek tételek képletek Vektor hossza (síkbeli koordinátákkal): Vektor hossza (térbeli koordinátákkal): Az végpontú szakasz illetve vektor hossza: Két vektor skaláris szorzata: Két vektor skaláris szorzata síkbeli koordinátákkal: Két vektor skaláris szorzata térbeli koordinátákkal: Az vektorok vektoriális szorzatán azt a vektort értjük amelyik merőleges mindkét adott vektorra az hossza: vektorok ebben a sorrendben jobbrendszert alkotnak a Két vektor vektoriális szorzata koordinátákkal: Paralelogramma területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Háromszög területe ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -val -vel jelöljük: Három vektor vegyes szorzatán a következő műveletet értjük: Paralelepipedon térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: Tetraéder térfogata ha az egy csúcsból induló oldalélvektorokat -vel jelöljük: GEM2-2 Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010

41 Metrikus feladatok Az csúcsú háromszög súlypontjának koordinátái: A pontra illeszkedő egyenes egyenletei (síkban): - gel: Az irányvektorral: normálvektorral: - meredekség- (Az egyenes meredeksége az irányszögének a tangense) egyenes normálegyenlete: Ha az egyenest általános alakban írjuk fel azaz formában akkor ebből a normálegyenletet a következő alakban nyerjük: A pont egy adott egyenes távolsága: egyenes egyenletének nullára rendezett alakjából nyerhető ahol a tört számlálója az A koordináta-síkon adott két egyenes ( ahol mazható) ) hajlásszögének meghatározása: a két egyenes normálvektora (Ugyanez az összefügg az irányvektorokkal is alkal- Két egyenes hajlásszöge meredekségekkel: Két metsző egyenes szögfelezőinek egyenletét az adott egyenesek normálegyenleteinek összege illetve különbsége adja A kör általános egyenlete: sugara A kör ahol pontjában húzható a kör középpontja érintőjének az pedig a egyenlete: A külső pontból az általános egyenletével adott körhöz húzható érintők érinti pontjain áthaladó szelő egyenletét úgy kapjuk hogy a koordinátáit az érintő általános egyenletébe behelyettesítjük Ekkor tehát az egyenlet az előbb említett szelő egyenletét adja Ez az eljárás a továbbiakban előkerülő kúpszeletek mindegyikére alkalmazható Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar 2010 GEM2-3