Matematika 8. osztály

ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály IV. rész: Egyenletrendszerek Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018

2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék IV. rész: Egyenletrendszerek...................... 3 39. Egyenletrendszerek megoldása......................... 3 40. Egyenlő együtthatók módszere......................... 4 41. Egyenletrendszerek megoldása grafikus módszerrel.............. 5 42. Szöveges feladatok............................... 6 43. Szöveges feladatok............................... 7 44. Többismeretlenes egyenletrendszerek..................... 8 45. Munkavégzéses feladatok............................ 9 46. Egyenletmegoldás a fizkában.......................... 10 47. Feladatmegoldás................................ 11 48. Feladatmegoldás................................ 12 49. Egyenlőtlenség-rendszerek........................... 13 50. Grafikus megoldás............................... 14 51. Összefoglalás.................................. 15 52. Feladatmegoldás................................ 16 53. Témazáró dolgozat megírása.......................... 17

39. óra. Egyenletrendszerek megoldása 3. 39. óra Egyenletrendszerek megoldása Állítás. Egy egyenletrendszer gyökeinek meghatározásása 5 lépésben zajlik: Egyik ismeretlen kifejezése az egyik egyenletből. Ezt behelyettesítjük a másik egyenletbe. Rendezés, ismeretlen meghatározása Visszahelyettesítünk bármelyik egyenletbe, megoldjuk Ellenőrzés! 1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! x + y = 10 a. ) x y = 2 4x + 3y = 6 d. ) 2x + y = 4 x = 2 + y b. ) 3x 2y = 9 e. ) a 3 2b 5 = 1 5a 6b = 15 3x 2y = 8 c. ) 2x + y = 10 12x + 16y + 1 = 0 f. ) 15x + 20y + 10 = 0 39. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! 7x + 9y = 8 9x 8y = 69 39. Szorgalmi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! x + 0, 75y = 9 0, 5 x 0, 6 y = 0, 3

4. 40. óra. Egyenlő együtthatók módszere 40. óra Egyenlő együtthatók módszere 2. Feladat. Adjuk össze a két egyenletet, vagy vonjuk ki egymásból a kettőt! 3x + y = 11 a. ) 3x y = 9 x + 5y = 7 b. ) x 3y = 1 7x y = 5 c. ) 2x y = 3 3. Feladat. Adjuk össze a két egyenletet, miután egyenlővé tettük az együtthatókat! 4x + 3y = 6 4x + 3y = 4 7x 3y = 15 a. ) b. 2x + y = 4 ) c. 6x + 5y = 7 ) 5x + 6y = 27 4. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! 2(x + y) + 4(x y) = 3 a. ) 3(x + y) + 6(x y) = 4, 5 3x y + y b. 2 3 = 1 ) x 5 + y 3 4 7 = 1 40. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! 25x 4y + 1 = 0 31x 5y + 16 = 0 40. Szorgalmi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! (x + 3)(y + 5) = (x + 1)(y + 8) (2x 3)(5y + 7) = (10x 12)(y + 1)

41. óra. Egyenletrendszerek megoldása grafikus módszerrel 5. 41. óra Egyenletrendszerek megoldása grafikus módszerrel 5. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket grafikonok megrajzolásával! y = x + 1 a. ) y = x + 3 y = 3x b. ) y = 2x + 5 4x 3y = 4 c. ) x 2y = 4 41. Házi feladat. Oldjuk meg grafikusan! y = 2x 1 x + y = 7 2 41. Szorgalmi feladat. Oldjuk meg grafikusan! 2x + y = 3 2 2x 3y = 1 2

6. 42. óra. Szöveges feladatok 42. óra Szöveges feladatok 6. Feladat. A teher elszállítása során minden vasúti kocsira 15,5 tonna terhet raktak, ekkor 4 tonnát nem tudtak elszállítani. Ha viszont a kocsikra 16,5 tonnát raktak volna, akkor 8 tonna teher kellett volna a kocsik megtöltéséhez. Hány kocsiból állt a szerelvényt és mekkora volt a teher? 7. Feladat. A rakomány elszállása során ha kettővel kevesebb teherautónk lenne, akkor 2 órával több ideig tartana a szállítás, mint egyébként. De ha 4 teherautónk lenne még, akkor 2 órával hamarabb készen lennénk. Hány járművünk van jelenleg? 8. Feladat. Egy 20 km hosszúságú vasúti szakasz elkészítése során 25 m-es és 15 m- es sínek állnak rendelkezésre. Ha először a hosszabb darabokat használják fel, akkor a rövidebbeknek csak a felére van szükség, ha a rövidebb darabokat használják fel előbb, akkor a hosszabb daraboknak csak a 66 2 %-ára van szükség. Hány darabot 3 használtak fel az egyes esetekben a különféle sínszálakból? 42. Házi feladat. 283. oldal 106 Tizenhat év múlva az apa kétszer idősebb lesz fiánál. Hány évesek most, ha 4 évvel ezelőtt az apa hatszor annyi idős vlt, mint a fia? 42. Szorgalmi feladat. Marcell kétszer olyan idős, mint amilyen Bence volt, amikor Marcell olyan idős volt, mint Bence most. Amikor Bence olyan idős lesz mint most Marcell, éveik számának összege 140 lesz. Milyen idős most a két férfi?

43. óra. Szöveges feladatok 7. 43. óra Szöveges feladatok 9. Feladat. Ha egy derékszögű háromszög egyik befogóját 5 cm-rel, a másikat 2 cm-rel növelnénk meg, akkor a területe 51 cm 2 -rel nőne meg. Ha azonban mindkét befogó 2 cm-rel kisebb lenne, akkor a terület 32cm 2 -rel lenne kisebb. Mekkorák az eredeti háromszög oldalai? 10. Feladat. A szamár így szólt az öszvérhez: "Ha átvennék a te terhedből 100 kgot, akkor én kétszer több terhet vinnék a hátamon!". Az öszvér így felelt: "Ellenben, ha te adnál nekem 100 kg-ot, akkor én háromszor annyit cipelnék, mint te." Hány kilogram terhet visznek? 11. Feladat. Két egymástól 9 km-re lévő pontból egyszerre indul el egy-egy kerékpáros. Ha egymással szembe mennek, akkor 20 perc múlva találkoznak, de ha egy irányba indulnak el, akkor 3 óra múlva találkoznak. Mekkora a sebességük? 12. Feladat. Egy tört számlálójához és nevezőjéhez is hármat adva értéke 1 2 lesz, de ha a nevezőből egyet elveszünk, akkor 1 -ot kapunk. Melyik ez a tört? 3 13. Feladat. Egy kétjegyű számhoz hozzáadjuk a jegyei felcserélésével kapott számot és 77-et kapunk. Ha viszont az eredeti számot elosztjuk a felcserélés után kapott számmal, akkor mind a hányados, mind a maradék 2 lesz. Melyik ez a szám? 43. Házi feladat. Egy kétjegyű szám 45-tel nagyobb a jegyei felcserélésével kapott számnál. Ha az eredeti számot megnöveljük 12,5%-kal és elosztjuk az eredeti szám jegyeinek összegével, akkor hányadosul 9-et kapunk. Melyik ez a szám? 43. Szorgalmi feladat. Melyik az a szám, amelyiket 7-tel osztva a maradék 2; 15-tel osztva a maradék 6? Tudjuk továbbá, hogy az első hányados úgy aránylik a másodikhoz, mint 7 : 3.

8. 44. óra. Többismeretlenes egyenletrendszerek 44. óra Többismeretlenes egyenletrendszerek 14. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! x + 2y = 5 y + 2z = 8 z + 2u = 11 u + 2x = 6 15. Feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket! 3x + 2y + 3z = 110 a. ) 5x + y 4z = 0 2x 3y + z = 0 b. ) 6x 2y 3z = 25 3y + z 2v = 24 4x 3y 2v = 13 x 2v u = 4 2y + v = 15 44. Házi feladat. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert! x 2 + y 3 + z 4 = 361 2 x 3 + y 4 + z 5 = 27 x 5 + y 6 + z 7 = 181 2 44. Szorgalmi feladat. Alkoss olyan négyismertlenes egyenletrendszert, aminek végtelen sok megoldása van, majd egy olyat, aminek biztosan nincs megoldása a valós számok halmazán.

45. óra Munkavégzéses feladatok 45. óra. Munkavégzéses feladatok 9.

10. 46. óra. Egyenletmegoldás a fizkában 46. óra Egyenletmegoldás a fizkában

47. óra Feladatmegoldás 47. óra. Feladatmegoldás 11.

12. 48. óra. Feladatmegoldás 48. óra Feladatmegoldás

49. óra. Egyenlőtlenség-rendszerek 13. 49. óra Egyenlőtlenség-rendszerek

14. 50. óra. Grafikus megoldás 50. óra Grafikus megoldás

51. óra Összefoglalás 51. óra. Összefoglalás 15.

16. 52. óra. Feladatmegoldás 52. óra Feladatmegoldás

53. óra. Témazáró dolgozat megírása 17. 53. óra Témazáró dolgozat megírása

18. Irodalomjegyzék Irodalomjegyzék [1] Vörös József honlapja: http://fizika.mechatronika.hu [2] Sokszínű Matematika tankönyv 8. osztály https://www.mozaik.info.hu/ Homepage/Mozaportal/MPcont.php?bid=MS-2308 [3] Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné. Morvai Éva Széplaki Györgyné Szeredi Éva: Matematika feladatgyűjtemény 8. [4] Bartha Gábor - Bogdán Zoltán - Duró Lajosné dr. - Dr. Gyapjas Ferencné - Hack Frigyes - Dr. Kántor Sándorné, Dr. Korányi Erzsébet: Matematika feladatgyűjtemény I.