MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. október 5. EMELT SZINT I. ) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! lg x+ 7 + lg x+ = (5 pont) a) b) x x (6 pont) a) A logaritmus azonosságait és a 0-es alapú logaritmus szigorú monotonitását x 7 x 00 másodfokú egyenlet felhasználva, megoldandó a Ezt megoldva: x, x Mivel a bal oldal értelmezése alapján x, ezért x nem gyöke az egyenletnek Az x kielégíti az eredeti egyenletet. b) A jobb oldalon alkalmazva a hatványozás azonosságait, megoldandó a x x 9 egyenlet 9 Ebből rendezéssel kapjuk, hogy lg Innen x log 9-0704 9 lg A kapott gyök kielégíti az eredeti egyenletet x Összesen: pont ) Egy szabályos játékkocka két oldalára 0-át, két oldalára -est, két oldalára 4-est írunk. A dobókockát ötször egymás után feldobjuk, és a dobások eredményét rendre feljegyezzük. a) Hányféle számötöst jegyezhetünk fel? b) Hányféle számötös esetében lehet a dobott számok összege 0? (0 pont) a) Mivel a dobások során bármilyen helyen háromféle számot (0;;4) dobhatunk, 5 a rendezett számötösök száma 4 b) Ha a dobott pontok összegét tekintjük csak, és a dobások sorrendjét nem, akkor 0-et összegként háromféleképpen kaphatunk. eset: 4 4 0 0 0. eset: 4 0 0. eset: 0 5! Az. esetben ezt az 5 számot!! 0 -féle sorrendben dobhattuk
A. esetben ezt az öt számot 5! 0 -féle sorrendben dobhattuk! A. esetben ezt az öt számot csak egyféle sorrendben dobhattuk. A 0-es összeg tehát összesen 5-féleképpen állhatott elő. Összesen: pont ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes a következő sin : sin cos : cos, akkor a háromszög összefüggés egyenlő szárú és derékszögű! (4 pont) Mivel a háromszög szögeinek összege 80, ezért 80, valamint 80 és cos 80 cos, valamint cos 80 cos A megadott egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha sin : sin cos : cos Ebből a sin cos sin cos egyenlőség következik A kétszeres szög szinuszára vonatkozó azonosságot használva kapjuk, hogy sin sin ( pont) Egy háromszög bármely szög kétszeresének értéke 0 és 60 közé esik, ezért a fenti egyenlőség két esetben áll fenn: ( pont) vagy 80 Az első esetben, a háromszög két szöge egyenlő, tehát a háromszög egyenlő szárú A második esetben 90, a háromszögben 90, a háromszög derékszögű Összesen: 4 pont
4) Hét szabályos pénzérmét egyszerre feldobunk, és feljegyezzük a fejek és írások számát. a) Mekkora a valószínűsége, hogy több fejet dobunk, mint írást? (7 pont) b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a fejek és írások számának különbsége nagyobb háromnál? (7 pont) a) Mivel hét pénzérmét dobunk fel, akkor lesz több fej, mint írás, ha 4,5,6 vagy 7 fejet dobunk Ekkor éppen,, vagy 0 írás lesz Szimmetria okokból ennek ugyanannyi a valószínűsége, mint ha,, vagy 0 fejet dobtunk volna Tehát a keresett valószínűség 0,5 b) Akkor nagyobb a különbség -nál, ha6 fej és írás vagy 7 fej és 0 írás van ( pont) A kedvező esetek száma 7 7 0 7 8 8 A keresett valószínűség 0,065 8 Összesen: 4 pont
II. 5) Egy szobor márvány talapzatát egy dm élű kocka alakú kőből faragják. Minden csúcsnál a csúcshoz legközelebbi élnegyedelő pontokat tartalmazó sík mentén lecsiszolják a kockát. a) A kész talapzatnak - hány éle, - hány csúcsa, - hány lapja van? ( pont) b) A kész talapzatnak mekkora a felszíne? (6 pont) c) Az ékszerész vállalta, hogy elkészít 0 db egyforma tömegű ajándéktárgyat: a szobortalapzat kicsinyített mását. Az egyes ajándéktárgyak az alábbi féldrágakövek valamelyikéből készültek: achát, hematit, zöld jade és gránát. A kész ajándéktárgyakat a megrendelő átvételkor egyben lemérte. A 0 tárgy együttes tömege megfelelt a megrendelésnek. Otthon egyenként is megmérte a tárgyakat, és kiderült, hogy a féldrágakövekből készített négyféle ajándéktárgy közül egyik sem a megrendelt tömegű. Az ugyanabból az anyagból készülteket egymással azonos tömegűnek mérte. A három achát tárgy mindegyike %-kal kisebb; a hat darab hematit tárgy mindegyike 0,5%-kal kisebb; a hét zöld jade tárgy mindegyik,5%-kal nagyobb a megrendelésben szerepelt értéknél. A gránát tárgyak tömege hány százalékkal tért el a megrendeléstől? (7 pont) a) A lecsiszolt testnek 4 csúcsa van, mert a 8 kockacsúcs helyett minden csúcsnál - új csúcs keletkezik a negyedelő pontoknál A lecsiszolt testnek 6 éle van, mert a kocka élén maradnak élek, és a lemetszett háromszögek oldalai is élek: 8 4 és 4 6 A lapok száma 4, mert kockalapokból marad egy-egy nyolcszög, és a lemetszett háromszögek száma 8, 684 b) A talapzat felszínét kiszámíthatjuk, ha a 6 db nyolcszög területéhez hozzáadjuk a 8 db szabályos háromszög területét. A nyolcszög területe: a dm oldalú négyzet területéből kivonjuk a 4 db egyenlő szárú derékszögű háromszög területét, vagyis db dm oldalú négyzet területét: Tnyolcszög 6 dm a 9 A szabályos háromszög oldala, ezért Tháromszög dm 4 A 6 T 8 T 756 6 88,5 dm nyolcszög háromszög c) Legyen m az ajándéktárgy megrendelt tömege. Az összes tömeg 0m. Foglaljuk táblázatba a csiszolt ajándéktárgyakról tudott információkat. anyag achát hematit zöld jade gránát gyakoriság db 6 db 7 db 4 db tömeg 0,99m 0,995m,05m
Jelöljük x m-mel a gránátból készített ajándéktárgy valódi tömegét. Tudjuk, hogy a tényleges össztömeg 0m, innen 0 m 0,99m 6 0,995 m 7,05 m 4 xm Ebből következik, hogy x 0,98875 A gránát ajándéktárgyak tömege,5%-kal kisebb a megrendeltnél. Összesen: 6 pont 6) Egy arborétum 969 óta figyelik a fák természetes növekedését. Úgy tapasztalták, hogy a mandzsu fűzfa magasságát közelítően jól írja le az 0 mt képlet; t a hegyi mamutfenyő magasságát közelítően jól írja le a következő formula: h t 5 0,4t 0,4. Mindkét formulában t az 969 óta eltelt időt jelöli években t, és a magasságot méterben számolják. a) Szemléltesse a mandzsu fűzfa és a hegyi mamutfenyő magasságának változását, olyan közös oszlopdiagram, amely a magasság értékét az 970 és 000 közötti időszakban 0 évenként mutatja! A diagramon tüntesse fel a számított magasságértékeket! (6 pont) b) A mamutfenyő melyik évben érte el 0,5 méteres magasságot? (4 pont) c) Indokolja, hogy nem lehet olyan fa az arborétumban, amelyek magasságát a g t t 6,5t 7t 60 képlet írja le. (A magasságot centiméterben számolják, t az 985 óta eltelt időt jelöli években, és t.) (6 pont) a) Táblázatba foglaljuk a képletek által kiszámított magasságokat az eltelt évek függvényében: 970 980 990 000 t m(t) 7,,5,7 h(t) 6,,0 5,7 8,7 Helyes ábrázolások: (4 pont)
b) Megoldandó a 0,5 5 0,4t 0,4 egyenlet Rendezés után kapjuk, hogy t 7,7 A kívánt magasságot a mamutfenyő a 8. évben, vagyis 969 8 977 c) A megadott függvény menetét előjel-vizsgálattal állapítjuk meg. A derivált: gt t t 7 A derivált értéke 0, ha t vagy t 8 A derivált mindkét nullhelyénél előjelet vált, a két nullhely közötti t értékekre a derivált negatív, ezért a g t függvény ezen a tartományon t 8 szigorú monoton csökkenő A fa magassága nem csökkenhet az arborétumban, ezért a gt függvény egyetlen fa növekedését sem írhatja le Összesen: 6 pont
7) Egy húrnégyszög három szögéről tudjuk, hogy mértékük aránya 7:6:8. a) Mekkorák a húrnégyszög szögei? ( pont) Matematika órán, miután minden diák megoldotta a feladatot, három tanuló a következőket állította: Zsófi: A húrnégyszög minden szöge egész szám. Pati: A húrnégyszögnek van derékszöge. Kata: A húrnégyszög egyik szöge 0 -nál is nagyobb. b) A három tanuló állítása közül melyik igaz a feltételnek megfelelő húrnégyszögre? ( pont) a) A húrnégyszögben a szemközti szögeinek összege 80. A megadott arányszámok nem feltétlenül követik a szögek sorrendjét a négyszögben, ezért három esetet különböztetünk meg aszerint, hogy a három arányszám közül melyik két szög van egymással szemben. ( pont) A feltételben szereplő három szög legyen,,, a negyedik. 80, így a három lehetőség:. négyszög egység 7e 6e 8e e 84 7 96 08. négyszög. négyszög 90 6f 7f 8f f 7 540 70 77,4 0,86 7 90 7 90 080 6g 8g 7g g 80 440 60 900 8,08 0,77 9,9 69, Helyesen megadott húrnégyszögenként - pont (9 pont) b) Az a) feladat táblázatában látható, hogy vannak olyan húrnégyszögek, amelyekre rendre igaz a tanórán elhangzott három állítás közül egy-egy: Zsófi állítása az., Peti állítása a., Kata állítása a. négyszögre igaz. ( pont) Összesen: 6 pont
8) Három ponthalmazt vizsgálunk a derékszögű koordináta-rendszer (S) síkjában. Az A halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátái: 4x y 8 A : P x; y S 4x y 8 ;, azaz a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: x y 6x 4y 0, azaz B P x y S x y x y, : ; 6 4 0 a C halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: y 4, azaz C : P x; y S y 4. a) Ábrázolja közös koordináta-rendszerben a három halmazt! Fogalmazza meg, milyen geometriai alakzatok az A, a B és a C halmaz pontjai! (8 pont) b) Ábrázolja újabb koordináta-rendszerben a B \ A halmazt! Fogalmazza meg pontosan, hogy milyen geometriai alakzatot alkot ez a ponthalmaz? (4 pont) c) Ábrázolja a B C halmazt! Ennek a ponthalmaznak melyik P x; y pontja van a legközelebb illetve a legtávolabb a koordináta-rendszer origójától? (4 pont) a) Az A halmaz pontjai a Az A halmaz ábrája 4 y x 6 egyenletű egyenes alatti zárt félsík pontjai A B halmaz pontja az x y pontjai A kör középpontja 5 egyenletű kör és a kör belső K ;, sugara r 5 A B halmaz ábrája A C halmaz pontjai az y és y egyenletű párhuzamos egyenesek pontjai A C halmaz ábrája
b) A B\ A halmaz ábrázolása: c) A B\ A halmaz pontjai egy félkörlemez pontjai, amihez a félkörív és a belső pontok hozzá tartoznak, de a kör DE átmérője nem. (Az átmérő végpontjai 0; 6 E 6;.) D és A ponthalmaz pontjai a DE átmérő fölött vannak. A B C halmaz a B ponthalmaz határoló körének két párhuzamos húrja; A húrok végpontjai: 0; és 6;, valamint ; és 8;. (ez utóbbi húr egyben átmérő is) A B C halmaz ábrázolása: Az origótól a legmesszebb a 8; pont legközelebb a 0; és a 0; pont van Összesen: 6 pont
9) Egy a n számsorozatról a következőket tudjuk: - a harmadik tagtól kezdve minden tag kiszámítható a következő rekurzív képlet segítségével: an an a n; - az a, a és a 9a ebben a sorrendben egy számtani sorozat egymást követő tagja; a sorozat első öt tagjának összege 68. - az n Mekkora ennek a számsorozatnak a hatodik tagja? A megadott feltételeket a következő alakban használjuk: () an an a n, ha n a a a 9a () (6 pont) () a a a a4 a5 68 A sorozat harmadik tagja az () alapján: a a a Behelyettesítve a () összefüggésbe ezt az a helyére, rendezés után kapjuk, hogy a 4a Ebből a a a 4a a 6a A negyedik tagot felírva az () alapján: a a a 4 A jobb oldalon behelyettesítve az a és az a az a -gyel kifejezett értéket a 6a 4a 64a kapjuk, hogy 4 Hasonlóan fejezhetjük ki a 5 értékét a segítségével: a a a 64a 6a 56a 5 4 Összevonás után 4a 68 Ebből a A hatodik tagot felírva () alapján: a6 a5 a 4. Az a 5 és az a 4 értékét a -gyel kifejezve kapjuk, hogy a6 56a 64a 04a 04 048 A kapott ;8;;8;5;048; számsorozat elemei kielégítik az a sorozat elemiről megadott összes feltételt. A sorozat hatodik tagja 048 n Összesen: 6 pont