1. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) Ha egy feladatban síkbeli koordinátákat alkalmazunk, akkor azok egy derékszög koordinátarendszerre vonatkoznak, melynek kezd pontja O és ortonormált alapvektorai i, j. Idézzük fel az ellipszis, a hiperbola és a parabola fogalmát, adjuk meg ezen alakzatok kanonikus egyenletét. 1) A síkban legyen adva egy C középpontú k kör és annak belsejében egy D pont. Tekintsük a sík összes olyan körét, amely áthalad Dn és érinti a k kört. Milyen alakzatot (vagy más szóval mértani helyet) képeznek ezen körök centrumai? 2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2 a + y2 2 b = 1 2 egyenlet ír le (a > b > 0). Vegyük a síkban a t = u i + v j (u, v R) vektorral történ eltolást, amely E-t az E ellipszisbe képezi. Adjuk meg az E képellipszis egyenletét. 3) A koordináta-rendszerrel ellátott síkban vegyünk egy AB szakaszt, amelynek hossza a + b (a b > 0). Ezen a szakaszon vegyük azt a P pontot, amelyre fennáll AP = b és P B = a. Mozgassuk ezt a szakaszt a síkban oly módon, hogy az A végpont mindig az x tengelyre, a B pont pedig mindig az y tengelyre essen. Bizonyítsuk be, hogy a mozgatás során a szakasz P pontja egy ellipszist ír le. (Ellipszográf m ködési elve.) 4) Adva vannak egy ellipszis nagytengelyének A 1, A 2 végpontjai és az ellipszis egy további P pontja. Szerkesszük meg az ellipszis fókuszpontjait. (Elegend megadni a szerkesztés menetét. A megoldáshoz célszer kapcsolatot keresni az el z feladattal. ) 5) A koordináta-rendszerrel ellátott síkban adva van az x 2 + y 2 = a 2 egyenlet kör. Tekintsük a síkban azt a mer leges tengelyes anitást, amelynek tengelye az y = 0 egyenlet egyenes (vagyis az x tengely) és el jeles aránya λ (λ ±1). Igazoljuk, hogy az anitás a kört egy ellipszisbe képezi. 6) Mutassuk meg, hogy bármely ellipszist körbe lehet képezni egy megfelel an transzformációval. 7) Igazoljuk, hogy egy ellipszis bármely pontján pontosan egy olyan egyenes halad át, amelynek nincs további közös pontja az ellipszissel. 8) A síkban adva van egy C centrumú k kör és azon kívül egy D pont. Tekintsük a síkban az összes olyan kört, amely áthalad Dn és érinti a k kört. Milyen alakzatot (vagy más szóval mértani helyet) alkotnak ezen körök középpontjai? 9) A koordinátázott síkban vegyük azt a hiperbolát, melynek fókuszai az F 1 ( 3, 0), F 2 (3, 0) pontok és amelyik áthalad a P ( 5, 4) ponton. Adjuk meg a hiperbola kanonikus egyenletét. 10) A koordinátázott síkban tekintsük az x 2 y 2 = 1 egyenlettel leírt hiperbolát. Koordináta-geometriai eszközökkel igazoljuk, hogy a hiperbola A(1, 0) pontján három olyan egyenes megy át, amelynek nincs további közös pontja a hiperbolával.
2. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó feladatok) 1) A koordinátázott síkban adva van egy parabola, melyet a x 2 2 p y = 0 egyenlet ír le (p 0). Tekintsük a síkban a t = u i + v j vektorral történ eltolást. Adjuk meg a parabola ezen eltolással nyert képének az egyenletét. 2) Vegyük az f(x) = 2x 2 +6x+13 összefüggéssel leírt valós polinomfüggvény grakonját a koordinátázott síkban. Adjuk meg ezen parabola fókuszának koordinátáit, továbbá a parabola vezéregyenesének egyenletét. 3) Egy σ síkban adva vannak A 1, B 1 és A 2, B 2 pontpárok. Hány olyan síkbeli hasonlósági transzformáció van, amely az A 1 pontot A 2 -be és a B 1 pontot B 2 -be képezi? 4) A síkban legyen adva két parabola. Igazoljuk, hogy pontosan két olyan síkbeli hasonlósági transzformáció van, amely az els parabolát a másodikba képezi. 5) Legyen adva a σ síkban egy ellipszis az ún. deniáló adataival, vagyis az F 1, F 2 fókuszpontjaival és a nagytengelyhosszával, melyet 2a jelöl. Vegyük σban ezen ellipszisnek egy Q küls pontját. Szerkesszük meg az ellipszis Qn átmen érint egyeneseit és azokon az érintési pontokat. (Az egyik megoldási terv: Ha az e érint átmegy a Q ponton, akkor F 1 nek az ere vonatkozó E tükörképe egyaránt rajta van a Q centrumú r = QF 1 sugarú körön és az F 2 centrumú vezérkörön.) 6) A σ síkban vegyük azt az ellipszist, amelyet az x2 16 + y2 = 1 egyenlet ír le. Tekintsük 12 az ellipszis azon P (2, y) pontját, ahol y < 0. Határozzuk meg a P beli érint egyenes egyenletét. 7) A síkban legyen adva egy ellipszis, amelynek fókuszpontjai F 1 és F 2, a tengelypontjai pedig A 1 és A 2. Legyen P az ellipszis egy olyan pontja, amely nincs rajta az F 1, F 2 egyenesen. Tekintsük az F 1 F 2 P háromszöget. Bizonyítsuk be, hogy az F 1 F 2 P háromszögnek az F 1 P oldalhoz hozzáírt köre áthalad az A 1 tengelyponton. 8) Legyen adva a σ síkban egy hiperbola az ún. deniáló adataival, vagyis az F 1, F 2 fókuszpontjaival és a 2a valós tengelyhosszal. Vegyük σban ezen hiperbolának egy Q küls pontját, amely különbözik az O centrumtól. Szerkesszük meg a hiperbola Qn átmen érint egyeneseit és azokon az érintési pontokat. 9) Az el z feladatnak megfelel en szerkesszük meg a hiperbolának az O centrumon átmen érint egyeneseit és azokon az érintési pontokat. 10) Adva van az ellipszis egyik fókuszpontja, egy pontja és abban az érint, továbbá egy másik érint egyenes. Szerkesszük meg a másik fókuszt és a 2a nagytengelyhosszt. (Elegend vázlatosan megadni a szerkesztés menetét.) 11) Adva van az ellipszis egyik fókuszpontja, egy pontja és abban az érint, továbbá egy másik pont az ellipszisen. Szerkesszük meg a másik fókuszt és a 2a nagytengelyhosszt.
3. feladatsor (Kúpszeletekre vonatkozó szintetikus és analitikus feladatok.) 1) A koordinátázott síkban tekintsük azt a hiperbolát, melynek egyenlete x2 5 y2 4 = 1. Határozzuk meg a hiperbola Q(3, 4) ponton átmen érint egyeneseinek az egyenletét és az egyik érint n az érintési pontot. 2) Adva van a parabola fókuszpontja, egy pontja és abban az érint egyenes. Szerkesszük meg a parabola vezéregyenesét. 3) Adva van a parabola csúcspontbeli érint je és két további érint egyenese. Szerkesszük meg a parabola fókuszát és vezéregyenesét. 4) Adva van egy parabola a deniáló adataival, azaz az F fókuszponttal és a v vezéregyenessel. Vegyünk egy Q küls pontot. Szerkesszük meg a parabola Qn átmen érint it és azokon az érintési pontokat. (Legyen F az érintési pontok összeköt szakaszának felez pontja. Vegyük észre, hogy F Q párhuzamos a parabola tengelyével.) 5) Adva van egy parabola két pontja és azokban a parabola érint egyenesei. Szerkesszük meg a parabola deniáló adatait (vagyis a fókuszát és a vezéregyenesét). 6) A koordinátarendszerrel ellátott síkban vegyük azt a parabolát, amelyet az y 2 8x = 0 egyenlet ír le. Határozzuk meg a parabola azon érint inek az egyenletét, melyek átmennek a Q(5, 7) küls ponton. 7) Adva van egy ellipszis O centrumú f f köre, egyik e érint je és azon a P érintési pont. Szerkesszük meg az ellipszis fókuszpontjait. (Elég vázlatosan leírni a szerkesztést.) 8) A σ síkban adva van egy H hiperbola, melynek fókuszai F 1, F 2, továbbá tengelypontjai A 1, A 2. Vegyük azt a π síkot, amely tartalmazza az A 1, A 2 tengelyegyenest és mer leges a σ síkra. Milyen mértani helyet alkotnak a π síkban azon forgáskúpok csúcspontjai, melyeknek a σ síkkal vett metszete megegyezik a H hiperbolával? 9) A koordinátázott σ síkban tekintsük azt a hiperbolát, melynek egyenlete x2 a y2 2 b = 2 1. Vegyük az x2 a y2 = 0 2 egyenlettel leírt két egyenest, melyeket a hiperbola aszimptotáinak nevezünk. Igazoljuk, hogy bár ezen egyeneseknek nincs a hiperbolával közös b2 pontjuk, a hiperbolától mért távolságuk 0. (Utalás: Használjuk fel a hiperbola x = ±a cosh t, y = b sinh t, t R paraméteres el állítását.) 10) Adva van a hiperbola egyik fókuszpontja, az egyik aszimptotája és az egyik érint egyenese. Szerkesszük meg a másik fókuszt és a 2a valós tengelyhosszt. Utalás: A fókusznak az aszimptotára vonatkozó tükörképe is a vezérkörön van. 11)* A σ síkban adva van egy v egyenes és egy F (F / v) pont. Vegyünk egy ε (ε > 0) számot, és tekintsük az A = { P σ F P = ε d(v, P ) } alakzatot. Bizonyítsuk be, hogy az A alakzat ε < 1 esetén egy ellipszis, ε > 1 esetén pedig egy hiperbola.
4. feladatsor (Síkbeli koordináta-transzformációk.) Az a 11 x( 2 +2 a 12 x) y+a ( 22 ) y 2 +2 b 1 x+2( b 2 ) y+d = 0 (MFE) másodfokú egyenlet felírható a11 a az (x, y) 12 x x + 2 (b a 12 a 22 y 1, b 2 ) + d = 0 mátrixos alakban. Mint ismeretes, a y 2 2es A szimmetrikus mátrix meghatároz egy α : V σ V σ lineáris leképezést a síkbeli vektorok V σ terén. A f tengelytranszformációnál olyan új ortonormált i, j alapvektorokat veszünk, amelyek sajátvektorai az α lineáris leképezésnek. 1) A σ síkban legyen adva van két pont A és B. Legyen f az AB szakasz σbeli felez mer legese. Tekintsük a σ síkban az összes olyan kört, amely áthalad az A, B pontokon. Koordinátageometriai eszközökkel igazoljuk, hogy a körök f re mer leges átmér inek végpontjai egy hiperbolát alkotnak. 2) A síkon adva van egy (O, i, j) Descartesféle koordinátarendszer. Legyen a egy rögzített pozitív valós szám. Tekintsük a 2 x y a 2 = 0 egyenlettel leírt M másodrend görbét. Mutassuk meg, hogy ennek az x + y = 0 és x y = 0 egyenlet egyenesek a szimmetriatengelyei. Írjuk fel az M görbe egyenletét abban az új koordinátarendszerben, ahol ezek a szimmetriatengelyek a koordinátatengelyek. 3) Tekintsük azt a másodrend görbét, melynek egyenlete 8 x 2 12 xy + 17 y 2 80 = 0. Határozzuk meg a görbe kanonikus egyenletét és a szimmetriatengelyei irányába mutató i, j egységvektorokat. A kanonikus egyenlete alapján jellemezzük a görbét. 4) Tekintsük a síkban azt a két másodrend görbét, melyek egyenlete 13 x 2 + 12 xy 3 y 2 75 = 0, illetve 9 x 2 6 xy + y 2 10 x 30 y = 0. Határozzuk meg a görbék kanonikus egyenletét, és ez alapján jellemezzük ket. 5) Mutassuk meg, hogy amennyiben igaz b 1 = 0 és b 2 = 0, akkor az (MFE) egyenlettel leírt másodrend görbének az O kezd pont szimmetriacentruma. 6) Tekintsünk egy másodrend görbét, melyet az (MFE) egyenlet ír le. Legyenek t 1 és t 2 olyan valós számok, melyekkel fennállnak az a 11 t 1 + a 12 t 2 + b 1 = 0 és a 12 t 1 + a 22 t 2 + b 2 = 0 egyenl ségek. Bizonyítsuk be, hogy a Q(t 1, t 2 ) pont szimmetriaközéppontja (más szóval centruma) az adott másodrend görbének. 7) Vegyük azt a másodrend görbét, amelyet a 3x 2 2xy + 3y 2 24x + 24y + 40 = 0 egyenlet ír le. Számítsuk ki ezen másodrend görbe Q centrumának koordinátáit az eredeti koordinátarendszerben, továbbá határozzuk meg a kanonikus egyenletet. Utalás: El bb toljuk el a kezd pontot a Q centrumba, ezt követ en módosítsuk az élvektorokat. 8) Tekintsük a koordinátázott síkon azt a másodrend görbét, melynek egyenlete 4x 2 + 6xy 4y 2 + 14x 52y 19 = 0. Határozzuk meg ezen másodrend görbe Q (t 1, t 2 ) centrumának a koordinátáit és a görbe egyenletét a (Q, i, j) koordináta rendszerben, továbbá adjuk meg a görbe kanonikus egyenletét.
5. feladatsor (Síkbeli homogén koordináták. Desargues tétele.) A σ euklideszi sík ideális pontokkal történ kib vítésével nyerjük a σ projektív síkot. Ismeretes, hogy amennyiben a σ síkon adott egy (O, i, j) derékszög koordináta-rendszer, akkor az a σ projektív síkon egy homogén koordinátázást határoz meg. Ha egy σ-beli e egyenes párhuzamos a v = v 1 i + v 1 j vektorral, akkor a hozzárendelt I e ideális pont homogén koordinátái a [λ v 1, λ v 2, λ] (λ R, λ 0) számhármasok. 1) A koordinátázott X euklideszi térben tekintsük azt a K forgáskúpot, melynek centruma a C(3, 0, 5) pont, tengelyének paraméteres egyenletrendszere x = 3 + t, y = 2t, z = 5 2t, továbbá félnyílásszöge ϕ = 30. Írjuk le a K forgáskúpot egy másodfokú egyenlettel. (Egy P (x, y, z) pont akkor van rajta a forgáskúpon, ha a CP vektor 30 -os szöget zár be a kúp tengelyével.) Döntsük el, hogy milyen görbét metsz ki a z = 0 egyenlet koordinátasík a kúpból? 2) Adva van az X projektív térben két kitér egyenes a és b, továbbá egy P pont, amely nincs rajta egyik egyenesen sem. Bizonyítsuk be, hogy van egy olyan h egyenes, amely áthalad a P ponton és metszi az a, b egyeneseket. Igaz-e a fenti kijelentés az X euklideszi térben is? 3) Adva van két számhármas [2, 4, 1 3t] és [3, 6, 4t], melyek egyazon pont homogén koordinátái a koodinátázott σ projektív síkon. Adjuk meg t paraméter értékét. 4) A koordinátázott σ síkon tekintsük azt a két egyenest, melyek egyenlete 5x 6y 3 = 0 és x 4y + 5 = 0. Az σ projektív síkon az egyenesekhez rendelt homogén koordinátákat alkalmazva számítsuk ki a két egyenes metszéspontjának koordinátáit. Adjuk meg továbbá az egyenesekhez rendelt ideális pontok homogén koordinátáit. 5) Az σ projektív síkon homogén koordinátáikkal adva vannak az A[6, 9, 3] és B[3, 5, 0] pontok. Határozzuk meg az A, B pontokra illeszked projektív egyenes homogén koordinátáit. 6) A σ euklideszi síkon egy S centrumú középpontos hasonlóság az ABC háromszöget az A B C háromszögbe képezi. A σ projektív síkon hol van a két háromszög perspektivitásának a tengelye? 7) A σ euklideszi síkon egy ϕ tengelyes anitás az ABC háromszöget az A B C háromszögbe képezi. A σ projektív síkon hol van a két háromszög perspektivitásának a centruma? El fordulhat-e az, hogy a centrum rajta van a tengelyen? 8) A σ projektív síkon adva van két egyenes a és b, amelyek az M pontban metszik egymást. A sík egy S (S / a, S / b) pontján átmen p, q, r egyenesek az el bbi két egyenest az A = p a, D = p b, E = q a, B = q b, C = r a, F = r b pontokban metszik. Tekintsük az X = AB DE, Y = BC EF, Z = CD F A metszéspontokat. A Desargues-tétel alkalmazásával bizonyítsuk be, hogy az X, Y, Z és M pontok kollineárisak.
6. feladatsor (Pontnégyes és sugárnégyes kett sviszonya.) A σ síkon vegyünk olyan egymástól különböz a, b, c, d egyeneseket, amelyek egyazon S pontra illeszkednek. A sík és az egyenesek irányítását felhasználva a sugárnégyes kett sviszonyán az (a b c d) = : valós számot értjük. sin(a, c) sin(a, d) sin(c, b) sin(d, b) 1) A koordináta-rendszerrel ellátott σ síkon adva vannak az egyazon g egyenesre es A(0, 2), B(3, y B ) és C(1, 5) pontok. Határozzuk meg a g egyenes azon D pontjának koordinátáit, amelyre fennáll (ABCD) = 5 2. 2) Egy szabályos hatszög csúcsai legyenek sorrendben A, B, C, D, E és F. Vegyük az a = A, E, b = B, E, c = C, E és d = D, E egyeneseket. Határozzuk meg az (a b c d) kett sviszony értékét. 3) Vegyünk egy olyan ABC háromszöget, amelyre fennáll γ = 135. A γ szöget harmadoló h 1, h 2 egyenesek messék el az AB oldalt a C 1, C 2 pontokban (ACC 1 = 45 ). Számítsuk ki az (A C 1 C 2 B) kett sviszony értékét. 4) A σ síkon tekintsünk egy k kört és annak négy rögzített pontját, melyek legyenek A, B, C és D. Vegyünk a k körön egy további S pontot, és az a = S, A, b = S, B, c = S, C, d = S, D egyeneseket. Bizonyítsuk be, hogy az (a b c d) kett sviszony értéke nem függ az S pont megválasztásától. (Az (a b c d) számot mondjuk az A, B, C, D köri pontnégyes kett sviszonyának. Jelölés: (A B C D) k.) 5) A síkban adva van egy g egyenes és azon olyan A, B, C pontok, hogy C nincs rajta az AB szakaszon. Csak vonalzót (és síkbeli segédpontokat) alkalmazva szerkesszük meg a g egyenes azon D pontját, amelyre fennáll (A B C D) = 1. 6) A síkban adva van egy g egyenes és azon az A, B pontok, továbbá egy a g-vel párhuzamos h egyenes. Csak vonalzót (és síkbeli segédpontokat) alkalmazva szerkesszük meg az AB szakasz felez pontját. 7) A σ síkon tekintsünk egy k kört és annak négy rögzített érint jét, melyek legyenek a, b, c és d. Vegyünk a k körhöz egy további e érint egyenest, amely az a, b, c, d érint ket az A, B, C, D pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy az (A B C D) kett sviszony értéke nem függ az e érint megválasztásától. 8) A koordinátázott σ projektív síkon adva vannak az A[4, 1, 2], B[1, 2, 3], C[4, 6, x 3 ], D[3, 1, 1] kollineáris pontok. Számítsuk ki a pontnégyes kett sviszonyát a pontok meghatározó vektorainak alkalmazásával. 9) A σ euklideszi síkon adva vannak az egyazon S pontra illeszked a, b, c egyenesek, amelyek egyenlete x y 1 = 0, x + 2y 7 = 0 és 2x 5y + C 3 = 0. Határozzuk meg annak az S ponton átmen d egyenesnek az egyenletét, amellyel a sugárnégyes kett sviszonyára fennáll (a b c d) = 1 4.
7. feladatsor (Kollineációk a projektív síkon.) A σ euklideszi síknak egy (O, i, j) derékszög koordináta-rendszerét alkalmazva a σ projektív sík pontjaihoz homogén koordinátákat rendelünk. Mint ismeretes, bármely σbeli κ kollineációhoz van olyan ξ : V V lineáris izomor- zmus a szabad vektorok V terén, hogy a ξ éppen a κ kollineációt indukálja. A ξnek a Vbeli i, j, k ortonormált bázisra vonatkozó mátrixa legyen a 3 3as M mátrix, amely invertálható. Emiatt a homogén pontkoordinátákra nézve egy κ kollináció az x 1 m 11 m 12 m 13 x 2 = λ m 21 m 22 m 23 x 3 m 31 m 32 m 33 x 1 x 2 x 3 (λ R, λ 0) mátrixegyenlettel írható le. 1) Tekintsünk egy κ centrálistengelyes kollineációt, amelynek C a centruma és t a tengelye (C / t). Vegyünk egy σbeli P pontot (P C, P / t) és annak P = κ(p ) képét. A p = C, P egyenesnek a t tengellyel vett metszéspontja legyen T p. Mutassuk be, hogy a (C T p P P ) kett sviszony értéke nem függ a P pont megválasztásától. Ezt a c(κ) = (C T p P P ) számot a κ karakterisztikus kett sviszonyának nevezzük. 2) Legyen adva a σ euklideszi síkon egy τ : σ σ tengelyes tükrözés. Tekintsük a τ projektív lezárásával nyert τ kollineációt a σ síkon. Mutassuk meg, hogy a τ kollineációnak van centruma is, és adjuk meg a τ karakterisztikus kett sviszonyát. 3) Legyen adva a σ euklideszi síkon egy ϕ : σ σ csúsztatva tükrözés. Tekintsük a ϕ projektív lezárásával nyert ϕ kollineációt a σ projektív síkon. Hány xpontja van a ϕ kollineációnak és mely pontok lesznek ezek? 4) Mint ismeretes, tetsz leges κ kollineációnak (számszorzótól eltekintve egyértelm en) megfelel egy 3 3as M mátrix, amely az x = λ Mx egyenlet formájában írja le κt az x = (x 1, x 2, x 3 ) T homogén pontkoordinátákra nézve. Lineáris algebrai ismeretek alapján igazoljuk, hogy bármely κ kollineációnak van legalább egy xpontja. 5) Tekintsük azt a κ : σ σ kollineációt, amelyet a homogén pontkoordinátákra nézve az x 1 1 2 2 x 1 x 2 = λ 2 1 2 x 2 (λ R, λ 0) x 3 2 2 1 x 3 mátrixegyenlet ír le. Igazoljuk, hogy κ egy centrálistengelyes kollineáció. Határozzuk meg a centrum és a tengely homogén koordinátáit. 6) Határozzuk meg az el z feladatban szerepl κ centrálistengelyes kollineáció karakterisztikus kett sviszonyát. Jellemezzük a κ 2 = κ κ kollineációt.
Két centrális vetítés szorzata, mint centrális-tengelyes kollineáció a projektív síkon Egy κ : σ σ projektív transzformációnál a σ sík egy t egyenesét a κ tengelyének mondunk, ha κ xen hagyja a t egyenes összes pontját. A σ sík egy C pontját a κ kollineáció centrumának nevezünk, ha κ xen hagyja a C-re illeszked összes egyenest. Centrális-tengelyes kollineációt az alábbi módon lehet konstruálni. A projektív térben vegyük a σ és ϱ projektív síkokat, továbbá olyan K 1, K 2 pontokat, amelyek nincsenek rajta a σ, ϱ síkokon. Vetítsük rá K 1 centrumból a σ projektív síkot a ϱ síkra. Ez a centrális vetítés egy egyenestartó bijektív leképezést ad, melyet jelöljön µ 1 : σ ϱ. (Az ábrán egy σ-beli P pont vetületét P v jelöli.) Ezt követ en vetítsük rá a ϱ síkot a σ síkra a K 2 vetítési centrumból. Ily módon egy másik µ 2 : ϱ σ bijektív leképezést nyerünk. Világos, hogy az egyenestartó µ 1, µ 2 leképezések κ = µ 2 µ 1 szorzata egy kollineációt ad a σ projektív síkon. (Az ábrán P jelöli a σ-beli P pont κ szerinti képét.) A κ : σ σ kollineáció xen hagyja a σ és ϱ síkok t metszésvonalának az összes pontját. Azonban κ nemcsak a t = σ ρ egyenes pontjait hagyja xen, hanem a K 1, K 2 egyenes σ síkkal vett C metszéspontját is. Látható továbbá, hogy bármely C-n átmen σ-beli egyenes képe önmaga. Ezek szerint a κ = µ 2 µ 1 leképezés egy centrális-tengelyes kollineáció a C centrummal és a t tengellyel. 1. ábra. Két centrális vetítés szorzataként nyert kollineáció a σ projektív síkon.
8. feladatsor (Másodrend görbék a projektív síkon.) A derékszög koordinátarendszerrel ellátott σ síkon legyen adva van egy M másodrend görbe, melyet az a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 b 1 x + 2 b 2 y + d = 0 egyenlet ír le. Vegyük a σ = σ i σ projektív síkon a megfelel homogén koordinátákat. Ekkor az a 11 x 2 1 + 2 a 12 x 1 x 2 + a 22 x 2 2 + 2 b 1 x 1 x 3 + 2 b 2 x 2 x 3 + d x 2 3 = 0 egyenlettel meghatározott σbeli M alakzatot az M projektív lezárásának mondjuk. 1) A σ síkban vegyük a x2 25 y2 1 = 0 egyenlettel leírt hiperbolát. Határozzuk meg a 4 hiperbola projektív lezárásával nyert σbeli görbe homogén koordinátás egyenletét és ideális pontjainak a koordinátáit. 2) A σ síkban tekintsük a (x + 3) 2 6y = 0 egyenlettel leírt parabolát. Határozzuk meg a parabola projektív lezárásával nyert σbeli görbe homogén koordinátás egyenletét és ideális pontjának a koordinátáit. 3) A σ projektív síkon legyen adva öt pont a homogén koordinátáival. Az öt pont általános helyzet, azaz közülük bármely három nincs egy egyenesen. Azon közönséges kúpszelet egyenletét akarjuk meghatározni, amely tartalmazza mind az öt pontot. Jelölje A, B, C, D, P az adott pontokat. Vegyük a g 1 = A, B, h 1 = C, D és g 2 = A, D, h 2 = B, C egyeneseket. Tekintsük az N 1 = g 1 h 1 és N 2 = g 2 h 2 elfajuló másodrend görbéket, ezeket írják le az x T Ax = 0 és x T Bx = 0 egyenletek. Vegyük P nek egy z T = (z 1, z 2, z 3 ) homogén koordinátahármasát és az α = z T Az, β = z T Bz számokat, melyek különböznek 0tól. Igazoljuk, hogy az x T (βa αb)x = 0 egyenlettel leírt másodrend görbe mind az öt ponton áthalad. 4) A σ euklideszi síkon vegyük a koordinátáikkal meghatározott A( 1, 1), B( 1, 1), C(2, 0), D(1, 1) és P (1, 2) pontokat. Az el z feladatnak megfelel en határozzuk meg azon másodrend görbe egyenletét, amely mind az öt ponton áthalad. Ha a σbeli homogén koordinátákat alkalmazzuk, az (x 1 + x 3 )(x 1 + x 2 2x 3 ) = 0 egyenlet írja le az N 1 et, és a z T = (1, 2, 1) választás esetén α = 6 adódik. 5) Vegyük a σ projektív síkon azt az M másodrend görbét, amelynek egyenlete 5 (x 1 ) 2 4 x 1 x 2 +2 (x 2 ) 2 +8 x 1 x 3 3 (x 3 ) 2 = 0. Vegyük észre, hogy a P [ 1, 1, 1] pont rajta van a görbén. Mutassuk meg, hogy M egy közönséges projektív kúpszelet. 6) Tekintsük az el z feladatban szerepl M közönséges projektív kúpszeletet. Határozzuk meg a Q[1, 2, 0] pontnak az Mre vonatkozó polárisát, továbbá a P [ 1, 1, 1] pontbeli érint egyenest. 7) A σ euklideszi síkon tekintsük azt az M hiperbolát, amelynek egyenlete 2x 2 6xy y 2 +22y 21 = 0. Tekintsük az M hiperbola M projektív lezárását a σ síkon. Határozzuk meg az M projektív kúpszelet azon érint it, amelyek áthaladnak az x 2 x 3 = 0 egyenlet egyenes Mre vonatkozó pólusán. Projektív geometriai eszközökkel határozzuk meg az M hiperbola centrumának a koordinátáit a σ síkon.