Véges geometria és ami mögötte van Bogya Norbert Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Doktori Nyílt Nap 2015. október 2. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 1 / 30
Véges geometria Algebra Kombinatorika Véges geometria Geometria Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 2 / 30
Véges geometria konferencia Finite Geometry Conference and Workshop University of Szeged 10-14 June, 2013 TÁMOP-4.2.2/B-10/1-2010-0012 Az SZTE Kutatóegyetemi Kiválósági Központ tudásbázisának kiszélesítése és hosszú távú szakmai fenntarthatóságának megalapozása a kiváló tudományos utánpótlás biztosításával. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 3 / 30
Projektív sík Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 4 / 30
Véges projektív sík Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 5 / 30
Téma k-net A k-net k darab páronként diszjunkt egyeneshalmaz úgy, hogy minden olyan pont, ami két halmazbeli egyenes metszéspontja, az pontosan egy egyenesre illeszkedik minden halmazból. Ha a halmazok elemszáma n, akkor n-rendű k-netről beszélünk. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 6 / 30
Alapfogalmak Duális k-net A duális k-net k darab páronként diszjunkt ponthalmaz úgy, hogy minden olyan egyenes, ami két halmazbeli pontra is illeszkedik, arra pontosan egy pont illeszkedik minden halmazból. Ha a halmazok elemszáma n, akkor n-rendű duális k-netről beszélünk. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 7 / 30
Kombinatorika Algebra
Címkézés A, B, C pontosztályok, G = (G, ) csoport. α(a) β(b) γ(c) A duális 3-net realizálja a G csoportot, ha bármely a, b, c G esetén a b = c α(a), β(b), γ(c) kollineáris. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 9 / 30
Q = {1, 2, 3, 4, 5} 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 1 2 4 3 4 5 1 5 4 4 4 Latin négyzet 5 5 5 Latin négyzet (Q, ) kvázicsoport. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 10 / 30
A (Q, ) kvázicsoport, ha tetszőleges a, b Q elemek esetén az a x = b és y a = b egyenletek egyértelműen megoldhatók Q-ban. Magma divisibility Quasigroup identity Loop associativity associativity Semigroup identity Monoid invertibility Group Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 11 / 30
Véges geometria Kombinatorika Véges geometria Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 12 / 30
Combinatorics 2014 Gaeta, Olaszország; 2014. jún. 1. jún. 6. Kódoláselmélet, kriptográfia, véges geometria, gráfelmélet, matroidelmélet, poset elmélet, optimalizálás. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 13 / 30
Utazás TÁMOP-4.2.2.A-11/1/KONV-2012-0073 Telemedicina fókuszú kutatások Orvosi, Matematikai és Informatikai tudományterületeken (TOMI) Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 17 / 30
Kombinatorika, algebra Geometria
Saját téma Λ 1, Λ 2, Λ 3 ponthalmazok (komponensek) Λ i = n C. C -re perspektív duális 3-net C / Λ i és minden olyan egyenes, mely átmegy C-n és az egyik komponens egy pontján, akkor az összes komponens egy pontján is átmegy. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 19 / 30
Tétel (B., Korchmáros, Nagy, 2014) Legyen Λ = (Λ 1, Λ 2, Λ 3 ) egy n-ed rendű duális 3-net PG(2, K)-ban. Tegyük fel, hogy Λ perspektív a T pontra nézve. Ekkor létezik egy olyan κ skalár, hogy az összes T -n átmenő l egyenes esetén a T, l Λ 1, l Λ 2, l Λ 3 pontok kettősviszonya κ. T Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 20 / 30
Kúpszelet-egyenes típusú duális 3-net Λ 3 C Λ 2 Λ 1 l T Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 21 / 30
Véletlen negyedrendű görbék pontszáma (kitérő) Véges test: q = 43. Mintaelemszám: N = 2000 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 22 / 30
Kombinatorika, algebra, geometria Algebrai geometria
Harmadrendű görbék Összeadás Legyen Γ egy köbös görbe és Γ a sima pontjainak a halmaza. Legyen O Γ egy rögzített pont. Ebben az esetben az A, B Γ pontok összege: A B O A + B Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 24 / 30
Harmadrendű görbék Tétel Legyen Γ egy harmadrendű görbe, és Γ a sima pontjainak halmaza. Legyen O Γ egy rögzített pontja. Ekkor (Γ, +, O) Abel-csoport. Tétel 1 Ha Γ: Y = X 3, akkor (Γ, +) = (K, +). 2 Ha Γ: Y 2 = X 3, akkor (Γ, +) = (K, +). 3 Ha Γ: Y 2 = X 3 + X 2, akkor (Γ, +) = (K, ). Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 25 / 30
Applied Algebra and Discrete Mathematics University of Würzburg (Németország) 2015. jan. 18. jan. 29. Kódoláselmélet, kriptográfia, Gröbner-bázisok, kombinatorikai optimalizálás, lineáris és szemidefinit programozás. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 26 / 30
Vége Köszönöm a figyelmet! TÁMOP-4.2.2.B-15/1/KONV-2015-0006 A tehetség értékének kibontakoztatása a Szegedi Tudományegyetem kiválósága érdekében Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 30 / 30