Državni izpitni center. Višja raven. Izpitna pola 2 2. feladatlap. Sobota, 7. junij 2014 / 90 minut

Š i f r a k a n d i d a t a : A j e l ö l t k ó d s z á m a : Državni izpitni center *M141401M* Višja raven SPOMLADANSKI IZPITNI ROK TAVASZI VIZSGAIDŐSZAK Izpitna pola. feladatlap Sobota, 7. junij 014 / 90 minut Dovoljeno gradivo in pripomočki: Kandidat prinese nalivno pero ali kemični svinčnik, svinčnik, radirko, žepno računalo in geometrijsko orodje (šestilo in dva trikotnika, lahko tudi ravnilo). Kandidat dobi dva konceptna lista in ocenjevalni obrazec. Engedélezett segédeszközök: A jelölt töltőtollat vag golóstollat, ceruzát, radírt, zsebszámológépet, rajzeszközöket (körzőt, két háromszöget, esetleg vonalzót) hoz magával. A jelölt kap eg értékelő lapot, a vázlatkészítéshez pedig két pótlapot. SPLOŠNA MATURA Navodila kandidatu so na naslednji strani. A jelöltnek szóló útmutató a következő oldalon olvasható. Ta pola ima 0 strani, od tega 1 prazno in 7 rezervnih. A feladatlap 0 oldalas, ebből 1 üres és 7 tartalék. RIC 014

/0 *M141401M0* NAVODILA KANDIDATU Pazljivo preberite ta navodila. Ne odpirajte izpitne pole in ne začenjajte reševati nalog, dokler vam nadzorni učitelj tega ne dovoli. Prilepite kodo oziroma vpišite svojo šifro (v okvirček desno zgoraj na prvi strani in na ocenjevalni obrazec). Svojo šifro vpišite tudi na konceptna lista. Izpitna pola vsebuje 4 strukturirane naloge. Prvi dve nalogi sta obvezni, med ostalima dvema izberite in rešite eno. Število točk, ki jih lahko dosežete, je 40. Za posamezno nalogo je število točk navedeno v izpitni poli. Pri reševanju si lahko pomagate s standardno zbirko zahtevnejših formul na strani 3. V preglednici z x zaznamujte, katero od izbirnih nalog naj ocenjevalec oceni. Če tega ne boste storili, bo od teh ocenil prvo nalogo, ki ste jo reševali. 3. 4. Rešitve, ki jih pišite z nalivnim peresom ali s kemičnim svinčnikom, vpisujte v izpitno polo pod besedila nalog in na naslednje strani. Rišete lahko tudi s svinčnikom. Če se zmotite, napisano prečrtajte in rešitev zapišite na novo. Nečitljivi zapisi in nejasni popravki bodo ocenjeni z 0 točkami. Strani 14 do 0 so rezervne; uporabite jih le, če vam zmanjka prostora. Jasno označite, katere naloge ste reševali na teh straneh. Osnutki rešitev, ki jih lahko naredite na konceptna lista, se pri ocenjevanju ne upoštevajo. Pri reševanju nalog mora biti jasno in korektno predstavljena pot do rezultata z vsemi vmesnimi računi in sklepi. Če ste nalogo reševali na več načinov, jasno označite, katero rešitev naj ocenjevalec oceni. Zaupajte vase in v svoje zmožnosti. Želimo vam veliko uspeha. ÚTMUTATÓ A JELÖLTNEK Figelmesen olvassa el ezt az útmutatót! Ne lapozzon, és ne kezdjen a feladatok megoldásába, amíg azt a felügelő tanár nem engedélezi! Ragassza vag írja be kódszámát a feladatlap első oldalának jobb felső sarkában levő keretbe és az értékelő lapra! Kódszámát a pótlapokra is írja rá! A feladatlap 4 strukturált feladatot tartalmaz. Az első két feladat megoldása kötelező, a másik kettőből válasszon ki eget, és azt oldja meg.összesen 40 pontot érhet el. A feladatlapban a feladatok mellett feltüntettük az elérhető pontszámot is. A feladatok megoldásakor használhatja a 4. oldalon található standard képletgűjtemént. A táblázatban x -szel jelölje meg, hog melik feladatot értékeljék. Ha ezt nem teszi meg, a megoldott feladatok közül az elsőt értékelik. 3. 4. Válaszait töltőtollal vag golóstollal írja a feladatlap erre kijelölt helére! Rajzoláshoz használhat ceruzát is. Ha tévedett, a leírtat húzza át, majd válaszát írja le újra! Az olvashatatlan megoldásokat és a nem egértelmű javításokat 0 ponttal értékeljük. A 14 0 oldal tartalék. Ide csak akkor írjon, ha másutt már nincs hel! Egértelműen jelölje meg, hog melik feladatokat oldotta meg ezeken az oldalakon! A pótlapokra készített vázlatokat az értékelés során nem veszik figelembe. A válasznak tartalmaznia kell a megoldásig vezető műveletsort, az összes köztes számítással és következtetéssel egütt. Ha a feladatot többféleképpen oldotta meg, egértelműen jelölje, melik megoldást értékeljék! Bízzon önmagában és képességeiben! Eredménes munkát kívánunk!

Formule *M141401M03* 3/0 1 3 3 1 1 3 3 1 n n n n n n n n a b ab a a ba b... a b ab b, če je n liho naravno število n n n n n n n n a b ab a a ba b... a b ab b, če je n Evklidov in višinski izrek v pravokotnem trikotniku: a ca 1, b cb 1, Polmera trikotniku očrtanega in včrtanega kroga: R abc, r S, 4S s Kotne funkcije polovičnih kotov: vc a b 1 1 s a b c sin x 1 cosx, cos x 1 cosx, tan x sin x 1 cos x Adicijski izrek: sinx sin xcos cos xsin cosx cos xcos sin xsin tan x tan tanx 1 tanxtan Faktorizacija: x x x x sin xsin sin cos, sin xsin cos sin x x x x cos xcos cos cos, cos xcos sin sin sin x tan xtan cos xcos Razčlenitev produkta kotnih funkcij: sin x sin 1cosxcosx cos xcos 1 cosx cosx sin xcos 1 sinx sinx ax0 b0 c Razdalja točke T0 x0, 0 od premice ax b c 0: dt0, p a b Ploščina trikotnika z oglišči A x, B x,, 1 1,, S 1 x x13 1x3 x1 1 Elipsa: e a b, e, a b a Hiperbola: e a b e,, a je realna polos a p Parabola: px, gorišče G,0 Kompozitum funkcij: ( g f)( x) g f x n k n k Bernoullijeva formula: Pnpk (,, ) k p (1 p) Integral: d 1 x arc tan x C x a a a C x : 3 3

4/0 *M141401M04* Képletek 1 3 3 1 1 3 3 1 n n n n n n n n a b ab a a ba b... a b ab b, ha n páratlan természetes szám n n n n n n n n a b ab a a ba b... a b ab b, ha n vc A derékszögű háromszög magasságtétele és befogótétele: a ca 1, b cb 1, A háromszög köré írt kör és a háromszögbe írt kör sugara: R abc, r S, 4S s A félszögek szögfüggvénei: sin x 1 cosx ; cos x 1 cosx ; tan x sin x 1 cos x Addíciós tételek: sinx sin xcos cos xsin cosx cos xcos sin xsin tan x tan tanx 1 tanxtan Összegek szorzattá történő alakításának képletei: x x x x sin xsin sin cos, sin x sin cos sin x x x x cos xcos cos cos, cos xcos sin sin sin x tan xtan cos x cos A szorzatok összeggé történő alakításának képletei: sin x sin 1 cosx cosx cos xcos 1 cosx cosx sin xcos 1 sinx sinx A, T x pont távolsága az ax b c 0 0 0 0 Az A x, Bx,, ab 11 s abc egenletű egenestől: 0 0 1 1,, C x3 3 csúcsú háromszög területe: S 1 x x13 1x3 x1 1 Ellipszis: e a b, e, a b a Hiperbola: e a b e,, a a hiperbola valós tengele a p Parabola: px, G,0 a parabola fókuszpontja Összetett függvén: ( g f )( x) g( f( x)) Bernoulli-képlet: Integrál: d x k n k n k Pnpk (,, ) p (1 p) 1 arc tan x x a a a C d T, p 0 ax b c a b

*M141401M05* 5/0 Prazna stran Üres oldal OBRNITE LIST. LAPOZZON!

6/0 *M141401M06* Naloga 1 je obvezna. Az 1. feladat kötelező. 1. Dana je kvadratna funkcija s predpisom f x x x. 4 Adott az f x x x hozzárendelési szabálú másodfokú függvén. 4 1.1. V koordinatni sistem narišite graf funkcije f. Dokažite, da sta tangenti na graf funkcije f v presečiščih z osjo x med seboj pravokotni. Ábrázolja az f függvén grafikonját a koordináta-rendszerben! Bizonítsa, hog az f függvén azon érintői, ameleket az x tengel és az f függvén metszéspontjaiban állíthatunk, merőlegesek egmásra. x (4 točke/pont) 1.. Krivulja z enačbo f x je elipsa. Zapišite njeno enačbo v obliki x p q 1. Zapišite njena temena in gorišči. Izračunajte prostornino telesa, ki a b ga dobimo tako, da to elipso zavrtimo za 360 okrog osi x. Az egenletű görbe eg ellipszis. Írja fel az egenletét x p q f x a b alakban! Írja fel a csúcspontjait és a fókuszpontjait! Számítsa ki annak a testnek a térfogatát, amelet az ellipszis x tengel körüli 360 - os elforgatásával kapunk! 1.3. Krivulja z enačbo f x je hiperbola. Zapišite njeno enačbo v obliki x p q 1 in izračunajte enačbi njenih asimptot. a b A egenletű görbe eg hiperbola. Írja fel az egenletét x p q f x alakban, és számítsa ki az aszimptotái egenletét! a 1 (8 točk/pont) 1 b (3 točke/pont)

*M141401M07* 7/0

8/0 *M141401M08* Naloga je obvezna. A. feladat kötelező.. Dana je funkcija s predpisom f x sinx tanx. cos x Adott az f x sinx tanx hozzárendelési szabálú függvén. cos x.1. Določite definicijsko območje funkcije f in izračunajte njene ničle. Számítsa ki az f függvén értelmezési tartománát, és számítsa ki a zérusheleit!.. Dokažite, da je funkcija f liha. Bizonítsa, hog az f függvén páratlan függvén!.3. Ali funkcija narašča ali pada v točki z absciso x 0? Odgovor utemeljite. 3 (5 točk/pont) ( točki/pont) Növekvő vag csökkenő a függvén az x 0 abszcisszájú pontban? Válaszát indokolja 3 meg! (3 točke/pont).4. Izračunajte f xdx. Számítsa ki: f xdx! (4 točke/pont)

*M141401M09* 9/0

10/0 *M141401M10* Naloga 3 je izbirna. Izbirate med nalogama 3 in 4. Izbiro zaznamujte na naslovnici izpitne pole. A 3. feladat választható. A 3. és a 4. feladat közül választhat. Választását jelölje meg a feladatlap első oldalán! 3. Množica A, 5, 8, 11,, 3n1 3k 1; 1 k n ima n elementov. n Az A, 5, 8, 11,, 3n1 3k 1; 1 k n halmaznak n eleme van. n 3.1. Naj bo n 6. Koliko je vseh preslikav iz množice A 6 v množico A 6? Koliko je med njimi bijektivnih preslikav? Legen az n 6. Hán leképezés létezik az A 6 halmazból az A 6 halmazba? Hán bijektív leképezés van ezek között? ( točki/pont) 3.. Za kateri n ima množica A n 18 podmnožic? Melik n esetén van az A n halmaznak 18 részhalmaza? ( točki/pont) 3.3. Za kateri n ima množica A n petkrat več podmnožic s tremi elementi kakor podmnožic z dvema elementoma? Melik n esetén van az A n halmaznak ötször több háromelemű részhalmaza, mint amenni kételemű részhalmaza van? (3 točke/pont) 3.4. Dokažite z matematično (popolno) indukcijo, da je vsota vseh elementov množice A n enaka n 3n 1. Bizonítsa teljes indukcióval, hog az A n halmaz összes elemének összege n3n 1. (4 točke/pont)

*M141401M11* 11/0

1/0 *M141401M1* Naloga 4 je izbirna. Izbirate med nalogama 3 in 4. Izbiro zaznamujte na naslovnici izpitne pole. A 4. feladat választható. A 3. és a 4. feladat közül választhat. Választását jelölje meg a feladatlap első oldalán! 4. Števili z in w sta kompleksni števili. A z és w számok komplex számok. 4.1. Naj bo z 3 i in Legen z 3 i és w z 3. Izračunajte Re w in Imw. z 3 w z 3. Számítsa ki a Re w - t és az Im w -t! z 3 (3 točke/pont) 4.. Naj bo z 3 i. Izračunajte, za katera realna števila je z 3 z 3 5. Legen z 3 i. Számítsa ki, mel valós esetén áll fenn a z 3 z 3 5 összefüggés! (3 točke/pont) 4.3. V kompleksni ravnini narišite množico vseh kompleksnih števil z x i, za katera je w z 3 čisto imaginarno število. z 3 Ábrázolja a komplex síkban mindazokat a z x i komplex számokat, amelekre a w z 3 tiszta képzetes (imaginárius) szám! z 3 Im i 0 1 Re (5 točk/pont)

*M141401M13* 13/0

14/0 *M141401M14* REZERVNA STRAN TARTALÉK OLDAL

*M141401M15* 15/0 REZERVNA STRAN TARTALÉK OLDAL